Apostila Ciência dos Materiais

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APOSTILA DE 
CIÊNCIA E 
TECNOLOGIA 
DOS MATERIAIS 
 
Este Material tem como objetivo capacitar o 
aluno para entender os conceitos básicos de 
ciências dos materiais e complementar o 
conteúdo visto em sala de aula. 
Profa. Dra. Rita de Cássia A. 
L. Cruz 
 
 
 
Profa. Dra. Rita de Cássia Alves Leal Cruz - Apostila de Ciências e Tecnologia dos Materiais 
SUMÁRIO 
PARA INÍCIO DE CONVERSA ................................................................................... 5 
1 CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS .................................................................. 6 
1.1 MATERIAIS METÁLICOS ........................................................................................................... 6 
1.2 MATERIAIS CERÂMICOS........................................................................................................... 6 
1.3 MATERIAIS POLIMÉRICOS ........................................................................................................ 7 
1.4 MATERIAIS COMPÓSITOS ........................................................................................................ 7 
EXERCÍCIOS ................................................................................................................. 8 
2 O ÁTOMO ............................................................................................................... 9 
2.1 ATOMÍSTICA DOS MATERIAIS .................................................................................................. 9 
 Estrutura Atômica............................................................................................................ 9 
2.1.1.1 Números quânticos ..................................................................................................... 9 
EXERCÍCIOS .............................................................................................................. 11 
3 LIGAÇÕES QUÍMICAS ...................................................................................... 12 
3.1 LIGAÇÕES IÔNICAS ................................................................................................................ 12 
3.2 LIGAÇÕES COVALENTES ......................................................................................................... 13 
3.3 LIGAÇÕES METÁLICAS ........................................................................................................... 14 
EXERCÍCIOS .............................................................................................................. 14 
4 ESTRUTURAS CRISTALINAS ......................................................................... 16 
4.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 16 
4.2 ESTRUTURAS CRISTALINAS COMPACTAS .............................................................................. 17 
4.3 ESTRUTURAS CRISTALINAS CÚBICAS ..................................................................................... 18 
 Cúbico Simples (CS) ....................................................................................................... 20 
 Cúbico de Corpo Centrado (CCC) ................................................................................... 21 
 Cúbico de Face Centrada(CFC) ...................................................................................... 22 
4.4 ESTRUTURAS CRISTALINAS HEXAGONAIS ............................................................................. 23 
4.5 DIREÇÕES E PLANOS EM CRISTAIS ......................................................................................... 25 
 Direções Cristalográficas ............................................................................................... 25 
 Planos Cristalográficos .................................................................................................. 26 
4.6 DENSIDADES ATÔMICA EM CRISTAIS .................................................................................... 27 
 Densidade Atômica Linear ............................................................................................. 27 
 Densidade Atômica Planar ............................................................................................ 28 
EXERCÍCIOS .............................................................................................................. 28 
5 IMPERFEIÇÕES CRISTALINAS ...................................................................... 30 
 
 
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5.1 Defeitos pontuais .................................................................................................................. 30 
 Defeitos intersticiais ...................................................................................................... 31 
 Defeito substitucional ................................................................................................... 32 
 Defeitos pontuais em sólidos iônicos ............................................................................ 32 
5.2 Defeitos lineares (discordâncias) .......................................................................................... 33 
 Discordância em cunha ................................................................................................. 33 
 Discordância em hélice .................................................................................................. 34 
 Discordância Mista ........................................................................................................ 34 
5.3 Defeitos Interfaciais............................................................................................................... 34 
 Superfícies externas ...................................................................................................... 35 
 Contornos de fase ......................................................................................................... 35 
 Contorno de grão .......................................................................................................... 35 
 Contornos de macla....................................................................................................... 35 
5.4 Defeitos volumétricos ou de massa ...................................................................................... 36 
EXERCÍCIOS .............................................................................................................. 36 
6 DIFUSÃO ............................................................................................................. 37 
6.1 Mecanismos de Difusão ........................................................................................................ 38 
6.2 Difusão em Regime Estacionário ........................................................................................... 39 
6.3 Difusão em Regime Não Estacionário ................................................................................... 40 
EXERCÍCIOS .............................................................................................................. 41 
7 PROPRIEDADES MECÂNICAS ....................................................................... 42 
7.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 42 
7.2 CONCEITOS DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO ............................................................................. 42 
 ENSAIO DE TRAÇÃO ....................................................................................................... 43 
 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA ............................................................................................... 46 
 DEFORMAÇÃO PLASTICA ............................................................................................... 47 
7.3 PROPRIEDADES DE TRAÇÃO ..................................................................................................47 
 LIMITE DE ESCOAMENTO .............................................................................................. 47 
 LIMITE DE RESISTÊNCIA A TRAÇÃO ............................................................................... 48 
 DUCTILIDADE ................................................................................................................. 48 
 RESILIÊNCIA ................................................................................................................... 49 
 TENACIDADE .................................................................................................................. 49 
 DUREZA .......................................................................................................................... 49 
EXERCÍCIOS .............................................................................................................. 50 
8 DIAGRAMAS DE FASES ................................................................................... 52 
 
 
Profa. Dra. Rita de Cássia Alves Leal Cruz - Apostila de Ciências e Tecnologia dos Materiais 
8.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 52 
8.2 DEFINIÇÕES E CONCEITOS BÁSICOS ...................................................................................... 52 
 Fase? .............................................................................................................................. 52 
 Equilíbrio de Fases ......................................................................................................... 53 
 Componentes ................................................................................................................ 53 
 Limite de Solubilidade ................................................................................................... 53 
8.3 DIAGRAMAS DE FASES EM CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO ....................................................... 53 
8.4 INTERPRETAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE FASES ....................................................................... 53 
 Fases Presentes ............................................................................................................. 53 
 Determinação das Composições das Fases ................................................................... 54 
 Determinação das Quantidades das Fases .................................................................... 55 
8.5 DESENVOLVIMENTO DA MICROESTRUTURA EM LIGAS ISOMORFAS ................................... 57 
 Resfriamento em equilíbrio ........................................................................................... 57 
 Resfriamento fora do Equilíbrio .................................................................................... 58 
8.6 SISTEMAS EUTÉTICOS BINÁRIOS ........................................................................................... 59 
8.7 DESENVOLVIMENTO DA MICROESTRUTURA EM LIGAS EUTÉTICAS ..................................... 61 
EXERCÍCIOS .............................................................................................................. 64 
9 SISTEMA FERRO-CARBONO ......................................................................... 68 
9.1 Alotropia do Ferro Puro ......................................................................................................... 68 
9.2 Diagramas Fe-C e Fe-Fe3C ..................................................................................................... 68 
9.3 Considerações sobre o diagrama Fe-Fe3C ............................................................................ 71 
EXERCÍCIOS .............................................................................................................. 72 
RESPOSTAS .............................................................................................................. 73 
GLOSSÁRIO ............................................................................................................... 76 
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................ 79 
5 
 
PARA INÍCIO DE CONVERSA 
 
 É fácil avaliar a importância dos materiais em relação à existência e à evolução da espécie 
humana. Não é necessário aprofundar tal exame para se perceber que inúmeras etapas do 
desenvolvimento do homem foram marcadas pela variedade de materiais por ele utilizado. 
 Desde o início da civilização os materiais são usados com o objetivo de permitir e melhorar a 
vida do ser humano. No início da pré-história, o principal material utilizado na confecção de objetos e 
ferramentas era o sílex lascado. Em seguida, o homem produziu seus utensílios a partir da pedra polida. 
Com a descoberta do fogo e com o início do uso do barro na fabricação de objetos, iniciou-se a 
fabricação de peças cerâmicas. 
 A possibilidade de transformar um material maleável em outro com propriedades mecânicas 
totalmente diferentes marcou o início da ciência e engenharia dos materiais. Nessa mesma época, o 
uso do barro reforçado com vigas de madeira e palha, que constitui um material compósito, possibilitou 
a construção de casas. Com a descoberta dos metais, finda-se a idade da pedra e inicia-se a idade dos 
metais. Inicialmente, o homem empregou o cobre em substituição à pedra. Para refinar e moldar 
apropriadamente esse metal, foi utilizado o fogo, o que deu origem à metalurgia. A baixa resistência 
mecânica do cobre estimulou alternativas para se produzir um material mais resistente, o que levou à 
mistura desse metal, inicialmente com o arsênio e depois com o estanho, o que resultou no bronze. Há 
mais de 4.000 anos, o processo de fundição por cera perdida foi concebido. Nessa técnica, o objeto a 
ser produzido era esculpido em cera, que em seguida era recoberto com uma massa refratária. Ao se 
aquecer a escultura e seu recobrimento, a cera podia ser eliminada, resultando em uma cavidade no 
interior da massa refratária. 
 A fundição era elaborada com o preenchimento dessa cavidade pelo metal líquido. O objeto 
fundido era obtido pela quebra do molde. Apesar desse procedimento existir há alguns milhares de 
anos, a fundição por cera perdida é ainda hoje utilizada na fabricação de uma gama muito diversificada 
de produtos, como próteses odontológicas e ortopédicas ou componentes de turbinas aeronáuticas. 
Ainda na pré-história, o homem processou e utilizou ferro na confecção de ferramentas, armamentos 
e utensílios. Milhares de anos mais tarde, o desenvolvimento de novos processos de produção dos aços 
e dos ferros fundidos permitiram a viabilização da revolução industrial. Neste século, o desenvolvimento 
dos materiais poliméricos, dos materiais compósitos avançados, das cerâmicas de engenharia, dos aços 
inoxidáveis, das ligas de titânio, dos materiais semicondutores, dos biomateriais, permitiram avanços 
significativos em inúmeras áreas, como a medicina, a odontologia, a indústria aeroespacial, eletrônica, 
automobilística, naval e mecânica. 
 Atualmente, a área do conhecimento denominada Ciência e Engenharia de Materiais é de 
fundamental importância em vários campos, como o da medicina, da indústria eletrônica, farmacêutica 
e mecânica. Tal área de estudo analisa o comportamento dos materiais no tocante as suas partículas 
sub-atômicas, aos seus átomos, aos seus arranjos atômicos e, finalmente, ao nível macroscópico. 
Geralmente, esta área do conhecimento trata os materiais em função de suas composições químicas, 
da natureza e disposições de seus átomos no espaço e da influência dos processos de transformação 
em suas propriedades e características. Enquanto a ciência dos materiais está associada ao 
desenvolvimento e geração de conhecimento fundamental sobre os materiais, tentando compreender 
o comportamento dos materiais em função de sua estrutura interna e dos processos utilizados em seu 
processamento,a engenharia dos materiais está ligada à utilização desse conhecimento na viabilização 
e otimização de processos de transformação dos materiais em produtos finais. 
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Profa. Dra. Rita de Cássia Alves Leal Cruz - Apostila de Ciências e Tecnologia dos Materiais 
1 CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS 
 Os materiais empregados industrialmente podem ser classificados no tocante a características 
particulares ligadas à constituição e arranjos de seus átomos. Tal classificação permite que os materiais 
sejam agregados em três classes principais, quais sejam: materiais metálicos, materiais cerâmicos e 
materiais poliméricos. Além dos tipos citados, um estudo mais abrangente deve incluir um outro tipo, 
que exibe, atualmente, grande importância tecnológica: os materiais compósitos, também 
denominados de materiais conjugados. 
 
1.1 MATERIAIS METÁLICOS 
 A principal característica dos materiais metálicos está relacionada à forma ordenada com que 
os seus átomos estão arranjados no espaço, o que pode ser melhor sintetizado pelo termo “estrutura 
cristalina”. Em função do arranjo atômico, os materiais metálicos apresentam, em geral, boa resistência 
mecânica e podem ser deformados permanentemente sob a ação de forças externas. Além, disso, como 
resultado das ligações metálicas, eles são bons condutores de calor e eletricidade. Os materiais 
metálicos são substâncias inorgânicas compostas por um ou mais elementos metálicos e podem 
também conter elementos não-metálicos, como o oxigênio, carbono e nitrogênio. 
 Dentre os materiais metálicos, destacam-se as ligas de alumínio, largamente empregadas na 
construção de aeronaves, as ligas de titânio usadas na confecção de implantes ortopédicos e as 
superligas de níquel, apropriadas para fabricação de componentes para operação em temperaturas 
elevadas. Os metais são vitais para indústria moderna, pois seu uso ocorre em uma gama de aplicações 
excepcionalmente diversificada, da indústria de microeletrônica à automotiva. 
 A Figura 1.1 apresenta o cobre encontrado na natureza e já processado como fios. 
 
Figura 1.1 - Cobre como encontrado na natureza e fios de cobre. 
 
1.2 MATERIAIS CERÂMICOS 
Os materiais classificados como cerâmicos envolvem substâncias altamente resistentes ao calor e 
no tocante à estrutura atômica, podem apresentar arranjo ordenado e desordenado, dependendo do tipo 
de átomo envolvido e à forma de obtenção do material. Esses materiais são constituídos por elementos 
metálicos e não-metálicos (inorgânicos), formando reações químicas covalentes e iônicas. Em função do 
arranjo atômico e das ligações químicas presentes, os materiais cerâmicos apresentam elevada resistência 
mecânica, alta fragilidade, alta dureza, grande resistência ao calor e, principalmente, são isolantes térmicos 
e elétricos. Nas últimas décadas, uma gama bastante variada de novos materiais cerâmicos foi 
desenvolvida. Tais materiais caracterizam-se, principalmente, pelo controle de suas composições, das 
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dimensões de suas partículas e do processo de produção dos componentes. Como resultado desse 
procedimento, é possível produzir dispositivos de alta resistência mecânica e resistentes a temperaturas 
elevadas, o que possibilita a aplicação dos mesmos em máquinas térmicas, onde o aumento do rendimento 
está ligado ao aumento da temperatura de trabalho. 
Os materiais cerâmicos são tipicamente isolantes à passagem de calor e eletricidade (isto é, 
possuem baixas condutividades elétricas) e são mais resistentes a temperaturas elevadas e a ambientes 
severos que os metais e os polímeros. 
 
1.3 MATERIAIS POLIMÉRICOS 
Os polímeros incluem os familiares materiais plásticos e de borracha. Muitos deles são compostos 
orgânicos que têm sua química baseada no carbono, no hidrogênio e em outros elementos não metálicos. 
A principal característica que diferencia os materiais poliméricos dos outros tipos de materiais está 
relacionada à presença de cadeias moleculares de grande extensão constituídas principalmente por 
carbono. O arranjo dos átomos da cadeia molecular pode levar a mesma a ser caracterizada como linear, 
ramificada ou tridimensional. 
Em função do arranjo atômico de seus átomos, os materiais poliméricos exibem, em geral, baixa 
densidade e baixa estabilidade térmica. Tal conjunto de características permite que os mesmos sejam 
frequentemente utilizados como isolantes elétrico ou térmico ou na confecção de produtos onde o peso 
reduzido é importante. Um dos materiais poliméricos mais versáteis é o polietileno, com um número de 
aplicações industriais bastante amplo. Na Tabela 1.1 são comparadas algumas propriedades dos materiais 
metálicos, cerâmicos e poliméricos. 
 
Tabela 1.1 - Propriedades dos materiais metálicos, cerâmicos e poliméricos. 
TIPO DE MATERIAL CARACTERÍSTICAS CONSTITUINTES 
METÁLICO • MÉDIA - ALTA RESISTÊNCIA MECÂNICA 
• ALTA DUCTILIDADE 
• BOM CONDUTOR TÉRMICO E ELÉTRICO 
• BAIXA - ALTA TEMPERATURA DE FUSÃO 
• BAIXA - ALTA DUREZA 
ELEMENTOS METÁLICOS 
E NÃO-METÁLICOS 
POLIMÉRICO • BOM ISOLANTE TÉRMICO E ELÉTRICO 
• ALTA DUCTILIDADE 
• BAIXA RESISTÊNCIA MECÂNICA 
• BAIXA DUREZA 
• BAIXA ESTABILIDADE TÉRMICA 
CADEIAS MOLECULARES 
ORGÂNICAS 
 
CERÂMICO • ALTA RESISTÊNCIA MECÂNICA 
• ALTA FRAGILIDADE 
• BOM ISOLANTE TÉRMICO E ELÉTRICO 
• ALTA TEMPERATURA DE FUSÃO 
• ALTA DUREZA 
ÓXIDOS 
SILICATOS 
NITRETOS 
 
 
1.4 MATERIAIS COMPÓSITOS 
 Os materiais compósitos, também denominados de materiais conjugados, podem ser descritos 
como a combinação de dois ou mais diferentes materiais, o que resulta em propriedades não apresentadas 
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pelos constituintes individuais. Além disso, os materiais constituintes do material compósito não dissolvem 
um no outro e exibem um interface bem definida entre eles. 
Esses materiais podem ser divididos em materiais compósitos naturais ou tradicionais e em 
materiais compósitos avançados. No primeiro grupo enquadram-se a madeira, o concreto e o asfalto. Por 
outro lado, os materiais compósitos avançados surgiram há poucas décadas, como resultado de 
necessidades resultantes de avanços tecnológicos nas indústrias aeronáutica, naval e automobilística. 
Dentre os materiais compósitos mais comuns destacam-se os de matriz plástica reforçada com 
fibras de vidro ou carbono, ou ainda, as ligas de alumínio reforçadas com filamentos de boro. 
 A fibra de vidro é um dos exemplos clássicos de materiais compósitos, mas o concreto e os pneus 
também fazem parte desse tipo de materiais. A fibra de vidro é feita com pequenas fibras de vidros que são 
envolvidas por uma resina polimérica, esse tipo de material é conhecido como compósito reforçado com 
fibras. O concreto é um compósito formado pela mistura de cimento (matriz), areia e brita (particulados). 
EXERCÍCIOS 
01. O pilar da Ciência dos Materiais, também conhecido como o tetraedro dessa ciência apresenta a 
inter-relação entre processamento, estrutura, propriedade e desempenho. A partir desses componentes os 
materiais são comumente divididos em quatro grandes grupos. Assinale a alternativa que apresenta as 
principais classificações dos materiais: 
a) Metais, cerâmicas e condutores. 
b) Metais, polímeros, cerâmicas e compósitos. 
c) Metais, cerâmicas, polímeros e elastômeros. 
d) Laminados, polímeros, metais e compósitos. 
e) Polímeros, elastômeros, compósitos e laminados. 
 
02. Os materiais cerâmicos são utilizados em diversas aplicações, desde um simples utensílio 
doméstico, como uma xícara, à utilização como revestimento de ônibus espaciais. Assinale a alternativa 
correta que melhor define essa classe de materiais: 
a) São materiais sólidos inorgânicos formados entre átomos de metais. 
b) São materiais sólidos orgânicos formados entre átomos de metais e não metais. 
c) Sãomateriais sólidos inorgânicos formados entre elementos metálicos e gases nobres. 
d) São materiais sólidos inorgânicos formados entre elementos metálicos e não metálicos. 
e) São materiais sólidos orgânicos formados entre elementos metálicos e não metálicos. 
 
03. De acordo com suas classificações básicas, como foram classificados os materiais sólidos? 
 
 
 
 
9 
 
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2 O ÁTOMO 
 O comportamento macroscópico de um material pode ser previsto a partir da análise do mesmo 
junto aos níveis subatômico, atômico e microscópico. Esse fato torna necessário examinar o material, 
inicialmente, no tocante a sua microestrutura, que é determinada pelos tipos de átomos e de ligações 
atômicas presentes. A natureza dessas ligações apenas é compreendida quando o átomo é examinado 
dentro do nível subatômico. 
 
2.1 ATOMÍSTICA DOS MATERIAIS 
 
Algumas das propriedades importantes dos materiais sólidos dependem dos arranjos geométricos 
dos átomos e também das interações que existem entre os átomos ou molécula constituintes. Os metais 
não são exceção a esta relação. Desta forma, um estudo completo da atomística dos materiais passa 
obrigatoriamente por algumas definições e apresentações de fenômenos importantes. 
 
 Estrutura Atômica 
O átomo consiste de partículas elementares denominadas de Nêutrons, Prótons e Elétrons. Cada 
uma destas partículas apresenta características particulares, de massa e carga elétrica. Os nêutrons e os 
prótons formam o núcleo do átomo, ao redor do qual circula os elétrons em órbitas de translação formando 
uma espécie de “nuvem” eletrônica envoltória. Tanto os elétrons como os prótons possuem uma carga 
elétrica de 1,60x10-19 C (Coulomb) que é negativa para os primeiros e positiva para os segundos. Os 
nêutrons não possuem cargas elétricas, mas possuem uma massa de aproximadamente 1,67x10-27 kg, que 
é a mesma para os prótons e que é significantemente maior que a do elétron, 9,11x10-31 kg. Cada 
elemento químico é caracterizado por um número de prótons no seu núcleo ou Número Atômico (Z). 
Para um átomo completo (eletricamente neutro), o número atômico é também igual ao número 
de elétrons. A Massa Atômica (A) de um átomo específico pode ser expressa pela soma do número de 
prótons e de nêutrons dentro do núcleo. Para o nosso estudo, consideraremos o Peso Atômico igual à 
Massa Atômica. Assim, qualquer elemento químico pode ser identificado na tabela periódica, pelos seus 
números característicos Z ou A. O ferro (Fe), por exemplo, apresenta número atômico 26 e peso atômico 
55,847 (≈ 56) e assim, possui um átomo com 26 prótons, 26 elétrons (considerando eletricamente neutro) 
e 30 nêutrons (56- 26). 
Embora o número de prótons seja o mesmo para todos os átomos de um mesmo elemento, o 
número de nêutrons (N) pode variar. Assim átomos de um mesmo elemento têm duas ou mais diferentes 
massas atômicas, os quais são chamados de isótopos. Os átomos consistem então, de pequenos núcleos 
onde se encontram cargas positivas e neutras, com elétrons se movendo em volta deste núcleo. As órbitas 
eletrônicas podem ser consideradas essencialmente esféricas e distribuídas ao redor do núcleo atômico 
segundo leis restritivas do ponto de vista energético. Cada órbita representa níveis de energia medidos em 
elétrons-volt (1ev = 1,6x10-19 joules), formando verdadeiras calotas energéticas denominadas de camadas 
eletrônicas. 
 
2.1.1.1 Números quânticos 
Números quânticos descrevem as energias dos elétrons nos átomos. Em um mesmo átomo não 
existem dois elétrons com os mesmos números quânticos 
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Para representar a localização espacial e a energia de um elétron num átomo, são necessários 4 
números quânticos. Eles são usualmente representados pelas letras n, l, ml e ms. Cada um deles só pode 
ter certos valores (Tabela 2.1). 
Tabela 2.1 - Números quânticos e seus respectivos valors. 
Número Quântico Valores Permitidos 
n 1, 2, 3 ... (n) 
l 0(s), 1(p), 2(d), 3(f),...(n-1) 
ml -l, ..., -1, 0, +1, ... +l 
ms - ½ ou ½ 
• Número quântico principal (n) 
O número quântico principal está associado à energia de um elétron e indica em que nível de 
energia está o elétron. Quando n aumenta, a energia do elétron aumenta e, na média, ele se afasta do 
núcleo. O número quântico principal (n) assume valores inteiros, começando por 1. 
 
• Número quântico secundário (L) 
Cada nível energético é constituído de um ou mais subníveis, que são representados pelo 
número quântico secundário, associado ao formato geral da nuvem eletrônica. Como os números 
quânticos n e L estão relacionados, os valores do número quântico L serão números inteiros, começando 
por 0 (zero) e indo até um máximo de (n – 1). 
 
Para os átomos conhecidos, teremos: 
 
O número máximo de elétrons em cada subnível é: 
Subnível s p d f 
Nº máximo de elétrons 2 6 10 14 
• Número quântico magnético (m) 
Está associado à região de máxima probabilidade de se encontrar o elétron, denominada orbital. 
Cada orbital comporta no máximo 2 elétrons e é representado graficamente por caixinhas ( □ ). Os 
orbitais estão relacionados com os subníveis; por esse motivo, os valores de m variam de – L a + L. Na 
Tabela 2.2 são apresentados os subníveis, valores do número quântico m e a quantidade de orbitais. 
Tabela 2.2 - Subníveis, valores do número quântico m e a quantidade de orbitais. 
Tipo de subnível Valores de m Quantidade de orbitais 
s 0 1 
p -1, 0, +1 3 
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... 
K, L, M, N, O, P, Q 
L = 0,1, 2, ...(N-1) 
L = 0,1, 2, 3 
 s, p, d, f (tipo de subnível) 
 
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d -2, -1, 0, +1, +2 5 
f -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 7 
• Número quântico spin (s) 
Indica a orientação do elétron ao redor do seu próprio eixo. Como existem apenas dois sentidos 
possíveis, este número quântico assume apenas os valores -½ e +½, indicando a probabilidade do 50% 
de o elétron estar girando em um sentido ou no outro. 
 
EXERCÍCIOS 
01. Os átomos são compostos por partículas subatômicas. Assinale a alternativa correta que 
apresenta a partícula subatômica que possui carga elétrica positiva. 
a) Prótons 
b) Elétrons 
c) Nêutrons 
d) Núcleo 
e) Prótons e nêutrons 
 
 
 
 
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3 LIGAÇÕES QUÍMICAS 
 A estrutura interna dos materiais é resultado da agregação de átomos obtida através de forças de 
ligação interatômicas. Esta agregação, em função das características de tais ligações, pode resultar nos 
estados sólido, líquido e gasoso. 
 Basicamente, os átomos podem atingir uma configuração denominada de estável a partir de três 
maneiras, quais sejam: ganho de elétrons, perda de elétrons ou compartilhamento de elétrons. Tais 
características atômicas resultam na existência de três tipos de ligações atômicas, denominadas como 
primárias ou fortes, que são mostradas na Tabela 3.1. 
Tabela 3.1 - Relação entre características atômicas e ligações resultantes. 
Elemento Eletropositivo 
+ 
Elemento Eletronegativo 
 
LIGAÇÃO IÔNICA 
Elemento Eletropositivo 
+ 
Elemento Eletropositivo 
 
LIGAÇÃO METÁLICA 
Elemento Eletronegativo 
+ 
Elemento Eletronegativo 
 
LIGAÇÃO COVALENTE 
 
3.1 LIGAÇÕES IÔNICAS 
 É o resultado da interação entre íons positivos (cátions) e negativos (anions), que perderam ou 
ganharam elétrons. Um exemplo que pode ser considerado clássico de ligação iônica ocorre na formação 
do NaCl (sal de cozinha). 
 O sódio possui as duas primeiras camadas eletrônicas completas e a terceira com apenas um 
elétron (3s1). Isto mostra que o Na tem facilidade em perder um elétron (eletropositivo) para adquirir a 
configuração eletrônica estável. Por outro lado,o cloro apresenta em sua camada mais externa sete átomos 
(3s2 3p5) ou seja, ele tem facilidade em receber um elétron (eletronegativo) e tornar-se eletronicamente 
estável. Quando o Na e Cl reagem, os elétrons externos dos átomos de sódio transferem-se para os átomos 
de cloro, produzindo íons sódio Na+ e os íons cloretos Cl-, que são mantidos juntos pela atração eletrostática 
de suas cargas opostas, formando o NaCl, como mostra a Figura 3.1 - Ligação iônica resultante da doação 
de um elétron do sódio para o cloro. (a) Distribuição dos elétrons antes e após a reação; (b) Distribuição 
espacial dos íons sódio e cloro. 
 A distribuição eletrônica no íons Cl- e Na+ e o tipo de orbital presente fazem com que a ligação 
iônica seja não direcional. Como um sólido iônico será formado por cátions e ânions, cada um com raio 
iônico particular, pode-se prever que além da garantia de neutralidade da rede, as relações entre os raios 
iônicos será decisiva na distribuição dos íons no espaço. O caráter de uma ligação será mais iônico à medida 
que a diferença de eletronegatividade entre os elementos aumenta. Quando essa diferença de 
eletronegatividade não é muito acentuada, o composto apresenta elevado caráter covalente. 
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(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
Figura 3.1 - Ligação iônica resultante da doação de um elétron do sódio para o cloro. (a) Distribuição dos elétrons 
antes e após a reação; (b) Distribuição espacial dos íons sódio e cloro. 
 
3.2 LIGAÇÕES COVALENTES 
 Quando dois elementos eletronegativos, de caráter não metálico, reagem entre si, não é formada 
uma ligação iônica, pois ambos os átomos têm facilidade em receber elétrons. Neste caso, a configuração 
estável dos dois elementos ocorre por compartilhamento de elétrons. Uma ligação covalente surge quando 
os átomos apresentam orbitais semi-preenchidos. Quando existe o compartilhamento de elétrons, tais 
orbitais completam-se mutuamente, gerando ligações bastante fortes. Como exemplo de ligação 
covalente, pode-se citar a formação da molécula de cloro Cl2. Cada átomo de cloro compartilha um de seus 
elétrons com outro átomo, que é exemplificada na Figura 3.2 - Diagrama esquemático da ligação 
covalente entre átomos de cloro.. 
 
Figura 3.2 - Diagrama esquemático da ligação covalente entre átomos de cloro. 
 Dessa forma, um par eletrônico pode ser compartilhado igualmente por dois átomos e cada átomo 
tem na sua camada mais externa, seis elétrons originalmente dele e um par compartilhado. Isto torna cada 
átomo eletronicamente estável e o mesmo atinge a configuração do gás nobre argônio. Da mesma forma, 
a formação da molécula de oxigênio envolve o compartilhamento de quatro elétrons. 
 
Cl - Na + 
14 
 
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3.3 LIGAÇÕES METÁLICAS 
 Esse tipo de ligação é normalmente encontrado em metais e envolve a interação entre elementos 
de caráter metálico. Para haver a ligação metálica é necessário um número elevado de átomos. A ligação 
metálica é resultado da ação entre elétrons livres (nuvem eletrônica) e íons positivos. Estes elétrons livres 
são originários da última camada de valência, fracamente presos ao átomo, e que estão livres dentro da 
estrutura metálica. A Figura 3.3 - Ligações metálicas (nuvem de elétrons) encontradas nos metais. mostra 
ligações metálicas observadas em metais. Através de tais elétrons pode-se explicar as altas condutibilidades 
elétrica e térmica dos metais. Outro fato que resulta dessa nuvem de elétrons é a opacidade dos metais, 
pois quando a luz atinge um metal, seus elétrons livres absorvem a energia incidente, em seguida, 
refletindo-a. A estrutura dos sólidos formados por elementos metálicos é razoavelmente simples, à medida 
que as ligações metálicas não são direcionais como as covalentes, não dependem, para um elemento puro, 
de relações geométricas entre os átomos e não necessitam do estabelecimento da neutralidade elétrica da 
rede. Tais características resultam em um empacotamento atômico altamente compacto. 
 
 
Figura 3.3 - Ligações metálicas (nuvem de elétrons) encontradas nos metais. 
 Os três tipos de ligações primárias mencionados raramente ocorrem individualmente. Na verdade, 
um mesmo material pode exibir uma combinação destes tipos, formando materiais com ligações mistas. 
Um exemplo é o NaNO3 (nitrato de sódio), que apresenta ligações covalente no radical nitrato NO3- e 
ligações iônicas entre os íons Na+ e NO3-. Outro exemplo pode ser encontrado em sólidos constituídos por 
metais de transição. Nesse caso, as ligações entre tais elementos envolvem, além das ligações metálicas, 
ligações covalentes também. Tal caráter covalente pode gerar ligações direcionais, que poderiam explicar, 
em alguns casos, o arranjo cristalino pouco compacto de alguns metais. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Cite sucintamente as principais diferenças entre as ligações iônica, covalente e metálica. 
2. Nas ligações _______ uma configuração estável é obtida pelo _______ de elétrons entre átomos 
vizinhos. Esse tipo de ligação é _______. Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas: 
a) covalentes, compartilhamento, direcional. 
b) metálicas, compartilhamento, não direcional. 
15 
 
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c) iônicas, compartilhamento, direcional. 
d) iônicas, recebimento, não direcional. 
e) covalentes, recebimento, direcional. 
3. Em relação à configuração eletrônica, o que todos os ele mentos no Grupo VIIA da tabela periódica têm 
em comum? 
4. Forneça as configurações eletrônicas para os seguintes íons: Fe2+, Fe3+, Cu+, Ba2+ e Br. 
5. Quais os tipos de ligações predominantes nos materiais cerâmicos, poliméricos e metálicos? 
6. Qual(is) tipo(s) de ligação seria(m) esperada(s) para cada um dos seguintes materiais: latão (uma liga de 
cobre e zinco), borracha, sulfeto de bário (BaS), xenônio sólido, bronze, náilon e fosfeto de alumínio (AlP)? 
 
 
 
16 
 
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4 ESTRUTURAS CRISTALINAS 
4.1 INTRODUÇÃO 
 A estrutura dos materiais sólidos é resultado da natureza de suas ligações químicas, a qual define 
a distribuição espacial de seus átomos, íons ou moléculas. A grande maioria dos materiais comumente 
utilizados em engenharia, particularmente os metálicos, exibe um arranjo geométrico de seus átomos bem 
definido, constituindo uma estrutura cristalina. Um material cristalino, independentemente do tipo de 
ligação encontrada no mesmo, apresenta um agrupamento ordenado de seus átomos, íons ou moléculas, 
que se repete nas três dimensões. Nesses sólidos cristalinos, essa distribuição é muito bem ordenada, 
exibindo simetria e posições bem definidas no espaço. Em estruturas cristalinas, o arranjo de uma posição 
em relação a uma outra posição qualquer deve ser igual ao arranjo observado em torno de qualquer outra 
posição do sólido, ou seja, qualquer posição em uma estrutura cristalina caracteriza-se por apresentar 
vizinhança semelhante. 
 A partir do conceito de estrutura cristalina, onde, é possível descrever um conjunto de posições 
atômicas, iônicas ou moleculares repetitivas, surge o conceito de célula unitária. Uma célula unitária é 
definida como a menor porção do cristal que ainda conserva as propriedades originais do mesmo. Através 
da adoção de valores específicos associados às unidades de medidas nos eixos de referências, definidos 
como parâmetros de rede, e aos ângulos entre tais eixos, pode-se obter células unitárias de diversos tipos. 
Em meados do século passado, o cientista francês A. Bravais propôs que o estudo das estruturas 
cristalinas poderia ser elaborado com a utilização de sete sistemas cristalinos básicos. Partindo desses sete 
sistemas cristalinosseria possível descrever 14 células unitárias, as quais englobariam qualquer tipo de 
estrutura cristalina conhecida. Na Tabela 4.1 - Parâmetros de rede e ângulos dos sete sistemas cristalinos 
de Bravais.são mostradas as principais características desses arranjos no tocante a parâmetros de rede e 
ângulos entre eixos. Na Figura 4.1 são apresentados as células unitárias de Bravais. 
Tabela 4.1 - Parâmetros de rede e ângulos dos sete sistemas cristalinos de Bravais. 
SISTEMAS EIXOS ÂNGULOS ENTRE OS EIXOS 
CÚBICO a=b=c Todos os ângulos = 900 
TETRAGONAL a=bc Todos os ângulos = 900 
ORTORRÔMBICO abc Todos os ângulos = 900 
MONOCLÍNICO abc 2 ângulos = 90
0 e 1 ângulo  900 
TRICLÍNICO abc 
Todos ângulos diferentes e nenhum igual a 900 
HEXAGONAL a1=a2=a3c 
3 ângulos = 900 e 1 ângulo = 1200 
ROMBOÉDRICO a=b=c Todos os ângulos iguais, mas diferentes de 90
0 
 
17 
 
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Figura 4.1 - Células unitárias do arranjos cristalinos de Bravais. 
4.2 ESTRUTURAS CRISTALINAS COMPACTAS 
 Bravais sugeriu a existência de 14 tipos de arranjos cristalinos, porém, alguns desses ocorrem 
com maior freqüência que outros. A maioria dos elementos, principalmente aqueles com caráter 
metálico elevado, transforma-se de líquido para sólido assumindo estruturas altamente densas, como 
mostra a Tabela 4.2. Nesse caso não existem restrições em relação à direcionalidade das ligações 
(ligações covalentes) ou restrições associadas à neutralidade da rede e a fatores geométricos (ligações 
iônicas). Uma avaliação mais aprofundada dos arranjos cristalinos de Bravais revela que as estruturas 
cúbica de corpo centrado (CCC), cúbica de face centrada (CFC) e hexagonal compacta (HC) são aquelas 
que permitem maior grau de empacotamento atômico. A estrutura hexagonal compacta é na verdade 
uma modificação da estrutura hexagonal simples, já mostrada anteriormente. 
18 
 
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Exemplo 3.1 
 O chumbo exibe estrutura CFC. Qualquer quantidade de chumbo sólido é constituída por pequenos 
cubos imaginários (células unitárias), com arestas medindo 0,495x10-9 m, onde os átomos desse elemento 
ocupam vértices e centro das faces. A partir dessas informações, calcule o número de cubos existentes em 
1 cm3 (1x10-6 m3) de chumbo. 
 
Solução 
 O número de células unitárias é obtido pela divisão do volume total pelo volume de uma célula. 
 Volume da célula unitária do chumbo= (0,495x10-9 m)3=1,2x10-28 m3 
 Número de células unitárias=1x10-6 m3/1,2x10-28 m3=8,2x1021 células (cubos) 
 
4.3 ESTRUTURAS CRISTALINAS CÚBICAS 
 A estrutura cúbica é uma das que ocorrem com maior freqüência nas substâncias cristalinas e 
é considerada a de maior importância. Dependendo da posição que os átomos ocupam na estrutura 
cúbica, a mesma pode ser classificada em cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica 
de face centrada (CFC). 
A Tabela 4.2 apresenta a estrutura cristalina e propriedades de alguns elementos. 
 
19 
 
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Tabela 4.2- Estrutura cristalina e propriedades de alguns elementos. 
Elemento Símbolo 
Número 
Atômico 
Massa Atômica 
(g/mol) 
Densidade 
à 20 oC (g/m3 ) 
Estrutura 
Cristalina à 20 oC 
Raio 
Atômico (nm) 
Alumínio Al 13 26,98 2,70 CFC 0,143 
Antimônio Sb 51 121,75 6,70 Romboédrica 0,138 
Arsênico As 33 74,93 5,78 Romboédrica 0,125 
Bário Ba 56 137,33 3,50 CCC 0,217 
Berílio Be 4 9,01 1,85 HC 0,113 
Bismuto Bi 83 208,98 9,81 Romboédrica 0,114 
Boro Bo 5 10,81 2,30 Romboédrica 0,046 
Cádmio Cd 48 112,40 8,64 HC 0,149 
Cálcio Ca 20 40,08 1,55 CFC 0,198 
Cério Ce 58 140,12 6,69 HC 0,184 
Césio Cs 55 132,91 1,89 CCC 0,265 
Chumbo Pb 82 207,20 11,36 CFC 0,175 
Cobalto Co 27 58,93 8,83 CCC 0,125 
Cobre Cu 29 63,54 8,93 CFC 0,128 
Cromo Cr 24 51,99 7,19 CCC 0,125 
Enxofre S 16 32,06 2,07 Ortorrômbica 0,104 
Estanho Sn 50 118,69 5,77 TCC 0,158 
Estrôncio Sr 38 87,62 2,60 CFC 0,215 
Ferro Fe 26 55,85 7,87 CCC 0,124 
Gadolínio Gd 64 157,25 7,89 HC 0,179 
Gálio Ga 31 69,72 5,90 Ortorrômbica 0,122 
Germânio Ge 32 72,59 5,32 CFC 0,123 
Háfnio Hf 72 178,49 13,31 HC 0,156 
Índio In 49 114,82 7,29 Tetragonal 0,162 
Irídio Ir 77 192,22 22,65 CFC 0,135 
Ítrio Y 39 88,90 4,47 HC 0,182 
Lantânio La 57 138,91 6,15 HC 0,189 
Lítio Li 3 6,94 0,53 CCC 0,152 
Magnésio Mg 12 24,30 1,74 HC 0,160 
Manganês Mn 25 54,94 7,47 Cúbica 0,112 
Mercúrio Hg 80 200,59 13,55 Romboédrica 0,155 
Molibdênio Mo 42 95,94 10,22 CCC 0,136 
Nióbio Nb 41 92,90 8,57 CCC 0,143 
Níquel Ni 28 58,69 8,90 CFC 0,124 
Ósmio Os 76 190,20 22,57 HC 0,135 
Ouro Au 79 196,97 19.30 CFC 0,144 
Paládio Pd 46 106,40 12,02 CFC 0,137 
Platina Pt 78 195,09 21,45 CFC 0,139 
Polônio Po 84 209 9,19 CCC 0,167 
Potássio K 19 39,09 0,86 CCC 0,231 
Prata Ag 47 107,87 10,49 CFC 0,144 
Rênio Re 75 186,20 21,04 HC 0,138 
Ródio Rh 45 102,91 12,41 HC 0,134 
Rutênio Ru 44 101,07 12,37 HC 0,125 
Silício Si 14 28,08 2,33 CD 0,118 
Sódio Na 11 22,98 0,97 CCC 0,192 
Tântalo Ta 73 180,95 16,60 CCC 0,143 
Tório Th 90 232,04 11,72 CFC 0,180 
Titânio Ti 22 47,88 4,51 HC 0,148 
Tungstênio W 74 183,85 19,25 CCC 0,137 
Urânio U 92 238,03 19,05 Ortorrômbica 0,138 
Vanádio Va 23 50,94 6,10 CCC 0,132 
Zinco Zn 30 65,38 7,13 HC 0,133 
Zircônio Zr 40 91,22 6,51 HC 0,159 
20 
 
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 Cúbico Simples (CS) 
 O arranjo cúbico simples (CS), apesar de pertencer às estruturas cúbicas, não permite alto grau de 
empacotamento. Entretanto, a análise desse arranjo é importante no estudo das outras estruturas cúbicas. 
Nesse arranjo atômico, existe apenas um átomo em cada vértice do cubo. Na estrutura CS, o parâmetro de 
rede, definido por a, corresponde ao tamanho da aresta desse cubo, ou seja, a=2r, onde r é o raio atômico. 
A Figura 4.2 mostra a representação esquemática de tal célula cristalina. 
 Como forma de classificar o nível de ocupação por átomos em uma estrutura cristalina, define-se 
o fator de empacotamento (F.E.), que é dado por: 
 3.1 
onde: N = Número de átomos que efetivamente ocupam a célula; 
 VA = Volume do átomo (4/3..r3); 
 r = Raio do átomo; 
 VC = Volume da célula unitária. 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 4.2 - Representação de uma célula unitária CS: (a) posições dos átomos; (b) arranjo atômico; (c) átomos 
no interior da célula unitária. 
Exemplo 3.2 
 Calcule o fator de empacotamento de uma estrutura cúbica simples. 
 
Solução 
 O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica simples é resultado da soma 
dos átomos presentes em seus vértices. 
 Número de vértices = 8 
 Número de átomos por vértice = 1/8 
 Número total de átomos = 8 . 1/8 = 1 
 Volume ocupado por átomos (VA) = 1 . Volume de 1 átomo = 4/3..r3 
Volume da célula unitária, 
 3
33
C r8 = )(2r = a = V 3.2 
 Fator de Empacotamento, 
21 
 
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 0,52 = 
r 8
r 
3
4
 1
 = F.E.
3
3
 3.3 
ou seja, apenas 52% desta célula unitária são preenchidos por átomos. Devido ao baixo índice de ocupação 
desta célula, os metais não apresentam este tipo de arranjo. Uma única exceção é o polônio (Po). 
 
 Cúbico de Corpo Centrado (CCC) 
 No arranjo cúbico de corpo centrado (CCC) existe um átomo em cada vértice de um cubo e um 
outro átomo no centro do mesmo, como mostra a Figura 4.3. Esta estrutura pode ser encontrada no 
cromo, vanádio, zircônio, tungstênio, tântalo, bário, nióbio, lítio, potássio, etc. O parâmetro de rede a dessa 
estrutura é função da presença do átomo central, e é diferente do caso anterior. Ao se observar a diagonal 
principal da célula unitária dessa estrutura constata-se que seu tamanhocorresponde a quatro raios 
atômicos. Assim, o parâmetro de rede é calculado a partir do teorema de Pitágoras ou: 
( ) )(4r = 2a + a 222 
 
Exemplo 3.3 
 Determine o fator de empacotamento da estrutura cúbica de corpo centrado. 
Solução 
 O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica de corpo centrado é resultado 
da soma dos átomos presentes em seus vértices, mais aquele localizado em seu centro. 
 Número de vértices = 8 
 Número de átomos por vértice = 1/8 
 Número total de átomos = 8.1/8 + 1 = 2 
 Volume ocupado por átomos (VA) = 2 . Volume de 1 átomo = 8/3..r3 
 Volume da célula unitária, 
 
33
r64
 = )
3
r4
( = a = V
3
33
C Fator 
de Empacotamento, 
 0,68 = 
33
r64
r 
3
8
 = F.E.
3
3







 
ou seja, apenas 68% desta célula unitária são efetivamente preenchidos por átomos. 
𝐚 =
𝟒𝐫
√𝟑
 
22 
 
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(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 4.3 - Representação de uma célula unitária CCC: (a) posições dos átomos; (b) arranjo atômico; (c) átomos 
no interior da célula unitária. 
 
 Cúbico de Face Centrada(CFC) 
 O arranjo cúbico de face centrada caracteriza-se por exibir os mesmos átomos nos vértices, 
encontrados nos outros dois arranjos cúbicos anteriores, e mais um átomo em cada face do cubo. A 
estrutura cúbica de face centrada é a estrutura do alumínio, cálcio, chumbo, níquel, cobre, platina, prata, 
ouro, etc. A Figura 4.4 apresenta um diagrama esquemático desta estrutura. O parâmetro de rede no caso 
da estrutura CFC pode ser obtido através da diagonal da face, que tem o tamanho de quatro átomos. 
Usando novamente as relações de um triângulo retângulo, é possível relacionar o parâmetro de rede com 
o raio atômico, ou seja: 
 )(4r = a + a
222 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 4.4 - Representação esquemática de uma célula unitária CFC: (a) posições atômicas; (b) arranjo atômico; 
(c) átomos dentro da célula unitária. 
 
𝐚 =
𝟒𝐫
√𝟐
 
23 
 
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Exemplo 3.4 
 Determine o fator de empacotamento da estrutura cúbica de face centrada. 
Solução 
 O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica de face centrada é resultado 
da soma dos átomos presentes em seus vértices, mais aqueles localizados em suas faces. 
 Número de vértices = 8 
 Número de átomos por vértice = 1/8 
 Número de faces = 6 
 Número de átomos por face = 1/2 
 Número total de átomos = 8.1/8 + 6.1/2 = 4 
 Volume ocupado por átomos (VA) = 4 . Volume de 1 átomo = 16/3..r3 
 Volume da célula unitária, 
 2r16
2
r32
 = )
2
r4
( = a = V
3
3
33
C = 
 Fator de Empacotamento, 
 
( )
0,74 = 
r216
r 
3
16
 = F.E.
3
3
 
4.4 ESTRUTURAS CRISTALINAS HEXAGONAIS 
 As estruturas cristalinas hexagonais, juntamente com as estruturas cúbicas, formam os arranjos 
atômicos dos principais cristais elementares ou aqueles formados por um único átomo. Desses cristais, mais 
da metade apresenta estrutura cúbica, um terço exibe estrutura hexagonal e os cristais restantes estão 
distribuídos entre os outros tipos estruturais. Isto faz com que a estrutura hexagonal tenha grande 
importância em cristalografia, o que torna necessário o estudo da mesma. Existem dois tipos de arranjo 
hexagonal, quais sejam: hexagonal simples e hexagonal compacto. 
 A estrutura hexagonal simples é formada por átomos posicionados nos vértices de dois hexágonos 
sobrepostos. Outros dois átomos localizam-se no centro de cada hexágono. A estrutura cristalina hexagonal 
simples pode ser representada pelo arranjo mostrado na Figura 4.5. Nesse caso, o parâmetro a é igual ao 
parâmetro c. Os ângulos basais são de 1200 e os verticais de 900. Esta estrutura cristalina pode ser 
encontrada no selênio e no telúrio. O número de átomos existentes no interior de uma célula hexagonal 
simples é três. O fator de empacotamento de cristais hexagonais simples é calculado da mesma forma feita 
anteriormente, sendo novamente necessário determinar o volume de uma célula unitária desta estrutura. 
Tal volume é dado por: 
 3r12 = V
3
C 3.12 
 O F.E. resulta em: 
24 
 
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 0,60 = 
3r12
r
3
4
3
 = F.E.
3
3
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 4.5 - Representação esquemática de uma célula unitária HS: (a) posições atômicas; (b) arranjo atômico; 
(c) átomos dentro da célula unitária. 
 A estrutura hexagonal compacta é formada por dois hexágonos sobrepostos e entre eles existe um 
plano intermediário de três átomos. Nos hexágonos, novamente, existem seis átomos nos vértices e um 
outro no centro. 
 A estrutura cristalina hexagonal compacta pode ser observada na Figura 4.6. Neste caso, o 
parâmetro de rede a é diferente do parâmetro c. Os ângulos basais são novamente iguais a 120o e os 
verticais de 90o. A estrutura HC pode ser observada no berílio, berquélio, lítio, magnésio, cádmio, cobalto, 
titânio, etc. O número de átomos que efetivamente encontram-se dentro de uma célula unitária HC é igual 
a 6. 
 O fator de empacotamento é calculado da mesma maneira efetuada anteriormente, e o volume 
da célula unitária é igual a: 
 224r = V
3
C 
que resulta em: 
 0,74 = 
224r
r
3
4
6
 = F.E.
3
3
 
25 
 
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(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 4.6 - Representação esquemática de uma célula unitária HC: (a) posições atômicas; (b) arranjo atômico; 
(c) átomos dentro da célula unitária. 
 
4.5 DIREÇÕES E PLANOS EM CRISTAIS 
 
 Ao se tratar com materiais cristalinos, com frequência se torna necessário especificar algum plano 
cristalográfico de átomos específico ou uma direção cristalográfica. Foram estabelecidas convenções de 
identificação onde três números inteiros ou índices são utilizados para designar as direções e os planos. 
 
 Direções Cristalográficas 
 Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois pontos, ou um vetor. 
 No sistema cúbico, as direções cristalográficas são obtidas a partir das componentes da direção em 
questão, tomadas nos três eixos cartesianos. Para indicar esquematicamente uma determinada direção em 
uma célula unitária, desenha-se um vetor que parte da origem e atinge a posição definida pelas 
coordenadas consideradas ou ainda, um vetor que parte da origem até o ponto (x,y,z). 
 No sistema cúbico, as direções cristalográficas são obtidas a partir das componentes da direção em 
questão, tomadas nos três eixos cartesianos. Para indicar esquematicamente uma direção em uma célula 
unitária, desenha-se um vetor que parte da ORIGEM e atinge a posição definida pelas coordenadas 
consideradas. Assim, para se obter uma direção em um cristal, deve-se observar que: 
• Os eixos cristalinos são utilizados como direções básicas; 
• As coordenadas de um ponto são medidas em relação ao parâmetro de cada eixo e assim, 
não representam valores reais de distância; 
• A direção [222] é idêntica à direção [111] e dessa forma, a combinação dos menores 
números inteiros deve ser utilizada; 
• As direções negativas são indicadas com um traço sobre o índice; 
• Uma direção é representada por índices entre colchetes. 
26 
 
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Figura 4.7 - Direções em uma célula unitária cúbica. 
 
 
 Planos Cristalográficos 
 
 As orientações dos planos para uma estrutura cristalina são representadas de uma maneira 
semelhante. 
 A identificação dos índices de Miller para um cristal cúbico envolve as seguintes regras: 
a. Plano a ser determinado não pode passar pela origem (0,0,0); 
b. Planos paralelos são equivalentes; 
c. Obtenção dos pontos de interceptação do plano com os eixos x, y e z; 
d. Obtençãodos inversos das interceptações: h=1/a, k=1/b e l=1/c; 
e. Obtenção do menor conjunto de números inteiros; 
f. Índices obtidos devem ser apresentados entre parênteses: (hkl); 
g. Índices negativos são representados por uma barra sobre os mesmos: )klh( ; 
 Em uma estrutura cúbica, os planos atômicos são importantes no tocante ao comportamento 
mecânico. A Figura 4.8 exemplifica alguns planos desse tipo de estrutura. 
 
Figura 4.8 - Planos cristalográficos em estruturas cúbicas. 
27 
 
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4.6 DENSIDADES ATÔMICA EM CRISTAIS 
 Dentre os planos e direções de um cristal, alguns revelam ser mais compactos que outros, ou seja, 
possuem mais átomos por unidade de comprimento ou de área. A definição de uma direção compacta 
envolve a definição de densidade linear de átomos. Essa densidade é obtida determinando o número de 
átomos que efetivamente estão contidos em um determinado comprimento. 
 
 Densidade Atômica Linear 
 
A Densidade Atômica Linear é dada pelo comprimento total dos átomos envolvidos na direção 
dividido pelo comprimento da direção. Expresso pela fórmula: 
direção da 
átomos dos total ocompriment 
DAL
ocompriment
= 
 
Exemplo 02: Calcule a DAL da direção [100] na rede CFC 
 
• Para calcular a DAL, temos que saber o número átomos que a direção corta e o comprimento da 
direção. 
• Para a direção [100] percebe-se que tocam a medida de 1 átomo inteiro (1R+1R). Logo, o 
comprimento total de átomos é 2R. 
 
 
O comprimento da direção é dado pelo parâmetro de rede (a) (distância entre os centros dos 
raios). Para a rede CFC, observe como calcular o parâmetro de rede “a”: 
 
22 2 aD = e RD = 4 𝐷 = 4 × 𝑅, logo: 
22 2)4( aR = 
22 216 aR = 
228 aR = 
22Ra = 
 
Daí pode-se calcular a Densidade Atômica Linear: 
 
28 
 
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707,0
2
1
22
2
===
R
R
DAL 
 
 Densidade Atômica Planar 
A Densidade Atômica Planar é dada por: 
Plano do 
Átomos de Total Área 
DAP
Área
= 
 
Exemplo 04: Calcule a DAP no plano (100) na rede CFC 
 
O plano formado possui um número total de átomos expresso 
por: 21
4
1
4 =+ 
Área dos átomos = 22 R 
Área do plano = 
222 822 RaRaa =→=→ 
Assim: 785,0
48R
R2
D
2
2
AP ==

=

 
 
 
Exemplo 05: Calcule a DAP no plano (110) na rede CCC 
 
O plano formado possui um número total de átomos expresso 
por: 21
4
1
4 =+ 
Área dos átomos = 22 R 
Área do plano = 2a :logo , 2d 2f aeadf =→ 
Portanto a Área do plano: 
3
216
2
3
4 2
2

→




  RR
 
Assim: 833,0
216
32
3
2R16
R2
D
2
2
AP =

=


=

 
EXERCÍCIOS 
 
1. A menor unidade de repetição que descreve completamente o padrão de uma estrutura é 
denominada: 
a) parâmetro de rede 
b) ligação iônica 
c) célula unitária 
d) átomo 
e) elétron 
2. Para os arranjos cristalinos cúbico simples, cúbico de corpo centrado e estrutura cúbica de face 
centrada responda: 
a) Nºde átomos por cela unitária 
29 
 
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b) Fator de empacotamento atômico 
 
3. Esboce dentro de uma célula unitária cúbica os seguintes planos: (a) (112); (b) (102); (c) (100); (d) 
(110); (e) (111). 
 
4. Esboce dentro de uma célula unitária cúbica as seguintes direções: (a) [111]; (b) [101]; (c) [100]; (d) 
[110]; (e) [001]. 
 
5. Calcule a DAP nos seguintes planos na rede CFC. 
a)(100) b)(111) 
 
6. Calcule a DAl nas seguintes direções na rede CCC 
a)[110] b)[111] 
 
7. Quais são os 7 sistemas cristalinos? 
 
8. Calcule e compare as densidades lineares das direções [100], [110] e [111] para a estrutura cristalina 
CFC. Qual a mais densa? 
 
9. Qual o número de átomos (ou número de pontos de rede) das células unitárias do sistema cúbico 
(CS, CCC e CFC)? 
 
10. Calcule e compare as densidades planares dos planos (100) e (110) para a estrutura cristalina CCC. 
 
11. Qual é a relação entre tamanho da aresta "a" da célula CCC e raio atômico? 
 
12. Qual é a relação entre tamanho da aresta "a" da célula CFC e raio atômico? 
 
 
 
30 
 
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5 IMPERFEIÇÕES CRISTALINAS 
 
Defeito cristalino é uma imperfeição ou um "erro" no arranjo periódico regular dos átomos em um 
cristal. Na realidade, os cristais nunca são perfeitos e contêm vários tipos de imperfeições e defeitos, que 
afetam muitas das suas propriedades físicas e mecânicas, o que, por sua vez, altera propriedades de 
engenharia importantes, tais como a plasticidade (a frio) das ligas, a condutividade eletrônica dos 
semicondutores (condutividade dos semicondutores depende das impurezas presentes) a velocidade de 
migração dos átomos nas ligas (a difusão atômica pode ser acelerada pelas impurezas e imperfeições) a cor 
e luminescência de muitos cristais se devem as impurezas ou imperfeições, assim como a corrosão dos 
metais. 
Os defeitos são importantes, mesmo em concentrações muito pequenas, porque podem causar 
uma mudança significativa nas propriedades de um material. 
Por exemplo, sem a presença de defeitos: 
• os dispositivos eletrônicos do estado sólido não existiriam; 
• os metais seriam muito mais resistentes; 
• os cerâmicos seriam muito mais tenazes; 
• os cristais não teriam nenhuma cor. 
As imperfeições nas redes cristalinas são classificadas de acordo com a sua geometria e forma. 
Podem envolver uma irregularidade na posição dos átomos ou no tipo de átomos. 
O tipo e o número de defeitos dependem do material, do meio ambiente, e das circunstâncias sob 
as quais o cristal é processado. Os tipos de defeitos podem ser definidos como: 
• Defeitos pontuais: irregularidades que se estendem sobre somente alguns átomos (defeitos 
adimensionais - dimensão zero), podendo ser lacunas, intersticiais ou substitucionais; 
• Defeitos lineares: irregularidades que se estendem através de uma única fileira de átomos 
(unidimensionais), podendo ser discordâncias em hélice ou discordâncias em cunha; 
• Defeitos planares: irregularidades que se estendem através de um plano de átomos 
(bidimensionais, que incluem as superfícies exteriores e os limites de grão interiores), podendo ser 
contornos de pequeno ângulo, contornos de grão, interface precipitado - matriz; 
• Defeitos volumétricos: defeitos macroscópicos tridimensionais se estendem sobre o conjunto 
dos átomos na estrutura ou no volume. Como exemplos destes defeitos pode-se citar os poros, as fendas, 
os precipitados e as inclusões. 
5.1 Defeitos pontuais 
 
O defeito pontual mais simples é a lacuna, que corresponde a uma posição atômica na qual falta 
um átomo (Figura 5.1a). As lacunas podem ser originadas durante a solidificação, como resultado de 
perturbações locais durante o crescimento dos cristais, ou podem ser criadas pelo rearranjo dos átomos de 
um cristal, devido à mobilidade atômica. 
Todos os sólidos cristalinos contêm lacunas e, na realidade, não é possível criar um material que 
esteja livre desse tipo de defeito. 
31 
 
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(a) 
 
(b) 
Figura 5.1 - Defeitos pontuais: (a) lacuna e (b) auto-intersticial ou intersticial, na rede de um metal sólido 
compacto. 
 
Um átomo de um cristal pode, por vezes, ocupar um interstício entre os átomos vizinhos em 
posições atômicas normais (Figura 5.1b). Este tipo de defeito pontual é designado por auto-intersticial ou 
intersticial. Assim, um defeito autointersticial deve-se a um átomo do cristal posicionado em um sítio 
intersticial, que em circunstâncias normais estaria vago (Figura 5.2). Geralmente, estes defeitos não 
ocorrem naturalmente por causa da distorção que originam na estrutura, mas podem ser introduzidos por 
irradiação.Figura 5.2 - Defeito auto-intersticial e sítio intersticial vago. 
 Defeitos intersticiais 
A presença de um átomo em uma posição que não pertence à estrutura do cristal perfeito 
(Figura 5.3) como a ocupação de um vazio intersticial, por exemplo, significa uma distorção na estrutura 
devido ao desajuste causado pela presença deste átomo (tem efeito endurecedor). É importante 
lembrar que de acordo com a curva do potencial de ligação, desvios ou distorções na distância 
interatômica de equilíbrio causam aumento de energia. Ocorre quando átomos têm tamanho muito 
menor do que o solvente. Tem maior mobilidade na rede, pois interdifusão não exige mecanismo de 
lacunas. Caso do H e do C nos aços. 
32 
 
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Figura 5.3 - Defeito Instersticial. 
 Defeito substitucional 
 
Ocorre quando átomos têm tamanhos próximos aqueles da matriz (Figura 5.4) com diferenças 
entre raios menor que 15 %. Gera distorção no reticulado: introduz tensões, atua como barreira ao 
movimento de discordâncias e aumenta a resistência do material. É mais difícil se mover (interdifusão) 
pela rede cristalina. Exemplos: Ni em aços inoxidáveis austeníticos esta dissolvido na austenita e Zn 
(abaixo de 30 %) no cobre forma latão. 
 
Figura 5.4 - Solução sólida substitucional. 
 
 Defeitos pontuais em sólidos iônicos 
Em cristais iônicos, os defeitos pontuais exibem caráter mais complexo devido à necessidade 
de manter a neutralidade elétrica do sistema. O caso de um defeito estrutural em que dois íons de 
cargas opostas perdidos dentro da estrutura entram em contato, criando uma lacuna, caracteriza o 
defeito de Schottky. Quando um íon positivo move-se para uma posição intersticial do cristal iônico, 
cria-se uma “lacuna cátion”, conhecida como defeito de Frenkel. Esses defeitos estão ilustrados na 
Figura 5.3. 
33 
 
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Figura 5.5 - Representação bidimensional de um cristal iônico mostrando os defeitos de Schottky e de Frenkel. 
A presença desses defeitos em cristais iônicos aumenta a condutividade elétrica dos mesmos. 
 
5.2 Defeitos lineares (discordâncias) 
Nos sólidos cristalinos, os defeitos lineares ou discordâncias são defeitos que originam uma 
distorção da rede centrada em torno de uma linha. As discordâncias são originadas durante a 
solidificação dos sólidos cristalinos. Podem também ser originadas por deformação plástica, ou 
permanente, de sólidos cristalinos, por condensação de lacunas e por desajustamentos atômicos em 
soluções sólidas. 
Os dois principais tipos de defeitos lineares são: discordâncias em linha, cunha (aresta) e em 
hélice espiral (ou parafuso). A combinação destes dois tipos origina as discordâncias mistas, que têm 
componentes cunha (aresta) e parafuso (espiral). 
 
 Discordância em cunha 
Pode-se criar uma discordância em cunha (aresta), num cristal, por inserção de um semi-plano 
atômico adicional (ou extra), resultante do deslocamento de um plano atômico em sentidos opostos, 
(Figura 5.6a), imediatamente acima do símbolo T. O "tê" invertido. ⊥, indica uma discordância cunha 
positiva, enquanto que o "tê" normal, T, indica uma discordância cunha negativa. O deslocamento dos 
átomos em torno da discordância é designado por vetor de escorregamento ou vetor de Burgers b e é 
perpendicular à linha da discordância cunha (Figura 5.6b). 
 
Figura 5.6 - Posições atômicas em torno de uma discordância em cunha positiva. 
 
34 
 
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 Discordância em hélice 
 
Uma discordância em hélice, também chamada de discordância em espiral ou discordância em 
parafuso, ocorre quando o empilhamento atômico em torno da linha da discordância é feito na forma 
de uma mola helicoidal, conforme mostra a Figura 5.7. 
 
 (a) 
 
(b) 
Figura 5.7 - (a) Discordância em Hélice e (b) Discordância em Hélice vista de cima. (Callister). 
 
 Discordância Mista 
 
A discordância mista tem os componentes em cunha e em hélice, com uma região de transição 
entre eles; o vetor de Burgers, no entanto, permanece o mesmo em todas as regiões da discordância 
(Figura 5.8). 
 
Figura 5.8 - Representação esquemática de uma discordância mista. 
 
5.3 Defeitos Interfaciais 
 
Os defeitos interfaciais são defeitos bidimensionais que aparecem em cristais em que 
normalmente o material apresenta estruturas cristalinas ou orientações cristalográficas diferentes. 
35 
 
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Esses defeitos podem ser divididos em: superfícies externas, contornos de grão, contornos de fase e 
contornos de macla. 
 
 Superfícies externas 
 
Nos defeitos de superfície externa, cada átomo na superfície já não apresenta o número de 
coordenação adequado e as ligações atômicas já se encontram rompidas e, assim, os átomos 
encontram-se em estado de maior energia. 
• É o mais óbvio; 
• Na superfície os átomos não estão completamente ligados; 
• Então o estado energia dos átomos na superfície é maior que no interior do cristal; 
• Os materiais tendem a minimizar está energia; 
• A energia superficial é expressa em erg/cm2 ou J/m2). 
 
 
 Contornos de fase 
Os contornos de fases, existem nos materiais multifásicos, nos quais há uma fase diferente em 
cada lado do contorno; adicionalmente cada uma das fases constituintes possui suas próprias 
características físicas e/ou químicas distintas. 
 
 Contorno de grão 
 
Considerações gerais sobre contorno de grão: 
• Há um empacotamento ATÔMICO menos eficiente 
• Há uma energia mais elevada 
• Favorece a nucleação de novas fases (segregação) 
• Favorece a difusão 
• O contorno de grão ancora o movimento das discordâncias 
 
 Contornos de macla 
 
Ocorrem quando parte da rede cristalina é deformada, de modo a formar uma imagem 
especular da parte não deformada (Figura 4.38). 
36 
 
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Figura 5.9 - Plano de macla. 
O plano cristalográfico de simetria entre as regiões deformada e não deformada é chamado de 
plano de maclação ou contorno de macla. 
As maclas podem ser produzidas em certos materiais metálicos, a partir de tensões mecânicas 
ou térmicas oriundas de processos de deformação ou tratamento térmico, pela produção de uma força 
de cisalhamento atuando ao longo do contorno de macla, causando a mudança de posição dos átomos. 
 
5.4 Defeitos volumétricos ou de massa 
 
Outro tipo de defeito encontrado nos materiais sólidos são os defeitos volumétricos. É comum 
dividi-los em quatro classes que se baseiam na combinação do tamanho e efeito da partícula: 
Precipitados – são pequenas partículas introduzidas na matriz de uma reação no estado sólido e que 
aumentam a resistência das ligas estruturais; Dispersantes – são partículas maiores que se comportam 
como uma segunda fase e adicionalmente influenciam o comportamento da fase primária; Inclusões – 
são geralmente constituintes indesejáveis na microestrutura; Vazios (ou poros) – são causadas por gases 
que estão presos durante a solidificação ou por condensação vaga no estado sólido e são quase sempre 
defeitos indesejáveis. 
Estes defeitos são normalmente introduzidos durantes as etapas de processamento do material 
e/ou na fabricação do componente. As figuras subsequentes ilustram alguns defeitos volumétricos. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Explique que é uma imperfeição ou defeito cristalino. 
2. Como são classificadas as imperfeições cristalinas de acordo com a geometria ou 
dimensionalidade do defeito. Explique. 
3. Como são classificadas as discordâncias e quais são as principais causas da sua formação. 
4. Quais os tipos de defeitos interfaciais e volumétricos? 
 
37 
 
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6 DIFUSÃO 
 
A difusão é um fenômeno que ocorre no interior de materiais sólidos, líquidos e gasosos e, 
genericamente, poder ser definida como o fluxo de átomos ou espécies de uma região de elevada 
concentração a uma região de baixa concentração e que dependem essencialmente do gradiente de 
concentração e da temperatura (ASKELAND; WRIGHT, 2014). 
Nos casos em que o conceito de difusão está associado a um determinado tipo de material é 
comum encontrarmos definições que utilizam termos mais específicos quanto à natureza do material 
como: 
- Difusão é o fenômeno de transporte de matéria por movimento: atômico (nos metais), íons (nas 
cerâmicas) e macromoléculas (nos polímeros) que dependem do gradiente de concentração e 
temperatura. Atualmente vários processos tecnológicos importantes necessitam do controle do 
aumento ou da diminuição da difusão, como o endurecimento superficial de aços na condutividade 
elétrica de materiais cerâmicos condutores, em componentes microeletrônicos e fibras ópticas 
(ASKELAND; WRIGHT, 2014). 
E quando ocorre a difusão? Vejamos alguns exemplos: observe a Figura 7.1, nela temos algumas 
partículas dissolvidas em um copo com água. Inicialmente essas partículas encontram-se próximas ou 
agrupadas (Figura 7.1a), posteriormente, observa-se que se todas as partículas se movem 
aleatoriamente em torno da água, as partículas irão eventualmente se distribuir de forma aleatória e 
uniforme, e a difusão continuará ocorrendo mesmo sem o fluxo da água (Figura 7.1b). 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 6.1 - Representação esquemática da difusão de partículas em meio líquido. 
Nos materiais sólidos o fenômeno é o mesmo, no entanto, não é tão simples de se observar, 
mas podemos fazer uma analogia com a difusão da tintura roxa. Vamos imaginar uma barra de cobre e 
uma barra de níquel que estão intimamente em contato entre as duas faces (Figura 7.2). 
 
Figura 6.2 - Representação esquemática das barras de cobre (Cu) e Níquel (Ni) e seus respectivos átomos. 
38 
 
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Se as barras fossem aquecidas a uma temperatura elevada (inferior à temperatura de fusão) 
durante um certo período de tempo e posteriormente fossem resfriadas, uma análise química indicaria 
o que está representado na Figura 7.2, ou seja, os átomos de cobre que se difundiram com os átomos 
de níquel e os átomos de níquel que se difundiram com os átomos de cobre. Esse processo em que 
átomos de um metal difundem (migram) para o interior de outro metal é denominado interdifusão ou 
difusão de impurezas. 
 
Figura 6.3 - Representação esquemática da difusão de impurezas (Cu-Ni). 
Esse processo, no qual os átomos de um metal se difundem para o interior do outro metal, é 
denominado interdifusão, ou difusão de impurezas. 
 
6.1 Mecanismos de Difusão 
De uma perspectiva atômica, a difusão consiste simplesmente na migração passo a passo dos 
átomos de uma posição para outra na rede cristalina. 
Para ocorrer a movimentação de átomos são necessárias duas condições: 
(1) deve existir um espaço livre adjacente ao átomo; 
(2) o átomo deve possuir energia suficiente para quebrar as ligações químicas que o une a seus 
átomos vizinhos e então causar uma distorção no reticulado cristalino durante seu deslocamento. 
Foram propostos vários mecanismos diferentes para explicar o movimento atômico durante a 
difusão; deles, dois são dominantes para a difusão em metais, a DIFUSÃO POR LACUNAS (ou DIFUSÃO 
SUBSTITUCIONAL) e a DIFUSÃO INTERSTICIAL. 
Na DIFUSÃO POR LACUNAS um átomo (hospedeiro ou substitucional) se desloca de uma posição 
normal da rede cristalina para um sítio vago, ou lacuna, adjacente. 
 
Figura 6.4 - Representação esquemática da difusão por lacunas. 
Obviamente, esse processo necessita da presença de lacunas, e a extensão que a difusão por 
lacunas pode ocorrer é uma função do número desses defeitos que estejam presentes; em 
temperaturas elevadas, podem existir concentrações significativas de lacunas nos metais. 
Na DIFUSÃO INTERSTICIAL átomos intersticiais migram para posições intersticiais adjacentes 
não ocupadas do reticulado. 
39 
 
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Figura 6.5 - Representação esquemática da difusão intersticial. 
Em metais e ligas, a difusão intersticial é um mecanismo importante para a difusão de impurezas 
de raio atômico pequeno em relação aos do hospedeiro. Exemplos: hidrogênio, carbono, nitrogênio e 
oxigênio no aço. 
 
6.2 Difusão em Regime Estacionário 
A difusão é um processo dependente do tempo - ou seja, em um sentido macroscópico, a 
quantidade de um elemento que é transportado no interior de outro elemento é uma função do tempo. 
Frequentemente, é necessário saber o quão rápido ocorre a difusão, ou seja, a taxa de transferência de 
massa. Essa taxa é normalmente expressa como um fluxo difusional (J), que é definido como a massa M 
que se difunde através e perpendicularmente a uma seção transversal de área unitária do sólido, por 
unidade de tempo. Matematicamente, isso pode ser representado como: 
 
em que A representa a área através da qual a difusão está ocorrendo e t é o tempo de difusão decorrido. 
Na forma diferencial, essa expressão torna-se: 
 
Se o fluxo difusional não varia com o tempo, existe uma condição de regime estacionário. Um 
exemplo comum de difusão em regime estacionário é a difusão dos átomos de um gás através de uma 
placa metálica para a qual as concentrações (ou pressões) do componente em difusão sobre ambas 
superfícies da placa são mantidas constantes. 
O equacionamento matemático do processo de difusão em regime estacionário em uma única 
direção (x) é relativamente simples, já que o fluxo é proporcional ao gradiente de concentração, de 
acordo com a primeira lei de Fick, como apresentado na equação abaixo: 
 
A constante de proporcionalidade D é chamada de coeficiente de difusão, e é expressa em 
metros quadrados por segundo. O sinal negativo nessa expressão indica que a direção da difusão se dá 
contra o gradiente de concentração, isto é, da concentração mais alta para a mais baixa. 
 
 
𝐽 = 
𝑀
𝐴𝑡
 
 
𝐽 = 
1
𝐴
𝑑𝑀
𝑑𝑡
 
 
𝐽 = −𝐷
𝑑𝐶
𝑑𝑥
 
 
40 
 
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PROBLEMA EXEMPLO 
Uma placa de ferro é exposta a uma atmosfera carbonetante (rica em carbono) por um de seus lados, 
e a uma atmosfera carbonetante (deficiente em carbono) pelo outro lado, a 700°C. Se uma condição 
de estado estacionário é atingida, calcule o fluxo de difusão do carbono através da placa, sabendo-
se que as concentrações de carbono nas posições a 5 e a 10 mm (5 x 10-3 e 10-2 m) abaixo da superfície 
carbonetante são de 1,2 e 0,8 kg/m3, respectivamente. Suponha um coeficiente de difusão de 3x10-
11 m2/s a essa temperatura. 
 
Figura 6.6 - (a) Difusão em regime estacionário através de uma placa fina. (b) Um perfil de concentrações 
linearpara a situação de difusão representada em (a). 
𝐽 = −𝐷
𝐶𝐴 − 𝐶𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
= − (3 𝑥
10−11𝑚2
𝑠
)
(1,2 − 0,8)𝑘𝑔
𝑚3
5 𝑥 10−3 − 10−2)𝑚
= 2,4 𝑥
10−9𝑘𝑔
𝑚2
. 𝑠 
 
 
6.3 Difusão em Regime Não Estacionário 
 
A maioria das situações ocorre a difusão em regime transiente ou não estacionário em que o 
fluxo de difusão e a concentração de gradiente em um determinado ponto no interior do sólido variam 
com o tempo. Assim, faz-se necessária a segunda lei de Fick, expressa pela Equação abaixo: 
 
Caso seja estabelecido que o coeficiente de difusão D não é uma função da posição x e da 
concentração C do átomo em difusão, a equação que corresponde à segunda lei de Fick pode ser 
reescrita de maneira simplificada conforme a Equação abaixo: 
 
A solução dessa expressão depende das condições inicias e de contorno em cada situação