Equações de Maxwell

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Universidade Federal do Piauí 
Centro de Ciências da Natureza 
Departamento de Física 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aulas 
Equações de Maxwell 
Prof. Alexandre Maciel 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizada em 19 de Abril de 2021 
 
 
 
Referências Básicas: 
• Resnick, R. Halliday, D. e Krane, K.S., Física, vol. III, 5ª ed., Livros Técnicos e Científicos, 
Rio de Janeiro (1994). 
• Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, vol. III, 2ª ed., Edgard Blucher, São Paulo 
(1996). 
 
Sumário 
Parte 1 ................................................................................................................................................. 3 
Revisão: O eletromagnetismo antes de Maxwell ........................................................................... 3 
Teorema da divergência (Teorema de Gauss) ................................................................................ 4 
Teorema do rotacional (Teorema de Stokes) ................................................................................. 6 
Parte 2 ................................................................................................................................................. 8 
Corrente de deslocamento ............................................................................................................. 8 
Equações de Maxwell no vácuo .................................................................................................... 10 
Parte 3 ............................................................................................................................................... 14 
Equação de onda no espaço livre ................................................................................................. 15 
Parte 4 ............................................................................................................................................... 17 
Onda plana monocromática ......................................................................................................... 17 
Parte 5 ............................................................................................................................................... 20 
Vetor de Poynting ......................................................................................................................... 20 
 
 
 
Parte 1 
Vamos fazer uma breve revisão de alguns conceitos, leis e teoremas. Se você tem uma boa 
fundamentação nas equações dos fenômenos eletromagnéticos estudados no curso de Física III e 
conhece os teoremas da divergência e do rotacional então pode pular sem problema nenhum Parte 1 
inteiramente. 
Revisão: O eletromagnetismo antes de Maxwell 
Lei de Gauss para o campo elétrico 
Dado um volume do espaço 3D delimitado por uma superfície A podemos contabilizar a 
quantidade de campo elétrico �⃑� que flui por essa superfície. A contabilidade é expressa através do 
fluxo de campo elétrico Φ𝐸. Vale a pena lembrar que campo elétrico que flui de dentro para fora é 
contabilizado como positivo e de fora para dentro como negativo (definição arbitrária baseada na 
escolha da orientação vetorial de elementos de área tal que estejam sempre apontando para fora do 
volume!). Lei de Gauss para o campo elétrico diz que fluxo de campo elétrico Φ𝐸 é proporcional à 
quantidade de carga inclusa 𝑞𝑖𝑛𝑐 no volume delimitado por pela superfície A. Mais especificamente 
 Φ𝐸 = ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
=
𝑞𝑖𝑛𝑐
𝜖0
 (Eq. 1.1) 
Dois detalhes importantes: 
1. O formato da superfície A não importa. Desde que a carga inclusa seja contabilizada 
corretamente a eq. 1.1 estará correta. 
2. Uma carga nas proximidades da superfície A mas que se encontra fora do volume 
delimitado por A não vai contribuir para a integral. Basta perceber que se a carga 
estiver fora, cada linha de campo elétrico produzido por ela vai entrar e sair da 
superfície sem contribuir para o fluxo total! (Use o princípio da superposição para 
entender isso na presença de cargas fora e dentro do volume) 
Lei de Gauss para o campo magnético 
De forma similar ao anterior, dado um volume do espaço 3D delimitado por uma superfície A 
podemos contabilizar a quantidade de campo magnético �⃑� que flui por essa superfície. A 
contabilidade é expressa através do fluxo de campo magnético Φ𝐵. Lei de Gauss para o campo 
magnético diz que fluxo de campo magnético Φ𝐵 sempre será nulo. Mais especificamente 
 Φ𝐵 = ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
= 0 (Eq. 1.2) 
 A explicação para isso é o simples fato de não existir uma carga magnética ou monopolo 
magnético. Existem duas fontes geradoras de campos magnéticos: dipolos magnéticos e corrente 
elétrica (Lei de Ampére em breve). Nos dois casos as linhas de campo magnético sempre formam laços 
fechados (loops). Portanto, qualquer superfície A fechada será tal que as linhas de campo magnético 
que entram deverão sair. Portanto, independente da fonte de campo magnético, a contribuição de 
cada linha de campo para o fluxo Φ𝐵 será nula. 
Lei da Indução de Faraday 
 A Lei da Indução de Faraday diz que uma variação temporal de um fluxo de campo magnético 
Φ𝐵 que passa por qualquer área delimitada por uma espira produzirá uma f.e.m. ℰ tal que 
 ℰ = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
 (Eq. 1.3) 
onde o sinal na equação 1.3 é resultado da aplicação da Lei de Lenz. Entretanto, a Lei de Indução de 
Faraday é mais geral e pode ser aplicada inclusive na ausência de uma espira. Nesse caso, não faz 
muito sentido falar de uma f.e.m. e sim apenas do campo elétrico que gera a mesma. Podemos então 
escrever a Lei de Indução de Faraday como 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
 (Eq. 1.4) 
onde C representa o um circuito fechado no espaço 3D. Esse circuito ocupa o mesmo lugar da espira 
caso uma esteja presente. 
Lei de Ampère 
 A Lei de Ampère trata geração de campo magnético a partir de uma corrente elétrica. Se 
escolhermos uma superfície aberta delimitada por um circuito fechado C no espaço 3D, então a 
corrente líquida 𝑖 que flui através dessa superfície vai gerar um campo magnético �⃑� tal que 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= 𝜇0𝑖. (Eq. 1.5) 
 A eq. 5.1 é uma versão incompleta da Lei de Ampère como será discutido na Parte 2 e a 
modificação necessária para completar essa lei é um passo fundamental para o entendimento do 
eletromagnetismo clássico. 
Força de Lorentz 
 Para finalizar, temos a equação para a Força de Lorentz que tem o papel de descrever como 
os campos elétricos e magnéticos agem em uma carga através de uma força. Dada uma carga 𝑞 com 
velocidade 𝑣 (que será um vetor não nulo se a carga estiver em movimento no sistema de referencial 
escolhido) temos que a força experimentada por essa carga será 
 𝐹 = 𝑞(�⃑� + 𝑣 × �⃑� ) (Eq. 1.6) 
onde �⃑� e �⃑� são os vetores campo elétrico e magnético na posição da carga 𝑞. Através da eq. 1.6 é 
possível descrever o movimento de uma carga usando as leis da mecânica. 
Teorema da divergência (Teorema de Gauss) 
 O teorema da divergência tem várias aplicações em diversas situações físicas. Aqui estamos 
interessados na aplicação do teorema da divergência na análise da relação entre o comportamento 
local de campos elétricos e magnéticos com o fluxo total desses campos em superfícies fechadas. 
Vamos discutir uma rápida demonstração do teorema em um sistema de coordenadas cartesiano 3D. 
 Começaremos por definir o operador diferencial nabla (∇⃑⃑ ) muito útil em cálculo vetorial. 
 ∇⃑⃑ =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖̂ +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗̂ +
𝜕
𝜕𝑧
�̂� (Eq. 1.7) 
 Também vamos introduzir aqui, um campo vetorial genérico �⃑� (𝑟 ) = �⃑� (𝑥, 𝑦, 𝑧) tal que 
 �⃑� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖̂ + 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗̂ + 𝑢𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)�̂� (Eq. 1.8) 
 Nos interessa nesse momento analisar o fluxo Φ𝑢 de 
�⃑� (𝑟 ) que atravessa uma superfície A que limita um volume V 
como mostrado no desenho ao lado. Isso é uma tarefa 
relativamente fácil, já que de forma geral, podemos definir do 
ponto de vista macroscópico queΦ𝑢 = ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 1.9) 
 Entretanto, vamos analisar também do ponto de vista 
microscópico. Considere um pequeno volume com lados ∆𝑥, 
∆𝑦 e ∆𝑧 e volume ∆𝑉 = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 com seu centro na posição 
𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂�. O fluxo que atravessa esse pequeno volume 
é ∆Φ𝑢 = ∆Φ𝑥 + ∆Φ𝑦 + ∆Φ𝑧. Aqui, ∆Φ𝑥 é o fluxo que 
atravessa as duas faces do volume com vetor normal paralelo 
ao eixo x. Regra similar vale para ∆Φ𝑦 e ∆Φ𝑧. Assim, 
 ∆Φ𝑥 ≈ �⃑� (𝑥 +
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧) ∙ ∆A⃑⃑⃑⃑ ⃑𝑥+ + �⃑� (𝑥 −
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧) ∙ ∆A⃑⃑⃑⃑ ⃑𝑥− (Eq. 1.10) 
 Aqui precisamos esclarecer dois pontos. Primeiramente, ∆A⃑⃑⃑⃑ ⃑𝑥+ e ∆A⃑⃑⃑⃑ ⃑𝑥− são os vetores que 
representam as áreas das duas faces perpendiculares à direção x, ambas com mesma área igual a 
∆𝑦∆𝑧. A área da frente tem vetor normal igual a 𝑖 ̂e a área do fundo tem vetor normal igual a −𝑖.̂ Em 
segundo lugar, a eq. 1.10 é apenas uma aproximação pois estou considerando que sob as duas faces 
não existe uma dependência de �⃑� em 𝑦 e 𝑧. Daí então minha escolha por utilizar o cálculo simplificado 
do fluxo nessas áreas. Essa aproximação será cada vez melhor quando fizermos os devidos limites em 
breve. Segue então o desenvolvimento. 
 ∆Φ𝑥 ≈ [�⃑� (𝑥 +
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑖̂ + �⃑� (𝑥 −
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧) ∙ (−𝑖)̂] ∆𝑦∆𝑧 (Eq. 1.11) 
 ∆Φ𝑥 ≈ [𝑢𝑥 (𝑥 +
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧) − 𝑢𝑥 (𝑥 −
∆𝑥
2
, 𝑦, 𝑧)] ∆𝑦∆𝑧 (Eq. 1.12) 
 ∆Φ𝑥 ≈ ∆𝑢𝑥∆𝑦∆𝑧 (Eq. 1.13) 
 Multiplicando e dividindo o lado direito da eq. 1.13 por ∆𝑥 temos 
 ∆Φ𝑥 ≈
∆𝑢𝑥
∆𝑥
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 =
∆𝑢𝑥
∆𝑥
∆𝑉 (Eq. 1.14) 
 Agora, se fizermos o limite ∆𝑉 → 𝑑𝑉, temos que nossa aproximação tenderá para a igualdade 
tal que 
 𝑑Φ𝑥 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑉 (Eq. 1.15) 
 O limite acima também leva a ∆Φ𝑢 → 𝑑Φ𝑢 tal que 𝑑Φ𝑢 = 𝑑Φ𝑥 + 𝑑Φ𝑦 + 𝑑Φ𝑧. A eq. 1.15 
pode ser aplicada ao diferencial de fluxo nas direções y e z com as devidas alterações de índices. Assim, 
 𝑑Φ𝑢 = (
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
)𝑑𝑉 (Eq. 1.16) 
 Perceba que o termo entre parênteses é equivalente a ∇⃑⃑ ∙ �⃑� . Se considerarmos que o fluxo 
total Φ𝑢 é a integral de todos os 𝑑Φ𝑢 dentro do volume V temos que 
 Φ𝑢 = ∫𝑑Φ𝑢 = ∫ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� )𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 1.17) 
 Agora podemos combinar as eqs. 1.9 e 1.17 para chegar ao teorema da divergência. 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
= ∫ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� )𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 1.18) 
 Teorema do rotacional (Teorema de Stokes) 
 Agora, saindo do caso anterior com um volume delimitado por uma área fechada, vamos para 
a análise da integral de linha em um contorno fechado C que delimita uma superfície A. Nosso 
interesse é calcular a grandeza ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑𝐶 . Para isso, vamos dividir a superfície A usando uma rede 
retangular. A ideia é calcular a integral de contorno em cada elemento de área e somar os efeitos. 
 
