Aula_4_Contrastes

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4. Contraste entre Grupos de Médias:
Definição; Estimativa do contraste;
Variância do contraste; Ortogonalidade.
Teste t de Student e Teste de Scheffé.
Giovana Fumes Ghantous
Universidade de São Paulo - USP
Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos
Curso de Engenharia de Alimentos
ZAB 0363 - Estatística Experimental
04 e 05 de Maio de 2021
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Introdução
Conforme visto anteriormente, em geral, as hipóteses do teste F envolvem as
médias para testar mais de dois tratamentos, e nos permite tirar conclusões
muito gerais com relação ao comportamento dos tratamentos, indicando que
entre eles existem efeitos diferentes sobre a variável observada, mas nada
informa sobre quais os melhores (ou piores) tratamentos.
Para verificar quais os melhores (ou piores) tratamentos, uma das maneiras
é a utilização dos procedimentos para comparações múltiplas ou teste de
comparações de médias dos tratamentos.
Para estabelecer as médias ou o grupo de médias sobre o qual deseja-se
fazer a inferência, utiliza-se o que denomina-se por contrastes.
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Contrastes de médias - L
Contrastes de médias são relações lineares entre as médias verdadeiras de
tratamentos (µi), de forma que a soma algébrica dos coeficientes das médias
seja nula.
Então, uma relação linear das médias de I tratamentos, do tipo:
L = c1µ1 + c2µ2 + . . .+ cIµI ,
só será um contraste se, e só se:
c1 + c2 + . . .+ cI = 0 ou
I∑
i=1
ci = 0.
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Contrastes de médias - L
Assim, se num experimento temos três tratamentos, cujas médias verdadeiras
são: µ1, µ2, e µ3, podemos dizer que as relações:
L1 = µ1 − µ2
L2 = µ1 − µ3
L3 = µ1 + µ2 − 2µ3
são contrastes, pois as somas algébricas dos coeficientes são nulas, mas a
relação:
L4 = µ1 + µ2 − µ3
não é um contraste, pois nessa relação, a soma algébrica dos coeficientes
não é nula.
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Estimativa do contraste - L̂
Os contrastes são funções lineares de médias verdadeiras de tratamentos
(µi). Mas num experimento, não são conhecidas as médias verdadeiras dos
tratamentos, de forma que o verdadeiro valor do contraste (L) não pode ser
calculado. No entanto, como conhecemos as estimativas dos tratamentos
(µ̂i), podemos obter as estimativas dos contrastes (L̂).
Se, num experimento, as estimativas das médias dos tratamentos forem: µ̂1 =
300, µ̂2 = 250 e µ̂3 = 320, podemos obter as estimativas dos contrastes:
L1 = µ1 − µ2
L2 = µ1 − µ3
L3 = µ1 + µ2 − 2µ3
substituindo as médias verdadeiras pelas suas estimativas,
L̂1 = µ̂1 − µ̂2 = 300 − 250 = 50
L̂2 = µ̂1 − µ̂3 = 300 − 320 = −20
L̂3 = µ̂1 + µ̂2 − 2µ̂3 = 300 + 250 − 2(320) = −90.
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Estimativa da variância do contraste - V̂(L̂)
Sendo a estimativa de um contraste uma relação entre as médias estimadas
dos tratamentos (µ̂i), ela possui uma variância. Então, num experimento, para
um contraste de forma genérica:
L = c1µ1 + c2µ2 + . . .+ cIµI ,
cuja estimativa é dada por
L̂ = c1µ̂1 + c2µ̂2 + . . .+ cIµ̂I ,
considerando que as médias dos tratamentos foram calculadas com r repeti-
ções, tem-se:
V̂(L̂) = (c21 + c
2
2 + . . .+ c
2
I )
s2
r
, em que s2 = QMResíduo.
O erro padrão do contraste é a raiz quadrada positiva da estimativa da vari-
ância da estimativa do contraste, ou seja,
s(L̂) =
√
V̂(L̂).
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Exemplos
Exemplo 1. Num experimento de consórcio na cultura de abacaxi, com 5
repetições, as médias de produção de frutos de abacaxi (em ton/ha), foram
as seguintes:
Tratamentos Média (em ton/ha)
Abacaxi (0,90 x 0,30 m) monocultivo 53,5
Abacaxi (0,80 x 0,30 m) monocultivo 56,5
Abacaxi (0,80 x 0,30 m) + amendoim 62,0
Abacaxi (0,80 x 0,30 m) + feijão 60,4
Quais contrastes seriam interessantes para este experimento? Pense na prá-
tica.
Uma possibilidade, seria estabelecer os seguintes contrastes: L1 = µ1 + µ2 −
µ3 − µ4, L2 = µ1 − µ2 e L3 = µ3 − µ4.
As estimativas de cada contrastes seriam dadas por:
L̂1 = µ̂1 + µ̂2 − µ̂3 − µ̂4 = 53,5 + 56,5 − 62,0 − 60,4 = −12,4 ton/ha,
L̂2 = µ̂1 − µ̂2 = 53,5 − 56,5 = −3,0 ton/ha e
L̂3 = µ̂3 − µ̂4 = 62,0 − 60,4 = 1,6 ton/ha.
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Exemplos
Exemplo 1 - continuação
Algumas interpretações práticas:
• L̂1 apresentou uma estimativa negativa: o segundo grupo de médias possui es-
timativas maiores que o primeiro, ou seja, o grupo de médias dos tratamentos 1
e 2 é diferente do grupo de médias dos tratamentos 3 e 4, nota-se que nos dois
primeiros tratamentos cultiva-se somente o abacaxi. Daí, tem-se que os grupos
que cultivam outros cultivares além do abacaxi, possuem uma produção de frutos
de abacaxi em média maior do que os grupos que produzem apenas abacaxi.
• L̂2 apresentou estimativa negativa: o segundo grupo em média possui uma esti-
mativa maior do que o primeiro grupo, isso significa que o cultivo de abacaxi com
menor espaçamento teve uma produção média maior que de abacaxi com maior
espaçamento.
• L̂3 apresentou estimativa positiva: o primeiro grupo em média possui estimativa
maior que o segundo, assim, o cultivar de abacaxi com amendoim apresentou
uma produção média maior que o cultivar de abacaxi com feijão.
