Folha resumo auxilio em prova sistemas lineares

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Polos complexos cont́ınuos
P = α± βj → eαtcos(βt + θ)
Polos complexos Discretos
P = re±jw → r[cos(wt)± jsen(w)]
Realimentação de estados
u = −Kx + r{
ẋ = (A− BK)x + Br
y = (C −DK)x +Dr
Sendo F (s) = (s − λ1)(s − λ2) os polos desejados,
devemos aplicas um dos métodos abaixo.
1)Método direto de alocar pólo
∆(λ) = det(A− BK − sI) = F (s)
2)Formula de Ackermann
k = [0 0 0 . . . 0 1][B AB . . . An−1B]−1∆mf (A)
∆mf (S) = F (s) = S
2 − (λ1 + λ2)S + λ1λ2
∆mf (A) = A
2 − (λ1 + λ2)A + λ1λ2I
3)Forma Canônica Controlável
Q = C · T
T =

a1 a2 a3 . . . an−1 1
a2 a3 a4 . . . 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an−1 0 0 . . . 0 0
1 0 0 . . . 0 0

sendo os termos obtidos do polinômio caracteŕıstico.
Exemplo A uma matriz 2x2
∆(SI − A) = S4 + a3S3 + a2S2 + a1S + a0
A = Q−1AQ
B = Q−1B
C = CQ
u = −Kx + r = −K x + r
K = KQ
Com as transformações acima obtemos A na Forma
Canônica Controlável
Para determinar Determinar K, fazemos A− B K
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−α0 −K0 −α1 −K1 −α2 −K2 −α3 −K3

o polinômio caracteŕıstico é dado por
∆(SI− (A−B K)) = λ4 +(α3 +k3)λ3 +(α2 +k2)λ2 +
(α1 + k1)λ + α0 + k0
Sendo ∆(SI − (A− BK)) = F (s)
K = KQ−1
Realimentação de Estados - Rastreamento
Trata-se do problema servo, fazem y(t) = r(t)
Calcular o K Conforme a teoria anterior A B
C 0

 xeq
ueq
 =
 0
r

Resolvendo o sistema acima, descobrirá os valores para
xeq e ueq . Substituindo na equação abaixo, será
posśıvel determinar o ganho para r.
u = −Kx + ueq +Kxeq
Erro no regime estacionário
e(t) = r(t)− y(t)
ess = lim
t→∞
e(t) = lim
s→0
sE(s)
No estado estacionário, ẋ(t) = 0.
Erro em malha fechada
ess = lim
s→0
sE(s) = s[R(s)− Y (s)]
Y (s) =
C(s)G(s)
1 + C(s)G(s)
R(S)
ess = lim
s→0
sE(s) = s
[
1−
C(s)G(s)
1 + C(s)G(s)
]
R(s)
Controle por Alocação de Polos
A(s)D(s) + B(s)N(s) = F (s)
G(s) =
N(s)
D(s)
C(s) =
B(s)
A(s)
Gmf (s) =
C(s)G(s)
1 + C(s)G(s)
=
N(s)B(s)
A(s)D(s) + B(s)N(s)
G(s): Planta
C(s): Controlador
n: grau do ∆(G)
m: grau do ∆(C)
n+m: grau do ∆(F )
m = n− 1 Solução única
m > n− 1 Diversão soluções
m < n− 1 controlador não realizável.
Dois polinômio são coprimos se não possuem ráızes
iguais.
G(s) Próprio quando D(s) ≥ N(s); g(∞) = 0 ou C
G(s) Stric proper quando D(s) > N(s); |g(∞) = 0
G(s) bipróprio quando D(s) = N(s); g(∞) = C
G(s) impróprio quando D(s) < N(s); |g(∞)| =∞
Modelo Interno
A(s)Φ(s)D(s) + B(s)N(s) = F (s)
onde Φ(s) deve conter a parte ”bibo instável”do
denominador de W (s) e R(s)
Neste caso o grau da planta percebida pelo controlador
será Φ(s)D(s) onde G(s) =
N(s)
D(s)
O ganho na referência para zerar o erro de degrau é
dada por:
p =
F0
B0N0
Realimentação de Estados - Rastreamento com
integrador - Seguimento robusto de referência
u = −Kx +KI
∫
e(τ)dτ{
ẋ = Ax + Bu
v̇ = r − Cx
Sistema aumentado ẋ
v̇
 =
 A 0
−C 0

