TRANSFORMADA_Z_E_SISTEMAS_DE_TEMPO_DISCR

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TRANSFORMADA Z E
SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
Prof.Dr.Emerson Giovani Carati
Prof.Dr.Emerson G Carati
Sinais contínuos e discretos no tempo
Aula anterior
2
[ ]x n
     
k
x n x k n k

    ( )x t x t d    
( )x t
t n
Prof.Dr.Emerson G Carati
Resposta ao impulso Resposta a uma entrada arbitrária
Prof.Dr.Emerson G Carati
3
T
( )t ( )h t    ( )x t x t d   

 
    ( ) Ty t x t d    
    Tx t d    
   ( )y t x h t d   
   ( )y t x t h t 
 ( ) T ( )h t t
 ( ) T ( )h t t    
Sistema LTI
 ( ) T ( )y t x t
Integral de convolução
Resposta de sistemas contínuos no tempo
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Resposta ao impulso Resposta a uma entrada arbitrária
    Th n n
4
    Ty n x n
     
k
x n x k n k

 
     T
k
y n x k n k

        T
k
x k n k

 
    Th n k n k  
     
k
y n x k h n k


 
     y n x n h n 
T
 n  h n
Sistema LTI
Soma de convolução
Resposta de sistemas discretos no tempo
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Resposta de sistemas discretos no tempo
5
 Exemplo 1:
 x n
   0x h n
   1 1x h n 
   2 2x h n 
   3 3x h n 
     3
0k
y n x k h n k

 
H
[ ]h n
[ ]x n [ ] ?y n 
[ ]n
 h n
+
   0x h n
   1 1x h n 
   2 2x h n 
   3 3x h n 
+
+
Resolução
 y n
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Resposta de sistemas discretos no tempo
6
 Exemplo 1:
 2a Resolução: 
k 0 1 2 3 4 y(n)=S x(k).h(n-k)
n x(k) 1 2 0,5 -1 0
0 x(k).h(-k) 1.1 2.0 0,5.0 -1.0 0.0 1
1 x(k).h(1-k) 1.1 2.1 0,5.0 -1.0 0.0 3
2 x(k).h(2-k) 1.1 2.1 0,5.1 -1.0 0.0 3,5
3 x(k).h(3-k) 1.0 2.1 0,5.1 -1.1 0.0 1,5
4 x(k).h(4-k) 1.0 2.0 0,5.1 -1.1 0.1 -0,5
5 x(k).h(5-k) 1.0 2.0 0,5.0 -1.1 0.1 -1
6 x(k).h(5-k) 1.0 2.0 0,5.0 -1.0 0.1 0
 h n x n
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Resposta de sistemas discretos no tempo
7
 Exercício 1: Determine a saída do sistema com resposta ao
impulso h[n] e para um sinal de entrada x[n] :
 A) cálculo/tabela de convolução
 B) análise gráfica por impulsos
 C) ferramenta computacional: construa
um script em Matlab para calcular
 y n
 h n  x n
1 1
Solução
     
k
y n x k h n k


 
H
[ ]h n
[ ]x n [ ]y n
[ ]n
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Resposta de sistemas discretos no tempo
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 Ex. 2: Considere um sistema que possui resposta ao impulso
h[n]=2-nT e o sinal de entrada é uma onda retangular (razão
cíclica 40%, D=0,4) com período 10s e amplitude 3,3V. 
 A) Determine a resposta (sinal de saída) do sistema para 3 
períodos do sinal de entrada considerando que o periodo de 
amostragem é T=0.2s. 
 B) Considere um ruído de 10% no sinal de entrada e repita o item 
anterior.
 C) Considere um sinal de entrada senoidal com mesmo período, 
amplitude e ruído dados acima.
 Utilize Matlab para desenvolver um script que
execute a convolução para estes casos
for n=1:N
for k=1:J
y(n)=y(n)+x(k)h(n-k)
end
end
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Resposta de sistemas discretos no tempo
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 Caso especial: Resposta ao degrau de um sistema
arbitrário
 Uma vez que quando
 Ex.: Mostre que
         
k k
y n u k h n k h k u n k
 
 
    
