Gabarito Lista Casa (6)

Prévia do material em texto

MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2012 
Gabarito 6 – Distribuição Normal - C A S A 
Página 1 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
Exercício 1 (3,5 pontos) 
O peso dos aborígenes de uma ilha perdida do Pacífico tem distribuição cujo histograma foi 
apresentado em aula (1500 pessoas). Usamos uma densidade de probabilidades normal como 
aproximação dessa distribuição, considerando que a média é 70 kg e o desvio padrão 5 kg. 
 
(a) (0,5 pontos) Qual é o peso médio e variância dos pesos da população da ilha? 
 
Seja X: peso de um aborígene da ilha (em kg). Segundo o enunciado do problema, uma aproximação 
para a distribuição da variável X é , em que e 
. Portanto, o peso médio é 70 kg e a variância é 25 kg
2
 
 
(b) (0,5 pontos) Qual é a proporção aproximada de pessoas na ilha com peso superior a 83 kg? 
 
Já vimos que . Portanto, 
 
 
 
Obs: . Portanto, a proporção aproximada de pessoas na ilha com peso superior a 
83 kg é 1,19%. 
 
(c) (0,5 pontos) Escolhendo ao acaso uma pessoa da ilha, qual é a probabilidade dela pesar mais do 
que 83 kg? 
 
É a mesma pergunta anterior, feita de outra maneira. A resposta é 0,0119. 
 
(d) (0,5 pontos) Qual é a probabilidade de que a pessoa escolhida pese mais do que 65 kg? 
 
 
 
(e) (0,7 pontos) Qual é a proporção de pessoas na ilha com peso entre 67 kg e 73 kg? 
 
 
 
(f) (0,8 pontos) Desejamos construir um intervalo simétrico em torno da média, de modo que nele 
esteja contido 50% dos moradores da ilha. Quais são os limites de peso para esse intervalo? 
 
Forma 1: Precisamos encontrar tal que 
 
 
 
 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2012 
Gabarito 6 – Distribuição Normal - C A S A 
Página 2 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
Assim, precisamos z tal que . Pela tabela, z=0,6725. Portanto, . 
Então, e . Portanto, os limites para o 
intervalo pedido são 66,6275 e 73,3725 kg. 
 
Forma 2: Outra forma de resolver o problema é procurar e tal que 
 
 
 
Precisamos z tal que . Pela tabela, z=0,6725. Assim, 
 
 
 
Portanto, os limites para o intervalo pedido são 66,6275 e 73,3725 kg. 
 
 
Exercício 2 (2,0 pontos) 
A distribuição das notas dos alunos de um curso de Estatística pode ser aproximada por uma 
distribuição normal com média 6 e desvio padrão 1. O professor atribui conceitos A, B, C e R da 
seguinte forma: se a nota for menor que 5, o conceito é R; se estiver entre 5 (inclusive) e 6,5 
(exclusive) o conceito é C, entre 6,5 (inclusive) e 7,5 (exclusive) o conceito é B. O conceito A será 
atribuído aos alunos com nota igual ou superior a 7,5. 
 
(a) (0,6 pontos) Determine a porcentagem estimada de alunos com grau A, B, C e R. 
 
Seja X: nota de um aluno. Temos que a distribuição aproximada de X é Então, 
 
 
 
Obs: . 
 
 
 
Obs: . 
 
 
 
Obs: . 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2012 
Gabarito 6 – Distribuição Normal - C A S A 
Página 3 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
 
 
Obs: . 
 
As porcentagens estimadas de alunos em cada grau são apresentadas a seguir: 
 
Grau A B C R 
Porcentagem 6,68% 24,17% 53,28% 15,87% 
 
(b) (0,7 pontos) Suponha que o professor deseja atribuir conceito R- aos 5% dos alunos com as notas 
mais baixas e A+ ao 1% com notas mais altas. Determine os limites dos conceitos A+ e R-. 
 
Seja a nota limite para receber conceito R-. Então, 
 
 e Então, pela simetria 
 
 
 
Analogamente, seja a nota limite para obter conceito A+. Então, 
 
 
 
Pela tabela, 
 
Assim, os alunos que obtenham notas menores que 4,35 receberão R- e os alunos que obtenham notas 
maiores a 8,33 receberão A+. 
 