 x
v
+
 B
0
u+
 0
1
 r
Sistema aumentado em malha fechada
u = −Kx +KIv
u = − [ K −KI ]
[ x
v
]
y = [ C 0 ]
[ x
v
]
 ẋ
v̇
 =
 A− BK BKI
−C 0

 x
v
 +
 0
1
 r
A =
 A 0
−C 0

B =
 B
0

K = − [ K −KI ]
Para determinar o valor de K, usar A−B K nas técnicas
de realimentação de estados
Observador de Estados
Definimos o erro de observação como: e(t) = x(t)− x̂(t)
ẋ− ˙̂x = Ax− Ax̂ + Bu− Bu
y − ŷ = Cx− Cx̂
ė = Ae
Apenas é posśıvel alocar autovalores SSE, par(C,A) é
observável.
Podemos determinar o ganho L para o estimador
fazendo Aᵀ − CᵀLᵀ e usando as mesmas técnicas para
realimentação de estados A− BK.
Forma Companheira
A
ᵀ
= Q−1AᵀQ
B
ᵀ
= BᵀQ
C
ᵀ
= Q−1Cᵀ
Resolver A−LC comparando com o polinômio desejado
F(s) para achar os valores de L
Lᵀ = L
ᵀ
Q−1
Controle Por Observador de Estado ẋ
ė
 =
 A− BK BK
0 A− LC

