Gabarito_Probabilidade e Estatística

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Gabarito
utoatividades
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2018
Prof.ª Ana Luisa Fantini Schmitt
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Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2018
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
Questão única - Para exercitar, você pode montar a árvore de 
possibilidades para o exemplo anterior. Outra sugestão é acrescentar 
mais um tipo de roupa para montar o conjunto. Que tal pensar se você 
tivesse que escolher também entre três casacos? Será que suas opções 
aumentariam? 
R.: Agora, além de sete blusas, quatro calças e dois sapatos você tem também 
três casacos.
Pelo princípio fundamental da contagem, suas opções serão:
7 · 4 · 2 · 3 = 168 opções diferentes de conjuntos, ou seja, suas opções 
aumentariam sim!
TÓPICO 1
Questão única - Você percebeu a diferença quando a ordem dos 
elementos importa e quando ela não importa? Essa é a principal 
diferença entre arranjos e combinações! 
Faça um rápido exercício, considere os números 3, 5 e 7. Agora forme as 
combinações e os arranjos possíveis com estes elementos, tomados dois a 
dois. 
R.: Combinações: 35 – 37 – 57
Veja que a ordem não importa, e o que vale é formar números com algarismos 
diferentes e entender que o 35 e o 53 seriam a mesma representação para 
o 3 e o 5.
Arranjos: 35 – 37 – 53 – 57 – 73 – 75
Veja que a ordem importa, afinal, invertendo a posição dos números, obtemos 
um novo número!
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TÓPICO 1
Questão única - Antes de passar para o próximo tópico, olhe só a questão 
que estava no ENADE 2005 (questão 12) do curso de Licenciatura em 
Matemática. 
Um restaurante do tipo self-service oferece 3 opções de entrada, 5 de 
prato principal e 4 de sobremesa. Um cliente desse restaurante deseja 
compor sua refeição com exatamente 1 entrada, 2 pratos principais 
e 2 sobremesas. De quantas maneiras diferentes esse cliente poderá 
compor a sua refeição?
Tente você resolver esta situação! A dica é montar o esquema de 
possibilidades de acordo com a quantidade de entradas, pratos principais 
e sobremesas que o cliente vai comer. Saiba que a resposta é 180. 
R.: Entrada: 3!/(1!2!) = 3/1 = 3 
Prato principal: 5!/(2!3!) = (5.4)/(2.1) = 10 
Sobremesa: 4!/(2!2!) = (4.3)/(2.1) = 6
Ao multiplicar as possibilidades de entrada, prato principal e sobremesa 
chegamos em 3 ∙ 10 ∙ 6 = 180
TÓPICO 1
Questão única - Exercite agora mesmo, desenvolva (x + a)n para n = 4 
e para n = 5.
R.: Para n = 4, (x + a)4 = 1x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + 1a4
Para n = 5, (x + a)5 = 1x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + 1a5
TÓPICO 1
Questão única - Agora, acadêmico(a), é com você! Faça o mesmo 
procedimento do exemplo 1, só que utilize (x - 5)6. A sugestão é que 
você encontre o terceiro e o quinto termos e desenvolva utilizando o 
Binômio de Newton. Lembre-se dos passos a serem seguidos! E outra, 
lembre-se de que (x - 5)6 é o mesmo que (x + (- 5))6. 
R.: 
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TÓPICO 1
1 Uma fábrica de bicicletas produz três modelos diferentes e para cada 
um deles os clientes podem escolher entre cinco cores e dois tipos 
de assentos. Além disso, opcionalmente, pode ser acrescentado 
o espelho retrovisor ou o assento traseiro ou ambos. Quantos 
exemplares diferentes de bicicletas você pode escolher nesta fábrica? 
R.: Trata-se de uma série de escolhas:
• escolha do modelo (3 modos)
• escolha da cor (5 modos)
• escolha do assento (2 modos)
• escolha do opcional espelho retrovisor (2 modos: sim ou não)
• escolha do opcional assento traseiro (2 modos: sim ou não)
Então há 3 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 120 exemplares diferentes de bicicletas.
2 Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA apresentam as vogais 
juntas, na ordem alfabética? E as vogais juntas, em qualquer ordem? 
R.: A palavra MATEMÁTICA possui 10 letras, sendo que as vogais são 5 e 
na ordem alfabética aparecem assim: AAAEI
Entendendo que a sequência de vogais deve ocupar o espaço de 5 
letras sequenciais, temos a possibilidade de permutar 6 vezes, gerando 
anagramas anagramas.
E as vogais juntas, em qualquer ordem? 
Se as vogais podem estar em qualquer ordem, multiplicamos os 180 
anagramas do item anterior pelas possibilidades de combinação das próprias 
vogais no espaço que ocupam, o que resultará em 
Assim, com a possibilidade de considerar as vogais em qualquer ordem, os 
anagramas são 3600.
3 Com os algarismos ímpares, quantos números de quatro algarismos 
distintos, maiores que 5 319, você pode escrever? 
R.: Considere os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9
180
2
3456
!2!2
!62,2
6 =
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=P
2045
!3
!53
5 =⋅==P 20 . 
para completar as 4 lacunas
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* 1º algarismo maior que 5: 482·3·4·2
2342
5
=→
>
48
* 1º algarismo igual a 5 e 2º algarismo maior que 3: 122·3·2·1232
3
1
5
=→
>=
12
4 Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos 
possíveis pode associar 6 destas substâncias se, entre as 10, 
duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura 
explosiva? 
R.: Os compostos que não podem se misturar serão A e B. Exceto estes, há 
mais 8 que não têm nenhuma restrição. Então há 3 possibilidades:
i) Associar a substância A e mais 5 substâncias entre as outras 8.
Já temos a substância A e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para 
isso temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 
5 a 5, ou seja C(8, 5):
C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!]
C(8, 5) = 8!/[5!.(8 - 5)!]
C(8, 5) = 56
Então, com a substância A, como não podemos misturar a substância B, 
podemos formar 56 misturas de 6 compostos.
ii) Associamos a substância B e mais 5 substâncias entre as outras 8. Já 
temos a substância B e queremos escolher 5 entre as 8 restantes. Para isso 
temos que calcular o número de combinações de 8 elementos tomados 5 a 
5 novamente:
C(8, 5) = 56
Então, com a substância B, como não podemos misturar a substância A, 
podemos formar 56 misturas de 6 compostos.
* 1º algarismo igual a 5, 2º algarismo igual a 3 e 3º algarismo maior que 1: 
42·2·1·1
22
1
1
3
1
5
=→
>==
* 1º algarismo igual a 5, 2º algarismo igual a 3, 3º algarismo igual a 1 e 4º 
algarismo maior que 9: 
Assim 48 + 12 + 4 + 0 = 64 são os números que podem ser escritos.
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iii) Associamos 6 das 8 substâncias sem problemas. Agora precisamos 
calcular o número de subconjuntos de 6 elementos que podemos formar a 
partir do conjunto de 8 elementos. Isso é obtido pela fórmula da combinação 
de 8 elementos tomados 6 a 6:
C(n, p) = n!/[p!.(n - p)!]
C(8, 6) = 8!/[6!.(8 - 6)!]
C(8, 6) = 28
Então podemos formar 28 misturas de 6 elementos com os 8 elementos fora 
A e B.
Para saber o total de misturas temos que somar os itens i), ii) e iii), que são 
todas as associações possíveis: 56 + 56 + 28 = 140 maneiras.
5 Na figura a seguir há 9 pontos, entre os quais não há 3 colineares, 
exceto os 4 que marcamos numa mesma reta. Quantos triângulos 
existem com vértices nestes pontos? 
R.: Caso não existissem os 3 pontos colineares, o número de triângulos seria C(9, 
3). Porém, desse número, devemos subtrair as combinações formadas por 3 
pontos escolhidos entre os 4 alinhados, isto é, C(4, 3),pois essas combinações 
não correspondem a triângulos. 
Assim, o número de triângulos é resultante da subtração entre C(9, 3) e C(4, 3).
Logo: C(9,3) – C(4, 3) = 84 – 4 = 80.
6 De uma novela participam 8 atores e 12 atrizes. Para uma cena que será 
filmada na Europa, apenas 6 participantes deverão viajar, sendo 3 atores 
e 3 atrizes. De quantos modos podem ser escolhidos os participantes 
desta cena? 
R.: Observe que são duas combinações, uma para atores e outra para atrizes.
Temos então uma multiplicação das combinações C(8,3) e C(12,3), o que 
resultará em 
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7 Numa urna há 12 etiquetas numeradas, 6 com números positivos e 
6 com números negativos. De quantos modos podemos escolher 4 
etiquetas diferentes tais que o produto dos números nelas marcados 
seja positivo? 
R.: Para que o produto seja positivo, devem-se considerar as seguintes 
situações:
- 4 etiquetas positivas;
- 4 etiquetas negativas;
- 2 etiquetas positivas e 2 negativas.
8 Na loteria são sorteados 6 números entre os naturais 0, 1, 2, 3, ..., 60. Quantos 
são os resultados possíveis para o sorteio? Quantos são os resultados 
possíveis formados por três números pares e três ímpares? Quantos são 
os resultados possíveis com pelo menos quatro números pares?
