Livro de Fundamentos

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Carmen Lúcia Valgas
Elisabete Ferreira Silva
José Trobia
pONTA gROSSA - pARANÁ
2010
Matemática
LiceNciATuRA em
eDucAÇÃO A DiSTÂNciA
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA III
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
Núcleo de Tecnologia e Educação Aberta e a Distância - NUTEAD
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2010
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cRÉDiTOS
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Reitor
Carlos Luciano Sant’ana Vargas
Vice-Reitor
V169f	 		Valgas,	Carmen	Lúcia
																														Fundamentos	da	matemática	III./	Carmen	Lúcia	Valgas,	
																								Elisabete	Ferreira	Silva	e	José	Trobia.		Ponta	Grossa	:	UEPG/
																								NUTEAD,		2010.
																													151p.	il.
							Licenciatura	em	Matemática	-	Educação	a	Distância.	
						1.	Análise	combinatória.	2.	Números	complexos.	3.	Polinô-
mios.	4.	Equações	polinomiais	I.	Silva,	Elisabete	Ferreira.	II.	
Trobia,	José.	III.	T.	
							
																																	CDD	:	516.24
ApReSeNTAÇÃO iNSTiTuciONAL
A Universidade Estadual de Ponta Grossa é uma instituição de ensino 
superior estadual, democrática, pública e gratuita, que tem por missão 
responder aos desafios contemporâneos, articulando o global com o local, 
a qualidade científica e tecnológica com a qualidade social e cumprindo, 
assim, o seu compromisso com a produção e difusão do conhecimento, 
com a educação dos cidadãos e com o progresso da coletividade. 
No contexto do ensino superior brasileiro, a UEPG se destaca tanto 
nas atividades de ensino, como na pesquisa e na extensão Seus cursos 
de graduação presenciais primam pela qualidade, como comprovam os 
resultados do ENADE, exame nacional que avalia o desempenho dos 
acadêmicos e a situa entre as melhores instituições do país. 
A trajetória de sucesso, iniciada há mais de 40 anos, permitiu que 
a UEPG se aventurasse também na educação a distância, modalidade 
implantada na instituição no ano de 2000 e que, crescendo rapidamente, 
vem conquistando uma posição de destaque no cenário nacional. 
Atualmente, a UEPG é parceira do MEC/CAPES/FNED na execução 
do programas Pró-Licenciatura e do Sistema Universidade Aberta do 
Brasil e atua em 38 polos de apoio presencial, ofertando, diversos cursos 
de graduação, extensão e pós-graduação a distância nos estados do 
Paraná, Santa Cantarina e São Paulo. 
Desse modo, a UEPG se coloca numa posição de vanguarda, 
assumindo uma proposta educacional democratizante e qualitativamente 
diferenciada e se afirmando definitivamente no domínio e disseminação 
das tecnologias da informação e da comunicação. 
Os nossos cursos e programas a distância apresentam a mesma 
carga horária e o mesmo currículo dos cursos presenciais, mas se utilizam 
de metodologias, mídias e materiais próprios da EaD que, além de serem 
mais flexíveis e facilitarem o aprendizado, permitem constante interação 
entre alunos, tutores, professores e coordenação.
 Esperamos que você aproveite todos os recursos que oferecemos 
para promover a sua aprendizagem e que tenha muito sucesso no curso 
que está realizando.
A Coordenação 
PALAVRAS DOS PROFESSO ■ RES 7
OBJETIVOS E EMENT ■ A 9
uNiDADe 1 - ANÁLiSe cOmBiNATÓRiA 11
SEÇÃO ■ 1 - PriNCíPiO FUNDAMENtAL DA CONtAGEM 12
SEÇÃO 2 - ■ PErMUtAçõES 20
SEÇÃO 3 - ■ ArrANjOS E COMBiNAçõES 28
SEÇÃO 4 - ■ triâNGULO DE PASCAL E BiNôMiO DE NEwtON 37
uNiDADe 2 - NÚmeROS cOmpLeXOS 63
SEÇÃO ■ 1 - CONjUNtO DOS NúMErOS COMPLExOS 64
SEÇÃO 2 - ■ OPErAçõES COM NúMErOS COMPLExOS NA FOrMA ALGéBriCA 78
SEÇÃO 3 - ■ NúMErOS COMPLExOS NAS FOrMAS triGONOMétriCA E ExPONENCiAL 84
uNiDADe 3 - pOLiNÔmiOS 99
SEÇÃO ■ 1 - FUNçãO POLiNOMiAL 100
SEÇÃO 2 - ■ OPErAçõES COM POLiNôMiOS 106
uNiDADe 4 - eQuAÇÕeS pOLiNOmiAiS 123
SEÇÃO ■ 1 - rAízES DE EqUAçõES POLiNOMiAiS 125
SEÇÃO 2 - ■ rELAçõES ENtrE COEFiCiENtES E rAízES 140
SumÁRiO
PALAVRAS FINAI ■ S 149
REFERÊNCIAS ■ 151
NOTAS SOBRE OS AUTO ■ RES 153
pALAVRAS DOS pROFeSSOReS
Prezado(a) aluno(a): 
Parabéns, você já chegou ao terceiro livro de Fundamentos da 
Matemática!
Neste livro você vai estudar alguns assuntos muito importantes para 
o seu desempenho não só como acadêmico do curso de Licenciatura, mas 
também como futuro professor de matemática. 
Como nos livros anteriores de Fundamentos da Matemática, os 
assuntos são desenvolvidos privilegiando a lógica do conhecimento 
em construção, de modo que você possa avançar nos estudos de forma 
gradual, partindo de conceitos simples para atingir os mais complexos.
Com certeza você já estudou todos esses conteúdos no Ensino 
Médio; agora eles serão relembrados e aprofundados em alguns pontos. 
São assuntos extensos sobre os quais, como já afirmamos anteriormente, 
não temos a pretensão de abordar na sua totalidade. Mas entendemos 
que os temas a serem pontuados o(a) levem a buscar outras fontes de 
informação e o(a) auxiliem na continuidade de seu curso.
A primeira unidade trata da Análise Combinatória, cujo objetivo 
principal é a determinação do número de possibilidades de um dado 
evento ocorrer. Os diversos modelos abordados são apresentados através 
de situações que estimulam a exercitar o raciocínio e a criatividade. Além 
disso, a Análise Combinatória fornece subsídios para o estudo dos dois 
outros temas a serem trabalhados nesta unidade: triângulo de Pascal e 
binômio de Newton.
Na unidade ii você vai verificar como a criação da unidade 
imaginária i permitiu a interpretação de uma nova categoria de números, 
os complexos, possibilitando a resolução de questões até então em aberto 
no campo dos números reais. 
Na unidade seguinte são estudados os polinômios e suas operações, 
sendo a divisão tratada mais detalhadamente por prestar-se à resolução 
de equações polinomiais; e, na unidade final, como sequência ao 
conteúdo abordado nas unidades anteriores, apresentamos métodos para 
a resolução das equações algébricas.
Assim como em Fundamentos da Matemática i e ii, lembramos 
que é importante a resolução das atividades propostas, pois elas não só 
visam à prática de certas habilidades específicas, mas também envolvem 
o desafio de situações novas. 
Anote suas dúvidas e busque esclarecimentos com o professor tutor 
sempre que tiver necessidade.
Sinta-se à vontade e bons estudos!
Os professores
Carmen, Elisabete e trobia
OBJeTiVOS e emeNTA
ObjetivO Geral
Ao final dos seus estudos você será capaz de desenvolver competências ■
e habilidades para investigar, observar, compreender, analisar e obter conclusões 
dos principais conceitos de análise combinatória,bem como de números comple-
xos, de polinômios e de equações algébricas.
ementa 
Análise combinatória: princípio aditivo e multiplicativo, fatorial, permuta- ■
ção e combinação. Triângulo de Pascal. Binômio de Newton. 
Números complexos: operações, formas trigonométrica e exponencial, ■
operações na forma trigonométrica. 
Polinômios: igualdade, operações, divisibilidade. ■
Equações algébricas: teorema fundamental da álgebra, raízes e relações ■
entre coeficientes e raízes. 
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 IAnálise 
combinatória 
ObjetivOs de aprendizaGem
Utilizar o princípio fundamental da contagem na resolução de problemas. ■
Reconhecer os tipos de agrupamentos. ■
Resolver problemas envolvendo permutações. ■
Resolver problemas envolvendo arranjos e combinações. ■
Desenvolver o binômio de Newton. ■
rOteirO de estudOs
Seção 1 - ■ Princípio fundamental da contagem
Seção 2 - ■ Permutações
Seção 3 - ■ Arranjos e combinações
Seção 4 - ■ Triângulo de Pascal e binômio de Newton
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UNIDADE 1
pARA iNíciO De cONVeRSA
Nesta unidade você estudará um assunto de grande importância na matemática 
– a Análise Combinatória – cujo objetivo principal é a determinação do número de 
possibilidades de um dado evento ocorrer. O estudo da combinatória é de grande 
interesse nos mais variados campos, pois a necessidade de contar o número de 
possibilidades de realizar uma determinada tarefa pode surgir em diversas situações 
cotidianas. Por exemplo, quando se elabora um horário escolar, ou se procura 
determinar a chance de acertar na Loteria, ou ainda para determinar quantos símbolos 
são necessários para emplacar todos os automóveis de uma cidade. 
A combinatória é também utilizada na indústria e na ciência em todos os 
níveis e, associada à probabilidade e à estatística, torna-se um instrumento poderoso, 
responsável, muitas vezes, por tomadas de decisões. Particularmente na matemática, 
teremos a oportunidade de aplicá-la no desenvolvimento do binômio de Newton e, 
mais adiante, na teoria das probabilidades. 
SeÇÃO 1 
PRINCíPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Esta seção aborda os problemas de contagem em que a resolução é elementar, 
diretamente associada ao senso comum, envolvendo uma listagem ou uma contagem 
dos casos que compõem o resultado.
A Análise Combinatória surgiu no século XVI, devido ao interesse dos 
apostadores em jogos de azar. Eles queriam saber, por exemplo, de quantas formas 
poder-se-ia obter soma 9 num jogo de dados, ou 3 valetes num jogo de baralho. 
O matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, 
foi um dos primeiros a formular uma teoria de contagem para jogos de dados. 
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UNIDADE 1
Posteriormente, no século XVII, os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise 
Pascal (1623-1662) desenvolveram teorias de contagem que vieram a constituir as 
bases do estudo da análise combinatória e das probabilidades.
1.1 prOblemas de cOntaGem
Considerando o acontecimento formado por dois lançamentos sucessivos de 
uma moeda, quantas possibilidades podemos ter como resultado?
Denominando K a face cara e C a face coroa, observe que, no primeiro 
lançamento, pode ocorrer K ou C na face superior. Jogando-a novamente, poderemos 
ter, outra vez, K ou C. Assim, como resultado tem-se quatro possibilidades que são: 
KK, KC, CK e CC.
Considere agora, o lançamento de uma moeda três vezes. Quantas são as 
possíveis sequências de resultados?
Neste caso, é conveniente utilizar o método da “árvore das possibilidades” ou 
“diagrama da árvore”, o qual permite uma melhor visualização da situação proposta 
e, também, porque o método por tentativas pode não conduzir ao resultado correto.
Observe que nos exemplos anteriores foi possível obter o número total de 
possibilidades descrevendo todas elas e depois as contando. Entretanto, se o número 
de possibilidades for muito grande, a tarefa de descrevê-las torna-se muito trabalhosa. 
Como o que nos interessa é determinar o número total de possibilidades sem 
K
K
C
K
C
C
K
C
K
C
K
C
K
C
2º lance1º lance 3º lance Possibilidades
KKK
KKC
KCK
KCC
CKK
CKC
CCK
CCC
Total 8 possibilidades
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UNIDADE 1
necessariamente descrevê-las, podemos utilizar uma técnica com essa finalidade: o 
princípio fundamental da contagem.
1.2 princípiO fundamental da cOntaGem
Considere a seguinte situação: num edifício existem 3 portas de entrada que 
dão para um saguão no qual existem 4 elevadores. Se você quer ir ao 5º andar, 
utilizando-se de um dos elevadores, de quantos modos diferentes poderá fazê-lo?
Observe que você pode escolher qualquer uma das 3 portas de entrada e, para 
cada porta escolhida, pode optar por qualquer um dos 4 elevadores. Logo, você terá 
3 . 4 = 12 opções diferentes de ir ao 5º andar.
O resultado acima foi obtido utilizando-se o princípio fundamental da 
contagem (PFC), enunciado a seguir:
“Se uma decisão 1d pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada 
a decisão 1d , a decisão 2d puder ser tomada de y maneiras, então o número de 
maneiras de se tomarem as decisões 1d e 2d é x y⋅ ”.
Acompanhe agora alguns exemplos de aplicação do PFC.
1) De quantas maneiras diferentes uma organização contendo 15 membros 
pode eleger um presidente, um tesoureiro e um secretário (supondo-se que nenhuma 
pessoa seja eleita para mais de um cargo)?
Resolução
Veja que este problema envolve a tomada de três decisões diferentes, que 
são:
1d = escolha do presidente = 15 maneiras diferentes
2d = escolha do tesoureiro = 14 maneiras diferentes
3d = escolha do secretário = 13 maneiras diferentes
Assim, utilizando o PFC, teremos 15 × 14 × 13 = 2730 maneiras diferentes 
de escolha.
O princípio funda-
mental da contagem 
também é chamado 
de princípio da mul-
tiplicação ou regra 
do produto e afirma 
que: “Se uma ação é 
composta de várias 
etapas sucessivas 
e independentes, 
o número total de 
possibilidades para 
essa ação se resu-
me no produto das 
possibilidades de 
todas as etapas que 
a compõem”.-
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UNIDADE 1
2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos 
distintos podemos formar?
Resolução
Neste caso, o algarismo das centenas pode ser qualquer um dos seis disponíveis; 
o algarismo das dezenas pode ser qualquer um dos cinco restantes; e o algarismo das 
unidades pode ser qualquer um dos quatro restantes, pois não pode haver repetição em 
nenhuma das posições. Veja a representação abaixo, onde 1d , 2d e 3d representam 
as decisões a serem tomadas:
 1 
6 modos
 d