 x
e
+
 B
0
 r
y =
[
C 0
]  x
e

Espaço de Estado Discreto{
x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k]
y[k] = Cx[k] +Du[k]
y(k) = C ·Akx(0) +C
(∑k−1
i=0 A
k−i−1Bu(i)
)
+Du(k)
Y (z) = Cz(zI−A)−1x(0) +C(zI−A)−1B ·U(z) +D ·
U(z)
Espaço de Estado Cont́ınuo{
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) +Du(t)
y(t) = CeAtx(0) + C
(∫ t
0 A
t−τBu(τ)dτ
)
+Du(t)
Y (s) = C(sI−A)−1x(0)+C(sI−A)−1B·U(s)+D·U(s)
G(s) = Y (s)/U(s) = C(sI − A)−1B +D
Realização e Realização Mı́nima
Realização é qualquer espaço de estado que represente
a função de transferência. Exemplo Forma Canônica
Controlável ou Observável.
Realização Mı́nima é a representação com o menor
grau posśıvel de variáveis de estados. Neste caso
representação sempre é controlável e observável.
Transformada de Laplace
X(s) =
∫∞
0 e
−stx(t) dt
f(t) L{f(t)}
1 1
s
δ(t) 1
e−at 1
s+a
t 1
s2
te−at s
(s+a)2
tn n!
sn+1
sen(at) a
s2+a2
cos(at) s
s2+a2
tsen(at) 2as
(s2+a2)2
tcos(at) s
2−a2
(s2+a2)2
e−ktsen(at) a
(s+k)2+a2
e−ktcos(at) s+k
(s+k)2+a2
1
Propriedades de Laplace
L{f(t)} F (s)
L{αf(t) + βf(t)} αF (S) + βF (S)
L
{
eatf(t)
}
F (s− a)
L
{
f ′(t)
}
sF (s)− f(0)
L
{
f ′′(t)
}
s2F (s)− sf(0)− f ′(0)
L
{∫ t
0 f(τ)dτ
}
1
s
F (s)
L{tf(t)} − d
ds
F (s)
L{f(t− a)} easF (s)
L
{∫ t
0 f(t− τ)g(τ) dτ
}
F (s)G(s)
Transformada de Z
X(z) =
∑∞
n=−∞ x[n]z
−n
z = rejθ A transformada discreta de Fourier é a trans-
formada Z calculada sobre o ćırculo unitário (|z| = r =
1)
f [n] Z {f [n]}
u[n] ou 1 z
z−1
δ[n] 1
n z
(z−1)2
an z
z−a
e−an z
z−e−a
nan az
(z−a)2
n2an
az(z+a)
(z−a)3
(n + 1)an z
2
(z−a)2
sen[an]
zsen(a)
z2−2z cos(a)+1
cos[an]
z(z−cos(a))
z2−2z cos(a)+1
Teorema do Valor Final
limt→∞ x(t) = lims→0 sX(s)
Teorema do Valor Inicial
limt→0 x(t) = lims→∞ sX(s)
Propriedades de Z
Z {f [n]} F (z)
Z {αf [n] + βf [n]} αF (z) + βF (z)
Z {f [n−m]} z−mF (z)
Z {f [n + 1]} zF (z)− zf [0]
Z {f [n + 2]} z2F (z)− z2f [0]− zf [1]
Z {anf [n]} F ( z
a
)
Z {f [n]− f [n− 1]} (1− z−1)F (z)
Z {nf [n]} −z dF (z)
dz
Z {f [−n]} F ( 1
z
)
Z {f1[n] ∗ f2[n]} F1(z)F2(z)
Teorema do Valor Final
limk→∞ x[k] = limz→1(z − 1)X(z)
Teorema do Valor Inicial
limk→0 x[k] = limz→∞X(z)
Sistemas Elétricos
Indutor
il =
1
L
∫
vl dt
vl = L
dil
dt
Capacitor
ic = c
dvc
dt
vc = 1c
∫
ic dt
Sistemas Mecânicos
f = mẍ → Massa
f = bẋ → Atrito
f = kx → mola
∑
f(x) = −kx − bẋ + fe∑
f(x) = mẍ
Laplace do sistema mecânico
m(s2X(s)−sx(0)−ẋ(0)) = −kX(s)−b(sX(s)−x(0))+
Fe(s)
Considerado o sistema relaxado X(s) =
Fe(s)
ms2+bs+k
Álgebra Linear
Seja An×n matriz quadrada de tamanho n. Caso o
rank(A) = n, A é composta somente por linhas L.I.
HP 48G+
Posto: MTH → MATR→ NORM → NXT →
RANK
Autovalores: MTH → MATR → NXT →
EGV L
Autovalores e Autovetores: MTH → MATR →
NXT → EGV
Ráızes de um polinômio: LSH → SOLVE →
POLY → PROOTS
Números Complexos:
Retangular: a + jb = (a, b)
Polar: a + jb =
(√
a2 + b2, arctag( b
a
)
)
= (r, θ)
Norma: MTH → NXT → CMPL→ ABS
Argumento: CMPL→ ARG
Autovalores e Autovetores Próprios
Os autovalores de uma matriz podem ser obtidos
fazendo det(A− λI) = 0
Seus autovetores podem ser obtidos fazendo
(A − λiI)v = 0 sendo i os autovalores obtidos
anteriormente.
Obs. A matriz V formada dos autovetores
sempre deve ser ter posto completo.
Autovalores e Autovetores Generalizados
Sendo N o espaço nulo, este é calculado como
N (A) = size(A)− rank(A).
N (A − λkI) é igual ao número de autovetores L.I.
associados a λk.
N (A − λkI) também é igual quantidade de blocos de
Jordan associada ao autovalor λk.
O tamanho máximo da cadeia associada ao autovalor
λk é determinada por:
rank
(
(A− λkI)i
)
= size(A)−mλk
mλk
→ Multiplicidade do autovalor λk
i → tamanho máximo da cadeia. Devemos tentar
valores de i até o momento que a igualdade seja
verdadeira.
Sabendo o tamanho i, o tamanho máximo da cadeia,
devemos fazer:
(A− λ1)v1 = 0
(A− λ1)
2
v2 = 0
(A− λ1)
3
v3 = 0
.
.
.
(A− λ1)
i
vi = 0
(A− λ1)
i−1
vi 6= 0
Exemplo
Considere uma matriz An×n com um autovalor λ de
multiplicidade mλ = n, neste caso A tem apenas um
autovalor distinto.
Suponha que rank(A−λI) = n− 1. Sua nulidade(N )
é determinada por:
N (A− λI) = size(A)− rank(A− λI).
N (A− λI) = n− (n− 1) = 1.
Neste caso A tem apenas 1 autovetor associado a λ e
consequentemente 1 bloco de Jordan. Para formar um
espaço V completo, é necessário mais n− 1 autovetores
linearmente independentes.
Propriedades da Matriz de Jordan
Nilopotência Considera que o bloco de Jordan para o
autovalor λk seja de tamanho M .
(J − λkI)
i
= 0, ∀ i ≥ m
J =
 λ1 1 0 00 λ1 1 0
0 0 λ1 1
0 0 0 λ1