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Exemplos
Exemplo 2. Dados µ̂1 = 14,85, µ̂2 = 14,68, µ̂3 = 14,35, µ̂4 =
13,74, µ̂5 = 13,20, QMRes = s2 = 0,8312, r = 6 repetições e
os seguintes contrastes: L1 = 2µ1 + 2µ2 + 2µ3 − 3µ4 − 3µ5 e L2 =
2µ1−µ2−µ3. Encontre as estimativas das variâncias dos estimadores
dos contrastes.
V̂(L̂1) = (c21 + c
2
2 + c
2
3 + c
2
4 + c
2
5 )
s2
r
=
= (22 + 22 + 22 + (−3)2 + (−3)2)
0,8312
6
= 4,156.
V̂(L̂2) = (c21 + c
2
2 + c
2
3 )
s2
r
=
= (22 + (−1)2 + (−1)2)
0,8312
6
= 0,8312.
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Contrastes ortogonais
Dois contrastes são ortogonais quando a soma algébrica dos produtos dos
coeficientes das médias correspondentes é nula (para médias calculadas
com mesmo número de repetições).
Considerando os contrastes L1 = µ1 − µ2 e L3 = µ1 + µ2 − 2µ3, podemos
reescrevê-los da seguinte forma:
L1 = µ1 − µ2 + 0µ3
L3 = µ1 + µ2 − 2µ3
Neste caso, os coeficientes das médias são:
µ1 µ2 µ3
L1 1 -1 0
L3 1 1 -2
Soma dos produtos= (1) + (-1) + (0) = 0
Portanto, L1 e L3 são ortogonais.
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Contrastes ortogonais
Considerando os contrastes L1 = µ1 − µ2 e L2 = µ1 − µ3, pode-se reescrevê-
los da seguinte forma:
L1 = µ1 − µ2 + 0µ3
L2 = µ1 + 0µ2 − µ3
Neste caso, os coeficientes das médias são:
µ1 µ2 µ3
L1 1 -1 0
L2 1 0 -1
Soma dos produtos= (1) + (0) + (0) = 1
Portanto, L1 e L2 não são ortogonais.
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Contrastes ortogonais
Generalizando, pode-se dizer que:
L1 = c1µ1 + c2µ2 + . . .+ cIµI
( I∑
i=1
ci = 0
)
e
L2 = b1µ1 + b2µ2 + . . .+ bIµI
( I∑
i=1
bi = 0
)
serão contrastes ortogonais, se
c1b1 + c2b2 + . . .+ cIbI = 0
( I∑
i=1
cibi = 0
)
.
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Contrastes ortogonais
Quando dois contrastes são ortogonais, eles são independentes.
O teste de um grupo de contrastes ortogonais pode ser feito utilizando o teste
t, ou equivalentemente o teste F, na própria análise de variância.
Assim, na análise de variância o que se tem é o teste de um grupo de contras-
tes ortogonais, correspondente a cada contraste um único grau de liberdade,
de tal modo que se tenha tantos contrastes ortogonais quanto for o número
de graus de liberdade de tratamentos.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exemplo: Contrastes ortogonais
Exemplo 3. Considere um experimento instalado com o objetivo de verificar
a eficiência de 4 inseticidas, doisdeles clorados e dois fosforados, assim
define-se: µ1 e µ2 são as médias dos tratamentos referentes aos inseticidas
clorados e µ3 e µ4 são as médias dos tratamentos referentes aos inseticidas
fosforados.
Desse modo, considerando-se 4 tratamentos tem-se 3 graus de liberdade as-
sociados a sua respectiva causa de variação, sendo que cada grupo de con-
trastes ortogonais será composto por 3 contrastes. Um primeiro grupo pode
ser composto pelos seguintes contrastes:
L1 = (µ1 + µ2) − (µ3 + µ4)
L2 = µ1 − µ2
L3 = µ3 − µ4
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Exemplo: Contrastes ortogonais
L1 = (µ1 + µ2) − (µ3 + µ4)
L2 = µ1 − µ2
L3 = µ3 − µ4
E, nesse caso, as hipóteses de interesse são:
1. H01: L1 = 0 versus Ha1 : L1 , 0, ou seja, deseja-se verificar se os inseticidas
clorados produzem as mesmas respostas que os inseticidas fosforados.
2. H02: L2 = 0 versus Ha2 : L2 , 0, ou seja, deseja-se verificar se os inseticidas
clorados produzem as mesmas respostas ou não.
3. H03: L3 = 0 versus Ha3 : L3 , 0, ou seja, deseja-se verificar se os inseticidas
fosforados produzem as mesmas respostas ou não.
Tais hipóteses podem ser testadas fazendo o uso do teste t ou desdobrando-se o nú-
mero de graus de liberdade de tratamentos na análise de variância, o que será visto a
seguir.
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Teste t
O teste t de Student serve para testar médias de dois tratamentos ou médias
de dois grupos de tratamentos (caso em que o contraste tem mais de duas
médias envolvidas).
Para sua aplicação correta, devemos considerar os seguintes requisitos bási-
cos:
• Os contrastes a serem testados devem ser estabelecidos antes de ob-
tidos os dados experimentais (ou seja, não devem ser sugeridos pelos
dados);
• Os contrastes devem ser ortogonais entre si.
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Teste t
Num experimento com I tratamentos, todos com r repetições, vamos considerar o se-
guinte contraste L = c1µ1 + c2µ2 + · · ·+ cIµI .
1. Calcular a estimativa do contraste - L̂ ,
L̂ = c1µ̂1 + c2µ̂2 + · · ·+ cIµ̂I .
2. Calcular a estimativa de variância da estimativa do contraste - V̂(L̂),
V̂(L̂) = (c21 + c
2
2 + · · ·+ c
2
I )
s2
r
.
3. Calcular o erro padrão do contraste s(L̂) =
√
V̂(L̂).
4. Calcular o valor do teste t, dado por tcal =
L̂k
s(L̂)
.
5. Procurar o valor numa tabela da distribuição t (ttab ), os valores tabelados serão dados
em função do número de graus de liberdade do resíduo, em geral com α dado por
0,05 ou 0,01.
