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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio Microeconomia II Prof. Marcos Antonio C. da Silveira Nota de Aula 17: Teoria do Equilíbrio Geral em Concorrência Perfeita com Produção Bibliografia: Varian (nona edição), cap. 32 1 Descrição da Economia: Modelo 2X2X2 de Economia com Produção • Dois indivíduos, indexados por i = A,B • Dois bens, indexados por j = 1, 2 • Dois insumos (fatores de produção), indexados por h = K (capital) , L (trabalho) • Ambos os indivíduos recebem uma dotação inicial de cada insumo: — dotação inicial de K para A: KA ≥ 0 — dotação inicial de L para A: LA ≥ 0 — dotação inicial de K para B: KB ≥ 0 — dotação inicial de L para B: LB ≥ 0 — dotação inicial total de capital: KA +KB — dotação inicial total de trabalho: LA + LB • Oferta agregada de capital é perfeitamente inelástica em KA +KB • Oferta agregada de trabalho é perfeitamente inelástica em LA + LB 1 • Economia com produção através de duas firmas: — firma 1 produz apenas o bem 1 empregando capital e trabalho através da função de produção y1 = F 1 ¡ L1,K1 ¢ — firma 2 produz apenas o bem 2 empregando capital e trabalho através da função de produção y2 = F 2 ¡ L2,K2 ¢ onde: — quantidade do bem 1 produzida pela firma 1: y1 — quantidade do bem 2 produzida pela firma 2: y2 — quantidade de K empregada pela firma 1: K1 — quantidade de L empregada pela firma 1: L1 — quantidade de K empregada pela firma 2: K2 — quantidade de L empregada pela firma 2: L2 • Indivíduos A e B são os proprietários (acionistas) das firmas 1 e 2: — participação de A no lucro da firma 1: 1 ≥ α1A ≥ 0 — participação de B no lucro da firma 1: 1 ≥ α1B ≥ 0 — participação de A no lucro da firma 2: 1 ≥ α2A ≥ 0 — participação de B no lucro da firma 2: 1 ≥ α2B ≥ 0 • Por definição, segue que: α1A + α 1 B = 1 α2A + α 2 B = 1 2 • Função utilidade de A : uA = uA ¡ x1A, x 2 A ¢ — quantidade do bem 1 demandada por A: x1A — quantidade do bem 2 demandada por A: x2A • Função utilidade de B: uB = uB ¡ x1B, x 2 B ¢ — quantidade do bem 1 demandada por B: x1B — quantidade do bem 2 demandada por B: x1B • Indivíduos A e B têm um papel tríplice nesta economia: — consumidores dos bens 1 e 2 — proprietários das firmas 1 e 2 — ofertantes (provedores) dos insumos K e L para as firmas • Parâmetros do modelo (variáveis exógenas): — funções de utilidade: uA (x1A, x2A) , uB (x1B, x2B) — funções de produção (restrição tecnológica): F 1 (L1, K1) , F 2 (L2, K2) — dotações iniciais dos insumos para A e B: LA, KA, LB,KB — participação de A e B nos lucros das firmas: α1A, α1B, α2A, α2B 3 2 Possibilidades de Produção 2.1 Propriedades das Funções de Produção • Produto marginal do trabalho e do capital positivo: PMgL1 ¡ L1, K1 ¢ = ∂F 1 (L1,K1) ∂L1 > 0 PMgL2 ¡ L2, K2 ¢ = ∂F 2 (L2,K2) ∂L2 > 0 (1) PMgK1 ¡ L1, K1 ¢ = ∂F 1 (L1,K1) ∂K1 > 0 PMgK2 ¡ L2, K2 ¢ = ∂F 2 (L2,K2) ∂K2 > 0 • Produto marginal do trabalho e do capital decrescente: ∂2F 1 (L1,K1) ∂ (L1)2 < 0 ∂2F 2 (L2,K2) ∂ (L2)2 < 0 (2) ∂2F 1 (L1,K1) ∂ (K1)2 < 0 ∂2F 2 (L2,K2) ∂ (K2)2 < 0 4 2.2 Fronteira de Produção • Seja um economia com produção tal que: — LA + LB e KA +KB são as dotações totais iniciais de trabalho e capital — F 1 (L1,K1) e F 2 (L2,K2) são as funções de produção dos bens 1 e 2 