Conjuntos e Propriedades Matemáticas

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 MAD | 2013/2 | Módulo III
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
Prof.ª Maricélia Soares 
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Determine os seguintes conjuntos apresentando os seus elementos 
na forma tabular ou descritiva:
a) A = {x І x é estado brasileiro da Região Sul}
b) B = {x І x é algarismo do sistema de numeração indo-arábico}
c) C = {x І x é número par entre 9 e 21}
d) D = {x І x é vogal da palavra Brasil}
R.: a) A = {SC, PR, RS}
b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
c) C = {10, 12, 14, 16, 18, 20}
d) D = {a, i}
2 Destaque, entre os conjuntos a seguir, os conjuntos unitários e os 
conjuntos vazios:
a) A = {x І x é dia da semana que começa com a letra D}
b) B = {x І x é Estado do Brasil banhado pelo Oceano Pacífico}
c) C = {x І x é número par solução da equação x – 3 = 0}
d) D = {x І x é diagonal de um triângulo}
R.: a) A = {Domingo} – Conjunto Unitário
b) B = { } – Conjunto Vazio
c) C = { } – Conjunto Vazio
d) D = { } – Conjunto Vazio
3 Classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), 
considerando os seguintes conjuntos:
M = conjunto dos países do Mercosul R = conjunto das regiões brasileiras
P = conjunto dos números primos Q = conjunto dos números quadrados
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
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Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
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a) (V) Paraguai ∈ M
d) (V) Nordeste ∈ R
g) (F) 23 ∉ P
j) (V) Sudeste ∈ R
b) (V) Chile ∉ M
e) (V) Uruguai R 
h) (V) 20 ∉ Q 
k) (V) 2 ∈ P
c) (F) Uruguai ∉ M
f) (F) 21 ∈ P
 i) (V) 64 ∈ Q
l) (F) 55 ∈ Q
4 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em 
verdadeiras (V) ou falsas (F):
R.:
a) (V) 1 A f) (F) 4 ∉ B 
b) (V) 2 ∈ A g) (V) 5 ∈ A 
c) (F) 2 ∉ B h) (V) 5 ∉ B 
d) (V) 3 ∈ A i) (F) 7 ∉ B 
e) (F) 3 ∈ B j) (V) 8 ∈ B 
5 Escreva o conjunto expresso pela propriedade:
a) x é um número natural par.
b) x é um número natural menor do que 8.
c) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31.
R.: a) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 2n}, ∀n ∈ N
b) B = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
c) C = {5, 10, 15, 20, 25, 30}
6 Escreva uma propriedade que define o conjunto:
a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b) B = {0, 2, 4, 6}
c) C = {11, 13, 15, 17}
d) D = {0, 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100}
R.: a) A = {x ∈ N  0 ≤ x ≤ 9}
b) B = {x ∈ N  x é par e 0 ≤ x ≤ 6}
c) C = {x ∈ N  x é ímpar e 11 ≤ x ≤ 17}
d) D = {x ∈ N  0 ≤ x ≤ 100}
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R.: a) A ⊂ B b) A ⊂ C c) B ⊄ C
8 No diagrama seguinte, A, B e C são três conjuntos não vazios. 
Classifique em V ou F cada uma das seguintes sentenças, conforme 
ela seja verdadeira ou falsa, respectivamente:
R.: a) (V) A ⊂ B b) (V) C ⊂ B
c) (F) B ⊂ A d) (F) A ⊂ C
e) (V) B ⊄ A f) (V) A ⊄ C
g) (V) B ⊃ A h) (F) A ⊃ C
9 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em 
verdadeiras (V) ou falsas (F):
R.:
7 Sejam A = {x  x é número par compreendido entre 3 e 15}
 B = {x  x é número par menor que 15} 
 C = {x  x é número par diferente de 2}
 Usando os símbolos ⊂ ou ⊄, complete:
a) (V) 1 ∈ A 
b) (F) 4 ∈ A
c) (V) 7 ∈ A
d) (V) 7 ∈ B
e) (V) 3 ∈ B
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f) (V) 11 ∈ C
g) (F) 10 ∉ C
h) (V) 14 ∉ C
i) (F) 15 ∉ U
j) (F) 9 ∉ A
k) (V) 17 ∉ A
l) (V) 14 ∉ B
m) (F) A ⊂ B
n) (F) B ⊂ C
o) (V) A ⊄ C
p) (V) C ⊂ U
q) (F) A ⊄ U
r) (F) U ⊂ B
10 Classifique as seguintes sentenças em (V) verdadeiras ou (F) falsas:
R.: a) (F) A ≠ B e B ≠ C ⇒ A ≠ C
b) (V) x ∈ A e A ⊂ B ⇒ x ∈ B
c) (F) ∀x A e A ⊃ B ⇒ x ∈ B
d) (F) Se A = {x  x é número par positivo}, então 2 ⊂ A.
e) (V) Se A = {x  x é número par positivo}, então A ⊃ {2, 4}.
11 (PAIVA, 2000, p. 16) Antes de resolvermos esta questão, vamos 
recordar algumas notações e alguns conceitos de geometria:
● Pontos são nomeados por letras latinas maiúsculas (A, B, C, D, ...).
● Retas são nomeadas por letras latinas minúsculas (a, b, c, d, ..., r, s, t, ...).
● Um segmento de reta de extremos A e B é indicado por 
● Uma semirreta de origem A que passa por B é indicada por 
● Uma reta é um conjunto de pontos; logo, cada um de seus pontos é um 
elemento da reta.
● Uma semirreta é um conjunto de pontos; logo, cada um de seus pontos é 
um elemento da semirreta.
● Um segmento de reta é um conjunto de pontos; logo, cada um de seus 
pontos é um elemento do segmento de reta.
Agora, de acordo com a figura, classifique as afirmações em (V) verdadeiras 
ou (F) falsas:
R.:
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a) (V) A ∈ r
b) (F) A ⊂ r
c) (V) { A } ⊂ r
d)
e)
f)
g)
h)
TÓPICO 2
1 Sendo A = {0, 1, 2, 3}, 
 B = {0, 2, 3, 5}, 
 C = {x x é número par positivo menor que 10} e
 D = {x x é número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine:
R.: Obs.: Na teoria dos conjuntos, alguns autores consideram o zero como um 
número natural, assim o faremos nesta disciplina. Na disciplina de Álgebra 
que você irá cursar você entenderá melhor como é a construção axiomática 
dos conjuntos numéricos.
a) A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 5}
b) A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}
c) A ∪ D = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9}
d) C ∪ D = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
e) B ∪ D = {0, 2, 3, 5, 7, 9}
f) C ∩ D = { }
g) A ∩ B = {0, 2, 3}
h) A ∩ C = {0, 2 }
i) A ∩ D = { }
j) B ∩ C = {0, 2 }
k) (A ∩ B) ∩ C = {0, 2 }
l)(A ∩ C) ∩ D = { }
2 O que se pode dizer do conjunto A ∪ B, sabendo que A = ∅? Justifique 
sua resposta.
R.: Quando A = ∅, temos que A ∪ B = B, pois o vazio está contido em qualquer 
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conjunto. Desse modo A = ∅ é um subconjunto de B, implicando que A ∪ B 
resulte no próprio B.
3 O que se pode dizer do conjunto A ∪ B, sabendo que A ⊂ B ? Justifique 
sua resposta.
R.: Quando A ⊂ B, temos que A ∪ B = B, pois se A é um subconjunto de B, 
então para todo e qualquer elemento x pertencente a A, x pertencerá também 
a B. Logo A ∪ B = B, pois B contém os elementos de A e de B.
4 No diagrama a seguir, represente os conjuntos:
A = {a, b, c, f, g, j}, B = {a, b, c, d, e, h, I}, C = {a, b, d, e, f, g, l, m} 
e sombreie a região que representa o conjunto dado pela expressão (A ∩ 
B) ∩ C.
R.:
5 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, determine o 
conjunto A – B e o conjunto B – A.
R.: A – B = {1, 2} B – A = {6, 7}
6 Dados os conjuntos A = {x  x é número inteiro par entre 1 e 11} e B 
= {x  x é número inteiro entre 0 e 10}, determine A – B e B – A.
R.: A – B = {10} B – A = {1, 3, 5, 7, 9}
7 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10}, determine o que se pede:
R.: a) A – B = {1, 2}
b) B – A = {6, 7, 8}
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c) A – C = { }
d) C – A = {6, 7, 8, 9, 10}
e) C – (A ∪ B) = {9, 10}
f) (A ∩ C) – (B ∩ C) = {1, 2}
g) (A ∪ B) – C = { }
8 No diagrama a seguir, sombreie a região que representa a expressão 
(A ∪ B) – C.
R.:
9 Três conjuntos A, B e C são tais que:
A ∩ B ∩ C = {a, i} B ∩ C = {a, i, j A ∩ B = {a, i, h} A ∩ C = {a, i, e, f}
C – (A ∪ B) = {d} B – (A ∪ C) = {b, c} A – (B ∪ C) = {g}.Utilizando os diagramas de Venn, determine os conjuntos A, B e C.
R.:
A = {a, e, f, g, h, i} B = {a, b, c, h, i, j} C = {a, d, e, f, i, j}
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10 Sabendo que M = {2, 3, 4, 5, 6}, M ∪ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e M ∩ N = 
{2, 3, 4}, determine o conjunto N.
R.: N = { 1,2,3,4,7 }
11 Se A = {1, 3, 4, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A ∩ B = {5, 6}, determine 
o conjunto B.
R.: B= { 2,5,6,7}
12 Dados A ∩ B = {2, 3, 8}, A ∩ C = {2, 7}, B ∩ C = {2, 5, 6}, A ∪ B = {1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A ∪ B ∪ C = {1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine os conjuntos A, B e C. (Dica: faça uso 
