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Bioestat́ıstica
Lista de exerćıcios 3
Questão 1. Suponha que meninos e meninas têm a mesma probabilidade de nascer. Em uma faḿılia com
três filhos, qual é a probabilidade de:
(a) dois serem homens?
(b) um ser homem?
(c) nenhum ser homem?
Defina como M o evento ‘o bebê é do sexo masculino’ e F , como o caso contrário. Uma vez que um
evento não interfere na probabilidade do outro, dizemos que são independentes. Assim, a probabilidade
pode ser calculada pela regra da multiplicação (regra do ‘e’). Se ambos tem a mesma probabilidade, então
P(M) = P(F ) = 0, 5. Assim,
a) A probabilidade de 2 serem meninos também dependerá da quantidade de combinações posśıveis para
este resultado considerando a ordem: MMF , MFM, FMM.
Portanto, temos que P(2 homens) = P(MMF )+P(MFM)+P(FMM) = 3× (P(M)×P(M)×P(F )) =
3× 0, 125 = 0, 375.
b) Combinações posśıveis: MFF , FMF , FFM.
P(1 homem) = P(MFF ) + P(FMF ) + P(FFM) = 3× (P(M)× P(F )× P(F )) = 3× 0, 125 = 0, 375.
c) Combinações posśıveis: FFF .
P(0 homens) = P(FFF ) = P(F )× P(F )× P(F ) = 0, 125.
Questão 2. No cruzamento de ervilhas amarelas homozigotas (AA) com ervilhas verdes homozigotas
(aa), ocorrem ervilhas amarelas heterozigotas (Aa). Se essas ervilhas forem cruzadas entre si, ocorrem
três ervilhas amarelas para cada ervilha verde (a proporção é de três para um). Suponha que tenham
sido pegas, ao acaso, três ervilhas resultantes do cruzamento de ervilhas amarelas heterozigotas. Qual é a
probabilidade de as três serem verdes?
Mesmo racioćınio da questão anterior, só que agora iremos considerar probabilidades distintas. Defina
V como o evento ‘A ervilha é verde’ e A como ‘A ervilha é amarela’. Portanto, temos que P(V ) = 0, 25
e P(A) = 0, 75.
Combinações posśıveis para 3 ervilhas verdes em 3 observações: VVV .
P(3 ervilhas verdes) = P(VVV ) = P(V )× P(V )× P(V ) = 0, 0156.
Questão 3. Jogam-se duas moedas ao mesmo tempo. Os eventos ‘cara na primeira moeda’ e ‘faces iguais
nas duas moedas’ são independentes?
Vamos definir A como o evento ‘cara na primeira moeda’ e B como ‘faces iguais nas duas moedas’.
Vimos que se A é independente de B, então P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Assim, vamos construir
a lista de posśıveis resultados, ou seja, no espaço amostral:
Ω = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} com Ca sendo ‘cara’ e Co, ‘coroa’. Assim, facilmente cal-
culamos
P(A) = P({(Ca, Ca), (Ca, Co)}) = 2/4 = 0, 5.
1
P(B) = P({(Ca, Ca), (Co, Co)}) = 2/4 = 0, 5.
P(A ∩ B) = P({(Ca, Ca)}) = 1/4 = 0, 25
P(B|A) = P(A∩B)P(A) =
0,25
0,5 = 0, 5 = P(B)
P(A|B) = P(A∩B)P(B) =
0,25
0,5 = 0, 5 = P(A)
Quando condicionamos um evento ao outro, a probabilidade não se altera. Ou seja, implicando que os
eventos são independentes.
Questão 4. Para melhorar as condições de pacientes com determinada doença crônica, existem cinco
drogas: A, B, C, D e E. Um médico tem verba para comparar apenas três delas. Se ele escolher três drogas
ao acaso para comparar, qual é a probabilidade de:
(a) a droga A ser escolhida?
(b) as drogas A e B serem escolhidas?
Mesmo racioćınio da questão 1, só que temos mais possibilidades.
a) Combinações posśıveis para escolher A em 3 escolhas: ABC , ABD, ABE , ACD, ACE e suas posśıveis
permutações. Por exemplo, ABC tem 6 permutações: ABC , ACB, CAB, BAC , CBA e BCA. Ou seja,
cada combinação tem 6 permutações. Portanto, temos 5× 6 = 30.
