1a_Lista_de_Eletromagnetismo_I

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1ª Lista de Eletromagnetismo I 
 
1) Um disco, de espessura desprezível e raio R , encontra-se uniformemente eletrizado com densidade su-
perficial de carga 2ra=σ , sendo Rr <<0 e a uma constante. Pede-se determinar: a) a carga total da 
distribuição; b) a densidade média de cargas. 
2) Uma distribuição superficial semicircular de carga, de raio R , possui densidade superficial e de carga 
2rk=σ , onde k é uma constante expressa em unidades do S. I. e Rr <<0 . Pede-se determinar: a) a 
carga elétrica superficial dessa distribuição; b) a intensidade do vetor campo elétrico no ponto O . 
3) Seja uma semi-circunferência de raio R , uniformemente eletrizada com densidade linear de carga 
θλ senk= , onde k é uma constante e θ representa o ângulo contado a partir da origem em coordena-
das polares planas. Determine o potencial eletrostático no centro O . 
4) A densidade de carga no interior de uma superfície esférica hipotética de raio R é dada pela expressão 
rbar +=)(ρ , onde as constantes a e b possuem unidades compatíveis com as unidades do S. I. e 
Rr <<0 . Pede-se determinar: a) a carga elétrica total confinada no interior da superfície esférica; b) a 
densidade elétrica volumétrica média dessa esfera, nessas condições. 
5) Cargas elétricas positivas estão distribuídas uniformemente, com uma densidade superficial de carga 
σ , sobre uma superfície plana não-condutora muito larga e muito fina (é o que se denomina plano infi-
nito de carga). Determine o módulo campo elétrico nos pontos próximos do plano. (sugestão: utilize a 
Lei de Gauss!). 
6) Um dipolo elétrico é constituído por uma carga positiva q e uma carga negativa q− , separadas pela 
distância a2 . Determine o campo elétrico resultante dessas cargas, sobre o eixo y , no ponto P que está 
à distância y da origem. O que acontece com a intensidade desse campo elétrico se admitirmos que 
ay >> ? 
7) Determine o campo elétrico a uma distância z acima do ponto médio do segmento de reta de compri-
mento L2 , que carrega uma densidade linear uniforme de carga λ . Escreva expressões para o módulo 
do campo elétrico para Lz >> e para ∞→L . 
8) Determine o campo elétrico a uma distância z acima do centro do circuito quadrado de lado a , que 
carrega uma densidade linear uniforme de carga λ , conforme mostrado na Figura 1. 
9) Determine o campo elétrico a uma distância z acima do centro do circuito circular de raio a , que car-
rega uma densidade linear uniforme de carga λ , conforme mostrado na Figura 2. 
10) Determine o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R , como 
mostrado na Figura 3 que carrega uma densidade superficial uniforme de carga σ . Trate os casos Rz < 
(dentro da esfera) e Rz > (fora da esfera) e expresse sua resposta em termos da carga total da esfera. 
11) Um cilindro circular reto, de raio R e altura L , está orientado ao longo do eixo z . Sabendo que ele 
possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme zz βρρ += 0)( , onde 0ρ e β são constantes, 
em relação a uma origem no centro do cilindro, pede-se determinar a força sobre uma carga pontual q 
na origem. 
12) Utilize a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico dentro de uma esfera de raio R , que carrega 
uma densidade volumétrica de carga rkr =)(ρ , onde k é uma constante e r representa a distância 
desde a origem. 
13) Suponha que um determinado campo elétrico, em alguma região do espaço, é dado por rrkE ˆ3=
r
 (em 
coordenadas esféricas), onde k é uma constante. Pede-se determinar: a) a densidade volumétrica de 
carga correspondente; b) a carga total contida em uma esfera de raio R centrada na origem. 
14) Utilize a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico dentro e fora de uma camada esférica de raio 
R , que carrega uma densidade superficial uniforme de carga σ . 
15) Utilize a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico dentro de uma esfera de raio R , que carrega 
uma densidade volumétrica uniforme de carga ρ . 
16) Dado o campo elétrico ]ˆ2ˆ)2(ˆ[),,( 22 kzyjzyxiykzyxE +++=
r
, pede-se determinar o potencial elé-
trico correspondente, utilizando a origem como ponto de referência, ou seja, 0)0,0,0( =ϕ . (Obs: você 
deve especificar um caminho para efetuar a integral de linha !!!). 
17) Determine o potencial elétrico dentro e fora de uma esfera de raio R , cuja carga total é q . Use o infini-
to como ponto de referência. Compute o gradiente desse potencial em cada região e mostre que ele pro-
duz o campo elétrico correto em ambos os casos. 
18) Determine o potencial elétrico, a uma distância s , de um fio reto infinitamente longo que carrega uma 
densidade de carga linear e uniforme λ . Compute o gradiente desse potencial e mostre que ele produz o 
campo elétrico correto (Obs: nesse caso você não pode usar o infinito como ponto de referência! Utilize 
como ponto de referência as = !). 
19) Determine, por integração direta, o potencial elétrico dentro de uma esfera de raio R , cuja carga total é 
q . Compare seu resultado ao do exercício 17. 
20) O potencial de Coulomb “atenuado” pela presença dos demais elétrons é dado pela seguinte expressão: 
)4/()/()( 0 rrexpqr επλϕ −= . Determine o campo elétrico e a densidade de carga correspondentes. 
21) Demonstre que a força que atua num dipolo, caracterizado por um momento de dipolo p
r
, colocado em 
um campo elétrico externo extE
r
, é ).(. extEpF
rrrr
∇−= . Demonstre ainda que o torque atuante no dipolo 
nesse campo externo é extext EpEpr
rrrrrrr
∧+∇∧−= )]..([τ , onde r
r
 é a distância vetorial desde o ponto em 
relação ao qual o torque será medido até o dipolo. (A quantidade extEp
rr
∧ , que é independente do ponto 
em relação ao qual o torque será calculado, é denominada “par de giro” que atua no dipolo!). 
22) Utilizando funções delta de Dirac, escreva as distribuições de cargas pontuais, e demonstre que o mo-
mento de dipolo de um par de cargas pontuais, lqp
rr
= , provém da definição geral )(rrVdp
rrr
′′′= ∫ ρ . 
23) Obtenha o campo elétrico de um dipolo pontual através do cálculo do gradiente da função potencial 
)4/(.)( 30 rrpr επϕ
rr
= . 
 
•
•
P
z
a
a
•
•
P
z
a
 
 Figura 1 Figura 2 Figura 3