  0u n k  k n
   n
k
y n h k

 
     1h n y n y n   É possível se obtera resposta aoimpulso a partir
das diferenças da
resposta ao degrau
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Representação de sistemas de tempo discreto
 Equações de diferenças
 Similar a equações diferenciais de sist. contín. no tempo
 Forma recursiva para simulação (k+1, k, k-1, k-2, …)
 Função de transferência em tempo discreto
 Função complexa da resposta ao impulso
 Transformada Z  similar a Transformada de Laplace
 Espaço de estados
 Representação e análise no domínio tempo (k+1, k)
 Várias variáveis de entrada e saída
 Sistemas NLTV
10
       11 21 011 2y n a y n a y n b x n     
  TzX z z e 
   1 ( )X k AX k BU k     12
3
( )
( )
( )
x k
X k x k
x k
      
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Representação de sistemas de tempo discreto
 Equações de diferenças
 Similar a equações diferenciais de sist. contín. no tempo
11
Equação de diferenças para sistemas LTI de tempo discrete 
   
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
 
   
   
0 0
( ) ( )
N M
k k
k k
k k
a y t b x t
 
 
       0 1 2 01 2a y n a y n a y n b x n    
2 1 0 0''( ) '( ) ( ) ( )a y t a y t a y t b x t  
Coeficientes
constantes
Sistema contínuo no tempo
Sistema discreto no tempo
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Representação de sistemas de tempo discreto
 Equações de diferenças
 Ex.: sistema de segunda ordem
12
   
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
 
   
     
1 00 0
N M
k k
k k
a b
y n y n k x n k
a a 
     
       0 1 2 01 2a y n a y n a y n b x n    
       11 21 011 2y n a y n a y n b x n     
Forma recursiva
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Transformada Z: Autovalores
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 Considere uma variável complexa z e um sistema LTI de 
tempo discreto T . Assim, a resposta do sistema para 
uma entrada exponencial pode ser dada 
por:
onde  é chamado ‘autovalor’ de T associado a
ou
     =T [ ] T n ny n x n z z 
[ ] nx n z
       [ ] n k n k
k k k
y n h k x n k h k z h k z z
   
  
     
nz
      ( )n k k n n n
k k
y n h k z z h k z z H z z z  
 
       
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 Da representação de autovalores  pode-se escrever:
 Para uma entrada arbitrária x[n] pode ser definida a 
Transformada Z Bilateral como:
Transformada Z: Definição
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 ( ) k
k
H z h k z  

  
Transformada Z 
de h[n]
   [ ] ( ) k
k
Z x n X z x k z
 

  
onde z é a variável complexa
dada por jz r e  
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 Sequências comuns
 Degrau unitário: 
 
1 2 3
0
1 1 2 3 1
1 1 1
1
( ) [ ] 1
( ) 1 1 1 ( )
( ) ( ) 1 ( ) ( )
1
( )
1
k k
k k
X z u k z z z z z
X z z z z z z X z
X z z X z z X z z X z
X z
z
     
 
    
  

      
       
   
 
 
[ ] [ ]x n u n
1
1
( )
1 1
z z
X z
z z z
   
Transformada Z: exemplos
( ) [ ] k
k
X z u k z
 

 
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Transformada Z: Exercícios
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 Exercício 1: Encontre a transformada Z das seguintes
sequências
 A)
 B)
 C) 
 D)
 E)
 F) 
 G)
   nx n u n
   h n n
   r n n m 
     1 1
2 5n n
y n u n u n 
   cosg n nT
   v n x n m 
  [ ]nTw n e x n
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Transformada Z: Exercícios
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 Exercícios: [ ] [ ] ( ) [ ]n k
k
x n u k X z x k z
 

   
 