R.: Os resultados possíveis são 
(mais de 50 milhões).
Para 3 números pares e 3 ímpares temos: 
- Pares:
- Ímpares: 
Multiplicando possibilidades de pares e ímpares, temos 16.483.600 (mais 
de 16 milhões).
Para pelo menos 4 números pares, temos:
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Somando as 3 possibilidades 11.921.175 + 4.275.180 + 593.775 = 16.790.130
9 Sobre uma mesa estão 4 copos de suco de laranja, 3 de caju e 2 de 
manga. De quantos modos diferentes pode-se distribuí-Ios entre 9 
crianças, dando um copo de suco para cada uma? 
R.: Temos 9 crianças e 9 copos de sucos, de frutas diferentes (4 de laranja, 
3 de caju e 2 de manga).
Vamos interpretar como sendo uma permutação com repetições, o que 
resultará em 
10 De quantos modos podemos formar uma sucessão de três números 
naturais (a, b, c), não necessariamente distintos, cuja soma é igual 
a 10? 
R.: Considere o primeiro número natural o 1. Temos, por tentativas, iniciando 
no 1; considere ainda que cada tentativa tem suas permutações:
O que resulta em 3 + 6 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 36 sucessões.
11 0 gráfico da função y = ax + b no plano cartesiano é uma reta. Se a e 
b são números inteiros, 1 ≤ a ≤ 9 e 1 ≤ b ≤ 9, quantas retas podem-se 
traçar? 
R.: Vamos considerar então 9 números para a e 9 números para b.
Para traçar uma reta é necessário haver dois pontos. Considerando que b é 
o ponto em que a reta corta o eixo y, temos 9 possibilidades para cada valor 
de a, o que resulta em 81 possibilidades.
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12 Num restaurante, o cardápio oferece escolha entre cinco sopas, três 
pratos principais, quatro sobremesas e seis bebidas. Uma refeição 
consiste obrigatoriamente num prato principal e numa bebida, 
podendo ser acrescidos, opcionalmente, de uma sopa, ou de uma 
sobremesa, ou de ambas. Quantos tipos de refeições, todas diferentes 
entre si, podem-se fazer?
R.: Para compor uma refeição, temos que escolher, obrigatoriamente, um 
prato principal, o que pode ser feito de 3 modos distintos, uma bebida, que 
pode ser escolhida de 6 modos distintos. 
Agora, com relação à escolha da sopa, temos 6 opções distintas, os 5 
tipos disponíveis no cardápio e a opção de não acrescentar uma das sopas 
à refeição. 
De modo semelhante, temos 5 opções para a escolha da sobremesa: os 
4 tipos disponíveis no cardápio e a opção de não escolher nenhuma delas. 
Portanto, é possível fazer 3 x 6 x 6 x 5 = 540 tipos de refeições, todas 
diferentes entre si.
13 Uma fábrica de automóveis produz três modelos de carros. Para cada 
um, os clientes podem escolher entre sete cores diferentes; três tipos 
de estofamento, que podem vir, seja em cinza, seja em vermelho; 
dois modelos distintos de pneus; e entre vidros brancos ou vidros 
verdes. Ademais, opcionalmente em um pacote, é possível adquirir 
os seguintes acessórios: um porta-copos; uma de duas marcas de 
rádio ou um modelo de CD player; um aquecedor de bancos; e um 
câmbio automático. Quantos exemplares de carros distintos entre si 
a fábrica chega a produzir?
R.: Vamos multiplicar as possibilidades de montagem do carro: 3 modelos x 
7 cores x 3 tipos de estofamento x 2 cores de estofamento x 2 modelos de 
pneus x 2 modelos de vidros. Até aqui há 504 possibilidades.
Com os opcionais temos, 2 (com ou sem porta copos) x 4 (com um dos dois 
rádios, ou o CD player ou sem som) x 2 (com ou sem aquecedor de bancos) 
x 2 (com ou sem câmbio automático), o que resulta em 32 opções. 
Assim, temos 504 x 32, ou seja, 16.128 opções de montagem do carro.
14 Deseja-se dispor em fila cinco estudantes para uma apresentação na 
escola: Jairo, Débora, Emília, Cristiane e Rafael. Calcule o número 
das distintas maneiras que elas podem ser dispostas de modo que 
Cristiane e Rafael fiquem sempre vizinhos. 
R.: Imagine que Cristiane e Rafael sejam uma pessoa e ocuparão 1 posição, ok?
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15 Considere os números obtidos do número 12.345 efetuando-se todas 
as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em 
ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43.521? 
R.: Primeiro vamos considerar os números iniciados em 1, 2 e 3.
Iniciando em 1, temos 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24, o mesmo para os iniciados em 
2 e em 3. Ou seja, são 72 números iniciados em 1, 2 ou 3 (72 maneiras).
Dos iniciados em 4 queremos o 43.521. Podemos contar todos os possíveis 
números iniciados em 4 seguidos de 1, veja: 41235 – 41253 – 41325 – 
41352 – 41523 – 41532 (6 maneiras).
O mesmo vale para os iniciados em 42 (6 maneiras).
Para os iniciados em 43, temos:
43125 – 43152 – 43215 – 43251 – 43512 – 43521
Observe que encontramos o número que queríamos! (6 maneiras). Sendo 
assim, o 43.521 ocupa a posição 90 de todos os números formados com os 
algarismos 12.345.
16 Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos 
distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9. 
R.: Para ser múltiplo de 3 o número deve ter uma característica, ter a soma 
de seus algarismos divisível por 3. Para resolver este problema a sugestão é 
listar todas as possibilidades de números de 4 algarismos distintos, iniciando 
pelo 2, por exemplo, que atendem à regra.
Por exemplo: 2.346 é divisível por 3, pois ao somar 2+3+4+6 resulta em 15, 
que é divisível por 3.
Fazendo o mesmo com as demais possibilidades, chega-se ao resultado final.
Resultado final = 72 números.
17 Uma pessoa faz uma relação de nomes de onze pessoas amigas. 
Calcule de quantas maneiras ela poderá convidar cinco destas pessoas 
para jantar sabendo-se que na relação há um único casal inseparável. 
R.: Neste caso, resolva considerando as duas situações. Primeiro, considere 
que o casal não será escolhido, depois, considere que o casal será 
_, _, _, _, _
Sendo assim, temos não mais 5, e sim 4 posições para preencher, das quais 
uma é de Cristiane e Rafael juntos, e as outras três de Jairo, Débora e 
Emília.
Temos então: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 maneiras de dispor os estudantes. 
Porém Cristiane e Rafael podem trocar de lugar na posição em que ocupam, 
o que indica que devemos multiplicar as 24 maneiras por 2, resultando em 
48.
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escolhido. Utilize a questão 4 como diretriz para esta resposta. Resposta = 
210 maneiras.
18 Num zoológico há dez animais, dos quais devem ser selecionados 
cinco para ocupar determinada jaula. Se entre eles há dois que devem 
permanecer sempre juntos,encontre o total de maneiras distintas de 
escolher os cinco que vão ocupar tal jaula. 
R.: Para responder a esta pergunta siga o mesmo método da pergunta 17. 
Resposta = 112 maneiras.
19 Tomam-se 6 pontos sobre uma reta e 8 pontos sobre uma paralela a 
esta reta. Quantos triângulos existem com vértices nesse conjunto 
de 14 pontos?
R.: Como três pontos colineares não formam um triângulo é necessário que 
enquanto dois pontos estiverem em uma reta o terceiro ponto esteja na 
outra. Assim, considerando 2 pontos na 1ª reta e um na 2ª, temos: C(6,2)·8 = 
15·8 = 120. E considerando 2 pontos na 2ª reta e 1 na 1ª temos: C(8,2)·6 = 
28·6 = 168. 
20 A diretoria de uma empresa multinacional é constituída por 7 diretores 
brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 
japoneses podem ser formadas? 
R.: Não há ordem de importância nesta diretoria, por isso trata-se de uma 
combinação. Basta fazer uma combinação para os brasileiros e uma para os 
japoneses e multiplicá-las. Observe:
C(7,3)·C(4,3) = 35·4 = 140
Multiplicando as duas combinações, temos 140 possibilidades de formar a 
diretoria com brasileiros e japoneses.
21 Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos 
é possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 bolas sejam pretas? 
R.: Considere que pelo menos 4 devem ser pretas. Então, poderemos ter:
• 4 pretas e 3 brancas: C(10,4)·C(6,4) = 120·15 = 1.800
• 5 pretas e 2 brancas: C(10,2)·C(6,5) = 45·6 = 270
• 6 pretas e 1 branca: C(10,1)·C(6,6) = 10·1 = 10
Somando as 3 possibilidades temos 1.800 + 270 + 10 = 2.080 modos.
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1 8 28 56 70 56 28 8 1
Assim, o termo médio é o que acompanha o 70. 
