Gabarito das Autoatividades de Mecânica

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Gabarito das Autoatividades
MECÂNICA
(ENG 91 MB)
2011/2
Módulo IV
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
MECÂNICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1 Dado o vetor e o escalar encontre o vetor 
resultante do produto entre eles.
R.:
2 Dado o vetor e o escalar t = 2, encontre o vetor resultante
do produto entre eles. 
R.:
3 Dados os vetores encontre o produto 
escalar entre eles. Encontre também o ângulo entre eles.
R.: 
4 Dados os vetores encontre o produto 
vetorial entre eles. 
R.:
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5 Dados os vetores encontre o vetor 
resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo. 
R.: 
6 Dado o vetor no espaço plano formado pelos eixos x e y, 
encontre as suas componentes nas direções x e y, sabendo que o vetor 
forma um ângulo de 30º com o eixo x.
R.: O vetor tem componente x igual a 3 e componente y 
igual a -5.
O ângulo que este vetor forma com o eixo x é de 600 e não de 300, pois
TÓPICO 2 
1 A posição r de uma partícula que se move num plano xy é dada por r = 
(4t³ – 6t)i + (8 – 2t4)j com r em metros e t em segundos. Na notação de 
vetores unitários, calcule:
a) r
b) v
c) a para t = 3s. 
R.: 
a) Com o tempo igual a 3 segundos encontramos, 
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b) Calculando a primeira derivada do vetor posição, encontramos o vetor 
velocidade em termos do tempo,
substituindo o tempo temos,
c) Calculando a derivada do vetor velocidade (derivada segunda da posição), 
encontramos o vetor aceleração em termos do tempo,
Substituindo o tempo temos,
2. A velocidade v de uma partícula que se move sobre o plano xy é dada por 
v = (15t – 5t²)i + (6 - 2t)j, com v em m/s e t em segundos.
a) Qual é a aceleração quando t = 1,0 s?
b) Quando (se acontecer) a aceleração é nula?
c) Quando (se acontecer) a velocidade é nula? 
R.:
a) Sendo a velocidade dada por 
podemos encontrar a aceleração derivando a expressão acima,
e depois substituir o tempo de 1 s,
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b) A aceleração não será nula em nenhum momento, pois podemos ver na 
expressão em função do tempo que encontramos acima que a componente 
associada ao versor é constante, pois não depende do tempo.
c) Para que a velocidade seja nula, precisamos encontrar um valor para o 
tempo que anule as duas componentes, assim utilizando
e igualando cada um dos termos a zero 
encontramos,
Portanto, no tempo 3 segundos a velocidade se anula.
3 A partir da expressão x = t³ – 6t² – 15t + 40 onde x(m), t(s), podemos 
descrever o deslocamento de um ponto material. Encontre:
a) O instante em que a velocidade será nula.
b) A posição e a distância percorrida pelo ponto material até esse instante.
c) A aceleração nesse instante.
d) Esboce os gráficos.
R.: 
a) 
Desprezando o resultado negativo, temos que a velocidade será nula em 
t = 5 s.
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b)
c)
d)
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4 Uma unidade de área frequentemente usada na medição de áreas de 
terrenos é o hectare, definido como 104 m2. Uma mina de carvão de 
escavação aberta consome 75 hectares de terra, até uma profundidade de 
26m a cada ano. Qual é o volume de terra removido por ano em quilômetros 
cúbicos?
R.: Utilizando o fator de conversão de unidades encontramos que,
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O volume é dado pela expressão,
Novamente utilizamos o fator de conversão para encontrar o volume em 
km3.
5 Encontre os componentes da velocidade e da aceleração da partícula no 
tempo de 2 segundos de um ponto material governado pela expressão a 
seguir.
R.: 
TÓPICO 3 
1 Uma pedra é lançada de uma catapulta em t=0, com uma velocidade inicial 
de módulo 20,0 m/s em um ângulo de 40º acima da horizontal. Quais são os 
módulos dos componentes:
(a) horizontal
(b) vertical do seu deslocamento em relação à catapulta em t = 1,10s?
Repita para as componentes (c) horizontal e (d) vertical em t = 1,80 s e 
para as componentes (e) horizontal e (f) vertical em t = 5,00 s.
