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Cimento Portland 
Mareio Antonio Ramalho 
Engenheiro Civil (1980). Mestre (1983). Doutor 
(1990) e Uvre Docente (2001) pela Escola de 
Engenharia de São Carlos, Universidade de S>o 
Paulo, onde atualmente é Professor Associado. 
Leciona disciplinas em nível de graduação e 
pós-graduação nas áreas de alvenaria estrutural 
e análise de estruturas de concreto. Também 
desenvolve pesquisas nessas áreas, com 
dezenas de trabalhos publicados em revistas, 
congressos e outros eventos científicos. Tem 
experiência profissional em cálculo de 
estruturas de concreto e alvenaria e já ministrou 
diversos cursos, mini-cursos e palestras em 
uni-versidades e associa >es de engenheiros no 
Brasil Foi membro da comissão executiva da 
nova NB-1 e e diretor do sub-comitê SC 123 -
Alvenaria Estrutural de Blocos de Concreto do 
CB-2 da ABNT. 
Projeto de Edifícios de Alvenaria Estrutural 
Mareio A. Ramalho 
Márcio R. S. Corrêa 
PIN! õfÍt/T?— W V ^ Brasileira dc Cimento Portland 
P R O J E T O DE EDIFÍCIOS DE ALVENARIA E S T R U T U R A L 
© Copyr ight Edi tora Pini Ltda. 
Todos os direi tos de reprodução ou t radução reservados pela Editora Pini Ltda. 
DADOS INTERNACIONAIS PARA CATALOGAÇÃO NA 
PUBLICAÇÃO (CIP) DO DEPARTAMENTO NACIONAL DO LIVRO 
R165 Ramalho , Mareio. 
Projeto de edi f íc ios d e a lvenar ia estrutural / Mareio A. 
Ramalho , Mare io R. S. Cor rêa . São Paulo : Pini, 2003. 
p . ; cm. 
ISBN 85-7266-147-6 
1. Engenhar ia de estruturas. 2. A lvenar ia . 3. Edif ícios. I. 
Corrêa, Márc io R. S. II. Título. 
C D D 624.1 
Coordenação de livros: Raque l Cardoso Reis 
Produção editorial : Renata Costa 
Projeto gráfico, edi toração e capa: Cel ina Dias 
Revisão: Môn ica Costa 
Editora Pini Ltda. 
Rua: Anha ia , 964 - Cep. 01130-900 - São Paulo - SP - Brasi l 
Fone: 11 2173-2328 - Fax: 11 2173-2327 
www.p in iweb.com - manua is@pin i .com.br 
1a ed ição 
3- t i ragem, 1.000 exemplares, nov/08 
mim tnii.ni 
http://www.piniweb.com
mailto:manuais@pini.com.br
Os Autores agradecem à 
ABCP e ao SENAI o apoio 
fornecido à divulgação 
deste trabalho. 
A alvenaria é um material de construção tradicional que tem sido usado há milhares de 
anos. Em suas formas primitivas a alvenaria foi construída tipicamente com tijolos de barro de 
baixa resistência ou de pedra, sendo o projeto baseado em métodos empíricos. Ao longo do tempo, 
foram desenvolvidas unidades de cerâmica cozida e de outros materiais de alta resistência, no 
entanto a aplicação de métodos empíricos de projeto e construção se manteve até o século 20. 
Apenas recentemente a alvenaria passou a ser tratada como um verdadeiro material de engenharia, 
passando o projeto dessas estruturas a ser baseado em princípios científicos rigorosos. Esse fato foi 
influenciado por um aumento significativo na pesquisa básica e aplicada ao longo dos últimos 50 anos. 
O presente texto compreende uma atual e ampla cobertura dos vários aspectos do projeto 
estrutural e reflete o estado da arte do projeto e prática de alvenaria no Brasil. Uma vez que os 
princípios do projeto da alvenaria são universais, grande parte do material apresentado é igualmente 
aplicável à construção em alvenaria em outros países, particularmente naqueles em que as ações 
sísmicas não são dominantes no projeto. 
O livro é relevante não apenas para alunos, como também para pesquisadores e 
engenheiros projetistas, e vem se juntar ao relativamente reduzido número de textos amplos sobre 
projeto de alvenaria disponíveis na literatura mundial. 
