Fzk1aIntroUnidCinemat2020

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Física Geral para Engenharias - FURG - Parte I
Claudio M. Maekawa
2020
ii
Contents
1 Introdução 1
1.1 Física e Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Princípios da Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Medidas e Sistemas de Unidades 9
2.1 Sistema Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Mudança de unidades e regra de três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I Sistema de 1 Partícula 15
3 Notas de Geometria: Escalares e Vetores 19
3.1 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 Adição e Subtração de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Multiplicação de um vetor por um escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Cinemática em 1D de 1 partícula 29
4.1 Localização da partícula: o referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1 Grandezas de localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Reconhecendo o movimento: a velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 A velocidade instantânea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1 Notas de Cálculo: O Paradoxo de Zenon. Limites e in�nitésimo . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.2 O limite da velocidade média - velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.3 Notas de Cálculo: A derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.4 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.5 A Classi�cação estados pelo critério da velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Caso da velocidade constante. O M.R.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.1 A derivada e a de�nição da velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iii
iv CONTENTS
4.4.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Mudando o movimento: a aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.1 Caso: Aceleração Constante - o M.R.U.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5.2 Construção da equação da posição do M.R.U.V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6 Exemplos de movimentos no vácuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.1 Queda livre no vácuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6.2 Lançamento vertical no vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Cinemática em 2D 65
5.1 Posição, Deslocamento e Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Velocidade média e velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Aceleração média e aceleração instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 As equações do movimento em 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.1 Composição M.R.U com M.R.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.2 A equação da trajetória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.3 Exercício: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.4 A composição M.R.U. com M.R.U.V: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.5 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5.6 Equação das trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6 Exemplo na Física: Lançamento oblíquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.1 Equação da trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6.2 Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.6.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.7.1 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.7.2 O Movimento Circular Uniforme (M.C.U.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.7.3 Período e frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.7.4 Exemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.7.6 Relação com o M.R.U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.7.7 Exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.7.8 Sistema Cartesiano: velocidades e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7.9 A aceleração centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.8 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.9 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Preface
Fisica I - Período Emergencial. Serão apresentados tópicos de �sica básica para o curso de engenharias. Abordaremos
um conteudo mínimo devido ao período restrito disponível.
v
vi PREFACE
Chapter 1
Introdução
Iniciamos o estudo discutindo o papel das equações para além da sua utilização como ferramenta de cálculo, pois
assim podemos perceber as consequencias fundamentais que elas trouxeram não só para a Ciência mas para toda a
Sociedade.
As equações são frases matemáticas que descrevem com exatidão o comportamento dos fenômenos, os seus
mecanismos e a lógica que os rege. Através das equações podemos prever o futuro e o comportamento distante do
sistema físico para além do nosso alcance, podemos determinar a sua causa e prever os efeitos, determinar quais
propriedades são importantes e quais podemos descartar. Elas também nos mostra que as nossas idéias podem ser
quanti�cadas e testadas experimentalmente.E para o teste experimental, as equações nos mostra como podemos
realizar esse teste mostrando o que devemos medir e como realizar o experimento em ambiente controlado. Dessa
forma as frases matemáticas (equações) nos deram a capacidade de controlar os fenômenos o que resultou no
desenvolvimento das tecnologias que utilizamos hoje.
Tal qual a nossa linguagem de palavras, a Matemática nos permite usá-la para pensar sobre como a natureza
funciona e como ela é. Mas ao contrário das palavras, a linguagem matemática possui exatidão, no sentido em
que ela não permite interpretações contraditórias dos conceitos expressos nas frases matemáticas. A exatidão é a
principal razão que permitiu a aceleração do desenvolvimento Cientí�co e Tecnológico, pois eliminou os debates
intermináveis e a disputa de idéias entre os pesquisadores. Ela também elimina a �gura da autoridade máxima
da verdade que julgava qual era a proposição correta. Hoje essa autoridade é a própria Natureza, pois temos que
transformar todas as nossas idéias a respeito da Natureza em equações, calcular as previsões que ela faz e comparar
essas previsões com os resultados experimentais.
As equações são os mais poderosos instrumentos de investigação, pois, além de nos permitir ver o futuro e o
passado distantes ( Hoje estudamos a origem do nosso Universo e sua evolução), ver para além do alcance dos nossos
sentidos (podemos "ver" as estrelas longícuas e o interior dos prótons e nêutrons), elas nos levou para mais além
da nossa imaginação, provocando profundas mudanças nos conceitos fundamentais. Um exemplo simples:
E = mc2: (1.1)
Aqui c2 é usada para ajustar as unidades de massa às unidades de energia.
O que essa equação está nos revela?
1
2 CHAPTER 1. INTRODUÇÃO
A massa m mede a quantidade de matéria e E mede a quantidade de energia.
Será que podemos dizer que energia igual à matéria?
A resposta é sim. Aqui E é a quantidade de energia que está contida na massa e m é a quantidade de massa
que a energia E se converte. Essa equação é hoje veri�cada experimentalmente nas reações nucleares e é a partir
da conversão de massa em energia que o nosso sol nos aquece.
Note como a leitura dessa frase matemática muda completamente a nossa concepção de energia e matéria. Hoje
tratamos a energia como matéria sublimada e matéria como energia condensada.
Obs: Essa equação também foi inspiração para uma cena do �lme De Volta para o Futuro II onde o Dr. Hemet coloca
umas cascas de banana e umas gotas de refrigerante no reator de fusão acoplado ao carro que faz a viajem no tempo. O
reator gera uma grande quantidade de energia permitindo até que ele voe. De fato usando essa equação nos permite calcular
que 1kg de massa é capaz de gerar milhares de megawatts de energia.
Essas mudanças conceituais ocorre em toda a Física e veremos várias delas aqui. Precisamos estar dispostos a
abandonar uma parte das nossas certezas e estar aberto às novas concepções que a linguagem matemática da Física
traz.
Sem isso será difícil de entender desde de coisas simples como o equilíbrio ao andarmos de bicicleta a coisas
complexas como a máquina de xerox, o transistor dos processadores, a lâmpada led, a trena a laser, etc.
A linguagem matemática da Física também nos deu a possibilidade de selecionar, agrupar e estruturar os
conhecimentos na forma de técnicas para uma aplicação especí�ca gerando as tecnologias. Portanto a Engenharia é
um conjunto de conhecimentos físicos selecionados e estruturados para realização de um objetivo especí�co prático,
ou simplesmente: a Engenharia é uma das aplicações da Física.
1.1 Física e Matemática
A palavra Física signi�ca Natureza, ela vem do Grego:
físis = '����& = natureza
('- phi, �- úpsilon. �- sigma, �- iota, �- zeta)
e hoje dizemos que a Física é simplesmente o Estudo da Natureza.
A precisão da linguangem
Vamos ver um exemplo de imprecisão na linguagem das palavras.
O signi�cado da palavra natureza.
1) natureza - sistema ecológico:
"A natureza da selva amazônica é muito rica. "
2) natureza - característica:
"A natureza do leão é ser um predador."
1.1. FÍSICA E MATEMÁTICA 3
3) natureza - essência fundamental:
"A natureza das coisas determina o que elas são.
Observe que o signi�cado da palavra natureza depende do contexto em que ela é utilizada. A origem dessa
di�culdade está na linguagem baseada nas palavras. Isso ocorre porque essa linguagem não possui a precisão
necessária para se eliminar os diferentes signi�cados que uma palavra pode conter.
Como a Matemática resolve isso?
Através da exatidão matemática expressa nas equações. Outro exemplo: A força.
Na linguagem das palavras encontramos diversos signi�cados:
1) A força humana é capaz de levantar um saco de café.
2) A força humana está na sua capacidade de adaptação aos diferentes ambientes
3) A força humana está na sua inteligência.
E temos a saudação gedai.
4) Que a força esteja com voce.
A Física utiliza a matemática para de�nir qual é a força que ela vai estudar:
Na segunda lei de Newton para corpos com massa m constante temos que:
~F = m~a; (1.2)
e dizemos que ~F é a força que atua sobre o corpo de massa m e produz a aceleração ~a.
Aqui temos o signi�cado da palavra força expresso na equação (1.2) e desse aprendizado vemos que o signi�cado
que se quer é o que aparece na frase 1) acima e podemos descartar os demais sini�cados que estão nas frases 2 e 3)
O que mais a Matemática pode nos fornecer?
1) A lógica da Natureza
A equação (1.2) revela que a Natureza possui a lógica da causalidade. Veja:
causa
~F = m
efeito
~a : (1.3)
e note que a força atua como causa da aceleração ~a sobre o corpo com massa m.
Note que os símbolos ~F , m e ~a são mais que isso, eles são palavras matemáticas com signi�cados físicos (força,
massa e aceleração) que formam uma frase que contém uma lógica. A tradução da frase matemática (1.3) em
palavras é:
"A força causa uma aceleração ~a no corpo com massa m".
Note que:
as equações são frases matemáticas com conteúdos físicos que descrevem os fenômenos de forma precisa.
A equação mostra que a relação entre a causa e o efeito é exata devido ao sinal de igualdade.
Ela também revela que a única propriedade do corpo que é importante para o fenômeno descrito é a massa
2) Universalidade
4 CHAPTER 1. INTRODUÇÃO
A sentença matemática: ~F = m~a é universal no sentido de que qualquer pessoa, independente do país, da cultura,
da época, etc, entende de forma precisamente igual a descrição realizada por essa sentença e os seus signi�cados.
Isso elimina possíveis discrepâncias de entendimento entre nós evitando contestações sobre o que é a força, o que é
a causa da aceleração e o que é a massa.
3) O poder de previsão.
A matemática permite que a Física consiga prever teóricamente os efeitos de forma exata. Na expressão podemos
reescrevê-la da seguinte forma:
~a =
~F
m
(1.4)
e se conhecermos a expressão matemática de ~F e o valor da massa podemos prever, de forma precisa, o efeito que
é a aceleração. Veremos que isso é feito por meio do cálculo vetorial.
Dessa forma as sentenças matemáticas nos deram o poder de prever os efeitos a partir das causas com exatidão.
Podemos fazer o inverso, a partir do efeito descobrir a causa. Reescrevemos:
~F = m~a
e conhecendo ~a (o efeito) e a massa, podemos agora calcular a causa: ~F .
Além de poder prever causas e efeitos, veremos mais adiante que podemos prever o futuro dos fenômenos físicos
de forma exata por meio das funções matemáticas.
4) Quanti�cação dos conceitos e mesurabilidade
As palavras matemáticas ~F , m e ~a representam quantidades que podem ser medidas experimentalmente.
5) Testabilidade das idéias.
As idéias ou teorias descritas por meio de equações podem ser testadas experimentalmente, pois podemos medir
~F , m e ~a no laboratório e comparar com a previsão feita pela equação (1.4). Nesse procedimento denota-se a
aceleração medida de ~aExper e a aceleração calculada em (1.4) de ~aTeor e compara-se os dois resultados.Isto é
podemos testar as previsões no laboratório.