6. Verificar regra de decisão do teste, considerando um nível α de significância:
• Se |tcal | ≥ ttab = t(glRes ,α), rejeita-se H0 e conclui-se que o contraste é estatistica-
mente diferente de zero, e conclui-se que as médias dos tratamentos (ou grupos)
testados nos contrastes diferem entre si;
• se |tcal | < ttab = t(glRes ,α), não rejeita-se H0 e conclui-se que o contraste não é
estatisticamente diferente de zero, e conclui-se que as médias dos tratamentos
(ou grupos) testados nos contrastes não diferem.
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Exemplo - Teste t
Exemplo 4. Dados µ̂1 = 14,85, µ̂2 = 14,68, µ̂3 = 14,35, µ̂4 = 13,74, µ̂5 = 13,20,
QMRes = s2 = 0,8312, glRes = 25, r = 6 repetições e o contraste L1 = 2µ1 + 2µ2 +
2µ3 − 3µ4 − 3µ5.
Teste as hipóteses: H0: L1 = 0 versus Ha : L1 , 0, considere α = 0,05.
L̂1 = 2µ̂1 + 2µ̂2 + 2µ̂3 − 3µ̂4 − 3µ̂5 =
= 2 × 14,85 + 2 × 14,68 + 2 × 14,35 − 3 × 13,74 − 3 × 13,20 = 6,94.
V̂(L̂1) = (c21 + c
2
2 + c
2
3 + c
2
4 + c
2
5 )
s2
r
=
= (22 + 22 + 22 + (−3)2 + (−3)2)
0,8312
6
= 4,156.
Assim, tcal =
L̂1√
V̂(L̂1)
= 6,94√
4,156
= 3,404.
Da tabela da distribuição t, temos que ttab = t25,5% = 2,06 (bilateral).
Portanto, como |tcal | ≥ ttab , rejeita-se a hipótese nula e concluí-se, ao nível de 5%, de
que há evidências de que as médias dos grupos testados nos contrastes diferem entre
si.
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Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos
Este procedimento é equivalente ao teste t, pois a cada contraste ortogonal
está associado um único grau de liberdade.
Como ilustração, considere o Exemplo 3 com os inseticidas, o desdobra-
mento será análogo para os casos com número maior (ou menor) de trata-
mentos. Relembrando: Seja um experimento instalado com o objetivo de
verificar a eficiência de 4 inseticidas, dois deles clorados e dois fosforados,
ou seja, µ1 e µ2 são as médias dos tratamentos referentes aos inseticidas
clorados e µ3 e µ4 são as médias dos tratamentos referentes aos inseticidas
fosforados.
Considerando válidas as pressuposições do modelo de análise de variância,
tem-se o seguinte esquema da análise de variância, considerando um expe-
rimento inteiramente casualizado:
Causas de variação G.L.
Tratamentos 4-1=3
Resíduo N-4
Total N-1
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Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos
Causas de variação G.L.
Tratamentos 4-1=3
Resíduo N-4
Total N-1
Considerando os contrastes ortogonais:
L1 = (µ1 + µ2) − (µ3 + µ4)
L2 = µ1 − µ2
L3 = µ3 − µ4;
tem-se o seguinte esquema de ANOVA:
Causas de variação G.L.
(1+2) vs (3+4) 1
(1) vs (2) 1
(3) vs (4) 1
Resíduo N-4
Total N-1
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Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos
Os quadrados médios referentes a cada contraste serão obtidos dividindo-se
as respectivas SQ por 1, ou seja QMLi = SQLi , e:
1. Referente a hipótese H01 tem-se uma estatística Fcal1 =
QML1
QMRes . Assim,
rejeita-se H0 se Fcal1 > F(1,glRes , α);
2. Referente a hipótese H02 tem-se uma estatística Fcal2 =
QML2
QMRes . Assim,
rejeita-se H0 se Fcal2 > F(1,glRes , α);
3. Referente a hipótese H03 tem-se uma estatística Fcal3 =
QML3
QMRes . Assim,
rejeita-se H0 se Fcal3 > F(1,glRes , α).
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Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5: Suponha que um experimento inteiramente casualizado foi utilizado para
comparar o efeito de 5 tratamentos em relação ao crescimento de mudas de Pinus,
após 60 dias de semeadura. Tratamento 1: Solo de Cerrado (SC), 2: Solo de cer-
rado+esterco (SC+E), 3: Solo de cerrado+esterco+NPK (SC+E+NPK), 4: Solo de cer-
rado+vermiculita (SC+V), 5: Solo de cerrado+vermiculita+NPK (SC+V+NPK) (Dados
do Exercício 2, Lista 1).
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 122,4
H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
H1 : µi , µj , com i , j para quaisquer i, j, ou seja, pelo menos um contraste
entre as médias difere.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
CV GL SQ QM F
Tratamentos 4 7,60 1,90 7,28
Resíduos 15 3,91 0,26
Total 19 11,51
Ftab = F5%(4,15) = 3,06. Como Fcalc > Ftab , rejeita-se H0 e conclui-se que
os tratamentos apresentam efeitos diferentes sobre as alturas das mudas de
Pinus, aos 60 dias após a semeadura.
Esta conclusão é muito geral, nada tem de informação com relação à compa-
ração entre os tratamentos. Para obtenção dessas informações importantes,
pode-se proceder à decomposição dos graus de liberdade de tratamentos.
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Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
Para a escolha dos componentes do desdobramento, deve-se considerar no
máximo quatro comparações que seja do interesse do pesquisador, por exem-
plo, poderia ser:
• Solo de cerrado (SC) versus demais - 1 grau de liberdade (1 gl);
• SC+Com esterco versus SC+Com vermiculita - 1 gl;
• SC+Esterco sem NPK versus SC+Esterco+NPK- 1 gl;
• SC+Vermiculita sem NPK versus SC+Vermiculita+NPK - 1 gl.