J Continua
eJt =

eλ1t teλ1t t
2
2!
eλ1t t
3
3!
eλ1t
0 eλ1t teλ1t t
2
2!
eλ1t
0 0 eλ1t teλ1t
0 0 0 eλ1t

eAt = V eJtV−1
J Discreta
Jk =

λk1 kλ
k
1
k(k−1)
2!
λk1
k(k−1)(k−2)
3!
λk1
0 λk1 kλ
k
1
k(k−1)
2!
λk1
0 0 λk1 kλ
k
1
0 0 0 λk1

Ak = V JkV−1
Propriedades da Matriz eAt
eAt = I + tA + t
2
2!
A2 + t
3
3!
A3 + . . .
eAte−At = I
(eAt)−1 = e−At
e(A+B)t 6= eAteBt. A igualdade apenas preserva caso
A e B comutam, ou seja AB = BA.
d
dt
eAt = AeAt = eAtA
L
{
eAt
}
= (sI − A)−1
L
{
d
dt
eAt
}
= sL
{
eAt
}
− eAt|t=0
Z
{
Ak
}
= z(zI − A)−1
Transformação por similariedade
Seja V uma matriz formada por todos os autovetores
próprios correspondentes ao autovalores λ1, λ2, . . . , λn.
Então temos que A = V−1 · A · V :
A =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . λn

B = V−1 · B
C = C · V
Inversão de matriz 2x2
A =
[
a b
c d
]
A−1 = 1
det(A)
[
d −b
−c a
]
Inversão de matriz 3x3
A =
[
a b c
d e f
g h i
]
A−1 = 1|A|C
ᵀ
Sendo C a matriz de cofatores e Cᵀ a matriz adjunta
Cᵀ =

+
∣∣∣ e fh i ∣∣∣ − ∣∣∣ b ch i ∣∣∣ + ∣∣∣ b ce f ∣∣∣
−
∣∣∣d fg i ∣∣∣ + ∣∣∣a cg i ∣∣∣ − ∣∣∣a cd f ∣∣∣
+
∣∣∣d eg h ∣∣∣ − ∣∣∣a bg h ∣∣∣ + ∣∣∣a bd e ∣∣∣

Forma Modal - Complexa
Seja A uma matriz quadrada com seguinte par com-
plexo de polos, λ = α± jβ
A matriz de transformação por similariedade V, neste
caso é dada por: V = [ Real(V1) Imag(V1) ]
Sabendo que V2 = V
∗
1 os autovetores associados a A.
A = V−1AV
Obtendo A =
[
α β
−β α
]
para sistemas maiores
V = [ Real(V1) Imag(V1) V3 . . . Vn ]
V deve possuir posto completo.
Forma Companheira Observável
Neste caso a representação possui posto(O) completo
(Observável) nem sempre possui posto(C) completo
(Controlável).
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
b3s
3 + b2s
2 + b1s + b0
s4 + α3s3 + α2s2 + α1s + α0
+ bn
A =

−α3 1 0 0
−α2 0 1 0
−α1 0 0 1
−α0 0 0 0

B =

b3
b2
b1
b0

C = [ 1 0 0 0 ]
D = Bn = lim
s→0
G(s)
2
Forma Companheira Controlável
Neste caso a representação possui posto(C) completo
(controlável) nem sempre possui posto(O) completo
(observável).
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
b3s
3 + b2s
2 + b1s + b0
s4 + α3s3 + α2s2 + α1s + α0
+ bn
∆(SI−A) = ∆(SI−A) = λ4+α3λ3+α2λ2+α1λ+α0
A =