Ou você também pode entender o termo do meio como o quinto termo, uma 
vez que no desenvolvimento de (2x + 1)8 há 9 termos, pois n = 8. Lembre-
se de que o número de termos é sempre n + 1, ou seja, 9. Sendo assim, o 
Termo Geral é dado por: 
22 Numa reunião de 20 professores, exatamente 6 lecionam Matemática. 
Qual o número de comissões de 4 professores que podem ser 
formadas de modo que exista no máximo um professor de Matemática 
na comissão? 
R.: Seguindo a mesma linha de raciocínio da pergunta 21, vamos pensar 
nas situações. Utilizando o princípio fundamental da contagem, pode-se 
resolver:
• 1 professor de matemática e 3 de outras disciplinas: 6 ∙ C(14,3) = 6 · 364 = 
2.184
• Nenhum professor de matemática e 4 de outras disciplinas: C(14,4) = 1.001
Somando as duas possibilidades de formar as comissões, temos 2.184 + 
1.001 = 3.185.
23 Num exame, um professor dispõe de 12 questões que serão entregues 
a três alunos, cada um recebendo quatro questões. Quantas diferentes 
situações teremos? 
R.: Primeiro pense em quantas possibilidades de provas podemos formar se 
temos 12 questões para utilizar 4. Observe: 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 = 11880
Como temos 11.880 possibilidades de provas com 4 questões, podemos 
contabilizar as possibilidades que os três alunos poderão receber:
11880 ∙ 11879 ∙ 11878 = 1.676.253.292.560 (mais de 1,5 trilhão).
24 Qual é o valor do termo médio do desenvolvimento de (2x + 1)8?
R.: Pelo Triângulo de Pascal, temos os seguintes elementos:
Tk+1 = 





k
8
 (2x)8 – k 1k 
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Lembre que n é igual a 8 e que o expoente de 2x somado ao expoente de 1, 
que é k, deve resultar em 8. 
Para obter o quinto termo considere k = 4, pois k+1 = 4+1 = 5
Quinto termo T5 = T4+1 = 





4
8
 (2x)8 – 4 ·14 = 
!4!.4
!8
(2x)4 = 1120x4 
25 Determine o coeficiente de x3 do desenvolvimento de (4x – 5)5.
R.: O x3 no desenvolvimento de (4x - 5) 5 é o terceiro termo.
Para obter o terceiro termo (n = 3), considere k = 2, pois k = n - 1. 
Quarto termo ⇒ k = 2 ⇒ T = 4x5 – 2 (-5)2 = 
!2!.3
!5
4x3 . 25 = 500x3 
 






2
5
 
26 Determine o termo geral do desenvolvimento de (3x + 5)7.
R.: No desenvolvimento de (3x + 5)7 há 8 termos, pois n = 7. Lembre-se que 
o número de termos é sempre n + 1, ou seja, 8. Sendo assim, o Termo Geral 
é dado por: Tk+1 = 





k
7
 (3x)7 – k 5k
Lembre que n é igual a 7 e que o expoente de 3x somado ao expoente de 5, 
que é k, deve resultar em 7. 
27 Encontre o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 - x) 8.
R.: O x5 no desenvolvimento de (- x + 1) 8 é o 4º termo
Quarto termo ⇒ T4 = T3+1 = 





3
8
 (-x)8 – 3 13 = 
!3!.5
!8
(-x)5 . 1 = -56x5
28 Desenvolva (x + 6)5 a partir do Binômio de Newton.
R.: Para n = 5, (x + 6)5 = 1x5 + 5x46 + 10x362 + 10x263 + 5x64 + 65
(x + 6)5 = x5 + 30x4 + 360x3 + 2160x2 + 6480x + 7776
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TÓPICO 2
1 Se você tiver em mãos um baralho comum de 52 cartas, determine 
a probabilidade de, ao retirar aleatoriamente uma carta do baralho, 
você pegar:
a) Uma carta vermelha.
R.: Em um baralho de 52 cartas temos 26 de cada cor, ou seja, (26/52) = 
50% são vermelhas.
b) Um rei.
R.: Em um baralho de 52 cartas temos 4 reis, um de cada cor, ou seja, (4/52) 
≈ 7,7%
c) Um 6 de espadas.
R.: Há apenas um 6 de espadas no baralho, ou seja, (1/52) ≈ 1,9%
d) Um 10 vermelho ou um 4 preto.
R.: Há dois 10 vermelhos e dois 4 pretos, (4/52) ≈ 7,7%
e) Uma figura (J, Q ou K).
R.: Temos figuras dos quatro naipes, ou seja, 12 figuras no baralho completo. 
29 Determine o quarto e o sétimo termos de (6 - x)8.
R.: No desenvolvimento de (-x + 6)8 há 9 termos, pois n = 8. Lembre-se de 
que o número de termos é sempre n + 1, ou seja, 9. Sendo assim, o Termo 
Geral é dado por: 
Tk+1 = 68–k·(-x)k 
Para obter o quarto termo
Quarto termo ⇒ T4 = T3+1 = 





3
8
 68–3·(-x)3 = . .(– x)3 = -435.456x3
Para obter o sétimo termo (n = 7)
Sétimo termo ⇒ T7 = T6+1 = 





6
8
 68–6·(-x)6 = 
!2!·6
!8
62 . (– x)6 = 1.008x6






k
8
!3!·5
!8
65
16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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Assim, (12/52) ≈ 23%
2 Suponha que você lançou um dado equilibrado apenas uma vez. 
Determine então a probabilidade de a face de cima conter:
a) Um 3. R.: (1/6) = 16,67%
b) Um número par. R.: (3/6) = 50%
c) Um número ímpar. R.: (3/6) = 50%
d) Um número menor que 6. R.: (5/6) = 83,33%
3 Agora, suponha que você lançou um dado equilibrado duas vezes e 
observou a face que caiu voltada para cima. Determine:
R.:
a) Os elementos do espaço amostral.
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), 
(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
b) Os elementos do evento B: sair soma 7 em suas faces.
B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,5), (5,2), (6,1)}
c) Os elementos do evento C: sair o mesmo número em ambas as faces. 
C = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 
d) Os elementos do evento D: sair soma menor que 10 em suas faces. 
D = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), 
(5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3)}
e) Os elementos do evento E: sair com soma maior que 12 em suas faces. 
E = { }
4 No famoso jogo de loteria, a mega-sena, são sorteadas 6 dezenas. 
Você pode montar seu jogo escolhendo algumas entre as 60 dezenas. 
Suponha que você escolheu 10 dezenas, qual é a probabilidade de 
você acertar:
R.: n (S) = 50.063.860 (C60,6)
a) 4 dezenas? 
1º passo: calcular o número de elementos do evento “X: acertar 4 dezenas 
e errar 2 dezenas”. 
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Assim P(Y) = 12.600 = 0,000252 = 0,000252 % 
 50.063.860 
c) 6 dezenas? 
1º passo: calcularo número de elementos do evento “Z: acertar 6 dezenas”, 
n(Z) = C(10,6) = 252
Assim P(Z) = 252 = 0,000005033 = 0,0005033 %
5 Você jogou dois dados perfeitos e pretende analisar a soma das faces 
voltadas para cima. Qual é a probabilidade de essa soma ser 6?
R.: Possibilidades de a soma ser 6:
1 + 5
2 + 4
3 + 3
3 + 3
4 + 2
5 + 1 
Ou seja, são 6 possibilidades em 36 (6/36) ≈ 16,67%.
6 Num sorteio de um número natural de 1 a 150, qual é a probabilidade 
de sair um número múltiplo de 10 ou de 15?
R.: - Múltiplo de 10: (15/150) = 10%
- Múltiplo de 15: (10/150) ≈ 6,67%
7 No lançamento simultâneo de um dado honesto e uma moeda honesta, 
qual é a probabilidade de se obter um 5 ou uma cara?
~
~
E1: acertar 4 dezenas (C(10,4) = 210)
E2: errar 2 dezenas (C(50,2) = 1.225)
Então temos n(X) = 210 · 1.225 = 257.250
Assim P(X) = 
b) 5 dezenas? 
1º passo: calcular o número de elementos do evento “Y: acertar 5 dezenas 
e errar 1 dezena”. 
E1: acertar 5 dezenas (C(10,5) = 252)
E2: errar 1 dezena (C(50,1) = 50)
Então temos n(Y) = 252 · 50 = 12.600
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R.: - Um 5: (1/6) = 16,67%
- Uma moeda: (1/2) = 50%
8 Uma urna contém 9 bolas verdes numeradas de 1 a 9 e 6 bolas azuis 
numeradas de 10 a 15. Se você, ao acaso, retirar uma das bolas, qual 
será a probabilidade:
a) De sair uma bola verde? R.: (9/15) = 60%
b) De sair uma bola com número ímpar? R.: (8/15) ≈ 53,33%
c) De sair uma bola azul com número par? R.: Sair bola azul: (6/15) = 40% 
e sair número par azul (3/6) = 50%, ou seja, 20% de sair bola azul com 
número par.
