Texto de apoio - Resumo teórico da disciplina - Claudio Possani

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Texto de apoio - Resumo teórico da disciplina | Claudio Possani
Modelos Probabilísticos para Computação – EEM101 - Turma 001 Semana 7
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Consideramos um Espaço Amostral E (associado a algum
fenômeno ou experimento) e definimos uma
função probabilidade em E como sendo uma função ,
satisfazendo:
Quando E é finito podemos dizer que uma distribuição de
probabilidade é equiprovável se cada evento unitário tem mesma
probabilidade, isto é:
Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se 
.
Probabilidade condicional 
A probabilidade de ocorrência de um evento pode mudar em
razão da ocorrência prévia de outros eventos.
1. 
2. 
3. 
   indica o conjunto das partes de E.
Neste caso, vale  .
                      
Desta relação, segue que  .
Dois eventos, A e B,  são chamados independentes se, e só
se,  . Neste caso,  .
Uma variável aleatória é uma função a valores numéricos
definida num espaço amostral. A variável aleatória
é discreta se ela toma valores num conjunto finito ou
enumerável. Ela chama-se contínua se toma valores num
intervalo  .
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Esperança, Valor Esperado ou Média da variável X é:
Variância de uma variável aleatória X: 
Desvio padrão de X: .
Mediana de uma variável aleatória é o valor Md, tal que: 
.
Moda, Mo de uma variável aleatória: é o valor (ou valores) do
conjunto de valores da variável X que possui maior probabilidade.
No caso de X ser uma variável aleatória contínua, a distribuição
de probabilidade ou densidade associada a X é uma função 
 com:
Esperança (ou valor esperado ou média): 
Variância:
O desvio padrão e a mediana são definidos de forma análoga
ao caso das variáveis aleatórias discretas.
Um estimador chama-se não viesado ou não viciado se seu
valor esperado coincide com valor de interesse.
Um estimador chama-se consistente se:
Média amostral: (onde Xi são cópias de
uma variável X).
Teorema Central do Limite 
Quando o tamanho da amostra cresce, a variável aleatória média
A uma variável aleatória está associada a uma função
probabilidade P definida no conjunto onde X toma valores.
1. 
2. 
 
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amostral (padronizada) tende a uma distribuição normal de média
0 e variância 1:
Um Processo Estocástico é uma família onde
cada Xt é uma variável aleatória e T é um conjunto ordenado de
índices.
Todas as variáveis tomam valor no mesmo conjunto S, os
“estados”.
O conjunto T pode ser finito, enumerável ou contínuo.
Uma Cadeia de Markov é um processo estocástico que satisfaz
Passeio aleatório simples simétrico em 
Observe que isto significa que a média de   tende a  .
Imagine que um certo atributo seja partilhado por uma parcela
de uma população, digamos  . Toma-se uma
amostra de tamanho n e o estimador para p será dado por:
Definissem n variáveis aleatórias   tomando valores
em {0, 1} da seguinte maneira: Yi = 1 se o i-ésimo elemento da
amostra tem o atributo e Yi = 0 caso não tenha. Pomos 
 .
Este estimador é não viesado e consistente. Demonstra-se
que:
Observe que:
   quando   
    (Propriedade de Markov)
Uma Cadeia de Markov é um processo estocástico em que a
última informação é relevante para a continuidade do
processo. O passado remoto não é relevante.
Um ponto (marcador) começa na origem e se desloca, a cada
etapa, para a direita ou esquerda com probabilidade p = ½. A
posição do marcador na i-ésima iteração depende da posição
do marcador na iteração i-1. Este passeio aleatório pode ser
descrito com variáveis aleatórias Zn que  tomam valores em
{-1, 1} com probabilidade ½ para cada valor. Definimos S0 = 0
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Vimos que muitas vezes podemos representar um processo
estocástico através de um grafo.
Numa cadeia de Markov, a Matriz de Transição é a matriz que
representa as probabilidades de mudança de estados, isto é, o
elemento aij da matriz satisfaz aij = P(Xn+1 = j │ Xn = i). 
e    e o passeio aleatório é a sequência {S1, S2,
…, Sn, … }.