A equação também nos mostra como fazer o experimento, pois ela está descrevendo um fenômeno. No caso de
~a =
~F
m
(1.5)
devemos aplicar uma força ~F sobre um corpo de massa m
Consequência importante: Impessoalidade da validação das idéias.
O julgamento da validade das idéias independe da autoridade do saber, pois qualquer pessoa que entenda o
conteúdo físico da equação pode testá-la por meio do cálculo e da comparação com o experimento ou seja, é a
própria Natureza que valida as idéias. Esse requisito é hoje aplicado em todas as ciências racionais.
6) Método preciso para se encontrar respostas. A nova habilidade.
A sentença
j~aj =
���~F ���
m
(1.6)
pode ser vista como uma pergunta matemática. Ela está perguntando:
Qual é o valor da aceleração j~aj produzida por uma força de valor
���~F ��� sobre um corpo com massa m?
1.2. PRINCÍPIOS DA FÍSICA 5
O método de encontrar a resposta dessa pergunta é o Cálculo.
Essa é uma nova habilidade que a matemática nos permite desenvolver. O Cálculo nos fornece respostas precisas
às perguntas, i.e.: calculamos exatamente a resposta. Quando conseguimos converter as perguntas em equações
temos um método para encontrar a resposta: o cálculo. A conversão das perguntas em equações é chamado de
equacionamento.
7) Novas descobertas e conceitos.
Vimos que a equação da relatividade
E = mc2; (1.7)
que hoje denomina-se equação de equivalência energia e matéria. Modi�ca os nossos conceitos de energia e de
matéria, e, esses novos conceitos, nos permite entender como o Sol produz calor sem ter oxigênio. A energia é
liberada quando parte da matéria é convertida em energia nas reações de fusão nuclear que ocorrem no Sol.
Os sucessos da Física em Calcular as respostas às perguntas matemáticas nos in�uencia fortemente, pois hoje
sempre que temos algum problema devemos antes "equacioná-lo" para depois resolvê-lo, ou seja, "calcular" para
encontrar a resposta. Mas infelizmente ainda não sabemos transformar todos os nossos problemas em equações.
Sumário
A Física utiliza a Matemática como uma linguagem precisa e universal para descrever os fenômenos naturais.
Como linguagem ela de�ne os conceitos com exatidão matemática e revela a lógica de causa e efeito da Natureza.
A Matemática como linguagem da natureza nos permitiu ter precisão nas previsões teóricas, quanti�cação e men-
suração dos conceitos, testabilidade impessoal das idéias e propostas. A Matemática nos permite desenvolver a
habilidade mental de Calcular.
Esses atributos acelerou o desenvolvimento da Física e a democratização do seu ensino. Hoje podemos fatiar
esse conhecimento em cursos de pequena e longa duração, com maior ou menor profundidade, desde cursos técnicos
especí�cos de 6 meses a cursos de Engenharias e Física. Os cursos técnicos e de engenharia são cursos de aplicações
da Física à um objetivo prático especí�co.
Devido à importância da Matemática na Física, vamos intercalar notas matemáticas ao longo dos capítulos. As
notas matemáticas serão breves e um estudo aprofundado deve ser procurado nos livros e nas aulas de Cálculo e
Geometria, e também nas apostilas que serão fornecidas.
1.2 Princípios da Física
A Física é o estudo da Natureza e utiliza a Matemática como linguagem para descrever as leis, os mecanismos e a
lógica dos fenômenos naturais.
Princípios físicos sobre a Natureza.
Os princípios são hipóteses que se assumem sem uma demonstração matemática ou �losó�ca rigorosa e eles são
a base lógica sobre a qual se fundamenta toda descrição que fazemos da Natureza.
Um princípio que nos orienta é o princípio da simplicidade, pois se acredita que o mais simples é mais fácil de
estudar. Contudo nem sempre é fácil descobrir o que é o mais simples, muitas vezes aquilo que achamos ser simples
é na verdade muito complexo, por exemplo: podemos achar que uma bola é um objeto muito simples, mas hoje
sabemos que ele é um objeto complexo formado por muitos átomos que interagem por meio de forças atômicas.
A Física Clássica assume os seguintes princípios
6 CHAPTER 1. INTRODUÇÃO
1) A Natureza é determinista. Para todo efeito natural há uma causa natural, para toda causa natural
há um efeito natural.
Isto nos permite procurar pela causa dos fenômenos naturais e essa busca é o principal motivo da pesquisa em
Física. Esse princípio foi formulado pelos Filósofos gregos, pois naquela época havia um descontentamento com
relação aos Deuses que eram considerados as causas dos fenômenos.
Por essa razão é que interpretamos a força ~F na segunda lei de Newton para corpos com massa constante
dada pela equação (1.2) como senda a causa para a aceleração ~a do corpo com massa m. A segunda Lei de Newton
na sua forma mais geral (com a inclusão dos casos de massas variáveis) foi construída baseado nesse princípio. O
princípio é a base do método empírico de construção de várias equações na Física e iremos utilizá-lo nessa disciplina.
2) O Objeto concreto fundamental: a partícula.
Ela é de�nida como um ponto material. Ele é um ponto geométrico com massa.
Temos aqui dois conceitos:
Matemático: o ponto geométrico, Físico: a massa.
Quando se inicia um estudo da Natureza, sempre se procura pela situação mais simples. No caso do estudo do
movimento de um corpo procura-se então pelo objeto mais simples possível, matendo apenas as característica mais
importantes para o estudo e desprezando as demais. A Geometria nos fornece o objeto mais simples para um corpo:
o ponto geométrico, pois as dimensões do corpo são importantes sómente quando o movimento ocorre em um meio
como o ar, na ausência de um meio essas dimensões não tem efeito sobre o movimento da partícula.
A massa é mantida, pois é ela que permite ao corpo sentir o efeito da força.
Mas como a massa cabe num ponto? Aqui precisamos abstrair e supor que a massa é algo que pode ser
concentrada num único ponto para formar a partícula. Uma vez formada a partícula aí sim aplicamos o princípio
de que duas partículas não podem ocupar o mesmo espaço ao mesmo tempo.
Quando estudarmos o centro de massa de um corpo extenso, veremos que o centro de massa se comporta
exatamente como um ponto material e, vejam só. Ele pode estar fora do corpo!
Por exemplo: O Centro de Massa de duas bolas ligadas por uma barra no seguinte formato:
Note que no Centro de Massa (local marcado com um x) não há nenhum corpo. Veremos mais adiante que a força
resultante (soma de todas as forças) está atuando sobre ele. O efeito é como se a massa total do objeto estivesse
concentrado no Centro de Massa. Saber onde está o Centro de Massa de um sistema de corpos é o que nos permite
equilibrá-los. No exemplo acima devemos colocar uma força na direção do Centro de Massa no sentido oposto à
força resultante.
3) O espaço é homogêneo.
1.3. EXERCÍCIOS 7
Isso signi�ca que todos os pontos do espaço são equivalentes. Não há nenhum ponto privilegiado. Essa é a razão
que nos permite escolher qualquer ponto do espaço para colocar a origem de um sistema de coordenadas.
4) O espaço é isotrópico.
A isotropia do espaço signi�ca que não há uma direção privilegiada. Isso ocorre no espaço sideral onde não se
pode determinar onde �ca o lado de cima ou de baixo.
5) O tempo é homogêneo.
Todos os instantes de tempo são equivalentes. Isso nos permite escolher qualquer um deles para ser o tempo
inicial t = 0.
Vemos aqui como a Física utiliza a Matemática para realizar o estudo da Natureza. Tem-se a impressão que
a abstração matemática torna os objetos físicos irreais, contudo é exatamente o oposto, como veremos no estudo
do Centro de Massa. O que a abstração matemática está fazendo é nos revelar uma realidade física que sequer
imaginaríamos que pudesse existir. (No exemplo: um Centro de Massa fora dos corpos).
Assim as equações da Fisica tornou:
o invisível em visível,
o inimaginável em realidade
e o impossível em possível.
Nessa disciplina desenvolveremos o estudo do movimento e dividimos esse estudo emduas partes: Sistema de 1
partícula e Sistema de N partículas. Iniciamos o estudo pelo sistema mais simples de 1 partícula para estabelecer
os conceitos básicos.
1.3 Exercícios
1) Qual é o signi�cado na lingua grega da palavra Física.
2) Na linguagem das palavras encontramos vários signi�cados para o conceito de força. Nas seguintes sentenças
quais são os respectivos signi�cados da palavra força.
a) A força humana é capaz de levantar um saco de café.
b) A força humana está na sua capacidade de adaptação aos diferentes ambientes
c) A força humana está na sua inteligência.
d) Que a força esteja com voce. (saudação gedai)
3) Qual a principal di�culdade da linguagem das palavras para o estudo da Física?
4) Como a linguagem Matemática fornece à palavra força o signi�cado preciso?
5) Qual é a habilidade mental que a linguagem matemática nos ajuda a desenvolver?
6) O que signi�ca quando se diz que a Física é determinista.
7) Qual é o objeto concreto fundamental e qual é a sua de�nição?
8) Descreva os princípios da Física a respeito da Natureza.
8 CHAPTER 1. INTRODUÇÃO
Chapter 2
Medidas e Sistemas de Unidades
Para que servem as unidades?
Vamos à um exemplo:
Uma barra cilíndrica tem: 1,5x1,2.
É possível saber a que se refere os números? Qual é o comprimento? Qual é o diâmetro?
Mas se escrevermos:
Uma barra cilíndrica tem: 1,5mm x1,2m.
Agora podemos perceber que 1; 5mm é o diâmetro da barra e 1; 2m é o seu comprimento.
Vemos agora que por meio das unidades podemos perceber as características físicas das dimensões da barra.
Esse é o é o papel que as unidades representam, elas fornecem o conteúdo físico aos números.
Outro exemplo;
Um corpo está com velocidade 20.
É possível saber quão rápido está o corpo?
Mas se escrevermos: Um corpo está com velocidade 20 m=s.
Agora temos uma melhor noção de quão rápido está o corpo. Nesse caso as unidades nos fornece a real escala
da velocidade e nos permite avaliar a rapidez do corpo nesse caso.
A Padronização
A motivação inicial da padronização das unidades foi facilitar o comércio internacional. Na idade média se usava
partes do corpo do rei como padrão de medida. Por exemplo: usar o tamanho do polegar do rei para medir o
comprimento de um tecido.
Problema: Os reis de países diferentes tinham polegares de tamanho diferentes.
Assim 20 polegadas de comprimento na França não seria do mesmo tamanho das mesmas 20 polegadas na
Inglaterra.
Essa padronização é muito importante nos processos de produção e é mais importante ainda no comércio global,
pois os produtos de um país pode ser comercializado em outros países.