Alguns detalhes sobre essa abordagem: 
1. Todos os elementos de terão sua integral calculada no sentido anti-horário; 
2. As integrais calculadas nos lados adjacentes de dois elementos vão se cancelar quando for 
feita a soma dos efeitos. Portanto só será contabilizado no final os lados que forma 
(aproximadamente por enquanto) o contorno C; 
3. Um elemento da integral de contorno pode ser decomposto em três projeções da área do 
elemento nas três direções cartesianas. 
4. Novamente, antes do limite para uma rede com elementos de área tendendo a um 𝑑𝐴, nossas 
equações serão apenas uma aproximação. 
Vamos iniciar olhando para o diagrama do lado direito da figura acima que mostra os detalhes 
da projeção de um dos elementos de área na direção x de modo que o elemento está projetado no 
plano yz. Os elementos de deslocamento podem ser expressos como 
 
{
 
 
 
 ∆𝑙
⃑⃑ ⃑
1 = ∆𝑧�̂�
∆𝑙⃑⃑ ⃑2 = ∆𝑦(−𝑗̂)
∆𝑙⃑⃑ ⃑3 = ∆𝑧(−�̂�)
∆𝑙⃑⃑ ⃑4 = ∆𝑦𝑗̂
 (Eq. 1.19) 
Assim, um elemento de integral de contorno (∆𝐶𝑥) calculado na projeção no plano yz será 
 
∆𝐶𝑥 ≈ �⃑� (𝑥, 𝑦 +
∆𝑦
2
, 𝑧) ∙ ∆𝑙⃑⃑ ⃑1 + �⃑� (𝑥, 𝑦, 𝑧 +
∆𝑧
2
) ∙ ∆𝑙⃑⃑ ⃑2
+ �⃑� (𝑥, 𝑦 −
∆𝑦
2
, 𝑧) ∙ ∆𝑙⃑⃑ ⃑3 + �⃑� (𝑥, 𝑦, 𝑧 −
∆𝑧
2
) ∙ ∆𝑙⃑⃑ ⃑4 
(Eq. 1.20) 
Aplicando o produto interno devidamente chegamos a 
 
∆𝐶𝑥 ≈ 𝑢𝑧 (𝑥, 𝑦 +
∆𝑦
2
, 𝑧)∆𝑧 − 𝑢𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧 +
∆𝑧
2
)∆𝑦
− 𝑢𝑧 (𝑥, 𝑦 −
∆𝑦
2
, 𝑧) ∆𝑧 + 𝑢𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧 −
∆𝑧
2
)∆𝑦 
(Eq. 1.21) 
Fatorando os termos ∆𝑧 e ∆𝑦 temos 
 
