cadernos de exercícios estática Vol 1

Prévia do material em texto

1 
 
MECÂNICA TÉCNICA – CADERNO DE EXERCÍCIOS VOL. 1 (rev01/20) 
REPRESENTAÇÕES NO ESPAÇO 
 PROF. JOSÉ CARLOS VILAR AMIGO 
CONTEÚDO: conceitos de espaço; sistemas de coordenadas; como definir um triedro 
positivo; grandeza escala e vetorial; conceitos associados a vetores: módulo, ângulos 
diretores, vetor unitário; quadrantes e octantes; soma e subtração de vetores; vetor 
passando por dois pontos; vetor definido pelo módulo e por dois ângulos; exercícios 
sobre referenciais e vetores 
1.1 – localizando pontos e vetores no espaço 
 - espaço: região geométrica ocupada pelos corpos. Descrito por 
a) coordenadas retangulares (x, y, z) (figura 1.1) 
 
 
 
b) coordenadas cilíndricas (polares em duas dimensões) (r, θ, z) (figura 1.2) 
 
c) esféricas (r, θ, φ) (figura 1.3) 
 
 
Figura 1.1 
Figura 1.2 
Figura 1.3 
2 
 
- A orientação dos triedros deve ser sempre positiva, ou seja, obedecer a “regra da mão 
direita”. Define-se x e y, e gira-se a mão direita de x para y. O eixo z será positivo na 
direção do polegar. 
 
Figura 1.4 – orientação correta dos eixos coordenados: regra da mão direita 
Exercícios sobre representações nas coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas 
 
figura 1.5 
1.2 – Descreva em coordenadas retangulares e esféricas, respectivamente, o ponto “A” 
descrito em coordenadas cilíndricas por (4; 30o; 3). 
R- (3,46; 2,0; 3,0) ; (5; 30o; 53,13o) 
1.3 – Explicite as componentes Fx, Fy e Fz da força F=10N representada na figura 1.6 
por coordenadas esféricas. 
1.1 – Localize o ponto A da figura 1.5 com coordenadas 
retangulares, cilíndricas e esféricas, 
respectivamente. As componentes do vetor AO são: 
(Ax=6,12; Ay=3,54; Az=7,07) 
R- (6,12; 3,54; 7,07) ; (7,07; 30o; 7,07) ; (10; 30o; 45o) 
 
3 
 
 figura 1.6 R – Fx=6,12; Fy=3,54; Fz= 7,07 
1.4 – Qual o módulo da força F cujas componentes retangulares valem Fx=6.12N; 
Fy=3,54 e Fz=7,07 N? R – Do exercício 1.3 temos /F/= 10 N. 
 1.5 – Quais os ângulos que a força F da figura 1.6 faz com a parte positiva dos eixos 
x,y e z, respectivamente? 
R – α = 52,3o; β = 69,27o ; γ = 45o ,que são os ângulos (diretores) com os eixos x, y, 
z. 
1.6 – Quais os triedros que estão corretamente representados? 
 figura 1.7 
1.2- grandezas escalares e vetoriais 
- escalares são descritas por um sinal mais um número: 3 kg; + 3 segundos; 10 kg/m3; - 
10 Watts 
- vetoriais são descritas por um módulo (número); sentido (sinal) e uma direção (vetor 
unitário que aponta na mesma direção do vetor descrito). 
exemplo: a) F = - 5 i N (o sublinhado sob o “i” indica vetor). 
 aqui: 5 é o módulo do vetor (valor sempre positivo do escalar) 
 o “i” é o vetor unitário na direção do eixo “x”. Indica que o vetor tem a 
direção do eixo “x” 
 o sinal menos indica que o sentido do vetor é contrário ao do vetor 
unitário, o qual aponta na direção positiva do eixo “x”. 
 b) a = 3 i - 4 j 
Indica um vetor a (aceleração talvez) com duas componentes: uma na direção do 
vetor unitário “i” de módulo 3 e sentido positivo na direção do eixo “x”, e outra de 
módulo 4 na direção do vetor unitário “j”, na direção negativa do eixo “y”. 
R- i ; iv 
4 
 