(c) (0,7 pontos) Se 10 alunos são escolhidos ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos 3 
tenham obtido nota menor que 6,5? 
 
Seja X: número de alunos que tem nota menor que 6,5. 
Pelo item a), sabemos que obter nota menor que 6,5 é equivalente a ter conceito C ou a reprovar, 
portanto a probabilidade de obter nota menor que 6,5 é 0,5328+0,1587=0,6915 
 
X~Bin(10; 0,6915) 
x P(X=x) 
0 7.808214E-06≈0,0000 
1 1.750204E-04≈0,0002 
2 1.765380E-03≈0,0018 
3 1.055222E-02 
4 4.139225E-02 
5 1.113364E-01 
6 2.079664E-01 
7 2.663741E-01 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2012 
Gabarito 6 – Distribuição Normal - C A S A 
Página 4 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
8 2.239032E-01 
9 1.115282E-01 
10 2.499895E-02 
 
Assim, 
 
 
 
Exercício 3 (2,0 pontos) 
O erro de medida de um aparelho utilizado em um laboratório é normalmente distribuído com média 0 
mg/mL e desvio padrão 0,2 mg/mL. 
 
(a) (0,6 pontos) Qual é a probabilidade de ocorrer um erro de medida entre 0,10 e 0,15 mg/mL? 
Seja X: erro de medida do aparelho. Temos que X~N(0; 0,2
2
) 
 
 
 
(b) (0,7 pontos) Encontre um intervalo simétrico em torno da média que contenha 95% dos possíveis 
erros. 
Temos que procurar de modo que . 
 
. 
Portanto, 
 
 
Da tabela, temos que 
Assim, o intervalo pedido é (-3,92; 3,92) 
 
(c) (0,7 pontos) Sabendo que o erro em uma determinada mensuração foi positivo, qual é a 
probabilidade de ser superior a 0,3 mg/mL? 
 
Usando o cálculo de probabilidade condicional temos que: 
 
 
 
 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2012 
Gabarito 6 – Distribuição Normal - C A S A 
Página 5 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
Exercício 4 (2,5 pontos) 
Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a quantidade de fenol encontrada na urina. A 
quantidade de fenol na urina de moradores de uma certa região segue, aproximadamente, uma 
distribuição normal de média 5 mg/L e desvio padrão 2 mg/L. Considere as seguintes definições em 
termos da variável quantidade de fenol na urina: 
i. Define-se como “valor de referência” a quantidade de fenol tal que 95% da população têm 
quantidade de fenol maior ou igual a esse valor; 
ii. Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em sua urina for superior a 8 mg/L ou 
inferior a 2 mg/L. 
 
(a) (0,5 pontos) Sorteado um morador ao acaso, qual é a probabilidade de ser “atípico”? 
 
Seja X: quantidade de fenol na urina (em mg/L).Temos que X~N(5, 2
2
) aproximadamente. Então, 
 
 
 
(b) (0,5 pontos) Qual é o valor de referência da população? 
 
A quantidade de referência satisfaz que 
 
. Fazendo 
 
Da tabela, 
Portanto, a quantidade de referência é 1,72 mg/L. 
 
(c) (0,5 pontos) Sorteadas 5 pessoas ao acaso, qual é a probabilidade se ter no mínimo 4 “atípicas” ? 
 
Seja Y: número de pessoas que são atípicas. Como a seleção de cada pessoas é independente e cada 
uma delas tem a mesma probabilidade de ser atípica, então 
Y~Bin(5; 0,1336) (utilizando o item a)) 
Utilizando o programa R podemos obter a seguinte tabela da distribuição b(5;0,1336). 
 x Pr(X=x) 
0 4.88E-01 
1 3.76E-01 
2 1.16E-01 
3 1.79E-02 
4 1.38E-03≈0,00138 
5 4.26E-05≈0,0000426 
 
Então, 
 
 
MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B - 2º semestre de 2012 
Gabarito 6 – Distribuição Normal - C A S A 
Página 6 de 6 
http://www.ime.usp.br/~mae116 
 
(d) (0,5 pontos) Sabendo que uma pessoa não é atípica, qual é a probabilidade de ter quantidade de 
fenol no intervalo 4mg/L a 6 mg/L? 
 
Usando o cálculo de probabilidade condicional temos que: