ED bioestatística

Prévia do material em texto

Bioestat́ıstica
Lista de exerćıcios 4
Questão 1. Encontre o erro nas duas afirmativas feitas a seguir:
(a) a probabilidade de você ser aprovado em Estat́ıstica é 2 e de ser reprovado é 0,2.
(b) a probabilidade de chover amanhã é 20%, de ficar nublado sem chuva é 10% e de ter sol é 80%.
a) Probabilidade é um número de 0 a 1.
b) A soma das probabilidades é maior do que 1. Além disso, a rigor, utilizamos porcentagem quando
falamos de ‘chance’.
Questão 2. A tabela abaixo exibe a distribuição de probabilidade da v.a. X:
x 0 1 2 3 4
p(X = x) c/2 c/3 c/4 c/3 c/2
(a) Encontre o valor de c para que a distribuição seja válida.
(b) Calcule a esperança de X .
(c) Calcule a variância de X .
(d) Suponha que observemos os resultados de diversas réplicas de X . Qual seria o valor esperado para a
média amostral?
a) A soma da probabilidade de todos os resultados posśıveis deve ser 1. Assim,
c
2
+
c
3
+
c
4
+
c
3
+
c
2
= 1
6c + 4c + 3c + 4c + 6c
12
= 1
c × 23
12
= 1
c =
12
23
Assim,
x 0 1 2 3 4
p(X = x) 6/23 4/23 3/23 4/23 6/23
b) E (X ) = 15 × (0 × 6/23 + 1 × 4/23 + 2 × 3/23 + 3 × 4/23 + 4 × 6/23) = ...
d) O valor esperado para a média amostral é a esperança.
Questão 3. Segundo o Censo 2010, 47,51% da população brasileira era branca. Estima-se que destes,
85% têm Rh+ (positivo). Três brasileiros são amostrados ao acaso. Qual a probabilidade de 2 desses 3
serem brancos com Rh- (negativo)?
1
Questão 4. Uma prova é constitúıda de cem questões com cinco alternativas, em que apenas uma é
correta. Um aluno que nada sabe sobre a matéria do exame acerta, em média, quantas perguntas com
qual variância?
Cada resposta pode ser vista como um ensaio de Bernoulli independente. Então, em um questionário de
100 perguntas, podemos assumir que a quantidade de respostas corretas é uma v.a. X ∼ Bin(100, 1/5)
(chance do aluno acertar ao acaso é 1/5). Vimos que a E (X ) = np = 100 × 1/5 = 20 e Var(X ) =
np(1− p) = 100× 1/5× 4/5 = 16. Ou seja, o aluno acerta, em média, 20 das 100 questões com variância
de 16 questões (ao quadrado).
Questão 5. Suponha que determinado medicamento usado no diagnóstico precoce da gravidez é capaz
de confirmar casos positivos em apenas 90% das gestantes muito jovens. Isso porque, em 10% das
gestantes muito jovens, ocorre descamação do epitélio do útero, que é confundida com menstruação.
Nessas condições, qual é a probabilidade de duas, em três gestantes muito jovens que fizeram uso desse
medicamento, não terem confirmado precocemente a gravidez?
Cada jovem pode ser vista como um ensaio de Bernoulli independente. Então, a contagem de jovens
gestantes que não tiveram gravidez confirmada pelo diagnóstico pode ser simbolizada por uma v.a. X ∼
Bin(3; 0, 1).
P(X = 2) =
(
3
2
)
(0, 1)2(0, 9)3−2 =
3!
2!1!
(0, 01)(0, 9) = 3 × 0, 009 = 0, 027.
Questão 6. Foi feito um levantamento acerca da opinião de 1.000 enfermeiras e enfermeiros que traba-
lhavam em um determinado hospital sobre dada questão que tinha duas alternativas: ‘Sim’ e ‘Não’.
(a) As respostas têm distribuição binomial? Justifique.
(b) Alguns não responderam ao questionário. Que efeito isso pode ter sobre as respostas?
a) Depende. Se a resposta de cada profissional não influenciar as dos demais colegas, podemos considerar
uma distribuição binomial para contagem de respostas positivas.
b) Quando os profissionais não respondem o questionário, ficamos com uma amostra menor. Amostras
pequenas podem mascarar efeitos e nos levar a concluir algo indesejado.