A precisão
9
10 CHAPTER 2. MEDIDAS E SISTEMAS DE UNIDADES
Desejamos que os instrumentos de medida forneçam a mesma medida para o mesmo tamanho. Contudo isso não
ocorre, cada instrumento de medida possui um erro padrão que normalmente é informado pelo fabricante. Quando
esse erro não é informado, pode-se tomar a menor unidade que o instrumento é capaz de medir como sendo a
margem de erro, por exemplo: para uma régua cuja menor unidade é o milímetro podemos considerar que o erro
ocorre em milimetros. Esse erro é resultado das limitações técnicas da fabricação do instrumento e do material
utilizado, por exemplo: réguas metálicas podem dilatar e comprimir com a temperatura, réguas de madeira são
afetadas pela umidade, etc.
A adequação do instrumento depende da escala da medida que se deseja. Por exemplo: Uma régua com precisão
em milimetros é adequada para medir os lados de uma folha, pois o erro em milímetro é menor do que 1% do
tamanho da folha. Contudo não é adequado para medir a espessura da folha, pois o erro é maior que essa espessura.
A precisão e os custos
Um dos impactos que a precisão tem é nos custos. Um projeto que possui uma imprecisão de 10% implica
numa imprecisão mínima de 10% no cálculo de material necessário sem levar em conta a imprecisão desse cálculo.
Isso signi�ca que para prevenir uma possível falta de material devesse adquirir uma quantidade adicional de 10%
de material. Isso signi�ca que o custo do emprendimento já será 10% maior devido à essa imprecisão no projeto.
Esse custo se eleva na realização do projeto, pois há os defeitos nos materiais e quebras, por exemplo, na compra
de tijolos deve-se sempre ter um acréscimo de 10% devido as quebras de tijolos no transporte e na sua manipulação
durante a construção.
2.1 Sistema Internacional
Este sistema foi estabelecido por uma convenção internacional de países e suas modi�cações também são realizadas
em convenções internacionais. Em 1971 na 14a¯ Conferência Geral de Pesos e Medidas foram escolhidos 7 grandezas
consideradas como fundamentais, pois não derivam de nenhuma outra grandeza.
Grandeza Nome Símbolo
comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
corrente elétrica ampère A
temperatura termodinâmica kelvin K
quantidade de matéria mole mol
intensidade luminosa candela cd
Agência Internacional de Pesos e Medidas
Situada no arredores de Paris . Armazena os objetos e equipamentos usados como padrões de medida.
Estabelece os padrões para todos os países copiarem.
Estabelecimento dos padrões de medida e precisão
Com o ojetivo de minimizar as discrepâncias entre os instrumentos de medida, procura-se escolher objetos
e procedimentos que possam ser reproduzidos em todos os países e que forneça um padrão que sofra a menor
interferência externa possível e que tenha a precisão necessária exigida pelos processos industriais e cientí�cos.
O objeto/padrão é usado como referencia para se construir equipamentos de medidas. No Brasil é o INPM -
2.2. MUDANÇA DE UNIDADES E REGRA DE TRÊS 11
Instituto Nacional de Pesos e Medidas que implantou o Sistema Internacional de Unidades e em 1973 para atender
a demanda do desenvolvimento tecnológico foi criado o INMETRO - Instituto Nacional de Metrologia, Normatização
e Qualidade Industrial.
Os processos de produção e o seu sistema global aumentou a exigência na precisão dos padrões de medidas. Hoje,
além da so�sticação tecnológica que requer processos de medida mais precisos, o sistema global de produção requer
muita precisão nos componentes de um produto �nal, pois os componentes são produzidos em países diferentes e ao
reuní-los pode haver problemas. Se o objeto/processo padrão de medida de um país for ligeiramente diferente do
objeto/processo padrão de outro país haverá discrepâncias nas medidas e consequentemente haverá diferenças nos
componentes que gerarão problemas na montagem do produto.
Exemplo: Paineis de vidro blindex para fachada de edifícios. Os vidros são produzidos em um país e os per�s
de alumínio são produzidos em outro. Se houver alguns vidros 0,5cm maiores no comprimento que os per�s não se
pode montar o painel e os vidros defeituosos precisam descartados, pois eles não podem ser cortados. A substituição
do vidro descartado precisa esperar a produção de um novo lote o que acarreta atrasos na construção do edifício.
Os novos vidros e os atrasos elevam os custos de construção.
Sempre haverá diferenças entre os padrões de países diferentes , o importante é que essas diferenças sejam as
menores possíveis a ponto de não gerar problemas.
No livro do Halliday, Resnick e Walker, Fisica I e na apostila Fzk1aMatemFisicaDeriv há uma descrição dos
sistemas so�sticados usados para estabelecer os padrões, tais como relógios atômicos, feixe de luz para o padrão de
comprimento, etc.
2.2 Mudança de unidades e regra de três
A regra de três é a base para se realizar a mudança de unidades. A regra é baseada no conceito de proporcionalidade.
Quando escrevemos:
A
B
podemos dizer que A é proporcional à B.
Quando dizemos que
A
B
= k
k é de quanto é essa proporcionalidade.
Pode também ocorrer que C é proporcional D:
C
D
:
Se a constante de proporcionalidade de C/D for igual à k, i.e.:
C
D
= k
então podemos dizer que:
A
B
=
C
D
(2.1)
Exemplo:
1
2
=
3
6
12 CHAPTER 2. MEDIDAS E SISTEMAS DE UNIDADES
pois
1
2
= 0; 5 e
3
6
= 0; 5: (2.2)
Amudança de unidades
A mudança de unidades é baseada nessa lógica de proporcionalidade, por exemplo: mudança de unidades
de polegadas [in] (inches em ingles signi�ca polegadas) para centímetro [cm]. Temos que 1 in tem o tamanho de
2; 540 cm: Como eles tem o mesmo tamanho a constante de proporcionalidade entre eles é 1 e escrevemos:
2; 540cm
1 in
= 1: (2.3)
Temos um objeto de tamanho 10 in e queremos saber qual será sua medida em centimetros [cm], dizemos
x cm. O tamanho é o mesmo assim 10 in tem o mesmo tamanho de x cm e a constante de proporcionalidade entre
eles também é 1, e escrevemos:
x cm
10in
= 1: (2.4)
e substituindo 1 temos:
x cm
10in
=
2; 540 cm
1 in
: (2.5)
que podemos reescrever por:
x cm =
2; 540 cm
1 in
10in: (2.6)
podemos cancelar as unidades de polegadas e encontramos x.
x cm =
2; 540 cm
1
10 = 25; 40cm:
Observe a posição das unidades, aqui queremos que sobreviva as unidades de cm e sejam canceladas as unidades de
polegas in, por essa razão é que não usamos a forma:
1 in
2; 540 cm
Exemplo: Mudar 2h em segundos:
Temos que passar por 2 escalas de tempo: hora!minuto, minuto!segundo
Temos dois fatores de conversão
60min
1h
= 1
e
60s
1min
= 1
Podemos escrever
2h = 2h (1) (1)
multiplicar por 1 não altera em nada.
Para cada 1 substituímos pelo fator de conversão conveniente.
Observe: objetivo é converter hora em segundos e cancelar as unidades de minutos e de hora no lado direito da
equação:
2h = 2h
�
60min
1h
��
60s
1min
�
= 7:200 s (2.7)
2.3. EXERCÍCIOS 13
2.3 Exercícios
1) Uma caixa d�água de 1 m3 de volume comporta 1:000 litros de água. Qual o volume em m3 de uma caixa d�água
para 300 litros de água?
2) Uma prefeitura de uma pequena cidade inglesa abriu uma concorrência publica internacional para asfaltar 7
milhas de uma via rural. Quantos km equivale essa extensão de via rural? (1mi� 1; 609 km)
3) Se aproximarmos o fator de conversão 1mi� 1; 6km no exercício 2 de quantos metros será o erro? Calcule o
erro em porcentagem e avalie se esse erro pode ser cometido ou não. Explique a sua resposta.
4) Converta a velocidade de 10 m=s em km=h
14 CHAPTER 2. MEDIDAS E SISTEMAS DE UNIDADES
Part I
Sistema de 1 Partícula
15
17
Este é o sistema mais simples possível e nos permite introduzir os conceitos básicos evitando as complexidades
que um sistema de muitas partículas possui.
No caso do estudo do movimento precisamos de grandezas matemáticas que possam representar as direções e
sentido do movimento, por exemplo, na direção horizontal e para a frente, além da distância percorrida. Essas
grandezas são os vetores. Vamos então a uma breve introdução da álgebra de vetores.
18
Chapter 3
Notas de Geometria: Escalares e Vetores
Precisamos de dois tipos de grandezas: a grandez escalar e a vetorial.
De�nição: Grandeza escalar.
A grandeza escalar é de�nida completamente pelo seu módulo absoluto, i.e., por seu valor (números). Eles
são denotados por letras:
a; b; r; v; x:::etc
e eles não tem uma representação grá�ca. As operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de escalares
são as operações usuais da aritmética.
De�nição: Grandeza Vetorial
Uma grandeza vetorial é de�nida por três propriedades: módulo, direção e sentido.
Elas são denotadas por letras com uma �echa sobre elas:
~a;~b; ~r;~v; ~x:::etc
Notação. O módulo do vetor ~a é denotado por j~aj.
Os vetores possuem várias formas de serem representados. Vamos ver duas delas.
A Representação por Segmentos Orientados
Por serem grandezas direcionais elas podem ser representadas gra�camente por segmentos orientados (�echas)
onde o tamanho da �echa é o módulo do vetor, a inclinação da reta em relação à horizontal é a direção e a ponta
da �echa mostra o sentido. Podemos ver então que o vetor não é um simples valor.
Essa forma de representar possui certas di�culdades, e.g., como desenhar um vetor de 1km de tamanho numa
folha de caderno? Até é possível se nós usarmos uma escala do tipo 10cm : 1km. Mas e se o vetor for no espaço 3D
que é o espaço ao nosso redor? Outras di�culdades aparecem quando queremos fazer operações com eles.
19
20 CHAPTER 3. NOTAS DE GEOMETRIA: ESCALARES E VETORES
A Representação Cartesiana
Essa é uma forma analítica e é ela que nos permite estudar os vetores usando um papel pequeno e lápis.
Por exemplo: O vetor ~x representado pela seta na �gura acima pode também ser representado pela seguinte
expressão cartesiana analítica
~x = xx̂; (3.1)
onde x = tamando do vetor ou módulo do vetor, x̂ representa a direção e ele é chamado de versor. O sinal positivo
que está omitido é o sentido.
Um versor é um vetor que tem tamanho 1.
Agora x pode ter qualquer valor,e.g., 0; 01mm, 2cm, 10m, 100 km, etc.
No caso da reta ser vertical para cima escrevemos:
~y = yŷ:
No caso de um vetor ~A sendo uma �echa inclinada como na �gura a seguir:
a sua representação cartesiana é dada por:
~A = Axx̂+Ay ŷ;
onde:
~Ax = Axx̂ é o vetor componente x de ~A
~Ay = Ay ŷ é o vetor componente y de ~A
Nesse caso o módulo (tamanho/comprimento) do vetor ~A pode ser calculado da seguinte forma:��� ~A��� =qA2x +A2y: (3.2)
e não precisamos medir o comprimento da �echa. Por ser um escalar podemos denotar o módulo de ~A por A, i.e.:
A =
��� ~A���
logo A 6= ~A. Veja que a notação com a �echa em cima faz toda a diferença.
