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Lógica Matemática Lógica matemática Cronograma Aula 1: Proposições, conectivos e tabela verdade. Aula 2: Inferência Aula 3: Quantificadores Aula 4: Princípio de indução finita Prof. Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira PROPOSIÇÕES, CONECTIVOS E TABELA VERDADE “É verdade!” SATO, Sabrina Lógica matemática 1. Proposições A clássica lógica proposicional estuda relações entre objetos denominados proposições, os quais podem ser usualmente (nem sempre) ser interpretadas como sentenças em Língua Portuguesa. As sentenças podem ser de vários tipos: i) declarativas (afirmações) ii) interrogativas iii) modais iv) performáticas (ou de comandos) Lógica matemática 1. Proposições A princípio, podemos ter a impressão de que toda sentença declarativa é verdadeira ou falsa. “Esta sentença é falsa” Paradoxo de Eubulides de Mileto Lógica matemática 1. Proposições Definição: Proposição é um sentença declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Uma proposição assume apenas um dos valores: verdadeiro (V) ou falso (F). Adotaremos, três princípios: Princípio da identidade: Toda proposição é igual a si. Princípio de não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição é verdadeira ou falsa, não há terceira possibilidade. Lógica matemática Exemplo 1 Vejamos alguns exemplos de proposições. A) P: A Lua é feita de chocolate. B) Q: 4 é um número primo. C) R: 3 + 3 = 6 D) T: 4 é um número positivo e 3 é ímpar. E) L: Choveu no Brasil em 12 de Abril de 1523. Lógica matemática Exemplo 2 Vejamos alguns exemplos de sentenças que NÃO são proposições. A) x = 3 B) Você está bem? C) Vá embora! Lógica matemática 2. Conectivos Lógicos As proposições podem ser combinadas por meio dos conectivos lógicos, gerando sentenças mais ricas. Alguns conectivos usados são: negação: conjunção: disjunção: condicional: bicondicional: Lógica matemática 2. Conectivos Lógicos Operadores lógicos ou conectivos lógicos efetuam operação sobre as proposições. Quando um operador lógico é usado para construir uma nova proposição, seu valor-verdade depende da natureza dos operadores lógicos usados e do valor-verdade das proposições. Lógica matemática 2. Conectivos Lógicos NEGAÇÃO Dada uma proposição P, podemos escrever outra proposição (lê-se “não P”), denominada negação de P. O valor lógico de é o oposto do valor lógico de P. A tabela verdade da negação é: P V F F V Lógica matemática 2. Conectivos Lógicos CONJUNÇÃO Sejam P e Q duas proposições, a conjunção das proposições P e Q, denotada por , é uma nova proposição que assume valor lógico verdadeiro somente quando P e Q forem verdadeiras simultaneamente. A tabela verdade, do conectivo conjunção, é: P Q V V V V F F F V F F F F Lógica matemática 2. Conectivos Lógicos DISJUNÇÃO Sejam P e Q duas proposições, a disjunção das proposições P e Q, denotada por , é uma nova proposição que assume valor lógico verdadeiro somente quando P ou Q forem verdadeiras simultaneamente, não necessariamente simultâneas. A tabela verdade, do conectivo disjunção, é: P Q V V V V F V F V V F F F Lógica matemática 2. Conectivos Lógicos CONDICIONAL Sejam P e Q duas proposições, a condicional das proposições P e Q, denotada por , é uma nova proposição que assume valor lógico falso somente quando P for verdadeira e Q for falsa. A tabela verdade, do conectivo condicional, é: P Q V V V V F F F V V F F V Lógica matemática 2. Conectivos Lógicos BICONDICIONAL Sejam P e Q duas proposições, a bicondicional das proposições P e Q, denotada por , é uma nova proposição que assume valor lógico verdadeiro somente quando P e Q forem verdadeiras ou P e Q forem falsas. A tabela verdade, do conectivo bicondicional, é: P Q V V V V F F F V F F F V Lógica matemática 3. Tabelas-verdade Faremos uso de sinais: ( ); [ ] e { } para evitar ambiguidades. Para evitar uso excessivo de sinais vamos convencionar a ordem decrescente de prioridade: o conectivo tem prioridade em relação aos outros; representa os conectivo e possuem a mesma ordem de prioridade; representa Lógica matemática 3. Tabelas-verdade O valor verdade de proposições compostas obtidas via combinação de conectivos fica completamente determinado pelos valores das proposições componentes e pela natureza dos conectivos. Lógica matemática Exemplo 3 Construa a tabela-verdade da proposição Solução: Observe que há duas proposições simples: P e Q. Assim, a tabela-verdade terá 4 linhas. P Q P Q P Q V V V F F V F F 1 1 Lógica matemática Exemplo 4 Construa a tabela-verdade da proposição Solução: Observe que há duas proposições simples: P e Q. Assim, a tabela-verdade terá 4 linhas. P Q P Q P V V V F V V V F 1 1 Q Lógica matemática 3. Tabelas-verdade Definição: Uma tautologia (T) é uma proposição que assume sempre valor verdade V, independente dos valores das proposições que a compõe. Por outro lado, uma contradição (C) é uma proposição sempre falsa. Uma contingência é uma proposição que assume pelo menos um valor lógico falso e um valor lógico verdadeiro. Lógica matemática Exemplo 5 Construa a tabela-verdade da proposição Solução: Observe que há duas proposições simples: P e Q. Assim, a tabela-verdade terá 4 linhas. P Q P P Q Lógica matemática Exemplo 6 Construa a tabela-verdade da proposição Solução: Observe que há duas proposições simples: P e Q. Assim, a tabela-verdade terá 4 linhas. P Q P P V V V F F V F F 1 1 Q Lógica matemática 4. Equivalências Definição: Duas proposições P e Q são equivalentes (notação: ou ) se, e somente se for uma tautologia. Lógica matemática Tabela – Lista de identidades lógicas Lógica matemática Exemplo 7 Prove que . Solução: De fato, P Q P Q ~ P V V V F F V F F 1 1 Lógica matemática Tabela – Lista de equivalências lógicas Lógica matemática 5. Implicações Definição: Dado duas proposições P e Q, dizemos que “P implica Q” (notação: ) quando a condicional for uma tautologia. Lógica matemática Tabela – Lista de implicações lógicas Lógica matemática Exemplo 8 Prove que . Solução: De fato, P Q P P Q V V V F F V F F 1 1 Lógica matemática Exemplo 9 (CESGRANRIO) Considere a proposição composta “Se o mês tem 31 dias, então não é setembro”. A proposição composta equivalente é (A) “O mês tem 31 dias e não é setembro”. (B) “O mês tem 30 dias e é setembro”. (C) “Se é setembro, então o mês não tem 31 dias”. (D) “Se o mês não tem 31 dias, então é setembro”. (E) “Se o mês não tem 31 dias, então não é setembro”. Lógica matemática Exemplo 10 (CESGRANRIO) A negação da declaração: “Paula é alta e não é loira” é (A) Paula é loira. (B) Paula é alta e loira. (C) Paula não é alta e é loira. (D) Paula não é alta ou é loira. (E) Paula não é alta e não é loira. Lógica matemática Exemplo 12 (FGV) A negação lógica da sentença “Se não há higiene então não há saúde” é: (A) Se há higiene então há saúde. (B) Não há higiene e há saúde. (C) Há higiene e não há saúde. (D) Não há higiene ou não há saúde. (E) Se há saúde então há higiene.
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