P(A ser escolhida) = P(ABC , ABD, ABE , ACD, ACE e suas posśıveis permutações) = 30 × (P(A) ×
P(B)× P(C )) = 30× (1/5× 1/5× 1/5) = 0, 24.
b) Combinações posśıveis para escolher A e B em 3 escolhas: ABC , ABD e ABE e suas posśıveis
permutações. Assim como o caso anterior, cada combinação tem 6 permutações. Portanto, temos 3×6 =
18.
P(A e B serem escolhida) = P(ABC , ABD, ABE e suas posśıveis permutações) = 18×(P(A)×P(B)×
P(C )) = 30× (1/5× 1/5× 1/5) = 0, 144.
Questão 5. Um exame realizado em jovens que conclúıram o curso fundamental mostrou que 20%
foram reprovados em Matemática, 10% foram reprovados em Português e 5% foram reprovados tanto
em Matemática como em Português. Os eventos ‘ser reprovado em Matemática’ e ‘ser reprovado em
Português’ são independentes?
Vamos definir M como o evento ‘ser reprovado em Matemática’ e P como ‘ser reprovado em Português’.
Vimos que se M é independente de P, então P(M|P) = P(M) ou P(P|M) = P(P). Temos também:
P(M) = 0, 2
P(P) = 0, 1
P(M ∩ P) = 0, 05
P(M|P) = P(M∩P)P(P) =
0,05
0,1 = 0, 5 6= P(B)
P(P|M) = P(M∩P)P(M) =
0,05
0,2 = 0, 25 6= P(A)
Quando condicionamos um evento ao outro, a probabilidade se altera. Ou seja, os eventos NÃO são
independentes.
Dica para interpretação: Vamos analisar P(M|P) representando a probabilidade do aluno ser reprovado
em Matemática dado que foi reprovado em Português. A chance de um aluno ser reprovado em Matemática,
em geral, é 20%. Uma vez que sabemos que ele já foi reprovado em Português, essa chance aumenta para
50%.
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Questão 6. A probabilidade de determinado teste para a Aids dar resultado negativo em portadores
de anticorpos contra o v́ırus (falso-negativo) é 10%. Supondo que falsos-negativos ocorrem de forma
independente, qual é a probabilidade de um portador de anticorpos contra o v́ırus da Aids, que se apresentou
três vezes para o teste, ter tido, nas três vezes, resultado negativo?
P(3 resultados negativos) = 0, 1× 0, 1× 0, 1 = 0, 001.
Questão 7. Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sangúıneo O é de 40%, ser A é de
30% e ser B é de 20%. Suponha ainda que o fator Rh não dependa do tipo sangúıneo e que a probabilidade
de Rh+ é de 90%. Nessas condições, calcule a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população
ser:
(a) O, Rh+
(b) AB, Rh–
P(O) = 0, 4
P(A) = 0, 3
P(B) = 0, 2
P(Rh+) = 0, 9
a) Pela independência, temos P(O+) = P(O ∩ Rh+) = P(O)× P(Rh+) = 0, 4× 0, 9 = 0, 36.
b) P(AB) = 1− P(ABc) = 1− (P(A) + P(B) + P(O)) = 1− (0, 4 + 0, 3 + 0, 2) = 0, 1.
P(Rh−) = 1− P(Rh+) = 1− 0, 9 = 0, 1.
P(AB−) = P(AB ∩ Rh−) = P(AB)× P(Rh−) = 0, 1× 0, 1 = 0, 01.
Questão 8. Abaixo temos a tabela com a distribuição de mulheres com implante mamário e o fato de
terem ou não doenças do tecido conjuntivo. A partir dela, responda as seguintes questões:
Implante Tem doença Não tem doença Total
Sim 5 744 749
Não 10 1488 1498
Total 15 2232 2247
(a) Qual é a probabilidade de uma mulher escolhida ao acaso ter a doença?
(b) Qual é a probabilidade de uma mulher escolhida ao acaso ter implante?
(c) Os eventos ‘ter a doença’ e ‘ter implante’ são disjuntos?
(d) Os eventos ‘ter a doença’ e ‘ter implante’ são independentes?
(e) Na sua opinião, podemos considerar que ter implante mamário gera riscos de saúde à população
feminina em geral?
a) P(‘ter a doença’) = 15/2247
b) P(‘ter implante’) = 749/2247
c) Eventos disjuntos são aqueles que não possuem interseção. Pela tabela vemos que existem mulheres
que tem a doença e possuem implante. Assim, estes eventos não são disjuntos.
