Indutância (1)

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Universidade Federal do Piauí 
Centro de Ciências da Natureza 
Departamento de Física 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aulas 
Indutância 
Prof. Alexandre Maciel 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizada em 07 de Abril de 2021 
 
 
 
Referências Básicas: 
• Resnick, R. Halliday, D. e Krane, K.S., Física, vol. III, 5ª ed., Livros Técnicos e Científicos, 
Rio de Janeiro (1994). 
• Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, vol. III, 2ª ed., Edgard Blucher, São Paulo 
(1996). 
 
Sumário 
Parte 1 ................................................................................................................................................. 3 
Revisão 1: Lei de Biot-Savart ........................................................................................................... 3 
Revisão 2: Fluxo Magnético ............................................................................................................ 3 
Revisão 3: Lei da Indução de Faraday ............................................................................................. 4 
Revisão 4: Lei da Indução de Faraday ............................................................................................. 4 
Parte 2 ................................................................................................................................................. 6 
Indutância Mútua ............................................................................................................................ 6 
Autoindutância ................................................................................................................................ 7 
Autoindutância de um solenoide .................................................................................................... 7 
Capacitor, resistor e indutor ........................................................................................................... 8 
Parte 3 ................................................................................................................................................. 9 
A indutância de um solenoide ........................................................................................................ 9 
A indutância de um toróide ............................................................................................................ 9 
Indutores com materiais magnéticos ........................................................................................... 10 
Parte 4 ............................................................................................................................................... 11 
Circuito RL ..................................................................................................................................... 11 
Energia Armazenada no Campo Magnético de um Indutor ......................................................... 12 
Parte 5 ............................................................................................................................................... 14 
Oscilações eletromagnéticas ........................................................................................................ 14 
Oscilador LC ................................................................................................................................... 14 
Oscilador Amortecido RLC ............................................................................................................ 15 
Parte 6 ............................................................................................................................................... 21 
Oscilador Amortecido Forçado ..................................................................................................... 21 
Ressonância e fator de qualidade ................................................................................................. 23 
 
 
 
Parte 1 
Revisão 1: Lei de Biot-Savart 
 A lei de Biot-Savart nos permite calcular o campo 
magnético total em uma dada posição do espaço gerado por 
condutor com geometria conhecida pela qual passa uma corrente. 
Esta lei parte do princípio de que é possível calcular o elemento de 
campo magnético 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ gerado por um elemento de comprimento 𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ 
que conduz uma corrente 𝑖 em um ponto do espaço. A posição 
deste ponto em relação ao elemento de comprimento é 
representada pelo vetor 𝑟 . 
 Dada a natureza da geração de campos magnéticos pelo movimento de cargas, é de se esperar 
que o campo 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ seja um vetor proporcional ao produto externo entre o elemento de corrente 𝑑𝑖⃗⃗ ⃗ =
𝑖𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ e o vetor unitário na direção da posição relativa �̂� =
𝑟 
𝑟
. Também, como em outras grandezas que 
conservam o fluxo total sobre uma área esférica, é de se esperar que a intensidade de 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ seja 
inversamente proporcional ao quadrado da distância entre o elemento de corrente e o ponto do 
espaço onde está sendo calculado o campo. Dessa forma, 
 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (
𝜇0
4𝜋
) (𝑑𝑖⃗⃗ ⃗ × �̂�) (
1
𝑟2
) =
𝜇0𝑖
4𝜋
𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ × 𝑟 
𝑟3
, (Eq. 1.1) 
onde o termo 
𝜇0
4𝜋
 é uma constante de proporcionalidade no SI e 𝜇0 = 4𝜋. 10
−7𝑇.𝑚/𝐴. 
 O campo total na posição de interesse pode ser então obtido integrando todas as 
contribuições 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ de todos os elementos que compõem o fio. Assim, 
 �⃗� = ∫ 𝑑𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑓𝑖𝑜
=
𝜇0𝑖
4𝜋
∫
𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ × 𝑟 
𝑟3𝑓𝑖𝑜
. (Eq. 1.2) 
 Perceba que essa integral depende fortemente da geometria do fio, tornando-se impraticável 
a solução analítica do campo na maioria dos casos em que não existe uma simetria que favoreça o 
cálculo da integral. No entanto, nos casos em que a geometria permite, essa equação permite o cálculo 
exato do campo magnético em função da distância e orientação do ponto no espaço (Ex.: fios ou 
seções de fios retilíneos e espiras ou arcos de círculos.) 
Revisão 2: Fluxo Magnético 
 O fluxo magnético (𝚽𝑩) é uma grandeza escalar que mede a 
quantidade de campo magnético que passa por uma certa área. No 
caso mais simples, onde o campo magnético �⃗� é constante no espaço 
(tanto em módulo quanto em direção) e a área A é uma seção finita de 
um plano perpendicular à direção do campo magnético. O vetor 𝐴 é 
definido como um vetor cujo módulo é igual à área total da seção finita 
aponta na mesma direção e sentido de �⃗� . Neste caso, o fluxo 
magnético pode ser calculado como Φ𝐵 = |�⃗� |. |𝐴 |. A unidade de 
medida do fluxo é weber (Wb) tal que 1 𝑊𝑏 = 1 𝑇.𝑚2. 
 No caso em que a área plana não é perpendicular à direção de 
�⃗� , é necessário levar em conta apenas a componente do campo que 
atravessa a área. Isso porque a componente tangente ao plano nunca 
atravessa a área e, portanto, não contribui para o fluxo total. A 
componente do campo que atravessa a área é a projeção de �⃗� na 
direção de 𝐴 , que pode ser encontrada usando o termo |�⃗� |𝑐𝑜𝑠𝜃 onde 𝜃 
é ângulo formado pelas direções do campo magnético e a perpendicular 
ao plano. Assim, temos que 
 Φ𝐵 = |�⃗� |𝑐𝑜𝑠𝜃|𝐴 | = �⃗� ⋅ 𝐴 (Eq. 1.3) 
 Por fim, vamos analisar o caso geral, em que a área não é 
necessariamente plana e o campo magnético varia no espaço. 
Aqui vamos denotar como S a superfície gerada por um circuito 
fechado. Nesse caso, a solução para o cálculo de Φ𝐵 total está na 
integração de elementos de fluxo 𝑑Φ𝐵 que passam por 
elementos de área 𝑑𝐴 plano representado pelo vetor 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗. Esse 
vetor 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ tem módulo igual à área do elemento 𝑑𝐴 e sua direção 
e sentido é determinada pela direção perpendicular à superfície 
do elemento de área. Considerando que o elemento de área é pequeno o suficiente tal que as 
variações de campo magnético em sua extensão sejam desprezíveis podemos usar a equação 1.3 para 
calcular o elemento de fluxo 𝑑Φ𝐵 = �⃗� ⋅ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗. Assim, o fluxo total pode ser encontrado a partir da 
integração 
 Φ𝐵 = ∫ 𝑑Φ𝐵
𝑆
= ∫ �⃗� ⋅ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑆
 (Eq. 1.4)Revisão 3: Lei da Indução de Faraday 
 A Lei da Indução de Faraday diz que a intensidade da fem (força eletromotriz) induzida em 
um circuito é igual à taxa com que o fluxo magnético que o atravessa varia com o tempo. Para um 
circuito fechado, tipo uma espira, temos que a intensidade da fem |ℰ| é 
 |ℰ| = |
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
| (Eq. 1.5) 
Se o circuito for composto por N espiras idênticas, temos uma bobina e a intensidade da fem 
será 
 |ℰ| = 𝑁 |
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
| (Eq. 1.6) 
Revisão 4: Lei de Lenz 
 A Lei de Lenz diz que o fluxo do campo magnético gerado pela 
corrente induzida opõe-se à variação no fluxo que causa a corrente 
induzida. Para entender essa lei vamos analisar um caso simples de uma 
espira circular por onde passa uma corrente i. Considere a sequência de 
fatos observáveis: 
1. A corrente i na espira vai gerar um campo magnético. Vamos nos 
concentrar na área formada pela superfície plana (disco) 
delimitada pelo circuito da espira. Por disco temos um fluxo total Φ𝐵. 
2. Olhando para o centro do disco e usando a regra da mão direita podemos identificar a direção 
e sentido do campo magnético �⃗� . 
3. O campo magnético varia com a posição dentro do disco, mas se a corrente i for constante, o 
valor do campo magnético em cada posição será constante no tempo. Portanto, a taxa de 
variação do fluxo de campo magnético será nula e segundo a equação 1.5 a fem induzida será 
nula também. 
4. Se a corrente i variar no tempo, o valor do campo magnético vai variar e por sua vez, 
mantendo a área do disco constante teremos que 
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
 será diferente de zero. A lei da indução 
de Faraday diz que nesse caso será estabelecida uma fem ℰ segundo a equação 1.5. 
5. A fem induzida ℰ vai gerar no circuito uma corrente induzida 𝑖𝑖𝑛𝑑 que por sua vez gera também 
um campo magnético induzido �⃗� 𝑖𝑛𝑑. 
Perceba que até agora, não foi estabelecido o sinal da fem induzida ℰ e, portanto, a direção 
da corrente e a orientação do campo magnético induzido �⃗� 𝑖𝑛𝑑. Isso não é definido pela Lei de Indução 
de Faraday (observe que a eq. 1.5 e 1.6 são escritas em termos de módulos). 
Entretanto, a Lei de Lenz nos permite avaliar o sinal da fem 
induzida ℰ. Vamos considerar que a corrente original i tem sentido 
anti-horário e que esse será por definição nosso sentido positivo. No 
caso em que a corrente aumenta temos 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
> 0 e, portanto, 
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
>
0. A Lei de Lenz diz que �⃗� 𝑖𝑛𝑑 será gerado tal que o fluxo Φ𝐵𝑖𝑛𝑑 seja 
contrário à variação do fluxo original 
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
. Se 
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
> 0 então �⃗� 𝑖𝑛𝑑 
apontará no sentido contrário ao de �⃗� para diminuir o fluxo 
magnético total na espira, ou seja, se opondo ao crescimento do 
fluxo magnético. 
O sentido de �⃗� 𝑖𝑛𝑑, apontando para baixo de acordo com o desenho, indica que devido à regra 
da mão direita, a corrente induzida 𝑖𝑖𝑛𝑑 deve estar no sentido horário e que a fem induzida ℰ que o 
gerou deve ir no sentido oposto ao sentido positivo determinado pela corrente original. Portanto, se 
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
> 0 temos que ℰ < 0. É possível mostrar por argumentos semelhantes que se se 
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
< 0 
teremos ℰ > 0. 
 Por fim, podemos escrever a conclusão de que a Lei de Indução de Faraday e a Lei de Lenz, 
juntas, afirmam que 
 ℰ = −
𝑑Φ𝐵𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑡
 (Eq. 1.7) 
onde Φ𝐵𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 é o fluxo de campo magnético total no caso de uma ou mais espiras. 
 