A expressão de jAj vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo inferior que vemos na �gura acima.
Vamos redesenhar a �gura sem os eixos para ver melhor o triângulo.
21
Temos que: hipotenusa =
��� ~A���, Cateto oposto à � = Ay e cateto adjacente à � = Ax. O teorema de Pitágoras é:��� ~A���2 = A2x +A2y.
Exemplo: Considere o vetor ~A = 5x̂+ 5
p
3ŷ temos que Ax = 5 e Ay = 5
p
3 então:
��� ~A��� =r52 + �5p3�2 =q52 + 52p32
=
p
52 (1 + 3) = 5
p
4 = 10
Quando não conhecemos Ax e Ay, podemos encontrá-los se conhecermos
��� ~A��� e o ângulo �. O triângulo nos ajuda
a encontrar as fórmulas. Temos as seguintes de�nições das funções trigonométricas cos � e sin � :
cos � =
cat: adjac:�a �
hipotenusa
; sin � =
cat: oposto �a �
hipotenusa
: (3.3)
Atenção! Cuidado com a localização do ângulo �. No caso da �gura acima o ângulo é medido a partir do eixo
horizontal e vemos que:
cat: adjac:�a � = Ax e cat: oposto �a � = Ay:
A hipotenusa é
��� ~A���. Então podemos escrever que:
cos � =
Ax��� ~A��� ! Ax =
��� ~A��� cos �; (3.4)
sin � =
Ay��� ~A��� ! Ay =
��� ~A��� sin �:
Exemplo:
��� ~A��� = 10 e � = �3 temos que: cos �3 = 12 e sin �3 = p32
Então:
Ax =
��� ~A��� cos � = 101
2
= 5;
Ay =
��� ~A��� sin � = 10p3
2
= 5
p
3:
Exercícios:
1) Encontre o módulo dos seguintes vetores:
a) ~A = x̂+
p
3ŷ, b) ~A = 4
p
2x̂+ 4
p
2ŷ, c) ~A = 2tx̂+ 6atŷ, d) ~A = 3avx̂+ 7avŷ
22 CHAPTER 3. NOTAS DE GEOMETRIA: ESCALARES E VETORES
2) Considere o vetor ~A = Axx̂ + Ay ŷ e seja � o ângulo de inclinação entre o vetor ~A e o eixo horizontal x.
Encontre as componentes Ax e Ay para os seguintes casos:
a) A = 2, � = �3 , b) A = 12, � =
�
4 , c) A = 7, � =
�
6
3) Considere o vetor ~A = R cos�x̂+R sin�ŷ, encontre o módulo A.
Obs: cos �3 =
1
2 , sin
�
3 =
p
3
2 , cos
�
4 =
p
2
2 = sin
�
4 , cos
�
6 =
p
3
2 , sin
�
6 =
1
2 :
4) Considere a seguinte �gura:
Observe que o ângulo �. Aqui ele está de�nido a partir do eixo vertical. Quais são as de�nições das funções
trigonométricas cos � e sin � nesse caso?
3.1 Operações com vetores
Temos a adição e a subtração de vetores, mas apesar dos nomes essas operações possui muitas diferenças com as
operações de adição e subtração com números.
No caso da multiplicação há pelo menos três tipos de multiplicação: a multiplicação de um vetor por um escalar,
o produto escalar e o produto vetorial.
Note então que os vetores são muito diferentes do que simples números. Parece complicado mas nós já usamos
vetores no nosso dia a dia, por exemplo: quando apontamos o dedo para indicar onde está uma bola no quintal, o
dedo é a representação real de um vetor.
Assim, pense como somar esse gesto de apontaro dedo com outro gesto de apontar o dedo?
Qual vai ser o resultado?
É isso que veremos a seguir.
3.1.1 Adição e Subtração de vetores
Vamos usar a Representação de segmentos orientados para mostrar como é diferente a soma e a subtração.
A regra do paralelograma.
Nessa representação a somaa de dois vetores é uma sequência de movimentações e ligação de pontos.
Vamos "somar" os seguintes dois vetores ~A e ~B:
1) Transporte paralelamente o vetor ~B até que o seu começo �que na ponta da �echa de ~A.
3.1. OPERAÇÕES COM VETORES 23
2) Para encontrar o vetor soma ~C = ~A+ ~B ligamos o começo da �echa ~A com a ponta da �echa ~B:
A subtração ~D = ~A� ~B
1) Inverte o sentido de ~B e chame-o de � ~B.
2) Transportamos o vetor - ~B paralelamente ligando o começo de sua �echa na ponta da �echa de ~A
3) Ligamos o começo da �echa de ~A com a ponta da �echa de � ~B para obter o vetor subtração ~D.
Note que essa regra em nada se parece com a soma e a subtração aritméticas.
Para encontrar o módulo (tamanho) dos vetores ~C e ~D precisamos medi-los com uma régua.
Soma e subtração na representação cartesiana
Vamos ver que as operações de vetores nessa representação se tornam uma forma de cálculo.
Dados dois vetores:
~A = Axx̂+Ay ŷ e ~B = Bxx̂+By ŷ
24 CHAPTER 3. NOTAS DE GEOMETRIA: ESCALARES E VETORES
onde
(
Ax = Componente x̂ de ~A
Ay = Componente x̂ de ~A
)
e
(
Bx = Componente x̂ de ~B
By = Componente x̂ de ~B
)
:
A adição ~C = ~A+ ~B, substituimos ~A por (Axx̂+Ay ŷ) e ~B por (Bxx̂+By ŷ):
~C =
~Az }| {
Axx̂+Ay ŷ +
~Bz }| {
Bxx̂+By ŷ (3.5)
juntamos as componentes x de ~A com a de ~B e as componentes y de ~A com a de ~B e assim obtemos o vetor ~C
~C = (Ax +Bx) x̂+ (Ay +By) ŷ: (3.6)
O vetor ~C também pode ser escrito como:
~C = Cxx̂+ Cy ŷ: (3.7)
Comparando com o resutado acima as componentes Cx e Cy de ~C são:
Cx = Ax +Bx e Cy = Ay +By (3.8)
A subtração: ~D = ~A � ~B, nessa representação não precisamos inverter ~B, substituímos ~A e ~B pelas suas
expressões:
~D =
~Az }| {
Axx̂+Ay ŷ �
~Bz }| {
(Bxx̂+By ŷ);
passa o sinal negativo para dentro do parênteses
~D = Axx̂+Ay ŷ �Bxx̂�By ŷ; (3.9)
e reune componente x de ~A com a componente x de ~B, idem para as componentes y, temos:
~D = (Ax �Bx) x̂+ (Ay �By) ŷ:
~D também pode ser escrito por: ~D = Dxx̂+Dy ŷ. Comparando com o resultado acima temos:
Dx = Ax �Bx e Dy = Ay �By: (3.10)
Exemplos:
~A = 3x̂+ 5ŷ e ~B = 2x̂+ 2ŷ:
A soma é:
~A+ ~B = (3 + 2) x̂+ (5 + 2) ŷ = ~C;
então:
~C = 5x̂+ 7ŷ:
A subtração é:
~A� ~B = (3� 2) x̂+ (5� 2) ŷ = ~D;
então:
3.1. OPERAÇÕES COM VETORES 25
~D = 1x̂+ 3ŷ: (3.11)
Obs: Nesses exemplos omitimos as unidades mas se pode notar que os vetores podem ser muito grandes se a
unidade for km ou muito pequeno se a unidade for menor que o mm e isso não nos di�culta realizar as operações.
Essa forma de representar o vetor, nos permite extendermos para dimensões maiores de forma simples.
Para 3D
~A = Axx̂+Ay ŷ +Az ẑ e ~B = Bxx̂+By ŷ +Bz ẑ: (3.12)
A soma é:
~A+ ~B = (Ax +Bx) x̂+ (Ay +By) ŷ + (Az +Bz) = ~C (3.13)
A subtração é:
~A� ~B = (Ax �Bx) x̂+ (Ay �By) ŷ + (Az �Bz) = ~D (3.14)
Como seria em 1D?
Precisamos escolher os eixos. Escolhendo o eixo x horizontal, temos:
~A = Axx̂ e ~B = Bxx̂: (3.15)
Note que os dois vetores estão na mesma direção x. Podemos denotá-los por ~Ax e ~Bx
A soma é:
~Ax + ~Bx = (Ax +Bx) x̂ (3.16)
então ~Cx é:
~Cx = (Ax +Bx) x̂
A subtração é:
~Ax � ~Bx = (Ax �Bx) x̂ (3.17)
e o vetor ~D é:
~Dx = (Ax �Bx) x̂: (3.18)
Tanto o vetor soma ~Cx e o vetor diferença ~Dx estão na mesma direção x que ~Ax e ~Bx.
Escolhendo o eixo y vertical, temos:
~Ay = Ay ŷ e ~By = By ŷ: (3.19)
A soma é:
~Ay + ~By = (Ay +By) ŷ = ~Cy (3.20)
A subtração é:
~Ay � ~By = (Ay �By) ŷ = ~Dy (3.21)
Agora todos os vetores ~Ay; ~By; ~Cy e ~Dy estão na mesma direção y vertical.
O que acontece se somarmos os vetores em 1D que estão em eixos diferentes como por exemplo: ~r = rxx̂ com
~t = ty ŷ ?
R. Vamos reencontrar um vetor em 2D, veja:
~r + ~t = rxx̂+ ty ŷ: (3.22)
26 CHAPTER 3. NOTAS DE GEOMETRIA: ESCALARES E VETORES
pois ~r está na direção horizontal (seta deitada) e ~t está na direção vertical (seta em pé).
Podemos ver isso usando a representação das �echas (segmentos orientados)
veja que o vetor soma ~r + ~t não está nem no eixo horizontal x̂ e nem no eixo vertical ŷ.
Atividade: Com base nas seguintes expressões:
~r = rxx̂ e ~t = ty ŷ (3.23)
atribua valores para rx e ty.
A seguir escreva as expressões para:
a) a soma: ~r + ~t = :::, b) a subtração: ~r � ~t = :::.
c) Use unidades de cm e desenhe a soma e a subtração.
3.1.2 Multiplicação de um vetor por um escalar
Ele é de�nido por:
~A = c ~B
Aqui o escalar c multiplica o vetor ~B resultando no vetor ~A. O efeito do valor de c é o de aumentar o módulo
(tamanho de ~B).
O escalar c não afeta a direção do vetor ~B e assim o vetor ~A tem a mesma direção de ~B. Mas c pode afetar o
sentido de ~B fazendo com que ~A �que em sentido oposto de ~B isso ocorre quando c < 0. Assim ~A pode ser paralelo
~B quando c > 0 ou antiparalelo à ~B quando c < 0. Se c = 0 o vetor ~A é nulo.