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d) P(‘ter a doença’ e ‘ter implante’) = 5/2247
P(‘ter a doença’|‘ter implante’) = P(‘ter a doença’ e ‘ter implante’)P(‘ter implante’) =
5/2247
749/2247 = 5/749 = 15/2247 = P(‘ter a doença’).
Portanto, os eventos são independentes.
e) Pelo calculado na questão anterior, vimos que os eventos são independentes. Ou seja, esperamos que
a proporção de mulheres que tenha a doença seja semelhante tantos nas que possuem ou não implantes
mamários. Assim, temos evidência de que implantes mamários não aumenta o risco para doenças do tecido
conjuntivo.
Questão 9. Atente para o trecho da reportagem a seguir:
Pessoas altas correm mais risco de desenvolver
câncer, aponta estudo1.
(...)
O câncer se desenvolve quando o controle normal
pelo corpo das células deixa de funcionar, abrindo
caminho para o desenvolvimento de células can-
ceŕıgenas que se manifestam como tumores.
O estudo, publicado narevista Proceedings of
Royal Society B, sugere que o risco de desenvolver
diferentes tipos de câncer é mais provável em pessoas
altas, simplesmente porque eles têm mais células e,
portanto, maior probabilidade que essas células se
tornem cancerosas (...).
Se estudarmos dois grupos em nossa população: o primeiro com pessoas consideradas de estatura
mediana e o outro com pessoas consideradas altas. Ambos os grupos possuem integrantes com mesma
faixa etária e hábitos alimentares similares. É esperado que observemos mais casos de câncer no segundo
grupo.
No entanto, Suponha que isto não ocorreu em nosso estudo. A proporção de pessoas doentes foi
semelhantes para ambos os grupos. Existe(m) argumento(s) para este resultado? Se sim, qual(is) seria(m)?
Apesar de esperado, esse estudo é somente uma única replicação de um experimento aleatório. Não
é porque a probabilidade é definida que, de fato, irá ocorrer. Além disso, vimos que com o aumento da
amostra, a proporção tende a se estabilizar próximo da verdadeira probabilidade. No entanto, nosso estudo
contém um número limitado de pessoas.
Questão 10. Atente para o trecho da reportagem a seguir:
Matemático aponta como aumentar chances de
ganhar na Mega-Sena2.
(...)
O que a ciência dos números tem a nos dizer não
é tão animador. A probabilidade de você acertar os
números premiados com um bilhete de seis dezenas é
uma em 50 milhões, enquanto a chance de ser atin-
gido por um raio é uma em 1,5 milhão. Ou seja, é
33 vezes mais fácil um raio cair na sua cabeça que
você escalar os degraus da riqueza.
Saiba que também é mais provável conseguir ser
canonizado. As chances de se tornar um santo é de
uma em 20 milhões (...).
Mas, seja otimista. Você já conseguiu um feito
mais dif́ıcil do que ganhar na loteria: nascer. A
chance de fecundação é uma em 300 milhões, apro-
ximadamente seis vezes mais dif́ıcil que ser premiado
(...).
A partir do texto, responda as seguintes questões:
(a) A probabilidade de ganhar na loteria é 1/50 mi. Isto significa que se eu jogar 50 milhões de vezes, é
certo de que irei ganhar pelo menos uma vez?
1Publicado em 24/10/2018, 15h00 por AFP
2Publicado em 20/09/2019, 18h49 por Correio Braziliense
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(b) Se a chance de fecundação é muito menor do que a de ganhar na loteria, por que há mais bebês
nascendo do que vencedores da loteria?
a) Falso. Não é porque a probabilidade é 1/50 mi que irá ocorrer 1 vez a cada 50 milhões de jogos.
Porém, é esperado que isso ocorra em média.
b) Por conta da repetição de experimentos. Vamos pensar no caso do Brasil. O sorteio das poucas
loterias, em geral, ocorre semanalmente. Por outro lado, existem milhões de casais que se relacionam
diariamente. Tudo é uma questão numérica. Mas, proporcionalmente, esperamos mais ganhadores da
loteria do que nascimentos. Probabilidade não é um conceito tão intuitivo quanto parece e é muito
importante compreende-la.
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