9 Uma máquina produziu 200 peças, das quais 25 estavam com 
defeito. Ao retirar, aleatoriamente, 4 peças, com reposição, qual é a 
probabilidade de que:
R.: Temos: n(S) = 200, 25 peças com defeitos e 175 perfeitas.
a) Todas sejam perfeitas?
Sejam os eventos “A: retirar a 1º peça perfeita”, “B: retirar a 2º peça 
perfeita”,“C: retirar a 3º peça perfeita” e “D: retirar a 4º peça perfeita”. Como 
os eventos são dependentes, temos as seguintes probabilidades:
P (A∩B∩C∩D) = 
b) Todas tenham defeito?
Sejam os eventos “E: retirar a 1ª peça defeituosa”, “F: retirar a 2ª peça 
defeituosa”,“G: retirar a 3ª peça defeituosa” e “G: retirar a 4ª peça defeituosa”. 
Como os eventos são dependentes, temos as seguintes probabilidades:
P (E∩F∩G∩H) = 25 . 25 . 25 . 25 = 390.625 = 0,000244
 200 200 200 200 1.600.000.000
c) Pelo menos uma seja perfeita?
Nesse caso pode sair: 1 peça perfeita, ou 2 peças perfeitas, ou 3 peças 
perfeitas ou 4 peças perfeitas.
Como calcular a probabilidade para todos os casos e depois somar o resultado 
pode ser trabalhoso, vamos calcular a probabilidade de sair nenhuma peça 
perfeita (ou todas defeituosas) e tomar sua probabilidade complementar.
~
586,0
200
175.
200
175.
200
175.
200
175
≅=
0001.600.000.
5937.890.62
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Como já conhecemos essa probabilidade da letra b 390.625 , temos como 
resultado 1.600.000.000
1 - 390.625 = 0,9998
 1.600.000.000 
d) Pelo menos uma tenha defeito?
Utilizamos o mesmo raciocínio da questão anterior, porém vamos subtrair de 
1 a probabilidade de todas serem perfeitas:
1 - 937.890.625 = 0,414
 1.600.000.000 
10 Numa sala de aula com 28 estudantes, 15 são meninos e 12 são 
morenos, dos quais 7 são meninas. Escolhendo um estudante ao 
acaso, qual é a probabilidade de ele ser moreno ou menina?
R.: Temos então: 15 meninos e 13 meninas.
- 12 morenos (7 meninas e 5 meninos) e 16 não morenos
Então, a probabilidade de ser moreno é (12/28) ≈ 43% e de ser menina é 
(15/28) ≈ 54%.
11 A probabilidade de que o filho de um casal nasça com olhos verdes é 1. 
 Se o casal tiver três filhos, qual é a probabilidade de todos terem olhos 4 
 verdes? E de nenhum ter olhos verdes? E de pelo menos um ter olhos 
verdes?
R.: Seja o evento “A: 1º filho nascer com olhos verdes”, “B: 2º filho nascer 
com olhos verdes” e “C: 3º filho nascer com olhos verdes”.
Como os eventos são independentes P(A) = 1 , P(B) = 1 e P(C) = 1,
 4 4 4
assim, P(A∩B∩C) = 1 . 1 .1 . = 1
 4 4 4 64
Como a probabilidade de não nascer com olhos verdes é 3, temos que 
P =3/4, P = 3/4. e P = 3/4. Assim a probabilidade de nenhum ter 
olhos verdes é 
 
P
A probabilidade de pelo menos um ter olhos verdes é a probabilidade 
complementar de nenhum ter olhos verdes, assim P (pelo menos um ter olhos 
~
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verdes) = 1 – 27/64 = 37/64 = 57,81%.
12 Um grupo de 83 estudantes apresenta, de acordo com o sexo e a 
altura, a seguinte situação:
Menos de 1,40 m De 1,40 m a 1,60 m Mais de 1,60 m
Meninos 15 12 8
Meninas 11 24 13
Escolhendo uma pessoa desse grupo ao acaso, determine:
a) A probabilidade de ser um menino. R.: P (35/83) ≈ 42%
b) A probabilidade de ser uma menina com menos de 1,40 m. R.: P (11/83) 
≈ 13%
c) A probabilidade de ser um menino, se o escolhido tiver de 1,40 m a 1,60 m.
R.: P (12/36) ≈ 33%
d) A probabilidade de ser uma menina, se o escolhido tiver no máximo 1,60 m.
R.: P (35/62) ≈ 56%
13 Uma prova é composta por 15 questões e cada uma possui 4 
alternativas, das quais apenas uma é correta. Para alguém que esteja 
respondendo aleatoriamente uma alternativa em cada questão, qual 
é a probabilidade de:
a) Acertar as 15 questões?
R.: A probabilidade de acertar cada questão é ¼, então, a probabilidade de 
acertar a 1ª e a 2ª e a 3ª ... e a 15ª é (¼)15.
b) Errar as 15 questões?
R.: A probabilidade de errar cada questão é ¾, então, a probabilidade de errar 
a 1ª e a 2ª e a 3ª ... e a 15ª é (¾)15.
c) Acertar 2 das questões? 
 3
R.: O primeiro passo é determinar de quantas formas se podem acertar 10 
questões: C15,10 = 3003 (podem ser as cinco primeiras, ou as cinco últimas, 
ou intercaladas, ...). Como calcular a probabilidade para cada uma delas é 
trabalhoso, vamos calcular para uma (acertar as 10 primeiras) e multiplicar 
o resultado por 3003.
Acertar as 10 primeiras:
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Acertar 10 questões: 
 
 3003 . 243 = 729.729 = 0,00068 = 0,068 % 
 1.073.741.824 1.073741.824
~~
TÓPICO 3
1 Uma caixa em forma de urna contém 5 bolas azuis e 3 rosa. E uma 
segunda caixa contém 3 bolas azuis e 2 rosa. Se uma bola azul é sorteada 
ao acaso, qual é a probabilidade de ela ter vindo da primeira caixa?
R.: Seja o evento “B: sair bola azul”.
Há duas urnas e a probabilidade de escolher uma das duas urnas é ½. Assim, 
P(U1) = P(U2) = ½ 
A probabilidade de sair bola azul dado que escolheu a U1 é 5/8.
P(B/U1) = 5/8
A probabilidade de sair bola azul dado que escolheu a U2 é 3/5.
P(B/U2) = 3/5
Queremos saber a probabilidade de a bola ter vindo da U1 dado que saiu 
uma bola azul, ou seja: P(U1/B) = ?. Aplicando o Teorema de Bayes:
 243 
1.073.741.824
2 Três empresas de brinquedos A, B e C produziram, respectivamente, 
40%, 50% e 10% do total de brinquedos de uma escola. A porcentagem 
de brinquedos defeituosos da fábrica A é 3%, da fábrica B é 5% e 
da fábrica C é 2%. Uma criança recebeu, ao acaso, um brinquedo 
defeituoso. Qual é a probabilidade de que essa peça tenha vindo da 
fábrica B? Qual das empresas tem mais chance de ter fabricado a 
peça defeituosa?
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3 Considerando os dados da questão anterior, determine qual é a 
probabilidade de uma criança receber um brinquedo defeituoso.
R.: Essa probabilidade é representada pelo denominador do Teorema de 
Bayese é 0,039.
4 Uma urna contém 9 bolas: 3 pretas, 1 branca e 5 vermelhas. Uma 
segunda urna contém 9 bolas: 4 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. 
E uma terceira urna contém 8 bolas: 2 pretas, 3 brancas e 3 vermelhas. 
Escolheu-se uma urna, ao acaso, e dela se extraiu uma bola, ao acaso. 
Verificando-se que a bola sorteada é branca, qual é a probabilidade 
de a bola ter saído da terceira urna?
R.: Seja o evento “B: sair bola branca”.
Como temos três urnas, a probabilidade de escolher uma das urnas é 1/3.
P(U1) = P(U2) = P(U3) =1/3.
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U1 é 1/9.
P(B/U1) = 1/9.
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U2 é 3/9.
Como a probabilidade de a peça defeituosa ter vindo da empresa B é de 
0,6410 = 64,1%, todas as outras juntas têm probabilidade de apenas 100% 
– 64,1% = 35,9%, logo a empresa B tem a maior chance de ter fabricado a 
peça defeituosa.
R.: Seja o evento “D: sair brinquedo defeituoso”
A probabilidade de um brinquedo vir de cada fábrica é:
P(A) = 0,40 , P(B) = 0,50 e P(C) = 0,10.
A probabilidade de a fábrica A produzir um brinquedo defeituoso é: 0,03
P(D/A) = 0,03.
A probabilidade de a fábrica B produzir um brinquedo defeituoso é: 0,05
P(D/B) = 0,05.
A probabilidade de a fábrica C produzir um brinquedo defeituoso é: 0,02
P(D/C) = 0,02
Queremos saber a probabilidade de o brinquedo ter vindo da fábrica B dado 
que é um brinquedo defeituoso, ou seja, P(B/D) = ?. Aplicando o Teorema 
de Bayes:
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P(B/U2) = 3/9 = 1/3.
A probabilidade de sair bola branca dado que se escolheu a U3 é 3/8.
P(B/U3) = 3/8.
