João Kleber Paranhos - Matemática, Charadas, Curiosidades, Desafios

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 Matemática 
 
 Charadas, Curiosidades, Desafios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pesquisa feita por: 
 João Kleber Paranhos R. de Queiróz 
 
 
 
 
 
 
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ORIGEM DO ZERO 
 
 Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou 
limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos 
quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o 
desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro. 
 
 O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um 
sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas 
babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não 
era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo 
contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo 
para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. 
Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o 
sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A 
subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma 
unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo 
ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que 
é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o 
número 70, seu valor no arranjo alfabético regular. 
 
Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na 
matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a 
ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era 
muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos 
computacionais. 
 
É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito 
Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV D.C., embora alguns historiadores o localize 
até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado 
pelos gregos seria apenas uma conjectura. 
 
Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para 
assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou 
para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum 
por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, 
passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado 
duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria 
no original hindu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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HISTÓRIA DOS NÚMEROS 
 
A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da 
humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o 
homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos 
aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos 
colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática. 
 
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS 
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o 
sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção 
(por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha 
sido retirado ou acrescentado. 
 
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com 
a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo 
exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do 
número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos 
pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que 
nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma 
forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três. 
 
O corvo assassinado 
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. 
Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o 
corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à 
torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um 
ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que 
o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e 
quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram 
quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o 
pássaro perdeu a conta e a vida. 
 
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e 
outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance 
que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem 
civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - 
para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de 
contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os 
testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem 
que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o 
número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado. 
 
Limitações vêm de longe 
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os 
selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão 
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quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do 
Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão 
desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro. 
 
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem 
equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a 
palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e 
"muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo 
acontece no francês: trois (três) e très (muito). 
 
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu 
simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem 
primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica. 
 
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é 
impossível deixar de concluir que suainiciação matemática foi extremamente modesta. Um 
sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual 
nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria 
avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de 
circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício 
que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a 
operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade. 
 
O número sem contagem 
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número 
sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das 
poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm 
ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada 
assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual 
número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há 
mais pessoas que poltronas. 
 
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que 
recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um 
conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem. 
 
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de 
idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas 
num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento 
na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra. 
 
A idéia de correspondência 
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que 
a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que 
pertence à sucessão natural: 1,2,3... 
 
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A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até 
esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem 
oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de 
matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4... 
 
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da 
história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era 
cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais 
simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão 
ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a 
civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa 
numeração é muito posterior a todos eles. 
 
Do relativo ao absoluto 
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio 
de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das 
pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a 
transição do relativo ao absoluto não é difícil. 
 
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles 
caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, 
entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o 
conjunto dado. 
 
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o 
número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de 
que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos. 
 
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava 
originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo 
ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o 
som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais 
foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. 
É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de 
vários milhões de anos a aparição da escrita. 
 
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, 
com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A 
explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os 
dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, 
os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa. 
 
Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias: 
Nº Grego arcaico Latim Alemão Inglês Francês Russo 
1 en unus eins one un odyn 
2 duo duo zwei two deux dva 
3 tri tres drei three trois tri 
 6 
4 tetra quatuor vier four quatre chetyre 
5 pente quinque fünf five cinq piat 
6 hex sex sechs six six chest 
7 hepta septem sieben seven sept sem 
8 octo octo acht eight huit vosem 
9 ennea novem neun nine neuf deviat 
10 deca decem zehn ten dix desiat 
100 hecaton centum hundert hundred cent sto 
1000 xilia mille tausend thousand mille tysiatsa 
 
Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS 
 
 O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo 
desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o 
despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do 
homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o 
desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento 
do conceito de número Natural. 
 
 Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número 
Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de 
número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os 
números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados 
a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os 
números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de 
uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam 
formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as 
contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se 
pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas 
gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus 
converteram-nas em regras numéricas 
sobre números negativos e positivos. 
 
 Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam 
constantemente em cálculos 
intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o 
qual as soluções 
eram valores inteiros negativos como por exemplo: 
 
4 = 4x +203x -18 = 5x^2 
 
 Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e 
XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números 
apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto 
seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma 
equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora 
chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta 
uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de 
direções opostas. 
 
Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler) 
 
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 Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz 
como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas 
construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus 
argumentos: 
 
 1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 
dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab. 
 
 2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab 
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade 
negativa e vice-versa é uma quantidade negativa. 
 
 3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é 
ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única 
possibilidade que (-a).(-b) = +ab. 
É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como 
Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não 
consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de 
argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes 
resultados aceitalvelmente. Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os 
números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra 
precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são 
quantidades menores que zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ORIGEM DOS SINAIS 
 
A história dos sinais de adição, subtração, multiplicação, divisão e dos sinais de relação. 
 
 Adição ( + ) e subtração ( - ) 
 
 O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger 
publicada em Leipzig em 1489. 
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas 
aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram 
somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os 
símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram 
pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não. 
 
 Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a 
adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma 
de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas 
italianos a letra P, inicial da palavra latina plus. 
 
 
 
 Multiplicação ( . ) e divisão ( : ) 
 
 O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático 
inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado 
em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um 
ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, 
indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal 
para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão. 
 
 O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 
1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a 
multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre 
duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que 
eu uso também para a divisão." 
A forma a/b, indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava 
um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que 
apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma 
combinação de dois sinais existentes - e : 
 
 
 
 Sinais de relação ( =, < e > ) 
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 Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática 
por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, 
publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; 
constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores 
que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est. 
 
 Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por 
dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando 
os dois membros da igualdade. 
 
 Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu 
com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURIOSIDADES COM NÚMEROS 
 
Por vezes quando efetuamos algumas operações obtêm-se resultados curiosos e interessantes 
embora a sua importância seja mínima. Por exemplo: 
 
806 pode ser decomposto no seguinte 
produto 
806 = 31 x 26. 
806 = 62 x 13. 
 
Produto do número 37 pelos primeiros 
múltiplos de 3. 
 
3 x 37 = 111 
6 x 37 = 222 
9 x 37 = 333 
12 x 37 = 444 
15 x 37 = 555 
18 x 37 = 666 
21 x 37 = 777 
24 x 37 = 888 
27 x 37 = 999 
 
Produto de 3367 pelos primeiros 
múltiplos de 33. 
 