R.: 
a) As equações que descrevem o movimento em cada direção são:
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e com a posição inicial na 
origem temos as seguintes equações para os dois eixos coordenados
Substituindo o tempo de 1,10 s na primeira encontramos a componente 
horizontal,
b) a componente vertical é dada pela segunda equação,
c) analogamente,
d)
e) 
f)
2 Um peixe, nadando em um plano horizontal, tem velocidade vi = (5,00i + 
2,00j)m/s em um ponto no oceano em que o deslocamento em relação a 
uma certa pedra é r i = (9,0i – 3,00j)m. Após o peixe nadar com aceleração 
constante por 15,0s, sua velocidade é v = (16,0i - 4,00j)m/s. Quais são as 
componentes da aceleração?
R.: Da definição de aceleração encontramos:
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Assim sendo, as componentes procuradas são:
e
3 Uma pedra é projetada sobre um rochedo íngreme de altura h com 
velocidade inicial de 40 m/s direcionada em um ângulo de 50º acima da 
horizontal. A pedra cai em um ponto A, 4,0 s após o lançamento. Encontre 
(a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do 
impacto em A, e (c) a altura máxima H alcançada acima do chão.
R.:
a) A altura h é a coordenada y do deslocamento como tempo igual a 4,0 s e 
dada pela equação 
Sendo que substituindo
encontramos a velocidade inicial na direção y como sendo,
Sabendo que quando a pedra foi lançada ela se encontrava na origem 
das posições e que a aceleração da gravidade vale 29,8m/s=g
podemos encontrar a altura do rochedo, , yh =
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b) Para encontrar a velocidade da pedra ao bater no rochedo precisamos 
encontrar as coordenadas de x e y para a velocidade e calcular o seu 
módulo, na direção x o movimento é uniforme, portanto a velocidade nesta 
direção é constante, assim:
A velocidade na direção y pode ser encontrada mediante a equação,
Encontramos o vetor velocidade como sendo 
e o seu módulo,
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c) Na altura máxima a componente y da velocidade é igual a zero, 
Podemos utilizar a equação da velocidade em y para encontrar o tempo e 
utilizar na equação da posição de y para determinar a altura máxima H.
0=yv .
Substituindo esse tempo na equação para y, encontramos 
4 De um elevador em movimento ascendente, de velocidade 3,66 m/s, 
abandona-se uma pedra que atinge o fundo do poço em 2,5s. A que altura 
estava o elevador no momento do abandono da pedra? Qual a velocidade 
da pedra no instante do choque com o solo.
R.: 
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5 De uma janela de um prédio, localizada a 20m acima do solo, arremessa-
se verticalmente para cima, uma bola com velocidade de 10m/s. Sabendo-
se que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81m/s2, para baixo, 
escreva uma expressão para a velocidade v e para a elevação y da bola, 
relativamente ao solo, para qualquer instante t. Determinar o instante em 
que a bola atinge a elevação máxima e o seu valor em y correspondente.
R.: 
TÓPICO 4 
1 Um ciclista, correndo a 10m/s, contorna uma curva com um raio de 25m. 
Qual é o módulo da sua aceleração?
R.: 
2 Um bloquinho A repousa sobre uma placa horizontal que gira em torno 
de um eixo fixo em O. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão 
constante de 0,5 rad/s2. Sabendo que r = 0,2m, determine o módulo da 
aceleração total do bloco, quando (a) t = 0, (b) t = 1s e (c) t = 2s. Situação 
apresentada na figura a seguir.
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FIGURA 33 – PLACA GIRATÓRIA
FONTE: Autora
R.: 
a) 
b) 
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Ac)
3 Uma fita de computador move-se entre dois tambores. Durante um intervalo 
de 3s, a velocidade da fita aumenta uniformemente de v0 = 0,620m / s a v1 
= 1,54m / s. Sabendo que a fita não escorrega nos tambores, determine (a) 
a aceleração angular do tambor B e (b) a número de revoluções executadas 
pelo tambor B durante esse intervalo de tempo.
FIGURA 34 – FITA DE COMPUTADOR
FONTE: Autora
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a)
b) 
4 Calcule o valor mínimo do raio de uma curva, se a componente normal da 
aceleração de um carro a 26,8 m/s não puder exceder 0,762m/s2?
R.: 
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5 Um jogador de golfe lança uma bola a partir da origem com uma velocidade 
inicial de 50 m/s e um ângulo de 25 graus com a horizontal. Determine o raio 
de curvatura da trajetória descrita pela bola no ponto mais alto da trajetória. 
R. 209,3 m.
R.: 
6 Para testar seu desempenho, um carro é dirigido ao redor de uma pista 
circular de teste de diâmetro d. Determine o valor de d quando a velocidade 
escalar do carro for de 72km/h, e seu componente normal da aceleração for 
de 3,2 m/s². Determine a velocidade escalar do carro.
R.: 
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UNIDADE 2
TÓPICO 1 
1 Um bloco com massa m = 8,0kg desliza com velocidade v= 4,0m/s em um 
piso sem atrito, no sentido positivo de um eixo x. Repentinamente, ele se 
parte em dois pedaços. Um pedaço, de massa m1 = 2,0kg, se desloca no 
sentido positivo do eixo x com velocidade v1 = 8,0m/s. Qual a velocidade do 
segundo pedaço, de massa m2?
R.: Utilizando o princípio de conservação temos,
Onde usamos o fato de que
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2 Duas forças horizontais atuam sobre um corpo de 2,0kg que pode deslizar 
sobre uma superfície sem atrito, que está posicionado no plano xy. Uma 
força é Encontre a aceleração do corpo na notação 
vetor unitário quando a outra força for 
R.: 
3 Sobre as forças de atrito, é incorreto afirmar:
a) ( ) A força de atrito cinético sempre será menor que o atrito estático.
b) ( ) A força de atrito estático varia para anular a resultante das forças em 
um corpo, tendo como limite máximo o valor quando esta força for igual a 
“μestático.N”.
c) ( ) A força de atrito cinético é constante para qualquer força aplicada 
quando há movimento relativo entre os corpos.
d) (x) Para aplicações de engenharia sempre se deseja materiais com 
menores coeficientes de atrito, para melhorar eficiência de engrenagens e 
reduzir desgastes, responsáveis por boa parte da perda de rendimento em 
máquinas. Não há aplicação em engenharia de materiais com elevado atrito. 
4 Um bloco de 80km repousa sobre um plano horizontal. Obtenha a 
intensidade da força R capaz de comunicar ao bloco uma aceleração de 2,5 
m/s2 para a direita. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é μ = 0,25.
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5 Consideremos uma corda elástica, cuja constante vale 10 N/cm. As 
deformações da corda são elásticas até uma força de tração de intensidade 
300N e o máximo esforço que ela pode suportar, sem romper-se, é de 500N. 
Se amarramos um dos extremos da corda em uma árvore e puxarmos o 
outro extremo com uma força de intensidade 300N, a deformação será de 
30cm. Se substituirmos a árvore por um segundo indivíduo que puxe a corda 
também com uma força de intensidade 300N, podemos afirmar que:
a) ( ) A força de tração será nula;
b) (x) A força de tração terá intensidade 300N e a deformação será a mesma 
do caso da árvore;
c) ( ) A força de tração terá intensidade 600N e a deformação será o dobro do 
caso da árvore;
d) ( ) A corda se romperá, pois a intensidade de tração será maior que 500N;
e) ( ) n. d. a.
6 a) Calcule a aceleração adquirida pelo pêndulo na direção tangente à 
trajetória, sabendo que a massa da esfera é de 0,5 kg e o ângulo formado 
com a vertical é de 30º. b) Supondo que a resultante de forças é nula na 
direção que une a esfera ao ponto onde a corda está fixada, calcule a tração 
na corda.
FIGURA 45 – PÊNDULO SIMPLES.
FONTE: Autora.
R.:
a) A aceleração pode ser encontrada a partir da expressão da força, F = ma, 
sabendo que a força responsável pelo movimento é a componente do peso 
na direção do movimento.
b) Para encontrarmos a tração basta igualarmos a força resultante nesta 
direção a zero,
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7 O valor da aceleração da gravidade em qualquer latitude φ é dado por g =
9,7087(1+0,0053sen2φ)m/s2, onde o efeito da rotação da Terra e também o 
fato de que a Terra não é esférica foram levados em conta. Sabendo que a 
massa de uma barra de ouro foi oficialmente definida como 2 kg, determine 
até 4 casas significativas sua massa em quilogramas e seu peso em newtons 
a uma altitude de (a) 0º, b) 45ºe c) 60º. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
R.: A massa é a mesma para todos os casos m = 2 kg. O peso em cada caso 
pode ser calculado como segue.
a)
b)
c)
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8 A massa de 6 kg abaixo é submetida a duas forças F de 80 N formando 
um ângulo θ de 30º-com o eixo vertical. Calcule a aceleração do corpo na 
direção vertical.
FIGURA 46 – CORPO SUBMETIDO A DUAS FORÇAS APLICADAS
FONTE: Autora.
R.: Somando as forças que atuam na direção vertical e a definição de força 
resultante sobre um corpo acelerado temos,
TÓPICO 2 
1 Calcule os momentos dos binários da figura a seguir e diga se são 
equivalentes ou não. 
FIGURA 59 – BINÁRIOS DO EXERCÍCIO 1
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FONTE : Autora
R.:
2 Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme a figura a seguir, 
em que atuam as cargas Calcule: (a) Os momentos desnvolvidos
momentos desenvolvidos por em relação aos pontos A, B e C. 
(b) Os momentos desenvolvidos por em relação aos pontos A, B e C.
(c) O momento resultante do sistema em relação aos pontos A, B e C. 
R.:
a)
b)
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c)
3 Reduza o sistema de forças da figura a seguir ao ponto O. 
FIGURA 61 – ESQUEMA DO EXERCÍCIO 3
FONTE: Autora
R.: Vamos reduzir o sistema de forças no ponto O, para tanto encontramos 
a resultante somando todas as forças que atuam no sistema,
Agora encontramos o momento resultante,
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4 Dois binários atuam na viga. Determine a intensidade de F de modo que 
o momento de binário resultante seja 300lb.pés no sentido anti-horário. Em 
que local da viga atua o momento do binário resultante? Um triângulo a 
partir do vetor F tem hipotenusa igual a cinco e catetos igual a 3 e 4.
FIGURA 62 – EXERCÍCIO ENCONTRADO NOS LIVROS DAS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
R.: 
O momento binário pode atuar em qualquer ponto.
5 Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua 
esse binário por um equivalente, composto por um par de forças que atuam 
nos pontos A e B.
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FIGURA 63 – ENGRENAGEM
FONTE: Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula12.pdf>. Acesso em: 26 jan. 
2011.
R.: 
Momento do Binário:
Cálculo das Forças: 
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TÓPICO 3 
1 Uma empilhadeira de 2500kg carrega um engradado de 1200kg, como 
indica a figura. A empilhadeira, movendo-se para a esquerda, sofre a ação 
dos freios que produzem uma desaceleração de 3m/s2. Sabendo-se que o 
coeficiente de atrito estático entre o engradado e o suporte é 0,60; determine 
a componente vertical da reação em cada roda.
FIGURA 71 – EMPILHADEIRA
FONTE: BEER, Ferdinand P. Mecânica vetorial para engenheiros – Cinemática e dinâmica. 
São Paulo: Makron Books, 1991.
R.: 
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2 No problema anterior, determine a máxima desaceleração do veículo paraque o engradado não escorregue e a empilhadeira não tombe, ambos para 
frente.
3 Quando a velocidade de avanço do caminhão mostrado na figura era de 
9 m/s, os freios foram acionados bruscamente, fazendo com que as quatro 
rodas parassem de girar. Foi observado que o caminhão derrapou sobre 6 
m de pista até o repouso. Determine a intensidade da reação normal e da 
força de atrito em cada roda enquanto o caminhão derrapava até o repouso.
FIGURA 72 – CAMINHÃO
FONTE: Disponível em: <http://blog.educacional.com.br/matematicos/2010/05/11/o-caminhao-
os-tijolos-e-os-sacos-decimento-desafio-n%C2%BA-08/>. Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: Com o sentido positivo para a direita e as equações do MRUV, temos
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As forças externas consistem no peso do caminhão, nas reações normais 
e nas forças de atrito nas rodas.
Reações em cada roda.
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4 Uma polia que pesa 54 N e tem um raio de giração de 20 cm está unida 
a dois blocos, como mostrado na figura. Considerando que não exista atrito 
no eixo, determine a aceleração angular da polia e a aceleração de cada 
bloco. 
FIGURA 73 – POLIA
FONTE: Autora.
R.: Embora possamos definir um sentido arbitrário, podemos preferir 
determinar primeiro o sentido da rotação,
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Como P realmente pesa 45 N, a polia girará no sentido anti-horário. 
Supondo que tenha sentido anti-horário e observando que:
Um sistema único constituído pela polia e pelos dois blocos é 
considerado. As forças externas a este sistema são os pesos da polia e 
dos dois blocos e a reação em G. (As forças exercidas pelos cabos sobre a 
polia e sobre os blocos são internas ao sistema considerado e se cancelam) 
Como o movimento da polia é uma rotação em torno do centro de massa e o 
movimento de cada bloco é uma translação, as forças efetivas se reduzem 
ao binário I e aos dois vetores ma e ma . O momento de inércia em torno 
do centro de massa da polia é
Como o sistema das forças externas é equipolente ao sistema de forças 
efetivas, escrevemos:
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TÓPICO 4 
1 Um bloco de 60kg se move entre guias verticais. O bloco é puxado 50 
mm abaixo de sua posição de equilíbrio e solto. Determine (a) o período 
de vibração, (b) a velocidade máxima e (c) a aceleração máxima do bloco, 
sabendo que e (Utilize 
para determinar a constante equivalente da associação em série).
FIGURA 79 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO 1
FONTE: Autora
R.: Vamos achar a constante da mola equivalente à soma das duas
a) O período de vibração pode ser determinado através de
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b) A velocidade máxima,
c) A aceleração máxima,
2 Um pêndulo simples executa oscilações de pequena abertura angular de 
modo que a esfera pendular realiza um movimento harmônico simples. É 
correto afirmar que:
a) ( ) O período de oscilação independe do comprimento do pêndulo.
b) ( ) O período de oscilação é proporcional ao comprimento do pêndulo.
c) ( ) O período de oscilação independe do valor da aceleração da gravidade 
local.
d) (x) O período de oscilação independe da massa da esfera pendular. 
3 O coeficiente de atrito estático entre a barra vertical e o cilindro B é 0, 4. 
A mola tem constante elástica igual a 30 N/m e comprimento normal de 1, 
5 m. Determine o intervalo de valores da massa do cilindro, para os quais 
o equilíbrio é possível na posição indicada na figura. Supondo que seja a 
maior massa, determine o período de oscilação.
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FIGURA 80 – MOLA PRESA A UMA EXTREMIDADE FIXA E A UMA
MASSA MÓVEL
FONTE: Autora.
R.: A força resultante na direção x é nula,
A força resultante na direção y também deve ser nula para que essa 
configuração se mantenha. Assim,
Para o sinal positivo encontramos m = 2,82 kg e para o sinal negativo 
encontramos 0,857kg. Ou seja, o intervalo procurado é 
Para calcular o período precisamos calcular a frequência de oscilação,
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E o período é dado por
4 Um oscilador massa-mola tem amplitude do movimento de 2mm, pulsação 
de 2π, e não existe defasagem de fase. Quando t=10s, qual a elongação do 
movimento?
R.: Sendo a função horária da elongação:
Substituindo os valores dados temos:
Lembrando que a unidade resultante será mm, pois os valores não foram 
passados para o SI.
Como cosseno de 20π é um valor máximo (+1), a elongação será 
máxima, ou seja, igual a amplitude.
5 Dada a função horária da elongação:
Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI, 
responda:
a) Qual a amplitude do movimento?
b) Qual a pulsação do movimento?
c) Qual o período do movimento?
d) Qual a fase inicial do movimento?
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e) Quando t=2s qual será a elongação do movimento?
R.:
a) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos:
A=3m
b) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos:
c) Conhecendo a pulsação e sabendo que:
Igualando os valores:
d) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos:
e) Aplicando o valor na equação temos:
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UNIDADE 3
TÓPICO 1 
1 Explique com suas palavras o que são graus de liberdade. A partícula ou 
ponto material possui o mesmo número de graus de liberdade de um corpo 
rígido? Por quê?
R.: Os graus de liberdade determinam a flexibilidade que um corpo possui 
ao executar um movimento no espaço. Existem seis graus de liberdade 
para o corpo, três graus de liberdade associados à rotação e três graus 
de liberdade associados à translação, o ponto material possui apenas três 
graus de liberdade associados à translação.
2 Quais são as condições de equilíbrio? Explique o que elas significam. 
R.: São condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo 
rígido que o somatório das forças e dos momentos sejam nulos, 
e ou seja, não há movimento de translação nem movimento
de rotação, isso significa que o corpo não possui nenhum grau de liberdade.