Queremos saber a probabilidade de a bola ter vindo da U3 dado que saiu uma 
bola branca, ou seja: P(U3/B) = ?. Aplicando o Teorema de Bayes:
5 O proprietário de uma facção estima que uma roupa feita por um 
funcionário experiente tem 90% de chance de não apresentar defeito 
e que uma roupa feita por um funcionário novato tem 50% de chance 
de não apresentar defeito. Se uma roupa selecionada ao acaso 
apresentar defeito, determine a probabilidade de ela ter sido feita por 
um funcionário novato, sabendo-se que 2/3 das roupas são feitas por 
funcionários experientes.
R.: Seja o evento “D: selecionar roupa defeituosa”.
A probabilidade de uma roupa ser feita por um funcionário experiente é 2/3.
P(E) = 2/3.
A probabilidade de uma roupa ser feita por um funcionário novato é 1/3.
P(N) = 1/3.
A probabilidade de um funcionário experiente fazer uma roupa defeituosa é 
10%.
P(D/E) = 10% = 1/10
A probabilidade de um funcionário novato fazer uma roupa defeituosa é 50%.
P(D/N) = 50% = ½.
Queremos saber a probabilidade de uma roupa ter sido feita por um funcionário 
novato dado que é uma roupa defeituosa, ou seja, P(N/D) = ?. Aplicando o 
Teorema de Bayes:
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6 Segundo um professor de probabilidade, a chance de um aluno se 
dar bem numa prova é de 80% se estudou e 50% se não estudou. Se 
um determinado aluno não estuda para 15% das provas que realiza, 
qual será a probabilidade de esse aluno se dar bem na prova?
R.: Seja o evento “B: se dar bem na prova”.
A probabilidade de esse aluno estudar é 85%.
P(E) = 0,85
A probabilidade de esse aluno não estudar é 15%.
P(E ) = 0,15
A probabilidade de um aluno que estudou se dar bem é 80%.
P(B/E) = 0,80
A probabilidade de um aluno que não estudou se dar bem é 50%.
P(B/E ) = 0,50
Assim P(B) = probabilidade de estudar e se dar bem + probabilidade de não 
estudar e se dar bem. Matematicamente:
P(B) = P(E) . P(B/E) + P(E ) . P(B/E ) = 0,85 . 0,80 + 0,15 . 0,50 = 0,755 = 
75,5%
7 Considerando os dados da questão anterior, qual é a probabilidade 
de o aluno ter estudado, dado que ele se deu bem na prova?
Queremos saber P(E/B) = ?. Aplicando o Teorema de Bayes:
TÓPICO 4
1 Os documentos que regem a Educação Básica são os PCN e os 
PCNEM. De que maneira eles tratam e evidenciam o ensino de 
Combinatória e Probabilidade? Comente.
R.: Nos documentos norteadores para a Educação Básica, temas relacionados 
à estatística e à probabilidade estão sempre ligados ao tratamento de 
informação, o que indica a importância do ensino de combinatória e 
probabilidade para os estudantes, desde as séries finais. Para tanto, atividades 
que envolvam o Princípio Fundamental da Contagem podem servir para 
inserir conteúdos de probabilidade já nas séries iniciais, pois os estudantes 
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posteriormente poderão explorar problemas complexos com mais facilidade, 
sobretudo no Ensino Médio.
2 A partir das duas atividades relatadas e exemplificadas neste Tópico 
4, cite e explique duas possibilidades de atividades que possam 
ser aplicadas no Ensino Fundamental e que contribuam para que o 
estudante chegue ao Ensino Médio melhor preparado para aprender 
os conteúdos referentes à Combinatória.
R.: A resposta é pessoal, mas pode girar em torno de atividades que envolvam 
o cotidiano dos estudantes, como a escolha de um celular, de um computador 
ou mesmo de uma roupa. Podem ser utilizados materiais concretos que 
incentivem os estudantes e construírem as próprias situações. 
3 No Tópico 1 você estudou a diferença entre Arranjo e Combinação, 
o que geralmente confunde os estudantes no Ensino Médio. 
Que estratégia (macete, atividade, relação, jogo etc.) você, como 
professor(a) futuramente, utilizaria em sala para que os estudantes 
não tivessem dúvidas ao resolver um problema que implicasse o uso 
de uma das duas fórmulas? 
R.: Há várias estratégias válidas, porém é necessário que eles entendam que 
os arranjos são caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos 
escolhidos, e as combinações são caracterizadas apenas pela natureza dos 
elementos, sem levar em consideração a ordem em que aparecem. Exemplos 
que envolvam rankings, pódios, comissões e diretorias servem para dar 
significado aos arranjos, por exemplo.
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 O quadro a seguir apresenta o número de acidentes com vítimas 
fatais durante o feriado de carnaval nas rodovias do estado.
Nº de vítimas fatais 0 1 2 3 4
Quantidade de acidentes 29 15 10 5 1
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Considerando a variável aleatória X o número de vítimas fatais em cada 
acidente (durante o feriadão de carnaval nas rodovias do estado), construa 
uma distribuição de probabilidades para essa variável em forma de quadro 
e determine: E(X), Var(X) e DP(X).
R.: Distribuição de probabilidades:
E(X), Var(X) e DP(X):
E(X) = x1 . P(X = x1) + x2 . P(X = x2) + x3 . P(X = x3) + x1 . P(X = x1) + x5 .P(X = x5) 
E(X) = 0 . 29 + 1 . 1 + 2 . 1 + 3 . 1 + 4 . 1 = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9 = 0,9 
 60 4 6 12 60 4 3 4 15 10
Var(X) = (0 - 0,9)2 . 29 + (1 - 0,9)2 . 1 + (2 - 0,9)2 . 1 + (3 - 0,9)2 . 1 + (4 - 0,9)2 . 1 
 60 4 6 12 60
Var(X) = 0,3915 + 0,0025 + 0,2017 + 0,3675 + 0,1602 = 1,1234 ~
2 A partir dos dados da questão anterior, construa a distribuição de 
probabilidade acumulada de X e determine a probabilidade de um 
automóvel que se envolveu em um acidente nesse feriadão ter, no 
máximo, 2 vítimas fatais.
R.:
A probabilidade de ter no máximo 2 vítimas fatais é de 9/10.
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3 Considerando o lançamento de 1 dado, determine os elementos que 
as variáveis aleatórias a seguir podem assumir:
X: pontos da face voltada para cima;
Y: pontos pares da face voltada para cima;
Z: pontos ímpares da face voltada para cima.
R.: X {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Y = {2, 4, 6} 
Z = {1, 3, 5} 
4 Construa a distribuição de probabilidadedas variáveis X, Y e Z do 
exercício anterior.
R.:
5 Num certo jogo de dados, ganha-se toda vez que saem os números 
1 ou 2. Considerando a variável aleatória X o número de vezes que 
se ganha, quais são os valores que X pode assumir em 5 jogadas?
R.: X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
6 Em uma sala de aula há 12 mulheres e 8 homens. Sorteiam-se ao 
acaso 3 alunos. Sendo a variável aleatória X o número de mulheres 
sorteadas, determine:
a) os valores que X pode assumir:
R.: X = {0, 1, 2, 3} 
b) a distribuição de probabilidade de X: 
R.: 
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c) a distribuição de probabilidade acumulada de X:
R.:
d) P(X ≤ 2), P(X ≤ 3).
R.:
7 Dada uma variável aleatória X com distribuição de probabilidade dada 
a seguir, obtenha E(X), Var(x) e DP(X).
X -3 0 1 3
P(X = xi) 0,2 0,1 0,4 0,3
R.: 
8 Uma empresa de aluguel de carros registrou os seguintes números de 
carros alugados por mês e suas respectivas probabilidades, conforme 
quadro a seguir:
X 55 66 84 39
P(X = xi) 0,38 0,29 0,20 0,13
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Considerando a variável aleatória X o número de carros alugados por mês, 
determine E(X), Var(X) e DP(X).
R.: E(X) = 55·0,38+66·0,29+84·0,2+39·0,13 = 61,91
Var(X) = (55 – 61,91)2·0,38+(66 – 61,91)2·0,29+(84 – 61,91)2·0,2+(39 – 
61,91)2·0,13 = 188,8219 
Dp(X) = 7412,138219,188 =13,7412
9 O tempo para uma criança realizar uma determinada tarefa em horas 
foi modelado por uma variável aleatória X com a seguinte distribuição 
de probabilidade:
X 0,35h 0,40h 0,45h 0,50h
P(X = xi) 0,38 0,29 0,20 0,13
Qual é o tempo esperado para uma criança realizar essa tarefa?
R.: E(X) = 0,35 . 0,38 + 0,40 . 0,29 + 0,45 . 0,20 + 0,05 . 0,13 = 0,404 h
10 Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são 
retiradas ao acaso e sem reposição. Faça X a variável aleatória 
número de bolas pretas e determine a distribuição de probabilidades 
da variável X.
R.:
TÓPICO 2
1 Uma escola recebe, em média, 20 alunos novos por ano. Qual é a 
probabilidade de que, em um ano selecionado aleatoriamente, a 
escola não receba nenhum aluno novo?