33 x 3367 = 111111 
66 x 3367 = 222222 
99 x 3367 = 333333 
132 x 3367 = 444444 
165 x 3367 = 555555 
198 x 3367 = 666666 
231 x 3367 = 777777 
264 x 3367 = 888888 
297 x 3367 = 999999 
 
 
 
Se continuássemos a multiplicar não 
obtínhamos a mesma sequência de 
números mas sim outra que até também é 
engraçada. 
 
330 x 3367 = 1111110 
363 x 3367 = 1222221 
396 x 3367 = 1333332 
429 x 3367 = 1444443 
462 x 3367 = 1555554 
495 x 3367 = 1666665 
528 x 3367 = 1777776 
561 x 3367 = 1888887 
594 x 3367 = 1999998 
 
Outro conjunto de operações com algo de 
curiosidade: 
 
1 x 9 + 2 = 11 
12 x 9 + 3 = 111 
123 x 9 + 4 = 1111 
1234 x 9 + 5 = 11111 
12345 x 9 + 6 = 111111 
123456 x 9 + 7 = 1111111 
1234567 x 9 + 8 =11111111 
12345678 x 9 + 9 = 111111111
 
Já agora, se estiver interessado, tente averiguar quais os números que multiplicados por 
12345679 faz com que o resultado seja uma sequências de qualquer cifra ( 1 ao 9 )! 
 
 
 
 
 
 
 
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ABSURDOS MATEMÁTICOS 
 
Tente descobrir onde está o erro dessas demonstrações absurdas. 
------------------------------------------------------------------------------- 
 
 2 é igual a 1 ??? 
 
Vamos verificar: 
 
Sejam a e b pertencentes ao reais, sendo a e b diferentes de zero. 
Suponhamos que a=b. 
Então, se a=b, multiplicando os dois lados da igualdade por a temos: 
a2=ab 
Subtraindo b2 dos dois lados da igualdade temos: 
a2-b2=ab-b2 
Sabemos (fatoração), que a2-b2=(a+b)(a-b). Logo: 
(a+b)(a-b)=ab-b2 
Colocando b em evidência do lado direito temos: 
(a+b)(a-b)=b(a-b)Dividindo ambos os lados por (a-b) temos: 
a+b=b 
Como no início dissemos que a=b, então no lugar de a eu posso colocar b: 
b+b=b 
Portanto 2b=b. Dividindo ambos os lados por b finalmente chegamos a conclusão: 
2=1 
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2 não é igual a 
1 (ou alguém tem alguma dúvida?). 
 
TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! 
 
Solução: 
 
Erro do 2=1 
Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 
(a+b)(a-b)=b(a-b) 
Segundo a demonstração, a próxima etapa seria: 
Dividimos ambos os lados por (a-b). 
Aí está o erro!!! 
No início supomos que a=b, portanto temos que a-b=0. 
Divisão por zero não existe!!! 
------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
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4 é maior que 5??? 
 
Vamos verificar: 
 
Começamos com a seguinte inequação: 
(1/81)>(1/243) 
Ou seja: 
(1/3)4>(1/3)5 
Aplicando o logaritmo decimal dos dois lados obtemos: 
log10(1/3)4>log10(1/3)5 
Aplicando a propriedade da potência dos logaritmos temos: 
4 log10(1/3)>5 log10(1/3) 
Dividindo ambos os lados por log10(1/3) chegamos a conclusão: 
4>5 
 
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 4 não é maior 
que 5 (ou alguém tem alguma dúvida?). 
 
TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! 
 
Solução: 
 
Erro do 4>5 
Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 
4 log10(1/3)>5 log10(1/3) 
Segundo a demonstração, a próxima etapa seria: 
Dividir ambos os lados por log10(1/3) 
Aí está o erro!!! 
Pois log10(1/3) é um número negativo, certo? 
Portanto estamos dividindo os dois lados da inequação por um número NEGATIVO. 
Isso faria com que o operador relacional da equação se invertesse, o que nos levaria a 
correta conclusão de que: 
4 < 5 
------------------------------------------------------------------------------- 
 
2+2 é igual a 5??? 
 
Vamos verificar: 
 
Começamos com a seguinte igualdade, que é verdadeira: 
16-36 = 25-45 
Somamos (81/4) nos dois lados, o que não altera a igualdade: 
16-36+(81/4) = 25-45+(81/4) 
Isso pode ser escrito da seguinte forma: (trinômio quadrado perfeito) 
(4-(9/2))2 = (5-(9/2))2 
Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos: 
4-(9/2) = 5-(9/2) 
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Somando (9/2) nos dois lados da igualdade temos: 
4 = 5 
Como 4=2+2 chegamos a seguinte conclusão: 
2+2=5 
 
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2+2 não é 
igual a 5 (ou alguém tem alguma dúvida?). 
 
TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! 
 
Solução: 
 
Erro do 2+2=5 
Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 
(4-(9/2))2 = (5-(9/2))2 
Segundo a demonstração, a próxima etapa é: 
Tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtendo: 
4-(9/2) = 5-(9/2) 
Aí está o erro!!! 
Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é 
igual ao MÓDULO desse número. Então o correto seria: 
| 4-(9/2) | = | 5-(9/2) | 
| -0,5 | = | 0,5 | 
0,5 = 0,5 
------------------------------------------------------------------------------- 
 
2 é maior que 3 ??? 
 
Consideremos a seguinte situação. Seja: 
1/4 > 1/8 
mas esta mesma desigualdade pode ser escrita de outra forma em que o sinal da 
desigualdade será o mesmo: 
(1/2)2 > (1/2)3 
Aplicando os logaritmos em ambos os membros e como o logaritmo é uma função 
crescente, isto é, a um número maior corresponde um logaritmo maior, teremos: 
log((1/2)2) > log((1/2)3) , 
então pelas propriedades dos logaritmos temos: 
2.log(1/2) > 3.log(1/2) 
em conclusão se dividir-mos ambos os membros por log(1/2) teremos: 
2 > 3 
É evidente que a primeira vista todo o raciocinio está correto, mas se olharmos com 
atenção, encontramos a falha: Quando se aplica os logaritmos a ambos os membros da 
desigualdade, nada é afirmado relativamente à base do mesmo. Pois se for considerado log 
de base entre 0 e 1, o raciocinio é inválido. 
De fato loga((1/2)2) < loga((1/2)3), com 0< a <1. 
------------------------------------------------------------------------------- 
 
 15 
4 é igual a 6? 
 
