Controlador PID

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Sintonia de controlador PID
Bárbara Alves Harres; Morgana Cardoso Universidade do Vale do Rio dos Sinos. São Leopoldo, Brasil
Resumo — Este relatório apresenta a modelagem de um controlador PID para um sistema pré-determinado com o emprego de diferentes técnicas de sintonia.
INTRODUÇÃO
Controladores do tipo Proporcional-Integral-Derivativo (PID) tem ampla aplicação em sistemas de controle, desta forma se mostram de grande importância no cenário industrial. 
Esse sistema utiliza a diferença entre um valor de referência que se deseja obter na saída do processo com o valor real obtido pelo mesmo para gerar um sinal que irá atuar no processo, realizando as devidas correções para que a saída apresente o mesmo comportamento do sinal de referência desejado.
Parâmetros de um PID
O controlador PID de três termos é um dos modelos mais utilizados para controle de processos industriais. Este controlador tem como função de transferência a equação 1.
						( 1 )
E o comportamento no domínio do tempo é representado pela equação 2.
		( 2 )
Onde:
· u(t): saída do controlador PID;
· e(t): sinal de erro do sistema;
· Kp: ganho proporcional;
· Kp*1/Ti = Ki: ganho integral;
· Kp*Td = Kd: ganho derivativo.
O nome controlador de três modos é usado pois o controlador contém um termo integral, um termo proporcional e um derivativo representados respectivamente por, e .
A ação proporcional atua no processo aplicando um ganho diretamente ao sinal de erro, melhorando assim a resposta transitória e com isso o tempo de subida do sinal. A ação integral, em conjunto com a ação proporcional (PI), atua na correção do erro ao longo do tempo, diminuindo o erro em regime; já a ação derivativa, em conjunto com a ação proporcional (PD), atua no sistema conforme a taxa de variação do erro, melhorando a estabilidade do processo.
Especificações de Projeto
A proposta de desenvolvimento deste projeto é aplicar diferentes métodos de sintonia para um controlador PID e avaliar os resultados obtidos via simulação.
Os métodos utilizados para elaboração do projeto são:
· Ziegler-Nichols – 1º e 2º métodos; 
· Alocação de polos; 
· Otimização Computacional.
Os critérios de projeto são:
· Erro em regime permanente: Nulo;
· Sobressinal: 5% <=MP<=12%.
A figura 2 representa o sistema a ser controlado e possui como função de transferência a equação 3.
 
Figura 1 – Diagrama de blocos do Controlador 
Fonte: Professor Samuel Lessinger
Figura 2 – Topologia do sistema 
Fonte: Professor Samuel Lessinger
 							( 3 )
1° método de Ziegler-Nichols
De acordo com [2] os métodos de sintonia de Ziegler-Nichols são baseados em formas supostas dos modelos do processo, mas os modelos não precisam ser precisamente conhecidos, tornando a abordagem da sintonia mais prática.
O método de sintonização de Ziegler-Nichols em malha aberta só pode ser aplicado a sistemas que não possuam nem integradores, nem polos complexos e conjugados. 
A curva característica da resposta ao degrau do sistema deve se assemelhar a uma curva em forma de “S”, tal como é apresentada na Figura 3. Caso a curva não tenha esta forma, então este método de sintonização não pode ser aplicado.
As curvas de resposta a degrau devem ser obtidas experimentalmente e são caracterizadas por um tempo de atraso L e uma constante de tempo T, tal como é apresentado na figura 1.
Figura 3 – Modelo para a Parametrização
Fonte: http://orion.ipt.pt/~anacris/ci_1/pdf/aula3.pdf
Tabela 1 – Sintonia de PID por Ziegler-Nichols em Malha aberta.
	Tipo de Controlador
	KP
	TI
	TD
	PID
	
	
	