 
2 
5 modos
 d

 
3 
4 modos
 d

 
Logo, aplicando o PFC, obtemos 6 × 5 × 4 = 120 números de 3 algarismos 
distintos.
3) Considerando os mesmos algarismos do problema anterior, quantos números 
com três algarismos distintos e que sejam divisíveis por 5 podemos formar?
Resolução
Note que o algarismo das unidades só pode ser o 5; o algarismo das dezenas 
pode ser qualquer um dos cinco restantes e o algarismo das centenas, qualquer um 
dos quatro restantes. Neste caso, diferentemente do problema anterior, a tomada da 
decisão 1d foi feita com relação ao algarismo da unidade.
Observe o esquema:
 
3 
4 modos
 d

 
2 
5 modos
 d

 
1 
1 modo
 d

 
 
Assim, pelo PFC obtemos 1 × 5 × 4 = 20 números divisíveis por 5.
4) Usando os algarismos 0, 2, 3, 4, 6, e 7, determine:
a) quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar?
b) quantos números de 4 algarismos podemos formar?
c) quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?
Resolução
Letra a: neste caso, existe uma restrição quanto ao algarismo dos milhares, 
que não pode ser o zero; logo, podemos preencher esta posição com qualquer um 
dos cinco restantes. Para as demais posições não existe nenhuma restrição.Temos, 
então, o seguinte esquema:
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UNIDADE 1
 
1 
5 modos
 d

 
2 
5 modos
 d

 
3 
4 modos
 d

 
4 
3 modos
 d

 
 
Portanto, podemos obter 5 × 5 × 4 × 3 = 300 números de 4 algarismos 
distintos.
Letra b: neste caso, o zero não pode ocupar a posição dos milhares, e, lembrando 
que nas demais posições os algarismos podem ser repetidos, temos o esquema:
 1 
5 modos
 d

 
2 
6 modos
 d

 
3 
6 modos
 d

 
4 
6 modos
 d

Logo, pelo PFC, temos 5 × 6 × 6 × 6 = 1080 números de 4 algarismos.
Letra c: você já sabe que o algarismo zero não pode ocupar 1ª posição, mas 
pode ocupar a última, pois queremos somente números pares. Então a resolução do 
problema requer duas análises distintas: 
i) se o zero está na última posição, temos 5 algarismos para ocupar a casa dos 
milhares, 4 algarismos para ocupar a casa das centenas e 3 algarismos para ocupar a 
casa das dezenas, conforme esquema:
2 
5 escolhas
 d

 
3 
4 escolhas
 d

 
4 
3 escolhas
 d

 
 ( ) 1
1 escolha
d zero

 5 × 4 × 3 × 1 = 60
ii) se o zero não está na última posição, temos três algarismos para ocupar a 
casa das unidades (2, 4 e 6), 4 algarismos para ocupar a casa dos milhares, pois o 
zero não pode ocupar essa casa, 4 algarismos para ocupar a casa das centenas e 3 
algarismos para ocupar a casa das dezenas, conforme esquema:
 ( ) 2
4 escolhas
d não zero

 
3 
4 escolhas
 d

 
4 
3 escolhas
 d

 
 (2, 4,6) 1
3 escolhas
d

 4 × 4 × 3 × 3 = 144
Logo, podemos formar 60 + 144 = 204 números pares de 4 algarismos 
distintos.
5) O código morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”, sendo as “letras” 
representadas por ponto e traço. Quantas “palavras” existem no código morse?
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UNIDADE 1
Resolução
Conforme o enunciado do problema, podemos ter palavras com 1 letra ou 2 
letras ou 3 letras ou 4 letras, ou seja:
i) uma letra: 
2 escolhas
ponto ou traço

 
 2
ii) duas letras: 
2 escolhas
ponto ou traço

 
2 escolhas
ponto ou traço

 
 2 × 2 = 4
iii) três letras: 
2 escolhas
ponto ou traço

 2 escolhas
ponto ou traço

 2 escolhas
ponto ou traço

 
 2 × 2 × 2 = 8
iv) quatro letras: 
2 escolhas
ponto ou traço

 2 escolhas
ponto ou traço

 2 escolhas
ponto ou traço

 2 escolhas
ponto ou traço

 
 2× 2 ×2× 2=16
Usamos agora o Princípio da Adição, que nos diz: se um conjunto é formado 
de m elementos e um outro conjunto é formado de n elementos, então a união desses 
conjuntos terá m + n elementos, desde que esses conjuntos sejam disjuntos.
Assim, podemos formar 2 + 4 + 8 + 16 = 30 “palavras” no código morse.
Observe que, na resolução dos problemas aplicando o Princípio Fundamental da 
Contagem, deve-se utilizar a seguinte orientação: se uma decisão é mais complicada 
que as demais, ela deve ser tomada em primeiro lugar.
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UNIDADE 1
ATIVIDADES DA SEÇÃO 1
Os problemas a seguir serão resolvidos aplicando-se o PFC.
1) Numa escola existem 3 rampas do andar térreo para o primeiro andar, 2 
escadas do primeiro para o segundo andar e 4 escadas do segundo para o terceiro 
andar. Calcule o número de trajetos possíveis para um aluno se deslocar:
a) do andar térreo para o segundo;
b) do primeiro para o terceiro e, a seguir, para o térreo. 
2) Para fazer uma viagem Curitiba – SãoPaulo – Curitiba, posso usar como 
transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os 
transportes, se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?
3) Numa olimpíada, 8 atletas de países diferentes disputam uma prova. Se, 
ao término da prova, forem hasteadas as bandeiras dos três primeiros colocados, de 
quantas maneiras poderão ser dispostas?
4) Com os algarismos 0, 2, 3, 5, 6, 7 e 9 queremos formar números de 4 
algarismos.
a) Quantos são esses números?
b) Quantos desses números são pares?
c) Quantos desses números são ímpares?
d) Quantos são os números formados por algarismos distintos?
e) Quantos são os números pares formados por algarismos distintos?
f) Quantos são os números ímpares formados por algarismos distintos?
g) Quantos são os múltiplos de 10 formados por algarismos distintos?
5) Quantos números de 4 algarismos tem o algarismo 8 na unidade e no 
milhar?
6) Quantos são os números de 5 algarismos que, escritos na ordem inversa, 
não se alteram? (Por exemplo, 52125)
7) Considerando placas formadas por 2 letras seguidas de 4 algarismos, 
responda:
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UNIDADE 1
a) Quantas placas distintas podem ser formadas?
b) Quantas placas possuem as letras e os algarismos distintos?
c) Quantas placas têm apenas vogais?
d) Quantas placas têm as letras A e L, nessa ordem?
e) Quantas placas têm as letras A e L? 
8) Sobre todos os números de 5 algarismos que podem ser formados, 
responda:
a) Qual o total deles?
b) Quantos deles têm os algarismos distintos?
c) Quantos deles começam pelo algarismo 1?
d) Quantos deles têm os algarismos distintos e começam pelo algarismo 1?
9) Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três 
dígitos distintos?
10) Uma bandeira é formada por cinco listras, que devem ser coloridas 
usando-se apenas as cores amarelo, branco e azul, não devendo listras adjacentes ter 
a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
RESPOSTAS das atividades
1) a) 6 b) 192
2) 6
3) 336
4) a) 2058 b) 882 c) 1176 d) 720 e) 320 
 f) 400 g) 120
5) 100
6) 900
7) a) 6.760.000 b) 3.276.000 c) 250.000 
d) 10.000 e) 20.000
8) a) 90.000 b) 27.216 c) 10.000 
d) 3.024
9) 320
10) 48
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UNIDADE 1
SeÇÃO 2 
PERMUTAÇõES
Nessa seção você vai estudar os diferentes tipos de agrupamentos, que são: 
arranjos, permutações e combinações. Para tanto, iniciamos a seção com a abordagem 
de fatorial, um conceito necessário na aplicação das fórmulas dos agrupamentos e 
que, portanto, será usado de imediato.
2.1 fatOrial
Fatorial de n (notação n!), n ∈  , n ≥ 2, é o produto dos números naturais 
de 1 a n.
 