∆𝐶𝑥 ≈ [𝑢𝑧 (𝑥, 𝑦 +
∆𝑦
2
, 𝑧) − 𝑢𝑧 (𝑥, 𝑦 −
∆𝑦
2
, 𝑧)] ∆𝑧
− [𝑢𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧 +
∆𝑧
2
) − 𝑢𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧 −
∆𝑧
2
)]∆𝑦 
(Eq. 1.22) 
Multiplicando o primeiro termo por 
∆𝑦
∆𝑦
 e o segundo por 
∆𝑧
∆𝑧
, e fazendo o limite onde nosso 
elemento de área se torna infinitesimal, podemos escrever 
 𝑑𝐶𝑥 =
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
𝑑𝐴𝑥 −
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝐴𝑥 = (
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
)𝑑𝐴𝑥 (Eq. 1.23) 
onde 𝑑𝐴𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧. O termo entre parênteses na eq. 1.23 é igual à componente x de ∇⃑⃑ × �⃑� . Sendo 
assim, e aplicando o mesmo raciocínio para as outras projeções de elementos de área, temos 
 {
𝑑𝐶𝑥 = (∇⃑⃑ × �⃑� )𝑥𝑑𝐴𝑥
𝑑𝐶𝑦 = (∇⃑⃑ × �⃑� )𝑦𝑑𝐴𝑦
𝑑𝐶𝑧 = (∇⃑⃑ × �⃑� )𝑧𝑑𝐴𝑧
 (Eq. 1.24) 
 A integral de contorno total é igual a integral da soma dos elementos infinitesimais 𝑑𝐶𝑥 +
𝑑𝐶𝑦 + 𝑑𝐶𝑦. Assim, 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= ∫ [𝑑𝐶𝑥 + 𝑑𝐶𝑦 + 𝑑𝐶𝑧]
𝐴
 (Eq. 1.25) 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= ∫ [(∇⃑⃑ × �⃑� )𝑥𝑑𝐴𝑥 + (∇⃑⃑ × �⃑� )𝑦𝑑𝐴𝑦 + (∇⃑⃑
 × �⃑� )𝑧𝑑𝐴𝑧]
𝐴
 (Eq. 1.26) 
 O termo dentro dos colchetes é igual ao produto interno (∇⃑⃑ × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑. Dessa forma, 
chegamos ao Teorema do rotacional. 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= ∫ (∇⃑⃑ × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 1.27) 
 
 
 
Parte 2 
Corrente de deslocamento 
 Considere a situação da figura ao lado. Aqui 
temos representado um trecho de circuito 
composto por um capacitor de placas planas e 
paralelas sem nenhum material dielétrico entre as 
placas. Cada placa está conectada ao resto do 
circuito por um fio. No fio conectado à placa da 
esquerda temos uma corrente 𝑖 que flui para a placa 
enquanto no fio conectado à placa da direita temos 
uma corrente 𝑖 que flui da placa para o resto do 
circuito. 
 Nesta situação, a corrente que flui nos fios tenderá a carregar o capacitor com um excesso de 
carga positiva na placa da esquerda e um excesso de carga negativa na placa da direita. Vamos assumir 
aqui que a corrente existe e é não nula, ou seja, não estamos na situação em que o capacitor está 
completamente carregado. Assim, podemos fazer duas afirmações 
1. A presença de uma corrente no fio vai dar origem a um campo magnético �⃑� na vizinhança do 
fio. Esse campo magnético �⃑� se estabelece seguindo a Lei de Ampère discutida na revisão. 
Perceba, na figura acima, uma espira amperiana ao redor do fio e uma área delimitada por 
essa espira amperiana representada pela área hachurada. Podemos aplicar a Lei de Ampère 
sem nenhuma dificuldade já que a corrente 𝑖 atravessa a área definida pela espira amperiana. 
2. As cargas de sinais opostos nas placas do capacitor vão dar origem a um campo elétrico 
�⃑� entre as placas do capacitor. Considere que em um certo tempo 𝑡 a carga na placa esquerda 
do capacitor é 𝑞(𝑡) e na placa direita do capacitor é −𝑞(𝑡). Considerando que as placas são 
planas, paralelas e com diâmetro muito maior que a separação entre as placas, podemos usar 
a Lei de Gauss para mostrar que a magnitude do campo elétrico é (Ver Halliday seções 26-4 e 
30-3) 
 𝐸(𝑡) =
𝑞(𝑡)
𝐴𝜖0
. (Eq. 2.1) 
Agora, vamos considerar uma alteração na 
maneira de analisar o mesmo sistema físico. 
Considere que uma nova superfície limitada pela 
mesma espira amperiana no cenário anterior. Essa 
nova superfície tem o formato de uma sacola com a 
‘boca’ posicionada na espira amperiana. Essa sacola 
está posicionada de forma que o seu ‘fundo’ passa 
entre as duas placas do capacitor, fazendo com que 
a placa da esquerda fique inteiramente dentro da 
sacola enquanto a outra fique fora. 
Vale lembrar que nada além da superfície foi modificado. Se medirmos o campomagnético 
ao redor da espira amperiana deveríamos obter os mesmos valores da situação inicial. A escolha da 
superfície (um artifício teórico para cálculo de fluxos) não deveria interferir no fenômeno físico de 
geração de campo magnético devido a cargas elétricas em movimento! 
Entretanto fica claro que usando como superfície a sacola descrita a pouco não teremos 
nenhuma corrente atravessando a área da superfície. Isso porque a sacola evita ser perfurada pelo fio 
quando seu ‘fundo’ é colocado entre as placas do capacitor. Que fique claro, a Lei de Ampére somente 
contabiliza corrente que atravessa a área da superfície escolhida. Então, de acordo com essa nova 
escolha de superfície, não deveríamos ter campo magnético na espira amperiana! (Se não está 
convencido disso, você não entendeu a Lei de Ampère ou a situação. Tire uns 5 minutos para apreciar 
essa confusão antes de prosseguir!) 
Qual o problema? O mesmo circuito nas mesmas condições parece GERAR campo magnético 
em uma espira amperiana quando analisado de UMA FORMA (usando a área hachurada na primeira 
imagem) e, ao mesmo tempo, NÃO GERAR campo magnético na mesma espira amperiana quando 
analisado de OUTRA FORMA (usando a sacola na segunda imagem). Algo está errado. Quais nossas 
opções? 
1. NÃO EXISTE campo magnético na espira amperiana como descrito pela segunda 
situação e, portanto, a aplicação da Lei de Ampére na primeira situação foi feita de 
forma incorreta ou a própria lei está errada! 
2. EXISTE campo magnético na espira amperiana como descrito pela primeira situação 
e, portanto, estamos deixando algo de fora na análise da segunda situação! 
A Lei de Ampére é muito bem estabelecida de forma experimental e sua aplicação é um 
procedimento trivial. Deve existir algo que estamos deixando de levar em consideração na segunda 
situação. Vamos averiguar isso. De alguma forma, sabemos que algum tipo de fluxo que passa pela 
área da sacola deve estar relacionado com o campo magnético gerado na espira amperiana. Se não é 
o fluxo de elétrons da corrente deve ser outra coisa. 
Como o fundo da sacola passa pela região entre as placas do capacitor temos um fluxo de 
campo elétrico atravessando a área da sacola. Mas sabemos que um fluxo de campo elétrico por si só 
não é suficiente para gerar o efeito do campo magnético na espira amperiana (Você consegue ver isso? 
Se não consegue, pare, respire e pense um pouco. Eu espero. Se você entendeu será capaz de descrever 
uma situação no mesmo circuito que demonstre essa afirmação). 
Lembre-se que estamos falando de um circuito que não está com o capacitor carregado. Isso 
significa que existe uma taxa de variação temporal na carga igual à corrente que flui nos fios. Veja 
bem! Sabemos que, na segunda situação, precisamos de algo fluindo pela sacola que substitua o fluxo 
de elétrons (corrente) da primeira situação. Agora temos apenas um fluxo de campo elétrico que é 
dependente da carga nas placas do capacitor. Se quisermos estabelecer uma conexão entre as duas 
situações, a nossa oportunidade é encontrar uma relação entre a corrente no fio e o campo entre as 
placas! Aplicaremos uma derivação temporal nos dois lados da eq. 2.1. 
 
𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
𝐴𝜖0
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
 (Eq. 2.2) 
Se definirmos Φ𝐸(𝑡) = 𝐴𝐸(𝑡) como o fluxo de campo elétrico e usarmos 𝑖 =
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
 podemos 
escrever 
 𝑖 = 𝜖0
𝑑Φ𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
. (Eq. 2.3) 
 
 A eq. 2.3 é reveladora! O fluxo que passa pela sacola e substitui o fluxo de elétrons é o fluxo 
de campo elétrico variável no tempo (multiplicado por 𝜖0 no S.I.). Por razões históricas o lado direito 
da equação 2.3 é chamado de corrente de deslocamento enquanto o lado esquerdo é chamado de 
corrente de condução. 
A análise dessa contradição entre as duas situações e sua subsequente resolução através da 
descoberta da corrente de deslocamento foi feita por James Clark Maxwell. O nome deslocamento 
surge devido ao fato de que Maxwell analisava uma região do espaço preenchida por um dielétrico 
capaz de gerar polarização. O movimento dos dipolos para se alinhar dentro de um capacitor foi 
considerado por ele como um deslocamento molecular e daí o nome de corrente de deslocamento. 
Entretanto, o termo deslocamento é usado mesmo quando descrevemos uma variação de fluxo 
elétrico no vácuo. 
Agora sabemos algo novo. É possível gerar um campo magnético em uma espira amperiana 
de duas formas: ou pelo fluxo de elétrons (corrente de condução 𝑖 =
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
) ou pelo fluxo variável de 
campo elétrico (corrente de deslocamento 𝑖𝑑 = 𝜖0
𝑑Φ𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
). Na realidade, precisamos levar em 
consideração a combinação dos dois tipos de corrente que flui pela área escolhida. Na primeira 
situação temos apenas corrente de condução. Na segunda situação temos apenas corrente de 
deslocamento. Mas em uma situação geral, podem existir os dois tipos de corrente fluindo pela área 
(Tente imaginar um circuito, uma espira amperiana e uma superfície delimitada pela espira na qual 
seja necessário usar a combinação dos dois tipos de corrente!). 
Então precisamos atualizar a Lei de Ampére (eq. 1.5) tal que 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= 𝜇0(𝑖 + 𝑖𝑑) (Eq. 2.4) 
Além de necessária, essa modificação na Lei de Ampère trás uma nova perspectiva para a 
dinâmica de geração de campos elétricos e magnéticos. Essa perspectiva está na simetria existente 
entre campos elétricos e magnéticos. A Lei da Indução de Faraday diz que uma variação de fluxo de 
campo magnético é capaz de gerar uma f.e.m. que nesse caso nada mais é que a integral de um campo 
elétrico em um caminho fechado. Portanto uma variação de fluxo de campo magnético produz 
campo elétrico. A Lei de Ampère atualizada diz que uma variação de fluxo de campo elétrico produz 
campo magnético. Essa simetria é algo novo que não existia antes da descoberta de Maxwell. 
Equações de Maxwell no vácuo 
 A descoberta de Maxwell era o que faltava para listar as equações que governam 
completamente o fenômeno de produção de campos elétricos e magnéticos! 
➢ Lei de Gauss para o campo elétrico 
➢ Lei de Gauss para o campo magnético 
➢ Lei da Indução de Faraday 
➢ Lei de Ampère (com a inclusão do termo de corrente de deslocamento) 
Vou repetir: Essas quatro equações definem tudo sobre o eletromagnetismo (clássico). Tudo 
o que será feito daqui para frente (com relação ao eletromagnetismo clássico) não acrescentará nada 
de fundamental que não possa ser derivado a partir dessas quatro equações. O vínculo com a 
mecânica é feito através da Força de Lorentz (eq. 1.6). 
As equações de Maxwell (eqs. 1.1, 1.2, 1.4 e 2.4) apresentadas até aqui foram escritas no 
formalismo integral. Ou seja, as leis apresentadas dessa maneira têm o poder de fornecer o 
entendimento a respeito da criação de campos elétricos e magnéticos quando observados em regiões 
extensas do espaço representadas aqui por contornos, superfícies e volumes. Entretanto, em algumas 
situações (principalmente em cálculos computacionais) é interessante conseguir calcular os campos 
elétricos e magnéticos localmente, em função da densidade de carga, densidade de corrente e do 
comportamento dos campos elétricos e magnéticos local! 
Para isso usamos os teoremas da divergência e do rotacional aplicados nas equações de 
Maxwell para transformar o formalismo integral em formalismo diferencial. 
 
Teorema da divergência na Lei de Gauss para o campo elétrico 
Vamos escrever a eq. 1.18 para o campo elétrico. 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
= ∫ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� )𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 2.5) 
O lado esquerdo da eq. 2.5 pode ser encontrado usando a eq. 1.1, tal que 
 
𝑞𝑖𝑛𝑐
𝜖0
= ∫ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� )𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 2.6) 
Sabemos que 𝑞𝑖𝑛𝑐 está dentro do volume V. O que não sabemos é como a carga está 
distribuída (discretamente ou continuamente). Entretanto, podemos garantir que 
 𝑞𝑖𝑛𝑐 = ∫ 𝜌𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 2.7) 
onde 𝜌 = 𝜌(𝑟 ) é a densidade de carga dentro do volume. Combinando as eqs. 2.6 e 2.7 temos que∫ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� )𝑑𝑉
𝑉
= ∫ (
1
𝜖0
𝜌) 𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 2.8) 
 Na eq. 2.8 os integrandos devem ser iguais tal que podemos nos livrar das integrais. O 
resultado é a Lei de Gauss para o campo elétrico no formalismo diferencial. 
 ∇⃑⃑ ∙ �⃑� =
𝜌
𝜖0
 (Eq. 2.9) 
 Essa equação (também conhecida como equação de Poisson) permite relaciona o divergente 
do campo elétrico calculado em um certo ponto do espaço onde existe uma certa densidade de carga! 
 
Teorema da divergência na Lei de Gauss para o campo magnético 
Vamos escrever a eq. 1.18 para o campo magnético. 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
= ∫ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� )𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 2.10) 
O lado esquerdo da eq. 2.10 pode ser encontrado usando a eq. 1.2, tal que 
 ∫ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� )𝑑𝑉
𝑉
= 0 (Eq. 2.11) 
A única maneira da eq. 2.11 ser verdadeira sempre é se o integrando for nulo. Assim, a Lei de 
Gauss para o campo magnético no formalismo diferencial é 
 ∇⃑⃑ ∙ �⃑� = 0 (Eq. 2.12) 
A eq. 2.12 é também explicada pela inexistência dos monopolos magnéticos. 
 
Teorema do rotacional aplicado na Lei da Indução de Faraday 
Vamos escrever a eq. 1.27 para o campo elétrico. 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= ∫ (∇⃑⃑ × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 2.13) 
O lado esquerdo da eq. 2.13 pode ser encontrado usando a eq. 1.4, tal que 
 −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
= ∫ (∇⃑⃑ × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 2.14) 
onde por definição podemos substituir Φ𝐵 por ∫ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑𝐴 produzindo 
 −
𝑑
𝑑𝑡
(∫ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
) = ∫ (∇⃑⃑ × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 2.15) 
 Passando a derivada para dentro da integral no lado esquerdo e reconhecendo que as 
integrais serão iguais se os integrandos forem iguais, podemos concluir que a forma diferencial da Lei 
da Indução de Faraday é 
 ∇⃑⃑ × �⃑� = −
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 (Eq. 2.16) 
 
Teorema do rotacional aplicado na Lei de Ampère 
Vamos escrever a eq. 1.27 para o campo magnético. 
 ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= ∫ (∇⃑⃑ × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 2.17) 
O lado esquerdo da eq. 2.17 pode ser encontrado usando a eq. 2.4, tal que 
 𝜇0(𝑖 + 𝑖𝑑) = ∫ (∇⃑⃑ × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 2.18) 
 A corrente de condução 𝑖 pode ser expressa em termos da densidade de corrente 𝐽 (𝑟) da 
seguinte forma 
 𝑖 = ∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 2.19) 
 A corrente de deslocamento por definição é escrita como 
 𝑖𝑑 = 𝜖0
𝑑Φ𝐸(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝜖0
𝑑
𝑑𝑡
∫ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
= ∫ 𝜖0 (
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 2.20) 
 
 Subistituindo as eqs. 2.19 e 2.20 em 2.18 
 𝜇0 [∫ 𝐽 ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
+ ∫ 𝜖0 (
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
] = ∫ (∇⃑⃑ × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
 (Eq. 2.21) 
 Transformando o lado esquerdo em uma única integral e reconhecendo que os integrandos 
devem ser iguais temos a Lei de Ampère no formalismo diferencial. 
 ∇⃑⃑ × �⃑� = 𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜖0
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 (Eq. 2.22) 
 