Nota: i - para alguns vetores será importante definirmos o seu ponto de aplicação no 
corpo. Os vetores que têm esta necessidade são chamados de fixos. Exemplo: força em 
corpos deformáveis; 
ii – para outros vetores é importante definirmos a posição da sua linha de ação. São 
chamados vetores móveis. Exemplo: força em corpo rígido 
iii – para outros vetores, basta definirmos a direção. São chamados vetores livres. 
Exemplo: velocidade em corpo rígido em movimento exclusivo de translação. 
1.3) um pouco sobre vetores 
Importante sabermos projetá-los nos eixos coordenados. Para tal, basta conhecermos os 
ângulos diretores (ângulos que o vetor faz com a parte positiva dos eixos coordenados). 
Se estamos em duas dimensões e conhecemos o módulo do vetor e o ângulo entre ele e 
a parte positiva de um dos eixos (e consequentemente conheceremos o ângulo entre o 
vetor e o outro eixo) basta que façamos: Vx = V cos θ e Vy= V cos (90 – θ) = V sen θ 
 figura 1.8 
Os ângulos que o vetor faz com a parte positiva dos eixos coordenados são chamados 
de ângulos diretores. Os cossenos destes ângulos diretores são chamados de cossenos 
diretores. Na figura 1.8, temos ângulo diretor com o eixo x=θ; com eixo y = 90-θ 
Para encontrarmos as componentes de um vetor em três dimensões, o processo é similar 
ao de encontrar as componentes em duas dimensões. Assim, se conhecemos o módulo 
“A” do vetor e os ângulos entre o vetor e as partes positivas dos eixos, podemos achar 
as componentes do vetor: 
figura 1.9 
Se conhecemos os sinais dos cossenos diretores ou das componentes retangulares dos 
vetores sabemos em que quadrante (no caso de 2D, ver tabela 1.1) ou o octante (no caso 
de 3D ver figura 1.10), se situa o vetor. Na direção inversa, se soubermos o quadrante ou 
Assim: 
Ax=A cos α 
Ay = A cos β 
Az = A cos γ 
onde A é o módulo 
do vetor 
 
5 
 
o octante em que o vetor se situa, saberemos os sinais dos cossenos diretores e das 
componentes retangulares do vetor. 
Os ângulos diretores (ângulo entre o vetor representado e a parte positiva dos eixos 
coordenados), são conhecidos como α, a partir da parte positiva do eixo x, β a partir da 
parte positiva do eixo y e γ a partir da parte positiva do eixo z. Referenciamos, em geral, 
os ângulos menores que 180o, uma vez que podemos medir os ângulos no sentido horário 
ou anti-horário, obtendo valores diferentes para os ângulo que sempre terão o mesmo 
cosseno. 
É por definirem a direção do vetor e seu sentido que os cossenos de α, β e γ são chamados 
de cossenos diretores. 
 
Tabela 1.1 – sinais das funções trigonométricas por quadrante 
 
Nos octantes temos: 
 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 
x + - - + + - - + 
y + + _ _ + + _ _ 
z + + + + _ _ _ - 
 
6 
 
 
Figura 1.10 – octantes e sinais das componentes do vetor 
 
Observação: i – o vetor definido pelo módulo e os ângulos que ele faz com os eixos, não 
define um único vetor e sim uma família de vetores. Todos os vetores da família são 
paralelos, têm a mesma direção e sentido, têm o mesmo módulo, mas podem passar por 
pontos diferentes (são vetores livres). Para tratarmos de um só vetor, temos que definir 
um ponto de passagem deste vetor. 
É usual que quando queremos conhecer os ângulos dos vetores com os eixos coordenados, 
o referenciemos na origem dos eixos para facilidade de visualização, sem nos referirmos 
a um ponto específico de aplicação do vetor (ver figura 1.11). 
 figura 1.11 
Exercícios 
1.7 – Os ângulos entre o vetor V e os eixos x,y,z estão representados na figura 1.12. 
Podemos dizer que os ângulos diretores de V valem: 
7 
 
 figura 1.12 R – (60º; 45º; 60º) 
1.8 – O ângulo diretor do vetor A, de módulo 2, situado no plano x-y, com a parte 
positiva do eixo x, vale 30o e com a parte positiva do eixo y, 60o. Quais as componentes 
Ax e Ay de A? 
R- Ax = √3; Ay = 1 
1.9 – Quais as componentes Ax e Ay de A no problema (1.8) se o ângulo diretor de A 
com o eixo x valer 150o? 
R – Ax = - √3; Ay = 1 
1.10 – Quais os cossenos diretores do vetor V no exercício 1.7? 
R - ½; √2 /2 ; ½ 
1.11 – Quais os cossenos diretores do vetor B cujas componentes são Bx=10 ; By= -20; 
Bz = 30 ? 
R - cos α = + 0,267 ; cos β = -0,534 ; cos γ = + 0,802 (módulo de B = 37,41) 
1.12 – Quais os ângulos diretores do vetor B no exercício 1.11? 
R – α=74,5o ; β= 122,4o; γ= 36.68o 
1.13 – Em que octante se situa o vetor B dos exercícios anteriores? 
R – 4º octante 
1.4 - vetor unitário e ângulos diretores 
- vetor unitário tem as mesmas informações dos cossenos diretores 
Como os ângulos diretores permitem achar as componentes do vetor, permitem também 
escrever o vetor na forma: F = Fx i + Fy j +Fz k , onde Fx, Fy eFz são obtidos 
multiplicando-se o módulo do vetor F pelos cossenos diretores. 
 ou 
Como sabemos que qualquer vetor de modulo F que esteja na direção de um vetor 
unitário nF pode ser escrito como: F = F nF, ou seja, o produto do módulo pelo vetor 
unitário na direção do vetor, podemos concluir que: 
Se nF = m i + n j + l k é o vetor unitário teremos que: 
8 
 
F = F.nF = F ( m i + n j + l k ) = , 
e logo, o vetor unitário pode ser descrito como: nF = 
ou seja, se temos os cossenos diretores, temos o vetor unitário e, conhecendo o vetor 
unitário temos os cossenos diretores. 
Como os ângulos diretores são obtidos pela divisão da componente retangular do vetor 
pelo seu módulo, podemos também escrever o unitário como: 
 ou 
Como o vetor unitário tem módulo igual a 1, podemos concluir que: 
 
pois para qualquer vetor A seu módulo, A, será calculado por: 
 
Exercícios 
1.14 – Os cossenos diretores do vetor V do exercício 1.7 são ½; √2/2 ; ½. Escreva o 
vetor unitário na direção de V, nV . 
R – nV = 0,5 i + 0,707 j + 0,5 k 
1.15 – Um vetor B tem componentes Bx=10, By= -20 e Bz= 30. Qual o vetor unitário 
nB na direção de B ? 
R - nB = cos α i + cos β j + cos γ k = 0,267 I - 0,534 J + 0,802 K 
1.16 - Quais os ângulos diretores do vetor V que tem como vetor unitário em sua 
direção o vetor nV = ½ i + √2/2 j + ½ k? E se fosse o vetor do exercício 1.15? 
R – α = 60o ; β = 45o ; γ = 60o; α = 74,51o ; β = 122,3o ; γ = 36,67o 
1.17 – Escreva o vetor B de módulo 37,41 e ângulo diretores α = 74,51º , β= 122,28º e 
γ = 36,68º . 
R – B = 10 i – 20 j + 30 k 
1.18 – Qual o ângulo diretor β do vetor B do quarto octante, cujos ângulos diretores 
com os eixos x e z valem, respectivamente, 74,51º e 36,68º ? 
R – β = 122,28 
1.5 – soma e subtração de vetores 
9 
 
Forças e momentos são vetores 
Resultantes de forças e de momentos são obtidas pela soma dos vetores força e dos 
vetores momentos, portanto, é importante sabermos somar e subtrair vetores. 
Para somarmos vetores somamos as componentes em cada direção do vetor. Assim: 
 
onde no caso de subtração, o valor das componentes entra no somatório com sinal 
negativo. 
Assim se queremos somar dois vetores u = 3i + 2j e v= i – j + 2k a soma s valerá 4i + j 
+2k. 
Com o conhecimento do módulo dos vetores e dos vetores unitários na direção deles, ou 
dos seus cossenos diretores, ou das suas componentes (observar que as informações do 
unitário, dos cossenos diretores e das componentes são as mesmas), podemos obter soma 
e diferença dos vetores. Assim, por exemplo, se temos a soma de vários vetores onde 
conhecemos todos exceto um deles, podemos calcular o que falta subtraindo da resultante 
todos os vetores com valores conhecidos. 
Exercícios 
1.19 - Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que 
atua sobre o anel, conforme mostrado na figura 1.13. 
 figura 1.13 
 a) α = 74,80 e e)NRA 
 β = 78 0 
γ = 19,6 
 