R.:
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2 Considere que a probabilidade de nascimento de menino ou menina 
é a mesma, determine a probabilidade de que, em 5 nascimentos:
a) apenas dois sejam meninos; 
R.:
b) pelo menos dois sejam meninos.
R.:
3 Uma fábrica de balões apresenta 5% da sua produção com defeito. 
Numa amostra de 100 balões, escolhidos ao acaso, qual é a 
probabilidade de:
a) 5 serem defeituosos; 
R.:
b) no máximo 3 serem defeituosos.
R.:
P(X = 0) = 1755,0
!5
5·e 55
≅
−
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4 Uma pesquisa médica verificou a eficiência de uma determinada 
droga para 95% da população. Se um médico receita essa droga para 
3 pacientes, qual é a probabilidade de a droga não ser eficiente para 
nenhum deles?
R.:
5 Um teste com 10 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas 
cada uma e com apenas uma alternativa correta, aprova o aluno que 
acertar, no mínimo, 7 questões. Qual é a probabilidade de aprovação 
de um aluno que não estudou?
R.:
6 Em uma rodovia há uma média de 5 acidentes por dia. Qual é a 
probabilidade de que, em um dia selecionado aleatoriamente,
a) ocorra nenhum acidente? 
R.:
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b) ocorram no máximo dois acidentes?
R.:
7 Um telefone recebe chamadas a uma taxa de 0,8 por hora. Qual é a 
probabilidade de, em 4 horas, receber:
R.: Primeiro calcula-se a média de chamadas em 4 horas:
b) no máximo 3 chamadas? 
R.: Lembrando que x pode ser 0, 1, 2 ou 3:
a) exatamente 5 chamadas? 
c) pelo menos 4 chamadas?
R.: Leve em consideração o cálculo da probabilidade anterior:
8 Em uma gráfica verificou-se que, a cada 200 páginas impressas, 
ocorrem 50 erros tipográficos. Ao selecionar 10 páginas ao acaso 
de um livro, qual é a probabilidade de nenhuma conter erros? E no 
máximo duas terem erros?
R.: Primeiro calcule a média de erros para 10 páginas:
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Depois calcule a probabilidade de x = 0:
E no máximo duas terem erros?
TÓPICO 3
Questão única - Que tal exercitar um pouco? Utilize a tabela Z (Apêndice 
A) para calcular as probabilidades:
a) P(0,2 < Z < 1,35)
a) P(0,2 < Z < 1,35) = P(Z < 1,35) - P(Z < 0,2) = 0,9115 - 0,5793 = 0,3322 
b) P(Z > - 3,5) 
b) P(Z > - 3,5) = 1 – P(Z < 3,5) = 1 – 0,0002 = 0,9998
c) P(-1,96 < Z < 1,96) 
c) P(-1,96 < Z < 1,96) = P(Z < 1,96) - P(Z < - 1,96) - [1 - P(Z < 1,96)] = 0,975 
- [1 - 0,975] = 0,95 
d) Para que valor de z a área sob a curva normal padrão vale 0,95, de –z até z?
d) z = 1.96
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TÓPICO 3
Questão única - Para exercitar, encontre o valor de X2tab para uma 
distribuição com:
a) gl = 1 e α = 5%
b) gl = 10 e α = 10%
c) gl = 15 e α = 2,5%
R.: 
TÓPICO 3
Questão única - Para exercitar, encontre o valor de ttab para uma 
distribuição com:
a) gl = 1 e α = 5%
b) gl = 10 e α = 10%
c) gl = 15 e α = 2,5%
R.: 
TÓPICO 3
Questão única - Pratique e encontre o valor de Ftab para uma distribuição 
com:
a) gl1 = 1, gl2 = 7 e α = 1%
b) gl1 = 5, gl2 = 25 e α = 2,5%
c) gl1 = 9, gl2 = 40 e α = 5%
R.: 
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TÓPICO 3
1 A probabilidade de uma empresa produzir uma peça defeituosa é de 
10%. Ao selecionar aleatoriamente uma amostra de 400 peças, qual 
é a probabilidade de que, no máximo, 30 tenham defeito?
R.:
2 Em uma empresa de perfumes, o volume do conteúdo dos frascos 
segue uma distribuição normal de média 70 ml e desvio padrão 2,5 
ml. Ao selecionarmos um frasco ao acaso, qual é a probabilidade de:
a) ter mais de 70 ml?
R.: 
P(X ≤ 30) = P(Z ≤ -1,67) = 1 - P(Z ≤ 1,67) = 1 – 0,9525 = 0,0475 = 4,75%
b) ter menos de 70 ml?
R.:
c) ter entre 65 e 75 ml?
R.:
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3 Os salários mensais dos metalúrgicos são distribuídos normalmente 
em torno de uma média de R$ 500,00 e desvio padrão de R$ 90,00. 
Determine a probabilidade de um operário ter salário mensal:
a) maior que R$ 600,00;
R.: 
b) menor que R$ 600,00;
R.:
c) entre R$ 400,00 e R$ 600,00.
R.:
4 Usando as informações do exercício 3, determine quantos funcionários 
de uma metalúrgica com 100 funcionários ganham entre R$ 400,00 e 
R$ 600,00.
R.: 100 . 0,4458 = 44,58 = 45 funcionários ~
5 Suponha que os pesos dos estudantes de uma escola de Ensino Médio 
seguem uma distribuição normal com média de 55 kg e desvio padrão 
4,3 kg. Selecionando um estudante ao acaso, qual é a probabilidade 
de ele pesar:
a) menos de 45 kg?
R.:
µ = 55 e σ = 4,3 
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b) entre 45 kg e 60 kg?
R.: 
z1 = 45 - 55 = - 2,33 e z2 = 60 - 55 = 1,16 
 4,3 4,3 
P(45 < X < 60) = P(-2,33 < Z < 1,16) = P(Z < 1,16) - P(Z < - 2,33) = 
P(Z < 1,16 - [1 - P(Z < 2,33) = 0,877 - [1 - 0,9901] = 0,8671 ou 86,71%
c) mais de 60 kg?
R.: 
z = 60 - 55 = 1,16
 4,3
P(X > 60) = P(Z > 1,16) = 1 - P(Z < 1,16) = 1 - 0,877 = 0,123 ou 12,3% 
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 O quadro e os valores apresentados a seguir são fictícios e 
representam o resultado de uma grande pesquisa sobre população 
praticante de exercício físico no Brasil e nas regiões brasileiras. Os 
dados estão divididos quanto ao sexo, área/sexo e área.
z = 45 - 55 = - 2,33 
 4,3 
P(X < 45) = P(Z < - 2,33) = 1 - P(Z < 2,33) = 1 - 0,9901 = 0,0099ou 0,99%
Regiões 
Brasileiras
População fumante
Sexo
Total Homens Mulheres
Brasil 44.840.402 35.099.710 9.740.692
Região 
Norte 3.514.898 2.822.616 692.282
Região 
Nordeste 12.763.114 10.129.040 2.634.074
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Com base nos dados do quadro, determine:
a) a média de mulheres que praticam exercícios físicos nas regiões brasileiras;
R.:
x = 
Ʃ xi 
 i = 1 = 9740692 = 1948138,4
n
n 5
b) a média de homens que praticam exercícios físicos nas áreas urbana e 
rural das regiões brasileiras;
R.:
Área Urbana: 
x = 
Ʃ xi 
 i = 1 = 26753198 = 5350639,6
Área Rural: 
x = 
Ʃ xi 
 i = 1 = 8346512 = 1669302,4
n
n 5
n
n 5
Região 
Sudeste 18.840.494 14.532.028 4.308.466
Região Sul 6.644.573 5.211.064 1.433.509
Região 
C e n t r o -
Oeste
3.077.323 2.404.962 672.361
Área/sexo
Urbana Rural
Total Homens Mulheres Total Homens Mulheres
35.281.715 26.753.198 8.528.517 9.558.687 8.346.512 1.212.175
2.325.379 1.776.650 548.729 1.189.519 1.045.966 143.553
8.375.218 6.311.667 2.063.551 4.387.896 3.817.373 570.523
16.772.754 12.724.072 4.048.682 2.067.740 1.807.956 259.784
5.209.693 3.958.647 1.251.046 1.434.880 1.252.417 182.463
2.598.671 1.982.162 616.509 478.652 422.800 55.852
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c) a variância e o desvio padrão dos que praticam exercícios físicos nas 
regiões brasileiras;
R.:
x = 
Ʃ xi 
 i = 1 = 44840402 = 8968080,4
n
n
5
s2 = (3514898 - 8968080,4)2 + (12763114 - 8968080,4)2 
 5 - 1
+ (18840494 - 8968080,4)2 + (12763114 - 8968080,4)2 
 5 - 1
s2 = 181703737985773 = 4542593449644,3 
 4
s2 = √45425934496443,3 
s = 6739876,4452 ~
d) a variância e o desvio padrão dos que praticam exercícios físicos nas áreas 
urbana e rural das regiões brasileiras;
R.: 
Área Urbana: 
x = 35281715 = 7056343 
 5ç
s2 = (2325379) - 7056343)2 + (8375218 - 7056343)2 
 5 - 1 
+ 16772754 - 7056343)2 + (5209693 - 7056343)2 + (2598671 - 7056343)2
 5 -1
s2 = 141811050237926 = 35452762559481,5 
 4
s2 = 5954222,2464
Área Rural: 
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s2 = 8958424384487,2 = 2239606096121,8
 4 
s = √2239606096121,8
s = 1496531,3549 ~
e) qual região tem a maior proporção de mulheres que praticam exercícios 
físicos (em relação ao total de que praticam exercícios físicos de cada região)?