Quadro resumo das Equações de Maxwell no vácuo 
 Integral Diferencial 
Lei de Gauss para �⃑⃑� ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
=
𝑞𝑖𝑛𝑐
𝜖0
 ∇⃑⃑ ∙ �⃑� =
𝜌
𝜖0
 
Lei de Gauss para �⃑⃑� ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
= 0 ∇⃑⃑ ∙ �⃑� = 0 
Lei da Indução de Faraday ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
 ∇⃑⃑ × �⃑� = −
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 
Lei de Ampère ∮ �⃑� ∙ 𝑑𝑙⃑⃑ ⃑
𝐶
= 𝜇0(𝑖 + 𝑖𝑑) ∇⃑⃑ × �⃑� = 𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜖0
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 
 
 
Parte 3 
 As equações de Maxwell são fundamentais para o entendimento do eletromagnetismo 
clássico. Vamos estudar nas Partes 3 e 4 algumas aplicações dessas quatro equações. 
Demonstrando algo importante 
 Uma identidade do cálculo diferencial vetorial muito importante é 
 ∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = ∇⃑⃑ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� ) − (∇⃑⃑ ∙ ∇⃑⃑ )�⃑� (Eq. 3.1) 
onde ∇⃑⃑ e �⃑� são os mesmos das demonstração dos teoremas da divergência e do rotacional. 
Vamos demonstrar essa identidade. Para simplificar a notação, usarei 𝜕𝑝 ≡
𝜕
𝜕𝑝
 , 𝜕𝑝𝑞 =
𝜕𝑝𝜕𝑞 ≡
𝜕
𝜕𝑝
𝜕
𝜕𝑞
 e 𝜕𝑝
2 = 𝜕𝑝𝑝 ≡
𝜕2
𝜕𝑝2
 onde 𝑝, 𝑞 = 𝑥, 𝑦, 𝑧. 
Começaremos por ∇⃑⃑ × �⃑� : 
 ∇⃑⃑ × �⃑� = |
𝑥 �̂� �̂�
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧
| (Eq. 3.2) 
 ∇⃑⃑ × �⃑� = (𝜕𝑦𝑢𝑧 − 𝜕𝑧𝑢𝑦)𝑥 + (𝜕𝑧𝑢𝑥 − 𝜕𝑥𝑢𝑧)�̂� + (𝜕𝑥𝑢𝑦 − 𝜕𝑦𝑢𝑥)�̂� (Eq. 3.3) 
Agora podemos fazer ∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ): 
 ∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = |
𝑥 �̂� �̂�
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
(𝜕𝑦𝑢𝑧 − 𝜕𝑧𝑢𝑦) (𝜕𝑧𝑢𝑥 − 𝜕𝑥𝑢𝑧) (𝜕𝑥𝑢𝑦 − 𝜕𝑦𝑢𝑥)
| (Eq. 3.4) 
 
∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = [𝜕𝑦(𝜕𝑥𝑢𝑦 − 𝜕𝑦𝑢𝑥) − 𝜕𝑧(𝜕𝑧𝑢𝑥 − 𝜕𝑥𝑢𝑧)]�̂�
+ [𝜕𝑧(𝜕𝑦𝑢𝑧 − 𝜕𝑧𝑢𝑦) − 𝜕𝑥(𝜕𝑥𝑢𝑦 − 𝜕𝑦𝑢𝑥)]�̂�
+ [𝜕𝑥(𝜕𝑧𝑢𝑥 − 𝜕𝑥𝑢𝑧) − 𝜕𝑦(𝜕𝑦𝑢𝑧 − 𝜕𝑧𝑢𝑦)]�̂� 
(Eq. 3.5) 
Depois da completa distribuição na eq. 3.5 vemos que as derivadas aplicadas nos termos em 
azul vão produzir derivadas mistas e as derivadas aplicadas em termos em vermelho vão produzir 
derivadas duplas. Distribuindo e separando os termos em vermelhos por vetor unitário e os termos 
em azul por derivada dupla temos 
 
∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = [𝜕𝑦𝑥𝑢𝑦 + 𝜕𝑧𝑥𝑢𝑧]�̂� + [𝜕𝑧𝑦𝑢𝑧 + 𝜕𝑥𝑦𝑢𝑥]�̂�
+ [𝜕𝑥𝑧𝑢𝑥 + 𝜕𝑦𝑧𝑢𝑦]�̂�
− [𝜕𝑥
2(𝑢𝑦�̂� + 𝑢𝑧�̂�) + 𝜕𝑦
2(𝑢𝑥�̂� + 𝑢𝑧�̂�) + 𝜕𝑧
2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦�̂�)] 
(Eq. 3.6) 
 Perceba que os termos em azul são todos positivos e os em vermelho são todos negativos. 
Eu posso adicionar um termo a uma das partes azul e o negativo deste termo a uma das partes 
vermelhas sem mudar a eq. 3.6. Adicionaremos 𝜕𝑥𝑥𝑢𝑥�̂� e −𝜕𝑥
2𝑢𝑥�̂�, 𝜕𝑦𝑦𝑢𝑦�̂� e −𝜕𝑦
2𝑢𝑦�̂�, 𝜕𝑧𝑧𝑢𝑧�̂� e 
−𝜕𝑧
2𝑢𝑧�̂�. Veja: 
 
∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = [𝜕𝑥𝑥𝑢𝑥 + 𝜕𝑦𝑥𝑢𝑦 + 𝜕𝑧𝑥𝑢𝑧]�̂�
+ [𝜕𝑥𝑦𝑢𝑥 + 𝜕𝑦𝑦𝑢𝑦 + 𝜕𝑧𝑦𝑢𝑧]�̂�
+ [𝜕𝑥𝑧𝑢𝑥 + 𝜕𝑦𝑧𝑢𝑦 + 𝜕𝑧𝑧𝑢𝑧]�̂�
− [𝜕𝑥
2(𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦�̂� + 𝑢𝑧�̂�)
+ 𝜕𝑦
2(𝑢𝑥�̂� + 𝑢𝑦�̂� + 𝑢𝑧�̂�)
+ 𝜕𝑧
2(𝑢𝑥�̂� + 𝑢𝑦�̂� + 𝑢𝑧�̂�)] 
(Eq. 3.7) 
 Podemos fatorar alguns termos em 3.7. Acompanhe. 
 
∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = 𝜕𝑥[𝜕𝑥𝑢𝑥 + 𝜕𝑦𝑢𝑦 + 𝜕𝑧𝑢𝑧]𝑥
+ 𝜕𝑦[𝜕𝑥𝑢𝑥 + 𝜕𝑦𝑢𝑦 + 𝜕𝑧𝑢𝑧]�̂�
+ 𝜕𝑧[𝜕𝑥𝑢𝑥 + 𝜕𝑦𝑢𝑦 + 𝜕𝑧𝑢𝑧]�̂�
− [𝜕𝑥
2 + 𝜕𝑦
2 + 𝜕𝑧
2](𝑢𝑥�̂� + 𝑢𝑦�̂� + 𝑢𝑧�̂�) 
(Eq. 3.8) 
 Na eq. 3.8, os termos em azul entre colchetes são todos iguais e equivalem a ∇⃑⃑ ∙ �⃑� que 
podemos substituir e fatorar. Já nos termos em vermelho temos entre colchetes um termo 
equivalente a ∇⃑⃑ ∙ ∇⃑⃑ . 
 ∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = (𝜕𝑥�̂� + 𝜕𝑦�̂� + 𝜕𝑧�̂�)∇⃑⃑ ∙ �⃑� − ∇⃑⃑ ∙ ∇⃑⃑ (𝑢𝑥�̂� + 𝑢𝑦�̂� + 𝑢𝑧�̂�) (Eq. 3.9) 
 Por fim, o termo entre parentes azul é o operador nabla ∇⃑⃑ e entre parênteses vermelho é o 
meu vetor �⃑� . Substituindo e organizando os parênteses para indicar a ordem correta de aplicação, 
temos 
 ∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = ∇⃑⃑ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� ) − (∇⃑⃑ ∙ ∇⃑⃑ )�⃑� 
que é exatamente a eq. 3.1 que eu queria demonstrar. 
Equação de onda no espaço livre 
 Nesta seção vamos analisar as consequências da aplicação das equações de Maxwell (2.9, 
2.12, 2.16 e 2.22) em uma região do espaço livre. Espaço livre é uma região do espaço que não contém 
fontes, ou seja, com 𝜌 = 0 e J = 0. Dessa forma, podemos escrever as equações de Maxwell para esse 
caso particular. 
 