Definição 1 Um vetor de produção (y1, y2) especifica... • a produção total do bem 1 na economia, dada por y1 • a produção total do bem 2 na economia, dada por y2 • Atenção: como mostrado adiante, nem todo vetor de produção é factível Definição 2 A fronteira de produção (ou das possibilidades de produção) é o conjunto de todos os vetores (y1, y2), tais que: • y1 é a produção máxima do bem 1 dado que a economia já produz y2 do bem 2 • y2 é a produção máxima do bem 2 dado que a economia já produz y1 do bem 1 • A posição e o formato da fronteira de produção dependem das... — dotações totais dos insumos e — das funções de produção das firmas • Seja y2 = FT (y1) a função que determina a produção máxima do bem 2, dado que a economia já produz y1 do bem 1. A fronteira de produção é o gráfico desta função, ou seja, o conjunto de vetores (y1, y2) tais que y2 = FT (y1) • A função FT (y1) é negativamente inclinada, ou seja, ∂FT (y1) ∂y1 < 0 Porque? Como os recursos e tecnologias são dados e limitados, quando a economia já se encontra produzindo um vetor (y1, y2) na fronteira de produção, a única forma de aumentar a produção de um bem é reduzindo a produção do outro bem 5 2.3 Conjunto de Produção • Quando a economia produz um vetor (y1, y2) na fronteira de produção, é impossível aumentar a produção de um bem sem reduzir a produção do outro bem. Neste caso, y2 = FT ¡ y1 ¢ • Quando a economia produz um vetor (y1, y2) abaixo da fronteira de produção, os recursos estão sendo subutilizados, pois é possível aumentar a produção de um bem sem reduzir a produção do outro bem. Neste caso, y2 < FT ¡ y1 ¢ • Já um vetor (y1, y2) acima da fronteira de produção representa um nível de pro- dução impossível de ser alcançado pela economia, dados os recursos e tecnologias exixtentes. Neste caso, y2 > FT ¡ y1 ¢ Definição 3 Um vetor de produção (y1, y2) é factível quando y2 ≤ FT ¡ y1 ¢ Definição 4 O conjunto de produção (ou das possibilidades de produção) da economia é o conjunto de todos os vetores (y1, y2) factíveis, ou seja, é o conjunto de todos os vetores (y1, y2) tais que y2 ≤ FT ¡ y1 ¢ 6 2.4 Função de Transformação Definição 5 Uma função de tranformação da economia é qualquer função T (y1, y2) tal que... • T (y1, y2) ≤ 0 quando (y1, y2) é factível • T (y1, y2) > 0 quando (y1, y2) não é factível • T (y1, y2) = 0 se e somente se (y1, y2) encontra-se na fronteira de produção Exemplo 1 Um exemplo de função de transformação da economia é a função T ¡ y1, y2 ¢ = γ £ y2 − FT ¡ y1 ¢¤ γ > 0 onde y2 = FT (y1) é a fronteira de produção. Porque? • um vetor de produção (y1, y2) é factível e encontra-se na fronteira de produção se e somente se y2 = FT ¡ y1 ¢ ⇐⇒ T ¡ y1, y2 ¢ = 0 • um vetor de produção é factível, mas encontra-se abaixo da fronteira de produção, se e somente se y2 < FT ¡ y1 ¢ ⇐⇒ T ¡ y1, y2 ¢ < 0 • um vetor de produção não é factível se e somente se y2 > FT ¡ y1 ¢ ⇐⇒ T ¡ y1, y2 ¢ > 0 7 2.5 "Curva de Pareto" na Produção: Derivação da Fronteira de Produção • "Caixa de Edgeworth" para produção — comprimento da caixa: oferta agregada de trabalho — altura da caixa: oferta agregada de capital — mapa de curvas de isoquantas para cada firma • Uma alocação de fatores de produção é um vetor (L1,K1, L2, K2) que determina quanto cada firma planeja