cadernos de exercícios estática Vol 2

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MECÂNICA TÉCNICA–CADERNO DE EXERCÍCIOS VOL.2(rev01/20) 
PROF. JOSÉ CARLOS VILAR AMIGO 
CONTEUDO: produto escalar; projeção de vetor numa dada direção; 
produto vetorial; cálculo de momento 
2.1 - PRODUTO ESCALAR 
Se v e w são dois vetores não-nulos, então o produto escalar de v e w notado 
como v . w, é calculado por v . w = /v/ . /w/ . cos µ; 
onde µ é o ângulo entre estes vetores. 
 
, 
uma vez que o ângulo entre vetores de mesma direção é zero, levando o 
cosseno do ângulo entre os vetores a valer 1. Da mesma forma o ângulo entre 
os vetores i-j, j-k, e i-k é 90o levando o cosseno a valer 0. 
 Lembrar que o resultado do produto escalar sempre será um escalar, 
nunca um vetor. 
 
Para calcularmos o valor do escalar que é o resultado do produto escalar de 
dois vetores, multiplicamos as componentes dos vetores que tem a mesma 
direção, pois as que tem direção perpendicular tem produto escalar zero, ou 
seja, i.i =0, etc, assim: 
 
 
 
Exemplo 2.1- Calcular o produto escalar dos vetores P= 2i + 3j e 
Q = i – j 
Solução 
Pela definição de produto escalar temos: 
 
= 2x1 + 3x(-1)= -1 
 
Exemplo 2.2 - qual o ângulo entre os vetores P e Q no exemplo 2.1? 
Solução 
2 
 
 
Sabemos que o produto escalar pode ser calculado por /P/ . /Q/ . cos α, onde 
α é o ângulo entre os vetores. Como /P/ = 3,61 , /Q/ = 1,41 e sabemos do 
exemplo 2.1 que o produto escalar vale -1, podemos escrever: 
 cos α = - 1 / (3,61 x 1,41) = - 0,197e logo α = 101,5o 
 
Exemplo 2.3 – O produto escalar dos vetores A = i+j-k e B = ai+j+k vale 6. 
Qual o valor de “a”? 
R – 6 
 
2.2 - PROJEÇÃO DE UM VETOR NUMA DADA DIREÇÃO 
É comum trabalharmos com as projeções de vetor nas direções dos eixos x, 
y e z, porém, um vetor pode ser projetado em qualquer direção, como por 
exemplo na direção de um outro vetor. 
Se tivermos um determinado vetor P, por exemplo, P = 2i + 3j e quisermos 
projetá-lo na direção de um outro vetor Q, por exemplo, Q = i – j, o que 
temos que fazer é unir as duas origens dos vetores e traçar uma perpendicular 
ao vetor Q, passando pela extremidade de P, como na figura 2.1: 
 
 
figura 2.1 
 
Vemos, portanto, que a projeção do vetor P na direção do vetor Q é dada por 
P cos θ, onde θ é o ângulo entre os vetores P e Q. 
Lembrando que o produto escalar P . Q = /P/./Q/ . cos θ, verificamos que se 
em lugar do vetor Q (direção na qual queremos projetar P), colocarmos o 
vetor unitário na direção do mesmo vetor Q, ou seja, nQ, o produto escalar 
ficará, P. nQ = /P/. cos θ, uma vez módulo do vetor unitário vale 1 (/nQ/ =1). 
Comparando o valor do produto escalar de P. nQ = /P/. cos θ com o valor da 
projeção de P na direção Q (ver parágrafo anterior), concluímos que é o 
mesmo valor. 
Assim, se quisermos encontrar a projeção de um vetor P em qualquer 
direção, fazemos o produto escalar do vetor P pelo vetor unitário na direção 
em que queremos projetar, Q no exemplo dado, e teremos a projeção do vetor 
P na direção desejada, PQ. 
Exemplo 2.4: Encontrar o módulo, a direção e o sentido da projeção do vetor 
P = i + 2 j + k, na direção do vetor Q = i – j +3k 
P cos θ 
P 
Q 
θ 
3 
 