dos diagramas de Venn.)
R.: A = {1,2,3,4,7,8} B = {2,3,5,6,8,9,10} C = { 2,5,6,7}
13 Suponha que A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, 
b, c}. Determine o conjunto B.
R.: B = { d, e, f, g, h }
14 Um conjunto A tem 13 elementos, A ∩ B tem 8 elementos e A ∪ B tem 
15 elementos. Quantos elementos têm B?
R.:
n(B) = 8 + 2 = 10
15 (DANTE, 1999, p. 39) Uma prova com duas questões foi dada a uma 
classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 
25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. 
Quantos alunos erraram as duas questões?
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R.:
15 + 10 + 10 + x = 40
35 + x = 40
x = 5 alunos
16 (DANTE, 1999, p. 39) Um professor de Português sugeriu em uma 
classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, 
de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 
10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles.
a) Quantos alunos leram Iracema? 
b) Quantos leram só Helena?
c) Qual é o número de alunos nessa classe?
R.:
a) 10 + 15 = 25 alunos 
b) 10 alunos 
c) 10 + 10 + 15 + 15 = 50 alunos
17 Uma escola tem 20 professores, sendo que 6 lecionam apenas 
matemática, 5 apenas física e 7 lecionam outras disciplinas distintas 
de matemática e física. Quantos são os professores que lecionam 
matemática e física?
R.:
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20 = 6 + x + 5 + 7
x = 02 professores
18 (PAIVA, 2000, p. 44) Há uma antiga rivalidade entre os fabricantes de 
dois refrigerantes: o Grud-Cola e o Pimba-Cola. Para se saber qual o 
preferido numa certa região, foi feita uma pesquisa entre 245 jovens 
dessa localidade e foram computados os seguintes resultados:
• 135 jovens bebem Grud-Cola;
• 75 jovens bebem os dois refrigerantes;
• 40 jovens não bebem nenhum dos dois refrigerantes.
Sabendo que todos os 245 jovens opinaram, conclua qual o refrigerante 
preferido por eles e quantos jovens bebem esse refrigerante.
245 = 60 + 75 + x + 40
x = 245 – 175
x = 70 (apenas Pimba-Cola)
70 + 75 = 145 bebem Pimba-Cola.
O refrigerante preferido é o Pimba-Cola; 145 jovens bebem esse refrigerante.
19 (PAIVA, 2000, p. 45) Nas favelas, devido às péssimas condições 
sanitárias, as doenças proliferam com muita rapidez. Em exames de 
fezes, feitos em 41 crianças faveladas, foi constatada a presença de 
três tipos de bactérias (A, B e C). Exatamente:
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• 23 crianças têm a bactéria A; • 11 crianças têm as bactérias A e B;
• 25 crianças têm a bactéria B; • 12 crianças têm as bactérias B e C;
• 22 crianças têm a bactéria C; • 11 crianças têm as bactérias A e C.
Sabendo que cada uma das 41 crianças apresentou pelo menos uma das 
bactérias, quantas crianças apresentaram as três bactérias?
R.:
41 = 1 + x + 11 – x + 2 + x + 11 – x + x + 12 – x – 1 + x
x = 5 crianças
20 (DANTE, 1999, p. 39) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para 
se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes 
resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa 
A, 305 assistem ao programa B e 386 ao programa C. Sabe-se ainda 
que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos 
programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos 
três programas.
a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas?
R.: 315 + 170 + 75 + 15 + 10 + 50 + 311 + x = 1.000
946 + x = 1.000
x = 1.000 – 946
x = 54 famílias
b) Quantas famílias assistem somente ao programa A?
R.: 315 famílias
c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?
R.: 311 + 54 = 365 famílias
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21 (DANTE, 1999, p. 40) Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados 
leem o jornal A, 29% leem o jornal B, 22% leem o jornal C, 13% leem 
A e B, 6% leem B e C, 14% leem A e C e 6% leem os três jornais.
a) Quanto por cento não lê nenhum desses três jornais?
R.: 12 + 7 + 16 + 8 + 6 + 0 + 8 + x = 100%
57 + x = 100%
x = 43%
 