empregar de cada fator de produção • Cada alocação de fatores (L1,K1, L2,K2) gera o vetor de produção (y1, y2) tal que y1 = F 1 ¡ L1,K1 ¢ y2 = F 2 ¡ L2,K2 ¢ • Por definição, uma alocação de fatores (L1,K1, L2,K2) é factível se e somente se L1 + L2 ≤ LA + LB K1 +K2 ≤ KA +KB • Um ponto na caixa representa uma e apenas uma alocação factível tal que: L1 + L2 = LA + LB K1 +K2 = KA +KB • Por definição, uma alocação factível (L1, K1, L2,K2) é tecnicamente eficiente se e somente se não existe uma outra alocação factível ³ L˜1, K˜1, L˜2, K˜2 ´ que permita aumentar a produção de um bem sem reduzir a produção do outro bem — Mais rigorosamente, uma alocação factível (L1, K1, L2,K2) é eficiente se e so- mente se não existe uma outra alocação factível ³ L˜1, K˜1, L˜2, K˜2 ´ tal que F 1 ³ L˜1, K˜1 ´ ≥ F 1 ¡ L1, K1 ¢ F 2 ³ L˜2, K˜2 ´ ≥ F 2 ¡ L2, K2 ¢ com a desigualdade estrita para pelo menos um dos bens • Por definição, a curva de uso eficiente dos fatores ("curva de Pareto" na produção) é o conjunto de todas as alocações de fatores tecnicamente eficientes 8 • Com funções de produção satisfazendo propriedades (1) e (2), uma alocação fac- tível (L1,K1, L2,K2) tecnicamente eficiente satisfaz as condições L1 + L2 = LA + LB K1 +K2 = KA +KB Logo, esta alocação pode ser representada por um único ponto na caixa • Suponha funções de produção bem comportadas, satisfazendo propriedades (1) e (2). Seja uma alocação factível(L1, K1, L2,K2) com L1 + L2 = LA + LB K1 +K2 = KA +KB Suponha que este ponto encontra-se estritamente no interior da caixa. Então, a alocação (L1, K1, L2,K2) é tecnicamente eficiente se e somente se a curva de iso- quanta da firma 1 passando por (L1,K1) tangencia a curva de isoquanta da firma 2 passando por (L2, K2) , ou seja, TMST 1(L1,K1)z }| { ∂F 1 (L1, K1) ∂L1 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂K1 = TMST 2(L2,K2)z }| { ∂F 2 (L2,K2) ∂L2 Á ∂F 2 (L2,K2) ∂K2 (3) Matematicamente, isto significa igualdade entre as taxas marginais de substituição técnica entre as firmas. • Qual a relação entre a fronteira de produção e a curva de uso eficiente dos fatores? — Seja (L1,K1, L2, K2) uma alocação tecnicamente eficiente. Então, por definição, o vetor de produção (y1, y2) tal que y1 = F 1 ¡ L1,K1 ¢ y2 = F 2 ¡ L2,K2 ¢ encontra-se na fronteira de produção — Seja um vetor de produção (y1, y2) na fronteira de produção. Então, por definição, existe uma alocação eficiente (L1,K1, L2,K2) tal que y1 = F 1 ¡ L1,K1 ¢ y2 = F 2 ¡ L2,K2 ¢ — Conclusão: a fronteira de produção pode ser derivada a partir da curva de uso eficiente dos fatores 9 • E os vetores de produção (y1, y2) factíveis, porém abaixo da fronteira? Estão asso- ciados a alocações de fatores factíveis (L1,K1, L2, K2).... — ∗ com L1 + L2 < LA + LB ou K1 + K2 < KA + KB (não representadas por um ponto da caixa) ou ... ∗ com L1 +L2 = LA+LB e K1 +K2 = KA+KB (representadas por um ponto da caixa), mas com isoquantas se cortando (não tangentes) • E os vetores de produção (y1, y2) não factíveis, ou seja, acima da fronteira de produção? Estão associados a alocações de fatores não factíveis 10 Derivação da condição marginal de eficiência de Pareto na produção: Resultado (3) • Uma alocação ¡L1,K1,L2,K2¢ é tecnicamente eficiente se e somente se resolve o seguinte problema: max (L1,K1,L2,K2) F 2 ¡ L2, K2 ¢ (4) sujeito a F 1 ¡ L1,K1 ¢ = F 1 ¡ L1,K1 ¢ (5) L1 + L2 = LA + LB (6) K1 +K2 = KA +KB (7) • Construa o Lagrangiano do problema de max. (4) s.a.