Propriedades e operação com números reais

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A D M I N I S T R A Ç Ã O , E C O N O M I A
E C I Ê N C I A S S O C I A I S E B I O L Ó G I C A S
7 a e d i ç ã o
Harshbarger • Reynolds
H324m Harshbarger, Ronald J.
 Matemática aplicada [recurso eletrônico] : administração,
 economia e ciências sociais e biológicas / Ronald J.
 Harshbarger, James J. Reynolds ; tradução: Ariovaldo
 Griesi, Oscar Kenjiro N. Asakura; revisão técnica: Helena
 Maria de Ávila Castro, Afrânio Carlos Murolo. – 7. ed. –
 Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2006.
 ISBN 978-85-8055-273-7
 1. Matemática aplicada. 2. Administração. 3. Economia.
 4. Ciências Sociais. 5. Ciências Biológicas. I. Reynolds,
 James J. II. Título.
CDU 51-7
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
0.2 Os Números Reais 11
2. A adição e a multiplicação são associativas.
(a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)
3. O elemento neutro da adição é 0.
a + 0 = 0 + a = a
4. O elemento neutro da multiplicação é 1.
a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
5. Cada elemento a tem seu inverso aditivo (ou oposto) denotado por –a.
a + (–a) = –a + a = 0
 Observe que há diferença entre um número negativo e a negativa de um 
número.
6. Cada elemento não nulo a tem seu inverso multiplicativo denotado por a–1.
a ⋅ a–1 = a–1 ⋅ a = 1
 Observe que a–1 = 1/a.
7. A multiplicação é distributiva com relação à adição. 
a (b + c) = ab + ac
 Observe que a propriedade 5 fornece o signifi cado da subtração, ao defi nirmos 
a – b = a + (–b) e a propriedade 6 fornece o signifi cado da divisão, ao defi nir-
mos a ÷ b = a ⋅ (1/b). O número 0 não possui inverso multiplicativo, logo a 
divisão por 0 não é defi nida.
Desigualdades e Intervalos Dizemos que a é menor que b (escrito como a < b) se o ponto que representa a 
está à esquerda do ponto que representa b na reta real. Por exemplo, 4 < 7 porque 
4 está à esquerda do 7 na reta real. Podemos também dizer que 7 é maior que 4 
(escrito como 7 > 4). Podemos indicar que o número x é menor ou igual a outro 
número y escrevendo x ≤ y. Podemos também indicar que p é maior ou igual a 4 
escrevendo p ≥ 4.
EXEMPLO 1 Desigualdades
Use a notação < ou > para escrever:
(a) 6 é maior que 5. (b) 10 é menor que 15.
(c) 3 está à esquerda de 8 na reta real. (d) x é no máximo 12.
SOLUÇÃO
(a) 6 > 5 (b) 10 < 15 (c) 3 < 8 
(d) “x é no máximo 12” signifi ca que x deve ser menor ou igual a 12. Assim, x ≤ 12.
O subconjunto dos números reais que consiste de todos os números reais x 
que estão entre a e b, excluindo a e b, pode ser denotado pela dupla desigualdade 
a < x < b ou pelo intervalo aberto (a, b). Ele é chamado intervalo aberto porque 
nenhuma das suas extremidades é incluída no intervalo. O intervalo fechado [a, b] 
representa o conjunto de todos os números reais x que satisfaçam a ≤ x ≤ b. Os 
intervalos contendo apenas uma das extremidades, tais como (a, b] e [a, b), são 
chamados intervalos semi-abertos.
Podemos ainda usar [a, + ∞) para representar a desigualdade x ≥ a e (–∞, a) 
para representar x < a. Em cada um destes casos, os símbolos + ∞ e – ∞ não são 
12 Capítulo 0 Conceitos Algébricos
números reais, mas representam de fato que x aumenta ilimitadamente (+ ∞) e 
decresce ilimitadamente (– ∞). A Tabela 0.2 resume os três tipos de intervalo.
 TABELA 0.2 Intervalos
Tipo de Intervalo Notação com 
Desigualdade
Notação com 
Intervalo
Gráfi co
Intervalo aberto x > a
x < b
a < x < b
(a, ∞)
(-∞, b)
(a, b)
a
b
ba
Intervalo semi-aberto x > a
x < b
a < x < b
a < x < b
[a, ∞)
(-∞, b]
[a, b)
(a, b]
a
b
ba
ba
Intervalo fechado a < x < b [a, b]
ba
PONTO DE CONTROLE 1. Calcule o seguinte, se possível. Identifi que aqueles que não têm signifi cado. 
 (a) 4
0
 (b) 0
4
 (c) 4
4
 (d) 4 4
4 4
−
−
2. Nos itens (a) a (d), escreva a desigualdade correspondente ao intervalo dado e 
esboce seu gráfi co na reta real.
 (a) (1, 3) (b) (0, 3] (c) [–1, ∞) (d) (– ∞, 2) 
Valor Absoluto Às vezes estamos interessados na distância que o número está da origem (0) da 
reta real, sem levar em consideração a direção. A distância do número a ao 0 na 
reta real é o valor absoluto de a, denotado por |a|. O valor absoluto de qualquer 
número não nulo é positivo e o valor absoluto de 0 é 0.
EXEMPLO 2 Valor Absoluto
Calcule o seguinte:
(a) | –4 | (b) |+2| (c) | 0 | (d) |–5 – |–3||
SOLUÇÃO
(a) | –4 | = + 4 = 4 (b) | +2 | = + 2 = 2
(c) | 0 | = 3 (d) | –5 – | –3 || = | –5 –3 | = | –8 |= 8 
Observe que se a é um número não negativo, então |a| = a, entretanto, se a é 
negativo, então |a| é o número positivo (–a). Assim,
Valor Absoluto
a
a a
a a
=
≥
− <
⎧
⎨
⎩
se 
se 
0
0
Para cálculos com números reais, é importante relembrar as regras para estes 
cálculos.
0.2 Os Números Reais 13
O P E R A Ç Õ E S C O M N Ú M E R O S R E A I S ( C O M S I N A L )
Procedimento Exemplo
1. (a) Para somar dois números reais com mesmo 
 sinal, some os valores absolutos e acrescente
 o sinal comum.
 (b) Para somar dois números reais com sinais
 opostos, encontre a diferença entre os valores 
 absolutos e acrescente o sinal do número com
 maior valor absoluto.
1. (a) (+5) + (+6) = +11
 
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = − = −
1
6
2
6
3
6
1
2
 (b) (–4) + (+3) = –1
 (+5) + (–3) = +2
 
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + + = −
11
7
1 4
7
( )
2. Para subtrair um número real de outro, mude o 
sinal do número que será subtraído e proceda 
como na adição.
2. (–9) – (–8) = (–9) + (+8) = –1
 16 – (8) = 16 + (–8) = +8
3. (a) O produto de dois números com sinais iguais
 é positivo.
 (b) O produto de dois números com sinais opostos
 é negativo.
3. (a) (–3)(–4) = +12
 
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + = +
3
4
4 3( )
 (b) 5(–3) = –15
 (–3)(+4) = –12
4. (a) O quociente de dois números reais com sinais
 iguais é positivo.
 (b) O quociente de dois números com sinais 
 opostos é negativo.
4. (a) (–14) ÷ (–2) = +7
 +36/4 = +9
 (b) (–28)/4 = –7
 45 ÷ (–5) = –9
Quando duas ou mais operações com números reais são indicadas em uma 
expressão, é importante que todos concordem na ordem em que as operações de-
verão ser efetuadas, para garantir que o resultado seja único. As seguintes ordens 
de operações são universalmente aceitas.
Ordem das Operações
1. Execute as operações dentro dos parênteses.
2. Encontre as potências indicadas (23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8).
3. Execute multiplicações e divisões da esquerda para a direita.
4. Execute adições e subtrações da esquerda para a direita.
EXEMPLO 3 Ordem das Operações
Calcule o seguinte:
(a) – 4 +3 (b) – 42 + 3 (c) (– 4 + 3)2 + 3 (d) 6 ÷ 2(2 + 1) 
SOLUÇÃO
(a) –1
(b) Observe que em –42 o expoente 2 é aplicado somente no 4, e não no –4 (o que 
seria escrito (–4) 2). Assim, –42 + 3 = – (42) + 3 = –16 + 3 = – 13
(c) (–1)2 + 3 = 1 + 3 = 4 (d) 6 ÷ 2(3) = 3 ⋅ 3 = 9
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.