A.W. Page 
CBPI Professor in Structural Clay Brickwork 
The University of Newcastle, Australia 
Foreword 
Masonry is a traditional building material which has been used for several thousand 
years. In its early forms, masonry was constructed typically from low strength mud brick or stone 
with the design being based on empirical methods. Over the years, fired clay and other higher 
strength masonry units were developed, but empirical methods of design and construction 
continued well into the 2(7" century. It is only recently that masonry has been treated as true 
engineering material with the design of masonry structures being based on rigorous engineering 
principies. This has been assisted by a dramatic increase in applied and fundamental masonry 
research over the past 50 years. 
This text provides an up-to-date, comprehensive coverage of the various aspects of the 
structural design of masonry and reflects the current state of the art of masonry design and practice 
in Brazil. Since the principies of masonry design are universal, the bulk of the material presented is 
equally applicable to masonry construction in other countries, particularly where seismic loading 
does not govern the design. 
The book will be relevant not only to students, but also to researchers and practising 
engineers, and joins the relatively small number of comprehensive texts on masonry design which 
are available worldwide. 
A.W. Page 
CBPI Professor in Structural Clay Brickwork 
The University of Newcastle, Australia 
Nota do Pat roc inador 
No ramo das construções as informações técnicas são a chave do trabalho produtivo 
para quem projeta, constrói ou fiscaliza. Mesmo para o incorporador ou investidor, que se atêm a 
outras matérias, saber o alcance de técnicas construtivas ajuda a refletir sobre os projetos que 
lhes são propostos. 
No Brasil, é grande a preocupação com informações sobre sistemas construtivos. No 
campo do desenvolvimento tecnológico de blocos de concreto para alvenaria estrutural, um exemplo 
marcante aconteceu em 1990, quando o Manual Técnico de Alvenaria foi lançado, pela Associação 
Brasileira de Construção Industrializada, consolidando, pela primeira vez, quase duas décadas de 
práticas indicadas. 
Daí para frente, as necessidades foram se multiplicando, passando a exigir aperfeiçoamentos 
e atualizações constantes que começam nos centros de pesquisa e chegam até aos canteiros de obras. 
Para atingir e registrar o estado da arte, surge, em 2003, este livro Projetos de Edifícios 
de Alvenaria Estrutural, voltado aos estudiosos e profissionais de estruturas. Expõe, de forma 
organizada e didática, questões que até então estavam dispersas em diferentes artigos técnicos. 
Os autores reúnem as melhores credenciais para fazer a obra. Mareio Antonio Ramalho, 
entre outros títulos, é Livre Docente e atualmente Professor Associado, em nível de graduação e 
pós-graduação, da Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo (USP). 
Márcio Roberto Silveira Corrêa, com pós-doutorado pela Universidade de Newcastle, Austrália, é 
também professor de São Carlos. Ambos desenvolvem pesquisas, participam de obras, e colaboram 
com o sistema brasileiro de qualidade e normalização. 
A Associação Brasileira de Cimento Portland - ABCP - orgulha-se de participar do 
lançamento, junto com o Senai e a Pini, certa de que oferece um instrumento valioso para a 
e laboração dos projetos de a lvenar ia estrutural com blocos de concreto, apro fundando o 
conhecimento técnico desse sistema construtivo. 