Exemplo 1) ~B = 7x̂; c = 2;
~A = 2 ~B
então
~A = 2 (7x̂) = 14x̂: (3.24)
note que o ~A é 2 vezes maior que ~B: ��� ~A��� = 14; ��� ~B��� = 7: (3.25)
e ~A está na mesma direção e sentido de ~B que é a direção x sentido positivo. Dizemos que ~A é paralelo à ~B.
Exemplo 2) ~B = 7x̂; c = �2
~A = �2 ~B; ent~ao ~A = �2 (7x̂) = �14x̂
nesse caso dizemos que ~A é antiparalelo à ~B. O tamanho de ~A continua sendo o dobro de ~B:��� ~A��� =q(�14)2 = p142 = 14; ��� ~B��� = 7: (3.26)
3.2. EXERCÍCIOS 27
Exemplo 3) ~B = 7x̂; c = 12 ;
~A =
~B
2
: (3.27)
substituindo ~B, encontramos:
~A =
1
2
(7x̂) =
7
2
x̂ = 3; 5x̂: (3.28)
e o efeito é obter um vetor que é a metade do tamanho de ~B.
3.2 Exercícios
1) Realize a soma dos seguintes vetores:
a) ~A = 2x̂+ 5ŷ, ~B = 4x̂+ 12 ŷ
b) ~A = 8
p
2x̂+ 12; 5ŷ, ~B = 2
p
2x̂� 7; 5ŷ
c) ~A = 32 x̂�
2
3 ŷ,
~B = 52 x̂+
4
3 ŷ
Obs: A resposta são os vetores do exercício 2)
2) Calcule o módulo dos seguintes vetores.
a) ~C = 6x̂+ 112 ŷ b)
~C = 10
p
2x̂+ 20ŷ c) ~C = 4x̂+ 23 ŷ
Resp. a) C =
p
265
2 , b) C = 10
p
6, c) C = 23
p
37
3) Considere o vetor ~r = 17x̂+ 13ŷ:
a) Calcule o seu módulo r. R r =
p
458
b) Encontre o vetor ~R = c~r para o escalar c dados por:
b1) c = 3, Res. ~R = 51x̂+ 39ŷ
b2) c = �4, Res. ~R = �68x̂� 52ŷ
c) Calcule o módulo dos vetores ~R do item b).
c1) Res.R = 3
p
458
c2) Res.R = 4
p
458
d) Compare os módulos dos vetores ~R com o módulo do vetor r. O que aconteceu?
4) Considere os seguintes vetores ~A = 30x̂ e ~B = 20ŷ
a) Realize a soma ~C = ~A+ ~B
b) Realize a subtração ~C = ~A� ~B.
d) Realize a subtração ~C = � ~A+ ~B
5) Calcule o módulo r dos seguintes vetores:
a) ~r = 3tx̂+ 9tŷ, b) ~r =
p
3ax̂�
p
6aŷ
resp. a) r = 3t
p
10. b) r = 3a
6) Calcule o vetor soma ~r dos seguintes vetores
a) ~r1 = atx̂+ dtŷ, ~r2 = (b+ a) tx̂+ atŷ
b) ~r1 = 2yx̂+ 32yŷ, ~r2 = �4yx̂+
1
2yŷ
Resp. a) ~r = (b+ 2a) tx̂+ (a+ d) tŷ, b) ~r = �2yx̂+ 2yŷ:
7) Considere os seguintes vetores 1D: ~A = (3 + 4x) x̂, ~B = (�2 + 3x) ŷ.
Construa todos os 4 possíveis vetores ~C em 2 dimensões:
28 CHAPTER 3. NOTAS DE GEOMETRIA: ESCALARES E VETORES
Chapter 4
Cinemática em 1D de 1 partícula
A cinemática é o estudo do movimento de um sistema sem levar em conta as causas que mudam o estado de
movimento. As causas da mudança do estado de movimento são as forças que estudaremos mais adiante.
Os elementos básicos para a caracterização do movimento são: o sistema de referência e as grandezas cinemáticas
de posição, velocidade, aceleração e governando essas grandezas temos o tempo. A velocidade e a aceleração nos
permitem classi�car os movimentos entre M.U - Movimento Uniforme e M.U.V - Movimento Uniformemente Variado.
A de�nição exata dessas grandezas nescessita dos conhecimentos de geometria, tais como: sistema de coordenadas
e as grandezas escalares e vetoriais. Vamos então à uma breve introduçãodesses elementos geométricos.
4.1 Localização da partícula: o referencial
O referencial é um conceito fundamental e intuitivo pois nós já o usamos diáriamente, e.g.,:
O an�teatro da furg �ca logo depois da entrada no lado esquerdo.
Nessa frase a entrada é o referencial para a localização do an�teatro.
A cidade de São José �ca ao norte de Rio Grande.
E nessa frase é a cidade de Rio Grande que é o referencial para a localização da cidade de São José.
Observe que o tamanho do objeto não importa no uso dele como referencial, pois conseguimos abstrair esse
tamanho quando o utilizamos para essa �nalidade. Podemos inclusive abstrair toda a extensão do objeto e reduzi-lo
à um ponto.
Agora analise as seguintes situações:
Uma pessoa está sentada numa cadeira dentro de uma sala. Ela está em movimento?
a) Sim b) Não c) Depende
A resposta é c). Pense: Por que?
Uma pessoa está sentada num carro que se movimenta numa estrada. Ela está em movimento?
29
30 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
a) Sim b) Não c) Depende
A resposta é c). Pense: Por que? Depende do que?
A resposta é : Depende do ponto de referência.
Na primeira situação se o ponto de referência estiver sobre o eixo de rotação da Terra, tanto a sala como a
cadeira e consequentemente a pessoa estão em movimento.
Na segunda situação se o ponto de referência estiver dentro do carro, por exemplo: o espelho retrovisor, ela
não se move em relação ao espelho.
Vamos então formalizar para que o conceito de referência seja mais precisa e de validade mais geral possível.
Exemplo: Em 1D ao longo de uma reta podemos escolher um ponto qualquer da reta para ser o ponto de
referência.
Além do ponto de referência precisamos conhecer a direção do movimento (direção vertical, horizontal, inclinado)
e o sentido do movimento ( à direita do ponto de movimento, à esquerda do ponto de movimento, etc). Assim
precisamos de um sistema de eixos orientados. Escolhe-se um sistema de eixos perpendiculares entre si, por exemplo:
Sistema de eixos cartesianos em 1D.
Temos apenas um eixo
De�nição: O referencial ou sistema de referência é um ponto do espaço escolhido para ser um ponto
de referência acrescido de um sistema de eixos coordenados com a origem do sistema colocada sobre o ponto de
referência.
4.1. LOCALIZAÇÃO DA PARTÍCULA: O REFERENCIAL 31
4.1.1 Grandezas de localização
A posição.
Ela descreve a localização de uma partícula em relação ao referencial escolhido.
Exemplo: Em 1D (uma dimensão) ao longo da reta horizontal mostrada na �gura abaixo:
temos que o ponto de referência é a origem O e a posição do corpo é ~x = 3x̂ (em metros). Isto signi�ca que o corpo
está na posição 3m na direção x e no sentido positivo (valor positivo).
O Deslocamento
O deslocamento é a diferença entre a posição �nal (~xf ) e a posição inicial (~xi) e é denotada por �~x.
�~x = ~xf � ~xi: (4.1)
Nota: Do ponto de vista de vetores, temos aqui uma subtração de vetores ~D = ~A � ~B, onde ~A = ~xf , ~B = ~xi e
~D = �~x . O símbolo delta � indica que tomamos a diferença de vetores ~x.
Exemplo:
1) Posição inicial: ~xi = 3x̂ (m), posição �nal: ~xf = 5x̂ (m).
O deslocamento é �~x = 5x̂� 3x̂ = (5� 3) x̂ = 2x̂ (m).
2) Posição inicial: ~xi = 3x̂ (m), posição �nal: ~xf = �5x̂ (m).
32 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
O deslocamento é �~x = �5x̂� 3x̂ = (�5� 3) x̂ = �8x̂ (m).
Compare os dois exemplos. Note que no segundo exemplo temos um deslocamento negativo.
Podemos ver que a posição e os deslocamentos são vetores.
A Distância.
A distância d é o módulo do deslocamento:
d = j�~xj
e assim a distância é um escalar, i.e., ele não tem a indicação de direção e sentido.
Exemplos
1) Do caso 1) �~x = 2mx̂ , temos: d = j�~xj = j2mx̂j =
p
22m2 = 2m:
2) Do caso 2) �~x = �8mx̂ , temos: d = j�~xj = j�8mx̂j =
p
82m2 = 8m
Deslocamento total.
Um corpo pode realizar vários deslocamentos e assim podemos de�nir o deslocamento total.
Def. O deslocamento total é de�nido por:
�~xtotal = ~xf � ~xi: (4.2)
Ops! Ele não parece como uma soma de deslocamentos. O que aconteceu?
Vamos a um exemplo:
1) Um corpo parte da posição ~x0 = 3mx̂, ele vai até a posição ~x1 = 11mx̂ e depois retorna para a posição
~x2 = 7mx̂
a) Calcule os deslocamentos �~x1 = ~x1 � ~x0 e �~x2 = ~x2 � ~x1.
Res. �~x1 = ~x1 � ~x0 = 11mx̂� 3mx̂ = 8mx̂
�~x2 = ~x2 � ~x1 = 7mx̂� 11mx̂ = �4mx̂, o deslocamento foi negativo pois ele voltou para trás.
b) Calcule o deslocamento total.
Podemos calcular de duas formas:
b1) O deslocamento total como uma soma dos deslocamentos: �~xt = �~x1 +�~x2,
Res: �~xt = �~x1 +�~x2 = 8mx̂+ (�4mx̂) = 4mx̂
Não conseguimos ver muita coisa aqui.
b2) Vamos primeiro fazer um cálculo analítico:
�~xt = �~x1 +�~x2 =
1o¯z }| {
~x1 � ~x0 +
2o¯z }| {
~x2 � ~x1
agora podemos ver que ocorre o cancelamento entre ~x1 do 1o¯ termo com �~x1 do 2o¯ termo e obtemos:
�~xt = ~x2|{z}
fim
� ~x0|{z}
inicio
veja que obtemos ~xf � ~xi. Isso sempre irá ocorrer no cálculo do deslocamento
total.
então �~xt = 7mx̂
fim
� 3mx̂|{z}
inicio
= 4mx̂
Não precisa dos deslocamentos intermediários
c) Calcule a distância total.
Res.: A distância total é a soma das distâncias. A distância intermediária é o módulo do deslocamento inter-
mediário. Assim temos:
d1 = j�~x1j =
q
(8m)
2
= 8m d2 = j�~x2j =
q
(�4m)2 = 4m, então:
4.2. RECONHECENDO O MOVIMENTO: A VELOCIDADE 33
dt = d1 + d2 = 8m+ 4m = 12m.
Compare com o �~xt e explique porque é diferente.
O �~xtotal sempre será ~xf � ~xi.
Vamos à um exemplo analítico (sem números).