Questão 7. O diretor de uma grande empresa está preocupado com a questão de acidentes e quer fazer
um levantamento da situação. Existem os registros do número de acidentes por dia na empresa. Essa
variável tem distribuição binomial? Justifique sua resposta.
Não. Acidentes não podem ser considerados ensaios de Bernoulli independentes, uma vez que, pessoas
podem se envolver em mais de um acidente no mesmo dia.
Entretanto, se interpretarmos a questão como ‘o funcionário x já sofreu algum acidente?’ podemos
considerar uma variável Binomial por conta de sabermos a quantidade de funcionários (n) e queremos
saber se ele se envolveu em, pelo menos, 1 acidente naquele dia.
A diferença é bem sutil mas é importante dominar onde cada tipo de variável se enquadra!
Questão 8. Em uma cirurgia experimental, uma cobaia pode sobreviver (S) ou morrer (M). O pesquisador
não sabe (é exatamente isso que ele está pesquisando), mas considere que a probabilidade de uma cobaia
sobreviver na cirurgia é de 0,25. A cirurgia será feita em duas cobaias. Se ambas sobreviverem, operam-se
mais duas. Se apenas uma sobreviver, outra será operada. Se as duas morrerem, o pesquisador interrompe
o experimento.
(a) Qual é a probabilidade de não se fazer uma segunda sequência de cirurgias (de as duas primeiras
cobaias operadas morrerem)?
Bioestat́ıstica 2 Lista de exerćıcios 4
(b) Qual é a probabilidade de quatro cobaias serem operadas e as quatro sobreviverem?
Caso Cobaias operadas (n)
1a sequência 2a sequência
Sobreviventes Prob Sobreviventes Prob.
1 2 0 0,5625I Interrompe o experimento
2 2 1 0,375II
0 0,75IV
1 0,25V
3 2 2 0,0625III
0 0,5625I
1 0,375II
2 0,0625III
Vamos chamar de X1 a variável aleatória que conta as cobaias sobreviventes ao experimento. Conforme
o enunciado, assumimos que X1 ∼ Bin(2; 0, 25) onde n = 2 representa o número de cobaias e p = 0, 25, a
probabilidade de sobrevivência.
• Portanto, para completar a coluna ‘Prob.’ da 1a sequência de cirurgias, calculamos:
P(X = x) =
(
n
x
)
px(1 − p)n−x .
(I) Substituindo n = 2, p = 0, 25 e x = 0:
P(X = 0) =
(
2
0
)
0, 250(0, 75)2 = 0, 5625.
(II) Substituindo n = 2, p = 0, 25 e x = 1:
P(X = 1) =
(
2
1
)
0, 251(0, 75)1 = 2 × 0, 251(0, 75)1 = 0, 375.
(III) Substituindo n = 2, p = 0, 25 e x = 2:
P(X = 2) =
(
2
2
)
0, 252(0, 75)0 = 0, 0625.
A 2a sequência, simbolizada por X2, depende de n1, simbolizando a quantidade de cobaias sobreviventes
na sequência anterior. Assim, X2 ∼ Bin(n1; 0, 25).
• Quando não há sobreviventes na 1a sequência, ou seja, n1 = 0, o experimento é finalizado.
• Se n1 = 1, então:
(IV) Substituindo n = 1, p = 0, 25 e x = 0:
P(X = 0) =
(
1
0
)
0, 250(0, 75)1 = 0, 75.
(V) Substituindo n = 1, p = 0, 25 e x = 1:
P(X = 1) =
(
1
1
)
0, 251(0, 75)0 = 0, 251(0, 75)0 = 0, 25.
• Se n1 = 2, ou seja, todas as cobaias sobreviveram ao 1o experimento, temos uma replicação com
mais outras duas cobaias. Assim, há a mesma probabilidade já calculada em (I), (II) e (III).
Completando a tabela, podemos responder as questões:
(a) A probabilidade de todas as cobaias não sobreviverem na 1a sequencia e o experimento ser interrom-
pido é P(X1 = 0) = 0, 5625 (Caso 1).
(b) A probabilidade de todas as cobaias sobreviverem em ambas as sequências será dada pela multi-
plicação (regra do ‘E’) da últimas linhas numéricas da tabela: P(X1 = 2 e X2 = 2) = P(X1 = 2)×P(X2 =
2) = 0, 0625 × 0, 0625 = 0, 0039 (Caso 3).
Bioestat́ıstica 3 Lista de exerćıcios 4