Livro de Geometria Analitica

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Geometria Analítica
Herivelto Nunes Paiva 
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DIREÇÃO SUPERIOR
Chanceler Joaquim de Oliveira
Reitora Marlene Salgado de Oliveira
Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira
Pró-Reitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira
Pró-Reitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira
Pró-Reitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira
Pró-Reitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira
Pró-Reitor de Extensão Manuel de Souza Esteves
DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA
Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira 
Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva
FICHA TÉCNICA
Texto: Herivelto Nunes Paiva
Revisão Ortográfica: Rafael Dias de Carvalho Moraes 
Projeto Gráfico: Andreza Nacif, Antonia Machado, Eduardo Bordoni, Fabrício Ramos
Editoração: Dynamo
Supervisão de Materiais Instrucionais: Antonia Machado
Ilustração: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos
Capa: Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos
COORDENAÇÃO GERAL:
Departamento de Ensino a Distância
Rua Marechal Deodoro 217, Centro, Niterói, RJ, CEP 24020-420 www.universo.edu.br
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo – Campus Niterói.
Bibliotecária responsável: Ana Marta Toledo Piza Viana - CRB 7/2224
P149g Paiva, Herivelto Nunes. 
 Geometria analítica / Herivelto Nunes Paiva ; revisão Rafael Dias de 
Carvalho Moraes. – Niterói, RJ: EAD/UNIVERSO, 2014.
 149 p. : il.
 1. Geometria analítica. 2. Matemática. 3. Ensino à distância. I. Moraes, 
Rafael Dias de Carvalho. II. Título. 
 
 CDD 516.3 
Informamos que é de única exlcusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra, não se responsabilizando a ASOEC 
pelo conteúdo do texto formulado.
© Departamento de Ensino à Distancia - Universidade Salgado de Oliveira
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida, arquivada ou transmitida de nenhuma 
forma ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura, 
mantenedora da Universidade Salgado de Oliveira (UNIVERSO).
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Geometria Analítica
Palavra da Reitora
Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo, exigente 
e necessitado de aprendizagem contínua, a Universidade Salgado de Oliveira (UNI-
VERSO) apresenta a UNIVERSOEAD, que reúne os diferentes segmentos do ensino a 
distância na universidade. Nosso programa foi desenvolvido segundo as diretrizes 
do MEC e baseado em experiências do gênero bem-sucedidas mundialmente.
São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio dessa 
modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço presentes 
nos dias de hoje. O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio tempo e 
gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade, tornando-se responsável 
pela própria aprendizagem.
O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que permite que 
alunos e professores, fisicamente distanciados, possam estar a todo o momento, liga-
dos por ferramentas de interação presentes na Internet através de nossa plataforma. 
Além disso, nosso material didático foi desenvolvido por professores especializados 
nessa modalidade de ensino, em que a clareza e objetividade são fundamentais para 
a perfeita compreensão dos conteúdos. 
A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a dis-
tância. Nossa experiência nos remete ao final da década de 80, com o bem-su-
cedido projeto Novo Saber. Hoje, oferece uma estrutura em constante processo 
de atualização, ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização, 
graduação ou pós-graduação.
Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando as 
novas tendências em educação, a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o pro-
grama e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona.
Seja bem-vindo à UNIVERSOEAD!
Professora Marlene Salgado de Oliveira
Reitora.
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Geometria Analítica Geometria Analítica
Apresentação da Disciplina ..................................................................................................... 
Plano da Disciplina ..................................................................................................................... 
Unidade 1 | Vetores no Plano e no Espaço .................................................................. 
Unidade 2 | Uma Revisão sobre Produtos Escalar, Vetorial e Misto ................ 
Unidade 3 | A Reta ................................................................................................................... 
Unidade 4 | A Circunferência ........................................................................................... 
Unidade 5 | Cônicas: Elipse, Hipérbole E Parábola .............................................. 
Considerações Finais .................................................................................................................. 
Conhecendo o Autor .................................................................................................................. 
Referências ....................................................................................................................................
Anexos ............................................................................................................................................ 
Sumário
05
06
09
31
77
97
119
142
143
144
145
5
Geometria AnalíticaGeometria Analítica Geometria Analítica
Apresentação da Disciplina
Prezado Aluno,
Seja bem-vindo à disciplina Geometria Analítica!
A Geometria Analítica visa proporcionar condições para que o acadêmico seja capaz 
de despertar uma visão mais elaborada de tópicos relacionados à Geometria Analítica 
e ingressar no estudo do Cálculo Diferencial e Integral, Equações Diferenciais e 
disciplinas que precisam de tais conceitos.
A proposta do curso é conduzir o docente a interpretações geométricas de fatos 
algébricos, permitindo também a visualização de conceitos importantes para serem 
aplicados futuramente em outras disciplinas e/ou problemas de engenharia.
Esperamos que tenha um ótimo aproveitamento!
Bons estudos!
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Geometria Analítica
Plano da Disciplina
A disciplina Geometria Analítica tem como objetivos despertar no aluno uma visão 
mais elaborada de tópicos relacionados à Geometria Analítica; fornecer ao aluno 
subsídios para o estudo de disciplinas o uso dos conceitos básicos de geometria; 
capacitar o aluno para ingressar no estudo do Cálculo Diferencial e Integral, Equações 
Diferenciais e disciplinas que precisam de tais conceitos e conduzir o estudante a 
interpretações geométricas de fatos algébricos, permitindo também a visualização 
de conceitos importantes para serem aplicados futuramente em outras disciplinas e 
problemas de engenharia.
Para o alcance dos objetivos propostos desta disciplina, dividimos os conteúdos em 
unidades que serão apresentadas a seguir.
Unidade 1: Vetores no plano e no espaço
Nesta primeira unidade vamos estudar os vetores no plano e no espaço, igualdades, 
operações, vetor definido por dois pontos, ponto médio, paralelismo de dois vetores 
e módulo de um vetor.
Objetivos da unidade:
• Compreender e consolidar o conceito de vetor;
• Identificar e resolver operações envolvendo vetores;
• Estabelecer relação entre vetores definidos por dois pontos;
7
Geometria Analítica
Unidade 2: Uma Revisão sobre Produto Escalar, Vetorial e Misto.
Nesta segunda unidade vamos estudar os vetores, produto escalar e seus conceitos, 
propriedades e interpretação geométrica; produto escalar e seus conceitos, 
caraterísticas e interpretação geométrica e; produto misto e seus conceitos, 
propriedades e interpretação geométrica.
Objetivos da unidade:
• Definir e compreender um produto escalar;
•Identificar as propriedades do produto escalar;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto escalar;
• Definir e compreender um produto vetorial;
• Identificar as características do produto vetorial;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto vetorial;
• Definir e compreender um produto misto;
• Identificar as propriedades do produto misto;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto misto.
Unidade 3: A reta.
Nesta terceira unidade vamos estudar a reta e sua equação; retas paralelas aos 
planos e aos eixos; ângulos, retas ortogonais e a intersecção de duas retas.
Objetivos da unidade:
• Definir a reta e determinar a sua equação;
• Identificar e interpretar as retas paralelas aos planos e aos eixos;
• Determinar os ângulos formados pelas retas;
8
Geometria Analítica
• Identificar e interpretar as retas ortogonais;
• Interpretar geometricamente a intersecção de duas retas.
Unidade 4: A Circunferência
 Nesta quarta unidade vamos à circunferência, sua equação e algumas particularidades; 
os ângulos; os planos perpendiculares; o paralelismo e a perpendicularidade entre a 
reta e o plano e; a intersecção de reta e de plano e de dois pontos planos.
Objetivos da unidade:
• Definir circunferência e determinar sua equação;
• Identificar e interpretar alguns casos particulares;
• Determinar o centro e o raio da circunferência;
• Estabelecer condições para que a equação represente uma circunferência;
• Identificar as posições relativas entre reta e circunferência e entre duas 
circunferências.
Unidade 5: Cônicas: Elipse, Hipérbole e Parábola
Nesta sexta unidade vamos estudar cônicas, elipses e hipérboles, bem como suas 
definições, seus elementos; equações reduzidas e outras formas de equação e; 
equações paramétricas.
Objetivos da unidade:
• Definir e identificar os elementos das cônicas, das elipses, das hipérboles e das 
parábolas;
• Resolver problemas utilizando as equações reduzidas e outras formas de equação;
• Resolver problemas utilizando as equações paramétricas.
• Identificar e resolver problemas que envolvam ponto médio;
• Identificar e estabelecer paralelismo de dois vetores;
• Determinar o módulo de um vetor.
Unidade 2: Uma Revisão sobre Produto Escalar, Vetorial e Misto.
 Nesta segunda unidade vamos estudar os vetores, produto escalar e seus 
conceitos, propriedades e interpretação geométrica; produto escalar e seus 
conceitos, caraterísticas e interpretação geométrica e; produto misto e seus 
conceitos, propriedades e interpretação geométrica.
Objetivos da unidade:
• Definir e compreender um produto escalar;
• Identificar as propriedades do produto escalar;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto escalar;
• Definir e compreender um produto vetorial;
• Identificar as características do produto vetorial;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto vetorial;
• Definir e compreender um produto misto;
Identificar as propriedades do produto misto;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto misto.
1 Vetores no plano e no espaço
Igualdade
Operações
Vetor definido por dois pontos
Ponto médio
Paralelismo de dois vetores
Módulo de um vetor
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Geometria Analítica
Caro aluno,
Nesta primeira unidade vamos estudar os vetores no plano e no espaço, igualdades, 
operações, vetor definido por dois pontos, ponto médio, paralelismo de dois vetores 
e módulo de um vetor.
Objetivos da Unidade:
• Compreender e consolidar o conceito de vetor;
• Identificar e resolver operações envolvendo vetores;
• Estabelecer relação entre vetores definidos por dois pontos;
• Identificar e resolver problemas que envolvam ponto médio;
• Identificar e estabelecer paralelismo de dois vetores;
• Determinar o módulo de um vetor.
Plano da Unidade:
• Igualdade
• Operações
• Vetor definido por dois pontos
• Ponto médio
• Paralelismo de dois vetores
• Módulo de um vetor
Bons Estudos!
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Geometria Analítica
Vetores
Reta Orientada 
Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso considerado 
positivo e indicado por uma seta, conforme mostra a figura abaixo:
O sentido oposto é negativo.
Observação: Uma reta orientada é denominada eixo.
Segmento
Segmento Orientado
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Geometria Analítica
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, sendo o 
primeiro é denominado origem do segmento, e o segundo é denominado extremidade.
O símbolo denota o segmento orientado de origem A e extremidade B, 
representado por uma “flecha” que parte de A e se dirige a B.
Segmento Nulo
Um segmento é nulo quando sua extremidade coincide com a origem.
Segmentos Opostos
Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto a AB.
Segmentos Orientados Coincidentes
Sejam dois segmentos orientados AB e CD, se o primeiro coincide com o segundo 
se, e somete se, A = C e B = D e é escrito na forma (A, B) = (C, D).
Segmentos Orientados Equipolentes
Dois segmentos orientados são equipolentes (iguais) se, e somente se possuem:
1. Mesmo módulo, ou comprimento ou norma.
2. Mesma direção (são paralelos ou estão sobre a mesma reta suporte).
3. Mesmo sentido (ponta da “flecha”).
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Geometria Analítica
Exemplos:
a) b)
c) ABC é um triângulo equilátero: d) ABCD é um paralelogramo:
e) f )
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Geometria Analítica
Vetor
Etimologia: Do latim vector (“aquele que carrega”), derivado de vehere 
(“carregar”). Ou seja, levar, carregar, transportar. O nome de vetor corresponde 
ao conceito do transporte da origem A para extremidade B.
Definição 1: Vetor é um conjunto de segmentos orientados equipolentes entre 
si.
Definição 2: Vetor é uma entidade matemática que caracteriza um conjunto de 
segmentos orientados equivalentes. Assim, um vetor possui módulo, direção e 
sentido, mas não tem nem origem, nem destino.
Note que os vetores iguais possuem: 
- Mesmo módulo (comprimento).
- Mesma direção.
- Mesmo sentido (ponta da flecha).
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Geometria Analítica
Vetores no IR2
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Geometria Analítica
Vetores no IR3
Um vetor tem as mesmas características de qualquer um de seus representan-
tes, ou seja: o módulo, o sentido e a direção serão iguais.
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Geometria Analítica
Módulo de um Vetor
O módulo de um vetor é indicado por .
Observações:
(a) Vetor nulo: é o vetor de módulo zero: .
(b) Vetor unitário: é o vetor de módulo igual a uma unidade: =1.
(c) Versor de um vetor : é um vetor unitário com a mesma direção e 
sentido é indicado por .
(d) O módulo de um vetor em |R2 é a distância entre dois pontos A e B do 
plano.
Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), o módulo do vetor
 