( ) ( )n! 1 . 2 . 3 . 4 .... n – 2 . n – 1 . n= 
Note que:
2! = 2.1 = 2 
3! = 3.2.1 = 3.2!
4! = 4.3.2.1 = 4.3!
5! = 5.4.3.2.1 = 5.4!
6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5!
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6!
De forma geral: n! = n . (n – 1)!
Em n! = n . (n – 1)!, substituindo n por 2 vem: 2! = 2 . (2 – 1)! = 2 . 1!. ▪
Para que essa igualdade seja verdadeira, colocamos 
 1! 1= 
Em n! = n . (n – 1)!, substituindo n por 1 vem: 1! = 1 . (1 – 1)! = 1 . 0! ▪
Para que essa igualdade seja verdadeira, colocamos 
 0! 1=
A notação n! (fatorial 
de n), foi introduzida 
por Christian Kramp 
(Colônia, 1808) em 
seu livro 
“Elements 
d’arithmétique uni-
verselle”.
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UNIDADE 1
1) Simplifique as expressões:
a) 7!
4!
 
Aplicando a definição, temos: 
7! 7 6 5 4!
4! 4!
× × ×
= , e simplificando: 7 6 5 210× × =
b) ( 1)( 2)!! ( 1)
( 2)! ( 2)!
m m mm m m
m m
− −
= = −
− −
 
c) 3.6! 4.6! 20.5! (3 4).6! 12.5! 7.6.5! 20.5! 42.5! 20.5! (42 20).5! 22.5!+ − = + − = − = − = − = 
d) 12! 12 11 10 9! 12 11 10 220
9!3! 9!3! 3 2 1
× × × × ×
= = =
× ×
 
2.2 permutaçãO simples
É o tipo de agrupamento em que acontece simplesmente uma troca de posição 
dos elementos que o compõem. São os casos de pessoas em filas, anagramas de 
palavras com letras não repetidas, etc.
Assim, dados n elementos, chamamos de permutação simples dos n elementos 
todos os agrupamentos que podem ser formados com todos os n elementos distintos. 
O total dessas permutações é representado por nP e, como decorrência doprincípio 
multiplicativo, é dado por:
 .( 1).( 2). .3.2.1nP n n n= − −  ou seja: !nP n= 
20
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UNIDADE 1
1) Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 
2, 3 e 4?
Resolução
Este é um caso de permutação simples, pois os algarismos dados serão alterados 
somente na ordem de colocação na formação dos números, sem que nenhum deles 
fique de fora. 
Assim, usando a fórmula obtemos 4 4! 24P = = números.
Veja que esse problema pode também ser resolvido aplicando-se o PFC, onde 
tomamos as seguintes decisões:
1d = escolha do algarismo do milhar = 4 modos
2d = escolha do algarismo da centena = 3 modos
3d = escolha do algarismo da dezena = 2 modos
4d = escolha do algarismo da unidade = 1 modo
Assim, pelo PFC temos 4 × 3 × 2 × 1 = 24 números.
2) Em relação aos anagramas da palavra XADREZ, determine:
a) qual o número total deles?
b) quantos começam e terminam por consoante?
c) em quantos as letras X e A permanecem juntas?
Resolução
Letra a: é também um caso de permutação simples, pois a palavra XADREZ 
possui 6 letras distintas, as quais irão apenas se alternar na formação de cada um dos 
anagramas. Assim, aplicando a fórmula, obtemos 6 6! 720P = = anagramas.
Letra b: como queremos que os anagramas comecem por consoante, temos 
4 possibilidades de escolha entre as consoantes X, D, R e Z. Queremos também 
que terminem em consoante e, então, temos 3 possibilidades de escolha, pois a 
consoante usada no início não pode ser repetida. Para as quatro letras restantes (A, 
E e as duas consoantes que não estão no início nem no fim do anagrama) existem 4 
possibilidades, ou seja, 4 4!P = .
Veja o esquema: 
 ( ) 1
4 modos
d escolha da consoante

 4 letras restantes

 
 ( ) 2
3 modos
d escolha da consoante

 
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UNIDADE 1
Assim, a resposta será 4 × 4! × 3 = 288 anagramas que começam e terminam 
por consoante.
Letra c: como as letras X e A devem permanecer juntas, consideramos que 
elas ocupam uma só posição. Assim, em vez de permutação de 6 elementos, teremos 
permutação de 5, ou seja:
 letras X e A 
1 posição

 
4 posições restantes

 
= 5P 
Entretanto, as letras que permanecem juntas também podem permutar de 
lugar, isto é, 2P .
Logo, temos 5 2 5! 2! 240P P× = × = anagramas nos quais as letras X e A 
permanecem juntas.
3) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm 
permutando os algarismos 4, 5, 6 e 7, qual é a posição ocupada pelo número 7546?
Resolução
Na sequência citada, o número 7546 é precedido pelos números que começam 
por 4, ou por 5, ou por 6, e ainda alguns que começam por 74. A quantidade para 
cada um desses casos é:
4 ___ ___ ___, que são em número de 3P ;
5 ___ ___ ___, que são em número de 3P ;
6 ___ ___ ___, que são em número de 3P ;
7 4 ___ ___, que são em número de 2P .
Logo, 7546 é precedido por 3 3 3 2 20P P P P+ + + = números.
Portanto, na sequência citada, 7546 é o 21º elemento.
2.3 permutaçãO cOm repetiçãO
Ocorre quando elementos idênticos permutam entre si e o agrupamento 
continua o mesmo. 
Acompanhe os seguintes exemplos: 
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UNIDADE 1
1) Quantas permutações podemos obter com os algarismos 2, 2 e 4? 
Resolução
Se você utilizar a fórmula de permutação, o resultado será: 3 3! 6P = = . 
Observe, porém, que as permutações obtidas são apenas três: 224, 242 e 422, porque 
no agrupamento 422, a troca da unidade com a centena resulta num outro número, 
224. No entanto, a troca da unidade com a dezena resulta no mesmo número. 
Então, calculamos o número total de permutações como se todos os elementos 
fossem distintos e, em seguida, desse total obtido “descontamos” o número de vezes 
em que o agrupamento não se altera devido à troca dos elementos iguais. 
2) Quantos são os anagramas da palavra BATATA?
Resolução
Se todas as letras fossem diferentes, teríamos 6 6! 720P = = 
Entretanto, ocorre a repetição da vogal A e da consoante T. Para descontar 
as trocas entre (AAA) e entre (TT) dividimos o resultado anterior por 3! e por 2!, 
obtendo como resultado:
 6 720 60
3!2! 6 . 2
P
= =
 
anagramas
Portanto, o total de permutações com repetição é dado por 
, , ... !
! ! !...
a b c
n
nP
a b c
= , onde n é o número de elementos do agrupamento 
e a, b, c etc. indicam o número de vezes que cada elemento repetido aparece no 
agrupamento.
3) Em relação aos anagramas da palavra UNIVERSIDADE, determine:
a) quantos são?
b) quantos possuem as vogais juntas e em ordem alfabética?
c) quantos possuem as vogais juntas e em qualquer ordem?
Resolução
Letra a: a palavra UNIVERSIDADE possui 12 letras, algumas das quais 
repetidas: 6 vogais (A, E, E, I, I, U) e 6 consoantes (D, D, N, R, S, V) 
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UNIDADE 1
Trata-se, então, de um problema de permutação com repetição no qual, 
aplicando a fórmula, temos:
2,2,2
12
12! 59.875.200
2!2!2!
P = = anagramas.
Letra b: como queremos anagramas nos quais as vogais estejam juntas e em 
ordem alfabética, contamos o bloco AEEIIU como uma posição só, e as 6 consoantes 
restantes ocuparão as demais posições.
No esquema, a representação fica:
 
A, E, E, I, I, U
(1 posição)
 vogais juntas

6 consoantes restantes
D, D, N, R, S, V
7 posições com repetição da consoante D que aparece duas vezes


Assim, temos 27
7! 2520
2!
P = = anagramas com as vogais juntas e em ordem 
alfabética.
Letra c: agora, as vogais estão juntas podendo estar em qualquer ordem. 
Assim, temos a mesma representação anterior e, ainda, as permutações possíveis 
entre as vogais que é dada por 2,26P .
Assim, temos 2,2 26 7
6! 7! 453600
2!2! 2!
P P× = × = anagramas com as vogais 
juntas e em qualquer ordem.
Agora é a sua vez! Resolva com bastante atenção as atividades propostas.
ATIVIDADES DA SEÇÃO 2
1) Simplifique as expressões:
a) 30!
27!4!
 