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Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
T1−SC T2−SC+E T3−SC+E+NPK T4−SC+V T5−SC+V+NPK
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Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
Para o estabelecimento de cada contraste, procede-se da seguinte forma:
• Escreve-se os totais de tratamentos (Ti) envolvidos na comparação pro-
posta;
• Atribuí-se o sinal positivo aos totais de um grupo e o sinal negativo aos
totais do outro grupo;
• Verifica-se o número de tratamentos envolvidos no 1º grupo (n1) e o nú-
mero de tratamentos envolvidos no 2º grupo (n2). Calcula-se o mínimo
múltiplo comum (m.m.c) entre n1 e n2;
• Divide-se o m.m.c por n1. O resultado será o coeficiente de cada total do
1º grupo;
• Divide-se o m.m.c por n2. O resultado será o coeficiente de cada total do
2º grupo.
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Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
T1−SC T2−SC+E T3−SC+E+NPK T4−SC+V T5−SC+V+NPK
L1 = 4T1 − T2 − T3 − T4 − T5
L2 = T2 + T3 − T4 − T5
L3 = T2 − T3
L4 = T4 − T5
Para o cálculo das somas de quadrados de cada componente, utiliza-se duas
formas: a) Método dos contrastes de totais de tratamentos e b) Método dos
totais de tratamentos (sem utilizar as estimativas dos contrastes).
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
a) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento,
pelo método dos contrastes de totais de tratamentos.
T1 = 21,0 T2 = 27,1 T3 = 26,6 T4 = 22,1 T5 = 25,6
1. Solo de cerrado somente vs demais
L1 = 4T1 − T2 − T3 − T4 − T5
L̂1 = 4(21,0) − 27,1 − 26,6 − 22,1 − 25,6 = −17,4cm∑
c21i = 4
2 + (−1)2 + (−1)2 + (−1)2 + (−1)2 = 20 r = 4
SQL1 =
L̂21
r
∑
c21i
=
(−17,4)2
4 × 20
= 3,78
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
a) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento,
pelo método dos contrastes de totais de tratamentos.
T1 = 21,0 T2 = 27,1 T3 = 26,6 T4 = 22,1 T5 = 25,6
2. SC+Esterco vs SC+Vermiculita
L2 = T2 + T3 − T4 − T5
L̂2 = 27,1 + 26,6 − 22,1 − 25,6 = 6,0cm∑
c22i = (1)
2 + (1)2 + (−1)2 + (−1)2 = 4 r = 4
SQL2 =
L̂22
r
∑
c22i
=
(6)2
4 × 4
= 2,25
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
a) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento,
pelo método dos contrastes de totais de tratamentos.
T1 = 21,0 T2 = 27,1 T3 = 26,6 T4 = 22,1 T5 = 25,6
3. SC+Esterco sem NPK vs SC+Esterco com NPK
L3 = T2 − T3
L̂3 = 27,1 − 26,6 = 0,5cm∑
c23i = (1)
2 + (−1)2 = 2 r = 4
SQL3 =
L̂23
r
∑
c23i
=
(0,5)2
4 × 2
= 0,03
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
a) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento,
pelo método dos contrastes de totais de tratamentos.
T1 = 21,0 T2 = 27,1 T3 = 26,6 T4 = 22,1 T5 = 25,6
4. SC+Vermiculita sem NPK vs SC+Vermiculita com NPK
L4 = T4 − T5
L̂4 = 22,1 − 25,6 = −3,5cm∑
c24i = (1)
2 + (−1)2 = 2 r = 4
SQL4 =
L̂24
r
∑
c24i
=
(−3,5)2
4 × 2
= 1,53
Verificação:SQL1 + SQL2 + SQL3 + SQL4 = SQTratamentos
3,78 + 2,25 + 0,03 + 1,53 = 7,59 ≈ 7,60.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
a) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento,
pelo método dos contrastes de totais de tratamentos.
T1 = 21,0 T2 = 27,1 T3 = 26,6 T4 = 22,1 T5 = 25,6
4. SC+Vermiculita sem NPK vs SC+Vermiculita com NPK
L4 = T4 − T5
L̂4 = 22,1 − 25,6 = −3,5cm∑
c24i = (1)
2 + (−1)2 = 2 r = 4
SQL4 =
L̂24
r
∑
c24i
=
(−3,5)2
4 × 2
= 1,53
Verificação:SQL1 + SQL2 + SQL3 + SQL4 = SQTratamentos
3,78 + 2,25 + 0,03 + 1,53 = 7,59 ≈ 7,60.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
H0 : Li = 0,
H1 : Li , 0, para i = 1,2,3,4.
CV GL SQ QM F
Cerrado somente vs demais 1 3,78 3,78 14,54∗
Esterco vs Vermiculita 1 2,25 2,25 8,65∗
Esterco sem NPK vs Esterco+NPK 1 0,03 0,03 0,12ns
Vermiculita sem NPK vs Vermiculita+NPK 1 1,53 1,53 5,88∗
(Tratamentos) (4) (7,59)
Resíduos 15 3,91 0,26
Total 19 11,51
Ftab = F5%(1,15) = 4,54.
Observação: É comum indicarmos com um asterisco (∗) à direita do valor da
estatística (Fcal) a rejeição da hipótese H0, ao nível de 5% de significância. No
caso de não rejeição de H0, usa-se as letras “ns” para indicar um resultado
“não significativo”.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
As conclusões do quadro da análise de variância são as seguintes:
• Solo de cerrado somente vs demais: Os efeitos sobre a altura das mudas de
Pinus, aos 60 dias após a semeadura, são diferentes e, pelos resultados das par-
celas, verifica-se que não é interessante a utilização de solo de cerrado somente.
• Esterco vs Vermiculita: Os efeitos sobre a altura de Pinus, aos 60 dias após
a semeadura, são diferentes e, pelos resultados, verifica-se que com esterco é
melhor.
• Esterco sem NPK vs Esterco+NPK: Os efeitos sobre as alturas das mudas de
Pinus, aos 60 dias após a semeadura, não diferem e, portanto, se usar esterco,
colocar ou não NPK não altera os resultados.
• Vermiculita sem NPK vs Vermiculita+NPK: Com vermiculita, colocando-se NPK,
as alturas das mudas foram diferentes do que não se colocando NPK. Pelos re-
sultados, com NPK foi melhor.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
b) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento,
pelo método dos totais de tratamentos.