Considerando o vetor , conclui-se que o módulo de 
um vetor é dado por: 
O módulo de um vetor em |R3 é dado pela expressão
 
Exemplo:
1. Dados os pontos A (3, -2) e (7, 1), calcule a distância entre os pontos A e B.
Solução:
dAB = √(7 – 4)
2 + (1 – (-2)) = √42 + 32 = 5
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Geometria Analítica
Dois vetores = (x1,y1) e = (x2,y2) são iguais se , e somente se x1 = x2 e y1 = y2, 
e escreve-se = . .
Operações com Vetores
a) Adição de vetores
Dados dois vetores , o vetor soma de , também chamado de resul-
tante, é representado por vetores e definido pela regra do parale-
logramo ou pela regra do polígono.
Propriedade
Se os vetores formam um ângulo θ, então o triângulo ABC:
Igualdade
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Geometria Analítica
b) Diferença de vetores
A diferença entre dois vetores é dada pela soma entre o primeiro vetor e oposto 
do segundo vetor, isto é:
Sejam dois vetores . A diferença entre esses vetores será dada por:
c) Produto de um número real
Se é um vetor e α, um número real, o produto de por , representado por 
, ., é um vetor tal que:
• Módulo: ;
• Direção: direção de é a mesma de ; e
• Sentido: tem o mesmo sentido de tem sentido con-
trário de .
Componente e Projeção 
Sendo um vetor e e um eixo, define-se:
• Componente de na direção de e, como número: 
• Projeção de na direção de e, como vetor: onde é um 
vetor unitário na direção e sentido positivo de .
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Geometria Analítica
Muitas vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não 
parte da origem do sistema. Consideremos o vetor de origem no ponto A 
(x1,y1) e extremidade em B(x2,y2).
Baseado nisto, temos:
Assim, temos:
Assim, podemos afirmar que os componentes de são obtidos subtraindo-se 
das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A, logo:
Exemplo: 1) Dados os pontos A(- 1, 2) e B(3, - 1), determine .
Resolução:
Vetor Definido por dois pontos
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Geometria Analítica
Notemos que , logo:
 
Exemplo: 
Se A (2, -1) e B (4, 5), o ponto médio M do segmento AB é:
Baricentro de um triângulo (IR2 ou IR3)
Ponto médio de um segmento (IR2 ou IR3)
3
CBA G ++=
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Geometria Analítica
Exemplos:
1. Os pontos A (4, 2, 0), B (7, -2, 1) e C (1, 6, 2) são vértices de um triângulo 
confeccionado com a ajuda de um fio de cobre homogêneo. Achar o centro de 
gravidade do triângulo. 
Solução: 
G = (4, 2, 1)
2. O ponto B (5, 12) é um dos vértices de um triângulo ABC. Uma reta que contém 
G, ponto médio de AB e é paralela ao lado AC, intercepta o terceiro lado no ponto 
H (10, 2).
Calcule as coordenadas do vértice C.
 
 Solução:
 
 B(5, 12) H (10, 2)
Repare que é base média do triângulo e H médio de .
Observação: Falando em triângulo, é possível determinar a área do triângulo no 
plano cartesiano (R2), para isso é necessário conhecermos seus vértices.
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Geometria Analítica
Assim, temos: 
Exemplo:
 Qual é a área do triângulo, cujos vértices são A(1, 2) , B(3, 4) e C(4, - 1)?
Solução:
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Geometria Analítica
Paralelismo entre dois Vetores
A condição para estabelecer o paralelismo entre dois vetores é dada da 
seguinte forma:
Desta forma, são vetores paralelos quando existe um número real k, tal 
que . Quando k = 0, terá o vetor nulo, assim, por definição, será paralelo 
para qualquer vetor.
Exemplos:
1) Verifique se os vetores são paralelos.
Solução:
2) Determine o valor de x para que os vetores 
Solução:
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Geometria Analítica
Sugestão de Vídeo
Para ampliar os seus conhecimentos assista aos vídeos abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=1q3RAr4wsjU
https://www.youtube.com/watch?v=8Qg4U_eCPzA
Nesta unidade, vimos o que é um vetor, suas operações, módulo, ponto médio, 
igualdade, paralelismos de dois vetores e igualdade.
Na próxima unidade faremos uma revisão sobre produtos escalar, vetorial e misto.
É HORA DE SE AVALIAR!
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão ajuda-lo 
a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-
aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às envie 
através do osso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!
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Geometria Analítica
Exercícios da Unidade 1
1. Os vetores têm módulos iguais a 3 e 4, respectivamente, e formam 
um ângulo de 60º. O módulo de + vale:
 a) 1
 b) √13
 c) 5
 d) √37
 e) 7
2. Se , o valor máximo de é:
 a) 1
 b) 3
 c) 4
 d) 5
 e) 7
 
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Geometria Analítica
3. Os pontos A(3,1) , B(4,-2) e C(x,7) são colineares. O valor de x é igual a:
 a) 1
 b) 2
 c) 5
 d) 6
 e) 7
4. Sendo A (2, -5) e B (1, 3), as coordenadas do vetor na origem são:
 a) (-1, 8) 
 b) (1, -8)
 c) (3, -2) 
 d) (-5, 2) 
 e) (-3, 2)
 
5. Considere os vetores e anteriormente representados. O vetor tal que 
é: .
 a) (–6, 7/4)
 b) (–2, 3)
 c) (– 7/4, 6)
 d) (3/4, 1)
 e) (6, –7/4)
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Geometria Analítica
6. Em relação à figura abaixo, podemos afirmar:
7) (VASSOURAS) Se G é o ponto de encontro das medianas de um triângulo 
ABC, então a soma vetorial: é igual a:
 
GA+GB +GC 
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Geometria Analítica
8 - Verifique se os vetores são paralelos. 
9 - Calcule o valor de x para que os vetores sejam 
paralelos. 
10 - Considere os vetores: onde ˆi e ˆj são versões. 
Sabendo-se que t = a +b e u = b - 2a , podemos afirmar que t +u vale:
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44
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Geometria Analítica
Objetivos: Conhecer as ligações químicas, identificar os vários tipos de substâncias 
químicas e e aprender como funciona as reações químicas. 
Unidade 3 – Conceitos de Solução e Cinética Química.
Em nossa terceira unidade, veremos o que é uma Solução, suas concentrações e o 
uso desses conceitos no nosso cotidiano, veremos ainda a velocidade das reações 
química e o que fazer para acelerar ou retardar a sua ocorrência. 
Objetivo: Entender o que é uma Solução e suas concentrações. Aprender a Calcular 
a velocidade de uma reação química.
Unidade 4 – Termoquímica e Equilíbrio químico 
Nesta unidade, estudaremos o calor liberado ou absorvido nas reações químicas 
compreenderemos porque alguns alimentos são chamados de calóricos e outros não, 
veremos ainda que várias reações ocorrem em dois sentidos mantendo certo equilíbrio 
e estudaremos o que é pH e como este termo está tão presente em nosso dia a dia.
Objetivo: Identificar conceitos como: entalpia, caloria e Ph. 
Unidade 5 – Eletroquímica e seus fenômenos.
Nesta unidade, estudaremos a energia elétrica liberada em certas reações 
químicas e o seu aproveitamento, veremos ainda o que é corrosão e as maneiras 
de evitar e seus malefícios. 
Objetivo: Entender o que a oxi-redução, compreender o que é uma pilha, aprender 
o que é corrosão e como evitá-la.
2Uma Revisão sobre Produto Escalar, Vetorial e Misto.
Produto Escalar
Produto Vetorial
Produto Misto
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Geometria Analítica
Nesta segunda unidade vamos estudar os vetores, produto escalar e seus conceitos, 
propriedades e interpretação geométrica; produto escalar e seus conceitos, 
caraterísticas e interpretação geométrica e; produto misto e seus Conceitos, 
propriedades e interpretação geométrica.
Objetivos da unidade:
• Definir e compreender um produto escalar;
• Identificar as propriedades do produto escalar;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto escalar;
• Definir e compreender um produto vetorial;
• Identificar as características do produto vetorial;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto vetorial;
• Definir e compreender um produto misto;
• Identificar as propriedades do produto misto;
• Interpretar geometricamente o módulo do produto misto.
Plano da Unidade:
• Produto Escalar
 Definições
 Propriedades
 Cálculo do ângulo de dois vetores
 Ângulos diretores e Cossenos diretores de um vetor
 Projeção
 Interpretação geométrica do módulo do produto escalar
 Produto escalar no plano.
• Produto Vetorial
 Definição
 Características
 Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
• Produto Misto
 Definição
 Propriedades
 Interpretação geométrica do módulo do produto misto
 Volume do tetraedro
Bons Estudos.
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Geometria Analítica
I. No IR2. Sejam .
Exemplo: 
 