R.: 
É na região Sudeste que há maior proporção de mulheres fumantes.
f) qual área tem a maior proporção de homens que praticam exercícios físicos 
(em relação ao total de que praticam exercícios físicos de cada área)?.
R.:
Área urbana: 
p = 26573198 = 0,7532 
 35281751 
Área Rural:
p = 8346512 = 0,8732 
 9558687
~ ~^
~~^
x = 9558687 = 1911737,4 
 5
s2 = (1189519 - 1911737,4)2 + (4387896 - 1911737,4)2
 5 - 1 
+ (2057740 - 1911737,4)2 + 1434880 - 1911737,4)2 + (478652 - 1911737,4)2
 5 - 1 
41UNIASSELVI
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Assim, a área rural tem maior proporção de fumantes.
TÓPICO 2
1 Determine as hipóteses H0 e H1, nos seguintes casos (testes):
a) uma pesquisa pretende verificar se a média de uma população é diferente 
de 20;
R.: H0 : µ = 20 e H1: µ ≠ 20 
b) o professor de probabilidade e estatística deseja averiguar se a variância 
das notas de seus alunos é igual a 4,8 contra a hipótese de que é maior; 
R.: H0 : σ2 = 4,8 e H1: σ2 > 4,8 
c) uma pesquisa deseja verificar se a proporção de fumantes entre as mulheres 
é menor que 30%.
R.: H0 : p = 03 e H1: p < 0,3 
2 Com base nas hipóteses formuladas em cada item do exercício 
anterior, diga se o teste é bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral 
à direita.
R.: Os testes são classificados, respectivamente em: (a) bilateral, (b) unilateral 
à direita e (c) unilateral à esquerda.
3 Uma amostra de 25 elementos apresentou média de 123. Sabe-se 
que a variância populacional é igual a 81. Ao nível de significância 
de 5%, teste a hipótese que a média populacional é igual a 120 (µ = 
120) contra a hipótese que:
a) µ > 120
b) µ ≠ 120
R.: 
n = 25, X = 123, µ = 120, σ2 = 81 → σ = 9 e ɑ = 0,05 
(a) unilateral à direita 
H0 : µ = 120 
H1 : µ > 120 
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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(b) bilateral
H0 : µ = 120 
H1 : µ ≠ 120
Para ɑ/2 = 0,025 temos ztab = 1,96. 
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 1,96 < 1,6667 < 1,96. 
4 Uma fábrica de baterias para notebook afirma que suas baterias têm 
um tempo médio de duração de 4 horas. Para verificar tal fato, uma loja 
que trabalha com essa fábrica selecionou aleatoriamente 10 baterias 
e verificou os seguintes tempos de duração de cada bateria: 3,9 h; 
4,1 h; 3,8 h; 4,3 h; 3,5 h; 3,7 h; 3,5 h; 4,2 h; 3,7 h; 4 h. Utilizando α = 
5%, podemos concluir que o tempo médio de duração das baterias 
desse fabricante é menor que 4 horas?
R.: 
n = 10, X = 3,87, µ = 4, s = 0,2791 e ɑ = 0,05 
H0 : µ = 4 
H1 : µ < 4 
Para gl = 9 (10 - 1) e ɑ = 0,05 temos ttab = - 1,8331 (unilateral à esquerda)
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 1, 4723 > - 1,8331, isso significa que o tempo 
médio de duração das baterias é de 4h e que a diferença encontrada se deve 
aleatoriedade da amostra. 
5 Para verificar se há excesso no processo de enchimento de caixas 
de 1 kg de cereal, o controle de qualidade da empresa verificou que 
uma amostra de 30 caixas de cereal tem peso médio de 1,3 kg com 
desvio padrão 0,65 kg. Em nível de significância de 1%, o que se pode 
concluir?
Para ɑ = 0,05 temos ztab = 1,645 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois 1,6667 > 1,645 
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R.:
n = 30, X = 1,3, µ = 1, s = 0,65 e ɑ = 0,01 
H0 : µ = 1 
H1 : µ > 1 (verificar se há excesso) 
Para gl = 29 (30 - 1) e ɑ = 0,01 temos ttab = 2,4620 (unilateral à direita) 
Conclusão: rejeitamos H0, pois 2,5274 > 2,4620, isso significa que há excesso 
no processo de enchimento das caixas de cereais. 
6 Se o fabricante de cereais, da questão anterior, deseja verificar se há 
deficiência e excesso no enchimento das caixas, o que você conclui 
utilizando o mesmo nível de significância?
R.: 
n = 30, X = 1,3, µ = 1, s = 0,65 e ɑ = 0,01
H0 : µ = 1 
H1 : µ ≠ 1 (verificar se há deficiência) 
Para gl = 29 (30 - 1) e ɑ/2 = 0,005 temos ttab = 2,7564 
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 2,7564 < 2,5274 < 2,7564, isso significa que 
não há deficiência no processo de enchimento. 
7 Numa amostra de 25 elementos de uma população normal obteve-se 
variância de 16. Em nível de significância de 10%, teste a hipótese 
que a variância populacional é 20 (σ2 = 20) contra a hipótese que:
a) σ2 ≠ 20
b) σ2 > 20
R.:
n = 25, s2 = 16 e ɑ = 0,10 
(a) σ2 ≠ 20 BILATERAL
H0 : σ2 = 20 
H1 : σ2 ≠ 20
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Conclusão: Aceitamos H0, pois, 13,8484 < 19,2 < 36,4150. 
(b) σ2 > 20 UNILATERAL À DIREITA 
H0 : σ2 = 20 
H1 : σ2 > 20
X2calc = (n - 1)s
2 = 25 - 1 16 = 19,2 
 σ2 20
Para gl = 24 (25 - 1) e ɑ = 0,1 temos X2A = 33,1962. 
Conclusão: Aceitamos H0, pois, 19,2 < 33,1962 
8 Uma fábrica de parafusos afirma que o desvio padrão do diâmetro 
de seus parafusos é de 0,1 mm. O controle de qualidade toma uma 
amostra aleatória de 51 parafusos e constata um desvio padrão de 
0,15 mm. Utilizando um nível de significância de 1%, podemos dizer 
que o desvio padrão dos parafusosé superior a 0,1 mm?
R.:
σ = 0,1 → σ2 = 0,01, n = 51, s = 0,15 → s2 = 0,0225 e ɑ = 0,01
H0 : σ2 = 0,01 
H1 : σ2 > 0,01
X2calc = (n - 1)s
2 = (51 - 1) 0,0225 = 112,5 
 σ2 0,01 
Para gl = 50 (51 - 1) e ɑ = 0,01 temos X2tab = 76,1539 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois, 112,5 > 76,1539, isso significa que o desvio 
padrão é maior que 0,1. 
9 Para verificar se certa moeda é honesta, foi lançada a moeda 100 
vezes ao ar e anotado o resultado da face voltada para cima. Se nesse 
experimento foram obtidas 60 coroas, podemos dizer que a moeda 
não é honesta? (use α = 5%).
.
X2calc = (n - 1)s
2 = (25 - 1) . 16 = 19,2 
 σ2 20
Para gl = 24 (25 - 1) e ɑ/2 = 0,05 temos X2A = 36,4150. 
Para gl = 24 (25 - 1) e 1 - ɑ/2 = 0,95 temos X2B = 13,8484. 
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^R.: p = 0,5 e p = 60/100 = 0,6 
H0 : p = 0,5 
H1 : p ≠ 0,5 
Para ɑ/2 = 0,025 temos ztab = 1,96. 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois 2 > 1,96, o que significa que a moeda não 
é honesta. 
10 Uma empresa de cigarros afirmou que a proporção de mulheres 
fumantes em 1990 é de 40%. Para verificar se houve um aumento 
na proporção de mulheres fumantes, tomou-se uma amostra de 400 
mulheres e verificou-se que 260 fumam. Em nível de significância de 
5%, o que podemos concluir?
R.: p = 0,4 e p = 260/400 = 0,65. 
H0 : p = 0,4 
H1 : p ≠ 0,4
^
Para ɑ = 0,05 temos ztab = 1,645. 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois 10,2041 > 1,645, o que significa que a 
proporção populacional é maior que 0,4. 
TÓPICO 3
1 Uma fábrica de sapatos infantis deseja verificar se o investimento 
feito em propagandas resultou em um aumento no número de sapatos 
vendidos na região Sul do Brasil. O quadro a seguir apresenta o 
número de sapatos vendidos, em um mês qualquer, antes e depois 
da propaganda.