 
Parte 2 
Indutância Mútua 
 O conceito de indutância mútua se refere ao fenômeno de geração de fem 
induzida ℰ em um circuito quando o campo magnético que compõe o fluxo variável 
em questão é gerado por outro circuito. Considere dois circuitos fechados 1 e 2. No 
circuito 1 temos uma corrente 𝑖1 que gera um campo magnético �⃗� 1. Esse campo �⃗� 1 
permeia o espaço e pode ser calculado usando a Lei de Biot-Savart. 
 �⃗� 1 =
𝜇0𝑖1
4𝜋
∮
𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ × 𝑟 
𝑟3𝑐1
. (Eq. 2.1) 
 A passagem �⃗� 1 pela área formada pelo circuito 2 gera um fluxo Φ𝐵2 = ∫ �⃗� 1 ⋅ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗Á𝑟𝑒𝑎 2 . 
Utilizando a eq. 2.1, temos que 
 Φ𝐵2 = ∫ (
𝜇0𝑖1
4𝜋
∮
𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ × 𝑟 
𝑟3𝑐1
) ⋅ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗
Á𝑟𝑒𝑎 2
. 
 
Φ𝐵2 = [
𝜇0
4𝜋
] [∫ ∮
1
𝑟3𝑐1
(𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ × 𝑟 ⋅ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗)
Á𝑟𝑒𝑎 2
] [𝑖1]. (Eq. 2.2) 
 A eq. 2.2 apresenta Φ𝐵2 como o produto de três termos (separadas por colchetes). O primeiro 
termo é uma constante que muda de acordo com o sistema de medidas utilizado (SI nesse caso). O 
segundo termo, dado por uma integral de superfície e uma integral de contorno. Observe que essas 
integrais se dão para cada combinação de elemento de comprimento no circuito 1 e cada elemento 
de área no circuito 2. Portanto, todo esse termo será calculado usando a posição relativa entre os dois 
circuitos. Desde que os circuitos não mudem de posição relativa e nem sem respectivos formatos, o 
valor da integral será constante. Ou seja, o segundo termo é uma constante geométrica. O terceiro 
termo é a corrente que flui no circuito 1. 
 Considerando a situação em que a geometria dos circuitos não varia, podemos combinar os 
dois primeiros termos em uma constante denotada por M. 
 
𝑀 =
𝜇0
4𝜋
∫ ∮
1
𝑟3𝑐1
(𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ × 𝑟 ⋅ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗)
Á𝑟𝑒𝑎 2
. (Eq. 2.3) 
tal que, 
 Φ𝐵2 = 𝑀𝑖1. (Eq. 2.4) 
 
 Segundo a eq. 2.4, uma variação temporal de 𝑖1 gera uma variação temporal de Φ𝐵2 e, 
portanto, segundo a eq. 1.7, teremos uma fem induzida ℰ2 no circuito 2. 
 
ℰ2 = −
𝑑Φ𝐵2
𝑑𝑡
= −𝑀
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
. (Eq. 2.5) 
 A grandeza M da equação 2.5 é chamada de Indutância Mútua e representa a 
proporcionalidade entre uma taxa de variação da corrente no circuito 1 e a fem induzida no circuito 
2. Usando a Lei de Lenz podemos concluir que 𝑀 > 0. A unidade de medida no SI da Indutância Mútua 
é o henry (H) onde 1 𝐻 = 1𝑉. 𝑠/𝐴. A indutância mútua caracteriza a capacidade que um circuito tem 
de gerar uma fem induzida em outro circuito. É uma grandeza que depende exclusivamente da 
geometria dos dois circuitos. Aqui, avaliamos o efeito do circuito 1 no circuito 2 e a indutância mútua 
deveria ser indicada como 𝑀12. O caso oposto resultará em ℰ1 = −𝑀21
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
. Fica como exercício 
avançado mostrar que 𝑀12 = 𝑀21. 
Autoindutância 
A autoindutância se refere ao fenômeno de geração de fem induzida ℰ pela 
variação de corrente no mesmo circuito (diferentemente do que ocorre na 
indutância mútua). Considere o circuito C que delimita uma área A. Se pelo circuito 
C passa uma corrente i que gera um campo magnético no espaço �⃗� então teremos 
um fluxo Φ𝐵 pela área A. Uma variação temporal da corrente vai gerar uma fem 
induzida. De maneira bastante parecida com o demonstrado na seção anterior podemos concluir que 
 
ℰ = −𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 (Eq. 2.6) 
onde 
 
𝐿 =
𝜇0
4𝜋
∫ ∮
1
𝑟3C
(𝑑𝑙⃗⃗ ⃗ × 𝑟 ⋅ 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗)
𝐴
 (Eq. 2.7) 
é a autoindutância do circuito C. A interpretação da autoindutância é semelhante à da indutância 
mútua com a diferença de que a autoindutância se dá pela influência de um circuito nele mesmo. 
As eqs. 2.3 e 2.7 são as definições formais da indutância mútua e autoindutância, 
respectivamente. Entretanto, o cálculo de indutância raramente é feito usando estas equações pois 
existem métodos mais simples e diretos de se obter essas grandezas. Mostrarei um exemplo disso a 
seguir. 
Autoindutância de um solenoide 
Considere um solenoide com N espiras idênticas 
conduzindo uma corrente i. É possível demonstrar que 
no caso de um solenoide onde a extensão total seja 
muito maior que o raio das espiras o campo magnético 
�⃗� gerado dentro do solenoide é constante e nulo fora do 
solenoide. 
O fluxo magnético total é 
 Φ𝐵𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁Φ𝐵, (Eq. 2.8) 
onde Φ𝐵 é o fluxo em uma espira. 
 Usando a eq. 1.7 e a eq. 2.6 podemos concluir que 
 