1) Ache onde. 
Solução:
 
2) Ache onde A (2, 3), B (5, 0), C (-1, 3).
Solução:
Produto Escalar (ou Interno)
v . u ( ) ( )5,2- v e 2,1 u
( ) ( )2211 y ,x v e y ,x u
( ) 8- v . u 2 . 1 5- . 2 v . =⇒+=u
CA . BA
 y . y x. v . 2121 += xu
9- CA . BA 0 . (-3) (-3) . 3 CA . BA
:Logo (-3,0), CA
) 3 (2, - (-1,3) CA A -C CA
) 3- (3, BA
) 3 (2, - (5,0) BA A -B 
=⇒+=
=
=⇒=
=
=⇒=BA
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Geometria Analítica
II. No IR3. Sejam e .
 
Exemplo: 
1) Sejam . Ache:
a) 
b) 
Solução:
a)
b)
Note que 
Propriedades do Produto Escalar
a)
b) 
 )z ,y , x( u 111 )z ,y , x( 222=v
212121 z . z y . y x. x v . ++=u
) 5 1, (0, v e ) 3 1, (2, u
 v . u 
u . v
6 1 v . u 5 . 31 . 1 0 . 2 v . u =⇒++=
6 1 u . v 3 . 5 1 . 1 2 . 0 u . v =⇒++=
u . v v . u =
u . v v . =u
w . u v . u )w v( . +=+u
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Geometria Analítica
c) 
Sejam k1 e k2 e |R 
Exemplos:
 
 a) 
 b) 
Módulo ou Norma de Vetor
1. No IR2. Sejam um vetor do IR2 onde denotaremos por | |
módulo de .
 
 d . b c . b d . a c . a ) d c( . ) b a( +++=++
) v . u ( k k ) v k ( . )u ( 2121 =k
 v . u 8 1 ) v .u ( 6 . 3 ) v 6 ( . )u 3( ==
 v . u 0 1- ) v . u ( 0 1- ) v 5 ( . )u 2( ==−
)y , x( u 11
 u
 u
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Geometria Analítica
Pitágoras: 
 
Exemplo:
1. Ache o módulo (comprimento) dos vetores abaixo:
a) 
b) 
c) 
2. Ache o módulo do vetor onde A (3, -1) e B(1, 2).
Solução: 
 
Logo: 
 y x ) ( 21
2
1
2
+=u
2
1
2
1 y x =u
) ? BA ( =BA
5 u (-4) 3 u ) 4- (3, 22 =⇒+=⇒u
3 1 v 3 2 v (2,3) 22 =⇒+=⇒v
 3 1 w 2 1 (-5) w (-5,12) 22 =⇒+=⇒w
(-2,3) BA (3,-1) - (1,2) A - B =⇒==BA
31 BA 3 (-2) 22 =⇒+=BA
37
Geometria Analítica
2. No |R3. Seja um vetor do IR3 onde denotaremos por módulo 
do vetor .
 
Aplicando Pitágoras, temos:
 )z ,y , x( 111u v

 u
2
1
2
1
2
1 zyxu ++=
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Geometria Analítica
Exemplos:
1. Ache o módulo dos vetores abaixo:
a) (2, 1, 3) = 
b) (6, 2, -3) 
2. Ache onde A (1, 4, -2) e B ( 7, 2, -5).
Solução: 
Distância Entre Dois Pontos ou Módulo de Um Vetor
I. IR2. Sejam A (x1, y1) e B (x2, y2)
 A(x1, y1) B(x2, y2)
Note que a distância de A até B é igual ao .
u 41312 222 =⇒++ uu⇒
v 7)3(26 222 =⇒−++=⇒ vv
BA
7)3()2(6)3 ,2 ,6(
)2 ,4 ,1()5 ,2 ,7(
222 =⇒−+−+=⇒−−=
−−−=−=
BABABA
ABBA
BA
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Geometria Analítica
Aplicando GRASMAN, obtemos:
II. IR3. Sejam A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2).
De forma analógica no IR2, temos:
2
12
2
12
1212
1122
)()(
),(
),(),(
YYXXBAd
LogoYYXXBA
YXYXBAABBA
−+−==
⇒−−=
−=⇒−=
2
12
2
12
2
12 )()()( ZZYYXXBAd −+−+−==
40
Geometria Analítica
Exemplos:
1. Ache as distancias entre os pontos abaixo:
a) A (2, 1) e B (6, 4)
Podemos mudar a ordem das diferenças, pois estão elevadas ao quadrado, veja:
b) C (1,-2) e D (2,3):
 
c) E (1, -2, -3) e F (3, 1, -9):
 
d) G (1,3,5) e H (0,-1,2): 
 
2. Em um triângulo ABC os vértices são A (1, 2), B (-2, 3) e C(0, 5). Calcule o 
comprimento da mediana AM.
5)41()62( 22 =⇒−+−= dd
5)14()26( 22 =⇒−+−= dd
7 d 94
))9(3()12()13( 222
=⇒=
−−−+−−+−=
d
d
62 
) 2-5 ( ) 3-1- ( ) 0-1 ( 222
=
++=
d
d
62)32()12( 22 =⇒−−+−= dd
41
Geometria Analítica
Solução:
 
M é médio de 
M = 
Repare que o comprimento da mediana é o módulo do vetor .
3. Determinar a natureza do triângulo de vértices A (2, -3), B (-5, 1) e C (4, 3).
Solução:
Determinação dos lados do triângulo.
.CB
(-1,4) M 
2
=⇒
+ CB
MA MA
22 d ) 2-4 ( ) 1-(-1 2 2 =⇒+=d
0 12 0 4 (-3))-3 () 2-4 ( 
5 8 ) 1 - 3 ( ) 4- (-5 
5 6 ) 1 3 ( )2- (-5 
22
22
22
==+=
=+=
=++=
CA
CB
BA
42
Geometria Analítica
Como os lados são diferentes o triângulo é escaleno (classificação em relação aos 
lados) classificação em relação aos ângulos.
 < triângulo acutângulo.
Resposta: triângulo acutângulo e escaleno.
4. Determinar o ponto do eixo Ox equidistante dos pontos A (6, 5) e B (-2, 3).
Solução:
Temos que d (P, A) = d (P, B)
 
Elevando ao quadrado ambos os membros, temos: 
x2 - 12x + 36 + 25 = x2 + 4x + 4 + 9 
onde x = 3. Logo, P (3, 0).
5. Verificar se o triângulo de vértices A (0, 1), B (2, 2) e C(1, 3) é escaleno, isóscele ou 
equilátero. 
Solução:
Vamos calcular as medidas dos três lados do triângulo:
2)58( 22 )04( )56( +
2222 ) 0 - 3 ( (-2))- x( ) 0 - 5 ( )6( +=+−x
43
Geometria Analítica
AB = 
AC = 
BC = 
Logo o triângulo ABC é isósceles.
Módulo de Um Vetor em Função do Produto Escalar
I. IR2. Considere .
 
e como , temos: 
 
II. IR3. De forma análoga temos o mesmo resultado anterior.
Exemplos: 
a) 
b) 
5 ) 1-2 ( )02( 22 =+−
5 ) 1-3 ( )01( 22 =+−
2 ) 2-3 ( )21( 22 =+−
)y,x( u e )y,x( 1111u
2
1
2
1111 1 y x u . u y . y x. x u . +=⇒+=u
 y x 21
2
1 +=u
( ) u . u u u . u 2 =⇔=u
( ) a . a a a . a 2 =⇔=a
( ) b . b b b . b 2 =⇔=b
44
Geometria Analítica
c) 
 
d)
 
Ângulo Entre Dois Vetores
Notação 
OBS:
1.
 v . v u . v v . u u . u v u 
 ) v u ( . ) v u ( v 
+++=+
⇒++=+u
( ) ( )22 v v . u 2 u v ++=+u
( ) ( )22 v v . u 2 - u v +=−u
180º 8 ≤≤θ
θ ) v , ( =u
45
Geometria Analítica
2. 
3. Os vetores deve ter a mesma origem. 
4. Lei dos cossenos (geometria plana).
a2 = b2 + c2 – 2b . c cos 
b2 = a2 + c2 – 2ac cos 
c2 = a2 + b2 – 2ab cos 
Cálculo do Ângulo Entre Dois Vetores
 v e u
A
B̂
C
46
Geometria Analítica
Vetores Ortogonais ou Perpendiculares
Exemplos: 
1. O ângulo formado pelos vetores 
Solução:
)1- (-5, v e )3 (2, u
135º 
2
2 - cos 
2
1- cos
 cos . 2 . 31 31- cos . 2 . 31 . 31 31 -
 cos . 62 . 31 31-
: a igual é cos . v . u v . u ,
62)1()5(v
31 u 32 u 
31- v . u (-1) . 3 (-5) . 2 v . 
 cos . v . u v . 
22
22
=⇒=⇒=
=⇒=
=
=
=⇒−+−=
=⇒+=
=⇒+=
=
θθθ
θθ
θ
θ
θ
Logo
v
u
u
47
Geometria Analítica
2. Determine o ângulo entre os vetores (2, 1, 1) e (-1, -2, 1)
 2 . (-1) +1 . (-2) + 1 . 1 = -3
3. Sendo A (3, 2), B (8, 3) e C (5, 5) o ângulo  do triângulo ABC é:
Solução:
 
 u v

 v . u = v . u ⇒
120º 
2
1- cos
 cos . 6 3- cos . 6 . 6 3- : 
6 1 (-2) (-1) 
6 1 1 2 
222
222
=⇒=
=⇒=
=++=
=++=
θθ
θθLogo
v
u
48
Geometria Analítica
 