Este método permite calcular as somas de quadrados dos componentes sem
utilizar as estimativas dos contrastes. Assim, para uma comparação qualquer,
por exemplo, Grupo A versus Grupo B, temos apenas que conhecer os totais
T de cada grupo e os números de parcelas (n) somadas para obter esses
totais. Então:
Total do Grupo A = TA (nA parcelas)
Total do Grupo B = TB (nB parcelas)
Total = TA + TB (nA + nB parcelas)
SQ(A vs B) =
T2A
nA
+
T2B
nB
−
(TA + TB)2
nA + nB
.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
b) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento, pelo método dos totais
de tratamentos.
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 122,4
T2 + T3 + T4 + T5 = 27,1 + 26,6 + 22,1 + 25,6 = 101,4
1) Solo de cerrado somente vs demais
T Solo de Cerrado somente = 21,0 (4 parcelas)
T Demais = 101,4 (16 parcelas)
Total = 122,4 (20 parcelas)
SQL1 =
21,02
4
+
101,42
16
−
(122,4)2
20
= 3,78
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
b) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento, pelo métododos totais
de tratamentos.
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 122,4
T2 + T3 = 27,1 + 26,6 = 53,7 T4 + T5 = 22,1 + 25,6 = 47,7
2) Esterco vs Vermiculita
T Esterco = 53,7 (8 parcelas)
T Vermiculita = 47,7 (8 parcelas)
Total = 101,4 (16 parcelas)
SQL2 =
53,72
8
+
47,72
8
−
(101,4)2
16
= 2,25
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
b) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento, pelo método dos totais
de tratamentos.
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 122,4
3) Esterco com NPK vs Esterco+NPK
T Esterco sem NPK = 27,1 (4 parcelas)
T Esterco+NPK = 26,6 (4 parcelas)
Total = 53,7 (8 parcelas)
SQL3 =
27,12
4
+
26,62
4
−
(53,7)2
8
= 0,03
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
Exemplo 5 (continuação):
b) Cálculo das somas de quadrados dos componentes de desdobramento, pelo método dos totais
de tratamentos.
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 122,4
4) Vermiculita sem NPK vs Vermiculita+NPK
T Vermiculita sem NPK = 22,1 (4 parcelas)
T Vermiculita+NPK = 25,6 (4 parcelas)
Total = 47,7 (8 parcelas)
SQL4 =
22,12
4
+
25,62
4
−
(47,7)2
8
= 1,53
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus
de liberdade de tratamentos igualmente repetidos
O que resulta no mesmo quadro de ANOVA já visto anteriormente:
H0 : Li = 0,
H1 : Li , 0, para i = 1,2,3,4.
CV GL SQ QM F
Cerrado somente vs demais 1 3,78 3,78 14,54∗
Esterco vs Vermiculita 1 2,25 2,25 8,65∗
Esterco sem NPK vs Esterco+NPK 1 0,03 0,03 0,12ns
Vermiculita sem NPK vs Vermiculita+NPK 1 1,53 1,53 5,88∗
(Tratamentos) (4) (7,59)
Resíduos 15 3,91 0,26
Total 19 11,51
Ftab = F5%(1,15) = 4,54.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exemplo 5: Refazendo pelo Teste T
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais Médias
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0 5,25
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1 6,775
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6 6,65
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1 5,525
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6 6,4
G = 122,4
Considere o contraste: 1) SC vs demais
H0 : L1 = 4µ1 − µ2 − µ3 − µ4 − µ5 = 0 vs Ha : L1 = 4µ1 − µ2 − µ3 − µ4 − µ5 , 0
L̂1 = 4µ̂1 − µ̂2 − µ̂3 − µ̂4 − µ̂5 = 4 × 5,25 − 6,775 − 6,65 − 5,525 − 6,4 = −4,35
QMRes = 0,26 (15GL) (quadro ANOVA) r = 4
V̂(L̂1) = (42 + (−1)2 + (−1)2 + (−1)2 + (−1)2) ×
0,26
4
= 1,3
tcal1 =
L̂1√
V̂(L̂1)
=
−4,35
√
1,3
= −3,815 ttab (15,5%) = 2,131, então |tcal1 | > ttab rejeita-se H0
Note que: (−3,815)2 = 14,5 = Fcal1 e (2,131)2 = 4,54 = F(1,15,5%) (quadro ANOVA)
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exemplo 5: Refazendo pelo Teste T
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais Médias
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0 5,35
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1 6,775
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6 6,65
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1 5,525
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6 6,4
G = 122,4
Considere o contraste: 2) Esterco vs Vermiculita
H0 : L2 = µ2 + µ3 − µ4 − µ5 = 0 vs Ha : L2 = µ2 + µ3 − µ4 − µ5 , 0
L̂2 = µ̂2 + µ̂3 − µ̂4 − µ̂5 = 6,775 + 6,65 − 5,525 − 6,4 = 1,5
QMRes = 0,26 (15GL) (quadro ANOVA) r = 4
V̂(L̂2) = (12 + 12 + (−1)2 + (−1)2) ×
0,26
4
= 0,26
tcal2 =
L̂2√
V̂(L̂2)
=
1,5
√
0,26
= 2,942 ttab (15,5%) = 2,131, então |tcal2 | > ttab rejeita-se H0
Note que: (2,942)2 = 8,65 = Fcal2 e (2,131)2 = 4,54 = F(1,15,5%) (quadro ANOVA)
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exemplo 5: Refazendo pelo Teste T
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais Médias
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0 5,35
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1 6,775
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6 6,65
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1 5,525
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6 6,4
G = 122,4
Considere o contraste: 3) Esterco sem NPK vs Esterco+NPK
H0 : L3 = µ2 − µ3 = 0 vs Ha : L3 = µ2 − µ3 , 0
L̂3 = µ̂2 − µ̂3 = 6,775 − 6,65 = 0,125
QMRes = 0,26 (15GL) (quadro ANOVA) r = 4
V̂(L̂3) = (12 + (−1)2) ×
0,26
4
= 0,13
tcal3 =
L̂3√
V̂(L̂3)
=
0,125
√
0,13
= 0,347 ttab (15,5%) = 2,131, então |tcal3 | < ttab não rejeita-se H0
Note que: (0,347)2 = 0,12 = Fcal3 e (2,131)2 = 4,54 = F(1,15,5%) (quadro ANOVA)
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exemplo 5: Refazendo pelo Teste T
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais Médias
1- SC 4,6 5,1 5,8 5,5 T1 = 21,0 5,35
2- SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1 6,775
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6 6,65
4- SC+V 5,6 4,9 5,9 5,7 T4 = 22,1 5,525
5- SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6 6,4
G = 122,4
Considere o contraste: 4) Vermiculita sem NPK vs Vermiculita+NPK
H0 : L4 = µ4 − µ5 = 0 vs Ha : L4 = µ4 − µ5 , 0
L̂4 = µ̂4 − µ̂5 = 5,525 − 6,4 = −0,875
QMRes = 0,26 (15GL) (quadro ANOVA) r = 4
V̂(L̂4) = (12 + (−1)2) ×
0,26
4
= 0,13
tcal4 =
L̂4√
V̂(L̂4)
=
−0,875
√
0,13
= −2,423 ttab (15,5%) = 2,131, então |tcal4 | > ttab rejeita-se H0
Note que: (−2,423)2 = 5,88 = Fcal4 e (2,131)2 = 4,54 = F(1,15,5%) (quadro ANOVA)
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Quando os totais de tratamentos (Ti) são obtidos com números diferentes de
repetições (ri), temos que a função linear Y1 = c1T1 + c2T2 + · · · + cITI é
considerada um contraste de totais de tratamentos, se:
r1c1 + r2c2 + · · ·+ rIcI = 0
( I∑
i=1
rici = 0
)
.