(i) ∇⃑⃑ ∙ �⃑� = 0 
(Eq. 3.10) 
(ii) ∇⃑⃑ ∙ �⃑� = 0 
(iii) ∇⃑⃑ × �⃑� = −
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 
(iv) ∇⃑⃑ × �⃑� = 𝜇0𝜖0
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 
 Vamos aplicar o rotacional nos dois lados de 3.10.iii 
 ∇⃑⃑ × (∇⃑⃑ × �⃑� ) = ∇⃑⃑ × (−
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
) (Eq. 3.11) 
 O lado esquerdo de 3.11 pode ser substituído pela identidade que demonstramos no início 
desta Parte. Do lado direito, o rotacional pode trocar de posição com a derivada parcial. Assim temos 
 ∇⃑⃑ (∇⃑⃑ ∙ �⃑� ) − (∇⃑⃑ ∙ ∇⃑⃑ )�⃑� = −
𝜕
𝜕𝑡
(∇⃑⃑ × �⃑� ) (Eq. 3.12) 
 Podemos usar 3.10.i no lado esquerdo e 3.10.iv no lado direito. 
 (∇⃑⃑ ∙ ∇⃑⃑ )�⃑� =
𝜕
𝜕𝑡
(𝜇0𝜖0
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
) (Eq. 3.13) 
 Identificando ∇⃑⃑ ∙ ∇⃑⃑ = ∇2= 𝜕𝑥
2 + 𝜕𝑦
2 + 𝜕𝑧
2 e arranjando os termos temos 
 ∇2�⃑� − 𝜇0𝜖0
𝜕2
𝜕𝑡2
�⃑� = 0 (Eq. 3.14) 
 Aplicando o rotacional nos dois lados de 3.10.iv e desenvolvendo procedimento semelhante 
temos 
 ∇2�⃑� − 𝜇0𝜖0
𝜕2
𝜕𝑡2
�⃑� = 0 (Eq. 3.15) 
 As eqs. 3.14 e 3.15 mostram que campos elétricos e magnéticos em uma região livre de cargas 
e correntes vão se comportar como ondas! Reveja suas anotações de Física II e vai verque essas 
equações diferenciais são as mesmas encontradas em meios mecânicos com propagação de 
perturbações (ondas). A velocidade de fase desta onda é 
 𝑐 =
1
√𝜇0𝜖0
 (Eq. 3.16) 
 Em 1864, quando Maxwell chegou a essa conclusão, os valores de 𝜇0 e 𝜖0 já eram conhecidos 
com precisão suficiente para indicar que o valor de 𝑐 na eq. 3.16 era espantosamente similar ao valor 
da velocidade da luz. Léon Foucault em 1862 já havia medido a velocidade da luz com apenas 0,6 % 
de erro comparado com o valor atualmente aceito. Então, não havia dúvidas para Maxwell que ondas 
de campos elétricos e magnéticos (ondas eletromagnéticas) viajavam com a velocidade da luz. 
 
Parte 4 
Onda plana monocromática 
Uma possível solução para a eq. 3.14 é uma solução harmônica (no espaço e no tempo) tal 
que 
 �⃑� (𝑟 , 𝑡) = �⃑� 0𝑒
𝑖(�⃑� ∙𝑟 −𝜔𝑡+𝜑) (Eq. 4.1) 
onde �⃑� é o vetor de onda, 𝜔 é a frequência. �⃑� 0 e 𝜑 são as amplitude e fase que dependem das 
condições iniciais. Perceba que a eq. 3.14 é uma equação diferencial vetorial. Isso significa que na 
verdade temos três equações diferenciais: uma para cada dimensão do espaço. E, portanto, devemos 
entender �⃑� 0 e 𝜑 como três pares de condições iniciais. O vetor de onda �⃑� tem dá informações 
importantes: a) sua direção e sentido apontam na direção e sentido de propagação da onda e b) o seu 
módulo está relacionado com o comprimento de onda 𝜆 pela relação 𝑘 =
2𝜋
𝜆
. 
Aplicando 4.1 em 3.14 temos 
 ∇2 (�⃑� 0𝑒
𝑖(�⃑� ∙𝑟 −𝜔𝑡+𝜑)) −
1
𝑐2
𝜕2
𝜕𝑡2
(�⃑� 0𝑒
𝑖(�⃑� ∙𝑟 −𝜔𝑡+𝜑)) = 0 (Eq. 4.2) 
 −𝑘2 (�⃑� 0𝑒
𝑖(�⃑� ∙𝑟 −𝜔𝑡+𝜑)) +
1
𝑐2
𝜔2 (�⃑� 0𝑒
𝑖(�⃑� ∙𝑟 −𝜔𝑡+𝜑)) = 0 (Eq. 4.3) 
 𝑘 =
𝜔
𝑐
 (Eq. 4.4) 
A eq. 4.4 não deveria ser novidade pois é o mesmo resultado obtido nos estudos de ondas 
mecânicas no seu curso de Oscilações e Ondas em Física II. Vale a pena lembrar que esse resultado só 
é válido para ondas eletromagnéticas no vácuo. 
Se o mesmo raciocínio for aplicado para o campo magnético teremos 
 �⃑� (𝑟 , 𝑡) = �⃑� 0𝑒
𝑖(�⃑� ∙𝑟 −𝜔𝑡+𝜑) (Eq. 4.5) 
Agora que temos as eqs. 4.1 e 4.5 como soluções da nossa equação de onda, podemos aplicar 
as equações de Maxwell em cada uma delas para encontrar algumas propriedades importantes de 
ondas eletromagnéticas. Primeiramente, precisamos facilitar nossa vida. Para isso, faremos duas 
escolhas com relação à orientação dos vetores que definem nossa onda em relação ao sistema de 
coordenada. Desde já adianto que essas escolhas não retiram qualquer generalidade dos resultados 
pois são escolhas que envolvem apenas alinhamento do sistema de coordenada usado. 
Dada uma onda eletromagnética plana se propagando no espaço, podemos escolher um 
sistema de coordenada tal que o eixo z positivo está orientado na mesma direção de propagação da 
onda, ou seja, 
 �⃑� = 𝑘�̂� (Eq. 4.6) 
o que leva a 
 �⃑� ∙ 𝑟 = 𝑘𝑧 (Eq. 4.7) 
 Vamos combinar as eqs. 3.10.i e 4.1. 
 ∇⃑⃑ ∙ �⃑� = (𝜕𝑥�̂� + 𝜕𝑦�̂� + 𝜕𝑧�̂�) ∙ (𝐸0𝑥�̂� + 𝐸0𝑦�̂� + 𝐸0𝑧�̂�)𝑒
𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡+𝜑) = 0 (Eq. 4.8) 
 
Perceba que o divergente vai ser aplicado em uma função da posição que não depende de 𝑥 
e 𝑦 por causa da eq. 4.7. Dessa forma somente a derivada em z será não nula. Portanto, 
 (𝑖𝑘)𝐸0𝑧𝑒
𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡+𝜑) = 0 (Eq. 4.9) 
 Considerando que a onda existe e, portanto, 𝑘 ≠ 0 temos que a única maneira da eq. 4.9 ser 
verdadeira é se 𝐸0𝑧 = 0. Essa é uma conclusão extremamente importante. Não existe componente 
do campo elétrico na direção de propagação da onda. 
𝐸0𝑧 = 0 é 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 é 𝑢𝑚𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙! 
 