Eng9 Renato José Giusti 
Presidente da Associação Brasileira de Cimento Portland 
P R E F Á C I O X I 
N O T A D O P A T R O C I N A D O R X I I I 
1 C O N S I D E R A Ç Õ E S I N I C I A I S 1 
1 .1 C O N C E I T O E S T R U T U R A L B Á S I C O 1 
1 .2 A S P E C T O S H I S T Ó R I C O S E D E S E N V O L V I M E N T O D O S I S T E M A 2 
1 .2 .1 PIRÂMIDES DE GUIZÉ 2 
1 . 2 . 2 FAROL DE ALEXANDRIA 3 
1 . 2 . 3 COLISEO 3 
1 . 2 . 4 CATEORAL DE REIMS 3 
1 .2 .5 EDIFÍCIO MONADNOCK 4 
1 .2 .6 ALVENARIA NÃO-ARMADA NA SUÍÇA 4 
1 .2 .7 HOTEL EXCALIBUR EM LAS VEGAS 4 
1 .2 .8 PRIMEIROS EDIFÍCIOS RESIDENCIAIS NO BRASIL 4 
1 .2 .9 SITUAÇÃO ATUAL NO BRASIL 6 
1 .3 C O M P O N E N T E S D A A L V E N A R I A E S T R U T U R A L 6 
1 .3 .1 UNIDADE 7 
1 .3 .2 ARGAMASSA 7 
1 .3 .3 GRAUTE 8 
1 .3 .4 ARMADURAS 8 
1 .4 A S P E C T O S T É CN I C O S E E C O N Ô M I C O S 9 
1 .4 .1 PRINCIPAIS PARÂMETROS A SEREM CONSIDERADOS F*RA A ADOÇÃO DO SISTEMA 9 
1 . 4 . 2 PRINCIPAIS PONTOS POSITIVOS DO SISTEMA 1 0 
1 . 4 . 3 PRINCIPAIS PONTOS NEGATIVOS DO SISTEMA 11 
1 .5 C O N C L U S Ã O 1 2 
2 P R I N C I P A I S A S P E C T O S Q U A N T O À M O D U L A Ç Ã O 1 3 
2 .1 C O N C E I T O S B Á S I C O S 1 3 
2 . 2 I M P O R T Â N C I A D A M O D U L A Ç Ã O 1 3 
2 . 3 B L O C O S U S U A L M E N T E U T I L I Z A D O S 1 4 
2 . 4 E S C O L H A D A M O D U L A Ç Ã O A S E R U T I L I Z A D A 1 5 
2 . 5 M O D U L A Ç Ã O H O R I Z O N T A L - P R I N C I P A I S D E T A L H E S 1 6 
2 . 6 S O L U Ç Õ E S R E C O M E N D A D A S P A R A C A N T O S E B O R D A S 1 8 
2 .6 .1 MÓDULO E LARGURA IGUAIS 1 8 
2 . 6 . 2 LARGURA MENOR QUE O MÓDULO 2 0 
2 . 7 M O D U L A Ç Ã O V E R T I C A L - P R I N C I P A I S D E T A L H E S 2 1 
2 . 8 C O N C L U S Ã O 2 3 
3 A N Á L I S E E S T R U T U R A L P A R A C A R G A S V E R T I C A I S 2 5 
3 .1 P R I N C I P A I S S I S T E M A S E S T R U T U R A I S 2 5 
3 .1 .1 PAREDES TRANSVERSAIS 2 5 
3 . 1 . 2 PAREDES CELULARES 2 5 
3 . 1 . 3 SISTEMA COMPLEXO 2 5 
3 . 2 C A R R E G A M E N T O V E R T I C A L 2 6 
3 . 2 . 1 CARGAS PROVENIENTES DAS LAJES 2 6 
3 . 2 . 2 PESO PRÓPRIO DAS PAREDES 2 7 
3 . 3 I N T E R A Ç Ã O D E P A R E D E S 2 8 
3 . 4 I M P O R T Â N C I A D A U N I F O R M I Z A Ç Ã O D A S C A R G A S 3 0 
3 . 5 I N F L U Ê N C I A D O P R O C E S S O C O N S T R U T I V O 3 0 
3 . 6 P R O C E D I M E N T O S D E D I S T R I B U I Ç Ã O 3 2 
3 . 6 . 1 PAREDES ISOLADAS 3 2 
3 . 6 . 2 GRUPOS ISOLADOS DE PAREDES 3 2 
3 . 6 . 3 GRUPOS DE PAREDES COM INTERAÇÃO 3 4 
3 . 6 . 4 MODELAGEM TRIDIMENSIONAL EM ELEMENTOS FINITOS 3 5 
3 . 7 E X E M P L O S D E D I S T R I B U I Ç Ã O D E C A R G A S V E R T I C A I S 3 5 
3 . 7 . 1 EXEMPLO 1 3 5 
3 . 7 . 2 EXEMPLO 2 3 8 
3 . 8 V E R I F I C A Ç Ã O D E D A N O A C I D E N T A L 4 2 
3 . 9 C O N C L U S Ã O 4 3 
4 A N Á L I S E E S T R U T U R A L P A R A A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 4 5 
4 . 1 C O N C E I T O S B Á S I C O S 4 5 