(5) a (7): $ ¡ L1, K1, L2,K2, λ, µ1, µ2 ¢ = F 2 ¡ L2, K2 ¢ − λ £ F 1 ¡ L1,K1 ¢ − F 1 ¡ L1, K1 ¢¤ −µ1 £ L1 + L2 − LA − LB ¤ − µ2 £ K1 +K2 −KA −KB ¤ onde λ, µ1, µ2 são os multiplicadores de Lagrange. • O vetor ¡L1,K1,L2,K2¢ que resolve este problema de max. satisfaz as condições marginais de primeira ordem: ∂$ ∂L1 = λ ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂L1 − µ1 = 0 (8) ∂$ ∂K1 = λ ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂K1 − µ2 = 0 (9) ∂$ ∂L2 = ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂L2 − µ1 = 0 (10) ∂$ ∂K2 = ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂K2 − µ2 = 0 (11) Eqs.(8) e (9) =⇒ TMST 1 ¡ L1,K1 ¢ = ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂L1 , ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂K1 = µ1 µ2 (12) Eqs.(10) e (11) =⇒ TMST 2 ¡ L2,K2 ¢ = ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂L2 , ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂K2 = µ1 µ2 (13) 11 Eqs.(12) e (13) =⇒ TMST 1 ¡ L1,K1 ¢ = TMST 2 ¡ L2,K2 ¢ , (14) onde TMST i é a taxa marginal de substituição técnica da firma j (j = 1, 2). • Sob as condições (1) e (2), a condição (14) também é suficiente para que ¡L1,K1,L2,K2¢ seja a solução do problema de maximização acima 12 2.6 Taxa Marginal de Transformação (TMT) Definição 6 A taxa marginal de transformação num ponto qualquer (y1, y2) da fronteira de produção, denotada por TMT (y1, y2) , é a quantidade mínima do bem 2 que a economia precisa renunciar para ser capaz de produzir uma quantidade marginal do bem 1 • A taxamarginal de transformação é definida apenas para pontos (y1, y2) da fronteira de produção, os quais são caracterizados pela condição y2 = FT ¡ y1 ¢ Proposição 1 Seja T (y1, y2) uma função de transformação qualquer. Então a taxa marginal de transformação num ponto qualquer (y1, y2) na fronteira de produção é dada por TMT ¡ y1, y2 ¢ = ∂T (y1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 (15) Prova. Por definição, para (y1, y2) na fronteira de produção, segue que T ¡ y1, y2 ¢ = 0 (16) Diferenciando totalmente ambos os lados da equação (16) acima, segue que ∂T (y1, y2) ∂y1 ∂y1 + ∂T (y1, y2) ∂y2 ∂y2 = 0 Manipulando a expressão acima, segue que −∂T (y 1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 = ∂y2 ∂y1 O resultado acima estabelece que, dado um aumento de y1 igual a ∂y1, é necessária uma redução de y2 igual a ∂y2 = −∂T (y 1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 para que a economia permaneça na fronteira de produção. Logo, pela definição de taxa marginal de transformação, segue que TMT ¡ y1, y2 ¢ = ∂T (y1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 13 Corolário 1 Pela proposição anterior, a TMT (y1, y2) num ponto qualquer (y1, y2) da fron- teira de produção é igual à inclinação da fronteira de produção neste ponto, ou seja, TMT ¡ y1, y2 ¢ = −∂FT (y 1) ∂y1 Prova. Uma função de transformação qualquer T (y1, y2) assume a forma T ¡ y1, y2 ¢ = γ £ y2 − FT ¡ y1 ¢¤ (17) com γ > 0. Derivando parcialmente a função (17) acima com respeito a y1 e y2, segue que ∂T (y1, y2) ∂y1 = −γ∂FT (y 1) ∂y1 ∂T (y1, y2) ∂y2 = γ Substituindo as derivadas acima no resultado (15), segue que TMT ¡ y1, y2 ¢ = ∂T (y1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 = −∂FT (y 1) ∂y1 14 Proposição 2 Seja um ponto qualquer (y1, y2) na fronteira de produção, o qual é gerado pela alocação eficiente (L1,K1,L2,K2). Então, pode-se afirmar que TMT ¡ y1, y2 ¢ = ∂F 2 (L2,K2) ∂L2 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂L1 = ∂F 2 (L2,K2) ∂K2 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂K1 Prova. Como (y1, y2) encontra-se na fronteira de produção, então T ¡ y1, y2 ¢ = 0 (18) Além disso, como (L1,K1,L2,K2) é a alocação que gera (y1, y2), segue que y1 = F 1 ¡ L1,K1 ¢ (19) y2 = F 2 ¡ L2,K2 ¢ (20) Substituindo (19) e (20) na expressão (18) acima: T y1z }| { F 1 ¡ L1,K1 ¢ , y2z }| { F 2 ¡ L2,K2 ¢ = 0 (21) Como (L1,K1,L2,K2) é eficiente, então L1 + L2 = LA + LB (22) K1 +K2 = KA +KB (23) Isolando L1 e K1 nas eqs. (22) e (23) acima e substituindo na eq. (21), segue que T y1z }| { F 1 L1z }| { LA + LB − L2, K1z }| { KA +KB −K2 , y2z }| { F 2 ¡ L2,K2 ¢ = 0 (24) Diferenciando totalmente ambos os lados da equação (24) acima com respeito a L2, segue que −∂T (y 1, y2) ∂y1 ∂F 1 (L1,K1) ∂L1 + ∂T (y1, y2) ∂y2 ∂F 2 (L2,K2) ∂L2 = 0 Rearranjando a expressão acima, segue que ∂T (y1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 = ∂F 2 (L2,K2) ∂L2 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂L1 (25) 15 Diferenciando totalmente ambos os lados da equação (21) acima com respeito a K2, segue que −∂T (y 1, y2) ∂y1 ∂F 1 (L1,K1) ∂K1 + ∂T (y1, y2) ∂y2 ∂F 2 (L2,K2) ∂K2 = 0 Rearranjando a expressão acima, segue que ∂T (y1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 = ∂F 2 (L2,K2) ∂K2 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂K1 (26) Combinando o resultado (15) com os resultados (25) e (26), segue que TMT ¡ y1, y2 ¢ = ∂T (y1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 = ∂F 2 (L2,K2) ∂L2 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂L1 = ∂F 2 (L2,K2) ∂K2 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂K1 16 • Como a TMT (y1, y2) varia com um deslocamento da economia ao longo da fronteira de produção? A proposição abaixo responde esta pergunta: Proposição 3 Seja TMT (y1, y2) a taxa marginal de transformação num ponto qualquer (y1, y2) da fronteira de produção, dada por TMT ¡ y1, y2 ¢ = TMT ¡ y1, FT ¡ y1 ¢¢ desde que y2 = FT (y1) . Então, segue do corolário (1) acima que a derivada total de TMT (y1, FT (y1)) com respeito a y1 é dada por dTMT (y1, FT (y1)) dy1 = ∂2FT (y1) ∂ (y1)2 Prova. Diferenciando totalmente a função (24) acima com respeito a y1, segue que dTMT (y1, FT (y1)) dy1 = ∂TMT (y1, FT (y1)) ∂y1 + ∂TMT (y1, FT (y1)) ∂y2 ∂FT (y1) ∂y1 (27) Diferenciando parcialmente a função (24) acima com respeito a y1 e y2, segue que ∂TMT (y1, FT (y1)) ∂y1 = ∂FT (y1) ∂y1 ∂TMT (y1, FT (y1)) ∂y2 = 0 Substituindo as derivadas acimas no resultado (27), segue que dTMT (y1, FT (y1)) dy1 = ∂2FT (y1) ∂ (y1)2 • A proposição acima estabelece que: — a TMT aumenta com um aumento de y1 (e redução de y2) se a fronteira de produção é côncava ∗ Pela prop. (2), isto ocorre pq aumenta a razão entre a PrMg dos fatores da firma 2 e a PrMg dos fatores da firma 1 — a TMT diminui com um aumento de y1 (e redução