Neste caso, SQL1 é dada por:
SQL1 =
L̂21
r1c21 + r2c
2
2 + · · ·+ rIc
2
I
ou SQL1 =
L̂21∑I
i=1 ric21i
.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Dois contrastes de totais de tratamentos:
L1 = c1T1 + c2T2 + · · ·+ cITI
( I∑
i=1
rici = 0
)
L2 = b1T1 + b2T2 + · · ·+ bITI
( I∑
i=1
ribi = 0
)
com números diferentes de repetições para os tratamentos serão ortogonais
se:
r1c1b1 + r2c2b2 + · · ·+ rIcIbI = 0
( I∑
i=1
ricibi = 0
)
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Para o estabelecimento de cada contraste, procede-se da seguinte forma:
• Escreve-se os totais de tratamentos (Ti) envolvidos na comparação pro-
posta;
• Atribuí-se sinal positivo aos totais de um grupo e sinal negativo aos totais
do outro grupo;
• Verifica-se o número de parcelas envolvidas no 1º grupo (n1) e o número
de parcelas envolvidas no 2º grupo (n2). Calculamos o mínimo múltiplo
comum (m.m.c.) entre n1 e n2.
• Divide-se o m.m.c. por n1. O resultado será o coeficiente de cada total
do 1º grupo;
• Divide-se o m.m.c. por n2. O resultado será o coeficiente de cada total
do 2º grupo.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6: Retomando ao Exemplo 5, agora com os dados desbalanceados (Dados
do Exercício 3, Lista 1).
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1 - SC 4,6 5,1 5,8 T1 = 15,5
2 - SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4 - SC+V 5,6 4,9 5,9 T4 = 16,4
5 - SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 111,2
Considerando as mesmas comparações feitas anteriormente, oscontrastes ortogonais
do desdobramento proposto são:
L1 = 5T1 − T2 − T3 − T4 − T5 m.m.c.(3,15)=15
L2 = 7T2 + 7T3 − 8T4 − 8T5 m.m.c.(7,8)=56
L3 = T2 − T3 m.m.c.(4,4)=4
L4 = 4T4 − 3T5 m.m.c.(3,4)=12
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1 - SC 4,6 5,1 5,8 T1 = 15,5
2 - SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4 - SC+V 5,6 4,9 5,9 T4 = 16,4
5 - SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 111,2
Para estes dados, temos:
SQTratamentos =
T21
r1
+
T22
r2
+
T23
r3
+
T24
r4
+
T25
r5
− C
SQTratamentos =
15,52
3
+
27,12
4
+
26,62
4
+
16,42
3
+
25,62
4
−
111,22
18
= 7,10
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
T1 = 15,5 T2 = 27,1 T3 = 26,6 T4 = 16,4 T5 = 25,6
L1 = 5T1 − T2 − T3 − T4 − T5
L̂1 = 5(15,5) − 27,1 − 26,6 − 16,4 − 25,6 = −18,2 cm
L2 = 7T2 + 7T3 − 8T4 − 8T5
L̂2 = 7(27,1) + 7(26,6) − 8(16,4) − 8(25,6) = 39,9 cm
L3 = T2 − T3
L̂3 = 27,1 − 26,6 = 0,5 cm
L4 = 4T4 − 3T5
L̂4 = 4(16,4) − 3(25,6) = −11,2 cm
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
L1 = 5T1 − T2 − T3 − T4 − T5
r1 = 3 r2 = 4 r3 = 4 r4 = 3 r5 = 4
L̂1 = −18,2
Pelo método dos contrastes de totais de tratamentos, as somas de qua-
drados são dadas por:
SQL1 =
(−18,2)2
3(5)2 + 4(−1)2 + 4(−1)2 + 3(−1)2 + 4(−1)2
=
331,24
90
= 3,68
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
L2 = 7T2 + 7T3 − 8T4 − 8T5
r2 = 4 r3 = 4 r4 = 3 r5 = 4
L̂2 = 39,9
Pelo método dos contrastes de totais de tratamentos, as somas de qua-
drados são dadas por:
SQL2 =
(39,9)2
4(7)2 + 4(7)2 + 3(−8)2 + 4(−8)2
=
1592,01
840
= 1,90
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
L3 = T2 − T3
r2 = 4 r3 = 4
L̂3 = 0,5
Pelo método dos contrastes de totais de tratamentos, as somas de qua-
drados são dadas por:
SQL3 =
(0,5)2
4(1)2 + 4(−1)2
=
0,25
8
= 0,03
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
L4 = 4T4 − 3T5
r4 = 3 r5 = 4
L̂4 = −11,2
Pelo método dos contrastes de totais de tratamentos, as somas de qua-
drados são dadas por:
SQL4 =
(−11,2)2
3(4)2 + 4(−3)2
=
125,44
84
= 1,49
Verifica-se que: SQL1 + SQL2 + SQL3 + SQL4 = 7,10 = SQTratamentos
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
L4 = 4T4 − 3T5
r4 = 3 r5 = 4
L̂4 = −11,2
Pelo método dos contrastes de totais de tratamentos, as somas de qua-
drados são dadas por:
SQL4 =
(−11,2)2
3(4)2 + 4(−3)2
=
125,44
84
= 1,49
Verifica-se que: SQL1 + SQL2 + SQL3 + SQL4 = 7,10 = SQTratamentos
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1 - SC 4,6 5,1 5,8 T1 = 15,5
2 - SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4 - SC+V 5,6 4,9 5,9 T4 = 16,4
5 - SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 111,2
T1 = 15,5 r1 = 3
T2 + T3 + T4 + T5 = 27,1 + 26,6 + 16,4 + 25,6 = 95,7
r2 + r3 + r4 + r5 = 4 + 4 + 3 + 4 = 15
5∑
i=1
Ti = 111,2
5∑
i=1
ri = 18