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UNIDADE 1
b) 5!7!
3!8!
 
c) 3.7! 6.7! 10.6!+ − 
d) 5.9! 3.9! 15.8! 20.7!− − − 
e) ( 2)!
!
p
p
+ 
f) ( 1)!
( 1)!
n
n
+
−
 
g) ! ( 2)!.
( 1)! ( 1)!
n n
n n
+
+ −
 
2) Foram dispostos em ordem crescente todos os números formados pela 
permutação dos algarismos 1, 2, 5, 7 e 9. Nessa série, qual a posição ocupada pelo 
número 51972? 
3) Com relação aos anagramas da palavra ESCOLA, qual é o número:
 a) total deles? 
 b) dos que começam com consoante? 
 c) dos que começam e terminam com vogal? 
 d) dos que mantêm as letras E, S, A juntas?
 e) dos que mantêm as letras E, S, A juntas e nesta ordem?
 f) dos que mantêm as consoantes juntas? 
4) Quantos anagramas da palavra FELICIDADE começam com a letra C?
5) Calcule o número de permutações das letras da palavra ALUNA nas quais 
não aparece o grupo AA.
6) Quantos são os números ímpares de 5 algarismos que podemos escrever 
utilizando os algarismos 4, 4, 7, 7 e 8? 
7) Seis pessoas - A, B, C, D, E e F- ficam em pé, uma ao lado da outra para 
uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado, e C e D insistem em aparecer 
uma ao lado da outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis 
pessoas se disporem.
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UNIDADE 1
RESPOSTAS das atividades
1) a) 1015 b) 5
2
 c) 53.6! d) 4.7!
e) ( 2)( 1)p p+ + f) 2n n+ g) 2 2n n+ 
2) 54º
3) a) 720 b) 360 c) 144 d) 144 
 e) 24 f) 144
4) 45360 
5) 36 
6) 12
7) 5 2 4 2 2. . . 240 96 144P P P P P− = − = 
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UNIDADE 1
SeÇÃO 3 
ARRANJOS E COMBINAÇõES
Nesta seção vamos estudar os outros dois tipos de agrupamentos que podem 
ser formados dispondo-se de certo número de elementos: os arranjos simples e 
as combinações simples (a palavra simples significa queem cada agrupamento 
formado não há repetição de elementos), bem como os arranjos com repetição e as 
combinações completas.
3.1 arranjOs simples 
Sendo A = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos distintos e p 
um número natural menor que n, chamamos de arranjo simples dos n elementos 
tomados p a p todo agrupamento com p elementos distintos que se pode formar 
com os n elementos de A, de forma que dois desses agrupamentos só serão iguais se 
forem formados pelos mesmos elementos dispostos exatamente na mesma ordem. 
Portanto, dois arranjos podem diferir pela natureza dos seus elementos ou pela ordem 
de colocação dos mesmos. 
O número de todos os arranjos simples de n elementos distintos tomados p a 
p é representado por ,n pA .
Acompanhe o exemplo:
Seja C = {A,B,C,D}, onde n = 4 e considere p = 2. 
Observe que os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são grupos 
nos quais não aparecem elementos repetidos, mas que formam um novo grupo 
quando os elementos trocam de ordem. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
{ }sA AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC=
Nesse exemplo também podemos determinar o número de pares ordenados 
com elementos distintos, usando o PFC. Veja:
1d : escolha do primeiro elemento do par ordenado = 4 maneiras
2d : escolha do segundo elemento do par ordenado = 3 maneiras
Assim, pelo PFC temos 4 × 3 pares ordenados, ou seja, 12 arranjos simples.
Logo, podemos escrever: 4,2A = 12
Então, sendo A = {a1, a2, a3, ..., an}, vejamos como calcular o número de 
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UNIDADE 1
agrupamentos ordenados com elementos distintos, tomados p a p:
 na 1ª escolha: n possibilidades
 na 2ª escolha: (n – 1) possibilidades
 na 3ª escolha: (n – 2) possibilidades
   
 na pª escolha: [n – (p – 1)] = (n – p + 1) possibilidades
Desse modo, o total de arranjos simples é dado por:
( )( )( ) ( ), – 1 2 – 3 – 1n pA n n n n n p= − +
Dividindo e multiplicando o segundo membro dessa igualdade por (n – p)!, 
obtemos:
 ,
( 1) ( 2) ( 1) ( )! 
( )!n p
n n n n p n pA
n p
− − … − + −
=
−
Observe que a expressão do numerador corresponde ao desenvolvimento de 
n! 
Portanto, podemos estabelecer a seguinte fórmula para o cálculo de arranjos 
simples:
 ,
! 
( )!n p
nA
n p
=
−
, onde n é o número de elementos disponíveis e p é o número 
de elementos em cada agrupamento formado.
3.2 arranjOs cOm repetiçãO
Sendo A = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos distintos e p um 
número natural menor que n, chamamos de arranjo com repetição dos n elementos 
tomados p a p todo agrupamento com p elementos não necessariamente distintos. 
O número de todos os arranjos com repetição de n elementos distintos tomados 
p a p é representado por ,n pAR .
Veja o exemplo.
Seja C={A,B,C,D}, onde n = 4, e considere p = 2. 
Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são grupos onde 
A permutação sim-
ples é um caso par-
ticular de um arranjo 
simples, uma vez que 
é o tipo de agrupa-
mento ordenado, 
sem repetição, em 
que entram todos os 
elementos do grupo.
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UNIDADE 1
aparecem elementos repetidos em alguns deles. Todos os agrupamentos estão no 
conjunto:
 
Podemos também determinar o número de pares ordenados com elementos 
distintos ou não, da seguinte maneira:
 1d : escolha do primeiro elemento do par ordenado = 4 maneiras
 2d : escolha do segundo elemento do par ordenado = 4 maneiras
Assim, pelo PFC temos 4 × 4 pares ordenados, ou seja, 16 arranjos com 
repetição.
Logo, podemos escrever: 4,2AR = 16.
De modo geral, sendo A = {a1, a2, a3, ..., an}, para formar arranjos com p 
elementos, podendo repeti-los em cada agrupamento, temos:
 na 1ª escolha: n possibilidades
 na 2ª escolha: n possibilidades
 na 3ª escolha: n possibilidades
   
 na pª escolha: n possibilidades
Desse modo, o total de arranjos com repetição é dado por:
, n p
p fatores
AR n n n= × × × …

,
p
n pAR n=
1) Com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, quantos números de 
3 algarismos distintos podemos formar?
Resolução
Você já deve ter reconhecido que se trata de um problema de arranjo simples.
{ }rA AB, AC, AD, BA, BC, BD,CA, CB, CD, DA, DB, DC, , , , = AA BB CC DD
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UNIDADE 1
Então, aplicando a fórmula, e sendo n = 7 e p = 3, temos:
,
! 
( )!n p
nA
n p
=
−
7,3
7! 7! 7 6 5 4!= 7 6 5 210
(7 3)! 4! 4!
A × × ×= = = × × =
−
 
 
Portanto, podem ser formados 210 números de três algarismos distintos.
2) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os elementos do 
conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
Resolução
Como não há restrição de que os algarismos devam ser distintos, trata-se de 
um caso de arranjo com repetição, onde n = 7 e p = 3. Aplicando a fórmula, temos:
3
7,3 7 343AR = = 
Logo, podem ser formados 343 números de três algarismos.
3) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados com os 10 
primeiros números naturais? 
Resolução
Fazendo n = 10 e p = 5, teremos o número total de agrupamentos dado por 
10,5A .
Contudo, devemos lembrar que o primeiro algarismo não pode ser zero, pois, 
nesse caso, teríamos um número de quatro algarismos. 
Assim, devemos descontar desse total os números que começam por zero, ou 
seja, 9,4A .
Logo, devemos fazer 10,5A – 9,4A = 
10! 9! 10! 9! 27216
(10 5)! (9 4)! 5! 5!
− = − =
− −
Portanto, podemos formar um total de 27216 números.
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UNIDADE 1
3.3 cOmbinações simples 
Sendo A = {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto com n elementos distintos e p 
um número natural menor ou igual a n, chamamos de combinação simples dos n 
elementos tomados p a p todo subconjunto de A com p elementos distintos, de modo 
que a troca de posição entre seus elementos não gera um subconjunto diferente. 
O número de todas as combinações simples de n elementos distintos tomados 
p a p é representado por , n pC .
Acompanhe o exemplo.
Dado o conjunto A = {a, b, c, d}, vamos formar todos os agrupamentos 
possíveis com três elementos, usando os elementos de A.
Observe que podem ser formados 4 agrupamentos: abc abd acd bcd
Assim, podemos indicar: 4, 3C = 4.
Uma dessas combinações, por exemplo, abc pode ter seus elementos 
permutados de 3! modos, sendo que o mesmo ocorre para cada uma das demais 
combinações. Entretanto, essas permutações possíveis dentro de cada agrupamento 
não geram novos agrupamentos como acontece com os arranjos e, portanto, o cálculo 
anterior pode ser obtido da seguinte maneira:
4,3
4, 3
3
4!
(4 3)! 4! 4
3! 3!
A
C
P
−
= = = = 
De modo geral: ,,
!
( )! !
! !( )!
n p
n p
p
n
A n p nC
P p p n p
−
= = =
−
Ou seja: ,
!
!( )!n p
nC
p n p
=
−
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UNIDADE 1
1) A escrita Braille para cegos é um sistema de símbolos onde cada caractere é 
formado por uma matriz de 6 pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relação 
aos outros. Assim, por exemplo, os caracteres “A” e “B” são indicados como:
Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados 
neste sistema de escrita?
Resolução
De acordo com o enunciado, podemos ter caracteres com 1 ponto em destaque, 
ou caracteres com 2 pontos em destaque, ou com 3, ou com 4, ou com 5, ou com 6 
pontos em destaque. 
Para calcular quantos caracteres com 1 ponto em destaque podemos ter, 
fazemos: 6, 1C ; com 2 pontos em destaque: 6, 2C ; e, nos demais casos, 6, 3C , 
6, 4C , 6, 5C e 6, 6C .
Logo, o total de caracteres que podem ser representados será dado por: 
 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6C C C C C C+ + + + + 
 
Ou seja: 
6! 6! 6! 6! 6! 6! 6 15 20 15 6 1 63
1!(6 1)! 2!(6 2)! 3!(6 3)! 4!(6 4)! 5!(6 5)! 6!(6 6)!
+ + + + + = + + + + + =
− − − − − −
Logo, o número máximo de caracteres é 63.2) Dentre 9 livros diferentes que estão em oferta numa livraria, Fátima pretende 
escolher 5 para comprar. Dos 5 livros que escolher, 3 serão dados de presente para 3 
amigas: Ana, Rose e Taís.
a) De quantos modos diferentes Fátima pode escolher os 5 livros?
b) Uma vez escolhidos os livros, de quantos modos diferentes ela pode 
presentear as amigas?
Resolução
Letra a: temos, neste caso, uma combinação simples, porque a troca de posição 
entre os livros a serem comprados não altera a compra a ser efetuada por Fátima. 
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UNIDADE 1
Então, temos:
 
9, 5
9! 9 8 7 6 5! 126
5!(9 5)! 5!4 3 2 1
C × × × ×= = =
− × × ×
 
Assim, Fátima pode escolher os livros de 126 formas diferentes.
Letra b: agora, a troca dos livros na hora de presentear as amigas gera situações 
diferentes. Trata-se, assim, de um problema de arranjo simples dado por: 
 5,3
5! 5 4 3 2! 60
(5 3)! 2!
A × × ×= = =
−
Portanto, Fátima pode presentear as amigas de 60 modos diferentes.
3.4 cOmbinações cOmpletas
São combinações onde os elementos de cada agrupamento não precisam 
necessariamente ser distintos. Indicam-se por , CRn p e, para seu cálculo, é utilizada 
a fórmula:
 , -1, n p n p pCR C +=
De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece 
em 7 sabores?
Resolução
Como o problema não estabelece que os sorvetes a serem comprados não 
precisam ser de sabores diferentes, temos um caso de combinação completa, onde 
n =7 e p = 4.
A diferença entre 
combinações e 
arranjos é que nas 
combinações não 
importa a ordem 
dos elementos, en-
quanto nos arranjos 
importa.
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UNIDADE 1
Aplicando a fórmula, vem:
 7, 4 7 4 -1, 4 10,4
10! 10 9 8 7 6! 210
4!(10 4)! 4 3 2 1 6!
CR C C+
× × × ×
= = = = =
− × × × ×
ATIVIDADES DA SEÇÃO 3
1) Com os números 2, 3, 4, 5 e 7, quantos números fracionários, diferentes de 
1, podemos escrever? 
2) Quantos números, maiores que 190 e menores que 1000, formados por 
algarismos distintos, podemos escrever? 
3) Quantos resultados diferentes pode haver numa corrida com 15 atletas em 
que serão outorgadas uma medalha de ouro, uma de prata e uma de bronze? 
4) Com lápis nas cores vermelho, verde, amarelo, azul e roxo, de quantas 
maneiras posso pintar uma figura usando três cores diferentes? 
5) Considerando todos os números de seis algarismos distintos que podem ser 
formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8, determine:
 a) quantos são pares?
 b) quantos são ímpares? 
6) Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 
a 9, sendo que o 5 sempre é o algarismo da unidade de milhar? 
7) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado. De quantas 
maneiras o grupo poderá ser formado, se dois dos dez são marido e mulher e só irão 
juntos? 
8) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. 
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36
UNIDADE 1
Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesses pontos?
9) Em um sorteio com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando 3 bilhetes, 
qual é o numero de modos diferentes de:
 a) nenhum deles ser premiado? 
 b) apenas um ser premiado? 
10) Com os algarismos de 1 a 9, sem repetição, quantos números formados 
por 2 algarismos pares e 3 algarismos ímpares podemos formar? 
11) Uma caixa contém 5 bolas vermelhas e 4 bolas verdes. Determine o número 
de modos diferentes de retirarmos, simultaneamente, 3 bolas vermelhas e 2 verdes. 
12) Com 6 professores de física e 5 de matemática deseja-se formar uma 
comissão de 5 membros.
 a) Quantas dessas comissões têm somente 2 professores de matemática?
 b) Quantas dessas comissões têm pelo menos 2 professores de matemática?
13) Quantas retas podem ser determinadas por 18 pontos de um plano, sabendo-
se que 3 deles nunca estão alinhados? 
14) Sejam 2 retas paralelas r e s; tomando-se 5 pontos em r e 6 pontos em s, 
quantas retas esses 11 pontos determinam? 
15) Dispondo-se de 8 mulheres e 10 homens, quantas comissões de 6 mulheres 
e 4 homens podem ser formadas? 
RESPOSTAS das atividades
1) 20
2) 583
3) 2730
4) 60
5) a) 2880
b) 2160
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 II
I
37
UNIDADE 1
6) 1000 
7) 8, 4 8, 2 98C C+ = 
8) 12, 3 5, 3 210C C− = 
9) a) 2600 b) 1300
10) 720
11) 60 
12) a) 200 b) 381
13) 153
14) 11, 2 5, 2 6, 2 2 32C C C− − + = 
15) 8, 6 10, 4. 5880C C = 
Nesta seção, aplicando o que foi visto no cálculo combinatório, você verá como 
é desenvolvida a potência de um binômio, ou seja, ( )nx a+ , que é conhecido como 
binômio de Newton. Esse estudo requer o conhecimento de alguns novos conceitos: 
os números binomiais e a disposição prática desses números para o cálculo de seus 
valores e memorização de propriedades, que é o triângulo de Pascal. 
4.1 númerOs binOmiais
Por definição, temos que: dois números naturais n e p, com n ≥ p, chama-se 
“número binomial n sobre p” indicado por 





p
n
, ao número definido por:
 
!)(!
!
pnp
n
p
n
−
=





Ao número n chamamos “numerador do binomial”; e ao número p, 
“denominador do binomial”.
SeÇÃO 4 
TRIÂNGULO DE PASCAL E BINôMIO DE NEWTON
Observe que 
,n p
n
C
p
 
=  
 
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38
UNIDADE 1
Consequências da definição:
1ª) Quando p = 0 temos: 1
!)0(!0
!
0
=
−
=





n
nn
. Logo, 1, 
0
n
n
 
= ∀ ∈ 
 
 
2ª) Quando p = n, temos: 1
!)(!
!
=
−
=





nnn
n
n
n
. Logo, 1, 
n
n
n
 
= ∀ ∈ 
 

3ª) Quando p = 1, temos: n
n
nn
=
−
=





!)1(!1
!
1
. Logo, , 
1
n
n n ∗
 
= ∀ ∈ 
 
 
Calcule o valor de E dado por: E = 
5 3 10 8 7 6
2 3 0 1 4 4
           
+ + + + −           
           
.
Resolução
Resolvendo cada um dos binomiais, encontramos:
5 5! 5! 10
2 2!(5 2)! 2!3!
 
= = =  − 
 
3
1
3
 
= 
 
, pois o seu numerador e o seu denominador são iguais
10
1
0
 
= 
 
, pois o denominador desse binomial é 0
8
8
1
 
= 
 
, porque é um binomial de denominador igual a 1
7 7! 7! 7 6 5 35
4 4!(7 4)! 4!3! 3 2 1
  × ×
= = = =  − × × 
6 6! 6! 6 5 15
4 4!(6 4)! 4!2! 2 1
  ×
= = = =  − × 
 
 
Logo, E = 10 + 1 + 1 + 8 + 35 – 15 = 40
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 II
I
39
UNIDADE 1
4.1.1 númerOs binOmiais cOmplementares
Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados de 
complementares quando a soma dos seus denominadores for igual ao numerador.
Assim, são exemplos de binomiais complementares os binomiais 
9
4
 
 
 
 e 
9
5
 
 
 
, pois 4 + 5 = 9, e também os binomiais 
22
10
 
 
 
 e 
22
12
 
 
 
, pois 10 + 12 = 22.
Observe que dois binomiais complementares são indicados genericamente por 
n
p
 
 
 
 e 
n
n p
 
 − 
, pois p n p n+ − =
Dois números binomiais complementares são iguais, isto é, 
n n
p n p
   
=   −   
.
Vamos provar essa propriedade.
Aplicando a definição de número binomial em ambos os membros da 
igualdade, temos:
! (1)
!( )!
n n
p n pp
 
=   − 
! ! (2)
!( )! ( )!( )!
n n n
p n p n p pn p
 
= =   − −− 
 
 
Como (1) = (2), está provado que 
n n
p n p
   
=   −   
!
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40
UNIDADE 1
Calcule o valor de x na igualdade 
10 10
2 2x x
   
=   +   
.
Resolução
Para que os binomiais dados sejam iguais, devemos ter denominadores iguais 
ou devemos ter binomiais complementares.
Então, vem:
 
2 2
2 2
2
x x
x x
x
= +
− =
= 
2 2 10
3 10 2
8
3
x x
x
x
+ + =
= −
=
 
Entretanto, o valor 8
3
x = não convém como solução, pois para 8
3
x = temos 
8 16 162 2. e
3 3 3
x = = ∉ , contrariando a definição de número binomial.
Logo, a solução é S = {2}.
4.1.2 númerOs binOmiaiscOnsecutivOs
Dois números binomiais de mesmo numerador são consecutivos se seus 
denominadores são números consecutivos.
Assim, são exemplos de binomiais consecutivos os números binomiais 
14
7
 
 
 
 
e 
14
8
 
 
 
 e, também, 
30
15
 
 
 
 e 
30
16
 
 
 
 
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 II
I
41
UNIDADE 1
Observe que dois binomiais consecutivos podem ser indicados genericamente 
por
 





p
n
 e 





+1p
n
, ou por 





−1p
n
 e 





p
n
Para dois números binomiais consecutivos quaisquer, vale a seguinte relação, 
chamada de Relação de Stifel:
 
1
1 1
n n n
p p p
+     
+ =     + +     
 
Acompanhe a demonstração dessa propriedade.
Desenvolvendo cada um dos membros da relação, temos:
 
1
n n
p p
   
+ =   +    
! !
!( )! ( 1)!( 1)!
n n
p n p p n p
+
− + − −
 = !( 1) !( )
( 1)!( )!
n p n n p
p n p
+ + −
+ −
 = 
= !( 1 )
( 1)!( )!
n p n p
p n p
+ + −
+ −
 = !( 1)
( 1)!( )!
n n
p n p
+
+ −
 = ( 1)!
( 1)!( )!
n
p n p
+
+ −
 (1)
 
1 ( 1)! ( 1)!
1 ( 1)!( 1 1)! ( 1)!( )!
n n n
p p n p p n p
+  + +
= = + + + − − + − 
 (2)
 
Como (1) = (2), está provada a relação de Stifel.
A relação de Stifel permite expressar a soma de dois números binomiais 
consecutivos em função de um único número binomial.
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42
UNIDADE 1
Veja que a soma dos binomiais 
10
3
 
 
 
 e 
10
4
 
 
 
 pode ser expressa por um único 
binomial; basta usar a relação de Stifel e temos: 
10 10 11
3 4 4
     
+ =     
     
. O mesmo se 
aplica para 
6 6 7
0 1 1
     
+ =     
     
.
Acompanhe agora os exemplos a seguir, nos quais serão aplicados os conceitos 
que você acabou de ver.
Resolva as seguintes equações:
1) 
8 6 6 7
3 4 5x
       
= + +       
       
 
Resolução
Você percebe que 
6 6
3 4
   
+   
   
 é uma soma de dois binomiais consecutivos; 
assim, aplicando a relação de Stifel, obtemos 
6 6 7
3 4 4
     
+ =     
     
. Assim, a equação 
fica:
8 7 7
4 5x
     
= +     
     
, onde 
7 7 8
4 5 5
     
+ =     
     
, pois também representam a soma de 
binomiais consecutivos.
Então: 
8 8
5x
   
=   
   
E, para que os dois binomiais sejam iguais, devemos ter:
5x = , se os binomiais tiverem o mesmo denominador, ou 
5 8 3x x+ = ⇒ = , se os binomiais forem complementares.
Logo, S = {3, 5}
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 II
I
43
UNIDADE 1
2) 
14 15 14
7 7x
     
= −     
     
 
Resolução
Para resolver a equação dada, vamos trocar o binomial 
15
7
 
 
 
 por uma 
soma de dois binomiais consecutivos, de acordo com a relação de Stifel, ou seja, 
15 14 14
7 6 7
     
= +     
     
 
Assim, a equação dada pode ser escrita como:
14 14 14 14
6 7 7x
       
= + −       
       
 
Ou ainda:
 
14 14
6x
   
=   
   
E, então, teremos 6x = , se os denominadores forem iguais; ou 
6 14 8x x+ = ⇒ = , se os dois binomiais forem complementares.
Logo, S = {6, 8}
3) 
5 5 6
4 5 2x
     
+ =     +     
 
Resolução
Como o primeiro membro da equação é uma soma de dois binomiais 
consecutivos, a relação de Stifel permite escrever esta equação na forma:
6 6
5 2x
   
=   +   
 
Resolvendo a igualdade, obtemos:
2 5 3x x+ = ⇒ = ou 5 2 6 1x x+ + = ⇒ = − .
Portanto, S = {–1, 3}.
Vamos agora substituir os valores encontrados na equação dada, para verificar 
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44
UNIDADE 1
se satisfazem a equação.
Para x = 3 temos: Para x = –1 temos:
 
5 5 6
4 5 1 2
5 5 6
4 5 5
     
+ =     − +     
     
+ =     
      
5 5 6
4 5 3 2
5 5 6
4 5 1
     
+ =     +     
     
+ =     
     
 
 
Observe que na segunda verificação o resultado obtido foi 
6
1
 
 
 
. Porém, você 
já sabe que 
6 6
1 5
   
=   
   
 porque são binomiais consecutivos e, portanto, a solução 
{–1, 3} está correta.
4) Determine o valor de n de modo que os números binomiais 2
12
2n
 
 
− 
 e 
12
6 2n
 
 − 
 sejam complementares.
Resolução
Usando a condição de números binominais complementares, temos:
2 2 6 2 12n n− + − = 
Resolvendo a equação acima, obtemos:
n = 2 e n = – 8, onde apenas o resultado positivo convém.
Logo, S = {2}
5) Determine n para que se tenha 16
14 15
n n   
+ =   
   
.
Resolução
Sabendo que , 
1
n
n n ∗
 
= ∀ ∈ 
 
 , podemos substituir, na equação dada, 16 
por 
16
1
 
 
 
.
3 –1
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 II
I
45
UNIDADE 1
Assim, fica: 
16
14 15 1
n n     
+ =     
     
Mas, 
16
1
 
 
 
 = 
16
15
 
 
 
, pois esses binomiais são complementares. 
Então: 
16
14 15 15
n n     
+ =     
     
 
Na igualdade acima, de acordo com a relação de Stifel, temos que n = 15, ou 
seja, S = {15}.
4.2 triânGulO de pascal (Ou de tartaGlia) 
Blaise Pascal (1623-1662) estudou e demonstrou no trabalho “Triângulo 
aritmético”, publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no 
estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus 
trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Esse 
famoso triângulo, no qual se pode continuar indefinidamente aumentando o número 
de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. 
O triângulo de Pascal é uma tabela em que os números binomiais são 
distribuídos da seguinte maneira:
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46
UNIDADE 1
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
n n n n n n
n
 
 
 
   
   
   
     
     
     
       
       
       
         
         
         
           
           
           
     

 
Nessa tabela, observamos que:
binomiais de mesmo numerador estão colocados na mesma linha; ▪
binomiais de mesmo denominador estão colocados na mesma coluna. ▪
Substituindo cada número binomial pelo seu valor, o triângulo fica assim:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
       
 
O triângulo de Pascal apresenta as seguintes propriedades:
1ª) Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1, pois 





0
n
 = 1.
2ª) O último elemento de cada linha é igual a 1, pois 





n
n
 = 1.
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 II
I
47
UNIDADE 1
3ª) Numa linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são 
iguais:
Por exemplo, observe a sétima linha:
Isso ocorre porque os binomiais equidistantes são complementares, e binomiais 
complementares são iguais.
4ª) A partir da 3ª linha, com exceção do primeiro e do último, cada binomial 






p
n
 
da linha n é igual à soma de dois binomiais da linha anterior (n – 1): aquele que 
está na mesma coluna p com aquele que está na coluna anterior (p – 1). 
Observe alguns exemplos: 
Essa propriedade se verifica porque obedece à relação de Stifel: 
1
1 1
n n n
p p p
+     
+ =     + +     
 
5ª) A soma dos números binomiais de uma mesma coluna, desde o primeiro 
até um número qualquer, é igual ao número binomial situado na linha seguinte e na 
1 6 15 20 15 6 1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
       






U
n
iv
e
rs
id
a
d
e
 A
b
e
rt
a
 d
o
 B
ra
si
l48
UNIDADE 1
coluna seguinte ao último número binomial que comparece na soma.
Veja os exemplos:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1


 

       


1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
       







6ª) A soma dos números binomiais de uma mesma diagonal, desde a primeira 
coluna até uma coluna qualquer, é igual ao número binomial situado imediatamente 
abaixo do último número binomial que comparece na soma.
Fu
n
d
a
m
e
n
to
s 
d
a
 
M
a
te
m
á
tic
a
 II
I
49
UNIDADE 1
Observe que 





0
n
 + 





1
n
 + 





2
n
 corresponde à soma dos números binomiais 
consecutivos de uma linha do triângulo de Pascal e cujo resultado é dado por 2 n .
Assim, podemos escrever:
2 n = 4
22 2 2n n= ⇒ = 
Logo, temos que n = 2.
7ª) A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potência de 
base 2 cujo expoente é a ordem da linha que é dada pelo numerador.
 
linha 0 1
linha 1 1 1 
linha 2 1 2 1 
linha 3 1 3 3 1 
linha 3 1 4 6 4 1 
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒ 
0
1
2
3
4
soma = 1 = 2
soma = 2 = 2
soma = 4 = 2
soma = 8 = 2
soma = 16 = 2
 
Em geral, podemos escrever:
2
0 1 2
nn n n n
n
       
+ + + + =       
       
 ou 
0
2
n
n
i
n
i=
 
= 
 
∑
1) Calcular n, sabendo-se que: 





0
n
 + 





1
n
 + 





2
n
 = 4.
Resolução
U
n
iv
e
rs
id
a
d
e
 A
b
e
rt
a
 d
o
 B
ra
si
l
50
UNIDADE 1
2) Determinar o valor de n que satisfaz a sentença 
0
512
n
k
n
k=
 
= 
 
∑ .
Resolução
Fazendo k variar de 0 até n, escrevemos a igualdade dada na forma:
512
0 1 2
n n n n
n
       
+ + + + =       
       
 
Ou, ainda:
2 512n =
92 2 9n n= ⇒ =
Portanto, n = 9.
3) Determinar o valor de m que satisfaz a sentença 
1
0
1023
m
k
m
k
−
=
 
= 
 
∑ .
Resolução
Fazendo k variar de 0 até m – 1, podemos escrever a igualdade dada na 
forma:
1023
0 1 2 1
m m m m
m
       
+ + + + =       −       
 
Adicionado o binomial 
m
m
 
 
 
 aos dois membros, temos:
1023
0 1 2 1
m m m m m m
m m m
           
+ + + + + = +           −           
 
Assim, sabendo que a soma expressa no primeiro membro é dada por 2m e 
que o binomial 
m
m
 
 
 
 é igual a 1, fica:
 
2 1023 1m = +
2 1024m =
102 2 10m m= ⇒ =
 
Então, temos que m = 10.
Fu
n
d
a
m
e
n
to
s 
d
a
 
M
a
te
m
á
tic
a
 II
I
51
UNIDADE 1
4.3 binômiO de newtOn
Seja a potência da forma ( ) , com , enx a x a n+ ∈ ∈ ∈   .
Para n = 0, temos:
( )0 1 1x a+ =
Para n = 1, temos:
( )1 1 1 1 1x a x a+ = + 
Para n = 2, temos:
( )2 2 21 2 1 1 2 1x a x ax a+ = + + 
Para n = 3, temos:
( )3 3 2 2 31 3 3 1 1 3 3 1x a x ax a x a+ = + + + 
Para n = 4, temos:
( )4 4 3 2 2 3 41 4 6 4 1 1 4 6 4 1x a x ax a x a x a+ = + + + +
 
Veja que os coeficientes numéricos dos desenvolvimentos acima formam o 
triângulo de Pascal. Assim, podemos escrever os desenvolvimentos desses binômios 
da seguinte forma:
( )0 0
0
x a
 
+ =  
 
( )1 1 1
0 1
x a x a
   
+ = +   
   
( )2 2 22 2 2
0 1 2
x a x a x a
     
+ = + +     
     
( )3 3 2 2 33 3 3 3
0 1 2 3
x a x a x a x a
       
+ = + + +       
       
( )4 4 3 2 2 3 44 4 4 4 4
0 1 2 3 4
x a x a x a x a x a
         
+ = + + + +         
         
 
 
Genericamente, para ( )nx a+ , temos:
1 2 2 3 3 1( )
0 1 2 3 1
n n n n n n nn n n n n nx a x a x a x a x a x a
n n
− − − −           + = + + + + + +           −           
 
Observe que os 
coeficientes dos 
termos equidistantes 
dos extremos, no 
desenvolvimento de 
( )nx a+ são iguais.
U
n
iv
e
rs
id
a
d
e
 A
b
e
rt
a
 d
o
 B
ra
si
l
52
UNIDADE 1
1 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 3 1
n n n n n n nn n n n n nx a x a x a x a x a x a
n n
− − − −           − = + − + − + − + + − + −           −           

Esse desenvolvimento é conhecido por binômio de Newton em homenagem 
a Isaac Newton, físico e matemático que viveu de 1642 a 1727 e que estudou 
expressões desse tipo.
No desenvolvimento do binômio de Newton podemos observar que:
1º) Os expoentes de x decrescem de n até 0, enquanto os de a crescem de 0 
até n.
2º) O desenvolvimento de ( )nx a+ possui (n + 1) termos.
3º) Para o desenvolvimento de ( )nx a− , basta observar que 
( ) [ ( )]n nx a x a− = + − .
Assim, obtém-se ( )nx a− substituindo-se a por (–a) no desenvolvimento de 
( )nx a+ . 
Como ( )para a− = e ( )ímpara a− = − , temos: 
ou
1 2 2 3 3 4 4 5 5( )
0 1 2 3 4 5
n n n n n n nn n n n n nx a x a x a x a x a x a x− − − − −
           
