Material de Apoio - Módulo 1

Prévia do material em texto

Conjuntos: representação, subconjuntos, 
conjunto universo e conjunto vazio 
 
 
MATEMÁTICA ESA 
 
Pag. 1 
Sistema Hei de Ensino 
Prof. Dos Anjos 
 
MATEMÁTICA 
 
MÓDULO 1 
 
1. CONCEITOS PRIMITIVOS 
 
São conceitos intuitivos, não precisando de definição. 
➢ Elemento 
➢ Conjunto 
➢ Pertinência 
 
Notação: 
Conjunto → geralmente letras maiúsculas 
Elemento → geralmente letras minúsculas 
Pertinência → x  A: elemento x pertence ao conjunto A 
 x  A: elemento x não pertence ao conjunto A 
 
2. REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
 
Conjunto é uma reunião de elementos. 
 
Por Citação: A = {a, e, i, o, u} 
 
Por Propriedade: A = {xx é vogal} 
 
Por Diagrama de Venn: 
 
 A 
 
 
 •a •u 
 •i 
 •e •o 
 
 
 
 
 
3. CLASSIFICAÇÕES DOS CONJUNTOS 
 
a) Conjunto Vazio: não possui elemento. 
Ex.: { } ou ∅ 
 
b) Conjunto Unitário: possui somente um elemento. 
Ex.: A = { 1 } ou B = { ∅ } 
 
c) Conjunto Universo: possui todos os elementos com os 
quais se deseja trabalhar. 
 Ex.: Um problema envolvendo conjuntos dos números 
REAIS, um possível conjunto universo é IR. 
 
d) Conjunto Finito: possui uma quantidade limitada de 
elementos. 
Ex.: A = {a, e, i, o, u} 
 
e) Conjunto Infinito: possui uma quantidade ilimitada de 
elementos 
Ex.: A = {x|x é um número natural} 
 
f) Conjuntos Iguais: 
 
A = B  ( x) (xA  xB) 
 
 
 
 
4. CARDINALIDADE - QUANTIDADE DE ELEMENTOS 
 
Ex.: A = {1 , 2 , 3} → A é um conjunto de 3 elementos ou 
n(A) = 3. 
 
Ex.: A = {1, 1, 1, 2, 2, 3} → A é um conjunto de 3 
elementos ou n(A) = 3. (Elementos iguais não contamos) 
 
Ex.: A = {1, {2}, 3 , 4} → A é um conjunto de 4 elementos 
ou n(A) = 4. 
 
Ex.: A = {1, {2}, 3, ∅, {1,2} } → A é um conjunto de 5 
elementos ou n(A) = 5. 
 
5. RELAÇÕES 
 
5.1) Relação de Pertinência 
(entre Elemento e Conjunto) 
 
Para a relação entre elementos e conjuntos devemos 
usar exclusivamente os símbolos abaixo: 
∈ (pertence): quando um elemento pertence a um 
conjunto. 
∉ (não pertence): quando um elemento não pertence a 
um conjunto. 
 
Ex.: A = {1,2,3,4} 
1 ∈ A 3 ∈ A 5 ∉ A 10 ∉ A 
 
5.2) Relação de Inclusão 
(entre Conjunto e Conjunto) 
 
Para as relações entre conjuntos devemos usar 
exclusivamente os símbolos abaixo: 
⊂ (está contido): todos os elementos de um conjunto 
pertencem a outro conjunto. 
⊄ (não está contido): existe algum elemento de um 
conjunto que não pertence a outro. 
⊃ (contém): todos os elementos de um conjunto são 
pertencentes a outro. 
⊅ (não contém): nem todos os elementos de um 
conjunto pertencem a outro. 
 
Ex.: 
A = {1,2,3} B = {0,2,3} 𝐶 = {0,1,2,3,4} 
 
A ⊂ C {1,2,3} ⊂ {0,1,2,3,4} 
A ⊄ B {1,2,3} ⊄ {0,2,3} 
C ⊃ A {0,1,2,3,4} ⊃ {1,2,3} 
B ⊅ A {0,2,3} ⊅ {1,2,3} 
 
5.3) Propriedades da Relação de Inclusão: 
 
1)   A 
2) A  A (Reflexiva) 
3) A  B e B  A  A = B (Antissimétrica) 
4) A  B e B  C  A  C (Transitiva) 
5) A  B → B ⊃ A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos: representação, subconjuntos, 
conjunto universo e conjunto vazio 
 
MATEMÁTICA ESA 
 
Pag. 2 
 
MATEMÁTICA Sistema Hei de Ensino 
Prof. Dos Anjos 
 
6. SUBCONJUNTOS 
 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e 
somente se, todo elemento de A é também elemento de B. 
 
A  B = (x) (xA  xB) 
 
Exemplo: {a,b}  {a,b,c,d} ; 
 
Contra - Exemplo: {a,b}  {b,c,d,e} 
 
 A é subconjunto próprio de B quando A  B e A  ∅ e A  B. 
 O conjunto vazio não tem subconjunto próprio. 
 Subconjunto impróprio do conjunto A são o ∅ e A. 
 
Ex.: {1, 2} é subconjunto próprio de {1, 2, 3}. 
 
7. CONJUNTOS DAS PARTES: P(A) 
(CONJUNTO POTÊNCIA) 
 
 É aquele formado por todos os subconjuntos de um 
certo conjunto. 
 
Ex.: A = { a , b }  P(A) = { ∅, {a} , {b} , {a,b} } 
 
Número de elementos de P(A) = 2número de elementos de A 
 
Ex.: A = {1, 2, 3} 
P(A) = { ∅, {1} , {2 } , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3} }. 
Logo P(A) tem 23 = 8 elementos 
 
8. EXERCÍCIOS 
 
1) Sejam x e y números tais que os conjuntos 
{0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais, é correto afirmar-se que 
a) x y.= 
b) x 0= e y 7.= 
c) x 0= e y 1.= 
d) x 2y 7.+ = 
e) x y 7.+ = 
 
2) Seja X um conjunto com 3 elementos distintos e 
seja P(X) o conjunto das partes de X. O número de 
elementos de P(X) é: 
a) 8 
b) 32 
c) 15 
d) 16 
e) 63 
 
3) Seja X um conjunto com 3 elementos distintos e 
seja P(X) o conjunto das partes próprias de X. O número 
de elementos de P(X) é: 
a) 8 
b) 6 
c) 15 
d) 16 
e) 32 
 
 
4) A quantidade de subconjuntos X que satisfazem a 
inclusão {1, 2} X {1, 2, 3, 4}  é 
a) 4. 
b) 5. 
c) 3. 
d) 2. 
e) 1. 
 
5) Se   A 2, 0 , 0, 6= assinale a afirmação errada: 
a) A2 
b) A0  
c) {0} ∈ A 
d) {0} ⊂ A 
e) 6 A 
 
6) Dado o conjunto P = {{0}, 0, ∅, {∅}}, considere as 
afirmativas: 
 
(I) {0} ∈ P 
(II) {0} ⊂ P 
(III) ∅ ∈ P 
 
Com relação a estas afirmativas conclui-se que: 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Apenas a I é verdadeira. 
c) Apenas a II é verdadeira. 
d) Apenas a III é verdadeira. 
e) Todas são falsas. 
 
9. GABARITO 
 
 
1) E 
2) A 
3) B 
4) A 
5) E 
6) A 
 
 
10. ANOTAÇÕES 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________ 
 
 _______________________________________________