Pelo método dos totais de tratamentos, as somas de quadrados são calculadas por:
SQL1 =
15,52
3
+
95,72
15
−
111,22
18
= 3,68
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1 - SC 4,6 5,1 5,8 T1 = 15,5
2 - SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4 - SC+V 5,6 4,9 5,9 T4 = 16,4
5 - SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 111,2
T2 + T3 = 27,1 + 26,6 = 53,7 r2 + r3 = 4 + 4 = 8
T4 + T5 = 16,4 + 25,6 = 42,0 r4 + r5 = 3 + 4 = 7
5∑
i=2
Ti = 95,7
5∑
i=2
ri = 15
Pelo método dos totais de tratamentos, as somas de quadrados são calculadas por:
SQL2 =
53,72
8
+
42,02
7
−
95,72
15
= 1,90
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1 - SC 4,6 5,1 5,8 T1 = 15,5
2 - SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4 - SC+V 5,6 4,9 5,9 T4 = 16,4
5 - SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 111,2
T2 = 27,1 r2 = 4
T3 = 26,6 r3 = 4
T2 + T3 = 27,1 + 26,6 = 53,7 r2 + r3 = 4 + 4 = 8
Pelo método dos totais de tratamentos, as somas de quadrados são calculadas por:
SQL3 =
27,12
4
+
26,62
4
−
53,72
8
= 0,03
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Decomposição do número de graus de liberdade
de tratamentos com números diferentes de repetições
Exemplo 6 (continuação):
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 Totais
1 - SC 4,6 5,1 5,8 T1 = 15,5
2 - SC+E 6,0 7,1 7,2 6,8 T2 = 27,1
3- SC+E+NPK 5,8 7,2 6,9 6,7 T3 = 26,6
4 - SC+V 5,6 4,9 5,9 T4 = 16,4
5 - SC+V+NPK 5,8 6,4 6,6 6,8 T5 = 25,6
G = 111,2
T4 = 16,4 r4 = 3
T5 = 25,6 r5 = 4
T4 + T5 = 16,4 + 25,6 = 42,0 r4 + r5 = 3 + 4 = 7
Pelo método dos totais de tratamentos, as somas de quadrados são calculadas por:
SQL4 =
16,42
3
+
25,62
4
−
42,02
7
= 1,49
Verifica-se que: SQL1 + SQL2 + SQL3 + SQL4 = 7,10 = SQTratamentos
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Teste de Scheffé
Este teste pode ser aplicado para testar todo e qualquer contraste de médias,
mesmo quando sugerido pelos dados.
É frequentemente usado para testar contrastes que envolvam grupos de mé-
dias.
É um teste mais rigoroso que o teste t, porém, é mais flexível que ele, tendo
em vista a não exigência de ortogonalidade e nem de que os contrastes sejam
estabelecidos antes de se examinar os dados.
Para sua aplicação correta, exige apenas que o teste F da análise de variância
para tratamentos seja significativo, pois quando isto ocorre, indica que deve-
mos ter pelo menos um contraste de médias significativo. Isso não significa
que o contraste significativo tenha que ser um contraste entre duas médias.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Teste de Scheffé
Aplicação do teste de Scheffé:
Seja um contraste qualquer: L = c1µ1 + c2µ2 + . . .+ cIµI, em que as médias
foram calculadas com r repetições.
1. Calcular a estimativa do contraste - L̂ , L̂ = c1µ̂1 + c2µ̂2 + . . .+ cIµ̂I .
2. Calcular a estimativa da variância do contraste, para o caso de tratamentos
com o mesmo número de repetições - V̂(L̂), V̂(L̂) = (c21 + c
2
2 + . . .+ c
2
I )
s2
r .
3. Calcular o valor da estatística, S, por:
S =
√
(I − 1)Ftab V̂(L̂), em que (I − 1) é o número de graus de liberdade de
tratamentos, Ftab é o valor da tabela F, em função do número de graus de
liberdade do tratamento e do número de graus de liberdade do resíduo.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Teste de Scheffé
4. Comparar a estimativa do contraste (em valor absoluto) com S:
• Se |L̂ | ≥ S , o teste é significativo, rejeitamos H0 para L , e concluí-se
que as médias dos dois tratamentos (ou dos dois grupos) de L diferem
significativamente.
• Se |L̂| < S , o teste é não significativo, não rejeitamos H0 para L , e
concluí-se que as médias dos dois tratamentos (ou dos dois grupos) de
L não diferem significativamente.
5. Indicar a significância do teste no valor da estimativa do contraste (L̂).
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Teste de Scheffé
Exemplo 7: Considerando os dados µ̂1 = 14,85, µ̂2 = 14,68, µ̂3 = 14,35, µ̂4 =
13,74, µ̂5 = 13,20, s2 = 0,8312, glRes = 25, r = 6 e o seguinte contraste
L1 = 2µ1 + 2µ2 + 2µ3 − 3µ4 − 3µ5. Testar a hipótese de L1 = 0, ao nível de
5% de significância pelo teste de Scheffé.
Do conjunto de dados, temos as seguintes estimativas:
L̂1 = 2 × (14,85) + 2 × (14,68) + 2 × (14,35) − 3 × (13,74) − 3 × (13,20) = 6,94.