Num sistema cartesiano essas duas equações se desdobram em seis 
equações segundo as componentes nos três eixos coordenados,
Condições de equilíbrio:
Forças: Momentos:
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3 O sistema da figura a seguir está em equilíbrio. Determine a força de 
tração na corda, sabendo que o corpo possui uma massa de 30kg e que o 
ângulo do plano inclinado formado com a direção horizontal é de 30º.
FIGURA 90 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO
FONTE: Autora
R.: Utilizando as equações de equilíbrio,
Com a primeira equação determinamos a tração,
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4 Decomponha a força de 200 lb que atua sobre o tubo (Figura a seguir) em 
componentes nas direções (a) x e y (b) x´e y.
FIGURA 91 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO.
FONTE: Disponível em: http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPII.PDF>.
Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: Em cada um dos casos, a lei do paralelogramo é usada para decompor 
F e seus dois componentes. Constrói-se então o triângulo de vetor para 
determinar os resultados numéricos por trigonometria.
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a) O vetor adição F = FX + FY é mostrado na figura acima. Observe que 
o comprimento dos vetores encontra-se em escala ao longo do eixo x e y, 
construindo-se primeiro linhas, a partir da extremidade de F paralelas aos 
eixos, de acordo com a lei do paralelogramo.
Pelo triângulo de vetores acima,
b) O vetor adição F = FX´ + FY é mostrado na figura abaixo. Observe com 
atenção como o paralelogramo foi construído. Aplicando-se a lei dos senos 
e utilizando os dados listados no triângulo de vetores,obtém-se;
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5 A mola ABC da figura tem rigidez de 500 N/m e comprimento sem 
deformação de 6m. Determine a força horizontal F aplicada à corda que está 
presa no pequeno anel B, de modo que o deslocamento do anel em relação 
à parede seja d = 1,5 m.
FIGURA 92 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/
lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
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R.: 158,36 N.
6 Um bloco de 150 kg (figura a seguir) pende de uma pequena polia que 
pode rolar sobre o cabo ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição 
ilustrada na figura por um segundo cabo DE, paralelo ao trecho CB do cabo. 
Determine: a) a tração no cabo ABC e b) a tração no cabo DE. Despreze o 
raio da polia e a massa dos cabos e da roldana.
FIGURA 93 – MANGA MÓVEL PRESO À MOLA.
FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/
lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: a) 80 N, b) 285 N.
TÓPICO 2 
1 A viga AB da figura se encontra apoiada nos extremos por dois vínculos, 
no ponto A um apoio fixo e no ponto B um apoio simples. Pedem-se as 
reações vinculares nos pontos A e B, sabendo-se que a carga P vale 30N. 
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FIGURA 105 – VIGA AB
FONTE: Autora
Da última equação de equilíbrio temos que
Da segunda equação
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E da primeira equação
2 Uma estrutura em arco é fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre 
roletes em B num plano de 300 com a horizontal. O vão AB mede 20m. 
O peso da estrutura é Q = 10000kgf. A força resultante dos ventos é P = 
2000kgf e situa-se a 4 m, acima de A, paralelamente à reta AB. Determinar 
as reações nos suportes A e B.
FIGURA 106 – PÓRTICO
FONTE: Autora
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Da última equação
Da segunda equação
Da primeira equação
3 A barra homogênea AB de peso P = 120 N está articulada em A e é mantida 
em equilíbrio pelo fio ideal BC. Determine a intensidade da força de tração 
no fio e as componentes vertical e horizontal da força da articulação na 
barra. Sabe-se que o comprimento da barra é 1 m e o ângulo é de 30º.
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FIGURA 107 – BARRA AB
 FONTE: Autora
R.:
Da última equação
Da segunda equação
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Da primeira equação
4 Observe na figura a seguir, três cargas aplicadas a uma viga. A viga é 
apoiada em um rolete em A e em uma articulação em B. Desprezando o 
peso próprio da viga, determine as reações em A e B quando Q = 75 kN.
FIGURA 108 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/
glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: 
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5 Determine as reações em A e B quando: (a) α = 0º (b) α = 90º (c) α = 30º.
FIGURA 109 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil
professores/glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26
jan. 2011.
R.: Na figura observamos que no ponto A existem duas restrições à 
translação e no ponto B uma restrição de translação normal à superfície, 
que pode ser decomposta na direção x e y. Assim sendo, encontramos as 
seguintes expressões.