4 . 2 A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S A S E R E M C O N S I D E R A D A S 4 6 
4 . 2 . 1 AÇÃO DOS VENTOS 4 6 
4 . 2 . 2 DESAPRUMO 4 7 
4 . 2 . 3 SISMOS 4 8 
4 . 3 C O N S I D E R A Ç Ã O D E A B A S E M P A I N É I S D E C O N T R A V E N T A M E N T O 4 8 
4 . 4 D I S T R I B U I Ç Ã O D E A Ç Õ E S P A R A C O N T R A V E N T A M E N T O S S I M É T R I C O S 4 9 
4 . 4 . 1 PAREDES ISOLADAS 4 9 
4 . 4 . 2 PAREDES COM ABERTURAS 5 0 
4 . 5 D I S T R I B U I Ç Ã O D E A Ç Õ E S P A R A C O N T R A V E N T A M E N T O S A S S I M É T R I C O S 5 2 
4 . 5 . 1 PAREDES ISOLADAS 5 2 
4 . 5 . 2 PAREDES COM ABERTURAS 5 3 
4 . 6 C O N S I D E R A Ç Ã O D E T R E C H O S R Í G I D O S P A R A O S L I N T É I S 5 4 
4 . 7 E X E M P L O S D E M O D E L O S P A R A E D I F Í C I O S S O B A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 5 5 
4 . 7 . 1 EXEMPLO 1 5 6 
4 . 7 . 1 . 1 DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS 5 6 
4 . 7 . 1 . 2 MOMENTOS FLETORES 5 8 
4 . 7 . 1 . 3 ESFORÇOS NORMAIS 6 0 
4 . 7 . 1 . 4 TENSÕES NORMAIS 6 0 
4 . 7 . 1 . 5 VERIFICAÇÃO DOS LINTÉIS À FLEXÃO E AO CISALHAMENTO 6 2 
4 . 7 . 2 EXEMPLO 2 6 3 
4 . 7 . 2 . 1 DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS 6 4 
4 . 7 . 2 . 2 MOMENTOS FLETORES 6 4 
4 . 7 . 2 . 3 ESFORÇOS NORMAIS 6 5 
4 . 7 . 2 . 4 TENSÕES NORMAIS 6 5 
4 . 7 . 2 . 5 VERIFICAÇÃO DOS LINTÉIS À FLEXÃO E AO CISALHAMENTO 6 7 
4 . 7 . 3 CONCLUSÕES GERAIS PARA OS EXEMPLOS 6 7 
4 . 8 E S T A B I L I D A D E G L O B A L D A E S T R U T U R A D E C O N T R A V E N T A M E N T O 6 8 
4 . 8 . 1 CONCEITOS BÁSICOS 6 8 
4 . 8 . 2 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 6 9 
4 . 8 . 3 AVALIAÇÃO DOS ACRÉSCIMOS DE SEGUNDA ORDEM 6 9 
4 . 8 . 4 DESLOCABILIDADE DAS ESTRUTURAS POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS 7 0 
4 . 8 . 4 . 1 PARÂMETRO A 7 0 
4 . 8 . 4 . 2 PARÂMETRO YZ 7 1 
4 . 9 C O N C L U S Ã O 7 2 
5 P R I N C I P A I S P A R Â M E T R O S P A R A O D I M E N S I O N A M E N T O D E E L E M E N T O S 7 3 
5 . 1 T E N S Õ E S A D M I S S Í V E I S E E S T A D O S L I M I T E S 7 3 
5 . 2 R E S I S T Ê N C I A À C O M P R E S S Ã O D A A L V E N A R I A 7 5 
5 . 2 . 1 INFLUÊNCIA DOS COMPONENTES NA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO 7 5 
5 . 2 . 1 . 1 BLOCOS 7 5 
5 . 2 . 1 . 2 ARGAMASSA 7 6 
5 . 2 . 1 . 3 GRAUTE 7 7 
5 . 2 . 1 . 4 ARMADURAS 7 8 
5 . 2 . 2 AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DAS PAREDES 7 8 
5 . 2 . 2 . 1 ESTIMATIVA ATRAVÉS DA RESISTÊNCIA DE PRISMAS 7 8 
5 . 2 . 2 . 2 ESTIMATIVA ATRAVÉS DOS COMPONENTES 8 0 
5 . 2 . 2 . 3 MODELOS TEÓRICOS DE RUPTURA 8 1 
5 . 3 C A R A C T E R Í S T I C A S G E O M É T R I C A S P A R A E L E M E N T O S D E A L V E N A R I A 8 4 
5 . 3 . 1 ESPESSURA EFETIVA PARA PILARES E PAREDES PORTANTES 8 5 
5 . 3 . 2 ALTURA EFETIVA 8 6 
5 . 3 . 3 ESBELTEZ 8 7 
5 . 3 . 4 COMPRIMENTO EFETIVO DE ABAS EM PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO 8 7 
