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das A Gabarito utoatividades MECÂNICA Prof.ª Margaret Luzia Froehlich 3UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE MECÂNICA UNIDADE 1 TÓPICO 1 1 Dado o vetor e o escalar encontre o vetor resultante do produto entre eles. R.: 2 Dado o vetor e o escalar t = 2, encontre o vetor resultante do produto entre eles. R.: 3 Dados os vetores encontre o produto escalar entre eles. Encontre também o ângulo entre eles. R.: 4 Dados os vetores encontre o produto vetorial entre eles. R.: 4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A 5 Dados os vetores encontre o vetor resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo. R.: 6 Dado o vetor no espaço plano formado pelos eixos x e y, encontre as suas componentes nas direções x e y, sabendo que o vetor forma um ângulo de 30º com o eixo x. R.: O vetor tem componente x igual a 3 e componente y igual a -5. O ângulo que este vetor forma com o eixo x é de 600 e não de 300, pois TÓPICO 2 1 A posição r de uma partícula que se move num plano xy é dada por r = (4t³ – 6t)i + (8 – 2t4)j com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: a) r b) v c) a para t = 3s. 5UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A R.: a) Com o tempo igual a 3 segundos encontramos, b) Calculando a primeira derivada do vetor posição, encontramos o vetor velocidade em termos do tempo, substituindo o tempo temos, c) Calculando a derivada do vetor velocidade (derivada segunda da posição), encontramos o vetor aceleração em termos do tempo, Substituindo o tempo temos, 2 A velocidade v de uma partícula que se move sobre o plano xy é dada por v = (15t – 5t²)i + (6 - 2t)j, com v em m/s e t em segundos. a) Qual é a aceleração quando t = 1,0 s? b) Quando (se acontecer) a aceleração é nula? c) Quando (se acontecer) a velocidade é nula? R.: a) Sendo a velocidade dada por podemos encontrar a aceleração derivando a expressão acima, e depois substituir o tempo de 1 s, 6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A b) A aceleração não será nula em nenhum momento, pois podemos ver na expressão em função do tempo que encontramos acima que a componente associada ao versor é constante, pois não depende do tempo. c) Para que a velocidade seja nula, precisamos encontrar um valor para o tempo que anule as duas componentes, assim utilizando e igualando cada um dos termos a zero encontramos, Portanto, no tempo 3 segundos a velocidade se anula. 3 A partir da expressão x = t³ – 6t² – 15t + 40 onde x(m), t(s), podemos descrever o deslocamento de um ponto material. Encontre: a) O instante em que a velocidade será nula. b) A posição e a distância percorrida pelo ponto material até esse instante. c) A aceleração nesse instante. d) Esboce os gráficos. R.: a) Desprezando o resultado negativo, temos que a velocidade será nula em t = 5 s. 7UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A b) c) d) 8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A 4 Uma unidade de área frequentemente usada na medição de áreas de terrenos é o hectare, definido como 104 m2. Uma mina de carvão de escavação aberta consome 75 hectares de terra, até uma profundidade de 26m a cada ano. Qual é o volume de terra removido por ano em quilômetros cúbicos? R.: Utilizando o fator de conversão de unidades encontramos que, 9UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A O volume é dado pela expressão, Novamente utilizamos o fator de conversão para encontrar o volume em km3. 5 Encontre os componentes da velocidade e da aceleração da partícula no tempo de 2 segundos de um ponto material governado pela expressão a seguir. R.: TÓPICO 3 1 Uma pedra é lançada de uma catapulta em t=0, com uma velocidade inicial de módulo 20,0 m/s em um ângulo de 40º acima da horizontal. Quais são os módulos dos componentes: (a) horizontal (b) vertical do seu deslocamento em relação à catapulta em t = 1,10s? Repita para as componentes (c) horizontal e (d) vertical em t = 1,80 s e para as componentes (e) horizontal e (f) vertical em t = 5,00 s. R.: a) As equações que descrevem o movimento em cada direção são: 10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A e com a posição inicial na origem temos as seguintes equações para os dois eixos coordenados Substituindo o tempo de 1,10 s na primeira encontramos a componente horizontal, b) a componente vertical é dada pela segunda equação, c) analogamente, d) e) f) 2 Um peixe, nadando em um