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Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas Cálculo III - GEX 108 Lista 7 1. Utilize coordenadas esféricas (a) Calcule ∫∫∫ B (x2 + y2 + z2)2 dV, onde B é a bola com centro na origem e raio 5. (b) Calcule ∫∫∫ E (x2 + y2) dV, onde E está entre as esferas x2 + y2 + z2 = 4 e x2 + y2 + z2 = 9. (c) Calcule ∫∫∫ E (xex 2+y2+z2) dV, onde E é a porção da bola unitária x2 + y2 + z2 ≤ 1 que fica no primeiro octante. 2. Encontre o volume da parte da bola ρ ≤ a que está entre os cones φ = pi 6 e φ = pi 3 3. Determine o volume do sólido que está acima do cone φ = pi 3 e abaixo da esfera ρ = 4cosφ. 4. Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x2+y2+z2 = 4, acima do plano xy e abaixo do cone z = √ x2 + y2. 5. Calcule as integrais transformando para coordenadas esféricas (a) ∫ 1 0 ∫ √1−x2 0 ∫ √2−x2−y2 √ x2+y2 xy dzdydx (b) ∫ a −a ∫ √a2−y2 − √ a2−y2 ∫ √a2−x2−y2 − √ a2−x2−y2 (x2z + y2z + z3) dzdxdy (c) ∫ 2 −2 ∫ √42−x2 −√42−x2 ∫ √42−x2−y2 − √ 42−x2−y2 (x2 + y2 + z2) 3 2 dzdxdy 1 RESPOSTAS 1. (a) 312.500pi/7 (b) 1.688pi/15 (c) pi/8 2. ( √ 3− 1)pia3/3 3. 10pi 4. 8 √ 2 3 pi 5. (a) (4 √ 2− 5)/15 (b) 0 (c) 4096pi/21 2
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