5 . 3 . 5 TRECHOS RÍGIDOS PARA LINTÉIS 8 8 
5 . 4 P A R Â M E T R O S D E R E S I S T Ê N C I A P A R A A L V E N A R I A 8 9 
5 . 4 . 1 PARÂMETROS DA N B R 1 0 8 3 7 8 9 
5 . 4 . 2 PARÂMETROS DA B S 5 6 2 8 9 1 
5 . 5 P A R Â M E T R O S E L Á S T I C O S P A R A A L V E N A R I A 9 3 
6 D I M E N S I O N A M E N T O D E E L E M E N T O S 9 5 
6 . 1 I N T R O D U Ç Ã O 9 5 
6 . 2 C O M P R E S S Ã O S I M P L E S 9 5 
6 . 2 . 1 TENSÃO ATUANTE 9 6 
6 . 2 . 2 COMPARAÇÃO DE DIMENSIONAMENTOS 9 6 
6 . 3 F L E X Ã O S I M P L E S 9 8 
6 . 3 . 1 DIFERENÇAS CONCEITUAIS ENTRE A N B R 1 0 8 3 7 E A B S 5 6 2 8 9 9 
6 . 3 . 2 HIPÓTESES BÁSICAS DA N B R 1 0 8 3 7 9 9 
6 . 3 . 3 EQUACIONAMENTO BÁSICO 1 0 0 
6 . 3 . 4 DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 1 0 2 
6 . 3 . 5 DIMENSIONAMENTO SUBARMADO 1 0 3 
6 . 3 . 6 DIMENSIONAMENTO SUPERARMADO 1 0 4 
6 . 3 . 7 DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA DUPLA 1 0 4 
6 . 4 C I S A L H A M E N T O 1 0 6 
6 .4 .1 TENSÕES ATUANTES 1 0 6 
6 . 4 . 2 DIMENSIONAMENTO COM OU SEM ARMADURAS 1 0 7 
6 . 4 . 3 CÁLCULO DA ÁREA E DISPOSIÇÃO DAS ARMADURAS PARA O CISALHAMENTO 1 0 7 
6 . 5 F L E X Ã O C O M P O S T A 1 0 9 
6 .5 .1 SOLICITAÇÕES COMBINADAS SEGUNDO A N B R 1 0 8 3 7 1 0 9 
6 . 5 . 2 EOUACIONAMENTO BÁSICO 1 1 0 
6 . 5 . 3 PROCEDIMENTO SIMPLIFICADO 1 1 3 
7 E X E M P L O S D E A P L I C A Ç Ã O 1 1 5 
7 .1 I N T R O D U Ç Ã O 1 1 5 
7 . 2 E X E M P L O S D E C O M P R E S S Ã O S I M P L E S 1 1 5 
7 . 2 . 1 EXEMPLO 1 1 1 5 
7 . 2 . 2 EXEMPLO 2 1 1 6 
7 . 2 . 3 EXEMPLO 3 1 1 7 
7 . 3 E X E M P L O S D E F L E X Ã O S I M P L E S 1 1 7 
7 .3 .1 EXEMPLO 1 1 1 7 
S O L U Ç Ã O C O M O A U X Í L I O D E T A B E L A S 1 1 8 
7 . 3 . 2 EXEMPLO 2 121 
7 . 3 . 3 EXEMPLO 3 1 2 2 
7 . 4 E X E M P L O S D E F L E X Ã O S I M P L E S 1 2 4 
7 .4 .1 EXEMPLO 1 1 2 4 
7 . 4 . 2 EXEMPLO 2 1 2 6 
7 . 5 E X E M P L O S D E C I S A L H A M E N T O 1 2 8 
7 .5 .1 EXEMPLO 1 1 2 8 
7 . 5 . 2 EXEMPLO 2 1 2 8 
8 E X E M P L O D E E D I F Í C I O D E P O R T E M É D I O 1 3 1 
8 .1 C A R A C T E R Í S T I C A S D O E D I F Í C I O 131 
8 . 2 C A R G A S V E R T I C A I S 1 3 2 
8 . 3 D I S T R I B U I Ç Ã O D A S C A R G A S V E R T I C A I S 1 3 4 
8 . 4 A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 1 3 6 
8 .4 .1 AÇÕES DEVIDAS AO VENTO 1 3 6 
8 . 4 . 2 AÇÓCG CONNCGPONDCNTCG AO DCGAPFIUMO 1 3 6 
8 .5 D I S T R I B U I Ç Ã O D A S A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 1 3 7 
8 . 6 D I M E N S I O N A M E N T O D A S P A R E D E S 1 4 0 
8 . 7 D I M E N S I O N A M E N T O D A S V E R G A S 1 4 4 
8 . 8 E S T A B I L I D A D E G L O B A L D A E S T R U T U R A D E C O N T R A V E N T A M E N T O 1 4 5 
8 . 9 C O N C L U S Ã O 1 4 6 
A N E X O S - T A B E L A S D E F L E X Ã O 1 4 7 
R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S 1 7 1 
1 
Considerações In ic ia is CA
P
Í
T
U
L
O
 
1 . 1 C O N C E I T O E S T R U T U R A L B Á S I C O 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
O principal conceito estrutural ligado à utilização da alvenaria estrutural é a transmissão 
de ações através de tensões de compressão.Esse é o conceito crucial a ser levado em conta 
quando se discute a alvenar ia como processo construt ivo para e laboração de estruturas. 
Especialmente no presente é evidente que se pode admitir a existência de tensões de tração em 
determinadas peças. Entretanto, essas tensões devem preferencialmente se restringir a pontos 
específicos da estrutura, além de não apresentarem valores muito elevados. Em caso contrário, 
se as trações ocorrerem de forma generalizada ou seus valores forem muito elevados, a estrutura 
pode ser até mesmo tecnicamente viável, mas dificilmente será economicamente adequada. 
Assim, pode-se perceber por que o sistema construtivo se desenvolveu inicialmente 
através do empilhamento puro e simples de unidades, tijolos ou blocos, de forma a cumprir a 
destinação projetada. Nessa fase inicial, vãos até podiam ser criados, mas sempre por peças 
auxiliares, como, por exemplo, vigas de madeira ou pedra. É importante mencionar que os vãos 
criados através desse sistema apresentavam uma deficiência séria: a necessidade de serem 
executados com dimensões relativamente pequenas. 
Além disso, existia o problema óbvio da durabilidade, no caso de se utilizar para essas 
vigas um material de vida útil relativamente pequena quando comparado ao que era utilizado nas 
alvenarias propriamente ditas. Esse era o caso, por exemplo, de vigas de madeira utilizadas sobre 
alvenarias cerâmicas de pedra. É principalmente por causa disso que muitas construções da 
antigüidade não podem ser apreciadas em sua plenitude. Exemplos eloqüentes são as construções 
de Pompéia ou as ruínas de Babilônia. Nessas relíquias, e em muitas outras de mesma idade, as 
paredes são originais, mas os pavimentos e telhados, quando existem, são partes reconstruídas, 
pois os originais desapareceram com o correr dos séculos. 
Com o desenvolv imento do sistema construtivo, percebeu-se que uma alternativa 
interessante e viável para a execução dos vãos seriam os arcos. Nesse caso, os vãos poderiam 
ser obtidos através do conveniente arranjo das unidades, de forma a se garantir o preceito básico 
da não-existência de tensões de tração de valores significativos. A figura 1.1 (A) apresenta, de 
forma esquemát ica, um vão produzido dentro dessa concepção. Dessa forma puderam ser 
executadas pontes e muitas outras obras de grande beleza e durabilidade, obtendo-se um salto 
de qualidade significativo para o sistema construtivo. 
Talvez os mais marcantes exemplos de estruturas que utilizaram, de forma generalizada, 
esse procedimento para a obtenção de amplos espaços internos tenham sido as catedrais góticas 
do final da Idade Média e começo do Renascimento. Com os tetos em abóbadas suportadas por 
arcos de alvenaria, essas construções aliavam a beleza das formas à durabilidade dos materiais. 