Começamos com a seguinte igualdade: 
-24 = -24 
Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes: 
16 - 40 = 36 - 60 
Os números 16, 40 , 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma: 
4x4 - 2x4x5 = 6x6 - 2x6x5 
Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar: 
4x4 - 2x4x5 + 5x5 = 6x6 - 2x6x5 + 5x5 
Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao 
quadrado (o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois termos mais 
o quadrado do segundo) 
(4 - 5)2 = (6 - 5)2 
Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos: 
4 - 5 = 6 - 5 
Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado: 
4 = 6 
 
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 4 não é igual a 
6 (ou alguém tem alguma dúvida?). 
 
TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! 
 
Solução: 
 
Erro do 4=6 
Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 
(4-5)2 = (6-5)2 
Segundo a demonstração, a próxima etapa é: 
Tirar a raiz quadrada de ambos os lados, obtendo: 
4-5 = 6-5 
Aí está o erro!!! 
Está errado porque a RAIZ QUADRADA de um número ELEVADO AO QUADRADO é 
igual ao MÓDULO desse número. Então o correto seria: 
| 4-5 | = | 6-5 | 
| -1 = | 1 | 
1 = 1 
------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
3 é igual a 4? 
 16 
 
Começamos com a seguinte igualdade: 
 
0 = 0 
Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira: 
3-3 = 4-4 
Colocamos o 3 e o 4 em evidência: 
3 (1-1) = 4 (1-1) 
Cortamos os termos comuns entre parênteses e chegamos à igualdade: 
3 = 4 
 
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 3 não é igual a 
4 (ou alguém tem alguma dúvida?). 
 
TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! 
 
Solução: 
 
Erro do 3=4 
Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 
3 (1-1) = 4 (1-1) 
Segundo a demonstração, a próxima etapa é cortar os membros comuns entre parênteses. 
Aí está o erro!!! 
Está errado porque o que temos entre parênteses é 1-1, que é igual a 0. Portanto estaríamos 
dividindo ambos os lados por zero. Divisão por zero não existe!!! 
------------------------------------------------------------------------------- 
 
8 é igual a 7? 
 
Começamos com a seguinte igualdade, que supomos ser verdadeira: 
a+b = c 
Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira: 
(8a-7a) + (8b-7b) = (8c-7c) 
Colocando todos os múltiplos de 7 de um lado e os de 8 do outro, temos: 
8a+8b-8c = 7a+7b-7c 
Colocando em evidência o 7 de um lado e o 8 do outro temos: 
8(a+b-c) = 7(a+b-c) 
Dividindo ambos os lados por a+b-c temos: 
8 = 7 
 
Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 8 não é igual a 
7 (ou alguém tem alguma dúvida?). 
 
TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !!! 
 
Solução: 
 
 17 
Erro do 7=8 
Nessa demonstração, chega uma etapa onde temos: 
8 (a+b-c) = 7 (a+b-c) 
Segundo a demonstração, a próxima etapa é dividir ambos os lados por a+b-c. 
Aí está o erro!!! 
Está errado porque no início supomos que a+b=c, portanto a+b-c vale zero. Divisão por 
zero não existe!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Aonde foi parar o outro R$ 1,00 
 
Eu,Tu e Ele.... fomos comer no restaurante e no final a conta deu R$30,00. 
Fizemos o seguinte: cada um deu dez mangos... 
Eu: R$ 10,00 
Tu:: R$ 10,00 
Ele:: R$ 10,00 
O garçom levou o dinheiro e o dono do restaurante disse o seguinte: 
"Esses três já são clientes antigos do restaurante, então vou devolver $5,00 para eles"... 
O garçom, muito esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$1,00 para cada 
um de nós... 
No final ficou assim: 
Eu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Eu gastei R$ 9,00 
Tu: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido) = Tu gastou R$ 9,00 
Ele: R$ 10,00 (- R$ 1,00 que foi devolvido)= Ele gastou R$ 9,00 
Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três 
gastamos juntos, foi R$ 27,00. 
E se o garçom pegou R$ 2,00 para ele, temos: 
Nós: R$ 27,00 
Garçom: R$ 2,00 
_______________________ 
TOTAL: R$ 29,00 
Aonde foi parar o outro R$ 1,00??????? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
 
Charadas 
 
1) Gato e Meio 
 
Se gato e meio come rato e meio em minuto e meio, em quanto tempo um gato come dois 
ratos? 
 
2) O Senhor é meu Pastor 
 
Pense e escolha a única opção correta: 
 "O SENHOR É O MEU PASTOR E NADA ME FALTARÁ" 
a) O SENHOR será meu pastor enquanto não me faltar nada. 
b) Nada me faltará por que o SENHOR é meu pastor. 
c) Nada me faltará por qualquer razão menos pelo fato de ser o SENHOR 
meu pastor. 
d) Nada me faltará por qualquer razão podendo ser pelo fato de ser o SENHOR meu pastor. 
e) O SENHOR será meu pastor se não me faltar nada. 
f) Não me faltará nada somente se o SENHOR for meu pastor. 
g) Faltar-me-á algo se o SENHOR não for meu pastor. 
h) Mesmo que me falte algo o SENHOR será sempre meu pastor. 
 
3) Quem ama quem? 
Oito jovens- - 4 garotos e 4 garotas - passeavam numa gôndola em Veneza. Todos estavam 
apaixonados: cada garoto por uma garota e vice-versa. O gondoleiro, muito observador, 
nota os olhares e observa: 
 
1- Claudia é amada pelo rapaz que é amado pela garota que ama Bruno; 
2- Diana ama quem ama Claudia e é amada pelo amor do amor de Carlos; 
3- Antonio ama quem quer namorar com quem gosta de Bruna; 
4- Quando Carlos olha para Bruna provoca ciúmes em Aline, que é amada pelo rapaz que é 
amado por quem ama Antonio; 
5- Daniel é amado pela garota que é amada por quem ama Bruna. 
 Quem ama quem? 
 
4)A frase: SE ESTUDO ENTÃO PASSO equivale à: 
 
a) Se passo então estudo 
b) Se não estudo então não passo 
c) Se não passo então não estudo 
d) Só se estudo então passo 
e) Estudo ou não passo 
 
 
Resposta: 
 20 
Se estudo então passo significa que se eu estudar vou passar, mas nada afirma sobre o que 
acontecerá se eu não estudar. Se eu não estudar, posso passar ou não. Se eu não passar, 
significa que não estudei pois, se eu estudar, passo com certeza. A alternativa correta é a 
letra C. 
 
