Sistemas Lineares Prova 3

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Engenharia de Computação e Automação
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica
EGM0002 - Sistemas Lineares
Prof. Carlos Eduardo Trabuco Dórea
Semestre 2017.1 - Terceira Avaliação - 20/06/2017
1. (Valor: 3,0 pontos) Considere um sistema linear invariante no tempo, cuja
função de transferência é dada por:
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
(s+ 1)
(s− 1)(s+ 4)
.
(a) (1,5 ponto) Obter uma realização de G(s) que seja controlável e observável.
(b) (1,5 ponto) Usando a realização obtida no item (a), projetar uma rea-
limentação de estado u(t) = −Kx(t) + r(t) de modo que a função de
transferência em malha fechada seja:
Gmf (s) =
Y (s)
R(s)
=
1
(s+ 4)
.
2. (Valor: 3,5 pontos) Considere um sistema linear de primeira ordem representado
por:
ẋ(t) = x(t) + 0, 5u(t),
y(t) = x(t)
e a seguinte realimentação de estado: u(t) = −Kx(t) + pr(t), sendo r(t) o sinal
de referência que se quer seguir.
(a) (1,5 ponto) Calcule K e p de modo que:
• O polo de malha fechada seja igual a −2;
• Quando o sinal de referência for constante, o erro de rastreamento seja
nulo.
(b) (2,0 pontos) Considere agora o esquema de rastreamento robusto, no qual
u(t) = −Kx(t)+KIv(t), sendo v(t) =
∫
e(t)dt =
∫
(r(t) − y(t))dt. Calcule
K e KI de modo que os polos do sistema em malha fechada sejam todos
iguais a −2.
3. (Valor: 3,5 pontos) Considere o seguinte sistema de controle com realimentação
unitária:
+ +
+
_
r(t) y(t)
w(t)
C(s) G(s)
Figura 1: Sistema de controle a realimentação unitária
(a) (2,0 pontos) Considerando G(s) =
0, 5
s− 1
, calcule um controlador C(s) com
a menor ordem posśıvel de modo que:
• Se o sinal de referência r(t) for do tipo degrau (r(t) = M , t ≥ 0, M
constante, R(s) =
M
s
), a sáıda y(t) deve rastreá-lo sem erro de regime
permanente, de forma robusta;
• Se a perturbação w(t) for do tipo degrau, sua influência na sáıda deve
ser anulada no regime permanente;
• Todos os polos do sistema em malha fechada sejam iguais a −2.
(b) (1,5 ponto) Compare o sistema de controle obtido no item anterior com
aquele obtido no item b) da Questão 2. Quais são as semelhanças e dife-
renças ? Suas respostas forçadas (com estado inicial nulo) para um sinal
de referência r(t) qualquer são idênticas ? Justifique sua resposta.
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