Essas estruturas, quando necessário, foram construídas até mesmo com arcos que se apoiavam 
em outros arcos de contraventamento, evitando-se as tensões de tração de valores elevados e 
permitindo-se a criação de vãos e pés-direito relativamente grandes. É o esquema que se apresenta 
na figura 1.1 (B), e que pode ser visto claramente, por exemplo, na parte posterior da igreja de 
Notre Dame, em Paris. 
1 . 2 A S P E C T O S H I S T Ó R I C O S E D E S E N V O L V I M E N T O D O S I S T E M A 
A alvenaria é um sistema construtivo muito tradicional, tendo sido muito utilizado desde o início 
da atividade humana de executar estruturas para os mais variados fins. Com a utilização de blocos de 
diversos materiais, como argila, pedra e outros, foram produzidas obras que desafiaram o tempo, atravessando 
séculos ou mesmo milênios e chegando até nossos dias como verdadeiros monumentos de grande 
importância histórica. Outras edificações não têm grande importância histórica geral, mas, dentro do sistema 
construtivo estudado, acabaram se tornando marcos a serem mencionados. 
Neste texto serão apresentados a lguns exemplos que podem ser cons iderados 
importantes para o entendimento do desenvolvimento do sistema construtivo em análise. Não se 
pretende aqui discutir de forma detalhada a história da alvenaria, mas apenas apresentar um 
rápido resumo da evolução desse sistema construtivo ao longo do tempo, em especial destacando-se 
os seus aspectos estruturais. 
1 . 2 . 1 PIRÂMIDES DE GUIZÉ 
São três grandes pirâmides, Quéfren, Queóps e Miquerinos, construídas em blocos de 
pedra que datam de aproximadamente 2600 anos antes de Cristo. A Grande Pirâmide, túmulo do 
faraó Queóps, mede 147 m de altura e sua base é um quadrado de 230 m de lado. Em sua construção 
foram utilizados aproximadamente 2,3 milhões de blocos, com peso médio de 25 kN. 
Figura 1.1 - (A) Arco simples1 e (B) Arco contraventado. 
' Associação Brasileira de Construção Industrializada (1990). 
Por essas características, as pirâmides de Guizé são consideradas grandes monumentos 
da antigüidade, símbolos da capacidade dos faraós de mobilizarem verdadeiros exércitos de 
trabalhadores durante longos períodos. Entretanto, do ponto de vista estrutural, as pirâmides não 
apresentavam nenhuma grande inovação, sendo construídas através da colocação de blocos, uns 
sobre os outros, de maneira a produzirem a forma piramidal que as caracterizam. 
1 . 2 . 2 FAROL DE ALEXANDRIA 
Construído em uma das ilhas em frente ao porto de Alexandria, Faros, aproximadamente 280 
anos antes de Cristo, é o mais famoso e antigo farol de orientação. Construído em mármore branco, com 
134 m de altura, possuía um engenhoso sistema de iluminação, baseado em um jogo de espelhos. 
Do ponto de vista estrutural tratava-se de uma obra marcante, com altura equivalente a 
um prédio de 45 pavimentos. Infelizmente, foi destruído por um terremoto no século XIV, restando 
apenas as suas fundações como um testemunho de sua grandeza. 
1 . 2 . 3 COLISEO 
Esse grande anfiteatro, com capacidade para 50.000 pessoas, é um maravilhoso exemplo 
de arquitetura romana, com mais de 500 m de diâmetro e 50 m de altura. Construído por volta do 
ano 70 d.C. possuía 80 portais, de forma que todas as pessoas que estivessem assistindo aos 
espetáculos lá realizados pudessem entrar e sair com grande rapidez. 
Outra característica interessante, agora quanto ao aspecto estrutural, é que os teatros 
romanos, ao contrário dos teatros gregos que se aproveitavam de desníveis naturais de terrenos 
apropriados, eram suportados por pórticos formados por pilares e arcos. Essa característica 
estrutural lhes conferia uma maior liberdade em termos de localização, podendo estar situados até 
mesmo nos centros das grandes cidades. 