5) Soma das idades 
Dois amigos matemáticos, que há muito não se viam, se encontraram na rua. Depois de 
muita conversa um deles perguntou: Você tem filhos? E o outro respondeu: "Tenho três 
filhas. O produto de suas idades é 36; a soma das idades é o número daquela casa ali ( e 
apontou a casa e o amigo viu o número ).O amigo continuou na dúvida sem poder dizer 
qual a idade das filhas dele. De repente o pai disse: "ah! E a mais velha toca piano!" Nesse 
ponto o amigo, excelente matemático, não tinha mais dúvida e já podia dizer as idades com 
certeza. Qual a idade delas? 
 
Resposta: Analizando as possibilidades temos: 1 x 6 x 6 = 36 / Soma 13 
 3 x 3 x 4 = 36 / Soma 10 
 1 x 1 x 36 = 36 / Soma 38 
 1 x 4 x 9 = 36 / Soma 14 
 2 x 3 x 6 = 36 / Soma 11 
 1 x 3 x 12 = 36 / Soma 16 
 1 x 2 x 18 = 36 / Soma 21 
 2 x 2 x 9 = 36 / Soma 13 
 Como a soma das idades era o mesmo número da casa em frente, bastava que ele 
olhasse o número para saber as idades. Acontece que mesmo com essa dica ele ainda 
continuou na dúvida. Concluímos que o número da casa era 13 pois existem duas 
possibilidades para essa soma ( 1 x 6 x 6 e 2 x 2 x 9 ). Com a terceira dica de que a mais 
velha toca piano eliminamos a hipótese onde não há irmã mais velha ( 1 x 6 x 6 ) e ficamos 
com os valores 2,2,9. 
 
6) Em um cartão estão quatro afirmativas: 
 
 Neste cartão exatamente uma afirmativa é falsa; 
 Neste cartão exatamente duas afirmativas são falsas; 
 Neste cartão exatamente três afirmativas são falsas; 
 Neste cartão exatamente quatro afirmativas são falsas; 
 
 Quantas são falsas? 
 
7) Lápis e Caneta 
 
 LÁPIS - CANETA - LÁPIS E CANETA 
 
 Existem três gavetas com e somente com os objetos indicados pelas etiquetas. Afirmando 
que todas as etiquetas estão colocadas trocadas, quantas vezes é necessário retirar um 
objeto de qualquer gaveta para se colocar as etiquetas corretamente? 
 
 
 21 
1000 + 40 
 
O cálculo deve ser feito rapidamente. 
Este cálculo deve fazer-se mentalmente (e rapidamente), sem utilizar calculadora nem papel 
e caneta! 
Você tem 1000, acrescenta mais 40. Acrescenta mais 1000. Acrescenta mais 30. Acrescenta 
mais 1000. Acrescenta 20. Acrescenta mais 1000. Acrexcenta mais 10. Qual é o total? 
(Resposta mais abaixo) 
 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA ESPAÇO ANTI-TRAPAÇA 
 
 
 O seu resultado é de 5000? 
A resposta certa é de 4100! Se não acredita, verifica com a calculadora. O que acontece é 
que a seqüência de milhar desvia atenção do cérebro. O cérebro tende naturalmente a 
arrendondar a soma dos decimais, só que os milhares separadamente somados o confundem 
e faz ele arredondar o que seria centena para milhar também (força da repetição). 
 
 
 22 
 
Teste De Einstein 
 
1. Há cinco casas de 5 diferentes cores. 
2. Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade 
3. Esses 5 proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de 
 cigarro e têm um certo animal de estimação 
4. Nenhum delestem o mesmo animal, fumam o mesmo cigarro ou bebem a mesma bebida. 
 
 A questão é: quem tem um peixe? 
 
 Dados: 
 
 - O inglês vive na casa vermelha. 
 - O sueco tem cachorros como animais de estimação. 
 - O dinamarquês bebe chá. 
 - A casa verde fica à esquerda da casa branca. 
 - O dono da casa verde bebe café. 
 - A pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros 
 - O dono da casa amarela fuma Dunhill. 
 - O homem que vive na casa do centro bebe leite. 
 - O norueguês vive na primeira casa. 
 - O homem que fuma blends vive ao lado do que tem gatos. 
 - O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill. 
 - O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja. 
 - O alemão fuma Prince. 
 - O norueguês vive ao lado da casa azul. 
 - O homem que fuma Blend é vizinho do que bebe água. 
 
 
Einstein escreveu esse teste no século passado. 
Ele disse que 98% do mundo não pode resolvê-lo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
 
PALÍNDROMOS 
 
Palíndromos podem ser palavras ou números que são iguais quando lidos de frente para trás 
e de trás para frente. Alguns exercícios de análise combinatória envolvem palíndromos. 
Aqui, só por curiosidade, mostramos alguns palíndromos. 
 
 ALÔ BOLA 
 
 AME O POEMA 
 
 AMOR A ROMA 
 
 ANA 
 
 ANOTARAM A DATA DA 
MARATONA 
 
 ANOTARAM A MARATONA 
 
 APÓS A SOPA 
 
 ASSIM A AIA IA A MISSA 
 
 ATÉ O POETA 
 
 AULA É A LUA 
 
 A BABÁ BABA 
 
 A DIVA EM ARGEL ALEGRA-ME 
A VIDA 
 
 A DROGA DA GORDA 
 
 A MALA NADA NA LAMA 
 
 A TORRE DA DERROTA 
 
 EVA ASSE ESSA AVE 
 
 LUZ AZUL 
 
 LUZA ROCELINA, A NAMORADA 
DO MANUEL, LEU NA MODA DA 
 ROMANA: ANIL É COR AZUL 
 
 ÓDIO DO DOIDO 
 
 OI RATO OTÁRIO 
 
 OSSO 
 
 OTO COME MOCOTÓ 
 
 OVO 
 
 O CASACO 
 
 O CÉU SUECO 
 
 O DEDO 
 
 O GALO AMA O LAGO 
 
 O LOBO AMA O BOLO 
 
 O GALO NO LAGO 
 
 O MITO É ÓTIMO 
 
 O ROMANO ACATA AMORES A 
DAMAS AMADAS E ROMA ATACA 
O NAMORO 
 
 O VÔO DO OVO 
 
 MIRIM 
 
 MORRAM APÓS A SOPA 
MARROM 
 
 MUSSUM 
 24 
 
 RADAR 
 
 RENNER 
 
 REVIVER 
 
 RIR, O BREVE VERBO RIR 
 
 ROMA É AMOR 
 
 ROMA ME TEM AMOR 
 
 SAIRAM O TIO E OITO MARIAS 
 
 SÁ DA TAPAS E SAPATADAS 
 
 SOCORRAM-ME SUBI NO ÔNIBUS 
EM MARROCOS 
 
 SUBI NO ÔNIBUS 
 
 VIVIANA AMA ANA IVIV 
 
 ZE DE LIMA RUA LAURA MIL E 
DEZ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
Multiplicar um Número por... 
 