plano horizontal, tem velocidade vi = (5,00i + 2,00j)m/s em um ponto no oceano em que o deslocamento em relação a uma certa pedra é r i = (9,0i – 3,00j)m. Após o peixe nadar com aceleração constante por 15,0s, sua velocidade é v = (16,0i - 4,00j) m/s. Quais são as componentes da aceleração? R.: Da definição de aceleração encontramos: 11UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A Assim sendo, as componentes procuradas são: e 3 Uma pedra é projetada sobre um rochedo íngreme de altura h com velocidade inicial de 40 m/s direcionada em um ângulo de 50º acima da horizontal. A pedra cai em um ponto A, 4,0 s após o lançamento. Encontre (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A, e (c) a altura máxima H alcançada acima do chão. R.: a) A altura h é a coordenada y do deslocamento como tempo igual a 4,0 s e dada pela equação Sendo que substituindo encontramos a velocidade inicial na direção y como sendo, Sabendo que quando a pedra foi lançada ela se encontrava na origem das posições e que a aceleração da gravidade vale 29,8m/s=g podemos encontrar a altura do rochedo, , yh = 12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A b) Para encontrar a velocidade da pedra ao bater no rochedo precisamos encontrar as coordenadas de x e y para a velocidade e calcular o seu módulo, na direção x o movimento é uniforme, portanto a velocidade nesta direção é constante, assim: A velocidade na direção y pode ser encontrada mediante a equação, Encontramos o vetor velocidade como sendo e o seu módulo, c) Na altura máxima a componente y da velocidade é igual a zero, Podemos utilizar a equação da velocidade em y para encontrar o tempo e utilizar na equação da posição de y para determinar a altura máxima H. 0=yv . 13UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A Substituindo esse tempo na equação para y, encontramos 4 De um elevador em movimento ascendente, de velocidade 3,66 m/s, abandona-se uma pedra que atinge o fundo do poço em 2,5s. A que altura estava o elevador no momento do abandono da pedra? Qual a velocidade da pedra no instante do choque com o solo. R.: 5 De uma janela de um prédio, localizada a 20m acima do solo, arremessa-se verticalmente para cima, uma bola com velocidade de 10m/s. Sabendo-se que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81m/s2, para baixo, escreva uma expressão para a velocidade v e para a elevação y da bola, relativamente ao solo, para qualquer instante t. Determinar o instante em que a bola atinge a elevação máxima e o seu valor em y correspondente. R.: 14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A TÓPICO 4 1 Um ciclista, correndo a 10m/s, contorna uma curva com um raio de 25m. Qual é o módulo da sua aceleração? R.: 2 Um bloquinho A repousa sobre uma placa horizontal que gira em torno de um eixo fixo em O. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante de 0,5 rad/s2. Sabendo que r = 0,2m, determine o módulo da aceleração total do bloco, quando (a) t = 0, (b) t = 1s e (c) t = 2s. Situação apresentada na figura a seguir. FIGURA 33 – PLACA GIRATÓRIA FONTE: A autora 15UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A R.: a) b) c) 16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADESUNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A 3 Uma fita de computador move-se entre dois tambores. Durante um intervalo de 3s, a velocidade da fita aumenta uniformemente de v0 = 0,620m / s a v1 = 1,54m / s. Sabendo que a fita não escorrega nos tambores, determine (a) a aceleração angular do tambor B e (b) a número de revoluções executadas pelo tambor B durante esse intervalo de tempo. FIGURA 34 – FITA DE COMPUTADOR FONTE: A autora a) b) 17UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A 4 Calcule o valor mínimo do raio de uma curva, se a componente normal da aceleração de um carro a 26,8 m/s não puder exceder 0,762m/s2? R.: 5 Um jogador de golfe lança uma bola a partir da origem com uma velocidade inicial de 50 m/s e um ângulo de 25 graus com a horizontal. Determine o raio de curvatura da trajetória descrita pela bola no ponto mais alto da trajetória. R. 209,3 m. R.: 18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A 6 Para testar seu desempenho, um carro é dirigido ao redor de uma pista circular de teste de diâmetro d. Determine o valor de d quando a velocidade escalar do carro for de 72km/h, e seu componente normal da aceleração for de 3,2 m/s². Determine a velocidade escalar do