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−α0 −α1 −α2 −α3

C = [ b0 b1 b2 b3 ]
B =

0
0
0
1

D = bn = lim
s→0
G(s)
A =

−α0 −α1 −α2 −α3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0

Lyapunov
Caso A tenha a parte Real de todos os seus autovalores
negativos, diferente de zero, (A é assintoticamente
estável) podemo afirmar que M é definida positiva
quando N = Nᵀ � 0.
Lyapunov Caso Cont́ınuo
AᵀM +MA = −N
Lyapunov Caso Discreto
M − AᵀMA = N
Verificar se M é Definida Positiva
1) Todos os autovalores de M são positivos.
2)Todas as matrizes ĺıderes possuem determinantes
positivos. Seja N igual a: M =
[
a b c
d e f
g h i
]
Pegando as submatrizes formada pela diagonal principal
M1 = [ a ]
N2 =
[
a b
d e
]
M será definida positiva se:
det(M) > 0
det(M1) > 0
det(M2) > 0
Controlabilidade par(A,B)
C = [ B AB A2B . . . An−2B An−1B ]
onde n = size(A).
Podemos dizer que todos os autovetores são controláveis
quando rank(C) = size(C)
Cont́ınuo
Discreto
O sistema é controlável se ∀x[0] = x0 e ∀xf , ∃u[k] com
k = 0, 1, 2, . . . , n− 1 tal que x[n] = xf .
Decomposição Canônica
P = [ p1 p2 . . . pnc pnc+1 . . . pn ]
sendo p1, p2, . . . , pnc colunas L.I. de C e
pnc+1, . . . , pn são escolhidas de forma que P seja
inverśıvel.
A = P−1AP
B = P−1B
C = CP
Cuja nova representação será:[
ẋc
ẋnc
]
=
[
Ac A12
0 Anc
] [ xc
xnc
]
+
[
Bc
0
]
u
y = [ Cc Cnc ]
[ xc
xnc
]
+Du
Observabilidade par(C,A)
O =

C
CA
CA2
.
.
.
CAn−2
CAn−1

onde n = size(A).
Podemos dizer que todos os autovetores são observáveis
quando rank(O) = size(O)
Decomposição Canônica
Q =

q1q2
.
.
.qnoqno+1
.
.
.qn

sendo q1, q2, . . . , qno colunas L.I. de O e qno+1, . . . , qn
são escolhidas de forma que Q seja inverśıvel.
FAZENDO P = Q−1
A = P−1AP
B = P−1B
C = CP
Cuja nova representação será:[
ẋo
ẋno
]
=
[
Ao 0
A21 Ano
] [ xo
xno
]
+
[
Bo
Bno
]
u
y = [ Co 0 ]
[ xo
xno
]
+Du
Estabilidade
BIBO Bounded-Input-Bounded-Output
Cont́ınuo: Todos os polos tem parte real negativa λ <
0.(pg 125)
Discreto: Todos os polos são ||λ|| < 1. (pg 129)
||λ|| → Norma de λ. Considere λ = α + jβ, sua norma
é
√
α2 + β2.
Estabilidade Interna - Cont́ınua
Trata-se da avaliação de estabilidade de x(t) = eAtx(0)
Marginalmente estável: A equação ẋ = Ax tem todos
autovalores Real(λ) ≤ 0 e autovalores igual a 0 estão
associados a blocos de Jordan de tamanho 1. Caso o
bloco seja maior, o sistema é instável.
Assintoticamente estável: A equação ẋ = Ax tem todos
autovalores Real(λ) < 0
Estabilidade Interna - Discreta
Trata-se da avaliação de estabilidade de x[k] = Akx[0]
Marginalmente estável: A equação x[k + 1] = Ax[k]
com tem todos autovalores ||λ|| ≤ 1 e autovalores igual
a 1 estão associados a blocos de Jordan de tamanho 1.
Caso o bloco seja maior, o sistema é instável.
Assintoticamente estável: A equação x[k + 1] = Ax[k]
tem todos autovalores ||λ|| < 1
Uma resposta é assintoticamente estável se para uma
excitação inicial finita gerar uma resposta limitada, no
qual, tende para 0 quando t→∞.
Formulas de Euler
cos(x) = e
jx+e−jx
2
sen(x) = e
jx−e−jx
2j
ejx = cos(x) + j sen(x)
Frações Parciais - Cont́ınuo
Y (s) = s
2+2s+1
s(s−λ)2
Y (s) = a
s
+
b0
(s−λ)2
+
b1
s−λ
a = Y (s) ∗ s|s=0
b0 = Y (s) ∗ (s− λ)2
∣∣∣
s=λ
b1 =
d
ds
(
Y (s) ∗ (s− λ)2
)∣∣∣
s=λ
Generalizando
bi =
1
i!
di
dsi
(Y (s) ∗ (s− λ)n)
∣∣∣∣
s=λ
Frações Parciais - Cont́ınuo Polos Complexos
Y (s) = k
(s−λ)(s2+w2)
Y (s) = a
s−λ +
b
s+j
√
w
+ c
s−j
√
w
a = Y (s) ∗ (s− λ)|s=λ
b = Y (s) ∗ (s + j
√
w)
∣∣
s=−j
√
w
c= conjugado(b)
a + jb→
√
a2 + b2ejθ , θ = arctg( b
a
)
Obs. arctg(−b
a
) 6= arctg( b−a )
Frações Parciais - Discreto
Y (z) = z
2+z+1
z(z−λ)2
Y (z)
z
= a
z
+
b0
(z−λ)2
+
b1
z−λ
a =
Y (z)
z
z
∣∣∣
z=0
b0 =
Y (z)
z
∗ (z − λ)2
∣∣∣
z=λ
b1 =
d
dz
(
Y (z)
z
∗ (z − λ)2)
)∣∣∣
z=λ
Generalizando
bi =
1
i!
di
dsi
(Y (z) ∗ (z − λ)n)
∣∣∣∣
z=λ
Frações Parciais - Discreto Frações complexas
b0 = b1∗ Conjugado
y[k] = b0λ
k + b1λ
k
y[k] = 2Re{b0λk}
Sistema Dual{
ẇ(t) = Aᵀw(t) + Cᵀv(t)
z(t) = Bᵀw(t) +Dᵀv(t)
3
Teorema de Cayley-Hamilton
Seja ∆(λ) = det(A − λI) o polinômio caracteŕıstico da
matriz A.
∆(λ) = λn + an−1λ
n−1 + · · · + a1λ + a0
∆(A) = α0I + α1A + · · · + αn−1An−1 + An = 0
An = −α0I − α1A− · · · − αn−1An−1
Qualquer polinômio de grau ≥ n pode ser representado
por um polinômio de grau n− 1.
Seja f(λi) = e
λit uma função definida em todos os au-
tovalores de A, e g(λi) = α0 +α1λi+ · · ·+αn−1λ
n−1
i
sendo n = size(A).
Fazendo:
f(λi) = g(λi)
f ′(λi) = g
′(λi)
f ′′(λi) = g
′′(λi)
.
.
.
fmi−1(λi) = g
mi−1(λi)
sendo λi os autovalores de A e mi a multiplicidade de
λi. Neste caso podemos assumir que f(λ) = g(λ)
Script para solução
1. n = size(A)
2. eig(A) = λ1, λ2, . . . , λn
3. Multiplicidade mi de cada λi
4. f(λi) = e
λi
5. g(λi) = β0 + β1λ + · · · + βn−1λn−1
6.