 Multiplicar um número por 11 
 
Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos de colocar o 
resultado no meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11. 
Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar 
esse 8 no meio deles: 
a resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286. 
Outros exemplos: 
1) 34 x 11 
somamos os algarismos do número 34: 3+4=7 
colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = 374. 
2) 81 x 11 
somamos os algarismos do número 81: 8+1=9 
colocamos o resultado no meio deles: 891. Portanto 81x11 = 891. 
3) 37 x 11 
somamos os algarismos do número 37: 3+7=10 
como deu um nº maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles. 
Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1) 
é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto 37x11 = 407. 
Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em 
um número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 
11. 
Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4. 
Somando o 2º com o 3º algarismo desse número temos 3+5=8. Esses 2 resultados serão 
colocados no meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio: 
1485. Portanto 135 x 11 = 1485. 
 
Multiplicar um número por 9 
 
Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. 
Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9. 
Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440. 
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 = 396. 
Portanto 44 x 9 = 396. 
Outros exemplos: 
27 x 9 = 270-27 = 243. 
56 x 9 = 560-56 = 504. 
33 x 9 = 330-33 = 297. 
 
 
 26 
Multiplicar um número por 99 
 
Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. 
Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99. 
Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400. 
Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400-44 = 4356. 
Portanto 44 x 99 = 4356. 
 
 
 
Outros exemplos: 
27 x 99 = 2700-27 = 2673 
56 x 99 = 5600-56 = 5544 
33 x 99 = 3300-33 = 3267 
 
Multiplicar um número por 101 
Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB. 
Alguns exemplos: 
43 x 101 = 4343 
32 x 101 = 3232 
14 x 101 = 1414 
 
 
Essa é Interessante 
 
Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que possuam o mesmo algarismo 
das dezenas, e a soma de seus algarismos das unidades seja 10. 
 
Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48, 53x57, 21x29, 
35x35, 87x83, 94x96, etc. 
Devem ser seguidos os seguintes passos: 
1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número 
seguinte a ele; 
2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente; 
3) Juntamos as duas partes. 
Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57: 
Passo 1: 
5x6 = 30 
Passo 2: 
3x7 = 21 
Passo 3: 
Juntamos os dois números: 3021. 
Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada! 
 27 
Outro exemplo: 94 x 96: 
Passo 1: 
9x10 = 90 
Passo 2: 
4x6 = 24 
Passo 3: 
Juntamos os dois números: 9024. 
Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada! 
 
E a Última... 
 
Soma dos n primeiros números naturais ímpares 
 
A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n^2. Exemplos: 
1) Soma dos 5 primeiros números naturais ímpares (1+3+5+7+9): 
A soma é igual a 5^2 = 25. 
2) Soma dos 15 primeiros números naturais ímpares: 
A soma é igual a 15^2 = 225. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
 
DESAFIOS MATEMÁTICOS 
 
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DESAFIO 1 
 
EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA 
IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES 
SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? 
 
Solução: 
 
Tu TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de 
y. 
Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de 
x) , ou seja, eu TENHO 2x anos. 
ENTÃO: 
Tu TINHAS x e agora tem y. 
Eu TINHA y e agora tenho 2x. 
Portanto temos que: 
y-x = 2x-y 
2y=3x 
x=(2/3).y 
ENTÃO, substituindo o valor de x, temos: 
Tu TINHAS (2/3).y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3).y 
Agora preste atenção na segunda frase: 
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ 
DE 45 ANOS. 
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3).y, deve-se somar a tua idade y com mais 
(1/3).y 
Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y. 
Como somamos (1/3).y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja: 
Agora eu tenho (4/3).y + (1/3).y, logo eu tenho (5/3).y 
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: 
(4/3).y + (5/3).y=45 
(9/3).y=45 
3y=45 
y=15 
No início descobrimos que x=(2/3).y, portanto x=(2/3).15, logo x=10. 
FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES??? 
COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS. 
E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A20 ANOS. 
PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!! 
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 29 
 
DESAFIO 2 
 
UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E 
TRÊS NO BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS 
DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO 
QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA 
FRENTE. 
 
Solução: 
 
São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. 
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo. Então primeiro vamos calcular o número 
de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas: 
Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, 
tomados 5 à 5: 
A6,5= 720 
Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João. 
Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos 
três bancos de trás. Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 
lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas 
nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4: 
A6,4= 360 
O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar 
esse resultado por 3: 
3 x A6,4= 3 x 360 = 1080 
O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e 
SEM João). 
Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!! 
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DESAFIO 3 
 
AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 
11; AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA 
ATUALMENTE? 
 
Solução: 
 
Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova. 
Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha. 
O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então: 
y/x = 4/5 (equação 1) 
O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então: 
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2) 
Isolando y na equação 1: 
y = 4x/5 
 30 
Colocando esse valor de y na equação 2 temos: 
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11 
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8) 
Fazendo o mmc dos dois lados temos: 
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11 
11.(4x-40) = 5.(8x-64) 
44x-440 = 40x-320 
44x-40x = 440-320 
4x = 120 
x= 30 
Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!! 
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DESAFIO 4 
 
EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA 
FIGURA. QUAL É O VALOR DE N ? 
 
 N 
 N N 
 N N 
 N N N N 
 N N 
 N N 
 
Solução: 
 
Podemos notar que a figura é parecida com um "A". 
Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é: 
C13,3 = 286 
Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as 
combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são 
COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece: 
Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados 
entre si, pois não formam triângulos. 
Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação. 
E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si. 
Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser 
formados é: 
C13,3 - C6,3 - C6,3 - C4,3 = 286 - 20 - 20 - 4 = 242 
Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!! 
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 31 
 
DESAFIO 5 
 
UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM 
CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO 
ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA? 
 
Solução: 
 
Vamos considerar que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o 
nosso objetivo é achar o valor de N. 
O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que 
tinha ao entrar. 
 
LOJA 1 
O homem entrou com N. 
O homem GASTOU: 
(N/2)+1. 
Portanto o homem FICOU com: 
N - ((N/2)+1) 
= N-(N/2)-1 
= (2N-N-2) / 2 
= (N-2)/2 
 
LOJA 2 
O homem entrou com (N-2)/2 
O homem GASTOU: 
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4 
Portanto o homem FICOU com: 
(N-2)/2 - ((N+2)/4) 
= (2N-4-N-2) / 4 
= (N-6)/4 
 
LOJA 3 
O homem entrou com (N-6)/4 
O homem GASTOU: 
( (N-6)/4 )/2 + 1 
= (N-6)/8 + 1 
= (N+2)/8 
Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo 
o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 
menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO: 
 
(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0 
(2N-12-N-2) / 8 = 0 
2N-12-N-2 = 0 
N-14 = 0 
 32 
N = 14 
 
PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 
REAIS !!! 
 