b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C?
R.: 7%
c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
R.: 57%
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22 (PAIVA, 2000, p. 44) Uma empresa, fabricante de achocolatados, 
pretende lançar um novo produto no mercado. Para isso encomendou 
uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre duas 
embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas, e o resultado foi 
precisamente o seguinte:
• 150 pessoas gostaram somente da embalagem A;
• 240 pessoas gostaram da embalagem B;
• 60 pessoas gostaram das duas embalagens.
Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens, sabendo 
que todas as 402 pessoas opinaram?
R.: 
150 + 60 + 180 + x = 402
390 + x = 402
x = 402 – 390
x = 12 pessoas
TÓPICO 3
1 (DANTE, 1999, p. 9) Observe os números a seguir:
- 3
3
2 0 1,5 4
4
31− 3
-1,22... 3,141592...
A B C D E F G H I
Dentre esses números, determine quais são:
a) naturais b) inteiros c) racionais d) irracionais
R.: a) C, E b) A, C, E c) A, B, C, D, E, F, H d) G, I
 
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R.:
3 (DANTE, 1999, p. 9) Identifique quais dos números a seguir não são 
números reais:
 ( ) 
8
0
; ( ) 
0
8
; ( ) 4− ; ( ) 4− ( ) –- 4
R.: 
pois não há número real que multiplicado por 0 resulte 8.
não há número real que elevado ao quadrado resulte em -4.
2 (DANTE, 1999, p. 9) Localize, na reta, aproximadamente, o ponto 
correspondente a cada número da questão anterior.
4 Existe um maior elemento em cada conjunto explicitado a seguir? 
Explique sua resposta em cada caso:
a) A = {x ∈ R x < 1,25} b) B = {x ∈ Q x < 1,25} c) C = {x ∈ Z x < 1,25} 
a) A = { X ∈ R | x < 1,25 }
R.: Não existe um maior número real para x, pois para cada valor de x que 
sugerirmos existirá um outro que é maior que x e ainda é menor que 1,25. 
Exemplo: 1,249 < 1,2499 < 1,24999 < ... < x < ... < 1,25
b) B = { X ∈ Q | x < 1,25 }
R.: Da mesma forma, não existe um maior número racional para x, pois para 
cada valor de x que sugerirmos existirá um outro que é maior que x e ainda 
é menor que 1,25. 
Exemplo: 1,249 < 1,2499 < 1,24999 < ... < x < ... < 1,25
c) C = { X ∈ Z | x < 1,25 }
R.: Como x deve ser um número inteiro o maior valor será 1. Veja:
1 < 1,25 < 2
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5 Escreva como você explicaria o que é o conjunto dos números reais 
para alguém que conhece o conjunto dos números racionais.
R.: Esta questão permite várias soluções; solicitar aos acadêmicos que 
apresentem algumas possibilidades.
6 Escreva como você explicaria o que é o conjunto dos números reais 
para alguém que conhece somente o conjunto dos números inteiros.
R.: Esta questão permite várias soluções; solicitar aos acadêmicos que 
apresentem algumas possibilidades.7 Classifique as seguintes sentenças em (V) verdadeiras ou (F) falsas:
a) (V) É possível sempre encontrar um número real que esteja entre dois 
números reais distintos.
b) (V) Para cada número inteiro podemos fazer corresponder um ponto na reta.
c) (V) Para cada número racional podemos fazer corresponder um ponto na 
reta.
8 Apresente duas formas distintas para conceituar número real.
R.: Esta questão permite várias soluções; solicitar aos acadêmicos que 
apresentem algumas possibilidades.
9 Se A = {x ∈ R  - 1 < x < 2} e B = {x ∈ R  0 ≤ x < 3}, o conjunto A ∩ B 
é o intervalo:
a) (x) [0, 2) 
b) ( ) (0, 2) 
c) ( ) [-1, 3] 
d) ( ) (-1, 3)
e) ( ) (-1, 3]
10 A diferença A – B, sendo A = {x ∈ R  - 4 ≤ x ≤ 3} e B = { x ∈ R  - 2 ≤ 
x < 5} é igual a:
a) (x) {x ∈ R ∈ - 4 ≤ x < -2} 
b) ( ) {x ∈ R  - 4 ≤ x ≤ -2} 
c) ( ) {x ∈ R  3 < x < 5} 
d) ( ) {x ∈ R  3 ≤ x ≤ 5} 
e) ( ) {x ∈ R  - 2 ≤ x < 5}
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11 Dados os intervalos A = ]-3, 10] e B = [5, 13[, determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A – B
d) B – A
R.: a) A ∪ B = ]-3, 13[
b) A ∩ B = [5, 10]
c) A – B = ]-3, 5[
d) B – A = ]10, 13[
12 Dados os intervalos A = [2, +∞[ e B = ]-∞, 5[ , determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A – B
d) B – A
R.: a) A ∪ B = ]-∞, +∞[
b) A ∩ B = [2, 5[
c) A – B = [5, +∞[
d) B – A = ]-∞, 2[
13 Se A = {x ∈ R  0 < x < 2} e B = { x ∈ R  -3 ≤ x ≤ 1}, então o conjunto 