R : letra (b) 
1.20 – Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura 1.15. Especifique os ângulos 
diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y 
positivo e tenha intensidade de 800N. 
b) α = 74,80 
 β = 102 0 
 γ = 19,60 
 
d) α = 74,80 
 β = -78 0 
 γ = 19,60 
 
c) α = 74,80 
 β = -102 0 
 γ = 19,60 
 
10 
 
 Figura 1.14 
R – F2 = - 0,30 i = 0,929 j = 0,214 k 
Fazer exercícios 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 do Meriam – Estática (6ª ed.) 
 1.6 - definindo vetores por 2 pontos de passagem de sua linha de ação ou por 
coordenadas esféricas 
a) dois pontos sobre a linha de ação da força 
 
 
 
Se as coordenadas dos pontos A e B são conhecidas: A (x1,y1,z1) e B (x2,y2,z2), 
podemos escrever o vetor F de módulo F como: 
 
Exercícios 
1.21 – Escreva: a) o vetor AB (origem em A e extremidade em B) onde A = (2;2) e B= 
(10;5); b) o vetor unitário da direção de AB; c) o vetor F de módulo 100 e mesma 
direção de AB. 
R - 8i + 3j ; 0,94i + 0,35j; 94i+35j 
1.22- Quais os ângulos diretores de AB ? 
R - α= 19,94o; β= 69,5o 
11 
 
1.23 - Descreva o vetor F na forma vetorial, sabendo que ele tem módulo 10 N e que 
sua linha de ação passa pelos pontos A(6,2,2) e B(2,4,3). 
R - 8,73i +4,37j + 2,18k 
 
1.24) Uma força F de módulo 100N é aplicada na origem dos eixos x,y,z conforme 
figura. A linha de ação de F passa por um ponto A cujas coordenadas são 3m, 4m e 5m. 
determine: a) os componentes escalares x,y,z de F; b) a projeção Fxy de F no plano x-y. 
 
 
 
b) coordenadas esféricas: dois ângulos que orientam a linha de ação 
 
 e 
1.25 - O suporte está sujeito às duas forças mostradas. Expresse cada força como um vetor 
cartesiano e depois determine a força resultante, explicitando a intensidade e os ângulos 
coordenados diretores dessa força. 
R - Fx= 42,4 N; Fy= 56,6 N; 
Fz= 70,7N 
 - Fxy=70,7 N 
12 
 
 
 
R - F1= -86,6i + 185 j – 143,4k (N) ; F2 = -200i + 282j +200k (N) R= -113,5i + 
467j +56,6k (n); /R/ = 485,3 N α= arc cos -0,235 β= arc cos 0,97 γ= arc cos 
0,117 
 
1.26) Descreva vetorialmente a força F de módulo 200 N, cuja projeção no plano 
x-z faz um ângulo de 450 com a direção z e o ângulo entre a força e sua projeção x-
z é de 600. 
 
 
 
R: F = - 70,7 i – 173,2 j - 70,7 k; 
1.7 – lei dos senos e dos cossenos 
Algumas vezes, para a solução de problemas de mecânica que envolvem ângulos e 
cálculos geométricos, é interessante utilizarmos a lei dos senos e a lei dos cossenos nas 
soluções. 
Se temos o triângulo de lados a,b,c e ângulos A,B,C temos que: 
 
 
 
LEI DOS SENOS: a/senA = b/senB; c/senC 
LEI DOS COSSENOS: b
2 
= a
2 
+ c
2
 - 2ac . cos B 
 
13 
 
Exemplo 1/3 do Meriam – Estática – 6ª edição: 
 
 
 
 
Fazer exercícios 2/99 – 2/100 – 2/101 – 2/103 do Meriam Estática 6ª ed.