4. Ache o valor de t |R para que os vetores sejam ortogonais.
Solução:
Condição: 1 . 2 + t . 3 = 0
t = - 
5. Dado o vetor , calcule x tal que = 5
Solução:
 elevando ambos os membros ao quadrado temos: 
(x – 16)2 + 152 = 25, resolvendo a equação, temos: x = 12.
45º 
2
2 cos
 cos . 31 2 31 cos . 31 . 62 31
 cos . CA . BA CA . 
31 3 2 
62 1 5 BA
31 CA . BA 3 . 1 2 . 5 CA . BA
(2,3) CA (3,2) - (5,5) A -C CA
(5,1) BA (3,2) - (8,3) A -B 
22
22
=⇒=
=⇒=
=
=+=
=+=
=⇒+=
=⇒==
=⇒==
θθ
θθ
θBA
CA
BA
3
2
52 51 16) -(x 5 22 =+⇒=v
 0 v . ⇒=u
15) 16, -(x v v
±
49
Geometria Analítica
Vetores Com a Mesma Direção
a) 
 
b)c) 
d) 
 
 Note que , k IR* 
I. IR2. Sejam 
 
II. IR3. Sejam 
 vK u =
)y ,( v e )y , x( 2211 xu
2
1
2
1
21
212211
2211
y
y 
x
x 
 yk y 
yk x)yk ,() x,x( 
)y ,x(k )y ,x( vk u 
=⇒
=
=⇒=⇒
=⇒=
xk
).z ,y , x( v e )z ,y , x( 222111u
2
1
2
1
2
1
z
z 
y
y 
x
x
==
2
1
2
1
21
212211
2211
y
y 
x
x 
 yk y 
yk x)yk ,() x,x( 
)y ,x(k )y ,x( vk u 
=⇒
=
=⇒=⇒
=⇒=
xk
50
Geometria Analítica
Exemplos:
1. Ache o valor de k IR para que os vetores (k – 1, 2) e (3, 1).
Sejam:
 a) paralelos 
 b) perpendiculares
Solução:
a) 
b) 
2. Calcule m para que os pontos A (1, 2), B (3, -1) e C (m, 2m-1) pertençam à mes-
ma reta (colineares).
Solução:
u v
7
1
2
3
1
=⇒=
− kk
3
1 0 1 . 2 3 . )1(0 . =⇒=+−⇒= kkvu
)32,1()2,1()12,(
)3,2()2,1()1,3(
−−=⇒−−=−=
−=⇒−−=−=
mmCBmmBCCB
BAABBA
51
Geometria Analítica
 e tem a mesma direção:
3. Sabendo que e , calcular os valores de m de modo que os vetores 
e sejam perpendiculares.
Solução:
Condição: 
CBBA
7
9 3 3 64 
32
3
1
2
=⇒+−=−⇒
−
−
=
−
mmm
mm
21=a 2=b
0 )bm- a( . )bm ( =+a
( )
( ) ( )
6 m 
0 2 . m - 12 0 b m - 
0 b . b m . m - b . a m b . a m - 
0 bm . bm- a . bm )b(m . a a . a
222
2
2
2
2
±=⇒
=⇒=
=+
=+−
a
a
12
52
Geometria Analítica
Produto Vetorial (ou Externo)
Introdução
I. IR2
Dados os vetores i (1, 0) e j (0, 1), unitários dos eixos Ox e Oy, respectivamente, 
então qualquer vetor v (x, y) do R2 pode ser escrito:
 v (x, y) = x i + y j
I. IR3
Dados os vetores i (1, 0, 0) e j (0, 1, 0), k (0, 0, 1) unitários dos eixos Ox, Oy e Oz 
respectivamente, então qualquer vetor v (x, y, z) do R3 pode ser escrito:
53
Geometria Analítica
v (x, y) = x i + y j + z k
Expressão Analítica do Produto Vetorial
Dados os vetores do R3 u (x1, y1, z1) e v

(x2, y2, z2), então:
u x v = 
222
111
zyx
zyx
kji
54
Geometria Analítica
Exemplo:
1) Ache u x v onde u (2, 1, -1) e v (1, 0, 3).
Solução:
u x v = j6 - j - i3 
|01
|12
|
 
301
112 k
jikji
−=−
)1- ,7- (3, v x k - j7 - i3 v x =⇒= uu
Vamos calcular u x v escalar com u e com v .
1. ( u x v ) . u = 3 . 2 + (-7) . 1 + (-1) . (-1) 7
1
2
3
1
=⇒=
− kk 
 71
2
3
1
=⇒=
− kk ( u x v ) . v = 0, logo u x v é perpendicular a u .
2. ( u x v ) . v = 3 . 1 + (-7) . 0 + (-1) . 3 71
2
3
1
=⇒=
− kk
7
1
2
3
1
=⇒=
− kk ( u x v ) . v = 0, logo u x v é perpendicular a v .
Direção de u x v
u x v é perpendicular ou ortogonal a u e v simultaneamente.
55
Geometria Analítica
Sentido de u x v
Note que:
u x v = é um vetor
u x v = -( x ) (anticomutativo)
u x = 0 
uv
u
56
Geometria Analítica
Nota:
Triângulo
A = 
2
ha
 
 
 
 2
θabsen
Paralelogramo
A = ah ou A = 2 . 
2
ba 
2
θabsen 71
2
3
1
=⇒=
− kk A = 
2
ba 
2
θabsen
a
a
57
Geometria Analítica
Área do paralelogramo: ÁreaABCD = | u x v

 |
u x v
Área do triângulo: ÁreaABCD = 2
| v | xu
u x v
Nota:
Área de um triângulo no R2:
58
Geometria Analítica
OBS: Com dois vetores com a mesma origem podemos formar ou gerar.
1. Triângulo
2. Paralelogramo
Interpretação Geométrica do Produto Vetorial
Módulo: | u x v | = | u | | v | 
2
θabsen
59
Geometria Analítica
Exemplos:
1. Ache a área do paralelogramo gerado pelos vetores u (2, 2, 0) e v (0, 2, 0).
Solução:
Solução:
| u | = 22 |u| 0 2 2 222 =⇒++
| v | = 2 |v| 0 2 0 222 =⇒++
60
Geometria Analítica
Área do paralelogramo(s)
S = 2 . 2 2 . sen 45º 71
2
3
1
=⇒=
− kk S . 2 . 2 . 
2
2 
S = 4 
Veja que a área do paralelogramo coincide com o módulo u x v .
u x v

 = 
|20
|22
|
 
020
022
jikji
 71
2
3
1
=⇒=
− kk u x v = 4 k = o i + o j + 4 k
7
1
2
3
1
=⇒=
− kk u x v = (0, 0, 4), temos então:
| u x v | = 222 4 0 0 ++ 71
2
3
1
=⇒=
− kk | u x v | = 4
Logo, numericamente, temos:
 | u x v | = | u | . | v | . 
2
θabsen
61
Geometria Analítica
2. (UFF) Dados os vetores x = i - 2 j + k e y = j + k um vetor perpendicular 
ao plano de x e y
a) (1, 0, 3) d) (-6,-2,2)
b) (-3, -1,-5) e) (1,1,1)
c) (1, 3 ,1)
Solução:
x = (1, -2, 1,) e y = (0, 1, 1)
x x y = k - i3- 
|10
|21
|
 