carro. R.: 19UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A UNIDADE 2 TÓPICO 1 1 Um bloco com massa m = 8,0kg desliza com velocidade v= 4,0m/s em um piso sem atrito, no sentido positivo de um eixo x. Repentinamente, ele se parte em dois pedaços. Um pedaço, de massa m1 = 2,0kg, se desloca no sentido positivo do eixo x com velocidade v1 = 8,0m/s. Qual a velocidade do segundo pedaço, de massa m2? R.: Utilizando o princípio de conservação temos, Onde usamos o fato de que 2 Duas forças horizontais atuam sobre um corpo de 2,0kg que pode deslizar sobre uma superfície sem atrito, que está posicionado no plano xy. Uma força é Encontre a aceleração do corpo na notação vetor unitário quando a outra força for R.: 20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A 3 Sobre as forças de atrito, é incorreto afirmar: a) ( ) A força de atrito cinético sempre será menor que o atrito estático. b) ( ) A força de atrito estático varia para anular a resultante das forças em um corpo, tendo como limite máximo o valor quando esta força for igual a “μestático.N”. c) ( ) A força de atrito cinético é constante para qualquer força aplicada quando há movimento relativo entre os corpos. d) (x) Para aplicações de engenharia sempre se deseja materiais com menores coeficientes de atrito, para melhorar eficiência de engrenagens e reduzir desgastes, responsáveis por boa parte da perda de rendimento em máquinas. Não há aplicação em engenharia de materiais com elevado atrito. 4 Um bloco de 80km repousa sobre um plano horizontal. Obtenha a intensidade da força R capaz de comunicar ao bloco uma aceleração de 2,5 m/s2 para a direita. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é μ = 0,25. 5 Consideremos uma corda elástica, cuja constante vale 10 N/cm. As deformações da corda são elásticas até uma força de tração de intensidade 300N e o máximo esforço que ela pode suportar, sem romper-se, é de 500N. Se amarramos um dos extremos da corda em uma árvore e puxarmos o outro extremo com uma força de intensidade 300N, a deformação será de 30cm. Se substituirmos a árvore por um segundo indivíduo que puxe a corda também com uma força de intensidade 300N, podemos afirmar que: a) ( ) A força de tração será nula; b) (x) A força de tração terá intensidade 300N e a deformação será a mesma do caso da árvore; c) ( ) A força de tração terá intensidade 600N e a deformação será o dobro do caso da árvore; 21UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A d) ( ) A corda se romperá, pois a intensidade de tração será maior que 500N; e) ( ) n. d. a. 6 a) Calcule a aceleração adquirida pelo pêndulo na direção tangente à trajetória, sabendo que a massa da esfera é de 0,5 kg e o ângulo formado com a vertical é de 30º. b) Supondo que a resultante de forças é nula na direção que une a esfera ao ponto onde a corda está fixada, calcule a tração na corda. FIGURA 45 – PÊNDULO SIMPLES FONTE: A autora R.: a) A aceleração pode ser encontrada a partir da expressão da força, F = ma, sabendo que a força responsável pelo movimento é a componente do peso na direção do movimento. b) Para encontrarmos a tração basta igualarmos a força resultante nesta direção a zero, 22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A 7 O valor da aceleração da gravidade em qualquer latitude φ é dado por g =9,7087(1+0,0053sen2φ)m/s2, onde o efeito da rotação da Terra e também o fato de que a Terra não é esférica foram levados em conta. Sabendo que a massa de uma barra de ouro foi oficialmente definida como 2 kg, determine até 4 casas significativas sua massa em quilogramas e seu peso em newtons a uma altitude de (a) 0º, b) 45ºe c) 60º. (BEER; JOHNSTON JR, 2006). R.: A massa é a mesma para todos os casos m = 2 kg. O peso em cada caso pode ser calculado como segue. a) b) c) 8 A massa de 6 kg abaixo é submetida a duas forças F de 80 N formando um ângulo θ de 30º-com o eixo vertical. Calcule a aceleração do corpo na direção vertical. 23UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A FIGURA 46 – CORPO SUBMETIDO A DUAS FORÇAS APLICADAS FONTE: A autora R.: Somando as forças que atuam na direção vertical e a definição de força resultante sobre um corpo acelerado temos, TÓPICO 2 1 Calcule os momentos dos binários da figura a seguir e diga se são equivalentes ou não. FIGURA 59 – BINÁRIOS DO EXERCÍCIO 1 FONTE : A autora 24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A R.: 2 Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme a figura a seguir, em que atuam as cargas Calcule: (a) Os momentos momentos desenvolvidos por pontos A, B e C. (b) Os momentos desenvolvidos por em relação aos pontos A, B e C. (c) O momento resultante do sistema em relação aos pontos A, B e C. R.: a) b) desnvolvidos em relação aos c) 3 Reduza o sistema de forças da figura a seguir ao ponto O. 25UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A FIGURA 61 – ESQUEMA DO EXERCÍCIO 3 FONTE: A autora R.: Vamos reduzir o sistema de forças no ponto O, para tanto encontramos a resultante somando todas as forças que atuam no sistema, Agora encontramos o momento resultante, 4 Dois binários atuam na viga. Determine a intensidade de F de modo que o momento de binário resultante seja 300lb.pés no sentido anti- horário. Em que local da viga atua o momento do binário resultante? Um triângulo a partir do vetor F tem hipotenusa igual a cinco e catetos igual a 3 e 4. 26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A R.: O momento binário pode atuar em qualquer ponto. 5 Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua esse binário por um equivalente, composto por um par de forças que atuam nos pontos A e B. FIGURA 62 – EXERCÍCIO ENCONTRADO NOS LIVROS DAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FIGURA 63 – ENGRENAGEM FONTE: Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula12.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011. FONTE: A autora 27UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A R.: Momento do Binário: Cálculo das Forças: TÓPICO 3 1 Uma empilhadeira de 2500kg carrega um engradado de 1200kg, como indica a figura. A empilhadeira, movendo-se para a esquerda, sofre a ação dos freios que produzem uma desaceleração de 3m/s2. Sabendo- se que o coeficiente de atrito estático entre o engradado e o suporte é 0,60; determine a componente vertical da reação em cada roda. FIGURA 71 – EMPILHADEIRA FONTE: BEER, Ferdinand P. Mecânica vetorial para engenheiros – cinemática e dinâmica. São Paulo: Makron Books, 1991. 28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A R.: 2 No problema anterior, determine a máxima desaceleraçãodo veículo para que o engradado não escorregue e a empilhadeira não tombe, ambos para frente. 3 Quando a velocidade de avanço do caminhão mostrado na figura era de 9 m/s, os freios foram acionados bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem de girar. Foi observado que o caminhão derrapou sobre 6 m de pista até o repouso. Determine a intensidade da reação normal e da força de atrito em cada roda enquanto o caminhão derrapava até o repouso. 29UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A FIGURA 72 – CAMINHÃO FONTE: Disponível em: <http://blog.educacional.com.br/matematicos/2010/05/11/o-caminhao- os-tijolos-e-os-sacos-decimento-desafio-n%C2%BA-08/>. Acesso em: 26 jan. 2011. R.: Com o sentido positivo para a direita e as equações do MRUV, temos As forças externas consistem no peso do caminhão, nas reações normais e nas forças de atrito nas rodas. 30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A Reações em cada roda. 4 Uma polia que pesa 54 N e tem um raio de giração de 20 cm está unida a dois blocos, como mostrado na figura. Considerando que não exista atrito no eixo, determine a aceleração angular da polia e a aceleração de cada bloco. FIGURA 73 – POLIA FONTE: A autora 31UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A R.: Embora possamos definir um sentido arbitrário, podemos preferir determinar primeiro o sentido da rotação, Como P realmente pesa 45 N, a polia girará no sentido anti-horário. Supondo que tenha sentido anti-horário e observando que: Um sistema único constituído pela polia e pelos dois blocos é considerado. As forças externas a este sistema são os pesos da polia e dos dois blocos e a reação em G. (As forças exercidas pelos cabos sobre a polia e sobre os blocos são internas ao sistema considerado e se cancelam) Como o movimento da polia é uma rotação em torno do centro de massa e o movimento de cada bloco é uma translação, as forças efetivas se reduzem ao binário I e aos dois vetores ma e ma . O momento de inércia em torno do centro de massa da polia é Como o sistema das forças externas é equipolente ao sistema de forças efetivas, escrevemos: 32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A TÓPICO 4 1 Um bloco de 60kg se move entre guias verticais. O bloco é puxado 50 mm abaixo de sua posição de equilíbrio e