Exemplo: Um corpo realiza tres deslocamentos: �~x1 = ~x1 � ~x0, �~x2 = ~x2 � ~x1 e �~x3 = ~x3 � ~x2.
Temos que ~x0 = posição inicial e ~x3 = posição �nal.
Vamos calcular analíticamente o deslocamento total.
�~xt = �~x1 +�~x2 +�~x3
= ~x1 � ~x0 + ~x2 � ~x1 + ~x3 � ~x2
Cancela ~x1, ~x2
= �~x0 + ~x3 = ~x3 � ~x0 e obtemos de novo:
�~xt = ~x3|{z}
fim
� ~x0|{z}
inicio
Veja que o cálculo analítico simpli�cou nossa vida pois não precisamos calcular todos os deslocamentos para
encontrar o deslocamento �nal, só precisamos saber a posição �nal e a posição inicial.
4.1.2 Exercícios
1) Mostre, calculando analíticamente, que, quando um corpo realiza 4 deslocamentos �~r1 = ~r1�~r0, �~r2 = ~r2�~r1,
�~r3 = ~r3�~r2 e �~r4 = ~r4�~r3 onde ~r0 é a posição inicial e ~r4 é a posição �nal, o deslocamento total é �~rt = ~r4�~r0.
Olhe para o seu cálculo e explique o que aconteceu com as posições intermediárias.
2) Mostre que quando um corpo realiza 5 deslocamentos �~r1 = ~r1 � ~r0, �~r2 = ~r2 � ~r1, �~r3 = ~r3 � ~r2,
�~r4 = ~r4 � ~r3 e �~r5 = ~r5 � ~r4 onde ~r0 é a posição inicial e ~r5 é a posição �nal o deslocamento total é dado por
�~rt = ~r5 � ~r0 = ~rf � ~ri.
3) Um corpo parte da posição ~r0 vai até a posição ~r1, depois vai até a posição ~r3 e a seguir até a posição ~r4 e
�ca nessa posição. Sejam ~r0 = 10mx̂ e ~r4 = �8mx̂. Calcule o deslocamento total?
4.2 Reconhecendo o movimento: a velocidade
A velocidade é o conceito que nos permite reconhecer o estado de movimento. Ordináriamente há dois estados cujo
estado de movimento é fácil de reconhecer: parado e em movimento. Vamos formalizar a caracterização desses
estados, para isso é preciso quanti�car a passagem do tempo e de�nir a variação da posição a medida que o tempo
passa.
O Intervalo de tempo �t.
Ele é a diferença entre o instante �nal tf e o instante inicial ti.
De�nição:
�t = tf � ti: (4.3)
Mede a mudança do tempo
34 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
A Velocidade Média ~vm
O seu conceito é o de medida da mudança de posição a medida que o tempo passa.
Um corpo parado signi�ca que não há mudança na posição, vamos indicar isso por vm = 0.
Um corpo rápido tem uma mudança grande de posição em um tempo curto. Vamos indicar isso por um vm
grande.
E um vm pequeno deve indicar um corpo lento.
Vamos construir uma equação contenha esse conceito
Def. 1
vm =
�x
�t
=
xf � xi
tf � ti
Analise do conteúdo físico.
1) Toma vm = 0. Pela equação signi�ca �x = 0 ! xf = xi e o corpo não sai da posição inicialnão importa
quanto tempo passe. É o que queremos para o corpo em repouso.
2) Toma vm grande. Da equação signi�ca �x grande para um �t curto. Temos xf muito maior que xi, ou seja,
o corpo andou uma grande distância num intervalo de tempo curto. Isso é o que queremos para um movimento
rápido.
3) Toma vm pequeno. Isso implica que �x pequeno para um �t grande, ou seja xf está perto de xi, embora
tenha passado um tempo grande. É o que desejamos para um corpo lento.
Vemos que conceitualmente a expressão construída é consistente com o conceito de velocidade. Mas falta a
direção e o sentido.
Mudamos a construção para:
Def. 2
~vm =
�~x
�t
=
~xf � ~xi
tf � ti
(4.4)
Do ponto de vista matemático, temos uma multiplicação de um vetor (�~x) por um escalar c = 1=�t. Veja:
~A = c ~B !
~Az}|{
~vm =
cz}|{
1
�t
~Bz}|{
�~x (4.5)
e na matemática, em relação à direção e sentido, ~A = c ~B nos diz que a direção e sentido de ~A são os mesmos que
~B para c > 0.
Temos que c = 1�t e �t > 0 sempre. Assim ~vm =
�~x
�t nos diz que ~vm é paralelo à �~x. o que é de se esperar para
a grandeza de velocidade.
Obs: A Matemática permite também que c < 0, mas quando fazemos c = 1�t a Física exclui essa possibilidade.
Conclusão: Vemos que a de�nição matemática 2 de velocidade média é consistente com o conceito (idéia) que
queremos de velocidade.
Podemos agora ir ao laboratório e testar com precisão essa expressão e veri�car quantitativamente todos esses
comportamentos. A fórmula nos guia como fazer o experimento. Ela nos mostra que precisamos medir os módulos
das posições xf e xi e calcular �x . Concomitantemente precisamos medir tf e ti para calcular �t. O teste consiste
em usar valôres teóricos para �x e �t e calcular o valor teórico v(Teoria)m . A seguir realizar o experimento e usar os
valôres experimentais de �x e �t para calcular o valor experimental v(Exper:)m e se faz a comparação entre v
(Teoria)
m
e v(Exper:)m .
4.2. RECONHECENDO O MOVIMENTO: A VELOCIDADE 35
Note então como podemos usar as equações para projetar equipamentos e é por isso que é importante saber ler
o conteúdo físico que estão nelas.
Após todos esses testes podemos con�ar que a expressão matemática de ~vm contém todos os comportamentos
físicos que esperamos para a velocidade.
A de�nição matemática também nos permite encontrar as unidades para a velocidade. Na expressão de ~vm
destacamos as unidades de deslocamento e tempo:
~vm =
�~x
�t
[m]
[s]
e encontramos a unidade de metro por segundo ([m] = [s]) para a unidade de velocidade.
Comentários:
1) Embora essa análise pareça óbvia, ela está sendo apresentada com detalhes para que voces exercitem essa
análise com todas as equações matemáticas da Física, pois é esse tipo de análise que nos ajuda a entender o
conteúdo físico das fórmulas, ou seja, nos ajuda a ler a física das fórmulas. É essa leitura que nos permite entendê-
las. A obviedade aqui é devido à simplicidade da fórmula e conceitos envolvidos. Lembre-se da fórmula E = mc2,
matemáticamente simples e conceitualmente complexo e desa�ador.
2) A análise também nos revelou onde está a diferença entre o que a Matemática permite fazer e o que a Física
permite fazer.
3) Essa análise nos dá a habilidade de construir fórmulas que descrevam os fenômenos físicos. O método de
construção de fórmulas a partir de experimentos é chamado de Método Empírico e veremos fórmulas que são
construídas dessa maneira em vez de ser deduzidas.
4) O entendimento do conteúdo físico das fórmulas é o que nos guia a projetar equipamentos, engenhos, processos,
estruturas, etc. Esse entendimento nos mostra o que se pode e o que não se pode fazer.
Exemplos:
1) Eixo x na horizontal apontado para direita.
~xf = 10m, em tf = 4min e ~xi = 4m em ti = 1min .
Temos: �~x = ~xf � ~xi = (10m� 4m) x̂ = 6mx̂, �t = tf � ti = 4min�1min = 3min.
~vm =
�~x
�t
=
6mx̂
3min
= 2
m
min
x̂
Módulo da velocidade média j~vmj = vm
vm =
p
v2x = vx = 2
m
min
pois só tem a componente x. Note que vm 6= ~vm.
Obs: Poderíamos usar vm para classi�car com exatidão os estados em repouso e em movimento, mas essa
classi�cação é feita usando-se o conceito de velocidade instantânea que veremos mais adiante.
Vamos escrever a expressão de ~vm na seguinte forma:
~vm =
�~r
�t
(4.6)
pois agora nós não estamos mais limitado ao eixo ~x. Aqui ~r pode estar no espaço 1D, 2D ou 3D.
O que mais a expressão da velocidade média nos permite descobrir?
36 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
Reescrevendo a de�nição em termos dos módulos:
a)vm =
�r
�t
(4.7)
Podemos reescrever essa expressão nas seguintes formas
b) �t =
�r
vm
; c) �r = vm�t: (4.8)
A forma b) nos permite encontrar �t a partir de �r e vm e a forma c) nos permite encontrar �r a partir de vm e
�t. Do ponto de vista matemático na forma b) a incógnita é �t e na forma c) a incógnita é �r. Em resumo:
a)
incognita
vm =
dadosz}|{
�r
�t
; b)
incognita
�t =
dadosz}|{
�r
vm
; c)
incognita
�r =
dadosz }| {
vm�t: (4.9)
As expressões analíticas nos permitem discriminar entre dados e incógnitas, isso nos ajuda na resolução de
problemas. Esse é um dos motivos que é importante que se saiba realizar cálculos sem números.
Método para resolução das questões.
Precisamos sempre identi�car as incógnitas e os dados.
Exemplo 1) Um carro viaja à velocidade média de 60 km/h. Quanto tempo ele leva para percorrer 30 km?
R. Passo 1) achar qual é a incógnita.
Ela está na pergunta, então ela é �t.
Passo 2) Procurar os dados, eles estão no resto do enunciado.
Eles são �r = 30km e vm = 60km=h.
Passo 3) Qual é a fórmula onde �t é incógnita e �r e vm são dados?
R.�t = �rvm .
Substitui os dados: �t = 30km
60 kmh
= 3060h =
1
2h = 30min
Exemplo 2) Um carro passa 1h e meia viajando à velocidade de 80 km=h. De quanto ele se deslocou?
R. Passo 1: a incógnita. O deslocamento �r.
Passo 2: os dados. �t = 1 : 30h e vm = 80 km=h.
Passo 3: A fórmula: �r = vm�t
Sustitui os dados na formula, temos:�r = 80kmh 1h30min
aqui temos um problema adicional de unidades e podemos converter h para minutos.
�r = 8060
km
min90min =
8
690km
= 4390km = 4� 30km = 120km
E encontramos: �r = 120km.
Exemplo 3) Um carro, ao longo de uma estrada reta, percorre os primeiros 40km com uma velocidade de 30km=h
e os próximos 40km com velocidade de 60 km=h. Qual é a sua velocidade média total?
R. Temos um problema um pouco mais complexo.
Passo 1) Fazer um desenho esquemático.
4.3. A VELOCIDADE INSTANTÂNEA. 37
Incógnita principal. vmTotal,
dados: trecho 1: �r1 = 40 km, vm1 = 30km=h, trecho 2: �r2 = 40km, vm2 = 60=km
A fórmula para vmTotal é :
vmTotal =
�rtotal
�ttotal
(4.10)
.