 Podemos fazer mais: vamos combinar as eqs. 3.10.iii e 4.1. Novamente, só os termos com 
derivadas em z são não nulos. 
 ∇⃑⃑ × �⃑� = (−𝐸0𝑦𝑥 + 𝐸0𝑥�̂�)𝜕𝑧𝑒
𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡+𝜑) = −
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
 (Eq. 4.10) 
 Usando a eq. 4.5 podemos chegar a 
 (𝑖𝑘)(−𝐸0𝑦�̂� + 𝐸0𝑥�̂�) = −(−𝑖𝜔)(𝐵0𝑥�̂� + 𝐵0𝑦�̂� + 𝐵0𝑧�̂�). (Eq. 4.11) 
 O primeiro fato a ser notado na eq. 4.11 é que o vetor do lado esquerdo não tem componente 
z. Isso implica que do lado direito não deveríamos ter uma componente z, levando a 𝐵0𝑧 = 0. Uma 
conclusão semelhante ao do campo elétrico. 
𝐵0𝑧 = 0 é 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜 é 𝑢𝑚𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙! 
 
O segundo fato a ser extraído da eq. 4.11 é o par de equações abaixo 
 {
𝐸0𝑦 = −𝑐𝐵0𝑥
𝐸0𝑥 = 𝑐𝐵0𝑦
 (Eq. 4.12) 
onde 𝑐 vem do uso da relação da eq. 4.4. Para ilustrar bem o que o par de eqs. 4.12 quer dizer, vamos 
fazer uma segunda escolha de orientação do sistema de coordenadas. Aqui, considere que o eixo x do 
sistema de coordenadas está alinhado na direção campo elétrico. Se isso por verdade, não teremos 
componente do campo elétrico na direção y e, portanto, 𝐸0𝑦 = 0. Não existe nada em especial em 
fazer isso, mas essa orientação deixa óbvio que, segundo as eqs. 4.12, 
 {
𝐵0𝑥 = 0
𝐵0𝑦 =
1
𝑐
𝐸0𝑥
 (Eq. 4.13) 
 E agora podemos ver mais um fato importante. 
𝐴 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜 é 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 90° 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 
𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜. 
 
 De acordo com nossa escolha de orientação do sistema de coordenadas, que pode ser 
arbitrariamente escolhida sem perda de generalidade, chegamos à conclusão que 
 {
�⃑� (𝑟 , 𝑡) = 𝐸0𝑥𝑒
𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡+𝜑)�̂�
�⃑� (𝑟 , 𝑡) = 𝐵0𝑦𝑒
𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡+𝜑)�̂�
 (Eq. 4.14) 
 Em resumo, uma onda plana de campo eletromagnético pode ser descrita como uma onda na 
qual os campos elétricos e magnéticos oscilam em direções perpendiculares entre si e perpendiculares 
à direção de propagação (ondas transversais). Além disso, combinando as equações 4.13 e 4.14 pode-
se mostrar que 
 |�⃑� | =
1
𝑐
|�⃑� |. (Eq. 4.15) 
 Se, por acaso, você ainda não se convenceu de que as orientações de sistemas de coordenadas 
não afetam a generalidade dos resultados, considere que todas essas propriedades podem ser 
descritas com uma simples equação. 
 �⃑� =
1
𝑐
(�̂� × �⃑� ). (Eq. 4.16) 
onde �̂� é o vetor unitário do vetor �⃑� . As equações 4.1 e 4.16 e �̂� ∙ �⃑� = 0 são suficientes para explicar 
todas as propriedades demonstradas nessa seção. É bom você se convencer disso também! 
 
Parte 5 
Demonstrando outro algo importante 
 Outra identidade do cálculo diferencial vetorial muito importante é 
 ∇⃑⃑ ∙ (𝑣 × �⃑� ) = �⃑� ∙ (∇⃑⃑ × 𝑣 ) − 𝑣 ∙ (∇⃑⃑ × �⃑� ) (Eq. 5.1) 
onde ∇⃑⃑ é o operador nabla e �⃑� e 𝑣 são vetores quaisquer em 3D. Desenvolvendo o lado direito da eq. 
5.1, segue 
 
�⃑� ∙ (∇⃑⃑ × 𝑣 ) − 𝑣 ∙ (∇⃑⃑ × �⃑� ) = 
�⃑� ∙ [(𝜕𝑦𝑣𝑧 − 𝜕𝑧𝑣𝑦)𝑥 + (𝜕𝑧𝑣𝑥 − 𝜕𝑥𝑣𝑧)�̂� + (𝜕𝑥𝑣𝑦 − 𝜕𝑦𝑣𝑥)�̂�] + 
−𝑣 ∙ [(𝜕𝑦𝑢𝑧 − 𝜕𝑧𝑢𝑦)�̂� + (𝜕𝑧𝑢𝑥 − 𝜕𝑥𝑢𝑧)�̂� + (𝜕𝑥𝑢𝑦 − 𝜕𝑦𝑢𝑥)�̂�] = 
 
 
𝑢𝑥𝜕𝑦𝑣𝑧 − 𝑢𝑥𝜕𝑧𝑣𝑦 + 𝑢𝑦𝜕𝑧𝑣𝑥 − 𝑢𝑦𝜕𝑥𝑣𝑧 + 𝑢𝑧𝜕𝑥𝑣𝑦 − 𝑢𝑧𝜕𝑦𝑣𝑥 + 
−𝑣𝑥𝜕𝑦𝑢𝑧 + 𝑣𝑥𝜕𝑧𝑢𝑦 − 𝑣𝑦𝜕𝑧𝑢𝑥 + 𝑣𝑦𝜕𝑥𝑢𝑧 − 𝑣𝑧𝜕𝑥𝑢𝑦 + 𝑣𝑧𝜕𝑦𝑢𝑥 = 
 
 Usando 𝜕𝑥(𝑣𝑦𝑢𝑧) = 𝑢𝑧𝜕𝑥𝑣𝑦 + 𝑣𝑦𝜕𝑥𝑢𝑧 e semelhantes, temos 
 𝜕𝑥(𝑣𝑦𝑢𝑧 − 𝑣𝑧𝑢𝑦) + 𝜕𝑦(𝑣𝑧𝑢𝑥 − 𝑣𝑥𝑢𝑧) + 𝜕𝑧(𝑣𝑥𝑢𝑦 − 𝑣𝑦𝑢𝑥) = ∇⃑⃑ ∙ (𝑣 × �⃑� ) 
 