1 2 2 3 3
0
1 1 2 2 3 3 1
( ) [ ] 1
( ) 1 1 1 ( )
k k k k
k k
X z u k z z z z z
X z z z z z z X z
     
 
    
      
       
     
    
1
1
( ) ( ) 1
1
( ) ( )
1
X z z X z
z
X z X z
z z


 
   

 
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Transformada Z: Exercícios
 Exercícios:
   
 
   
0 0
1 1 1 1
0
1
1
[ ] [ ] [ ]
/ [ ] [ ] ( )
substituindo :
[ ] 0 [ ] 0
knT kT k T
k k
T nT k
k
T
nT T
Z e x n e x k z x k e z
p z e z Z e x n x k z X z
z e z
Z e x n X e z k x k
   
 
 



 
   

   
 

 
0
[ ] [ ] [ ] [ ]nT k
k
w n e x n Z w n w k z
 

   
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Transformada Z: Exercícios
 Exercicios:
 
1 2 3
1 1 1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 3
1 1 1 1 2 3
1 1 1
1
1
1 1 1
1 1
( ) 2 3
( ) 2 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1 ( )
( ) ( ) ( )
( ) 1( )
1 1
(
F z z z z
F z z z z z z z z z
F z z z F z z z z
F z z z F z z U z z z z U z
F z z F z z z U z
z
zz z U z zF z
z z
F
  
       
    
     
  
  
 
   
        
     
      
  
   
   
   
1 1 1 1 1
2 21 1 1
1 1
2 21 2 21
)
1 1 1
( )
1 2 2 1 11
z z z z z
z
z z z
z z z z
F z
z z z z zz
    
  
 
 
     
       
0
( ) ( ) ( ) k
k
f k k u k F z k z
 

    Exercicios:
0
1
( ) ( )f k k u k
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 
0 0
1 1
1 2 3 1 1 2 3
1
0
1 1
1 1 1 1
1 1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 1 1 1
( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1
1
( )
1 1
1
( )
1 1 1
k m k
k k
m
k
k
m m
m
m
f k u k u k m F z z z z
F z F z z F z
F z z z z z z z z z
F z z F z F z z F z
z
F z
z z
z z z z z
F z z
z z z z z
   
 

        

 

 

     
 
           
    
  
      
 

 1
Transformada Z: Exercícios
 Exercicios: ( ) ( ) ( )f k u k u k m  
m0
1
( ) ( ) ( )f k u k u k m  
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Transformada Z usuais
As transformadas Z de sinais 
mais utilizados f[n] F(z) 
podem ser facilmente calculadas 
e são geralmente apresentadas 
em tabelas:
…alguns pares adicionais de 
transformada Z : 
OGATA, Discrete Time Control 
Systems (pg 29-30)
21
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 Para análise de sistemas físicos, se considerarmos que 
o sistema é causal e que a entrada x[n] = 0 para n < 0
pode-se definir a Transformada Z Unilateral sendo
 “Se h[n] é a resposta ao impulso de um sistema de tempo discreto
H, então H(z) pode ser vista como a Função de Transferência em
Tempo Discreto do referido sistema”
Transformada Z: Função de Transferência
22
   
0
[ ] ( ) k
k
Z x n X z x k z
 

  
H(z)
[ ]h n[ ]n
[ ]x n [ ]y n
( )
( )
( )
Y z
H z
X z

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Aplicações da Transformada Z
 Aplicação: Calcular a saída do sistema dado pela resposta ao
impulso sabendo que o sinal de entrada é dado por
, utilizando o conceito de função de transferência em
tempo discreto: 
     y n x n h n 
  {1,2,0.5, 1}x n    {1,1,1}h n 
( )
( )
( )
Y z
H z
X z
 ( ) ( ) ( )Y z H z X z 
      
x n X z
h n H z

 ( ) ( ) ( )Y z H z X z
   1 ( )y n Z Y z   00 nn n z 
         2 1 0,5 2 3x n n n n n         
       1 2h n n n n      
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Aplicações da Transformada Z
24
 Exercícios: 
 Determine a saída dos sistemas dados pela resposta ao
impulso sabendo que o sinal de entrada é dado por
:
5
2
) [ ] [ ] [ 4] [ ] [ ]
j
a h n u n u n x n n j

    
 x n  h n
5
4 1
4
) [ ] [ ] [ ] [ ] [ 2 ]
k p
b h n r n k n k x n n p
p
 
 
     