ℰ = −
𝑑Φ𝐵𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑡
= −𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
. 
 Agora, usando a eq. 2.8 podemos escrever: 
 𝑑
𝑑𝑡
(𝑁Φ𝐵 − 𝐿𝑖) = 0, 
ou seja, 
 𝑁Φ𝐵 − 𝐿𝑖 = cte, (Eq. 2.9) 
onde cte é uma constante. Isolando o termo Φ𝐵 naeq. 2.9, temos 
 
Φ𝐵 =
1
𝑁
(𝐿𝑖 + 𝑐𝑡𝑒) (Eq. 2.10) 
 Considerando que, na ausência de campos magnéticos externos, o campo dentro de cada 
espira é nulo se a corrente for nula, temos que Φ𝐵(𝑖 = 0) = 0. Isso implica que nossa constante da 
eq. 2.10 deve ser igual a zero. Dessa forma, podemos concluir que 
 
𝐿 =
𝑁Φ𝐵
𝑖
 (Eq. 2.11) 
Isso demonstra que a autoindutância pode ser calculada sem a necessidade da eq. 2.7. 
Continuaremos esse exemplo em breve. 
Capacitor, resistor e indutor 
 Vale ressaltar a comparação entre um capacitor, um resistor e um indutor. Em todos os 
casos, considere o potencial elétrico no terminal b maior que o potencial elétrico no terminal a. 
Elemento Diagrama Equações Energia 
Capacitor 
 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =
𝑞
𝐶
 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = (
1
𝐶
) . 𝑞 
Armazenada no campo 
elétrico 
Resistor 
 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑅𝑖 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = (𝑅).
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
Dissipada por Efeito Joule 
Indutor 
 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = −𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = (−𝐿).
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
 
(Vb − Va não é devido à voltagem 
externa e sim devido à fem induzida) 
Armazenada no campo 
magnético 
 
E daí? E agora? 
❖ Uma variação constante de corrente produz uma corrente induzida constante. Por outro 
lado, uma variação não constante de corrente gera uma corrente induzida não constante. 
Onde isso nos leva? Por exemplo, imagine (ou calcule) o que acontece com uma corrente 
que varia de forma senoidal. Pense na corrente induzida variante como a geradora de uma 
nova corrente induzida. E assim por diante. Por que não levamos em consideração isso? 
Em que situação isso deve ser relevante? 
Parte 3 
A indutância de um solenoide 
Vamos continuar a análise de um solenoide. 
Considere que N espiras idênticas são arranjadas de forma 
bem compacta tal que o comprimento total 𝑙 do solenoide 
é muito maior que o raio 𝑅 da espira circular. Isso nos dá 
uma densidade de espiras 𝑛 =
𝑁
𝑙
. 
Além disso, como mencionado anteriormente, o campo magnético no interior do solenoide é 
constante. Mais especificamente, a magnitude do campo magnético dentro do solenoide é |�⃗� | =
𝜇0𝑛𝑖. O fluxo magnético em uma espira pode ser calculado. 
 Φ𝐵 = |�⃗� |𝐴 = (𝜇0𝑛𝑖)(𝜋𝑅
2) (Eq. 3.1) 
Combinando as eqs. 2.11 e 3.1 e usando a densidade de espiras podemos ver que 
 
𝐿 =
(𝑛𝑙)(𝜇0𝑛𝑖)(𝜋𝑅
2)
𝑖
 
Organizando e dividindo os dois lados pelo comprimento do solenoide temos 
 𝐿
𝑙
= 𝜋𝜇0𝑛
2𝑅2. (Eq. 3.2) 
Essa é a autoindutância por unidade de comprimento de um solenoide. Perceba que somente 
constantes e fatores geométricos definem essa grandeza. Isso é esperado e está de acordo com o 
indicado pela eq. 2.7. Além disso, podemos observar outro aspecto importante: autoindutância por 
unidade de comprimento de um solenoide é proporcional ao quadrado da densidade de espiras. Isso 
ocorre pois o fenômeno de autoindutância se dá através de dois fenômenos proporcionais à 
densidade de espiras. i) Quanto maior a densidade de espiras, maior é o campo magnético no interior 
do solenoide fazendo com que as variações de fluxo magnéticos sejam maiores. ii) Quanto maior a 
densidade de espiras maior será a fem induzida. 
A indutância de um toróide 
Um toróide circular com seção retangular e N 
espiras tem as seguintes dimensões de interesse: o raio 
interno e externo são, respectivamente a e b e a altura da 
seção retangular é h. A corrente que passa pelo toróide é i e 
as espiras são enroladas tal que o campo magnético no 
interior do toróide está orientado como na figura ao lado. A 
magnitude do campo magnético no interior do toróide depende da distância r em relação ao eixo de 
simetria. 
 
|�⃗� | =
𝜇0𝑖𝑁
2𝜋𝑟
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏. (Eq. 3.3) 
O fluxo magnético pode ser obtido por integração do campo 
em elementos de área na seção transversal do toróide. Considere a 
figura ao lado onde mostramos uma seção do toróide com um 
elemento de área 𝑑𝐴 = ℎ𝑑𝑟. Como o campo magnético atravessa os 
elementos de área de forma perpendicular, temos que 
 Φ𝐵 = ∫ |�⃗� | ⋅ 𝑑𝐴
𝑠𝑒çã𝑜
= ∫
𝜇0𝑖𝑁
2𝜋𝑟
⋅ ℎ𝑑𝑟
𝑏
𝑎
=
𝜇0𝑖𝑁ℎ
2𝜋
𝑙𝑛 (
𝑏
𝑎
) (Eq. 3.4) 
Combinando as eqs. 2.11 e 3.4 temos que 
 𝐿 =
𝜇0𝑁
2ℎ
2𝜋
𝑙𝑛 (
𝑏
𝑎
). (Eq. 3.5) 
Assim como em um solenoide, a autoindutância de um toróide também depende apenas de 
constantes físicas e fatores geométricos, incluindo a dependência quadrática no número de espiras. 
Indutores com materiais magnéticos 
Até agora só discutimos elementos indutores com interior vazio. Vamos considerar o interior 
de um indutor, tipo um solenoide ou um toróide, composto de um material magnético com 
permeabilidade magnética 𝜅𝑚 (𝜅𝑚 para o vácuo é exatamente 1 e para o ar aproximadamente 1). Na 
presença de um campo magnético externo constante �⃗� 0 o campo magnético �⃗� dentro da região onde 
reside o material magnético pode ser escrito como 
 �⃗� = 𝜅𝑚 �⃗� 0. 
e por sua vez, devido à natureza linear da relação entre a taxa de variação do fluxo magnético e campo 
magnético, é possível demonstrar que a indutância do indutor também seja multiplicada por 𝜅𝑚. 
Assim, 
 𝐿 = 𝜅𝑚 𝐿0, (Eq. 3.6) 
onde 𝐿0 é a indutância do indutor na ausência do material magnético. Os materiais magnéticos 
apresentam valores de 𝜅𝑚 > 1. Ou seja, a indutância é amplificada na presença de materiais 
magnéticos. Para materiais ferromagnéticos como a ferrita, amplamente usados como núcleos de 
dispositivos indutores, podem apresentar valores de 𝜅𝑚 que variam de 40 a 20.000, gerando 
amplificações de até quatro ordens de grandeza na indutância. 
E daí? E agora? 
❖ A unidade de medida da indutância é o henry (H) onde 1 H = 1 V.s/A. Como uma grandeza 
com eqs. 3.2 e 3.5, que apresentam dependências puramente geométricas, pode gerar tal 
unidade de medida? Onde está o vínculo entre geometria e eletromagnetismo? 
❖ Faça uma pesquisa sobre onde o fenômeno de indutância é usado no dia a dia. Onde estão 
os indutores na sua vida eletrônica? 
 