Incógnitas principais 2: �rtotal e �ttotal
Olhando para o desenho podemos encontrar �rtotal a partir dos dados:
�rtotal = �r1 +�r2 = 80km (4.11)
Faltam �t1 e �t2 para achar �ttotal = �t1 +�t2
Incógnitas secundárias �t1 e �t2
então a formula secundária é b)
incognita
�t =
dadosz}|{
�r
vm
e escreve-se para cada trecho da �gura:
�t1 =
�r1
vm1
= 40km30km=h =
40
30h =
4
3h e �t2 =
�r2
vm2
= 40km60km=h =
2
3h
�tTotal =
4
3
h+
2
3
h =
6
3
h = 2h (4.12)
Substituindo os resultados de (4.11) e (4.12) na eq. (??), temos:
vmTotal =
80km
2h
= 40
km
h
: (4.13)
4.3 A velocidade instantânea.
O problema:
A velocidade instantânea é a velocidade do corpo num dado instante especí�co.
Como podemos obtê-la?
No caso da velocidade ser constante, vimos que podemos usar o processo descrito na de�nição de velocidade
média para obter essa velocidade pois ~vm = ~vconst.
Mas quando a velocidade depender do intervalo de tempo, como podemos obtê-la?
Uma idéia é �xar tf e iniciar a medida do instante inicial mais próximo possível de tf , tão próximo tal que ti
seja quase igual à tf . Contudo no mundo real isso é impraticável, uma pessoa usando um cronômetro não é capaz
de disparar e parar o cronômetro num intervalo de tempo menor que 0; 5 segundos.
E do ponto de vista matemático?
38 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
Vemos que quando ti ! tftemos que �t ! 0 e a razão �~r=�t pode tender para in�nito ou para 0=0 quando
~ri se torna quase ~rf e essas duas situações são matemáticamente indetermináveis.
Será que há uma solução matemática para isso?
A resposta é sim. Ela é o conceito de limites. Com base nesse conceito podemos de�nir matemáticamente o
módulo da velocidade instantânea por:
v = lim
�t!0
vm = lim
�t!0
rf � ri
�t
(4.14)
onde rf = j~rf j , ri = j~rij e vm = j~vmj
Vamos então para o tópico de limites do Cálculo In�nitesimal.
4.3.1 Notas de Cálculo: O Paradoxo de Zenon. Limites e in�nitésimo
Uma tartaruga viaja de uma cidade A até uma cidade distante B. Mas a cada dia de viajem ela percorre metade
do caminho que falta e pára.
Assim temos
Seja D a distância entre as duas cidades.
Dia 1: distância percorrida d1 = D=2. distância que falta �d1 = D=2
Dia 2: distância percorrida d2 = �d1=2 = D=4. distância que falta �d2 = D=4
Dia 3: distância percorrida d3 = �d2=2 = D=8. distância que falta �d3 = D=8
Dia 4: distância percorrida d4 = �d3=2 = D=16. distância que falta �d4 = D=16:
Dia 5: distância percorrida d5 = �d4=2 = D=32. distância que falta �d5 = D=32:
4.3. A VELOCIDADE INSTANTÂNEA. 39
Observação 1.
A distância �d que falta vai diminuindo a cada dia:
�d =
D
2
;
D
22
;
D
23
;
D
24
;
D
25
;
D
26
; :::;
D
2N
; N !1
porém nunca é nulo. N é o número de dias que passaram. A distância que falta �d, quando 2N é muito maior que
D (2N � D) é um exemplo de grandeza in�nitesimal �d = ".
Observação 2:
Observe que a tartaruga nunca vai chegar na cidade B. Ou seja ela nunca vai percorrer a distância D.
Somando as distâncias percorridas em cada dia
dtotal = d1 + d2 + d3 + :::
=
D
2
+
D
22
+
D
23
+
D
24
+
D
25
+
D
26
+ :::+
D
2N
+ :::
e temos que
dtotal . D
ou seja, a distância total dtotal percorrida pela tartaruga é menor que D mas é quase igual a D. A diferença entre
essas distâncias é também um in�nitésimo
D � dtotal = "; 0 < " < 1:
Na linguagem matemática dizemos que D é o limite de dtotal a medida que o número de dias que passaram N
cresce.
lim
N!1
dtotal = D
ou seja a soma dtotal nunca ultrapassará o valor D.
Exemplo:
Escolhe-se D = 40km
temos:
d1 =
40
2
= 20; d2 =
40
22
= 10; dtotal = d1 + d2 = 20 + 10 = 30
somando o próximo di no resultado anterior:
d3 =
40
23 = 5:0 dtotal = 30 + 5 = 35;
d4 =
40
24 = 2:5 dtotal = 35 + 2:5 = 37:5
d5 =
40
25 = 1:25 dtotal = 37:5 + 1:25 = 38:75
d6 =
40
26 = 0:625; dtotal = 38:75 + 0:625 = 39:375
d7 =
40
27 = 0:312 5; dtotal = 39:375 + 0:3125 = 39:688
d8 =
40
28 = 0:156 25; dtotal = 39:688 + 0:156 25 = 39:844
d9 =
40
29 = 0:07812 5; dtotal = 39:844 + 0:07812 5 = 39:922
Pode-se observar que a soma dtotal se aproxima de D = 40, mas nunca chega a ser igual pois cada dN seguinte
é sempre menor do que o anterior dN�1. Assim nesse caso o limite é
lim
N!1
dtotal = 40km: (4.15)
40 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
O in�nitésimo " (épsilon)
A distância que falta � = D � dtotal
n=3 dtotal = 35; � = 40� 35 = 5 km
n=4 dtotal = 37:5 � = 40� 37:5 = 2:5 km
n=5 dtotal = 38:75 � = 40� 38:75 = 1:25 km
n=6 dtotal = 39:375 � = 40� 39:375 = 0:625 km
n=7 dtotal = 39:688 � = 40� 39:688 = 0:312 km
n=8 dtotal = 39:844 � = 40� 39:844 = 0:156
n=9 dtotal = 39:922 � = 40� 39:922 = 0:078
Observe que � �ca cada vez menor tendendo a 0, mas nunca será zero. Quando �! 0 dizemos que ele se torna
um in�nitésimo "
Assim o in�nitésimo é o menor valor possível, porém nunca é zero. Quanto menor? Quanto quisermos.
No Cálculo Integral e Diferencial esse processo de obtenção de limites é aplicado às funções.
lim
�x!0
f (xf )� f (xi)
�x
; �x = xf � xi (4.16)
Aqui �x ! 0 signi�ca que o valor de xi �ca muito próximo do valor de xf , mas nunca serão iguais. Isso faz com
que o valor de f (xi) se aproxime do valor de f (xf ), podendo ser igual ou não.
�x! 0 signi�ca que ele é um in�nitésimo, i.e., �x = ".
Comentário: Note que o lim�x!0 é um processo de se encontrar o limite de f (x) quando aproximamos xi de
xf , onde xf é mantido �xo.
Exemplo:
Considere f (x) = x2. Vamos calcular o seu limite.
Temos f (xf ) = x2f e f (xi) = x
2
i
De �x = xf � xi obtemos xf = xi +�x e substitui em f (xf ):
f (xi +�x) = (xi +�x)
2
= x2i + 2xi�x+�x
2
Substituimos essa expressão de f (xf ) e o f (xi) = x2i na expressão do limite:
lim
�x!0
f (xf )� f (xi)
�x
= lim
�x!0
f (xi +�x)� f (xi)
�x
(4.17)
= lim
�x!0
x2i + 2xi�x+�x
2 � x2i
�x
(4.18)
Podemos cancelar x2i
lim
�x!0
f (xf )� f (xi)
�x
= lim
�x!0
2xi�x+�x
2
�x
agora reescrevemos xi = x e podemos fazer a divisão por �x
lim
�x!0
f (xf )� f (xi)
�x
= lim
�x!0
2x+�x (4.19)
Agora tomamos �x! 0 e comparamos com 2x. Quão pequeno é �x em relação à 2x? Podemos fazer tão pequeno
quanto queiramos. Por exemplo:
4.3. A VELOCIDADE INSTANTÂNEA. 41
Se 2x = 2 podemos escolher �x = 0; 0001 ou menor
Se 2x = 02 podemos escolher �x = 0; 0000001 ou menor
e assim por diante.
Isso signi�ca que �x sempre poderá ser escolhido muito muito pequeno a ponto de que possamos fazer:
2x+�x � 2x (4.20)
e podemos dizer que lim�x!0 2x+�x = 2x
assim
lim
�x!0
f (xf )� f (xi)
�x
= 2x (4.21)
para f (x) = x2.
O que isso signi�ca?
O grá�co de x2 é uma parábola. Se escolher um ponto nessa parábola e olharmos com uma lente de aumento a
região em torno desse ponto, vamos perceber que essa região é aproximadamente uma reta inclinada.
Isso é algo que vemos acontecer conosco aqui na superfície da Terra. Como estamos bem perto da superfície
enxergamos a superfície como plana e não como uma superfície esférica.
Uma formiga andando sobre uma bola de futebol vê a superfície da bola como sendo plana.
Conclusão: Terraplanistas são como formigas. (Stephen Halking)
4.3.2 O limite da velocidade média - velocidade instantânea
Podemos agora entender o que signi�ca a velocidade instantânea v, de�nida como o limite da velocidade média, ou
seja:
v = lim
�t!0
vm:
Essa expressão indica o processo de obter a velocidade média a medida que ti se aproxima de tf mantendo o
instante tf �xo. A cada ti escolhido medimos vm e vamos observar que o valor de vm vai tender a um valor, digamos
v mas nunca será superior à v. Assim dizemos que:
A velocidade instantânea v é o limite para a velocidade média vm a medida que ti se aproxima de tf .
O vetor velocidade instantânea ~v
Acrescentamos a direção e sentido, pois a velocidade é uma grandeza vetorial.
No caso de 1D com o eixo x na horizontal, temos:
~vx = vxx̂: (4.22)
Para o eixo na direção vertical e apontado para cima, podemos usar:
~vy = vy ŷ: (4.23)
onde vy é o módulo da velocidade instantânea na direção y, i.e.:
vy = lim
�t!0
vym = lim
�t!0
yf � yi
�t
:
42 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
e temos:
~vy = vy ŷ: (4.24)
O módulo das velocidades
No caso 1D, temos:
j~vxj = vx; j~vyj = vy: (4.25)
Obs.: As grandezas vx, vy e v são escalares.
Exemplo:
a) Dados duas velocidades instantâneas: ~v(a)x = 3ms x̂ e ~v
(b)
x = 5
m
s x̂ vamos somar as duas velocidades e obter a
velocidade total ~v(t)x
~v(t)x = ~v
(a)
x + ~v
(b)
x = 3
m
s
x̂+ 5
m
s
x̂
= (3 + 5)
m
s
x̂ = 8
m
s
x̂
O módulo de ~v(t)x
Ele é ���~v(t)x ��� = 8ms : (4.26)
4.3.3 Notas de Cálculo: A derivada
Será que sempre temos que calcular o limite para obter a velocidade instantânea?