− = − + − + − +           
           
 
1) Desenvolva o binômio ( )51 2x+ .
Resolução
Desenvolvendo a potência ( )51 2x+ conforme o binômio de Newton onde 
a = 1 e x = 2x , temos:
Fu
n
d
a
m
e
n
to
s 
d
a
 
M
a
te
m
á
tic
a
 II
I
53
UNIDADE 1
( )5 5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5 5 51 2 .(2 ) .(2 ) .1 .(2 ) .1 .(2 ) .1 .(2 ).1 .1
0 1 2 3 4 5
x x x x x x
           
+ = + + + + +           
           
 
( )5 5 4 3 21 2 1.32 5.16 10.8 10.4 5.2 1x x x x x x+ = + + + + + 
( )5 5 4 3 21 2 32 80 80 40 10 1x x x x x x+ = + + + + + 
2) Desenvolva o binômio 
4
3
2
yx − 
 
.
Resolução
Fazendo x = 3x e 
2
ya = − , o desenvolvimento do binômio segundo potências 
decrescentes de x fica:
4 2 3 4
4 3 24 4 4 4 43 .(3 ) .(3 ) .(3 ) .(3 ) .
0 1 2 3 42 2 2 2 2
y y y y yx x x x x
                − = − + − +                
                
 
4 2 3 4
4 3 23 1.81 4.27 6.9 . 4.(3 ) 1.
2 2 4 8 16
y y y y yx x x x x − = − + − + 
 
 
4
4 3 2 2 3 427 3 13 81 54
2 2 2 16
yx x x y x y x y y − = − + − + 
 
 
3) Calcule a soma dos coeficientes de:
a) ( )51 2x+ b) 
7(4 2 )x y− 
Resolução
Letra a: você já sabe que no desenvolvimento de ( )nx a+ , os coeficientes 
são os números binomiais , , , ,
0 1 2
n n n n
n
       
       
       
 cuja soma é 2n . Esse mesmo 
valor 2n pode ser obtido substituindo-se, em ( )nx a+ , x por 1 e a por 1. Ou seja: 
( )1 1 2n n+ = .
Da mesma forma, a soma dos coeficientes em um desenvolvimento qualquer 
é obtida substituindo-se cada variável por 1.
Assim, a soma dos coeficientes de ( )51 2x+ tem valor numérico dado por 
5 5(1 2.1) 3 243+ = = .
A soma dos 
coeficientes de 
( )nx y+ é igual 
a 2n e a soma 
dos coeficientes 
de ( )nax by+ é 
( )na b+ .
U
n
iv
e
rs
id
a
d
e
 A
b
e
rt
a
 d
o
 B
ra
si
l
54
UNIDADE 1
Observe que esse mesmo valor você obtém somando os coeficientes do 
binômio que está desenvolvido no exemplo 1.
Letra b: para se obter a soma dos coeficientes de 7(4 2 )x y− sem precisar fazer 
o desenvolvimento do binômio, basta substituir x e y por 1.
Então, a soma dos coeficientes de 7(4 2 )x y− é igual a 
7 7 7(4.1 2.1) (4 2) 2 128− = − = = 
4.3.1 fórmula dO termO Geral
Muitas vezes, no desenvolvimento de um binômio nos interessa encontrar 
somente um determinado termo: o quarto termo, o termo médio, o termo em 2x , o 
termo independente de x e assim por diante. Por isso, vamos encontrar agora uma 
fórmula que permitirá obter um termo qualquer do desenvolvimento.
Considerando o desenvolvimento do binômio ( )nx a+ segundo as potências 
decrescentes de x, temos:
0 1 2 2 3 3 1 0( )
0 1 2 3 1
n n n n n n nn n n n n nx a a x a x a x a x a x a x
n n
− − − −           + = + + + + + +           −           

 
Observamos que:
1º termo: 01 0 1 0
nnT T a x+
 
= =  
 
 
2º termo: 1 12 1 1 1
nnT T a x−+
 
= =  
 
 
3º termo: 2 23 2 1 2
nnT T a x −+
 
= =  
 
 
 
( 1)p + ésimo termo: 1
p n p
p
n
T a x
p
−
+
 
=  
 
 
Portanto, um termo qualquer de ordem ( 1)p + é dado por: 
Fu
n
d
a
m
e
n
to
s 
d
a
 
M
a
te
m
á
tic
a
 II
I
55
UNIDADE 1
1) No desenvolvimento de ( )72x + , ordenado segundo as potências 
decrescentes de x, dê a fórmula do termo geral. Qual é o 4º termo? 
Resolução
Aplicando a fórmula do termo geral 1
p n p
p
n
T a x
p
−
+
 
=  
 
, onde n = 7 e a = 2, 
fica: 71
7
2 p ppT xp
−
+
 
=  
 
 Para se calcular o 4º termo do desenvolvimento, basta substituir p por 3 na 
expressão 71
7
2 p ppT xp
−
+
 
=  
 
.
Assim, 3 7 33 1
7
2
3
T x −+
 
=  
 
 
3 4
4
7
2
3
T x
 
=  
 
 
 
 
4
4 35.8T x= 
Logo, o 4º termo é 44 280T x= 
2) Determine o termo médio de 
85
10
m b
m
 + 
 
Resolução
 
1
p n p
p
n
T a x
p
−
+
 
=  
 
 
Para o desenvolvimento de ( )nx a− , o termo geral é dado pela expressão: 
1 ( ) ( 1)
p n p p p n p
p
n n
T a x a x
p p
− −
+
   
= − = −   
   
U
n
iv
e
rs
id
a
d
e
 A
b
e
rt
a
 d
o
 B
ra
si
l
56
UNIDADE 1
O desenvolvimento de 
85
10
m b
m
 + 
 
 tem 8 + 1 = 9 termos, sendo que o termo 
médio é o 5º.
Usando a fórmula do termo geral com n = 8, p = 4, 5e
10
m bx a
m
= = fica:
1
p n p
p
n
T a x
p
−
+
 
=  
 
4 4
4 1
8 5 .
4 10
b mT
m+
     =      
    
 Como: 
8 8! 8 7 6 5 4! 70
4 4!(8 4)! 4 3 2 1 4!
  × × × ×
= = =  − × × × × 
4 4
5 4
62570.
10000
b mT
m
= 
Então, o termo médio é 45
35
8
T b=
3) Obtenha o 6º termo do desenvolvimento de 9( 1)x − .
Resolução
Usando a fórmula do termo geral 1
p n p
p
n
T a x
p
−
+
 
=  
 
 para n = 9, p = 5, 
x = x e a = 1 temos:
( ) ( )455 1 9 1 .5T x+
 
= − 
 
( ) 26
9! . 1 .
5!(9 5)!
T x= −
−
 
Assim, o 6º termo é 26 126T x= −
4) Do binômio 
10
2
3 1






+
x
x , calcule:
a) o termo em 15x 
b) o termo independente de x.
Resolução
Na fórmula do termo geral 1
p n p
p
n
T a x
p
−
+
 
=  
 
, vamos substituir n por 10, x 
por 3x e a por 2
1
x
. Assim, teremos:
10
Fu
n
d
a
m
e
n
to
s 
d
a
 
M
a
te
m
á
tic
a
 II
I
57
UNIDADE 1
( )1031 2
10 1 p p
pT xp x
−
+
   =    
  
2 30 3
1
10
.p ppT x xp
− −
+
 
=  
 
30 5
1
10 p
pT xp
−
+
 
=  
  
A partir da igualdade acima podemos resolver o que foi solicitado no 
exemplo.
Letra a: para que o expoente de x seja 15, devemos ter:
30 5 15
3
p
p
− =
=
 
Então, sendo p = 3, escrevemos:
30 15
3 1
10
3
T x −+
 
=  
 
15
4 120T x= 
 
Letra b: o termo independente de x é aquele que tem expoente igual a zero, 
ou seja:
30 5 0
6
p
p
− =
=
 
Logo, para p = 6, temos:
30 30
6 1 7
10
210
6
T T x −+
 
= = = 
 
 
10
U
n
iv
e
rs
id
a
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e
 A
b
e
rt
a
 d
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l
58
UNIDADE 1
ATIVIDADES DA SEÇÃO 4
1) Calcule o valor de:
a) 
6 6 6 6 6 6 6
0 1 2 3 4 5 6
             
+ + + + + +             
             
 
b) 
9 9 9 9
0 1 2 8
       
+ + + +       
       

c) 
11
0
11
p p=
 
 
 
∑ d) 
13
2
13
p p=
 
 
 
∑ 
2) Simplifique: 
15 15 15 15
0 1 2 15
12 12 12 12
0 1 2 12
       
+ + + +       
       
       
+ + + +       
       


 
3) Resolva as equações: 
a) 
14 14
5 3x
   
=   +   
 b) 
11 11
5 6 2 3x x
   
=   − +   
 
c) 
9 9 10
3 4 x
     
+ =     
     
 d) 
15 15 16
8 8x
     
+ =     
     
 
4) Calcule p, p > 3, sendo: 
1 1
2 3 5
1 3
2 1
p p
p p
− −   
+   
    =
−   
−   
   
5) A sequência abaixo é uma linha do triângulo de Pascal. Obtenha a linha 
seguinte a ela.
 ( )1 8 28 56 70 56 28 8 1 
6) Desenvolva os seguintes binômios:
a) ( ) ( )54 22 2x y a b− + b) ( )522a b+
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c) 2 3 4( )x y− d) 6( 3 2)− 
e) 2 1 5( )x x−+ f) 
42
2
x
x
 + 
 
 
7) No desenvolvimento de ( )20x x+ , segundo potências decrescentes de x, 
calcule:
a) o 4º termo; b) o antepenúltimo termo.
8) Em relação ao desenvolvimento do binômio 
81
3
x
x
 − 
 
, determine:
a) o 2º termo 
b) o coeficiente do termo em 2x 
c) o termo independente de x
9) Determine o termo médio na expansão de:
a) 
8
2
2
yx − 
 
 b) 
61
2
x − 
 
 
10) Obtenha o termo independente de x no desenvolvimento de 
10
1x
x
 
− 
 
.
11) Calcule o valor de:
a) 20 19 18 2 19 20
20 20 20 20 20
7 7 . 2 7 . 2 7. 2 2
0 1 2 19 20
         