Solução 02: 
 
Vamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada na 1ª loja, até a 
saída na última e em, seguida, percorrer o fluxo de "trás para frente", aplicando operações 
inversas. Cabe lembrar que a quantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por 
N1, N2 e N3) fica sempre dividida por 2 e, em seguida, subtraída de 1 real. 
 
(N1)/2 - 1 (saiu da loja 1 com N2) 
(N2)/2 - 1 (saiu da loja 2 com N3) 
(N3)/2 - 1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía). 
 
Aplicando operações inversas, teremos do fim para o início: 
(0 + 1) x 2 = 2 
(2 + 1) x 2 = 6 
(6 + 1) X 2 = 14 
 
Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00. 
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DESAFIO 6 
 
DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA: 
 
DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1; 
DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2; 
DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3; 
DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4; 
DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5; 
DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0. 
 
Solução: 
 
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo 
problema: 
X dividido por 2 dá resto 1 
X dividido por 3 dá resto 2 
e assim por diante até: 
X dividido por 6 dá resto 5 
Então, podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. 
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 
6. 
 33 
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual 
a 4x5x6=120. 
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é 
divisível por 7. 
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DESAFIO 7 
 
CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE 
TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES 
NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO 
NÚMERO 43521? 
 
Solução: 
 
Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente: 
 
1xxxx => P4 = 4! = 24 
2xxxx => P4 = 4! = 24 
3xxxx => P4 = 4! = 24 
41xxx => P3 = 3! = 6 
42xxx => P3 = 3! = 6 
431xx => P2 = 2! = 2 
432xx => P2 = 2! = 2 
4351x => P1 = 1! = 1 
 
Somando todas elas: 
24+24+24+6+6+2+2+1 = 89 
 
Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90. 
 
Resposta: O número 43521 está na 90º posição. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 8 
 
COLOQUE OS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9 DISPOSTOS NAS 9 CASAS DE UM 
TABULEIRO DE JOGO DA VELHA DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 3 
ALGARISMOS DE QUALQUER RETA E QUALQUER DIAGONALRESULTE 15. 
 
Solução: 
 8 1 6 
 3 5 7 
 4 9 2 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 9 
 34 
 
Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o 
total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número 
de patos e o número de cachorros. 
 
Solução: 
 
O total de patos e cachorros é 21: 
P+C = 21 
O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então: 
2P+4C = 54 
Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos: 
P = 21-C 
Substituindo na segunda equação temos: 
2(21-C)+4C = 54 
42-2C+4C = 54 
2C = 54-42 
2C = 12 
C = 6 
Agora basta encontrar o P: 
P = 21-C 
P = 21-6 
P=15 
 
Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9. 
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DESAFIO 10 
 
Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu 
estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? 
 
Solução: 
 
Sendo N o número de páginas do livro, temos: 
N/5 = (N/3)-16 
(N/5)-(N/3) = -16 
(3N-5N)/15 = -16 
3N-5N = -16*15 
-2N = -240 
N = 120 
 
O livro possui 120 páginas! 
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DESAFIO 11 
 
 35 
Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é 
o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z? 
 
Solução: 
 
xy e yx são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos 
zxz. 
xy+yx = zxz 
O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: 
99+99 = 198 
Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então 
concluímos que z=1. 
Se z=1 o resultado da soma é 1x1. 
Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes: 
x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121 
 
Resposta: x=2 , y=9 , z=1 
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DESAFIO 12 
 
Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o 
seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada 
vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus 
enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus 
são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando). 
 
Solução: 
 
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas: 
 
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez 
MARCOS sobe 1 degrau por vez. 
 
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. 
Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele 
chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o 
desenho que você entenderá melhor). 
 
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e 
o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que 
quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda 
faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 
14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se 
em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2). 
 
 36 
FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o 
mesmo. Então basta montar a equação: 
 
28+X = (14+X)+(7+(X/2)) 
28+X = 21+(3X/2) 
28-21 = (3X/2)-X 
7 = X/2 
X = 14 
 
Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total): 
28+14 = 42 degraus 
Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo: 
(14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus 
 
Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!! 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 13 
 
Joãozinho, um rapaz muito indiscreto, sabendo da reação de uma senhora, que conhecia há 
algum tempo, quando falaram em idade, resolveu aprontar. Numa reunião social, na 
presença de todos, perguntou-lhe a idade. A senhora respondeu: 
 
- Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro 
anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. 
 
Se você fosse um dos presentes, você concluiria que a senhora tem que idade? 
 
Solução: 
 
O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio 1. 
 
Aplique o mesmo método e você encontrará que 
 
A SENHORA TEM 40 ANOS. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 14 
 
Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo 
mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, 
qual é o número original de garrafas de vinho na caixa? 
 
Solução: 
 
Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos: 
 
 37 
N.P = 1000 => P=1000/N 
Tira-se 4 garrafas 
Aumenta o preço da dúzia em R$100,00 
(N-4).P+((N-4)/12).100) = 1000 
Colocando N-4 em evidência: 
(N-4) (P + 100/12) = 1000 
(N-4) (1000/N + 100/12) = 1000 
(1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000 
 
Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau: 
 
100N2 - 400N - 48000 = 0 
Aplicando Bhaskara encontramos x=24. 
 
Resposta: HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 15 
 
Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das 
centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois 
algarismos estão entre si como 1 está para 2, calcule o algarismo, no cheque, que foi escrito 
na casa das dezenas. 
 
Solução: 
 
No cheque foi escrito: ...xxxABx 
Mas o correto seria: ...xxxBAx 
 
Ou seja, na casa das dezenas do cheque foi escito B (é o que queremos achar). 
 
Por isso a pessoa pagou R$270,00 a mais, portanto fazendo a subtração o resultado será 
270: 
 
...xxxABx 
...xxxBAx 
---------------- 
...000270 
 
Portanto devemos ter AB - BA = 27 
O exercício diz que A e B estão entre si como 1 está para 2. Daí sabemos que A é o dobro 
de B, ou seja: A=2B. 
Sabendo disso, existem 4 valores possíveis para A e B: 
 
B=1 e A=2 => 21-12 = 9 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) 
B=2 e A=4 => 42-24 = 18 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) 
B=3 e A=6 => 63-36 = 27 => esses são os valores (pois AB-BA=27) 
 38 
B=4 e A=8 => 84-48 = 36 => não pode ser esse (pois AB-BA=27) 
 
Portanto os valores são A=6 e B=3. 
 