 
Solução: 
Fazendo o produto escalar de P.nQ, onde nQ = 1/√11 (i – j + 3k) é o vetor 
unitário na direção do vetor Q teremos: PQ = P . nQ = (1 + (-2) + 3)/ √11 = 
= + 2 / √11. Logo o valor escalar do vetor P projetado na direção do vetor 
Q, terá a mesma direção e sentido (+) do vetor unitário na direção de Q e 
valerá 2 / √11 vezes o tamanho do vetor unitário na direção de Q. Assim, 
a) O módulo do vetor P projetado na direção Q, vale 2 / √11; 
b) Como o sinal do escalar de PQ é positivo, ele terá o mesmo sentido e 
direção do vetor unitário nQ; 
Se quisermos escrever o vetor PQ ele será PQ = ( P.nQ) nQ 
ou seja, PQ = 2 / √11 (nQ) = 
= 2 / √11 [1/√11 (i – j + 3k)] = 2/11 (i – j + 3k) = 0,18i – 0,18j + +0,54k 
 
2.3 - PRODUTO VETORIAL 
O produto vetorial de dois vetores não nulos v e w, que não sejam paralelos 
entre si, é o vetor notado por v x w, onde: 
(i) v x w tem direção perpendicular ao plano que contém v e w; 
(ii) v x w tem sentido determinado pela regra da mão direita, ou seja, o 
vetor v x w tem o sentido apontado pelo polegar da mão direita 
esticado, quando giramos os dedos da mão direita de v para w,no 
sentido do menos ângulo; 
(iii) Se µ é o ângulo entre v e w, o módulo de v x w é dado por 
/v x w/ = /v/./w/.senµ 
 
Assim se tivermos o produto vetorial de P x Q que fazem entre si um ângulo 
θ, graficamente teremos: 
 
figura 2.2 – produto vetorial 
Pela figura temos: 
Direção - perpendicular ao plano que contém P e Q; 
4 
 
 
Sentido - regra da mão direita girando os dedos de P para Q, no sentido do 
menor ângulo entre os vetores. 
Nota: O produto Q x P tem mesma direção e sentido contrário ao de P x Q. 
 
O produto vetorial é sempre um vetor. 
 
 Lembrar que, pela definição de produto vetorial, o produto vetorial dos 
vetores unitários dos eixos coordenados resultará sempre em: 
 
 
 
Uma vez que sendo o módulo do produto vetorial i x i , j x j e k x k , igual a 
/i/. /i/. sen µ, onde µ é o ângulo entre os dois vetores, no caso entre i x i, etc. 
µ sendo o ângulo entre i e i, que vale zero, terá, consequentemente, o seno 
de µ igual a 0. 
Nos produtos vetoriais de unitários perpendiculares, i x j, j x k, etc, como o 
ângulo entre os vetores é 90o, resultará que o sen µ valerá um (1). 
 
Pode-se obter o resultado do produto vetorial aplicando-se a propriedade 
distributiva: 
 
 
O produto vetorial pode ser também calculado também pelo determinante 
de: 
P x Q= determinante (i,j ,k), (Px,Py,Pz), (Qx,Qy,Qz) 
 
O resultado do determinante dará o módulo, a direção e o sentido do vetor 
resultado do produto vetorial, ou seja: 
 
Exemplo 2.5: Calcular o produto vetorial dos vetores P = 2i + 3j e Q = i – j, 
(PxQ). 
Solução 
(a) por inspeção 
5 
 