(A ∪ B) – (A B), é:
a) (x) [-3, 0] ∈ ]1, 2[
b) ( ) [-3, 0[ ∪ [1, 2[
c) ( ) [-∞, -3] ∪ ]2, +∞[
d) ( ) ]0, 1]
e) ( ) [-3, 2[
14 Sejam os conjuntos A = {x ∈ R  1 ≤ x < 5} e B = { x ∈ R  2 ≤ x ≤ 
6}. Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) A ∩ B = {2, 3, 4} 
b) ( ) A ∩ B = {x ∈ R  2 ≤ x ≤ 5} 
c) ( ) A ∩ B = {x ∈ R  2 < x < 5} 
d) ( ) A ∩ B = {x ∈ R  2 < x ≤ 5} 
e) (x) A ∈ B = {x ∈ R ∈ 2 ≤ x < 5}
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15 Sejam os conjuntos A = ]-∞, 1], B = ]0, 2] e C = [-1, 1]. O intervalo 
C ∪ (A ∩ B) é:
a) ( ) ]-1, 1]
b) (x) [-1, 1]
c) ( ) [0, 1]
d) ( ) ]0, 1]
e) ( ) ]-∞, -1]
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Determine a lei algébrica de cada uma das seguintes funções reais:
a) f1 associa a cada número real seu dobro.
b) f2 associa cada número real a seu quadrado.
c) f3 associa cada número real a seu triplo menos 1.
R.: a) f1: R  R, f1 = 2x
b) f2: R  R, f2 = x
2
c) f3: R  R, f3 = 3x – 1
2 Determine a lei algébrica de cada uma das seguintes funções, 
estabelecendo os conjuntos domínio e imagem:
a) f1 é a função de R* em R*, que associa a cada número real seu inverso.
b) f2 é a função de N em N, que associa a cada número natural o quadrado 
de seu sucessor.
c) f3 é a função de R+ em R+, que associa a cada número real sua raiz 
quadrada.
R.:
f1 = x
1
, D = R*, Im = R*
a) f2 = (x + 1)
2, D = N, Im = N
f3 = x , D = R+, Im = R+
3 Determine o domínio de cada uma das seguintes funções reais:
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R.: a) D = R 
b) D = R 
c) D = R – { 1 }
d) D = {x ∈ R  x ≥ -4} 
e) D = R – { ±3 } 
f) D = R – { 2 }
4 Classifique as seguintes sentenças em (V) verdadeiras ou (F) falsas:
a)
b) 
c) 
d)
e)
f) 
(V)
(V)
(V)
(V)
(F)
(F)
A função f: R+ → R+ definida por f(x) = x2 é injetora.
A função f: R → R definida por f(x) = x + 1 é bijetora.
A função f: {0, 1, 2, 3} → R definida por y = x – 1 não é sobrejetora.
A função f: {0, 1, 2, 3} → N definida por y = x + 1 é injetora.
A função f: R → R definida por f(x) = x2 + 1 é bijetora.
A função f: N → R+ definida por y = x é bijetora.
5 Seja a função real dada por f(x) = x + 2. Represente-a graficamente e 
classifique-a em crescente ou decrescente.
R.:
A função f(x) = x + 2 é crescente.
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6 Observando o gráfico da função a seguir:
GRÁFICO 13 – GRÁFICO DA FUNÇÃO
FONTE: Giovanni; Bonjorno (2000, p. 144)
a) Determine os intervalos em que a função é crescente.
b) Determine os intervalos em que a função é decrescente.
c) O que ocorre com a função no intervalo de x = 1 a x = 2?
R.: a) A função é crescente nos seguintes intervalos de x: (-2, 1); (2, 3).
b) A função é decrescente no seguinte intervalo de x: (3, 4).
c) A função é constante neste intervalo de x.
7 Construa o gráfico da função f: R → R dada por f(x) = x2. Analise e 
verifique se ela é crescente ou decrescente.
R.:
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A função f(x) = x2 é decrescente para o intervalo de x (-∞, 0) e crescente para 
o intervalo de x (0, +∞).
8 (Adaptado de: GIOVANNI; BONJORNO, 2000, p. 151) Num tanque, as 
variações na população de espécies de peixes A, B e C são descritas, 
no período de 10 meses, pelo gráfico:
GRÁFICO 14 – VARIAÇÕES NA POPULAÇÃO DE ESPÉCIES DE PEIXES
FONTE: Disponível em: <http://www.portalimpacto.com.br/docs/AldoUEPARevisao03.pdf>. 
Acesso em: 20 maio 2010.
Quais afirmações a seguir são verdadeiras?
a) ( ) No período de 0 a 2 meses, a população B manteve-se menor que a C.
b) ( ) No quinto mês, havia menos de 3.500 peixes nesse tanque.
c) (x) No período de 0 a 5 meses, as populações B e C mantiveram-se 
crescentes.
d) ( ) A população C atingiu o seu máximo no terceiro mês.
e) ( ) No período de 3 a 7 meses, a população B manteve-se maior que a A.
9 Associe os gráficos a seguir à classificação da função quanto à sua 
paridade:
(a) Função Par (b) Função Ímpar (c) Nem par, nem ímpar
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TÓPICO 2
1 Resolva as equações do 1º grau:
a) 5(x – 2) = 4x + 6 e) 2(x + 1) = 2
b) -4 (4 - x) = 2(x - 1) f) -3(x + 2) = -6
c) -2x = -6 g) 0,1(x – 2) + 0,5x = 0,7
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a) 
b) 
 