Resposta: O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 16 
 
Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 movimentos (3 cortes). 
 
Solução: 
 
Basta fazer dois cortes verticais e um corte horizontal. Ao fazer dois cortes verticais (pode 
ser em forma de X), a torta estará dividida em 4 pedaços. Quando fizermos o corte 
horizontal, o número de pedaços será multiplicado por 2, ou seja, teremos 8 pedaços em 
apenas 3 cortes. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 17 
 
O menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990. Qual é o menor 
múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3? 
 
Solução: 
 
1998 = 2 ´ 999 = 2 ´ 33 ´ 37. Um número formado apenas pelos algarismos 0 e 3 é múltiplo 
de 33 se e somente se o número de algarismos 3 é múltiplo de 9 (pois ao dividi-lo por 3 
obtemos um número que possui apenas os algarismos 0 e 1 que deve ser múltiplo de 9, o 
que ocorre se e só se o número de algarismos 1 é múltiplo de 9). 
 
 Assim, onúmero desejado deve ter pelo menos 9 algarismos 3, e deve terminar por 0, 
por ser par. O menor número com essas propriedades é 3333333330, que é múltiplo de 
1998 pois é par, é múltiplo de 33 e é múltiplo de 37 por ser múltiplo de 111 (é igual a 111 ´ 
30030030). 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 18 
 
 Em uma reta há 1999 bolinhas. Algumas são verdes e as demais azuis (poderiam ser 
todas verdes ou todas azuis). Debaixo de cada bolinha escrevemos o número igual à soma 
da quantidade de bolinhas verdes à direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à 
esquerda dela. Se, na sequência de números assim obtida, houver exatamente três números 
que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três números? 
 
Solução: 
 
 39 
 Este é um problema de Olimpíada Matemática. Se as 1999 bolinhas são de uma mesma 
cor, a sucessão de números é crescente ou decrescente. Cada número aparece uma vez só e 
há 1999 (portanto, não há exatamente 3 números que se repetem um número ímpar de vezes 
(1 é ímpar). Logo, há bolinhas das duas cores. 
 Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma bolinha azul A e na 
posição seguinte uma bolinha vermelha R, se há a bolinhas azuis à esquerda de A e r 
bolinhas vermelhas à sua direita, então há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 
bolinhas vermelhas à sua direita. O número escrito embaixo de A é n = a + r e o número 
escrito embaixo de R é a + 1 + r – 1 = n. 
 Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em nenhuma outra bolinha, na nova 
distribuição há a bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas vermelhas à sua direita, 
enquanto que à esquerda de A há a bolinhas azuis e, à sua direita, r – 1 bolinhas vermelhas. 
Os números escritos embaixo de R e A são a + r – 1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. Os números 
escritos embaixo das outras bolinhas não mudam. 
 Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o número n – 1 se 
repete duas vezes mais. Os números que se repetem uma quantidade ímpar de vezes serão 
os mesmos em ambas configurações. 
 Portanto, basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas vermelhas são 
consecutivas, a partir da primeira, e todas as azuis são consecutivas, a partir da última 
vermelha. 
 Sejam a , b , as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis, respectivamente; então a + b 
= 1999. Embaixo da primeira bolinha (é vermelha) está o número a – 1, na seguinte, a – 2, 
depois a – 3, e assim por diante, até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição a ). Então, 
embaixo da primeira bolinha azul há 0, na segunda 1 e assim por diante, até a última, que 
tem b – 1 embaixo. 
 Se a < b , os números 0, 1, 2, …, a – 1 aparecem duas vezes (quantidade par) e os 
números a , a + 1, a + 2, …, b – 1 aparecem uma vez (quantidade ímpar). Se há exatamente 
3 números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, estes são a , a + 1 e a + 2 = b – 1. 
Portanto, a + b = 2a + 3, donde a = 998, e os três números que se repetem uma quantidade 
ímpar de vezes são 998, 999 e 1000. 
 Se a > b , os três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes são b , b +1 e b 
+ 2 = a – 1, donde a + b = 2b + 3 e os tres números são, novamente, 998, 999 e 1000. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 19 
 
 Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada. Você pode usar 
as operações +, -, x, /, e também os parênteses, se achar necessário. 
 
Solução: 
A solução pode ser a seguinte: (3+(3/7)) x 7 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 20 
 
 Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo. 
 
 40 
Solução: 
 
Qualquer número entre 0 e 1. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 21 
 
 A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é 
retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou 
exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles 
disputaram? 
 
Solução: 
 
Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, a Maria perdeu três pontos. Como no final a 
Maria ficou com 10 pontos é porque ganhou 8 pontos, logo 4 partidas. Realizaram portanto 
3+4=7 partidas. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 22 
 
 Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos que devem 
passar até que se alterem todos os algarismos? 
 
Solução: 
 
Os algarismos estarão todos alterados, pela primeira vez, quando o relógio marcar 
20:00:00, ou seja, quando se passarem 147 segundos. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 23 
 
Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira página, são 
usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro? 
 
Solução: 
 
Como existem 9 números naturais com 1 algarismo, 90 números com 2 algarismos e 900 
números com 3 algarismos são necessários: 
9 algarismos para numerar as primeiras 9 páginas; 
90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90 páginas; 
900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes 900 páginas. 
Como 180+9 < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem 3 algarismos e 
satisfaz a equação: 
 
3 (x-99) + 189 = 852 
 
 41 
O livro possui 320 páginas. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 24 
 
Você tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma. 
 
Solução: 
 
Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo, em forma de estrela. Dessa 
maneira existirão 5 filas, e cada fila possuirá 4 soldados. 
 
 O 
 O o o O 
 o o 
 o 
 O O 
 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 25 
 
Substitua o asterisco x por um número natural, para que a subtração abaixo seja verdadeira. 
x/x - x/6 = x/12 
 
Solução: 
 
x/x é igual a 1. Substituindo esse valor na equação temos: 
1- (x/6) = (x/12) 
1 = (x/12) + (x/6) 
1 = (x+2x)/12 
1 = 3x/12 
1 = x/4 
x = 4 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
DESAFIO 26 
 
Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados 
no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? 
 