Vetor de Poynting 
 Nesta seção temos o objetivo de estudar o fluxo de energia eletromagnética em uma região 
fechada do espaço. Para isso, vamos voltar a usar as equações de Maxwell com fontes (2.9, 2.12, 2.16 
e 2.22). 
Vamos aplicar a identidade da eq. 5.1 nos vetores �⃑� e �⃑� . 
 ∇⃑⃑ ∙ (�⃑� × �⃑� ) = �⃑� ∙ (∇⃑⃑ × �⃑� ) − �⃑� ∙ (∇⃑⃑ × �⃑� ) (Eq. 5.2) 
 Do lado direito da eq. 5.2 podemos usar as equações de Maxwell 2.16 e 2.22 
 ∇⃑⃑ ∙ (�⃑� × �⃑� ) = �⃑� ∙ (−
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
) − �⃑� ∙ (𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜖0
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
) (Eq. 5.3) 
 Arranjando os termos da direita podemos escrever 
 ∇⃑⃑ ∙ (�⃑� × �⃑� ) = −𝜇0 [�⃑� ∙ 𝐽 + 𝜖0 (�⃑� ∙
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
) +
1
𝜇0
(�⃑� ∙
𝜕�⃑� 
𝜕𝑡
)] (Eq. 5.4) 
 Sabendo que �⃑� ∙
𝜕�⃑�𝜕𝑡
=
1
2
𝜕
𝜕𝑡
(�⃑� ∙ �⃑� ) e que a mesma relação vale para �⃑� , temos 
 ∇⃑⃑ ∙ (�⃑� × �⃑� ) = −𝜇0 [�⃑� ∙ 𝐽 +
𝜖0
2
(
𝜕|�⃑� |
2
𝜕𝑡
) +
1
2𝜇0
(
𝜕|�⃑� |
2
𝜕𝑡
)] (Eq. 5.5) 
 Mais um pouco de organização e temos 
 −∇⃑⃑ ∙ (
1
𝜇0
�⃑� × �⃑� ) = �⃑� ∙ 𝐽 +
𝜕
𝜕𝑡
(
𝜖0
2
|�⃑� |
2
) +
𝜕
𝜕𝑡
(
1
2𝜇0
|�⃑� |
2
) (Eq. 5.6) 
 Você deve lembrar das equações para densidade de energia armazenada no campo elétrico 
𝑢𝐸 e no campo magnético 𝑢𝐵. 
 −∇⃑⃑ ∙ (
1
𝜇0
�⃑� × �⃑� ) = �⃑� ∙ 𝐽 +
𝜕𝑢𝐸
𝜕𝑡
+
𝜕𝑢𝐵
𝜕𝑡
 (Eq. 5.7) 
 Podemos identificar que os termos do lado direito da eq. 5.7 tem a ver com variações de 
energia. Aqui estamos falando de variações locais de energia, ou seja, em um ponto do espaço. 
Podemos dizer que em um certo ponto do espaço a densidade de energia eletromagnética é 𝑢𝐸𝑀 =
𝑢𝐸 + 𝑢𝐵. Entretanto, essa equação fica muito mais clara quando analisada do ponto de vista 
macroscópico, ou seja, analisando essas variações de energia em um volume contido por uma 
superfície fechada. Podemos integrar a eq. 5.7 em um volume V delimitado por uma superfície A tal 
que 
 ∫ [−∇⃑⃑ ∙ (
1
𝜇0
�⃑� × �⃑� )] 𝑑𝑉
𝑉
= ∫ (�⃑� ∙ 𝐽 +
𝜕𝑢𝐸𝑀
𝜕𝑡
)𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 5.8) 
Isso nos leva a usar o teorema da divergência (eq. 1.18). Não é coincidência que temos um 
divergente no lado esquerdo da eq. 5.8. 
 −∮ (
1
𝜇0
�⃑� × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
= ∫ (�⃑� ∙ 𝐽 )𝑑𝑉
𝑉
+
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑢𝐸𝑀𝑑𝑉
𝑉
 (Eq. 5.9) 
Vamos identificar os termos do lado direito. Começando pelo último termo 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑢𝐸𝑀𝑑𝑉𝑉 : é 
claro o significado deste termo pois vemos diretamente que ele significa a taxa de variação temporal 
da energia armazenada nos campos elétricos e magnéticos dentro do volume V. Vamos chamar essa 
taxa de 𝑃𝐸𝑀. 
E o que podemos dizer sobre o primeiro termo ∫ (�⃑� ∙ 𝐽 )𝑑𝑉𝑉 ? Relembre a eq. 1.6 para a Força 
de Lorentz. Os campos elétricos e magnéticos dentro do volume considerado vão atuar com uma força 
(Força de Lorentz) em todas as cargas presente neste volume. Se existe força, existirá aceleração das 
cargas. A potência instantânea 𝑑𝑃Ω devido ao trabalho realizado em um elemento de carga 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑉 
por essa força é 
 𝑑𝑃Ω = 𝐹 𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧 ∙ 𝑣 = 𝑑𝑞(�⃑� + 𝑣 × �⃑� ) ∙ 𝑣 = �⃑� ∙ 𝑣 𝜌𝑑𝑉 (Eq. 5.10) 
Se o elemento de volume 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝐴 e considerarmos por exemplo um movimento de cargas 
na direção x, temos que o módulo da densidade de corrente local pode ser calculado como 
 𝐽 =
𝑑𝑖
𝑑𝐴
=
𝑑𝑞
𝑑𝑡𝑑𝐴
=
𝑑𝑥𝑑𝑞
𝑑𝑡𝑑𝑉
= 𝑣𝜌 (Eq. 5.11) 
Combinando as eqs. 5.10 e 5.11 temos 
 𝑑𝑃Ω = �⃑� ∙ 𝐽 𝑑𝑉 (Eq. 5.12) 
 A integral da eq. 5.12 em todo o volume vai dar toda a potência do trabalho realizado pelos 
campos elétricos e magnéticos nas cargas 𝑃Ω. Esse trabalho transformou energia eletromagnética em 
movimento das cargas que por sua vez será armazenada em energia cinética e/ou dissipada por efeito 
Joule na forma de calor quando alguma resistência ao movimento de cargas está presente. Observe 
que 𝑃Ω é exatamente o primeiro termo do lado esquerdo da eq. 5.9 que pode ser escrita agora da 
seguinte forma 
 −∮ (
1
𝜇0
�⃑� × �⃑� ) ∙ 𝑑𝐴⃑⃑⃑⃑ ⃑
𝐴
= 𝑃Ω + 𝑃𝐸𝑀 (Eq. 5.13) 
 Agora chegou a hora de avaliar o que temos do lado esquerdo da eq. 5.13. Se combinarmos o 
sinal negativo com o elemento de área, podemos interpretar a integral fechada de área como um fluxo 
para dentro do volume. Portanto, se do lado direito temos taxas de variação de energia 
eletromagnéticas armazenadas (𝑃𝐸𝑀) e convertidas em energia mecânica e/ou calor (𝑃Ω) é de se 
esperar que do lado esquerdo tenhamos o fluxo de energia necessário para produzir 𝑃Ω + 𝑃𝐸𝑀. 
 Esse fluxo é calculado pela integral da densidade superficial de potência transportada pelos 
campos elétricos e magnéticos que atravessam a superfície A. Vamos definir como 𝑆 a densidade de 
potência por unidade de área, tal que 
 𝑆 =
1
𝜇0
�⃑� × �⃑� (Eq. 5.14) 
 A grandeza 𝑆 é conhecida como vetor de Poynting (medida no SI em 𝑊/𝑚2) e a eq. 5.13 é 
conhecida como teorema de Poynting. O teorema de Poynting diz que a integral do vetor de Poynting 
sob qualquer superfície fechada é igual à taxa com a qual a energia é transportada por campos 
eletromagnéticos para dentro do volume limitado pela superfície fechada! 
 Usando as eqs. 4.16 e 5.14 é possível mostrar que 𝑆 aponta na direção do vetor de onda de 
uma onda eletromagnética. Dessa forma, o vetor de Poynting não somente é uma grandeza que 
representa a densidade superficial de potência de uma onda eletromagnética, mas também aponta 
na direção de propagação da onda. 
 O teorema de Poynting foi demonstrado usando as equações de Maxwell e a Força de Lorentz. 
Portanto, ele deve explicar toda a dinâmica de balanço de energia em um volume dentro do contexto 
do eletromagnetismo clássico. É uma equação de conservação de energia. E da mesma forma que 
explica as variações e transformações de energia dentro de um volume causado pela entrada de 
energia vinda de fora na forma de ondas eletromagnéticas, o teorema de Poynting funciona na forma 
reversa. Ou seja, a energia armazenada em campos eletromagnéticos dentro de um volume pode fluir 
para fora no formato de onda eletromagnética. O mesmo pode ser dito para o movimento de cargas 
em uma região fechada pode gerar um fluxo de energia para fora no formato de ondas 
eletromagnéticas. Você consegue imaginar exemplos desse funcionamento reverso do teorema de 
Poynting?