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Onde
Substituindo os valores para cada caso de a, temos
a)
b)
c)
TÓPICO 3 
1 Usando a estrutura mostrada na figura 117, do exemplo 6, que é composta 
por barras biarticuladas de pesos desprezíveis, sendo A e B são duas 
articulações externas. Determine todos os esforços atuantes nas barras, 
sabendo que Q = 30 N.
R.:
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2 Sabendo que P = 30 N, a = 1m e b = 3m, determinar o esforço atuante na 
barra HJ da figura 126, do exemplo 7.
3 Para a estrutura ilustrada, determine as reações no rolete “A” e no engaste 
“H”.
FIGURA 128 – ELEMENTOS DA TRELIÇA PARA ATIVIDADE
FONTE: Autora
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Da última equação
Da segunda equação
4 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os 
elementos estão mesmo sob tração ou compressão. Considere que P1 = 
500lb e P2 = 100lb.
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FIGURA 129 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO.
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/
CAPVI1.PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: FCB = 8,00 kN (T), FCD = 6,93 kN (C), FDE = 6,93 kN (C), FDB = 4,00 
kN (T), FBE = 4,00 FBA = 268 lb (T), FBC = 808 lb (T), FCA = 571 lb (C).
5 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os elementos 
estão mesmo sob tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4kN.
FIGURA 130 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.
PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011.
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R.: FCB = 8,00 kN (T), FCD = 6,93 kN (C), FDE = 6,93 kN (C), FDB = 4,00 
kN (T), FBE = 4,00 kN (C), FBA = 12,0 kN (T).
6 Determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da ponte 
e indique se eles estão sob tração.
FIGURA 131 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO.
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.PDF>.
Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: FHG = 29,0 kN (C), FBC =20,5 kN (T), FHC = 12,0 kN (T).
TÓPICO 4 
1. Encontre o esforço cortante e o momento fletor no ponto C da (Figura a 
seguir) que segue.
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FIGURA 140 – VIGA AB COM DUAS CARGAS CONCENTRADAS
FONTE: Autora.
R.: A partir do diagrama de corpo livre podemos encontrar as reações
em C e B,
Da última temos
Da primeira
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Pode-se traçar um diagrama de esforço cortante e momento fletor, 
calculando-se os esforços e os momentos em pontos à direita e à esquerda 
dos pontos considerados como no da figura abaixo,
2 O cabo AB (Figura a seguir) sustenta três cargas verticais nos pontos 
indicados. Se o ponto D está 1,5 m abaixo do apoio esquerdo, determine: 
(a) A elevação dos pontos C e E. (b) A inclinação máxima e a tração máxima 
no cabo.
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FIGURA 141 – CABO COM TRÊS CARGAS CONCENTRADAS
FONTE: Autora
R.: Considerando o cabo inteiro
Considerando apenas o segmento ACD
Resolvendo as duas equações simultaneamente temos:
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a) A elevação dos pontos C e E
Considerando a parte AC do cabo, escrevemos
Abaixo do ponto A e do ponto E.
b) A inclinação máxima é observada na parte EB. Como a componente 
horizontal da tração é constante e igual a 81kN, obtemos
TÓPICO 5 
1 A luminária da figura a seguir tem 50 kg e é suportada pelas hastes AB e 
CB, com diâmetros de 8 mm e 10 mm, respectivamente. Calcule o valor da 
tensão normal média em cada haste e determine qual das duas hastes está 
sujeita à maior tensão.
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FIGURA 155 – LUMINÁRIA
FONTE: Autora
R.: 
Sabendo que a massa da luminária é de 50 kg e que a aceleração da 
gravidade é g = 9,8 m/s ², podemos calcular o seu peso 
Substituindo na equação de equilíbrio para y e resolvendo ambas,
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A tensão normal média em cada haste passa a ser então,
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Sendo a área circular da seção transversal igual a onde
r é o raio que pode ser determinado dividindo-se o diâmetro por 2. Temos:
2 O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como 
mostrado na figura a seguir. Se a haste passa por um furo de 40mm dediâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura 
mínima do disco, necessários para suportar uma carga de 20kN. A tensão 
normal admissível da haste é e a tensão de cisalhamento
 admissível do disco é
R.:
Sabendo que a área é dada por
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Que é o diâmetro do disco.
Utilizando a tensão admissível no disco, encontramos:
E a sua espessura é obtida através da área seccionada