 
P x Q terá a direção perpendicular ao plano que contém os vetores P e Q, 
como na figura 2.3: 
 figura 2.3 
Como os vetores P e Q estão no plano x-y (z=0) a direção do produto vetorial 
será a direção do unitário k (perpendicular ao plano que passa por P e Q). O 
sentido do vetor produto vetorial será dado pela regra da mão direita, com os 
dedos da mão indo de P para Q (ver o semicírculo na figura 2.3), resultando 
em um valor de sentido negativo no eixo dos z e portanto na direção -k e o 
módulo do vetor por P X Q = /P/ . /Q/. sen θ = 3,61 . 1,41 . sen θ = 5,0 
Para calcularmos θ podemos calcular o produto escalar entre os vetores (ver 
exemplo 2.2 de produto escalar) e por ele, com os módulos dos vetores, o 
valor de θ = 101,5o resultando num produto vetorial de módulo 5. 
Assim o vetor P x Q = -5k 
Solução (b) 
propriedade distributiva 
Podemos aplicar a propriedade distributiva para calcularmos o produto 
vetorial: 
P x Q = (2i + 3j) x (i – j) = [2i x (-j)] + [3j x i], já que i x i e j x j dará zero. 
Logo P x Q = -2k + 3(-k) = = -5k, ou seja, o vetor tem a direção do eixo z, 
com sentido negativo neste eixo e módulo 5. 
Solução (c) 
cálculo pelo determinante 
Podemos calcular o determinante montado da forma adequada, ou seja: 
 i j k 
 2 3 0 = 0 i -2k +0 j – 3k + 0 j + 0 i = - 5 k, 
 1 -1 0 
o que já fornece a direção (k), o sentido (negativo) e o módulo (5) do vetor. 
6 
 
 
2.5 – Exercícios 
2.5.1 – Calcule os produtos escalar e vetorial dos vetores: 
 A = 2i + 3j e B = i – j 
 R – a) produto escalar 
A . B = 2i.i + 2i.(-j) + 3j.i + 3j.(-j) = 2 + 0 + 0 + (-3) = -1 
c) produto vetorial 
A x B = 2ix2i + 2ix(-j) + 3jxi + 3jx(-j) = 0 + (-2k) + (-3k) + 0 = -5k 
2.5.2 – O vetor A tem módulo 2 e o B, módulo 1. O ângulo entre os dois 
vetores medido no sentido anti-horário de A para B vale 60o. Qual o valor de 
A . B e A x B. 
R – 1 e √3 
 2.5.3 – Qual o ângulo entre os vetores A = i+j+k e B = 2j+k? 
R – 3 / √15 
2.5.4– Escreva o vetor ortogonal aos vetores A = i+j+k e B = 2j+k. 
R - -i – j + 2k (AxB) ou i+j-2k (BxA) 
2.5.5 – Calcule o módulo da projeção do vetor P = i+2j+k na direção do vetor 
Q = 2i+j-k. escreva o vetor projetado PQ. 
R - √6 / 2 ; PQ = i+0,5j+0,5k 
2.5.6 – Qual o escalar do vetor P projetado na direção de Q, sendo P=2i+3j 
e Q= i+j. Qual o vetor PQ? 
R - 5√2/2 ; 5/2(i+j) 
2.5.7 - A projeção do vetor F de módulo 100 N na direção OB vale (resolver 
aplicando o produto escalar): 
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 figura 2.4 
R - 58,4i + 58,4 j + 19,5 k (N) 
2.6 – CÁLCULO DE MOMENTOS 
Para cálculo de momento de força em 3 dimensões é realizado facilmente 
com cálculo vetorial. 
É sabido que o momento MFO, de uma força F em torno de um ponto O (ver 
figura 2.5a, é um vetor que tem direção perpendicular ao plano que contem 
a linha de ação da força e o ponto de momento, tem sentido dado pela regra 
da mão direita e tem módulo, /MFO / = d x /F/, onde d é a distância do ponto 
“O” até a linha de ação da força F. 
Se tomarmos a força F, cuja linha de ação passa pelos pontos A(xA;yA;zA) e 
B(xB;yB;zB), o ponto O(xO;yO;zO) em relação ao qual o momento de F será 
calculado, vemos pela figura 2.5a que a distância entre a linha de ação da 
força F ao ponto O, tem valor d, e que podemos calcular d como (ver figura 
2.5b) d= /rOA/ sen α ou como d= /rOB/ sen β , onde /rOA/ e /rOB/ são os módulos 
dos vetores posição que vão do ponto de momento O, até qualquer ponto da 
linha de ação de F. 
 