V̂(L̂1) =
[
22 + 22 + 22 + (−3)2 + (−3)2
] 0,8312
6
= 4,156.
E
F(4,25,5%) = 2,76.
Então, a estatística S será dada por:
S =
√
(I − 1)Ftab V̂(L̂) =
√
(5 − 1) × 2,76 × 4,156 = 6,77.
Como |L̂1| = 6,94 > S = 6,77, rejeita-se H0 ao nível de 5% de significância e concluí-
se que as médias dos dois grupos de L diferem significativamente.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Recomendações
O teste t-Student deve ser usado com cautela para testar contrastes
ortogonais definidos a priori.
O teste de Scheffé é desaconselhável para comparação de duas mé-
dias, sendo aconselhável para testar contrastes mais complicados ou
escolhidos a posteriori.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exercício
Num experimento de competição de adubos nitrogenados na cultura de abacaxi, foram utilizados os
seguintes tratamentos:
Tratamento Descrição
1 Testemunha
2 Sulfato de Amônia
3 Salitre do Chile
4 Uréia
5 Nitrocálcio de Cubatão
6 Nitrocálcio de Cubatão +Enxofre
Foram utilizadas 4 repetições por tratamento, QMResíduo=0,64 com glRes=18 e as produções mé-
dias dos tratamentos, em kg/parcela, estão apresentadas na tabela a seguir:
Tratamento 1 2 3 4 5 6
Média 21,57 27,76 24,58 28,44 28,85 28,30
Vamos testar os seguintes contrastes ortogonais:
L1 = −5µ1 + µ2 + µ3 + µ4 + µ5 + µ6
L2 = −2µ2 − 2µ3 − 2µ4 + 3µ5 + 3µ6
L3 = −2µ2 + µ3 + µ4
L4 = −µ3 + µ4
L5 = −µ5 + µ6
Usando a estatística t, teste cada contraste i dado anteriormente, se H0 : Li = 0 versus Ha : Li , 0, considerando α = 0,05. Dê a
interpretação prática dos resultados.
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exercício
T1 : Testemunha T2 : Sulfato de Amônia T3 : Salitre do Chile
T4 : Uréia T5 : Nitrocálcio de Cubatão T6 : Nitrocálcio de Cubatão +Enxofre
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exercício
1. Estimativas dos contrastes
Tratamento 1 2 3 4 5 6
Média 21,57 27,76 24,58 28,44 28,85 28,30
L̂1 = −5µ̂1 + µ̂2 + µ̂3 + µ̂4 + µ̂5 + µ̂6
L̂1 = −5 × 21,57 + 27,76 + 24,58 + 28,44 + 28,85 + 28,30 = 30,08
L̂2 = −2µ̂2 − 2µ̂3 − 2µ̂4 + 3µ̂5 + 3µ̂6
L̂2 = −2 × 27,76 − 2 × 24,58 − 2 × 28,44 + 3 × 28,85 + 3 × 28,30 = 9,89
L̂3 = −2µ̂2 + µ̂3 + µ̂4 = −2 × 27,76 + 24,58 + 28,44 = −2,5
L̂4 = −µ̂3 + µ̂4 = −24,58 + 28,44 = 3,86
L̂5 = −µ̂5 + µ̂6 = −28,85 + 28,30 = −0,55
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exercício
2. Estimativas das variâncias dos contrastes - V̂(L̂i) = (c21 + c
2
2 + . . .+ c
2
I )
QMRes
r
L1 = −5µ1 + µ2 + µ3 + µ4 + µ5 + µ6
L2 = −2µ2 − 2µ3 − 2µ4 + 3µ5 + 3µ6
L3 = −2µ2 + µ3 + µ4
L4 = −µ3 + µ4
L5 = −µ5 + µ6
QMRes = 0,64 r = 4
V̂(L̂1) = ((−5)2 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12)
0,64
4
= 4,8
V̂(L̂2) = ((−2)2 + (−2)2 + (−2)2 + 32 + 32)
0,64
4
= 4,8
V̂(L̂3) = ((−2)2 + 12 + 12)
0,64
4
= 0,96
V̂(L̂4) = ((−1)2 + 12)
0,64
4
= 0,32
V̂(L̂5) = ((−1)2 + 12)
0,64
4
= 0,32
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exercício
3. Estatística do teste e significância - t = L̂i√
V̂(L̂i )
L̂1 = 30,08 L̂2 = 9,89 L̂3 = −2,55 L̂4 = 3,86 L̂5 = −0,55
V̂(L̂1) = 4,8 V̂(L̂2) = 4,8 V̂(L̂3) = 0,96 V̂(L̂4) = 0,32 V̂(L̂5) = 0,32
tcal1 =
30,08
√
4,8
= 13,73 tcal2 =
9,89
√
4,8
= 4,51 tcal3 =
−2,5
√
0,96
= −2,55
tcal4 =
3,86
√
0,32
= 6,82 tcal5 =
−0,55
√
0,32
= −0,97
ttab (18,5%) = 2,101(bilateral)
Hipóteses: H0 : Li = 0 versus Ha : Li , 0
|tcal1 | > ttab ⇒ rejeita-se H0 |tcal2 | > ttab ⇒ rejeita-se H0
|tcal3 | > ttab ⇒ rejeita-se H0 |tcal4 | > ttab ⇒ rejeita-se H0
|tcal5 | < ttab ⇒ não rejeita-se H0
Contraste entre Grupos de Médias, Fumes-Ghantous G. Probabilidade
Exercício
Conclusões
• O efeito da adubação nitrogenada foi significante na produção de aba-
caxi (L1);
• Os adubos nitrogenados com cálcio proporcionaram uma maior produ-
ção, comparando-se com os adubos sem cálcio (L2);
• Dos adubos sem cálcio, o sulfato de amônia proporcionou uma produção
diferente e superior em média em relação aos outros tratamentos (L3);
• Ainda com relação aos adubos sem cálcio, a produção das parcelas com
uréia foi maior que as parcelas com Salitre do Chile (L4);
• Dos adubos com cálcio, a presença de enxofre não aumentou significa-
tivamente a produção de abacaxi (L5).
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