 
Parte 4 
Circuito RL 
Vamos analisar a aplicação de um elemento 
indutivo em um circuito do tipo RL. Esse circuito é composto 
de um resistor com resistência R, um indutor com 
autoindutância L, uma bateria com voltagem ℰ. Além disso, 
o circuito conta com uma chave S que pode conectar um dos 
terminais do resistor ao terminal a (incluindo a bateria em série com o resistor e o indutor) ou b 
(retirando a bateria do circuito). 
A análise se dará através do estudo da corrente que flui no circuito em função do tempo. Para 
isso, um ponto de partida é avaliar os valores de diferença de potencial nos terminais de cada 
elemento e aplicar a Lei das Malhas para a voltagem no circuito. 
 ∑(𝑓. 𝑒.𝑚. ) =∑(𝑑. 𝑑. 𝑝. ), (Eq. 4.1) 
Primeiramente, vamos estabelecer que em 𝑡 = 0 a corrente no circuito 𝑖(𝑡 = 0) = 0. Nesse 
momento a chave é colocada na posição a estabelecendo um circuito RL em série com bateria. Existem 
dois elementos capaz de produzir 𝑓𝑒𝑚 nesse circuito: bateria (ℰ) e o indutor (ℰ𝐿). E existe um 
elemento capaz de gerar 𝑑𝑑𝑝: o resistor (ΔV𝑅). Dessa forma, usando a eq. 4.1, 
 ℰ + ℰ𝐿 = ΔV𝑅 , 
e depois a eq. 2.6 e a Lei de Ohm, temos que 
 
ℰ − 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑅𝑖 
 
 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 − ℰ = 0 (Eq. 4.2) 
A eq. 4.2 é uma equação diferencial de primeira ordem não homogênea do tipo 
 𝑎�̇� + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (Eq. 4.3) 
 Para encontrar a solução geral da eq. 4.3 precisamos encontrar a solução da equação 
homogênea (onde 𝑐 = 0) e a solução particular. A solução geral será uma combinação linear das duas 
soluções mencionadas. A solução para a eq. homogênea 𝑎�̇� + 𝑏𝑥 = 0 é 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−
𝑏
𝑎
𝑡, (Eq. 4.4) 
sendo 𝐴 uma constante a ser determinada. A solução particular é 
 𝑥(𝑡) = −
𝑐
𝑏
 (Eq. 4.5) 
 Comparando as eqs. 4.2 e 4.3, podemos fazer a correspondência entre os parâmetros das 
equações: 𝑎 = 𝐿, 𝑏 = 𝑅 e 𝑐 = −ℰ. Dessa forma, a solução geral para a eq. 4.2 pode ser encontrada 
comouma combinação linear das eqs. 4.4 e 4.5. Segue a solução: 
 
𝑖(𝑡) = 𝐴𝑒
−
𝑡
𝜏𝐿 +
ℰ
𝑅
 
onde 𝜏𝐿 =
𝐿
𝑅
 é chamado de constante de tempo indutiva. 
 Usando a condição inicial para a corrente em 𝑡 = 0 podemos encontrar o valor que 𝐴 = −
ℰ
𝑅
. 
 
𝑖(𝑡) =
ℰ
𝑅
(1 − 𝑒
−
𝑡
𝜏𝐿) (Eq. 4.6) 
No limite 𝑡 ⟶ ∞ a corrente no circuito tende a ser constante com valor de ℰ 𝑅⁄ . A corrente 
nesse limite é exatamente igual ao esperado caso não existisse um indutor no circuito. Isso ocorre 
devido ao fato de que o indutor só afetará o circuito a medida em que existir uma variação de corrente 
no indutor. Com o passar do tempo a taxa de variação da corrente tende a zero e, portanto, o valor 
de ℰ𝐿 tende a zero. 
 Vamos considerar que após um certo tempo 𝑡 > 0 a chave S é mudada da posição a para a 
posição b. Com isso a bateria deixa de fornecer uma 𝑓𝑒𝑚 para o circuito e teremos apenas o resistor 
e o indutor no circuito. Se a mudança ocorrer de forma instantânea, tal que, a corrente 𝑖0 no instante 
antes da mudança é exatamente a corrente inicial do circuito com a chave na posição b, então 
podemos usar argumentos semelhantes aos anteriores para determinar a corrente como uma função 
do tempo para o novo circuito. Por simplicidade, vamos reiniciar o tempo tal que no instante da troca 
da chave temos 𝑡 > 0 e 𝑖(𝑡 = 0) = 𝑖0. Assim, partindo da eq. 4.1 e reconhecendo que teremos apenas 
a 𝑓𝑒𝑚 produzida pelo indutor e a 𝑑𝑑𝑝 nos terminais do resistor, temos 
 ℰ𝐿 = ΔV𝑅, 
 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 = 0 (Eq. 4.7) 
Diferentemente da eq. 4.2, a eq. 4,7 é uma equação diferencial de primeira ordem 
homogênea e que já resolvemos anteriormente. A solução é do tipo da eq. 4.4. Aplicando a condição 
inicial discutida, temos que 
 
𝑖(𝑡) = 𝑖0𝑒
−
𝑡
𝜏𝐿 (Eq. 4.8) 
 No limite 𝑡 ⟶ ∞ a corrente no circuito tende a zero. Perceba que tanto na eq. 4.6 quanto na 
eq. 4.8 o papel de 𝜏𝐿 é de controlar a velocidade com que a corrente varia. Quanto maior o valor da 
constante de tempo indutiva, mais lentamente a corrente varia. Veja que 𝜏𝐿 é diretamente 
proporcional ao valor de L e inversamente proporcional ao valor de R. A dependência dessa constante 
de tempo com a indutância fica clara quando lembramos que a indutância vem da reação à variação 
de fluxo de campo magnético que é, em geral, causando pela variação de corrente no circuito. A 
reação à variação de corrente imposta pela indutância desempenha um papel similar ao da resistência 
inercial que a massa causa em um sistema mecânico. 
Energia Armazenada no Campo Magnético de um Indutor 
 Uma das maneiras de se obter uma equação para a energia 
armazenada no campo magnético de um indutor é através da análise 
das potências em cada elemento de um circuito que contêm um indutor. 
Vamos analisar, por exemplo, o circuito RL discutido anteriormente. 
 Considere um intervalo infinitesimal de tempo 𝑑𝑡. Na bateria, durante esse intervalo, teremos 
um infinitesimal de carga 𝑑𝑞 se movimento contra o campo elétrico interno na bateria. Isso acontece 
devido a um trabalho realizado pela bateria 𝑑𝑊𝑏𝑎𝑡 = ℰ𝑑𝑞. Portanto a potência instantânea na bateria 
é 𝑃𝑏𝑎𝑡 =
𝑑𝑊𝑏𝑎𝑡
𝑑𝑡
= ℰ
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= ℰ𝑖. No resistor, a potência dissipada é 𝑃𝑅 = 𝑅𝑖
2. 
 Multiplicando a corrente 𝑖 em todos os termos da eq. 4.2, obtemos 
 𝐿𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖2 − ℰi = 0. (Eq. 4.9) 
 Um olhar atento à eq. 4.9 reconhecerá que o segundo e o terceiro termos são, 
respectivamente, 𝑃𝑅 e 𝑃𝑏𝑎𝑡. No limite para 𝑡 ⟶ ∞, sabemos que a corrente tende a ser constante 
nesse circuito. Então 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
⟶ 0 e o primeiro termo tende a zero. Isso significa que no regime 
estacionário, toda a potência gerada pela bateria e colocada no circuito é dissipada no resistor. No 
indutor, o campo magnético é constante devido à corrente ser constante. Por outro lado, quando a 
corrente está aumentando, o campo no indutor varia e, portanto, a energia acumulada no campo 
magnético também varia. 
A variação da energia acumulada no indutor se dá com uma potência descrita pelo primeiro 
termo da eq. 4.9, tal que 𝑃𝐿 = 𝐿𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑡
. Sabendo que a potência no indutor é a taxa de variação da energia 
no indutor, temos também que 𝑃𝐿 =
𝑑𝑈𝐵
𝑑𝑡
. Usando essas duas igualdades para 𝑃𝐿 podemos escrever 
que 𝑑𝑈𝐵 = 𝐿𝑖𝑑𝑖. Considerando que inicialmente a corrente no circuito é nula e, portanto, o campo 
magnético no indutor também é nulo, podemos encontrar a energia armazenada no campo magnético 
usando as integrais 
 
∫ 𝑑𝑈𝐵
𝑈𝐵(𝑖)
0
= 𝐿∫ 𝑖′𝑑𝑖′
𝑖
0
. 
 
𝑈𝐵(𝑖) =
𝐿𝑖2
2
. (Eq. 4.10) 
 Vamos usar essa equação para calcular a densidade de energia do campo magnético. Para isso 
vamos usar um exemplo de indutor bem simples como um solenoide descrito na seção 3. A densidade 
de energia é simplesmente 𝑢𝐵 =
𝑈𝐵
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
. Para uma seção de tamanho 𝑙 do solenoide o volume será 
𝜋𝑅2𝑙. Assim, usando as eqs. 3.2 e 4.10, temos 
 
𝑢𝐵 =
𝐿𝑖2
2
𝜋𝑅2𝑙
=
𝜇0𝑛
2𝑖2
2
 
 
 Lembrando que |�⃗� | = 𝜇0𝑛𝑖, podemos escrever a densidade de energia do campo magnético 
como 
 
𝑢𝐵 = 
|�⃗� |
2
2𝜇0
. (Eq. 4.11) 
 É interessante fazer um paralelo com a densidade de energia do campo elétrico 𝑢𝐸 = 
𝜖0|𝐸|
2
2
. 
Da mesma forma que essa equação para 𝑢𝐸 é um resultado válido para qualquer situação em que 
exista campo elétrico, o resultado da eq. 4.11 é válido para qualquer situação em que exista campo 
magnético, embora, aqui, só foi demonstrado para o interior de um solenoide. 
E daí? E agora? 
❖ Qual é a propriedade de um circuito RL que faz com que a corrente tenha uma 
dependência exponencial com o tempo? 
❖ Onde a noção de constante de tempo indutiva pode ser usada? 
❖ Um circuito real com uma bateria e um resistor, pode ser considerado como um circuito 
RL? 
 
Parte 5 
Oscilações eletromagnéticas 
Vamos considerar o circuito ao lado onde em um 
instante de tempo 𝑡 < 0 a chave S é conectada ao terminal 
a e o capacitor C começa a carregar, tal que a carga no 
capacitor é 𝑞0 em 𝑡 = 0. Em 𝑡 = 0 a chave S muda para o 
terminal b e o circuito RLC fica conectado em série sem a 
participação da bateria. 
Usando a eq. 4.1 e sabendo que ΔV𝐶 =
𝑞
𝐶
 
 ℰ𝐿 = ΔV𝐶 + ΔV𝑅 
 
𝑞
𝐶
+ 𝑅𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 0 
Considerando que 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
⁄ , temos a EDO de 2ª ordem homogênea 
 
𝐿�̈� + 𝑅�̇� +
1
𝐶
𝑞 = 0. (Eq. 5.1) 
As condições iniciais para esse caso são 
𝑞(0) = 𝑞0
𝑖(0) = �̇�(0) = 0
 
Vamos analisar duas situações diferentes: i) quando 𝑅 = 0 o circuito fica livre de resistência 
elétrica e é conhecido como oscilador LC. ii) Quando 𝑅 > 0 o circuito é conhecido como oscilador 
amortecido RLC. 
Oscilador LC 
 Vamos considerar o caso sem resistência à passagem de corrente de condução (caso 
idealizado pois desconsidera todas as possíveis resistências nos fios condutores e assume que o 
capacitor e indutor são ideais). Neste caso, 𝑅 = 0 e a eq. 5.1 torna-se 
 𝐿�̈� +
1
𝐶
𝑞 = 0. (Eq. 5.2) 
 
 Esta equação é a mesma equação de um oscilador harmônico simples. Portando sua solução 
geral deve ser a mesma. Aqui temos que a carga é a variável em função do tempo que precisa ser 
encontrada. A solução para a eq. 5.2 é 
 𝑞(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝜙), (Eq. 5.3) 
 
onde A e 𝜙 são constantes que dependem das condições iniciais e representam a amplitude da 
oscilação e a fase. A amplitude A é o valor máximo de carga no capacitor enquanto a fase 𝜙 está ligada 
ao momento em que o circuito é ligado (Chave S vai para terminal b). 
A grandeza 𝜔0 pode ser obtida substituindo eq. 5.3 na eq. 5.2. Para isso precisamos calcular 
as derivadas de 𝑞(𝑡). 
�̇�(𝑡) = −𝜔0𝐴 sin(𝜔0𝑡 + 𝜙) 
�̈�(𝑡) = −𝜔0
2𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝜙) 
 Assim, 
𝐿(−𝜔0
2𝐴cos(𝜔0𝑡 + 𝜙)) +
1
𝐶
𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝜙) = 0 
o que leva a 
𝜔0 = √
1
𝐿𝐶
 
 A grandeza 𝜔0 é conhecida como frequência natural de oscilação ou frequência de oscilação 
não-amortecida.Aplicando as condições iniciais temos que 
 𝑞(0) = 𝑞0 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜙) (Eq. 5.4) 
 �̇�(0) = 0 = −𝜔0𝐴 sin(𝜙) (Eq. 5.5) 
 
 A eq. 5.5 leva a 𝜙 = 0 pois o termo 𝜔0𝐴 é não nulo para a solução não-trivial. Com o valor de 
𝜙 sendo substituído na eq. 5.4 temos que 𝐴 = 𝑞0. Portanto a solução geral pode ser escrita de forma 
determinada como 
 𝑞(𝑡) = 𝑞0 cos(𝜔0𝑡) (Eq. 5.6) 
 𝑖(𝑡) = −𝑖𝑚𝑎𝑥 sen(𝜔0𝑡) (Eq. 5.7) 
onde 𝑖𝑚𝑎𝑥 = 𝜔0𝑞0. 
 As eqs. 5.6 e 5.7 mostram o 
comportamento harmônico da carga e da corrente 
em um oscilador LC com frequência de oscilação 𝜔0 
determinada pelos valores de L e C. Vamos 
relembrar que 𝑞(𝑡) é a carga acumulada em uma 
das placas do capacitor e 𝑖(𝑡) é a corrente que flui 
no circuito. A energia armazenada em um capacitor 
é dada por 𝑈𝐶(𝑞) =
𝑞2
2𝐶
 e a energia armazenada em 
um indutor é dada pela eq. 4.10. Na figura ao lado 
vemos os gráficos da carga, corrente e das energias 
armazenadas no capacitor e no indutor para um 
período de oscilação da carga. Observe que 
durante o período de oscilação da carga a energia, 
inicialmente toda acumulada no capacitor, é transferida através da corrente entre o capacitor e o 
indutor. Use as equações carga, corrente e das energias armazenadas no capacitor e no indutor para 
demonstrar que a soma das energias é conservada. 
 
Oscilador Amortecido RLC 
 Vamos agora considerar o caso em que a resistência R na eq. 5.1 tem um valor não nulo. Dessa 
forma, é de se esperar que a energia no sistema deixe de ser conservada devido à dissipação de 
energia no resistor por Efeito Joule. Assim, temos a combinação do efeito oscilante promovido pelo 
conjunto LC e um amortecimento devido à presença da resistência. 
 Uma proposta de solução para a eq. 5.1 é 
 𝑞(𝑡) = 𝑒𝜆𝑡 . (Eq. 5.8) 
A aplicação da eq. 5.8 na eq. 5.1 produz a equação auxiliar 
 𝐿𝜆2 + 𝑅𝜆 +
1
𝐶
= 0, (Eq. 5.9) 
onde as soluções para 𝜆 são as raízes dessa equação quadrática (𝜆+ e 𝜆−) e podem ser encontradas 
usando 
 𝜆± = −𝛾 ± √𝛾
2 −𝜔0
2 (Eq. 5.10) 
e a solução geral é a combinação linear de duas funções do tipo da eq. 5.8 usando os dois valores de 
𝜆. Na equação 5.10 a grandeza 𝛾 =
𝑅
2𝐿
 é o coeficiente de amortecimento e 𝜔0 = √
1
𝐿𝐶
 é a frequência 
natural de oscilação. 
 Existem 3 diferentes casos de interesse que dependem da relação entre 𝛾 e 𝜔0. 
{
𝐶𝑎𝑠𝑜 1: 𝛾 > 𝜔0 → 𝜆+ ≠ 𝜆− (∈ ℝ),
𝐶𝑎𝑠𝑜 2: 𝛾 = 𝜔0 → 𝜆+ = 𝜆− (∈ ℝ),
𝐶𝑎𝑠𝑜 3: 𝛾 < 𝜔0 → 𝜆+ ≠ 𝜆− (∈ ℂ)
 
 Vamos estudar os diferentes casos. 
Caso 1: Situação Superamortecida 
𝜸 > 𝝎𝟎 → 𝝀+ ≠ 𝝀− (∈ ℝ) 
 A solução geral para esse caso é 
 𝑞(𝑡) = 𝐴𝑒𝜆+𝑡 + 𝐵𝑒𝜆−𝑡 (Eq. 5.11) 
onde 𝜆± foram definidos na eq. 5.10 e as constantes A e B dependem das condições iniciais. 
Após aplicarmos as condições iniciais na eq. 5.11, os valores de A e B podem ser encontrados 
tal que 
 
{
 
 𝐴 = (
𝜆−
𝜆− − 𝜆+
) 𝑞0
𝐵 = −
𝜆+
𝜆−
𝐴
 (Eqs. 5.12) 
 Vamos reunir alguns detalhes importantes a respeito dessas grandezas (Use as eqs. 5.10 e 
5.12 para se convencer!): 
❖ Os valores de 𝜆+ e 𝜆− são reais e negativos 
❖ |𝜆+| < |𝜆−| 
❖ 𝐴 > 0 
❖ 𝐵 < 0 e |𝐵| < 𝐴 
Isso nos permite concluir que a solução 
geral 𝑞(𝑡) é a soma de duas funções exponenciais 
decrescentes com o segundo termo (𝐵𝑒𝜆−𝑡) tendo 
amplitude negativa, com módulo de amplitude 
menor e decrescendo mais rápido do que o 
primeiro termo (𝐴𝑒𝜆+𝑡). Veja a figura ao lado. A 
solução geral normalizada 𝑞(𝑡)/𝑞0 em função do 
tempo decresce de forma monotônica, partindo 
do valor inicial normalizado e tendendo a zero a 
medida que o tempo passa. Ou seja, a carga no 
capacitor sai de 𝑞0 a zero de forma contínua e sem 
oscilar. Por isso chamamos essa situação de 
superamortecida. 
 
A corrente de descarga do capacitor pode ser encontrada derivando a carga na eq. 5.12 em 
função do tempo. 
 𝑖(𝑡) = 𝐴𝜆+𝑒
𝜆+𝑡 + 𝐵𝜆−𝑒
𝜆−𝑡 (Eq. 5.13) 
 
 Vejamos como a relação entre 𝛾 e 𝜔0 
influenciam o comportamento da descarga do 
capacitor. Quanto maior for o valor do coeficiente 
de amortecimento 𝛾 mais lentamente o capacitor 
descarrega gerando uma corrente menor. O sinal 
negativo na corrente vem do fato de que por 
definição a corrente de carga do capacitor foi 
considerada como positiva e fluía dentro do 
capacitor no sentido contrário à corrente de 
descarga. 
 Podemos integrar a corrente durante toda 
a descarga e mostrar que a carga total 𝑞𝑇 que 
passa em qualquer parte do circuito é igual (em 
módulo) a 𝑞0. 
𝑞𝑇 = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
∞
0
= 𝐴𝜆+∫ 𝑒
𝜆+𝑡𝑑𝑡
∞
0
+ 𝐵𝜆−∫ 𝑒
𝜆−𝑡𝑑𝑡
∞
0
= −𝐴− 𝐵 = −𝑞0 
Vamos estudar dois limites a qual esse circuito pode ser levado. Para isso, por questão de 
simplicidade, vamos definir a grandeza 𝒻 = (1 − (
𝜔0
𝛾
)
2
)
−
1
2
, tal que podemos escrever as eqs. 5.12 da 
seguinte maneira 
{
𝐴 =
1
2
(1 + 𝒻)𝑞0
𝐵 =
1
2
(1 − 𝒻)𝑞0
 
Embora 𝒻 não tenha nenhum significado físico importante nesse momento, ele é um 
parâmetro fácil de usar nos limites de interesse e deixa as equações para A e B bem simplificadas. 
Considere dois limites: 
• Circuito com 𝑅 ≫ √
𝐿
𝐶
: 
{
𝛾 → ∞ 
𝒻 → 1
𝐴 → 𝑞0
𝐵 → 0
 
Nesse limite, o circuito possui uma resistência à passagem de corrente muito alta 
comparado com os elementos que geram oscilações eletromagnéticas. A carga no capacitor 
decresce de forma mono-exponencial (𝐴𝑒𝜆+𝑡). No entanto, 𝜆+ tende a zero, levando a um 
decrescimento lento da corrente. Isso faz sentido para você? (Dica: deveria! Se não, imagine 
que um dos fios ligando o circuito fosse cortado em t=0, fazendo com que a resistência à 
passagem de corrente fosse ‘infinita’. O que aconteceria com a carga no capacitor? ... 
Entendeu agora?) 
0 1 2 3 4 5
i(t)
 = 

 = 

0
q(t)
t (1/
0
)
 = 

• Circuito com 𝑅 → 2√
𝐿
𝐶
: 
{
𝛾 → 𝜔0 
𝒻 ≫ 1
𝐵 → −𝐴
 
 Nesse limite, as amplitudes (com sinais contrários) das exponenciais tendem a se 
igualar em módulo. Os valores de 𝜆+ e 𝜆− também tendem a se igualar. Isso significa que as duas 
exponenciais tendem a serem iguais em módulo com sinais contrários levando a anulação total da 
carga para todo o intervalo de tempo. Mas isso vai contra nossa condição inicial (𝑞(0) = 𝑞0 > 0) e 
não deve ser alcançado. Esse caso vai no limite de validade das nossas equações pois aqui estamos 
interessados em 𝛾 > 𝜔0. Percebeu que forçar esse limite é forçar a combinação linear de duas soluções 
LINEARMENTE DEPENDENTES como solução geral de uma EDO de 2ª Ordem? Nem só de segmentos 
de reta orientados vive a álgebra linear! Teremos equações adequadas para esse limite na próxima 
seção. 
Caso 2: Situação Criticamente Amortecida 
 𝜸 = 𝝎𝟎 → 𝝀+ = 𝝀− (∈ ℝ) 
A solução geral para esse caso é 
𝑞(𝑡) = (𝐷 + 𝐸𝑡)𝑒𝜆𝑡 
com 𝜆 = −𝛾. O termo 𝐸𝑡𝑒𝜆𝑡 é a nossa tentativa de gerar duas soluções linearmente independentes e 
evitar o problema descrito no segundo limite da seção anterior. Após aplicarmos as condições iniciais, 
os valores de D e E podem ser encontrados tal que 
{
𝐷 = 𝑞0
𝐸 = −𝜆𝐷
. 
Assim temos que 
 𝑞(𝑡) = 𝑞0(1 − 𝜆𝑡)𝑒
𝜆𝑡 (Eq. 5.14) 
 𝑖(𝑡) = −𝑞0𝜆
2𝑡𝑒𝜆𝑡 (Eq. 5.15) 
 
As eqs. 5.14 e 5.15 se comportam 
exatamente como as eqs. 5.11 e 5.13, 
respectivamente, no limite 𝛾 → 𝜔0. Veja a 
figura ao lado onde temos uma curva q(t) 
usando a eq. 5.14 em verde e uma curva 
para q(t) usando a eq. 5.11 em vermelho. 
Não há muito o que discutir sobre esse 
caso além do fato de que esse caso 
representa a passagem do circuito do 
regime superamortecido para o regime 
subamortecido que será discutido em 
seguida. Se tempo não for um problema, 
você poderia tentar se convencer de que a 
carga total que flui no circuito continua a 
mesma do caso anterior. 
 