Na prática não fazemos isso na Física, nós usamos a operação derivada de uma função f (x) e ela é denotada
por:
df (x)
dx
: (4.27)
Podemos usar essa operação, pois ela é de�nida no Cálculo usando o conceito de limites:
df (x)
dx
= lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
: (4.28)
Essa expressão nos diz que:
Quando o limite da função f (x) existe ele é a derivada df(x)dx da função f (x)
O signi�cado de dx.
Ele é a variação �x quando �x! 0, i.e., ele é uma variação in�nitesimal de �x.
O signi�cado de df (x),
df (x) é uma variação in�nitesimal da função f (x), i.e.
Variação de f (x): �f (x) = f (xf )� f (xi) :
Quando �f (x)! 0 ou �f (x) se torna df (x)
Assim dx e df (x) são in�nitesimais mas nunca são nulos.
Nas aplicaçõespráticas olhamos a derivada como um operador, i.e.:
operador ! d
dx
4.3. A VELOCIDADE INSTANTÂNEA. 43
que atua sobre a função f (x),
d
dx
f (x) : (4.29)
Qual é o resultado?
R. É outra função:
d
dx
f (x) = g (x) : (4.30)
A operação derivação permite classi�car as funções da seguinte maneira:
d
dx
primitivaz }| {
f (x) =
derivadaz}|{
g (x)
assim a função primitiva f (x) dá origem à função derivada g (x).
Propriedades:
1) Variável de derivação. É a variável que aparece na parte de baixo do operador.
Variável de derivação Operador
x ddx
t ddt
y ddy
Ela indica em qual variável o operador atua. Se a variável não está presente na função primitiva, o resultado da
derivação é nula, e.g.:
d
dx
2t = 0,
d
dt
2x = 0;
d
dy
2t = 0; etc
Então, a derivação de uma função primitiva constante é nula:
d
dx
2 = 0,
d
dt
2 = 0;
d
dx
10 = 0; etc:
4) A derivada sempre atua nas funções à direita dela, se a função estiver à esquerda ela não atua, exemplos:
2
d
dx
= 2
d
dx
,
1
2
bx2
d
dx
=
1
2
bx2
d
dx
(4.31)
ou seja, ela não faz nada, �ca como está.
Regras de derivação:
Para tipos diferentes de funções temos as regras/fórmulas de derivação diferentes.
A regra do tombo para funções de potências f (x) = axn
A regra é:
d
dx
axn = naxn�1: (4.32)
tomba a potência n multiplicando-o pelo coe�ciente a e subtrai de �1 no expoente de x.
Aqui temos que f (x) = axn é a função primitiva e a função derivada será denotada por f 0 (x) = naxn�1. O
sobrescrito (
0
) indica que aplicamos uma vez a derivada em x sobre f (x).
Exemplos:
1) f (x) = x.
o coe�ciente aqui é 1, veja x = 1x e o expoente também é 1, veja : x = x1
44 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
Temos a = 1 e n = 1. Aplicando a fórmula, temos:
d
dx
x = 1x1�1 = 1x0 = 1; x0 = 1: (4.33)
Obs: Nesse exemplo a função derivada f 0 (x) = 1 é chamada de função constante.
2) f (x) = 2x, aplica a fórmula: a = 2, n = 1, então
d
dx
2x = 1� 2x1�1 = 2
3) f (x) = 3x2, temos: a = 3, n = 2, então:
d
dx
3x2 = 2� 3x2�1 = 6x: (4.34)
4) f (x) = 25x3 temos: a = 25, n = 3, então:
d
dx
25x3 = 2� 25x3�1 = 50x2: (4.35)
Propriedade distribuitiva
O operador derivada é distributivo para a adição de termos.
Exemplo: f (x) = ax+ bx2, então:
d
dx
�
ax+ bx2
�
=
d
dx
ax+
d
dx
bx2
a derivada de cada termo é:
d
dx
ax = a;
d
dx
bx2 = 2bx
substitui na equação acima, obtemos:
d
dx
�
ax+ bx2
�
= a+ 2bx
Exemplo: f (x) = 2x+ 3x2:
d
dx
f (x) =
d
dx
�
2x+ 3x2
�
=
d
dx
2x+
d
dx
3x2 (4.36)
então:
d
dx
f (x) = 2 + 6x
Exemplo: f (x) = �156 x
2
d
dx
f (x) =
d
dx
�
�15
6
x2
�
=
�15
6
2x2�1 =
�15
3
x:
Exemplo: f (x) = 5ax+ 9bx2
d
dx
f (x) =
d
dx
�
5ax+ 9bx2
�
=
d
dx
5ax+
d
dx
9bx2
calculando cada termo, temos:
d
dx
5ax = 5a;
d
dx
9bx2 = 2� 9bx2�1 = 18bx:
4.3. A VELOCIDADE INSTANTÂNEA. 45
e obtemos:
f 0 (x) = 5a+ 18bx
A regra ddxax = a
Como a derivada é de�nida a partir do processo de limites, podemos usar esse processo para deduzir matemáti-
camente essa regra da seguinte forma.
Temos que
f (x) = ax
e a de�nição de derivadas é:
d
dx
f (x) = lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
Calculamos f (x+�x), ele é:
f (x+�x) = a (x+�x) = ax+ a�x
e substituímos no limite:
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
= lim
�x!0
ax+ a�x� ax
�x
= lim
�x!0
a�x
�x
= lim
�x!0
a = a
assim encontramos:
d
dx
ax = a. (4.37)
Obs: Na seção sobre limites usamos como exemplo a função f (x) = x2 para o cálculo de limites e obtivemos o
resultado:
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
= 2x; para f (x) = x2;
podemos agora reescrever esse resultado como:
d
dx
x2 = 2x: (4.38)
Voce pode testar esse método usando a função f (x) = x3. Voce irá obter:
d
dx
x3 = 3x2. (4.39)
4.3.4 Exercícios:
1) Calcule a deriva em x (variável de derivação) das seguintes funções:
a) f (x) = 3x, b) f (x) = 12x. c) f (x) = 0; 5x. d) f (x) = 2xt
resp. a) f 0 (x) = 3, b) f 0 (x) = 1=2, c) f 0 (x) = 0; 5, d) f 0 (t) = 2t
2) Calcule a derivada em t (variável de derivação) das seguintes funções:
a) f (t) = 3t, b) f (t) = 12at. c) f (x) = 0; 5x. d) f (t) = 2xt:
resp. a) f 0 (x) = 3, b) f 0 (x) = a=2, c) f 0 (x) = 0, d) f 0 (t) = 2x
3) Calcule a derivada em t das seguintes funções.
a) x (t) = 1 + 3t, b) x (t) = 20� 15t, c) y (t) = �6 + 10t+ 5t2, d) y (t) = 25t� 32 t
2
resp.: a) x0 (t) = 3, b) x0 (t) = �15, c) y0 = 10 + 10t, d) y0 (t) = 25� 3t.
46 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1D DE 1 PARTÍCULA
4) Calcule a derivada em t das seguintes funções:
a) x (t) = x0 + vt, b) x (t) = x0 � vt+ a2 t
2, c) x (t) = vt� 3 g2 t
2:
resp.: x0 (t) = v, b) x0 = �v, c) x0 = v � 3gt
:
4.3.5 A Classi�cação estados pelo critério da velocidade.
Podemos agora classi�car os estados de forma exata.
Estado em repouso. É o estado onde a velocidade ~v = 0. no referencial
Estado em movimento. É o estado onde a velocidade ~v 6= 0.
A classi�cação de movimento lento, normal, rápido, ultra-rápido depende da escala do sistema em que se
está estudando, pois para cada escala pode-se escolher valôres para a velocidade instantânea que separe essas
classi�cações.
Por exemplo: uma pessoa com uma velocidade de 10m=s está muito rápido pois essa é a velocidade de um
corredor olímpíco de 100 metros rasos, mas para um carro essa velocidade é muito lenta.
Um avião de passageiros voa a 840 km/h e assim 100 km/h é muito lento para aviões.
Na Física Relativista temos a velocidade da luz c que é aproximadamente 300.000 km/s e as velocidades nessa
escala são chamadas de velocidades relativísticas.
4.4 Caso da velocidade constante. O M.R.U.
Nesse caso a velocidade não muda com o tempo e assim a velocidade instantânea é igual à velocidade média
~v = ~vm ! ~v =
�~r
�t
! �~r = ~v�t: (4.40)
Podemos escolher ti = 0, então �t = tf � 0 = tf e vamos renomear tf = t, ~ri = ~r0 e ~rf = ~r, reescrevemos:
~r � ~r0 = ~vt! ~r = ~r0 + ~vt: (4.41)
Essa expressão nos mostra que a posição �nal ~r do corpo é uma função do tempo e se pode reescrever:
~r (t) = ~r0 + ~vt (4.42)
onde ~r0 é a posição do corpo quando t = 0. Essa equação junto com a condição ~v = vetor constante de�ne o
Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.)
A eq.(4.42) é a frase matemática que descreve de forma exata e completa todos os in�nitos movimentos do tipo
M.R.U. São in�nitos, pois temos in�nitas possilidades para ~r0 e ~v como também um número in�nito de tamanhos
para intervalos de tempo.
Análise da eq.(4.42)
O que o termo ~vt faz?
Ele é o vetor deslocamento �~r, veja:
~r (t) = ~r0 + ~vt!
�~rz }| {
~r � ~r0 = ~vt
4.4. CASO DA VELOCIDADE CONSTANTE. O M.R.U. 47
e podemos reescrever a eq. eq.(4.42)
~r (t) = ~r0 +�~r; �~r = ~vt: (4.43)
Assim vemos que ~vt tem o efeito de adicionar um vetor �~r ao vetor posição inicial ~r0 resultando no vetor posição
~r no instante t. Podemos ver melhor na �gura a seguir:
Para uma veri�cação de que o termo ~vt se comporta como um vetor do tipo deslocamento podemos analisar a
combinação das unidades de velocidade [v] e [t], temos
[~v] [t] =
hm
s
i
[s] = [m] ; (4.44)
vemos que resultou nas unidades de comprimento o que é compatível com as unidades do vetor de posição inicial
~r0.
Obs: Esse tipo de análise é chamada de análise dimensional e ela é útil também para identi�car erros nos
cálculos.
Exemplo: Se estivermos calculando vt e pegarmos um dado errado, por exemplo, para a velocidade v = 10m,
mas pegamos o dado certo para tempo, t = 5s. Veja o que acontece:
vt = 10m� 5s = 50m� s n~ao tem unid de comprim: (4.45)
Dessa análise podemos ver agora porque ~v controla o M.R.U. Se ~v é grande, o deslocamento é grande e, portanto,
a variação da posição é grande. Da �gura acima, do caso 2), �ca claro que ~v determina a direção e o sentido do
movimento.
Vemos também que o efeito do tempo t é aumentar o valor �r do deslocamento a medida que t cresce.
4.4.1 A derivada e a de�nição da velocidade instantânea
Temos agora a função vetorial ~r (t) que descreve a evolução temporal da posição e havíamos de�nido a velocidade
instantânea por:
~v = lim
�t!0
~vm = lim
�t!0
~rf � ~ri
�t
(4.46)