+ + + + +         
         
 
b) 30 29 28 2 30
30 30 30 30
.( ) .( ) ( )
0 1 2 30
a a a a a a
       
+ − + − + + −       
       
 
c) 1 2 22 2 . 3 2 . 3 3
0 1 2
n n n nn n n n
n
− −       + + + +       
       
 
d) 4 3 2 2 3 497 4.97 . 3 6. 97 .3 4. 97. 3 3+ + + + 
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UNIDADE 1
12) No desenvolvimento de 
6
2
p
1x
x
 + 
 
 sabe-se que o termo em 7x é o 
segundo termo. Determine o valor de p.
13) Se 11a x é termo do desenvolvimento de 
10
2 1x
x
 − 
 
, calcule o valor de a.
14) No desenvolvimento de ( )1 3 nx+ , a razão entre os coeficientes dos termos 
de terceiro e primeiro graus de x é 6 (n – 1). Calcule o valor de n.
15) Sabendo que a soma dos coeficientes do polinômio obtido pelo 
desenvolvimento do binômio ( )2 nx y+ é 729, calcule ,3nA .
RESPOSTAS das atividades
1) a)64 b) 511 c) 2048 d) 8178
2) 8
3) a) {–2, 6} b) {2, 3} c) {4, 6} d) {7, 8}
4) p = 5
5) (1 9 36 84 126 126 84 36 9 1)
6) a) 4 3 2 2 3 416x 32x y + 24x y 8xy + y− − 
 b) 10 8 6 2 4 3 2 4 532a + 80a b + 80a b + 40a b + 10a b + b 
 c) 8 6 3 4 6 2 9 12x 4x y + 6x y 4x y + y− − 
 d) 485 198 6− 
 e) 10 7 4 2 5x + 5x + 10x + 10x + 5x + x− − 
 f) 
4
2
2 4
 x 1 16+ x + 6 + +
16 x x
 
7) a) 1140
37
2x b) 190 11x 
8) a) 68 x
3
− b) 56
27
− c) 70
81
 
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UNIDADE 1
9) a) 4 470x y b) – 2,5x3
10) –252
11) a) 209 b) 0 c) 5n d) 810 
12) p = 3
13) a = – 120
14) n = 6
15) 120
Nesta unidade você resolveu problemas de contagem utilizando o PFC; 
observou também que, em algumas situações, quando os cálculos se tornam muito 
trabalhosos, utilizamos algumas técnicas no intuito de determinar agrupamentos nos 
problemas de contagem, que são os arranjos e as combinações. Lembre-se de que 
os arranjos são caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos; 
já as combinações são caracterizadas somente pela natureza dos elementos. Você 
estudou também o triângulo de Pascal e o binômio de Newton, assuntos que serão 
importantes em seus estudos, posteriores, de probabilidades. 
Esperamos que você faça bom proveito de tudo que aprendeu nesta unidade! 
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 IINúmeros 
complexos
ObjetivOs de aprendizaGem
Conhecer os números complexos e as diferentes formas de representá-los. ■
Efetuar as operações básicas com números complexos. ■
Calcular potências e radicais de complexos na forma trigonométrica. ■
rOteirO de estudOs
Seção 1 - ■ Conjunto dos números complexos
Seção 2 - ■ Operações com números complexos na forma algébrica 
Seção 3 - ■ Números complexos na forma trigonométrica e exponencial
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UNIDADE 2
Nesta unidade você vai se dedicar ao estudo de um assunto de grande 
importância, utilizado em numerosos problemas não só da matemática, mas também 
da física e engenharia, sobretudo na solução de equações algébricas e equações 
diferenciais: os números complexos.
A criação dos números complexos teve estímulo na necessidade sentida pelos 
matemáticos de ampliar o campo numérico de seu trabalho, dando significado, 
principalmente, às raízes quadradas de números negativos. Como sabemos, isso 
acontece porque não existe, entre os reais, um número que elevado ao quadrado dê 
resultado negativo: 2(?) 9= − . Surge assim a necessidade de ampliação do universo 
numérico. 
Como de costume, durante os seus estudos, nesta unidade, anote suas dúvidas 
e busque esclarecimentos com o professor tutor sempre que tiver necessidade.
Bons estudos!
pARA iNíciO De cONVeRSA
SeÇÃO 1 
CONJUNTO DOS NúMEROS COMPLExOS
Nesta seção você vai relembrar os principais conceitos dos números complexos. 
Iniciamos com um breve histórico de como surgiram esses números.
Embora a abordagem aprofundada dos números complexos tenha sido feita 
a partir do século XVIII, essa questão foi mencionada anteriormente por alguns 
matemáticos. No entanto, dada a incompreensão e o desconhecimento desses 
números, tais matemáticos abandonaram o seu estudo.
Foi o matemático e médico italiano Girolamo Cardano (1501-1576) quem 
mencionou pela primeira vez os números complexos. Na sua obra Ars Magna de 
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Cardano, propôs o seguinte problema: “Determinar dois números cuja soma seja 10 
e o produto seja 40”. 
A equação representativa desse problema é 2 10 40 0x x− + = e, resolvendo-a, 
ele encontrou as soluções 5 15+ − e 5 15− − . Cardano ficou por aqui; não deu 
significado a tais expressões, concluindo que esses resultados eram “tão sutis quanto 
inúteis”.
Raízes quadradas de números negativos continuaram aparecendo nos 
séculos seguintes, e o que mais perturbava os matemáticos era que essas raízes, na 
época, símbolos sem significado, manipuladas de acordo com as regras usuais da 
álgebra, forneciam resultados corretos que às vezes não podiam ser obtidos de outra 
maneira.
Dois séculos depois, esses estudos foram ampliados por Wessel (1745-1818) 
e Argand (1768-1822), a quem se deve a representação geométrica dos números 
complexos, que foi retomada e aprofundada por Gauss (1777-1855), o qual introduziu 
a expressão “números complexos”. Esses matemáticos são considerados os criadores 
da teoria dos números complexos. O símbolo i, para a representação de 1− , foi 
criado por Euler (1707-1783), mas, só após o seu uso por Gauss, em 1801, é que foi 
aceito.
1.1 cOnjuntO dOs númerOs cOmplexOs
Convencidos da necessidade de se dar uma interpretação às raízes quadradas 
de números negativos, os matemáticos criaram o número i, chamado unidade 
imaginária, tal que:
21 = 1i i= − → −
 
Sabendo que 2 = 1i − , temos:
 
2.( 1)c c c i c i− = − = = 
Fazendo b c= , podemos escrever a expressão a c+ − da seguinte 
forma:
 , com , a c a c i a bi a b+ − ⇒ + ⇒ + ∈ 
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A cada expressão do tipo a + bi denominou-se número complexo, sendo o 
conjunto dos números complexos indicado pela letra  .
 
2{ | , e –1}z a bi a b i= = + ∈ = 
 
Desse modo, os matemáticos passaram a trabalhar com raízes quadradas de 
números negativos de uma forma simplificada.
Vamos resolver algumas equações usando a unidade imaginária.
1) 2 144 0x + =
Resolução
Isolando 2x :
 
2 144x = −
 
2 ( 1).144x = −
 
2 2144x i= 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros:
 
2 144x i= ±
 12x i= ± 
Logo, { 12 , 12 }S i i= − 
2) 2 2 3 0x x− + = 
Resolução
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
 
2 4 12
2
x ± −=
 
2 1.8
2
x
± −
=
 
22 8
2
i
x
±
=
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22 2 2
2
i
x
±
=
 1 2x i= ± 
Logo, { }1 2 , 1 2S i i= − +
3) 4 210 24 0x x+ − = 
Resolução
Fazendo 2x r= e substituindo na equação dada, temos:
 
2 10 24 0r r+ − = 
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
 
10 100 96
2
r − ± +=
10 196
2
r − ±=
10 14
2
r − ±=
 
1 2
4 242 e 12
2 2
r r= = = − = − 
 
 
 
Como 2x r= , obtemos:
2 2x = 
2 12x = −
 2x = ± 12x = ± −
 
212x i= ±
 2 3x i= ±
Logo, { } 2, 2, 2 3 , 2 3S i i= − −
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1.2 pOtências da unidade imaGinária 
Vamos calcular as potências, usando as regras usuais da Álgebra:
00 1n i= ⇒ =
11n i i= ⇒ =
22 1n i= ⇒ = −
3 23 . 1.n i i i i i= ⇒ = = − = −
4 2 24 . 1.( 1) 1n i i i= ⇒ = = − − =
22 4 4 4 4 4 2 222 . . . . . 1. 1. 1. 1. 1. 1n i i i i i i i i= ⇒ = = = −
37 4 4 4 4 4 4 4 4 437 . . . . . . . . . 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.n i i i i i i i i i i i i i= ⇒ = = = 
Na prática, dividimos o expoente por 4 e tomamos como expoente de i apenas 
o resto da divisão, ou seja:
1.3 fOrma alGébrica de um númerO cOmplexO
Um número complexo pode ser escrito de várias formas. Entre elas, a mais 
prática é a forma z a b i= + , chamada forma algébrica, onde a e b são números reais 
e i é a unidade imaginária.
O número real a é denominado parte real de z e indicado por a = Re(z), e o 
número real b é denominado parte imaginária de z e indicado por b = Im(z).
Portanto, z a b i= + é:
a) um número real quando a parte imaginária do complexo é nula e, dessa 
forma, temos que os números reais constituem um caso particular dos números 
complexos. Então: ⊂  ; 
b) um número imaginário puro quando a parte real do complexo é nula, e a 
imaginária é diferente de zero. 
22 2 37 11 1
22 4 37 4
2 5 1 9
i i ii     
i
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Ou seja:
0 (é um número real)
0 (é um número imaginário puro)
(é um número imaginário)
z a i z a
z a bi z b i z b i
z a b i
= + ⇒ =
= + ⇒ = + ⇒ =
 = +
Vale a seguinte 
sequência de 
inclusões: 
1) Considerando o número complexo ( ) ( )2z m – 3 n – 36 i= + , determine m 
e n de modo que z seja:
a) um número real;
b) um número imaginário puro.
Resolução
Letra a: um número complexo z a b i= + é um número real quando b = 0. 
Assim, temos que:
 
2
2
n 36 0
n 36
n = 6
− =
=
±
 
Logo, ( ) ( )2z m – 3 n – 36 i= + é um número real quando n = 6 e m∈ , ou 
quando n = – 6 e m∈ .
Letra b: um número complexo z a b i= + é um número imaginário puro 
quando a = 0 e 0b ≠ . Assim, temos que:
2 2
m 3 = 0 m = 3
e
n 36 0 n 36 n 6
− ⇒
− ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ±
 
Logo, ( ) ( )2z m – 3 n – 36 i= + é um número imaginário puro quando m = 3 
e n 6≠ ± .
2) Determine x de modo que 2(3 )x i− seja um número imaginário