Caso 3: Oscilação Subamortecida 
 𝜸 < 𝝎𝟎 → 𝝀+ ≠ 𝝀− (∈ ℂ) 
0 1 2 3 4 5
q(t)
t (1/
0
)
 = 

 = 

Neste caso, os valores de 𝜆+ e 𝜆− são complexos e conjugados (Não confie em mim. Use a eq. 
5.10 para se convencer disso!).Considere 
𝜆± = −𝛾 ± 𝑗𝜔
′ 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑗 = √−1 𝑒 𝜔′ = √𝜔0
2 − 𝛾2. 
A solução geral para a carga no capacitor é 
 𝑞(𝑡) = 𝐻𝑒−𝛾𝑡 cos(𝜔′𝑡 − 𝜑), (Eq. 5.16) 
onde H é amplitude e 𝜔′ é a frequência de oscilação amortecida. 
 A corrente pode ser encontrada usando a eq. 5.16. 
𝑖(𝑡) = −𝐻𝑒−𝛾𝑡[𝛾 cos(𝜔′𝑡 − 𝜑) + 𝜔′ sen(𝜔′𝑡 − 𝜑)] 
Podemos simplificar essa equação usando as identidades trigonométricas seno e cosseno da soma. 
 𝑖(𝑡) = −𝐻𝜔0𝑒
−𝛾𝑡 sen(𝜔′𝑡), (Eq. 5.17) 
Aplicando as condições iniciais temos que 
𝐻 =
𝜔0
𝜔′
𝑞0 𝑒 𝜑 = arccos(
𝜔′
𝜔0
). 
As soluções para a carga e corrente no regime de oscilação subamortecida são compostas por 
parte de natureza oscilatória com amplitude decrescente no tempo. Veja na figura abaixo (esquerda) 
que para valores de 𝛾 < 𝜔0, a carga decresce em função do tempo inicialmente (assim como nos 
outros dois casos!). No entanto, eventualmente, a carga chega a zero e inverte de sinal e começa a 
aumentar em módulo. Esse comportamento se repete no sentido contrário, porém com menor 
amplitude. 
0 1 2 3 4 5
 = 

i(t)
 = 

 = 

0
q(t)
t (1/
0
)
 = 

 
0 5 10 15 20
 = 

 = 

 = 

0
q(t)
t (1/
0
)
 
 Na figura acima (direita) temos o mesmo gráfico com uma maior duração de tempo. Podemos 
ver claramente a natureza oscilante da carga com amplitude decrescente. Para comparar, temos em 
azul o caso de oscilação criticamente amortecida, que separa os regimes subamortecido e 
superamortecido. 
Resumo dos 3 casos 
Para encerrar a comparação entre as três situações possíveis para um circuito RLC temos 
abaixo um resumo das eqs. 5.11, 5.14 e 5.16 arranjadas em um formato que é possível fatorar o termo 
𝑞0𝑒
−𝛾𝑡. 
 𝑞(𝑡) = 𝑞0𝑒
−𝛾𝑡 ×
{
 
 
 
 
1
2
[(1 + 𝒻)𝑒
𝛾𝑡
𝒻 + (1 − 𝒻)𝑒
−
𝛾𝑡
𝒻 ] , (𝛾 > 𝜔0) 
(1 + 𝛾𝑡) , (𝛾 = 𝜔0)
𝜔0
𝜔′
cos(𝜔′𝑡 − 𝜑) , (𝛾 < 𝜔0)
 
(Eq. 5.18.a) 
(Eq. 5.18.b) 
(Eq. 5.18.c) 
 
As eqs. 5.18 deixam evidente que independente da situação, um circuito RLC submetido às 
condições iniciais discutidas terá um efeito de descarregamento total do capacitor a longo prazo (𝑡 →
∞) garantido pelo termo fatorado 𝑒−𝛾𝑡. Isso significa que a carga e a corrente vão tender a zero com 
o passar do tempo dando um caráter transiente aos efeitos das condições iniciais. 
Por fim, é possível mostrar, como é de se esperar de um sistema físico com grandezas que 
podem variar continuamente, que as eqs. 5.18.a e 5.18.c no limite 𝛾 → 𝜔0 tendem a se igualar à eq. 
5.18.b. Essa demonstração não é complicada e fica como diversão para você. (Dica: funções 
trigonométricas hiperbólicas são suas amigas) 
 
 E daí? E agora? 
❖ Qual a utilidade de um circuito elétrico RLC? 
❖ É possível mostrar que em algum limite físico um circuito LC é uma situação ideal de um 
circuito RLC? 
❖ E quanto a comparação entre um circuito RLC e um RL? Ou mesmo um RC? 
 
Parte 6 
Oscilador Amortecido Forçado 
Vamos considerar o circuito ao lado onde temos um circuito RLC 
em série com uma fonte de voltagem ℰ. A fonte de voltagem produz uma 
fem que pode variar no tempo. Assim, de forma similar ao que foi feito 
anteriormente, a lei das malhas produz a seguinte equação. 
 
 𝐿�̈� + 𝑅�̇� +
1
𝐶
𝑞 = ℰ(𝑡). (Eq. 6.1) 
A eq. 6.1 continua sendo uma EDO de 2ª ordem. Entretanto, a presença de ℰ(𝑡) faz com que 
essa equação seja considerada uma EDO de 2ª ordem não-homogênea. A solução geral para a eq. 6.1 
é composta por duas soluções: 𝑞(𝑡) = 𝑞𝑡(𝑡) + 𝑞𝑒(𝑡). 
Nesse contexto, 𝑞𝑡(𝑡) é conhecida como solução transiente pois sabemos que ela tende a zero 
independentemente do caso. Como sabemos disso? Por definição, 𝑞𝑡(𝑡) é a solução da versão 
homogênea da eq. 6.1, (que é, não por acaso, a eq. 5.1). E já resolvemos esse problema na Parte 5. Se 
não lembra, volta lá. Então não precisamos resolver novamente. A solução transiente só depende das 
condições iniciais e dos parâmetros R, L e C e todas as soluções para 𝑞𝑡(𝑡) tendem a zero. 
Por outro lado, 𝑞𝑒(𝑡) é conhecida como solução estacionária pois ela permanecerá existente 
pelo tempo que ℰ(𝑡) se fizer presente. 
Existem alguns casos de interesse para ℰ(𝑡): 
• uma dependência em potências de 𝑡 (polinomial) 
• exponenciais reais de 𝑡 (crescentes ou decrescentes) 
• termos harmônicos (senos e cossenos). 
Vamos considerar aqui somente um dos casos: 
ℰ(𝑡) = ℰ𝑚cos (𝜔
′′𝑡) 
Essa forma simples (com apenas o cosseno) representa qualquer combinação harmônica com 
uma única frequência desde que possamos escolher quando iniciamos a contagem do tempo, ou seja, 
quando teremos 𝑡 = 0. Aqui, ℰ𝑚 é a amplitude da voltagem e 𝜔
′′ é a frequência de oscilação da fonte 
que forçará o circuito. Essas duas grandezas são arbitrárias, ou seja, só dependem do tipo de fonte e 
não precisam estar relacionadas com ou valores de R, L e C. Como consequência disso ℰ𝑚 e 𝜔
′′ podem 
assumir quaisquer valores possíveis (dentro das limitações físicas da fonte). 
No caso mais simples, a solução estacionária 𝑞𝑒(𝑡) deve conter as seguintes características: 
• Deve ser uma solução harmônica; 
• Deve ter a mesma frequência (𝜔′′) da fonte que força o circuito; 
• Deve ter uma amplitude (𝑀) e fase (𝜃) que dependem dos parâmetros R, L e C. 
Pense a respeito dessas características e veja se você consegue entender exatamente como 
eu cheguei a elas. Não avance sem entender isso! A não ser que leve mais de 8 horas para entender. 
Nesse caso pode seguir e me pergunta depois. 
A solução é 
 𝑞𝑒(𝑡) = 𝑀𝑐𝑜𝑠(𝜔
′′𝑡 − 𝜃) (Eq. 6.2) 
tal que, 
 𝑀 =
ℰ𝑚
𝐺
 (Eq. 6.3) 
 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝐿 ∙
𝜔0
2 −𝜔′′
2
𝐺
) (Eq. 6.4) 
 𝐺 = 𝐿√(𝜔0
2 −𝜔′′2)
2
+ 4𝛾2𝜔′′2 (Eq. 6.5) 
Perceba que as eqs. 6.2 a 6.5 dependem apenas de ℰ𝑚, 𝜔
′′, 𝜔0 e 𝛾. Ou seja, a solução 
estacionária só depende das características do circuito e não dependem das condições iniciais. As 
condições iniciais só influenciam a solução transiente e seus efeitos tendem a deixar de influenciar 
com o passar do tempo. Discutiremos isso depois. 
Vamos considerar alguns limites: 
• 𝜔′′ → 0: 
{
𝐺 →
1
𝐶
𝑀 → 𝐶ℰ𝑚
𝜃 → 0 
 