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 Transformada de uma soma
 Multiplicação por uma exponencial
 Deslocamento no tempo 
Propriedades da Transformada Z
25
   [ ] 0 [ ] 0nT TZ e x n X e z k x k    
k  
   ( ) 0 [ ] 0mZ x n m z X z k x k    
       [ ] [ ] [ ] [ ] ( )Z x n y n Z x n Z y n X z Y z    
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 Deslocamento no tempo 
 Deslocamento no tempo 
Propriedades da Transformada Z
26
   1
0
( ) ( )
m
m m k
k
Z x k m z X z z x k z
 

    0 [ ] 0k x k  
k  
   ( ) 0 [ ] 0mZ x n m z X z k x k    
0
h k m
k
h m
 
  
  
k  
 
0 0
1
0 0 0
1
1
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (0) (1) ( 1)
k m k m
k k
m
k mm m h m k
k h h
m
m m k m m m
k
x k m z z x k m z
z x k m z z x h z z x h z
z X z z x k z z X z z x z x z x m
   
 
     
  
  

   
   
       
 
  

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 Determinação das condições iniciais diretamente a partir
da Transformada Z  Teorema do Valor Inicial (TVI)
 Determinação do valor de regime permanente
diretamente a partir da Transformada Z  Teorema do 
Valor Final (TVF)
Propriedades da Transformada Z
 [0] lim
z
x X z
    1
1
lim [ ] lim 1
k z
x k z X z  
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 Teorema do Valor Inicial (TVI)
 Se X(z) existe e também existe o seu limite quando z, 
então
 Prova:
Propriedades da Transformada Z
28
 [0] lim
z
x X z
1 2
0
( ) [ ] [0] [1] [2] ...k
k
X z x k z x x z x z
   

    
1 2lim ( ) [0] [1] [2] ... [0]
z
X z x x z x z x      
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 Teorema do Valor Inicial (TVI)
 Ex.:
 Considerando a Transformada Z e o TVI:
Propriedades da Transformada Z
29
 
1
1 1
[0] lim lim
1 1
lim lim 1
1 1 0
Tz z
T Tz z
z
x X z
z e
z z
z e z z e
 

    
  
     
0[0] 1Tx e  
  TzX z z e   1 ( ) [ ] nTZ X z x n e   
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       
0
[ ] [ 1] [0] [ 1] [1] [0] [2] [1] ... [ ] [ ]k
k
x k x k z x x x x x x x x
 

             
 Teorema do Valor Final (TVF)
 Se todos os polos de X(z) estão dentro de um círculo de raio
unitário , então
 Prova:
Propriedades da Transformada Z
30
    1
1
lim [ ] lim 1
k z
x k z X z  
 
   
1 1
0 0
1 z ( ) ( ) z ( )
[ ] [ 1] [ ] [ 1]k k
k k
X z X z X z
Z x k Z x k x k z x k z
 
  
 
   
      
      1
1 1
0
lim 1 lim [ ] [ 1] k
z z
k
z X z x k x k z
 
  
   
Prof.Dr.Emerson G Carati
 Teorema do Valor Final (TVF)
 Ex.:
 Considerando a Transformada Z de x[n] e o TVF:
Propriedades da Transformada Z
31
[ ] [ ] 0nTx n e x e     
      1 1
1 1
1
[ ] lim 1 lim 1
1 0
lim 0
1
Tz z
T Tz
z
x z X z z
z e
z
z e e
 
 
 
        
      
  TzX z z e 
  TzX z z e   1 ( ) [ ] nTZ X z x n e   