c) d) 
e) 
f) 
g) h) 
2 Resolva as equações do 1º grau:
d) -3x + 1 = -8 h) 0,4(x +3) – 0,2x = 4
R.:
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3 Uma gerente de uma fábrica de móveis tem um custo fixo de 
R$ 10.000,00 por mês para manter a fábrica em condições de 
funcionamento, ou seja, manter o salário dos seus funcionários e os 
gastos com energia elétrica, água e telefone. Para cada unidade de 
móvel produzido na fábrica, há um custo variável de R$ 100,00. 
a) Apresente uma função que expresse o valor “y” do custo total mensal da 
indústria na produção de “x” unidades de móveis.
b) Calcule o custo da produção de 200 móveis.
c) Calcule o número de móveis produzidos, sabendo-se que o custo mensal 
de produção foi de R$ 58.000,00.
R.:
4 Dada a função y = -4x + 20 faça o que se pede: 
 
a) Calcule o valor de x para que se tenha y = 48.
b) Calcule o valor de y para x = 3.
R.:
5 O gerente de uma loja compra um sapato por R$ 45,00 e vende por 
R$ 75,00. A despesa com frete é de R$ 70,00. 
a) Determine uma função que represente o lucro do fabricante.
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6 Uma fábrica de móveis vende mesas por R$ 700,00 cada uma. O custo 
total de produção do fabricante consiste em uma sobretaxa de R$ 
80.000,00, somada ao custo de produção de R$ 300,00 por mesa. 
 
a) Determine uma função que represente o lucro do fabricante.
b) Determine o número de mesas que o fabricante precisa vender para obter 
um lucro de R$ 60.000,00.
R.:
7 Classifique as funções a seguir em afim, linear, identidade, constante 
e translação:
a) y = 5x + 2 b) y = -x + 3 c) y = 7 d) y = x
e) y = 3x f) y = x + 5 g) y = -x + 2 h) y = -5
R.:
b) Quantossapatos desse modelo a loja deverá comprar para ter um lucro 
de R$ 980,00?
R.:
a) Afim b) Afim c) Constante d) Identidade
e) Linear f) Translação g) Afim h) Constante
8 Esboçar o gráfico das funções a seguir, classificando-as em 
crescente, decrescente ou constante.
a) y = x + 1 b) y = 2x c) y = 6 d) y = -x
e) y = 2 – x f) y = -2 – 2x g) y = x h) y = 2x + 3
R.:
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9 Escreva a função afim y = ax + b, cujo gráfico passa pelos seguintes 
pontos:
a) P(1, 5) e Q(-3, -7) b) P(-1, 7) e Q(2, 1) c) P(2, -2) e Q(1, 1)
R.:
c) P(2, -2) e Q(1, 1)
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TÓPICO 3
1 Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando:
(i) raízes da função (quando existirem)
(ii) intersecção com eixo y
(iii) coordenadas do vértice
a) y = x2 – 3x + 2 e) y = 3x – x2 
b) y = x2 – 5x + 4 f) y = 4 – x2 
c) y = -x2 + 7x – 12 g) y = x2 – 48 
d) y = x2 – 2x + 1 h) y = 2x2 – 7z – 4 
R.:
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2 Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura h atingida por uma 
bala, em metros, em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t) 
= -20t2 + 200t. Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto 
tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima?
R.: 
3 Determine o valor máximo (mínimo) e o ponto de máximo (mínimo) 
de cada uma das funções:
a) y = 2x2 – 12x + 10 e) y = 3x2 
b) y = -x2 + 4x + 5 f) y = x2 – 2x + 4 
c) y = x2 – 9 g) y = -x2 + 3x – 5 
d) y = -x2 + 16 h) y = -x2 
R.:
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a) V = 
b) V = 
c) V = 
d) V = 
e) V = 
f) V = 
g) V = 
h) V = 
TÓPICO 4 
1 (DANTE, 2005, p. 167) Verifique se as igualdades são verdadeiras ou 
falsas:
2 Analisando a definição e o gráfico da função modular f(x) = x, faça 
o que se pede:
GRÁFICO 34 – GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR f(x) = │x│
a) Determine D(f) e Im(f).
b) f é crescente ou decrescente?
c) f é injetora? É sobrejetora?
d) f é função par ou ímpar?
FONTE: Grapes 6.71 – Freeware (2009)
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R.: a) D(f) = R e Im(f) = R+
b) Crescente no intervalo (0, +∞) e decrescente no intervalo (-∞, 0).
c) Não é injetora, mas é sobrejetora.
d) Função Par. 
3 Resolva as seguintes equações modulares:
R.:
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4 Construa o gráfico da função f(x) = │2x + 1│ e determine os conjuntos 
domínio e imagem.
R.:
D(f) = R e Im(f) = R+
TÓPICO 5
1 Determine o domínio das seguintes funções racionais:
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R.: a) D = R – {2} 
b) D = R – {1/2} 
c) D = R – { ±1 }
2 Admita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que 
obedece ao seguinte modelo matemático:
 