Aplicação do Conceito
O estudo da resposta ao degrau do sistema em malha aberta possibilita a obtenção dos parâmetros que serão utilizados para a implementação do controlador.
Figura 4 – Resposta ao degrau do Sistema sem o Controlador PID.
Fonte: Elaborado pelo autor
Aplicando os conceitos do método de Ziegler-Nichols ao sistema da Figura 2, e analisando a resposta ao degrau em malha aberta, 
Figura 1, é possível obter os seguintes resultados para a tabela. Os parâmetros calculados são utilizados para completar a Tabela 2.
Tabela 2 – Sintonia de PID por Ziegler-Nichols Usando a Curva de Reação Aplicada ao Sistema em Análise.
	Tipo de Controlador
	KP
	TI
	TD
	PID
	2,4
	200
	0,0072
Figura 5 – Modelo de Simulação de um Controlador PID utilizando os parâmetros obtidos pelo método de Ziegler-Nichols em MA. (a) Sistema Completo com Ganhos. (b) Sistema a ser controlado.
(a)
(b)
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 6 – Resultados da Simulação com parâmetros de Ziegler-Nichols em MA.
Fonte: Elaborado pelo autor
É possível observar pela primeira iteração apresentada na
Figura 6 que o erro em regime permanente é zero, porém sobressinal está fora dos critérios estabelecidos.
A solução anterior não atende às especificações, portanto deve-se variar os parâmetros do controlador ate chegar a uma solução satisfatória, sendo que:
· KP influencia na velocidade de resposta;
· KD influencia diretamente no amortecimento;
· KI influencia no erro estacionário.
Para ficar dentro dos critérios de sobressinal é necessário apenas modificar a variável KP, que passa a ser 1,5, pois o mesmo influencia diretamente neste critério. O valor determinado foi obtido através de tentativas de simulação.
Figura 7 – Resultados da Simulação com parâmetros de Ziegler-Nichols em MA.modificação em KP.
Fonte: Elaborado pelo autor
A Figura 7 é o resultado final do controlador PID com o tuning em malha aberta de Ziegler-Nichols.
2° método de Ziegler-Nichols
Da mesma forma que o primeiro métdo de Ziegler-Nichols, o segundo método O método de sintonia de Ziegler-Nichols em malha fechada, permite que se use o ganho crítico (KCR) e o período crítico de oscilação (PCR), do sistema para calcular KP. Este método se limita a sistemas que não podem rodar em ambientes com malha aberta.
Figura 8 – Determinação dos Parâmetros do PID
Fonte: Dorf, R.C. (2011). Sistemas de Controle Moderno, 12ª ed. (LTC.).
A determinação de KCR se dá ao se encontrar o valor do ganho proporcional que faz com que o sistema oscile indefinidamente em regime permanente. Para isso se zera os ganhos Integral e Derivativo. O PCR, Figura 8, por sua vez é o tempo para se obter uma oscilação completa em regime permanente.
Os valores obtidos são aplicados a 
Tabela 3 para que se possa fazer o tuning do sistema.
Tabela 3 – Sintonia de PID por Ziegler-Nichols Método em Malha Fechada.
	Tipo de controlador
	KP
	TI
	TD
	
	
	
	
	
	
	
	
	PID
	
	
	
	
	
	
	
Aplicação do Conceito
A partir do denominador da função de transferência em malha fechada se aplica o método de Routh-Hurwitz para a determinação do K crítico.
Tabela 4 –Critério de Estabilidade Routh-Hurwitz para Kp Crítico.
	Critério de Estabilidade de
Routh-Hurwitz
	s2
	1
	31133,26+Kp
	s1
	432,52
	0
	s0
	31133,26+Kp
	 
	Kp>-31133,26
Através da 
Tabela 4 é possível observar que o sistema nunca será instável, sendo assim, este método não pode ser aplicado para o sistema em estudo.
Alocação de Polos
Para determinação dos parâmetros do controlador PID através da alocação de polos fazemos uso da Equação 4 como ponto de partida para se encontrar a posição dos polos em MF.
							( 4 )
 					( 5 )
				( 6 )
								( 7 )
								( 8 )
Aplicação do Conceito
Considerando o overshoot desejado como 9% e um tempo de subida , tem-se e A equação característica nestas condições é .
As raízes da equação ocorrem em .
			( 9 )
A partir das equações resultante é possível calcular os termos do controlador.
Tabela 5 –Parâmetros Calculados para o Controlador.
	Tipo de controlador
	KP
	TI
	TD
	
	
	
	
	
	
	
	
	PID
	
	
	
	
	
	
	