solto. Determine (a) o período de vibração, (b) a velocidade máxima e (c) a aceleração máxima do bloco, sabendo que e (Utilize para determinar a constante equivalente da associação em série). FIGURA 79 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO 1 FONTE: A autora R.: Vamos achar a constante da mola equivalente à soma das duas a) O período de vibração pode ser determinado através de 33UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A b) A velocidade máxima, c) A aceleração máxima, 2 Um pêndulo simples executa oscilações de pequena abertura angular de modo que a esfera pendular realiza um movimento harmônico simples. É correto afirmar que: a) ( ) O período de oscilação independe do comprimento do pêndulo. b) ( ) O período de oscilação é proporcional ao comprimento do pêndulo. c) ( ) O período de oscilação independe do valor da aceleração da gravidade local. d) (x) O período de oscilação independe da massa da esfera pendular. 3 O coeficiente de atrito estático entre a barra vertical e o cilindro B é 0, 4. A mola tem constante elástica igual a 30 N/m e comprimento normal de 1, 5 m. Determine o intervalo de valores da massa do cilindro, para os quais o equilíbrio é possível na posição indicada na figura. Supondo que seja a maior massa, determine o período de oscilação. 34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A FIGURA 80 – MOLA PRESA A UMA EXTREMIDADE FIXA E A UMA MASSA MÓVEL FONTE: A autora R.: A força resultante na direção x é nula, A força resultante na direção y também deve ser nula para que essa configuração se mantenha. Assim, Para o sinal positivo encontramos m = 2,82 kg e para o sinal negativo encontramos 0,857kg. Ou seja, o intervalo procurado é Para calcular o período precisamos calcular a frequência de oscilação, E o período é dado por 4 Um oscilador massa-mola tem amplitude do movimento de 2mm, pulsação de 2π, e não existe defasagem de fase. Quando t=10s, qual a elongação do movimento? 35UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A R.: Sendo a função horária da elongação: Substituindo os valores dados temos: Lembrando que a unidade resultante será mm, pois os valores não foram passados para o SI. Como cosseno de 20π é um valor máximo (+1), a elongação será máxima, ou seja, igual a amplitude. 5 Dada a função horária da elongação: Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI, responda: a) Qual a amplitude do movimento? b) Qual a pulsação do movimento? c) Qual o período do movimento? d) Qual a fase inicial do movimento? e) Quando t=2s qual será a elongação do movimento? R.: a) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: A=3m b) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: c) Conhecendo a pulsação e sabendo que: 36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A Igualando os valores: d) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: e) Aplicando o valor na equação temos: 37UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A UNIDADE 3 TÓPICO 1 1 Explique com suas palavras o que são graus de liberdade. A partícula ou ponto material possui o mesmo número de graus de liberdade de um corpo rígido? Por quê? R.: Os graus de liberdade determinam a flexibilidade que um corpo possui ao executar um movimento no espaço. Existem seis graus de liberdade para o corpo, três graus de liberdade associados à rotação e três graus de liberdade associados à translação, o ponto material possui apenas três graus de liberdade associados à translação. 2 Quais são as condições de equilíbrio? Explique o que elas significam. R.: São condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido que o somatório das forças e dos momentos sejam nulos, e ou seja, não há movimento de translação nem movimento de rotação, isso significa que o corpo não possui nenhum grau de liberdade. Num sistema cartesiano essas duas equações se desdobram em seis equações segundo as componentes nos três eixos coordenados, Condições de equilíbrio: Forças: Momentos: 3 O sistema da figura a seguir está em equilíbrio. Determine a força de tração na corda, sabendo que o corpo possui uma massa de 30kg e que o ângulo do plano inclinado formado com a direção horizontal é de 30º. 38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A FIGURA 90 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO FONTE: A autora R.: Utilizando as equações de equilíbrio, Com a primeira equação determinamos a tração, 4 Decomponha a força de 200 lb que atua