sendo P(t) o peso 
 médio (em kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de 
vida desde o seu nascimento.
a) No contexto do problema, determine o domínio da função.
b) Qual é o peso médio de um animal recém-nascido?
c) Com que idade um cão dessa raça atinge 9 kg?
R.:
a)
b) 
3 Determine o domínio das seguintes funções irracionais:
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c) D(f) = {x ∈R | x ≤ 0 }
4 A procura de um determinado modelo de relógio é dada, em centenas de 
unidades, em função do preço p, em dezenas de euros, por: 
a) No contexto do problema, determine o domínio da função.
b) Determine o preço p para o qual a procura é 12 centenas de unidades.
R.: a) D(f) = {p ∈R | 0 < x ≤ 50}
b) 
p =26 dezenas de euros
5 (GIOVANNI; BONJORNO, 2000, p. 146) Uma chácara de área z foi 
dividida em 10 lotes, todos de forma quadrada de lado x e área y. 
Escreva a fórmula matemática que expresse:
a) y em função de x
b) z em função de y
c) z em função de x
R.: a) y = x2 b) z = 10y c) z = 10x2
R.:
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6 Sendo f e g funções de domínio real com f(x) = x2 + 5x e g(x) = 1 – 2x, 
determine:
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))
R.: a) f(g(x)) = (1 – 2x)2 + 5(1 – 2x) = 1 – 4x + 4x2 + 5 – 10x = 4x2 – 14x + 6
b) g(f(x)) = 1 – 2(x2 + 5x) = 1 – 2x2 – 10x = -2x2 – 10x + 1
c) f(f(x)) = (x2 + 5x)2 + 5(x2 + 5x) = x4 + 10x3 + 30x2 + 25
d) g(g(x)) = 1 – 2(1 – 2x) = 1 – 2 + 4x = 4x – 1 
7 (GIOVANNI; BONJORNO, 2000, p. 149) Construa, em um mesmo sistema 
cartesiano, os gráficos da função f e da sua inversa f-1, dadas por:
a) f(x) = 2x – 3 b) f(x) = x + 1 c) f(x) = 1
2
x
+
R.:
a)
b)
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c)
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Classifique as seguintes equações em (V) verdadeiras ou (F) falsas. 
Não esqueça as propriedades que você acabou de estudar.
a) (F) 23 ⋅ 220 = 260 d) (F) (2 + 3)2 = 22 + 32
b) (V) (32)3 = 36 
c) (F) (52)4 = 516 
2 Efetue, observando as definições e propriedades: 
a) (-2)3= -8 i) (-3)4 = 81
b) 120 = 1 j) (0,5)3 = 0,125 
c) 5001 = 500 k) 151 = 15
d) 1000 = 1 l) 900 = 1
e) 03 = 0 m) 020 = 0
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3 Calcule o valor da expressão: (-2)3 + 
R.:
4 Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de 
 para que se tenha:
a) 56,754 ·  = 567.540 c)  · 23 = 0,000023
b) 0,003 ·  = 30 d)  · 4,5 = 0,00045
R.:
a) 104 b) 104 c) 10-6 d) 10-4
5 Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação 
científica:
6 O produto 0,000015 · 0,000000002 é igual a:
a) ( ) 3 ⋅ 10-40 d) ( ) 30 ⋅ 10-13 
b) (x) 3 ∈ 10-14 e) ( ) 3 ⋅ 10-4 
c) ( ) 30 ⋅ 10-14 
R.:
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7 O valor da expressão (-2)-2 + (-2)-1 +(-2)1 + (-2)2 é igual a:
a) ( ) -13 d) (x) 
b) ( ) -3 e) ( ) 0
c) ( ) 
R.:
8 Efetue as adições algébricas com radicais, observando as 
propriedades estudadas:
9 Reduza os radicais a uma expressão da forma , com a e b inteiros, 
fazendo uso de simplificação de radicais:
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R.:
10 Resolva as equações exponenciais:
a) 64x = 256 
b) 92x – 1 = 275x + 1 
c) 9x – 1 – 81 = 0
R.:
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11 Identifique as seguintes funções como crescentes (C) ou decrescentes (D):
12 Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando domínio e 
imagem:
a) f(x) = 3x
R.:
GRÁFICO 42 – FUNÇÃO 
13 O gráfico ao lado refere-se 
à função 
a) A função é crescente ou 
decrescente?
b) Qual o domínio e qual a imagem 
da função?
c) Para que valor de x tem-se 
d) Para quais valores de x tem-se 
FONTE: Bianchini; Paccola (2004, p.134)
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e) Para quais valores de x tem-se 
R.: a) Crescente
b) D(f) = R Im(f) = R 
c) x = 3
d) x > -3
e) x < 4
14 Estima-se que daqui a t anos o valor de uma fazenda seja igual a 
500 · 3t milhares de reais. Após dois anos, a valorização (aumento de 
valor) em relação a hoje será de:
a) (x) 4 milhões de reais.
b) ( ) 3,5 milhões de reais.
c) ( ) 2 milhões de reais.
d) ( ) 1,5 milhão de reais.
e) ( ) 1 milhão de reais.R.:
TÓPICO 2
1 Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
a) log25 0,2
 