Figura 9 – Resposta do Sistema com Aplicação do Controlador PID com o uso dos Conceitos de Alocação de polos.
Fonte: Elaborado pelo autor
	É possível perceber pela 
Figura 1, que a aproximação calculada produziu um overshoot maior do que o especificado, cerca de 20%. O idealseria recalcular com valores diferentes de e .
Otimização Computacional
Quando existe um modelo de sistema ou se o sistema pode ser simulado, é possível procurar pelos parâmetros de um PID que satisfaçam os critérios de design do sistema.
Figura 10 – Sistema com Controlador após o auto Tuning.
Fonte: Adaptado de: Dorf, R.C. (2011). Sistemas de Controle Moderno, 12ª ed. (LTC.).
	Assumindo o sistema da Figura 13 como o PID que se deseja sintonizar, assim como o controlador de Ziegler-Nichols, este de controlador possui um polo na origem e um par de zeros duplos em -a. Esse tipo de configuração facilita a escolha dos parâmetros de sintonização.
Aplicação do Conceito
Para facilitar o estudo da otimização computacional o bloco PID do Matlab é utilizado como base para se gerar as respostas dos sistemas, bem como o script retirado de [2].
Figura 11 – Sistema sem controlador.
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 12 – Sistema com Controlador sem Tuning.
Fonte: Elaborado pelo autor
Simulação com o Bloco PID
Figura 13 – Sistema com Bloco de controle PID do Software Matlab.
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 14 – Sistema com Controlador após o auto Tuning.
Fonte: Elaborado pelo autor
O bloco PID presente no Matlab apresenta uma ferramenta de tuning, o que facilita a procura dos parâmetros desejados para o controlador. A Figura 14, mostra o sistema após o tuning através do Software Matlab. Após escolher o overshoot, que foi de aproximadamente 7% e o erro em regime permanente zero, os ganhos KP, KI e KD são então apresentados na tela inicial do bloco, Figura 15.
Figura 15 – Tela inicial do bloco PID com Ganhos após Tuning.
Fonte: Elaborado pelo autor
0. Simulação com o Script
O Script abaixo foi utilizado para gerar as simulações:
close all; clear all; clc;
K=[0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.09];
a=[100 200 300 400 500 1000];
t=0:0.01:5;
g=tf([14782.09],[1 432.52 31133.26]);
k=0;
for i=1:6;
 for j=1:6;
 gc=tf(K(i)*[1 2*a(j) a(j)^2], [1 0]);
 G=gc*g/(1+gc*g);
 y=step(G,t);
 m=max(y);
if m<1.10
k=k+1;
solution(k, :)=[K(i) a(j) m];
end 
end 
end
solution
sortsolution=sortrows(solution,3) 
K=sortsolution(k,1)
a=sortsolution(k,2)
gc=tf(K*[1 2*a a^2],[1 0]);
G=gc*g/(1+gc*g);
step(G,t)
grid
figure 
K=sortsolution(11,1)
a=sortsolution(11,2)
gc=tf (K* [1 2*a a^2], [1 0]);
G=gc*g/ (1+gc*g);
step(G,t)
grid
Figura 16 – Controlador PID por Otimização Computacional
Fonte: Elaborado pelo autor
A Figura 16 representa o sistema gerado pelo Script dentro de um range pré estabelecido de 0.01<K<0.09 e 100<a<1000, onde o overshoot é de aproximadamente 9,4% sendo que o máximo determinado foi de 10%.
									( 10 )
	A Equação 10 representa a equação do controlador otimizado computacionalmente. É possível encontrar outras soluções possíveis para o sistema, basta mudar o range de valores, como o tempo de subida não foi estipulado para o projeto a resposta é aceitável.
Configurações Anti-Windup
Ao ocorrer uma saturação no sinal de controle do sistema, ocorre um rompimento na malha de realimentação, fazendo com que o atuador não responda mais a saída do sistema, permanecendo em seu valor máximo ou mínimo.
Quando um controlador integral é utilizado o erro do sistema continua a ser integrado elevando assim o termo integral. Para corrigir o problema de saturação é necessário descarregar o termo integral. Quando o erro do sistema muda de sinal, por um período considerável, deve-se aplicar um erro de sinal oposto. Consequentemente a resposta transitória do sistema tende a ficar lenta e oscilatória.
Existem várias maneiras de se evitar o windup do sistema. Um dos métodos implica em adicionar uma malha extra de feedback ao sistema, sendo que esta malha mede a saída do atuador e gera um sinal de erro como a diferença entre a saída do controlador e do atuador. O sinal de erro é alimentado a entrada através de um ganho KT. O erro é zero quando não há saturação, ou seja, a malha extra não causa perturbações ao sistema. 
Quando o atuador se encontra em saturação o sinal de erro é realimentado ao integrador de maneira que o erro do sistema tende a zero. Este processo mantém o controlador sempre próximo do ponto de saturação. A saída do controlador muda quando o erro muda de sinal e o windup integral é evitado.
Figura 17 – Controlador PID com anti-windup
Fonte: Dorf, R.C. (2011). Sistemas de Controle Moderno, 12ª ed. (LTC.).
Controlador PI-D com uso do primeiro método de Ziegler-Nichols
Usando o método de Ziegler-Nichols os parâmetros da aproximação inicial do controlador PI-D serão os mesmos do PID, sendo assim, podemos partir para a simulação e comparação de valores.
Figura 18 – Controlador PI-D
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 19 – Resposta do Sistema com Controlador PI-D
Fonte: Elaborado pelo autor
É possível perceber pela resposta apresentada na Figura 19 que há pouca diferença no desempenho do sistema, o overshoot ficou em torno de 8,7% em ambas configuração, porém se deu em instantes de tempo diferentes de diferenças entre os controladores. No PI-D se evita conectar o derivador no sinal de referência para que a derivação se dê apenas sobre o sinal de retroação.
CONCLUSÃO
Existem várias maneiras de se configurar e atingir o tuning desejado para um controlador PID, o melhor método vai sempre depender do tipo de sistema que se deseja controlar e dos recursos disponíveis.
Para este trabalho o método mais simples de se utilizar foi Ziegler-Nichols, pois nos gera uma aproximação inicial e é fácil de fazer um ajuste finos nos parâmetros após as simulações.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Nise, N. (2012). Engenharia de Sistemas de Controle, 6ª ed. (LTC.).
Dorf, R.C. (2011). Sistemas de Controle Moderno, 12ª ed. (LTC.).
http://www.ece.ufrgs.br/~jmgomes/pid/Apostila/apostila/node31.html
https://www.cds.caltech.edu/