110
121 +=−− j
jikji
x x y = (-3,-1,1)
Resposta: Letra D
62
Geometria Analítica
3. Ache a área do triângulo de vértices A (1, 2, 0), B (3, 0, -3) e C (5, 2, 6).
Solução:
U = BA = B - A = (3, 0, -3) – (1, 2, 0)
U = BA = (2,-2,-3)
V = CA = C – A = (5, 2, 6) – (1, 2, 0)
V = CA = (4, 0, 6)
U x V = k8 21 - i42 
604
322 +=−− j
kji
63
Geometria Analítica
U x V = 82 784 8 )21( )42( 222 ==+−+−
S = 14. S 
2
82
=⇒
4. (UFF) os vetores U e V do |R3 determinam um ângulo de 135º e são tais que 
|U | = 2 e | V | = 3 . Ache |U x V |.
Solução:
|U x V | = |U | . |V |. 
2
θabsen, 
2
θabsen =135º
|U x V | = 2 . 3 2
2
⇒ |U x V | = 3
64
Geometria Analítica
5. (UERJ) Observe a figura abaixo:
Ela representa um cubo de aresta 2, seccionada pelo plano ABCD, B = (2, 0, t) e t 
varia no intervalo [0, 2]. Determine a menor área do quadrilátero ABCD.
Solução:
Note que ABCD é um paralelogramo com A (2, 2, 0), B (2, 0, t) e C (0, 0, 2).
Vamos construir os vetores AB e CB com origem em B.
 CB = C – B = (0, 0, 2) – (2, 0, t)
 CB = (-2, 0, 2 - t)
 AB = A – B = (2, 2, 0) – (2, 0, t)
 AB = (0, 2, t)
65
Geometria Analítica
A área do paralelogramo é dada por: S = | CB x AB |
 CB x AB = )4- 2t,- 4,-(2t 
20
202 =
−
−−
t
t
kji
|AB x CB| . t8 16t - 23 
 (-4) (-2t) )4 - 2( |AB x CB|
2
22
+=
=++= t
É mínimo quando 32 – 16t + 8t2 é mínimo para t = -
a4
∆
 = 24. 
Logo mínimo para área = área = .62 42 = 
Volume de um paralelepípedo
Dados três vetores do espaço, , de direções não coplanares, estes, 
ao serem representados por segmentos orientados de mesma origem, definem 
um paralelepípedo.
O volume deste sólido é dado por:
V = SB . h
66
Geometria Analítica
Exemplo:
1) Ache [ ] onde (2, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0,5)
Geometricamente 
Veja que o volume do paralelepípedo retângulo é V = SB . h, então V = 3 . 2 . 5 
V = 30
OBS.: O volume de um paralelepípedo coincide numericamente com o módulo do 
produto misto dos vetores isto é:
V = |[ ]|
7
1
2
3
1
=⇒=
− kk
67
Geometria Analítica
Volume de um tetraedro
Sabemos da geometria espacial que o volume do tetraedro (pirâmide) é dado por 
da área da base vezes altura.
Volume do paralelepípedo = SB . h 
Volume do tetraedro =
Temos então que o volume do tetraedro é: 
68
Geometria Analítica
Vetores coplanares
 [ ] = 0
Exercícios resolvidos
1. Calcule o volume do tetraedro de vértices A (1, 2, -1), B (0, 1, 5), C(-1, 2, 1), 
D (1, 2, 3).
Solução:
69
Geometria Analítica
2. Verifique se os pontos A (1, 2, -1), B (0, 1, 5), C (-1, 2, 1) e D (2, 1, 3) são coplanares.
Solução:
70
Geometria Analítica
71
Geometria Analítica
SUGESTÃO DE VÍDEO
Para ampliar os seus conhecimentos assista aos vídeos abaixo:
http://www.youtube.com/watch?v=kUxpoWKkJII
http://www.youtube.com/watch?v=gtR5eUxemUo
http://www.youtube.com/watch?v=LnBxa8JKBSY
http://www.youtube.com/watch?v=JLJBcR5jiuQ
É HORA DE SE AVALIAR!
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elasirão ajuda-lo 
a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-
aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às envie 
através do osso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!
Nesta unidade, realizamos uma revisão sistemática sobre produto escalar, produto 
vetorial e produtos misto, além de aplicações práticas sobre esses tópicos.
Na próxima unidade faremos uma revisão sobre produtos escalar, vetorial e misto.
72
Geometria Analítica
Exercícios da Unidade 2
1. Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores
a) 0º
b) 45º
c) 120º
d) 145º
e) 200º
2. Dados os vetores e tais que e formam um ângulo de 60º.
 Ache 
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
73
Geometria Analítica
3. (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores (2, 1, 0), 
. (1, k, 4) e Z (3, 1, -4k) são coplanares é:
a) – 1
b) – 1/2
c) 0
d) 1/2
e) 1
4. Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual 
a 60º, o produto escalar entre eles é igual a:
a) 1
b) 60
c) 0
d) 
e) 1/2
5)Dados os vetores o produto misto é 
igual a:
a) 44
b) 66
c) 84
d) 124
e) 132
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
Dados os vetores abaixo calcule o ângulo entre os vetores e 
 
a) 0º 
b) 45º 
c) 120º 
d) 145º 
e) 200º 
 
2) .Dados os vetores u e v tais que 4u e 5v formam um ângulo de 60º. 
 Ache u . v

. 
 
a) 10 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
e) 30 
 
3) (UNIFICADO) O menor valor do parâmetro k para o qual os vetores u

(2, 1, 0), v

(1, k, 4) e 
z (3, 1, -4k) são coplanares é: 
 
a) – 1 
b) – 1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
4) Se dois vetores unitários (módulo igual a 1) formam entre si um ângulo igual a 60º, o 
produto escalar entre eles é igual a: 
a) 1 
b) 60 
c) 0 
d) 2/3 
e) 1/2 
5) Dados os vetores a (3, -2, 5), b (1, 3, -2) e c (5, 4, -3) o produto misto [ b , a , c ] é 
igual a: 
a) 44 
b) 66 
74
Geometria Analítica
6. O ângulo entre os vetores é igual a:
a) 0º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 90º
7. O volume dotetraedro de vértices A(1, 2, 3), B(1, -1, 1), C(2, 3, 0) e D(-1, 0, -1) é:
a) 5
b) 6
c) 4
d) 8
e) 2
8. Determine o volume do paralelepípedo definido pelos vetores =(1,0,-2), 
 =(-1,1,0) e =(2,3,-1).
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
75
Geometria Analítica
9. Verifique se os pontos do espaço P(1, 2, 3), A(1, 4, 4), B(4, 1, 2) e C(2, 3, 2) são 
coplanares.
10. ABC é um triângulo equilátero de lado L. O produto escalar vale:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3A Reta
Equação 
Retas paralelas aos planos e aos eixos
Ângulos
Retas ortogonais
Interseção de duas retas 
78
Geometria Analítica
Nesta terceira unidade, vamos estudar a reta e sua equação; retas paralelas aos 
planos e aos eixos; ângulos, retas ortogonais e; a intersecção de duas retas.
Objetivos da unidade:
• Definir a reta e determinar a sua equação;
• Identificar e interpretar as retas paralelas aos planos e aos eixos;
• Determinar os ângulos formados pelas retas;
• Identificar e interpretar as retas ortogonais;
• Interpretar geometricamente a intersecção de duas retas.
Plano da unidade:
• Equação 
• Retas paralelas aos planos e aos eixos
• Ângulos
• Retas ortogonais
• Interseção de duas retas 
Bons Estudos.
79
Geometria Analítica
Equação da Reta
O estudo da reta compreende um dos mais importantes assuntos da Geometria 
analítica, pois através de várias funções algébricas conhecidas é possível 
expressá-las por meio de retas.
O capítulo em questão, dada a sua importância, engloba uma gama maior de 
conceitos e definições. 
Equação Geral da Reta 
Sabemos, por conta da Geometria da posição, que uma reta será sempre 
determinada por dois pontos distintos.
Daí, pra determinarmos uma reta, é necessário, então, conhecer dois pontos 
distintos desta reta.
80
Geometria Analítica
Como base no exposto é possível afirmar que os pontos A e B, indicados acima, e que 
qualquer ponto P genérico, que pertença a reta AB, estão alinhados.
A condição para que três pontos estejam alinhados é:
Assim, obtemos a equação geral da reta, que é dada por:
Exemplos:
1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A( 1; -1) e B(-1; 3)
Solução:
Considerando o ponto genérico P(x, y) que pertence a reta e aplicando a 
Logo, a equação da reta que passa pelos pontos A e B é 2x + y - 1 = 0
81
Geometria Analítica
Pontos que pertencem à Reta
Podemos afirmar que um ponto P(xp, yp) pertence a uma reta r quando ao 
substituirmos as suas coordenadas na equação da reta verifica-se uma igualdade.
Exemplo:
1 . Verifique se o ponto P(2; 1) pertence a reta r, definida pela equação r: 2x – y – 3 = 0.
Solução: 
Neste caso efetua-se a substituição de x por 2 e y por 1 na equação 2x – y – 3 = 0.
Assim, temos: 2 . 2 – 1 – 3 = 0 → 4 – 1 – 3 = 0 → 0 = 0
Intersecção Entre Duas Retas
Sejam r : ax + bx + c = 0 e s: αx0 + βy0 + γ = 0 as equações de duas retas e P(x0, y0) 
a sua intersecção.
Graficamente, temos:
Assim, P ∈ r → ax + bx + c = 0 e P ∈ s → αx0 + βy0 + γ = 0.
82
Geometria Analítica
Logo, (x0, y0) é a solução do sistema formado pelas equações de r e s.
Trocando em miúdos, podemos afirmar que para obter o ponto de intersecção entre 
duas retas r e s, basta resolver o sistema de equações do primeiro grau formado por elas.
Exemplo:
 Determine o ponto de intersecção das retas x + 2y – 9 = 0
Solução:
Formas de Equação da Reta
Há distintas maneiras de se representar uma reta, além da forma da equação geral da 
reta. Vejamos as principais formas a seguir.
Equação Segmentária
A equação segmentária de uma reta é obtida quando os pontos em que ela 
intercepta os eixos coordenados são conhecidos.
Caso o sistema possua mais do que uma solução, as retas são coincidentes, e caso 
não possua solução, as retas são paralelas entre si.
IMPORTANTE!
83
Geometria Analítica
A equação segmentária é dada por:
Equação Reduzida
A equação reduzida da reta é obtida quando isolamos y na equação geral.
Assim, temos:
Disponível em: http://somatematica.com.br/emedio/retas/retas5.php
Os valores m e n são denominados coeficientes angular e linear, respectivamente.
Onde:
84
Geometria Analítica
Equação Paramétrica
Uma reta pode ser representada por um par de equações que representam as 
coordenadas de seus pontos, em função de uma terceira variável, denominada 
de parâmetro.
Equação da Reta que passa por um Ponto Conhecido
Ao estudarmos o coeficiente angular, é possível determinar a equação da reta, 
conhecendo um ponto dela e o ângulo que a mesma forma com o eixo x.
Observe que existe somente uma reta que passa pelo ponto P(x0, y0) e que forma 
um ângulo α com o eixo x. 
Logo, a sua equação será definida por:
85
Geometria Analítica
Exemplos:
1. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3, -2), com inclinação de 60º.
Solução:
m=tgα → m = tg 60º → m = √3
y – y0 = m(x – x0) → y — 2= √3 (x – 3)
y +2 = √3x – 3√3 → √3x – y - 3√3 – 2 = 0
2. Calcule a equação segmentária da reta 
Solução:
Assim, temos:
x + 2 = y – 1 → x – y + 3 = 0 → Equação Geral da Reta
- y = - x – 3 . (- 1)
 y = x + 3 → Equação Reduzida
Logo, para a equação segmentária, obtemos:
Sendo x – y + 3 = 0
Se x = 0 → y = 3
Se y = 0 → x = - 3
 Equação Segmentária
86
Geometria Analítica
Posições Relativas Entre Duas Retas
Para determinar se duas retas, r e s são concorrentes, paralelas ou coincidentes, 
devemos, inicialmente, considerar suas equações gerais:
r: a1x + b1y + c1 = 0
s: a2x + b2y + c2 = 0
Conhecidas as equações gerais, encontramos as posições relativas entre elas pelas 
relações abaixo indicadas:
Estudo dos Coeficientes Angulares
Quando duas retas r e s são paralelas ou perpendiculares, há duas relações entre os 
coeficientes angulares que são de grande importância no estudo de Geometria Analítica.
Retas paralelas
Disponível em: www.infoescola.com
87
Geometria Analítica
Se as retas, r e s, são paralelas, então podemos afirmar que seus coeficientes 
angulares são iguais, ou seja, mr = ms.
Retas perpendiculares
Se duas retas, r e s, são perpendiculares, então podemos afirmar que seus coeficientes 
angulares são valores inversos, com sinais trocados, ou seja, 
Exemplos:
1. Sejam as retas r: 2x + 3y – 5 = 0; s: 3x + 2y – 1 = 0 e v: 4x + 6y + 3 = 0. Determine as 
posições relativas entre as retas r e s; r e v; s e v.
Solução:
Disponível em: www.objetivo.br
88
Geometria Analítica
2. Determinar a equação da reta s que passa pelo ponto P(-3, 4) e é perpendicular à 
reta dada por r: 3x + 9.
Solução:
O coeficiente angular da reta m é mr = 3
Pela condição de perpendicularidade, deve-se ter: mr . ms = -1→ 3 . ms = -1 → ms = -1/3
Como P(-3, 4) pertence a s e ms = -1/3, obtém-se: y = msx + n → 4 = (-1/3) . (- 3) + n → 
4 = 1 + n → n = 3.
Logo, a equação da reta s é y
Ângulos e Distâncias
Distância de ponto à reta
Ao falarmos de distância entre um ponto e uma reta estamos nos pautando na 
medida do segmento de uma reta perpendicular à reta que tem extremidades no 
ponto e na reta.
Assim, para encontrar o valor numérico que representa a distância, vamos observar 
a figura a seguir:
Disponível em: www.estgv.ipv.pt 
89
Geometria Analítica
Daí, é possível calcular a distância pela relação:
Ângulos entre duas retas
Conforme mostra a figura abaixo, duas retas determinam quatro ângulos, sendo que 
eles são sempre congruentes dois a dois:
Para determinar esses ângulos indicados na figura acima, vamos considerar dois 
casos distintos:
1º Caso: Uma das retas é perpendicular ao eixo OX.
Se um das retas é perpendicular ao eixo das abscissas (OX), então esta reta não 
possui coeficiente angular. Neste caso, para determinar o ângulo agudo formado 
pelas retas, temos a relação: 
Disponível em: www.somatematica.com.br
90
Geometria Analítica
Para determinar o ângulo obtuso θ’ formado pelas retas, basta encontrar o 
suplemento de θ, ouseja, θ’= 180º - θ.
2º Caso: Nenhuma das retas é perpendicular ao eixo OX.
Se nenhuma das retas é perpendicular ao eixo OX, então as duas possuem coeficiente 
angular. Neste caso, o ângulo agudo é obtido pela relação: 
Para determinar o ângulo obtuso utilizamos o mesmo procedimento realizado no 
primeiro caso.
Exemplos:
1.Qual é a distância entre o ponto A(-3, 4) e a reta x – y + 2 = 0
Solução:
2. Determine a distância entre o ponto B(5, 4) e a reta r de equação x/3+y/4=1.
Solução:
Aplicando a expressão de distância entre ponto e reta, temos:
91
Geometria Analítica
3. Determine a medida do ângulo agudo formado entre as retas r: 2x – y – 1 e s: 6x 
+ 2y + 5 = 0.
Solução: 
Considere θ o ângulo agudo entre as retas r e s.
Para determinar o ângulo formado entre as retas, é necessário obter os coeficientes 
angulares das retas.
r: 2x – y – 1→0→y=2x-1→ mr= 2
s: →2y 6x + 2y + 5
Como :
Se tg θ=1, então θ=45º
4. Determine a medida do ângulo agudo formado entre as retas r: y = √3 x – 7 e s: x = 5.
Solução:
O coeficiente angular de r é 
Como s é paralela ao eixo das ordenadas, obtém-se
Se e 𝜃 é agudo, então 𝜃 = 30º.
92
Geometria Analítica
SUGESTÃO DE VÍDEOS
Para ampliar os seus conhecimentos assista aos vídeos abaixo:
http://www.youtube.com/watch?v=ZqAQwxPrxxk
https://www.youtube.com/watch?v=uhmjQvaAaZQ
https://www.youtube.com/watch?v=qBWAYc9uqG4
https://www.youtube.com/watch?v=gb9pTyYvBCQ
É HORA DE SE AVALIAR!
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão ajudá-lo 
a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-
aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às envie 
através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco!
 
Nesta unidade, realizamos uma abordagem sobre reta no plano cartesiano, suas 
equações, posição relativa entre duas retas, ângulo entre duas retas e os ângulos 
formados entre duas retas.
Na próxima unidade, estudaremos a circunferência, suas equações, a determinação 
do centro e do raio, as condições para que a equação represente uma circunferência 
e as posições relativas entre reta e circunferência e entre duas retas.
93
Geometria Analítica
Exercícios da Unidade 3
1) (UNITAU – SP) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é:
 a) y = x
b) y = 3x
c) y = 6x
d) 2y = x
e) 6y = x
2) (UFLA-MG) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, - 13) e é 
perpendicular à reta de equação 2x + y – 7 = 0. 
3) (UNISINOS-RS) Uma reta tem equação 3y – 2x +12 = 0. Os parâmetros 
(coeficientes) angular e linear, nesta ordem, são:
a) 2/3 e 4
b) 3/2 e 12
c) 2/3 e – 12
d) 2/3 e – 4
e) -2/3 e 4
94
Geometria Analítica
4) (PUC-SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?
a) √2
b) √3/2
c) √10
d) 1
e) 2
5) (FESP-SP) A Distância entre as retas r: 4x – 3y + 17 = 0 e s: 4x – 3y – 8 = 0 é:
a) 9/17
b) 5
c) 25/3
d) 25
e) 17/8
6) (UEL-PR) Considere os pontos A(0, 0), B(2, 3), C(4, 1). O comprimento da altura 
do triângulo ABC, relativo ao lado BC é:
a) √2
b) (3√2)/2
c) 2√2
d) (5√2)/25
e) 52√2
95
Geometria Analítica
7) (UFMG) O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A(- 2, 4). A 
equação da reta de s é:
a) x + 2y = 6
b) x – 2y +10 = 0
c) y + 2x = 0
d) 2y – x = - 10
e) y + 2x = 6
8) (FEBASP- SP) As equações 3x – y + 5 = 0 e 2x + y + 3 = 0 formam um ângulo de:
a) 90º
b) 60º
c) 45º
d) 120º
e) 30º
9) (FEI-SP) A equação de reta que passa pela origem e forma um ângulo de 45º 
com a reta y = 3x + 5 pode ser:
a) y = -x
b) x = 2y
c) y = - 3x
d) y = 3x
e) y = -2 
96
Geometria Analítica
10) Dadas as equações paramétricas da reta r, determine a equação 
geral da reta r.
4A Circunferência
Definir circunferência e determinar sua equação
Identificar e interpretar alguns casos particulares
Determinar o centro e o raio da circunferência
Estabelecer condições para que a equação represente uma circunferência
Identificar as posições relativas entre reta e circunferência e entre duas 
circunferências.
98
Geometria Analítica
Nesta quarta unidade, vamos estudar a Circunferência, sua equação e algumas 
particularidades; os ângulos; os planos perpendiculares; o paralelismo e a 
perpendicularidade entre a reta e o plano e; a intersecção de dois pontos planos e; a 
intersecção de reta e plano.
Objetivos da unidade:
• Definir circunferência e determinar sua equação;
• Identificar e interpretar alguns casos particulares;
• Determinar o centro e o raio da circunferência;
• Estabelecer condições para que a equação represente uma circunferência; e
• Identificar as posições relativas entre reta e circunferência e entre duas 
circunferências.
Bons Estudos.
99
Geometria Analítica
A circunferência
Denomina-se circunferência o conjunto de todos 
os pontos de um plano equidistante de um 
ponto fixo C desse plano, denominado centro da 
circunferência.
Na circunferência da figura, temos:
CA = CB = CD = R (raio da circunferência)
C = centro da circunferência.
Denominamos centro ao ponto fixo C da circunferência e raio R à distância de 
qualquer ponto da circunferência ao centro C.
Observação: É importante diferenciar circunferência de círculo. Podemos afirmar, de 
maneira simplificada, que círculo é a região delimitada por uma circunferência.
Equação da circunferência
Considere o plano cartesiano 
e a circunferência de centro 
C(a. b) e raio R conforme 
indica a figura.
100
Geometria Analítica
O ponto P(x, y) pertence à circunferência se, e somente se:
d(P, C) = R 
 