sobre o tubo (Figura a seguir) em componentes nas direções (a) x e y (b) x´e y. 39UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A FIGURA 91 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPII.PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011. R.: Em cada um dos casos, a lei do paralelogramo é usada para decompor F e seus dois componentes. Constrói-se então o triângulo de vetor para determinar os resultados numéricos por trigonometria. a) O vetor adição F = FX + FY é mostrado na figura acima. Observe que o comprimento dos vetores encontra-se em escala ao longo do eixo x e y, construindo-se primeiro linhas, a partir da extremidade de F paralelas aos eixos, de acordo com a lei do paralelogramo. 40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A Pelo triângulo de vetores acima, b) O vetor adição F = FX´ + FY é mostrado na figura abaixo. Observe com atenção como o paralelogramo foi construído. Aplicando-se a lei dos senos e utilizando osdados listados no triângulo de vetores, obtém-se; 41UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A 5 A mola ABC da figura tem rigidez de 500 N/m e comprimento sem deformação de 6m. Determine a força horizontal F aplicada à corda que está presa no pequeno anel B, de modo que o deslocamento do anel em relação à parede seja d = 1,5 m. FIGURA 92 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/ lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011. 42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A R.: 158,36 N. 6 Um bloco de 150 kg (figura a seguir) pende de uma pequena polia que pode rolar sobre o cabo ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição ilustrada na figura por um segundo cabo DE, paralelo ao trecho CB do cabo. Determine: a) a tração no cabo ABC e b) a tração no cabo DE. Despreze o raio da polia e a massa dos cabos e da roldana. FIGURA 93 – MANGA MÓVEL PRESO À MOLA FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/ lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011. R.: a) 80 N, b) 285 N. TÓPICO 2 1 A viga AB da figura se encontra apoiada nos extremos por dois vínculos, no ponto A um apoio fixo e no ponto B um apoio simples. Pedem-se as reações vinculares nos pontos A e B, sabendo-se que a carga P vale 30N. 43UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A FIGURA 105 – VIGA AB FONTE: A autora Da última equação de equilíbrio temos que Da segunda equação E da primeira equação 44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A 2 Uma estrutura em arco é fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre roletes em B num plano de 300 com a horizontal. O vão AB mede 20m. O peso da estrutura é Q = 10000kgf. A força resultante dos ventos é P = 2000kgf e situa-se a 4 m, acima de A, paralelamente à reta AB. Determinar as reações nos suportes A e B. FIGURA 106 – PÓRTICO FONTE: A autora Da última equação Da segunda equação 45UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A Da primeira equação 3 A barra homogênea AB de peso P = 120 N está articulada em A e é mantida em equilíbrio pelo fio ideal BC. Determine a intensidade da força de tração no fio e as componentes vertical e horizontal da força da articulação na barra. Sabe-se que o comprimento da barra é 1 m e o ângulo é de 30º. FIGURA 107 – BARRA AB FONTE: A autora R.: 46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A Da última equação Da segunda equação Da primeira equação 4 Observe na figura a seguir, três cargas aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em um rolete em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso próprio da viga, determine as reações em A e B quando Q = 75 kN. FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/ glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011. FIGURA 108 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO 47UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A R.: 5 Determine as reações em A e B quando: (a) α = 0º (b) α = 90º (c) α = 30º. FIGURA 109 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civilprofessores/glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011. R.: Na figura observamos que no ponto A existem duas restrições à translação e no ponto B uma restrição de translação normal à superfície, que pode ser decomposta na direção x e y. Assim sendo, encontramos as seguintes expressões. 