de y2) se a fronteira de produção é convexa ∗ Pela prop. (2), isto ocorre pq diminui a razão entre a PrMg dos fatores dafirma 2 e a PrMg dos fatores da firma 1 — a TMT permanece constante com um aumento de y1 (e redução de y1) se a fronteira de produção é linear ∗ Pela prop. (2), isto ocorre pq fica constante a razão entre a PrMg dos fatores da firma 2 e a PrMg dos fatores da firma 1 17 3 Caso Particular: Possibilidades de Produção numa Econo- mia com Apenas um Fator 3.1 Descrição da Economia • Dois indivíduos: A, B • Dois bens, indexados por j = 1, 2 • Apenas um insumo: L (trabalho) • Ambos os indivíduos recebem uma dotação inicial do insumo: — dotação inicial de L para A: LA ≥ 0 — dotação inicial de L para B: LB ≥ 0 — Oferta agregada de trabalho é perfeitamente inelástica em LA + LB • Economia com produção através de duas firmas: — firma 1 produz apenas o bem 1 empregando trabalho através da função de produção y1 = F 1 ¡ L1 ¢ = α √ L1; α > 0 (28) — firma 2 produz apenas o bem 2 empregando trabalho através da função de produção y2 = F 2 ¡ L2 ¢ = β √ L2; β > 0 (29) onde: — quantidade do bem 1 produzida pela firma 1: y1 — quantidade do bem 2 produzida pela firma 2: y2 — quantidade de L empregada pela firma 1: L1 — quantidade de L empregada pela firma 2: L2 18 3.2 Possibilidades de Produção 3.2.1 Propriedades das Funções de Produção • Produto marginal do trabalho positivo: PMgL1 ¡ L1 ¢ = ∂F 1 (L1) ∂L1 = α 2 ¡ L1 ¢− 1 2 > 0 PMgL2 ¡ L2 ¢ = ∂F 2 (L2) ∂L2 = β 2 ¡ L2 ¢− 1 2 > 0 • Produto marginal do trabalho decrescente: ∂2F 1 (L1) ∂ (L1)2 = −α 4 ¡ L1 ¢− 3 2 < 0 (30) ∂2F 2 (L2) ∂ (L2)2 = −β 4 ¡ L2 ¢− 3 2 < 0 (31) 3.2.2 Fronteira de Produção • Alocações de trabalho (L1,L2) entre as firmas são factíveis e tecnicamente eficientes quando L1 + L2 = LA + LB (32) • Derivação da fronteira de produção: — Seja (y1, y2) um ponto na fronteira de produção — Então, este existe uma única alocação (L1,L2) tecnicamente eficiente tq y1 = α √ L1 =⇒ L1 = µ y1 α ¶2 (33) y2 = α √ L2 =⇒ L2 = µ y2 β ¶2 (34) — Substituindo (33)-(34) em (32): L1 + L2 = LA + LB =⇒ µ y1 α ¶2 + µ y2 β ¶2 = LA + LB =⇒ y2 = β s LA + LB − µ y1 α ¶2 =⇒ y2 = FT ¡ y1 ¢ = β s LA + LB − µ y1 α ¶2 (35) 19 3.2.3 Função de Transformação • Exemplo de função de transformação: T ¡ y1, y2 ¢ = λ £ y2 − FT ¡ y1 ¢¤ = y2 − β s LA + LB − µ y1 α ¶2 (36) λ > 0 3.2.4 Taxa Marginal de Transformação • Derivando parcialmente a função (36) acima com respeito a y1 e y2, segue que TMT ¡ y1, y2 ¢ = ∂T (y1, y2) ∂y1 Á ∂T (y1, y2) ∂y2 = β α2 " LA + LB − µ y1 α ¶2#− 12 y1 > 0 • Derivando a função (35) com respeito a y1, segue que ∂FT (y1) ∂y1 = − β α2 " LA + LB − µ y1 α ¶2#− 12 y1 (37) confirmando assim o corolário (1), segundo o qual TMT ¡ y1, y2 ¢ = −∂FT (y 1) ∂y1 (38) • Além disso, pode-se verificar que TMT ¡ y1, y2 ¢ = ∂F 2 (L2) ∂L2 Á ∂F 1 (L1) ∂L1 tal que L1 = µ y1 α ¶2 L2 = µ y2 β ¶2 confirmando assim a proposição (2) 20 • Derivando a função (37) acima com respeito a y1 : ∂2FT (y1) ∂ (y1)2 = − β α4 " LA + LB − µ y1 α ¶2#− 32 ¡ y1 ¢2 − β α2 " LA + LB − µ y1 α ¶2#−12 < 0 Logo, segue do resultado (38) que dTMT (y1, y2) dy1 = −∂ 2FT (y1) ∂ (y1)2 > 0 Este resultado ocorre devido às hipóteses (30) e (31) de PrMg decrescente do trabalho 21
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