 
Essa igualdade é chamada de equação reduzida da circunferência.
No caso particular de o centro da circunferência estar na origem, isto é, a = b = 0, a 
equação será:
(x – 0)2 + (y – 0)2 = R2 x2 + y2 = R2
Exemplos:
1. Conhecendo o centro C e o raio r, podemos escrever a equação reduzida da 
circunferência nos seguintes casos:
a) C(2, 3) e r = 4
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 
b) C(–2, – 3) e r = 1
(x – (– 2))2 + (y – (–3))2 = 12 
 
 
centrodoabscissa centrodoordenada 
 
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16
(x + 2)2 + (y + 3)2 = 1⇒
⇒
101
Geometria Analítica
c) C(0, 5) e r = 2 
d) C(3, 0) e r = 5 
e) C(0, 0) e r = 1 
x2 + y2 = 1
Circunferência com centro na origem e raio r=1
Toda equação x2 + y2 = r2 tem centro (0, 0) e raio r.
⇒ x2 + (y – 5)2 = 4
⇒ (x – 3)2 + y2 = 25
⇒ x2 + y2 = 1
102
Geometria Analítica
2. A partir da equação reduzida, podemos também construir determinado centro C 
(a, b) e raio r:
a) (x – 4)2 + (y – 3)2 = 16 
Comparando essa equação com (x – 4) + (x – b)2 = r2
a) x2 + (y + 1)2 = 8
Equação Geral
Temos a equação geral de uma circunferência quando ela está na forma:
Para encontrar a equação geral da circunferência, basta desenvolvermos os produtos 
notáveis que aparecem na equação reduzida.
22=rC(0, -1)
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
Logo e
103
Geometria Analítica
Desenvolvendo as sequências da equação reduzida, temos:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2, temos:
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2, ou ainda:
Exemplo:
01. Encontre a equação geral da circunferência que tem centro no ponto P(- 1, 4), 
cujo raio mede 3 cm.
Solução:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x + 1)2 + (y – 4)2 = 32 → x2 + 2x + 1 + y2 – 8y + 16 = 9
x2 + y2 + 2x – 8y + 8 = 0.
  022
22222  
EDC
Rbabyaxyx 
 
C = –2a  a = – 
2
C 
 
D = –2b  b = – 
2
D 
 
E = a2 + b2 – R2 =  R2 = a2 + b2 – E  R = Eba  22 
 
104
Geometria Analítica
Determinação do Centro e do Raio
Para a determinação do centro e do raio da circunferência, devemos pensar em dois 
casos:
( I ) Quando conhecemos a equação reduzida de uma circunferência. Neste caso, 
podemos determinar o centro e o raio dela por meio de uma comparação direta.
( II ) Quando temos a equação geral da circunferência. Neste caso, devemosestudar 
o desenvolvimento dessa equação.
Assim, temos:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, onde estabelecemos as seguintes igualdades:
A = 1
B = 1
(x a)2 + (y b)2 = R2 
x2 2ax + a2 + y2 2by + b2 = R2 
  022
22222  
EDC
Rbabyaxyx
 
 
C = 2a  a = 
2
C 
D = 2b  b = 
2
D 
E = a2 + b2 R2 =  R2 = a2 + b2 E  R = Eba  22 
 
105
Geometria Analítica
Exemplos:
Determine o centro e o raio da equação ( x – 2)2 + ( y + 3)2 = 81.
Solução:
2 . Dada a circunferência de equação x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0, determine as 
coordenadas do centro e o raio.
Solução:
Logo, as coordenadas do centro são o ponto C(- 2, 3)
a = 
 
 a = 
 
 = -2 
b = 
 
 a = 
 
 = 3 
 
- a = - 2 a = 2 
- b = 3 b = - 3 
R2 = 81 R = 9 
 
Eba  22
)3(3)2( 22 
394  16 
 
106
Geometria Analítica
Condições para que a Equação Represente uma Circunferência
Anteriormente, descobrimos que o raio da circunferência é obtido pela relação: 
R = Eba  22 
Também sabemos que as raízes quadradas de números negativos não são reais, 
portanto, para que a equação possa representar uma circunferência, devemos tomar 
alguns cuidados importantes.
Assim, sendo a equação dada por: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, as condições para 
necessárias para que a equação represente uma circunferência são:
( I ) A = B = 1
( II ) a2 + b2 – E > 0
( III ) ∄Pxy
Exemplo:
1. Verifique se a equação x2 + y2 – 2x + 4y + 12 = 0 representa uma circunferência.
Solução:
- 7 > 0 → FALSO.
Logo, a equação não representa uma circunferência.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
107
Geometria Analítica
Posições Relativas Entre Reta e Circunferência
Neste tópico estudaremos as posições relativas entre a reta e a circunferência.
As posições relativas entre reta e circunferência podem estar dispostas de três 
maneiras distintas no sistema de eixos cartesianos.
Observe a figura abaixo:
Assim, temos:
1º Caso: reta secante à circunferência.
2º Caso: reta tangente à circunferência.
3º Caso: reta externa à circunferência.
Em cada uma das situações, há duas 
formas distintas para se determinar 
em qual caso a reta e a circunferência, 
se encontram:
(a) Ao resolver o sistema formado pelas 
duas equações.
 
Solução do sistema Caso 
1 Tangentes 
2 Secantes 
nenhuma externas 
 
108
Geometria Analítica
(b) Ao calcular a distância do centro da circunferên-
cia à reta e comparar o resultado obtido ao raio de 
circunferência.
Exemplos:
1. Determine a posição relativa do ponto P(1, 2) com relação à circunferência, cuja 
equação geral é dada por x2 + y2 + 4x – 6y + 12 = 0.
Solução:
As coordenadas do centro são a = 4/-2 = - 2 e b = - 6/- 3 = 3.
Logo, o raio é dado por R = 
A distância do ponto P ao centro C pode ser obtida da seguinte maneira:
Assim, podemos afirmar que o ponto P pertence à região externa da circunferência.
2. Determine a posição relativa da reta cuja equação é x – 2y = 4, em relação à 
circunferência cuja equação reduzida é (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4.
Solução: 
Através de equação reduzida da circunferência, obtém-se a equação geral 
x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0.
Assim, devemos resolver o sistema a seguir:
 
Cálculo da distância Caso 
dcr = R tangentes 
dcr < R secantes 
dcr > R externas 
 
Eba  22 123)2( 22 
   22 ()),( byaxAPd 10)32()21( 22 
Eba  22 123)2( 22 
   22 ()),( byaxAPd 10)32()21( 22 
 
 
{ {
 
 
 
109
Geometria Analítica
Substituindo a variável x na segunda equação, tem-se:
(2y + 4)2 + y2 – 6 . (2y + 4) + 2y + 6 = 0 → 5y2 + 6y – 2 = 0
Em seguida, calcula-se o discriminante:
∆ = 62 – 4 . (5) . (-2) = 36 + 40 = 76 > 0
Como o discriminante é positivo, podemos afirmar que a reta é secante à 
circunferência.
Posições Relativas Entre Duas Circunferências
As posições relativas entre duas circunferência podem estar dispostas de três 
maneiras distintas no sistema de eixos cartesianos.
Vejamos:
1º Caso: Circunferências secantes
2º Caso: Circunferências tangentes
(a) Externas
110
Geometria Analítica
(b) Internas
3º Caso: Circunferências Disjuntas
(a) Externas
(b) Internas
 Cálculo da distância Caso 
R1 – R2 < dc1c2 < R1 + R2 secantes 
dc1c2 = R1 + R2 tangentes externas 
dc1c2 = |R1 - R2| tangentes internas 
dc1c2 > R1 + R2 disjuntas externas 
dc1c2 < R1 - R2 disjuntas internas 
É possível determinar a situação 
de cada caso, a partir de compara-
ção do valor da distância entre os 
centros das circunferências com os 
seus respectivos raios, baseando 
no quadro a seguir:
111
Geometria Analítica
Quando o objetivo for somente determinar apenas se as circunferências são secan-
tes, tangentes ou disjuntas, sem que haja a necessidade de afirmar se elas são exter-
nas ou internas, basta resolver o sistema formado por suas equações.
Assim, temos:
Observação: Existe um caso especial de posição relativa entre duas circunferências. 
Este caso ocorre quando ambas possuem o mesmo centro. Neste caso, as circunfe-
rências são denominadas concêntricas.
Exemplos:
O1. Determine a posição relativa entre as circunferências de equações x2 + y2 = 16 
e x2 + y2 – 10x – 24y = 0.
Solução:
Para a equação c1: x
2 + y2 = 16, temos:
Centro na origem C( 0, 0) e raio R = 4.
Para a equação c2: x
2 + y2 – 10x – 24y = 0, temos:
Centro na origem C( 5, 0) e raio R = 1.
O cálculo das distâncias entre os dois centros é dado por:
√( ) ( ) √ 
 
 Cálculo da distância Caso 
R1 – R2 < dc1c2 < R1 + R2 secantes 
dc1c2 = R1 + R2 tangentes externas 
dc1c2 = |R1 - R2| tangentes internas 
dc1c2 > R1 + R2 disjuntas externas 
dc1c2 < R1 - R2 disjuntas internas 
112
Geometria Analítica
Como o valor obtido para a distância entre dois centros é igual à soma dos raios, 
podemos afirmar que as circunferências são tangentes externas.
2. Determinar a posição relativa das circunstâncias cujas equações são 
x2 + y2 – 4x -6y + 4 = 0 e x2 + y2 – 6x + 4y - 3 = 0.
Solução:
Da equação x2 + y2 – 4x -6y + 4 = 0, conclui-se que o centro é C1(2, 3) e o raio é 3.
Da equação x2 + y2 – 6x + 4y - 3 = 0, conclui-se que o centro é C2(3, -2) e o raio é 4.
Desta forma, calculando a distância entre os centros para comparar com os raios, 
obtemos:
Logo, temos: 1 = |4 – 3| < dc1c2 < 4 + 3 = 7.
Portanto, as circunferências em questão são secantes.
 
 
√( ) ( ) √ 
 
113
Geometria Analítica
SUGESTÃO DE VÍDEOS
Para ampliar os seus conhecimentos assista aos vídeos abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=Gav6zIF8BbA
https://www.youtube.com/watch?v=CjIaCuJN0jQ
https://www.youtube.com/watch?v=1b_jj4j-noY
https://www.youtube.com/watch?v=C4ebDgmnQoM
https://www.youtube.com/watch?v=C4ebDgmnQoM
Nesta unidade, realizamos uma abordagem sobre circunferência, suas equações, a 
determinação do centro e do raio, as condições para que a equação represente uma 
circunferência e as posições relativas entre reta e circunferência e entre duas retas.
Na próxima unidade, estudaremos as cônicas, suas definições, elementos e equações.
É HORA DE SE AVALIAR!
Lembre-se de realizar as atividades desta unidade de estudo, elas irão ajuda-lo 
a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-
aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois às envie 
através do osso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! 
114
Geometria Analítica
Exercícios da Unidade 4
01. Determine o ponto de tangente P das circunferências cujas equações gerais 
são dadas por x2 + y2 – 2x - 2y + 1 = 0 e x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
a) P(0, 1)
b) P(- 1, 1)
c) P(1, 0)
d) P( - 1, 0)
e) P(0, - 1)
02. (FEI-SP) No plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto C(3, 4) e 
raio R = 5 intercepta os eixos do sistema em:
a) nenhum ponto.
b) 1 ponto
c) 2 pontos
d) 3 pontos
e) 4 pontos
115
Geometria Analítica
03. (PUC-SP) O ponto da circunstância (x – 2)2 +(y + 4)2 = 4 que tem ordenada 
máxima é:
a) (2, - 4)
b) (2, - 2)
c) (2, - 6)
d) (- 4, 2)
e) (- 4, 4)
04. (UFPA) Os círculos x2 + y2 – 2x = 0 e x2 + y2 – 4x = 0 são:
a) tangentes externos.
b) concêntricos.
c) secantes.
d) coincidentes.
e) tangentes internos.
05. Qual é a posição relação entre as circunferências as equações x2 + y2 – 2x - 8y 
+ 13 = 0 e x2 + y2 – 8x - 2y + 7 = 0?
a) tangentes externos.
b) concêntricos.
c) secantes.
d) coincidentes.
e) tangentes internos.
116
Geometria Analítica
06. (Uneb- DF) As somas das coordenadas de cada ponto de intersecção da 
circunferência x2 + y2 + 10x - 2y + 6 = 0 com a reta 3x – y + 2 = 0 formam o 
conjunto:
a) (4/5, 2)
b) (0, 2/5)
c) (- 4/5, 0)
d) (- 2, - 2/5)
e) ( - 2, - 4/5)
07. (FUVEST-SP) Uma circunferência de raio 2, localizada no primeiro quadrante, 
tangente o eixo x e a reta de equação 4x – 3y = 0. Então, a abscissa do centro 
dessa circunferência é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
08. Determine a equação da circunferência em que um dos diâmetros tem 
extremidades P(2, 8) e Q(4, 0). 
117
Geometria Analítica
09. Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(2, 0), B(0, 
4) e C(-2, 2). 
10. Quais são os pontos de intersecção entre a reta 2x – y + 1 = 0 e a circunferência 
x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0?
a) A(- 3, 5) e B(1, 3)
b) A(- 3, -5) e B(1, 3)
c) A( 3, -5) e B(1, 3)
d) A(- 3, 5) e B(-1, 3)
e) A(- 3, 5) e B(- 1,- 3)
119
Geometria Analítica
Objetivos: Conhecer as ligações químicas, identificar os vários tipos de substâncias 
químicas e e aprender como funciona as reações químicas. 
Unidade 3 – Conceitos de Solução e Cinética Química.
Em nossa terceira unidade, veremos o que é uma Solução, suas concentrações e o 
uso desses conceitos no nosso cotidiano, veremos ainda a velocidade das reações 
química e o que fazer para acelerar ou retardar a sua ocorrência. 
Objetivo: Entender o que é uma Solução e suas concentrações. Aprender a Calcular 
a velocidade de uma reação química.
Unidade 4 – Termoquímica e Equilíbrio químico 
Nesta unidade, estudaremos o calor liberado ou absorvido nas reações químicas 
compreenderemos porque alguns alimentos são chamados de calóricos e outros não, 
veremos ainda que várias reações ocorrem em dois sentidos mantendo certo equilíbrio 
e estudaremos o que é pH e como este termo está tão presente em nosso dia a dia.
Objetivo: Identificar conceitos como: entalpia, caloria e Ph. 
Unidade 5 – Eletroquímica e seus fenômenos.
Nesta unidade, estudaremos a energia elétrica liberada em certas reações 
químicas e o seu aproveitamento, veremos ainda o que é corrosão e as maneiras 
de evitar e seus malefícios. 
Objetivo: Entender o que a oxi-redução, compreender o que é uma pilha, aprender 
o que é corrosão e como evitá-la.
5Cônicas: Elipse, Hipérbole e Parábola.
Definições
Elementos
Equações reduzidas e outras formas de equações
Equações paramétricas
120
Geometria Analítica
Nesta sexta unidade, vamos estudar cônicas, elipses e hipérboles, bem como suas 
definições, seus elementos; equações reduzidas e outras formas de equação e; 
equações paramétricas.
Objetivos da unidade:
• Definir e identificar os elementos das cônicas, das elipses, das hipérboles e das 
parábolas;
• Resolver problemas utilizando as equações reduzidas e outras formas de equação; e
• Resolver problemas utilizando as equações paramétricas.
Plano da unidade:
• Definições
• Elementos
• Equações reduzidas e outras formas de equações
• Equações paramétricas
Bons Estudos.
121
Geometria Analítica
Podemos definir as cônicas como lugares geométricos obtidos por meio da 
intersecção de um plano com dois cones sobrepostos.
Apesar de haver outras possíveis intersecções entre planos e retas, as principais são: 
elipse, parábola e hipérbole, conforme mostra a figura a seguir:
Elipse
Definição
É o lugar geométrico dos pontos do plano 
cuja soma das distâncias a dois pontos fixos 
é constante.
Assim, na figura anterior; PF1 + PF2 = 2a
Cônicas
Disponível em: http://www.andremachado.org/artigos/905/secoes-conicas.html
122
Geometria Analítica
Elementos:
Excentricidade: é o número e. Na elipse a excentricidade sempre será menor do que 
a unidade.
Assim, temos: 
O é o centro; 
F1 e F2 são os focos;
F1
 F2 = 2c é a distância focal (comprimento 2c); 
A1 A2 = 2a é o eixo maior (comprimento 2a); 
B1 B2 = 2b é o eixo menor (comprimento 2b).
Relação Fundamental
 
Equação da Elipse 
Consideremos um ponto P(x, y) qualquer da curva.
Pela definição observamos que:
PF1 + PF2 = A1F1 + A1F2 = A1A2 = 2a
a
ce 
 
222 cba +=
123
Geometria Analítica
Daí, temos:
 
 
 aycxycx 2)0()()0()( 2222 
 aycxycx 2)()( 2222 
 2222 )(2)( ycxaycx 
 2222222 )()(44)( ycxycxaaycx 

2222222 )()(4)(4 ycxycxaycxa 
 2222222 224)(4 ccxxccxxaycxa 
 cxaycxa 44)(4 222 
 cxaycxa 222)( 
 22222 )(])[( cxaycxa 
 22242222 2]2[ xccxaayccxxa 
 22242222222 22 xccxaayacacxaxa 
 224222222 caayaxcxa 
 )()( 22222222 caayaxca 
 
124
Geometria Analítica
Na elipse temos:
a2 = b2 + c2 a2 – c2 = b2
Substituindo na equação, obtemos:
 b2x2 + a2y2 = a2b2
Uma vez que ab ≠ 0, vem: 
Vamos agora:
Se os focos da elipse estão sobre o eixo y e o centro na origem, conforme a figura, a 
equação reduzida da elipse é dada por: 
1º Caso: Eixo fixo da elipse sobre o eixo 0x.
12
2
2
2
22
22
22
22
22
22

b
y
a
x
ba
ba
ba
ya
ba
xb
12
2
2
2

b
y
a
x
 
 
 
 
12
2
2
2

b
y
a
x
 
 
 
12
2
2
2

a
x
b
y
 
125
Geometria Analítica
2º Caso: Eixo maior da elipse sobre o eixo 0y.
Para equação reduzida da elipse com centro fora da origem, temos:
1º Caso: Centro fora da origem e eixo maior horizontal:
2º Caso: Centro fora da origem e eixo maior vertical:
Área da Elipse
A área da elipse é dada pela expressão: S = π.a.b
Exemplos:
1. Determine a equação reduzida da elipse de focos F1(1, 3) e F2(7, 3) e com extremi-
dades do eixo em A1(-2, 3) e A2(10, 3).
Solução:
Com base no enunciado do problema, podemos afirmar que o eixo da elipse é para-
lelo ao eixo das abscissas e o seu centro (x0, y0) é o ponto médio de F1(1, 3) e F2(7, 3). 
Assim, C(4, 3).
Como a2 = b2 + c2 62 = b2 + 32 b2 =36 - 9 b2 = 27
 
 
12
2
2
2

b
y
a
x
 
 
 
12
2
2
2

a
x
b
y
 
 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0 
b
yy
a
xx
 
 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0 
a
xx
b
yy
 
 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0 
b
yy
a
xx
 
 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0 
a
xx
b
yy
 
12
2
2
2
22
22
22
22
22
22

b
y
a
x
ba
ba
ba
ya
ba
xb
12
2
2
2

b
y
a
x
 
 
126
Geometria Analítica
Para a elipse cujo centro não coincide com a origem, obtemos:
2. Dada uma elipse com os focos nos pontos F1(- 4, 0) e F2(4, 0), determine a equação 
reduzida dessa elipse, sabendo que o eixo menor tem comprimento igual a 2.
Solução:
Com base no enunciado do problema, podemos afirmar que o eixo maior da elipse 
coincide com eixo das abscissas e o seu centro coincide com a origem.
Assim, temos: c = 4 e 2b =2 b = 1
Logo, a2 = b2 + c2 a2 = 12 + 42 a2 = 17
Como b = 1, temos:
3. Determine os focos da elipse da equação 16x2 + 25y2 = 400.
Solução:
Como 25 > 16, o eixo maior está no eixo 0x.
Então, temos: a2 = 25 e b2 = 16
Portanto, a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2 ⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3.
Logo, F1 ( - 3, 0) e F2( 3, 0).
 
 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



a
xx
b
yy
 1
17
)3(
36
)4( 22  xy 
 
 
 
 
12
2
2
2

b
y
a
x  1
117
22
 yx 
 
 
 
 

400
400
400
25
400
16 22  yx  1
1625
22
 yx
⇒
127
Geometria Analítica
Hipérbole 
Consideremos, inicialmente, dois pontos fixos, F1 e F2 de um plano, cuja distância 
d(F1, F2) = 2c.
Vamos marcar, agora, pontos do plano tal que a diferença (em módulo) de suas dis-
tâncias aos pontos fixos F1 e F2 seja constante,