mecânica dos solidos

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Mecânica dos Sólidos
Webconferência III
Professor(a):Pedro de França Santos
Equilíbrio dos corpos rígidos
• Vimos no capítulo que as forças externas que atuam sobre um corpo rígido 
podem ser reduzidas a um sistema força-binário em algum ponto arbitrário 
O. Quando a força e o binário são ambos iguais a zero, as forças externas 
formam um sistema equivalente a zero, e diz-se que o corpo rígido está em 
equilíbrio.
ΣF = 0 ΣMO = Σ (r x F) = 0
Equilíbrio dos corpos rígidos
• Decompondo cada força e cada momento em seus componentes 
retangulares, podemos expressar as condições necessárias e suficientes 
para o equilíbrio de um corpo rígido com as seis equações retangulares.
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 
ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0
• Podem-se utilizar as equações obtidas para se determinarem forças 
desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou reações desconhecidas 
exercidas sobre ele por seus apoios.
Diagrama de corpo livre
• Para resolver um problema relativo ao equilíbrio de um corpo rígido, é 
essencial considerar todas as forças que atuam sobre o corpo;
• É importante excluir qualquer força que não esteja diretamente aplicada ao 
corpo;
• Omitir ou acrescentar uma força extra destruiria as condições de equilíbrio;
• Portanto, o primeiro passo na solução do problema deve ser traçar um 
diagrama de corpo livre;
Diagrama de corpo livre
1. Tomar uma decisão clara em relação à escolha do corpo livre a ser usado;
2. Todas as forças externas devem ser indicadas no diagrama de corpo livre;
3. As intensidades, direções e sentidos das forças externas conhecidas 
devem ser claramente representados no DCL;
4. As forças externas desconhecidas (geralmente consistem nas reações, por 
meio das quais o solo e os outros corpos se opõem a um possível 
movimento do corpo livre. As reações obrigam o corpo livre a 
permanecer na mesma posição e, por esse motivo, são denominados de 
forças vinculares;
5. O diagrama do corpo livre deve incluir as dimensões, pois estas podem 
ser necessárias no cálculo dos momentos das forças.
Reações em apoios e conexões para uma estrutura 
bidimensional
• As reações exercidas sobre uma estrutura bidimensional podem ser 
divididas em três grupos:
1. Reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida;
2. Reações equivalentes a uma força de direção, sentido e intensidade 
conhecidos;
3. Reações equivalente a uma força e a um binário.
Reações em apoios e conexões para uma estrutura 
bidimensional
Equilíbrio de um corpo rígido em duas dimensões
• As condições de equilíbrio de um corpo rígido tornam-se 
consideravelmente mais simples para o caso de uma estrutura 
bidimensional.
Fz = 0 Mx = My = 0 
• Portanto as condições de equilíbrio são:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMO = 0
• ΣMO = 0 deve ser satisfeita independente da escolha da origem O.
Reações estaticamente indeterminadas. Vinculações 
parciais
• Os suportes fornecem mais vínculos do que são necessários para impedir a 
treliça de se mover sob as cargas aplicadas ou sob quaisquer outras 
condições de carregamento;
• Nesse problema é apresentando 4 incógnitas;
• ΣMB = 0 e ΣMA = 0 fornecem as componentes By e Ay, respectivamente, a 
equação ΣFx = 0 fornece a soma Ax+By.
• Os componentes Ax e Bx são considerados estaticamente indeterminados.
Reações estaticamente indeterminadas. Vinculações 
parciais
• Os vínculos fornecidos por esses apoios não são suficientes para impedir o movimento 
da treliça, embora qualquer movimento vertical esteja impedido, a treliça pode mover-
se livremente na horizontal;
• Diz-se que a treliça esta parcialmente vinculada.
Reações estaticamente indeterminadas. Vinculações 
parciais
• Nesse caso dizemos que a treliça esta impropriamente vinculada.
Equilíbrio de um corpo sujeito à ação de duas forças
• Se um corpo sujeito à ação de duas forças está em equilíbrio, as duas forças devem ter 
igual intensidade, igual linha de ação e sentidos opostos.
• Se várias forças estiverem aplicadas em A e B, essas forças podem ser substituídas por 
suas resultantes, e para manter a condição de equilíbrio as resultantes devem ter 
mesma intensidade, mesma linha de ação e sentidos opostos.
Equilíbrio de um corpo sujeito à ação de três forças
• As linhas de ação das forças devem ser concorrentes ou paralelas;
• Somatório das componentes De F1, F2 e F3 é zero;
• Também pode ser resolvido através das relações trigonométricas ou geométrica 
simples.
Exemplos
Exemplos A soma de todas as forças tem que ser igual a zero e a soma do momento das forças tem que ser igual a 
zero para que ela esteja em equilíbrio.
∑MA = 0
B.1,5 -9810.2 – 23544.6 = 0
B.1,5 = 19620 + 141264
B = 107,256 N
∑Fy = 0
Ay – 9810 - 23544= 0
Ay = 33354 N
∑Fx = 0
Ax + B = 0
Ax + 107,256 = 0
Ax = -107,256 N
Exemplos
4.3 Beer - Dois caixotes de massa 350 kg cada, são colocados na caçamba de uma 
caminhonete de 1400 kg. Determine as reações em cada uma das duas rodas traseiras A e 
rodas dianteiras B.
Exemplos
∑MB = 0
13734.1,2 – A.3 + 3433,5.2,05 + 3433,5.3,75 = 0
16480,8 – A3 + 7038,675 + 12875,625 = 0
A = 12131,7 N
∑Fy = 0
A + B – 3433,5 – 3433,5 – 13734 = 0
B = 8469,3 N
Só que as reações calculadas são para apenas uma 
reação, ou seja uma roda, temos que distribuir esse 
peso para as duas rodas dianteiras e traseiras.
A’ = 12131,7 /2 = 6065,85 N
B’ = 8469,3/2 = 4234,65 N
Sugerido
• Um letreiro é pendurado por duas correntes no mastro AB. O mastro é 
articulado em A e é sustentado pelo cabo BC. Sabendo que as trações nas 
correntes DE e FH são 225 N e 135 N, respectivamente, e que d = 0,39 m, 
determine (a) a tração no cabo BC e (b) a reação em A.
Resposta:
T = 413,74 N
Ax = 396,55 N (p/ direita)
Ay = 242 N (p/ cima)
Equilíbrio em três dimensões
• Já vimos que são necessários seis equações escalares para expressar as 
condições de equilíbrio de um corpo rígido no caso geral tridimensional 
Fx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 
ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0
Essas equações podem ser resolvidas para no máximo seis incógnitas, que, 
geralmente, representam reações em apoios e conexões.
Reações em apoios e conexões para uma estrutura 
tridimensional
Forças Distribuídas: Centroides e Centros de 
Gravidade
• Até aqui temos considerado que a atração exercida pela terra sobre um 
corpo rígido pode ser representada por uma força única W.
• Essa força deve ser aplicada no centro de gravidade do corpo.
• Neste capítulo iremos aprender a determinar o centro de gravidade, ou 
seja o ponto de aplicação da resultante W, para corpos de diversas formas.
Centro de Gravidade de um corpo Bidimensional
• Considere inicialmente uma placa plana horizontal. Podemos dividir a placa 
em n pequenos elementos.
• Logo, o peso total da placa é:
W = ΔW1 + ΔW2 + ΔW3 + ΔW4 + ...
Centro de Gravidade de um corpo Bidimensional
• Para obter as coordenadas ഥ𝑥 e ത𝑦 do ponto G no qual a resultante W deve 
ser aplicada, escrevemos que os momentos de W em relação aos eixos x e y 
são iguais às somas dos momentos correspondentes dos pesos 
elementares.
Centro de Gravidade de um corpo Bidimensional
• Se aumentarmos o número de elementos em que se divide a placa e 
diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, obtermos no 
limite as seguintes expressões:
𝑊 = ʃ𝑑𝑊 ഥ𝑥𝑊 = ʃ𝑥 𝑑𝑊 ത𝑦𝑊 = ʃy dW
Centro de Gravidade de um corpo Bidimensional
• Essas equações definem o peso W ഥ𝑥 e ത𝑦 do centro de gravidade G de uma 
placa plana. As mesmas equações podem ser deduzidas para um fio 
contido no plano xy. Em geral, o centro de gravidade de um fio não está 
localizado sobre o fio.
Momento de primeira Ordem
Placas e fios compostos
• Em muitas situações, uma placa pode serdividia em retângulos, triângulos 
ou outras formas usuais mostradas na tabela.
Placas e fios compostos
• De maneira compacta:
ത𝑋Σ𝑊 = Σ ҧ𝑥𝑊 ത𝑌Σ𝑊 = Σത𝑦𝑊
• Se a placa é homogênea e de espessura uniforme, o centro de gravidade 
coincide com o centroide C de sua superfície.
• A abcissa ത𝑋 do centroide da superfície pode ser determinada observando-
se que o momento de primeira ordem Qy da superfície composta com 
relação ao eixo y pode ser expresso tanto como produto de ത𝑋 pela área 
total quanto como a soma dos momentos de primeira ordem das áreas 
elementares ao eixo y. 
Determinação de centróides por integração
• Geralmente, o centróide de uma superfície limitada por curvas analíticas 
(isto é, curvas definidas por equações algébricas) é determinado pelo 
cálculo das integrais:
ҧ𝑥𝐴 = ʃ𝑥𝑑𝐴 ത𝑦𝐴 = ʃy dA
Cargas Distribuídas
• O centroide de uma superfície pode ser usado na resolução de outros 
problemas além daqueles que envolvem pesos de placas planas. 
• Por exemplo, considere uma viga que sustenta uma carga distribuída; essa 
carga pode advir do peso de materiais sustentados direta ou indiretamente 
pela viga ou pode ser caracterizada por pressões hidrostáticas.
Cargas Distribuídas
• A carga distribuída pode ser caracterizada por uma curva representando a 
carga w sustentada por unidade de comprimento.
• A intensidade da força exercida sobre um elemento de viga de 
comprimento dx é:
dW = w.dx
Cargas Distribuídas
• A carga total sustentada pela viga é
𝑊 = 0׬
𝐿
𝑤. 𝑑𝑥
Cargas Distribuídas
• Observamos que o produto wdx é igual em intensidade ao elemento de 
área dA. Logo, a carga W equivale em intensidade de à área total da 
superfície sob a curva de carga:
𝑊 = 𝑑𝐴׬ = 𝐴
Carga Distribuída
• Vamos determinar onde uma carga concentrada única W, de intensidade W 
igual à da carga total distribuída, deve ser aplicada sobre a viga para 
produzir as mesmas reações de apoio. 
• Todavia, essa carga concentrada W, que representa a resultante do 
carregamento distribuído dado, é equivalente ao carregamento apenas 
quando se considera o diagrama de corpo livre de toda a viga.
Carga Distribuída
• O ponto de aplicação P de uma carga concentrada equivalente W é obtido 
escrevendo-se que o momentos de W em relação ao ponto O é igual à 
soma dos momentos das cargas elementares dW em relação ao ponto O.
(𝑂𝑃)𝑊 = න𝑥. 𝑑𝑤
Carga Distribuída
• Ou, uma vez que dW = w.dx = dA e W = A;
𝑂𝑃. 𝐴 = න
0
𝐿
𝑥. 𝑑𝐴
• A integral pode ser substituída pelo produto ҧ𝑥𝐴.
Carga Distribuída
• Logo, temos que OP= ҧ𝑥, sendo ҧ𝑥 a distância do eixo w ao centróide C da 
superfície A (não se trata do centroide da viga). 
Carga Distribuída
• Logo, uma carga distribuída sobre uma viga pode ser substituída por uma 
carga concentrada; a intensidade dessa carga única é igual a área da 
superfície sob a curva de carga e sua linha de ação passa pelo centroide 
dessa superfície.
Cálculo das áreas e do posicionamento das forças distribuídas.
AI = 1500.6 xI = 6/2
AI = 9000 N xI = 3 m
AII = 3000.6/2 xII = 6.(1/3)
AII = 9000 N xII = 2 m
Construção do novo DCL
∑MB = 0
9000.2 + 9000.3 - A.6 = 0
18000 + 27000 = A.6
A = 7.500 N
∑Fy = 0
A + By – 9000 – 9000 = 0
7500 + By -9000 – 4500 = 0
B = 6000 N
Cálculo das áreas e do posicionamento das forças distribuídas.
AI = 3000.2,7 xI = 2,7/2
AI = 8100 N xI = 1,35 m
AII = 3000.0,9/2 xII = 0,9.(2/3)
AII = 1350 N xII = 0,6 m
Construção do novo DCL
∑MA = 0
-8100.1,35 + B.2,7 – 1350.3 = 0
B = 5550 N
∑Fy = 0
A + B – 8100 – 1350 = 0
A + 5550 - 8100 – 1350 = 0
A = 3900 N
Resposta:
RA = 4500 N
RB = 3600 N