b) log20,25
 
 c) log 0,01
 
d) 
e) log2 128
 
f) log128 2
g) h) log1515
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
I
N
T
R
O
D
U
Ç
Ã
O
 
A
O
 
C
Á
L
C
U
L
O
2 Resolva as seguintes equações logarítmicas:
R.:
47UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
I
N
T
R
O
D
U
Ç
Ã
O
 
A
O
 
C
Á
L
C
U
L
O
R.:
3 Dados log 2 = 0,301; log 3 = 0,477; log 5 = 0,699 e log 7 = 0,845, calcule, 
fazendo uso das propriedades operatórias dos logaritmos:
a) log 15 b) log 14
c) log 42 d) log 210
e) log 6 
3
7log
R.: a) log 15 = log(3 · 5) = log 3 + log 5 = 0,477 + 0,699 = 1,176
b) log 14 = log(7 · 2) = log 7 + log 2 = 0,845 + 0,301 = 1,146
c) log 42 = log (7 · 2 · 3) = log 7 + log 2 + log 3 = 
 = 0,845 + 0,301 + 0,477 = 1,623 
d) log 210 = log(7 · 3 · 5 · 2) = log 7 + log 3 + log 5 + log 2 =
 = 0,845 + 0,477 + 0,699 + 0,301 = 2,322
e) log 6 = log(3 · 2) = log 3 + log 2 = 0,477 + 0,301 = 0,778
 
f) 
3
7log = log 7 – log 3 = 0,845 – 0,477 = 0,368
f)
48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
I
N
T
R
O
D
U
Ç
Ã
O
 
A
O
 
C
Á
L
C
U
L
O
4 Um explorador descobriu, na selva amazônica, uma espécie nova 
de planta e, pesquisando-a durante anos, comprovou que o seu 
crescimento médio variava de acordo com a fórmula A = 40 ⋅ (1,1)
t em que a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em 
anos. Verificou também que seu crescimento estaciona após 20 
anos, abaixo de 3 metros. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 11 = 1,04, 
determine:
a) A altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos 
de vida.
b) A idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6 m.
R.:
TÓPICO 3
1 Elabore uma sugestão de aula para possibilitar a construção do 
conceito imagem de função polinomial do 1º grau. Apresente aos 
seus colegas de turma no próximo encontro presencial, verificando 
se foi bem-sucedido nas suas ideias. Seja criativo!
R.: Resposta individual, conforme criatividade do(a) acadêmico(a).