Esse limite é conhecido como limite DC ou limite estático. Nesse limite o circuito 
se comporta como se a voltagem da fonte ℰ(𝑡) fosse constante e a carga no 
capacitor torna-se 𝑞 = 𝐶ℰ𝑚 . A fase entre a carga e a fonte tende a zero pois a 
tensão da fonte varia com frequência tão baixa que circuito tem tempo de 
acompanhar as mudanças impostas pelas variações de voltagem no capacitor e 
corrente no indutor. 
• 𝜔′′ → ∞: 
{
𝐺 → ∞ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐿𝜔′′
2
𝑀 → 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 
ℰ𝑚
𝐿𝜔′′2
⁄
𝜃 → 𝜋 
 
Esse limite é conhecido como limite de altas frequências. Nesse limite a voltagem 
da fonte ℰ(𝑡) oscila tão rapidamente que o circuito não tem tempo para 
acompanhar as mudanças. O tempo de carga no capacitor é muito maior que o 
período de oscilação da fonte e a taxa de variação de corrente é muito alta tal que 
os efeitos indutivos impedem a passagem de corrente. Por isso a amplitude 𝑀 de 
carga acumulada no capacitor tende a zero. 
A solução para 𝑞𝑒(𝑡) é apenas uma solução harmônica de mesma frequência e com uma 
diferença de fase em relação a fonte que força o circuito. Nada especial na solução. Já a solução geral 
𝑞(𝑡) = 𝑞𝑡(𝑡) + 𝑞𝑒(𝑡) vai depender em qual dos casos (superamortercido, criticamente amortecido 
ou subamortecido) os parâmetros R, L e C impõem ao circuito. Usando os resultados da Parte 5, 
incluindo as condições iniciais, podemos escrever as soluções em todos os casos: 
 𝑞(𝑡) = 𝑀𝑐𝑜𝑠(𝜔′′𝑡 − 𝜃) + 𝑞0𝑒
−𝛾𝑡 ×
{
 
 
 
 
1
2
[(1 + 𝒻)𝑒
𝛾𝑡
𝒻 + (1 − 𝒻)𝑒
−
𝛾𝑡
𝒻 ] , (𝛾 > 𝜔0) 
(1 + 𝛾𝑡) , (𝛾 = 𝜔0)
𝜔0
𝜔′
cos(𝜔′𝑡 − 𝜑) , (𝛾 < 𝜔0)
 
(Eq. 6.6.a) 
(Eq. 6.6.b)(Eq. 6.6.c) 
 
 
Na figura abaixo temos o comportamento da carga em função do tempo para dois casos, 
superamortecido (verde) e subamortecido (roxo). Perceba a influência do efeito transiente devido às 
condições iniciais. Perceba como após alguns ciclos as respostas oscilantes da carga tornam-se 
harmônicas. A diferença de fase entre os dois sinais é devido aos diferentes valores de 𝛾. 
 
 
É importante conhecer esse fenômeno e os efeitos da solução transiente nas funções para a 
carga e corrente em função do tempo. Em alguns casos, a solução transiente pode ser considerável, 
embora decrescente em importância com o passar do tempo. Em eletrônica e engenharia elétrica, os 
efeitos de transientes são importantes para o entendimento e desenvolvimento de medidas de 
proteção contra ‘picos’ de energia causados pelas ‘respostas transientes’. 
Ressonância e fator de qualidade 
A eq. 6.2 representa a carga no capacitor C em função do tempo no regime estacionário. 
Vamos encontrar a corrente no circuito. Usando a derivada da carga temos 
 𝑖𝑒(𝑡) = −𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑥𝑠𝑒𝑛(𝜔
′′𝑡 − 𝜃) (Eq. 6.6) 
onde 𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑥 = 𝜔
′′𝑀 é a amplitude da corrente no regime estacionário. 
Perceba, olhando para as eqs. 6.3 e 6.5, que 𝑀 é uma função de 𝜔′′. Com isso em mente, é 
fácil demonstrar que 𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑥 tem um máximo em 𝜔
′′ = 𝜔0. Quando a frequência da fonte externa 𝜔
′′ 
se iguala à frequência natural de oscilação 𝜔0 do circuito RLC, temos o fenômeno de ressonância. Ou 
seja, o fenômeno de ressonância ocorre quando a corrente gerada pelo circuito tem sua máxima 
amplitude. 
O gráfico da amplitude da corrente 
em função da frequência 𝜔′′ é dado ao lado. 
Nesse gráfico podemos observar que temos 
apenas um máximo onde ocorre a ressonância 
e que a amplitude da corrente obedece aos 
limites de baixas e altas frequências discutidos 
anteriormente e aplicados para a definição de 
𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑥. 
Considerando que em 𝜔′′ = 𝜔0 
temos 𝐺 = 2𝐿𝛾𝜔′′ , o valor da amplitude da 
corrente na ressonância é 
𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑥 =
ℰ𝑚
2𝐿𝛾
=
ℰ𝑚
𝑅
 
Isso indica que o a magnitude do fenômeno de ressonância é inversamente proporcional à 
resistência do circuito RLC. De fato, na ressonância a amplitude da corrente obedece a lei de Ohm 
como se o indutor e o capacitor não participassem do circuito. 
Por fim, podemos falar sobre o fator de qualidade 𝑄 do circuito RLC. O fator de qualidade 
pode ser definido como 
 
 𝑄 = 2𝜋
𝐸𝑚á𝑥
𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠/𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
 (Eq. 6.7) 
 
Nessa definição temos 𝐸𝑚á𝑥 como a quantidade máxima de energia armazenada no circuito 
e 𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠/𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 é o valor máximo de energia dissipada no circuito dentro de um ciclo de oscilação na 
condição de ressonância. 
O valor de 𝐸𝑚á𝑥 pode ser encontrado avaliando a energia máxima no indutor ou no capacitor. 
No indutor podemos obter diretamente esse valor tal que 𝐸𝑚á𝑥 =
1
2
𝐿𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑥
2. Precisamos obter o 
valor de 𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠/𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜. A dissipação de energia ocorrerá no resistor por Efeito Joule. Sendo assim, a 
potência instantânea de energia dissipada é 
𝑃𝑑𝑖𝑠𝑠(𝑡) =
𝑑𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠
𝑑𝑡
= 𝑅𝑖𝑒(𝑡)
2 
Portanto, na ressonância, ou seja, quando 𝜔′′ = 𝜔0, temos que 
 
𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠/𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑅𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑥
2∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜔0𝑡 − 𝜃)𝑑𝑡
2𝜋
𝜔0
0
=
𝜋𝑅𝑖𝑒 𝑚𝑎𝑥
2
𝜔0
 
Usando valores de 𝐸𝑚á𝑥 e 𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠/𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 podemos obter o fator de qualidade 
𝑄 =
𝐿𝜔0
𝑅
 
Como era de se esperar, o fator de qualidade é inversamente proporcional ao valor da 
resistência do circuito. 
 
E daí? E agora? 
❖ O que você acha que aconteceria se tivéssemos mais de uma fonte de voltagem externa 
com frequências diferentes forçando o circuito RLC? 
❖ Pense sobre o que está acontecendo na ressonância para que a amplitude da corrente 
ser independente dos valores de L e C.