Solução: 
 
1 saco de areia = 8 tijolos. 
Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 ´ 8 = 144 tijolos. 
-------------------------------------------------------------------------------- 
 
 42 
DESAFIO 27 
 
COLOQUE OS NÚMEROS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E 9 DISPOSTOS NAS 16 CASAS DO 
TABULEIRO DE DAMAS 4X4 DE MANEIRA QUE A SOMA DOS 4 ALGARISMOS 
DE QUALQUER RETA E QUALQUER DIAGONAL RESULTE 34. 
 
Solução: 
 5 16 3 10 
 4 9 6 15 
 14 7 12 1 
 11 2 13 8 
 
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DESAFIO 28 
 
Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que (x+99)/(x+19)seja um número 
inteiro? 
 
Solução: 
 
Podemos escrever a expressão da seguinte forma: 
 
(x+99)/(x+19)=1+ [80/(1+19)] 
 
Este número é inteiro se, e somente se, x + 19 for divisor de 80. Como 80 tem 20 divisores 
inteiros, então existem 20 valores de x. 
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DESAFIO 29Corte 10 algarismos do número 1234512345123451234512345, para que o número restante 
seja o maior possível. 
 
Solução: 
 
O maior número restante é 553451234512345. Para ver isto, podemos supor que os cortes 
são feitos da esquerda para a direita. Se deixarmos de cortar todos os quatro primeiros 
algarismos, o número que resta começará por 1, 2, 3 ou 4. Logo, menor que o número 
acima. Feito isto, se deixarmos de cortar a segunda seqüência 1234, o número que resta terá 
na primeira ou segunda casa, da esquerda para a direita, 1, 2, 3 ou 4. Ainda menor que o 
número acima. Os dois primeiros 5 devem permanecer, pois retirando-se um deles, 
completamos 9 retiradas e aí algum algarismo da terceira seqüência 1234 aparecerá na 1a 
ou na 2a casa. Finalmente devemos cortar a seqüência 12, que ocupa a 11a e 12a posição. 
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DESAFIO 30 
 43 
 
Encontre dois números de três algarismos cada um, usando cada um dos dígitos 1, 2, 3, 4, 
5, 6 exatamente uma vez, de forma que a diferença entre eles (o maior menos o menor) seja 
a menor possível. 
 
Solução: 
 
Este é um problema da Olimpíada Brasileira de Matemática. 
 
Para que a diferença seja a menor possível, os números devem ser os mais próximos 
possíveis. Assim, os algarismos das centenas devem ser consecutivos. A melhor escolha é 
aquela em que as dezenas formadas pelos algarismos restantes tenham a maior diferença 
possível, o que ocorre para as dezenas 65 e 12. 
Assim, os algarismos das centenas devem ser 3 e 4. O menor número começado por 4 é 412 
e o maior começado por 3 é 365, cuja diferença é 47. 
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DESAFIO 31 
 
Determine o próximo número da sequência: 2,10,12,16,17,18,19,... 
 
Solução: 
 
O próximo número da sequência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é 200. 
É a sequência de todos os números que começam com a letra D. 
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DESAFIO 32 
 
Determine o próximo número da sequência: 5,11,19,29,41,... 
 
Solução: 
 
O próximo número da sequência 5,11,19,29,41,... é 55. 
A sequência é formada somando-se a cada termo um número par, à partir do 6: 
5+6 = 11+8 = 19+10 = 29+12 = 41+14 = 55. 
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DESAFIO 33 
 
Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60, 
65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco? 
 
Solução: 
 
 44 
Os homens de 60 e 65kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80kg atravessa sozinho. O 
barco volta com o que havia ficado. Finalmente os de 60 e 65kg atravessam, e os três 
estarão do outro lado do rio. 
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DESAFIO 34 
 
Quantos noves existem entre 0 e 100? 
 
Solução: 
 
Existem 20 noves entre 0 e 100. Um em cada algarismo das unidades (9,19,29,39,...99), e 
mais os dez noves da dezena 9 (90, 91,92...99). 
No total 10+10 = 20 noves. 
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DESAFIO 35 
 
Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe perguntam quanto 
custou o presente ela disse: 
 - "Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente. Digo apenas que o 
preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor de 9 presentes." 
Quanto custou o presente? 
 
Solução 01: 
 
Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os 
centavos, como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou 0 (para R$abcd,00 ser menor ou 
igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do 
presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes. 
Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal 
posicional, isto é, abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou 
1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim: 
1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d) 
ou 
1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d 
 
Resolvendo: 
(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0 
ou 
991d + 10c -890b -8999a = 0 
 
Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos 
reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. 
Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d. 
Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das fracções contínuas. 
Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente: 
 45 
10c = 8999a + 890b - 991d 
Dividimos toda a equação pelo coeficiente: 
c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d 
Separando as partes inteiras das frações, 
c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d 
ou 
c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d) 
Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro, 
só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10. 
Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e 
9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0. 
Fica assim, 9a - d = 0 
ou 
d = 9a 
Retornando este resultado à equação anterior, fica 
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a) 
ou 
c = 899a + 89b - 891a 
c = 8a + 89b 
Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser 
igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta assim, 
c = 8a 
Lembremos ainda que a é 1 ou 0. 
Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e, 
corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00. 
Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior, d=9a => d=9. 
Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que, 
invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado. 
RESPOSTA: o presente custou R$1089,00 
 
Solução 02: 
 
Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos supor que o preço estava 
em torno de R$ 1.000,00. 
Portanto, estavamos em busca de um número de 4 algarismos, sendo 1 o primeiro deles. O 
último algarismo só poderia ser o 9, pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9 
vezes o primeiro. Assim, sabemos que o número é 1ab9. 
Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já que seu inverso também 
o é (pois é um número que vale nove vezes o preço do presente). Temos então o número 
1ab9. Para que tal número seja múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8. Os pares a e 
b que satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5; 4 e 4; 5 e 3; 6 e 2; 
7 e 1 e finalmente, 8 e 0. 
Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor que R$ 1.200,00, 
chegamos a R$ 1.089,00, que é o preço do presente. (1089 X 9 = 9801). 
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DESAFIO 36 
 46 
 
Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem foi o 
penetra: 
– Eu não fui, diz o Benjamim. 
– Foi o Pedro, diz o Carlos. 
– Foi o Carlos, diz o Mário. 
– O Mário não tem razão, diz o Pedro. 
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada? 
 
Solução: 
 
Pedro não pagou! 
Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. 
Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Conclui-se 
que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a 
afirmação de Pedro seria verdadeira, mas a de Carlos seria falsa. 
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DESAFIO 37 
 
Dona Panchovila comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas os meninos da