48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A Onde Substituindo os valores para cada caso de a, temos a) b) c) TÓPICO 3 1 Usando a estrutura mostrada na figura 117, do exemplo 6, que é composta por barras biarticuladas de pesos desprezíveis, sendo A e B são duas articulações externas. Determine todos os esforços atuantes nas barras, sabendo que Q = 30 N. R.: 49UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A 2 Sabendo que P = 30 N, a = 1m e b = 3m, determinar o esforço atuante na barra HJ da figura 126, do exemplo 7. 3 Para a estrutura ilustrada, determine as reações no rolete “A” e no engaste “H”. FIGURA 128 – ELEMENTOS DA TRELIÇA PARA ATIVIDADE FONTE: A autora 50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A Da última equação Da segunda equação 4 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os elementos estão mesmo sob tração ou compressão. Considere que P1 = 500lb e P2 = 100lb. FIGURA 129 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/ CAPVI1.PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011. R.: FCB = 8,00 kN (T), FCD = 6,93 kN (C), FDE = 6,93 kN (C), FDB = 4,00 kN (T), FBE = 4,00 FBA = 268 lb (T), FBC = 808 lb (T), FCA = 571 lb (C). 51UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A 5 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os elementos estão mesmo sob tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4kN. FIGURA 130 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011. R.: FCB = 8,00 kN (T), FCD = 6,93 kN (C), FDE = 6,93 kN (C), FDB = 4,00 kN (T), FBE = 4,00 kN (C), FBA = 12,0 kN (T). 6 Determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se eles estão sob tração. FIGURA 131 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011. 52 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A R.: FHG = 29,0 kN (C), FBC =20,5 kN (T), FHC = 12,0 kN (T). TÓPICO 4 1 Encontre o esforço cortante e o momento fletor no ponto C da (Figura a seguir) que segue. FIGURA 140 – VIGA AB COM DUAS CARGAS CONCENTRADAS FONTE: A autora R.: A partir do diagrama de corpo livre podemos encontrar as reações em C e B, Da última temos Da primeira 53UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A Pode-se traçar um diagrama de esforço cortante e momento fletor, calculando-se os esforços e os momentos em pontos à direita e à esquerda dos pontos considerados como no da figura abaixo, 54 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A 2 O cabo AB (Figura a seguir) sustenta três cargas verticais nos pontos indicados. Se o ponto D está 1,5 m abaixo do apoio esquerdo, determine: (a) A elevação dos pontos C e E. (b) A inclinação máxima e a tração máxima no cabo. FIGURA 141 – CABO COM TRÊS CARGAS CONCENTRADAS FONTE: A autora R.: Considerando o cabo inteiro Considerando apenas o segmento ACD Resolvendo as duas equações simultaneamente temos: 55UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A a) A elevação dos pontos C e E Considerando a parte AC do cabo, escrevemos Abaixo do ponto A e do ponto E. b) A inclinação máxima é observada na parte EB. Como a componente horizontal da tração é constante e igual a 81kN, obtemos TÓPICO 5 1 A luminária da figura a seguir tem 50 kg e é suportada pelas hastes AB e CB, com diâmetros de 8 mm e 10 mm, respectivamente. Calcule o valor da tensão normal média em cada haste e determine qual das duas hastes está sujeita à maior tensão. FIGURA 155 – LUMINÁRIA FONTE: A autora R.: 56 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A Sabendo que a massa da luminária é de 50 kg e que a aceleração da gravidade é g = 9,8 m/s ², podemos calcular o seu peso Substituindo na equação de equilíbrio para y e resolvendo ambas, 57UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES M E C Â N I C A A tensão normal média em cada haste passa a ser então, Sendo a área circular da seção transversal igual a onde r é o raio que pode ser determinado dividindo-se o diâmetro por 2. Temos: 2 O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como mostrado na figura a seguir. Se a haste passa por um furo de 40mm de diâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco, necessários para suportar uma carga de20kN. A tensão normal admissível da haste é e a tensão de cisalhamento admissível do disco é R.: Sabendo que a área é dada por 58 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD M E C Â N I C A Que é o diâmetro do disco. Utilizando a tensão admissível no disco, encontramos: E a sua espessura é obtida através da área seccionada
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