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Antes da propaganda Depois da propaganda
Paraná 10,3 mil 13 mil
Santa Catarina 12 mil 11,5 mil
Rio Grande do Sul 9,7 mil 10,2 mil
A 5% de significância, podemos concluir que o investimento em propagandas 
contribuiu para o aumento do número de sapatos vendidos? 
R.:
Para gl = 2 e ɑ = 0,05 temos ttab = 2,92. 
Conclusão: Como tcal < ttab aceita-se H0, o investimento em propagandas 
aumentou as vendas. 
2 Após um programa de capacitação, foram verificadas as diferenças 
na produtividade diária de 8 funcionários: +4, -1, 0, +2, -1, +3, 0, 
1. Em nível de significância de 10% e supondo que as diferenças 
seguem uma distribuição normal, podemos dizer que o programa de 
capacitação aumentou a produtividade dos funcionários? E a 5% de 
significância, o que podemos concluir?
R.: Média das diferenças: 1 
Desvio padrão das diferenças: 1,8516 
H0 : xσ = 0 
H1 : xd > 0 
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Para gl = 7 e ɑ = 0,1 temos ttab = 1,3830.
Para gl = 7 e ɑ = 0,05 temos ttab = 1,8331. 
Conclusão: Ao nível de significância de 10% rejeitamos H0, ou seja, podemos 
dizer que o programa de capacitação não aumentou a produtividade, pois 
tcal < ttab. Já ao nível de significância de 5% aceitamos H0, o que significa que 
o programa aumentou a produtividade. 
3 Deseja-se saber se duas máquinas de empacotar erva-mate estão 
fornecendo o mesmo peso médio em kg. Para isso extraem-se ao 
acaso duas amostras, uma de cada máquina:
Máquina A: 15 amostras, média = 0,51 kg, variância = 0,0020 kg2
Máquina B: 20 amostras, média = 0,48 kg, variância = 0,0135 kg2
Supondo que os pesos amostrais seguem uma distribuição normal, qual é a 
sua conclusão a 5% de significância?
R.: 1º passo: verificar se as variâncias desconhecidas são iguais aplicando 
o teste F. 
Para gl1 = 14 e gl2 = 19 e ɑ = 0,025 temos Ftab = 2,6469. 
Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias desconhecidas 
são iguais. 
2º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais. 
H0 : µ1 = µ2 
H1 : µ1 ≠ µ2 
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Para gl = n1 + n2 - 2 = 15 + 20 - 2 = 33 e ɑ = 0,025 temos que ttab é menor que 
2 (basta comparar com gl = 30 e ɑ = 0,025). 
Para gl = 7 e ɑ = 0,05 temos ttab = 1,8331. 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcal > ttab, o que indica que as máquinas não 
estão fornecendo o peso médio. 
4 Com a finalidade de verificar se há diferença entre as vendas de 
grandes marcas de cerveja, o dono de uma rede de supermercados 
registrou o número de caixas vendidas de 3 marcas concorrentes 
durante um mês em 5 supermercados de sua rede.
Supermercado Marca A Marca B Marca C
1 304 297 348
2 236 482 554
3 134 315 195
4 351 176 410
5 110 273 347
Comparando-as duas a duas, verifique se há diferença significativa entre 
essas marcas. Use α = 10%.
R.: Marca A: média = 227, variância = 10.931 
Marca B: média = 308,6, variância = 12.273,3 
Marca C: média = 370,8, variância = 16.772,7 
Verificando que há diferença entre A e B 
1º passo: verificar se as variâncias desconhecidas da marca A e B são iguais 
aplicando o teste F. 
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Para gl1 = gl2 = 4 e ɑ = 0,025 temos que Ftab = 9,6045.
Conclusão: Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias 
desconhecidas são iguais. 
A propósito, com esse valor Ftab = 9,6046 e com as variâncias que temos, 
podemos dizer que as variâncias desconhecidas da marca A, B e C são 
todas iguais. 
Então, nesse exercício, não vamos nos dar mais ao trabalho de comparar 
variâncias. 
2º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais. 
H0 : µA = µB 
H1 : µA ≠ µB
Para gl1 = 8 e ɑ = 0,025 temos que ttab = 1,8595.
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 1,8595 < tcalc > 1,8595, o que significa que 
as vendas médias de cerveja da marca A e B são iguais. 
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Verificando se há diferença entre A e C
H0 : µA = µC 
H1 : µA ≠ µC
Para gl1 = 8 e ɑ = 0,025 temos que ttab = 1,8595.
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcalc > ttab, o que significa que as vendas médias 
de cerveja da marca A e C são diferentes. 
Verificando se há diferença entre B e C
Como já sabemos que as variâncias desconhecidas são iguais, vamos direto 
ao 2º passo: 
H0 : µB = µC 
H1 : µB ≠ µC
Para gl = 8 e ɑ = 0,025 temos que ttab = 2,3060.
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 2,3060 < tcalc > 2,3060, o que significa que 
as vendas médias de cerveja da marca B e C são iguais. 
5 Para verificar a eficácia de duas rações na engorda de tilápias, 
realizou-se um experimento com 20 tilápias, todas com mesmo tempo 
de vida. As tilápias foram divididas aleatoriamente em dois grupos: 
no primeiro grupo, com 8 tilápias, usou-se a ração A; no segundo 
grupo, as 12 tilápias foram tratadas com a ração B. No final de um 
mês encontraram-se as seguintes médias de peso:
Ração A: média = 1,26 kg; variância = 0,0053 kg2
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Ração B: média = 1,31 kg; variância = 0,0013 kg2
A 5% de significância, podemos concluir que as rações produzem efeitos 
diferentes? 
R.: 1º passo: verificar se as variâncias desconhecidas são iguais aplicando 
o teste F. 
Para gl1 = 7 e gl2 = 11 e ɑ = 0,025 temos que Ftab = 3,7586.
Como Fcal > Ftab rejeitamos H0, indicando que as variâncias populacionais 
desconhecidas são diferentes. 
2º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são diferentes. 
H0 : µA = µB 
H1 : µA ≠ µB
Como as variâncias populacionais são desconhecidas e diferentes, a variável 
t terá os graus de liberdade calculados pela fórmula a seguir: 
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Com isso a variável t-Student terá 10 graus de liberdade, e para obter o valor 
ttab devemos entrar na tabela t com ɑ = 0,025 (0,05/2) e gl = 10, assim ttab = 
2,2281. 
Conclusão: Aceitamos H0, pois - 2,2281 < tcalc < 2,2281, o que significa que 
as rações produzem os mesmos efeitos. 
6 Uma empresa de ônibus está testando a durabilidade de duas marcas 
de pneus. Para isso, testou 8 pneus de cada marca e constatou: para 
a marca G uma durabilidade média de 34.100 km e variância 122.650 
km2; para a marca P uma durabilidade média de 32.500 km e variância 
100.850 km2. Ao nível de significância de 1%, teste a hipótese de que 
a durabilidade média dos pneus da marca G é maior que da marca P 
(para gl1 = gl2 = 7 e α = 0,005 use Ftab = 8,8854).
R.: 1º passo: verificar se as variâncias desconhecidas são iguais aplicando 
o teste F. 
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Para gl1 = gl2 = 7 e ɑ = 0,005 temos Ftab = 8,8854.
Como Fcal < Ftab aceitamos H0, indicando que as variâncias populacionais 
desconhecidas são iguais. 
2º passo: resolver o teste para o caso em que as variâncias desconhecidas 
são iguais. 
H0 : µG = µP 
H1 : µG ≠ µP
Para gl = nA + nB - 2 = 8 + 8 - 2 = 14 e ɑ = 0,01 temos que ttab = 2,6245. 
Conclusão: Rejeitamos H0, pois tcalc > ttab, o que indica que os pneus da marca 
G têm maior durabilidade que os pneus da marca P. 
7 Em um estudo para verificar se existe relação entre o consumo de 
cigarro e a ocorrência de enfisema pulmonar, um hospital selecionou 
125 pacientes ao acaso. De acordo com o quadro de resultados a 
seguir, podemos concluir que as ocorrências de enfisema pulmonar 
e o consumo de cigarros são independentes? (Use α = 5%.)
 Enfisema
Fumantes
Sim Não
Sim 39 29
Não 23 34
R.:
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A primeira coisa a fazer é calcular os totais (linha, coluna e geral). 
H0 : A ocorrência de enfisema pulmonar independe do consumo de cigarros.
H1: A ocorrência de enfisema pulmonar depende do consumo de cigarros. 
1º passo: montar o quadro de valores esperados: 
ei.j = total da linha i x total da coluna j 
total geral
2º passo: calcular o valor de x2calc, pela fórmula: 
Para isso vamos montar o seguinte quadro: 
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Para gl = (r - 1) . (s - 1) = (2 - 1) = 1 e ɑ = 0,05 temos que x2tab = 3,8415. 
Conclusão: Aceitamos H0, pois x2calc < x2tab, isso significa que a ocorrência 
de enfisema pulmonar independe do consumo de cigarros, nos pacientes 
desse hospital.