Figura 2.5: a) representação x,y,z ; b) representação plano OAB 
8 
 
 
Desta forma o produto vetorial rOA x F ou rOB x F dará como módulo M
F
O = 
/rOA/ sen α. /F/ ou M
F
O = /rBA/ sen β. /F/ que é o mesmo que M
F
O = d . /F/ , ou 
seja, o módulo do momento de F em relação a “O”. 
Como a direção do momento e o seu sentido são mesmos do vetor rxF, onde 
o r é qualquer vetor posição que vá de O até um ponto da linha de ação de F, 
o produto vetorial rxF calcula precisamente, o vetor MFO. Logo podemos 
escrever: MFO = r x F, o que nos dará o módulo, direção e sentido do vetor 
momento. 
Exemplo 2.6 
Calcule o momento da força de módulo 2N que passa pelos pontos A(1:1) e 
B(2;3) em relação ao ponto O (0;0). Os eixos tem escala em metros. 
Solução 
A força F será escrita F = 2 nAB = 2 [(√5/5)i + 2(√5/5)j] 
Escolhendo o vetor posição que liga o ponto O ao ponto A ou B da linha de 
ação de F, teremos: 
MFO = rOA x F = (i + j) x 2 [(√5/5)i + 2(√5/5)j]= 2(√5/5) k N.m 
 MFO = rOB x F = (2i + 3j) x 2 [(√5/5)i + 2(√5/5)j] = 2(√5/5) k N.m 
 
Exemplo 2.7 – Se o vetor força F passa pela origem dos eixos coordenados, 
qual o valor de “a” do vetor F = ai+2j+5k que faz com que o vetor momento 
de F em relação ao ponto P(1;1;1) tenha projeção na direção do vetor Q = 
i+2j+3k igual a zero. 
Solução 
O momento de F em relação a P será dado por: MFP= rPO x F = 
= (-i-j-k) x (ai+2j+5k) = -3i+ (5-a)j + (-2+a)k 
O unitário na direção de Q é nQ=(i+2j+3k) / √14 
Como queremos a projeção de MFP . nQ = 0, teremos: M
F
P . nQ = (-3i+ (5-a)j+ 
+(-2+a)k) . [(i+2j+3k) / √14] = 0 
Logo a = -1 
2.7 - Exercícios 
2.7.1 – Explicite o vetor momento da força F=200N em relação ao ponto B. 
9 
 
 
 R – 56,29i-5,3j-43,3k (N.m) 
2.7.2 – Calcule o módulo do momento resultante das forças de 150 N em 
relação: a) ao ponto A (extremo do cabo de uma das chaves; 
 
 
b) ao ponto B (extremidade do cabo da outra chave); c) ao ponto C, metade da distância 
entre a pega das duas chaves. Qual a relação entre os momentos calculados em A,B e C? 
R – a) -75i + 22,5j N.m; b) -75i + 22,5j N.m ; c) -75i + 22,5j N.m . Os 3 valores são 
iguais indicando que o momento das duas forças de mesmo módulo, m,esma direção e 
sentidos contrários (binário) não depende do ponto em relação ao qual se calcula os 
momentos. 
2.7.3 – Calcule a resultante do momento da força F = 100N em relação ao ponto B. 
Explicite os ângulos diretores do vetor momento. Qual a projeção do momento em relação 
ao ponto B, na direção do vetor OB? 
 
A 
B 
C
B 
R – MFB = -0,2i+233,8j-700,8k (N.m); 
- / MFB/ =738,8 N.m; 
- α= 89,99o ; β = 71,6o ; γ= 18,34o ; 
- MBOB = -0,022N.m 
MBOB = -0,022 (0,69i+0,69j+0,23k) N.m