f(λi) = g(λi)
f ′(λi) = g
′(λi)
f ′′(λi) = g
′′(λi)
.
.
.
fmi−1(λi) = g
mi−1(λi)
7. Repetir o processo anterior para um autovalor
diferente.
8. Finalizado o procedimento 6 para todos os au-
tovalores, determinar os valores dos βi,i =
1, 2, . . . , n.
9. Substituir os valores dos βi na equação e
At =
β0I + β1A + · · · + βn− 1An−1
10. Calcular eAt
Derivadas
y = xn → y′ = n xn−1x′
y = ex → y′ = exx′
y = ax → y′ = ax(ln a)x′, (a > 0, a 6= 1)
y = xv → y′ = x′v + xv′
y = x
v
→ y′ = x
′v−xv′
v2
y = cos(x)→ y′ = −x′sen(x)
y = sen(x)→ y′ = x′cos(x)
Integrais∫
a dx→ ax + c∫
xn dx→ 1
n+1
xn+1 + c∫
ex dx→ ex + c∫
ax dx→ a
x
(ln a)
+ c, (a > 0, a 6= 1)∫ dx
x
dx→ ln|x| + c∫
cos(x) dx→ sen(x) + c∫
sen(x) dx→ −cos(x) + c
Dicas
(a + bj)(a− bj) = a2 + b2
Função Diafontina
A(s)D(s) + B(s)N(s) = F (s)
[ A0 B0 A1 B1 A2 B2 ]

D0 D1 D2 D3 0 0
N0 N1 N2 N3 0 0
0 D0 D1 D2 D3 0
0 N0 N1 N2 N3 0
0 0 D0 D1 D2 D3
0 0 N0 N1 N2 N3
 = [ F0 F1 F3 F4 F5 ]
4