1 . 2 . 4 CATEDRAL DE REIMS 
t um grande exemplo de catedral gótica. Construída entre 1211 e 1300 d.C. demonstra 
a aprimorada técnica de se conseguir vãos relativamente grandes utilizando-se apenas estruturas 
comprimidas. Seu interior é amplo, com os arcos que sustentam o teto sendo apoiados em pilares 
esbeltos, que, por sua vez, são contraventados adequadamente por arcos externos. 
As catedrais góticas em geral, e a catedral de Reims em particular, podem ser citadas 
como os grandes exemplos de estruturas de alvenaria com interiores que conferem sensação de 
amplitude e grandeza. Ao se adentrar nessas edificações fica claro que, apesar de todas as 
limitações que os procedimentos empíricos impunham aos arquitetos desses edifícios, as técnicas 
construtivas que foram sendo refinadas ao longo de séculos acabaram produzindo resultados 
muito satisfatórios. 
1 . 2 . 5 EDIFÍCIO MONADNOCK 
Foi construído em Chicago de 1889 a 1891 e tornou-se um símbolo clássico da moderna 
alvenaria estrutural. Com seus 16 pavimentos e 65 m de altura, foi considerado uma obra ousada, 
como se explorasse os limites dimensionais possíveis para edifícios de alvenaria. 
Entretanto, por causa dos métodos empíricos de dimensionamento empregados até então, as 
paredes na base têm 1,80 m de espessura. Acredita-se que se fosse dimensionado pelos procedimentos 
utilizadosatualmente, com os mesmos materiais, essa espessura seria inferior a 30 cm. 
1 . 2 . 6 ALVENARIA NÃO-ARMADA NA SUÍÇA 
Outro marco importante na história das construções em alvenaria é um edifício construído 
em 1950, por Paul Haller, na Basiléia, Suíça. O edifício, com 13 pavimentos e 42 m de altura, foi 
executado em alvenaria estrutural não-armada. A espessura das paredes é de 15 cm, para paredes 
internas, e 37,5 cm, para as paredes externas. 
Considerando-se esses dados e sabendo-se que as paredes internas é que recebem a maior 
parte das cargas da edificação, pode-se concluir que o dimensionamento deve ter sido realizado com 
base em procedimentos não muito diferentes dos que se utilizam atualmente. A largura de 15 cm para 
as paredes mais solicitadas é exatamente a que se obteria em um dimensionamento convencional 
utilizando-se qualquer uma das principais normas internacionais. Muito provavelmente a largura das 
paredes externas, de 37,5 cm, foi adotada em função de características relacionadas ao conforto térmico. 
1 . 2 . 7 HOTEL EXCAUBUR EM LAS VEGAS 
Segundo Amrhein (1998), o mais alto edifício em alvenaria estrutural da atualidade é o 
Hotel Excalibur, em Las Vegas, EUA. O complexo do hotel é formado por quatro torres principais, 
com 28 pavimentos, cada uma contendo 1.008 apartamentos. As paredes estruturais foram 
executadas em alvenaria armada de blocos de concreto e a resistência à compressão especificada 
na base foi de aproximadamente 28 MPa. 
1 . 2 . 8 PRIMEIROS EDIFÍCIOS RESIDENCIAIS NO BRASIL 
O sistema construtivo em alvenaria é utilizado no Brasil desde que os portugueses aqui 
desembarcaram no início do século XVI. Entretanto, a alvenaria com blocos estruturais, que pode 
ser encarada como um sistema construtivo mais elaborado e voltado para a obtenção de edifícios 
mais econômicos e racionais, demorou muito a encontrar o seu espaço. 
A cronologia das edificações realizadas com blocos vazados estruturais é um pouco 
controversa, mas pode-se supor que os primeiros edifícios construídos no Brasil tenham surgido 
em 1966, em São Paulo. Foram executados com blocos de concreto e t inham apenas quatro 
pavimentos, conforme se apresenta na figura 1.2(A). 
Edifícios mais elevados foram construídos, também em São Paulo, em 1972 .0 condomínio 
Central Parque Lapa tinha quatro blocos com 12 pavimentos em alvenaria armada de blocos de 
concreto, figura 1.2(B). 
Figura 1.2 - Primeiros edifícios residenciais no BrasiP. 
Um pouco posterior é o edifício Muriti, em São José dos Campos, com 16 pavimentos. 
Também foi executado em alvenaria armada de blocos vazados de concreto. 
Em alvenaria não-armada, apenas em 1977 se tem notícia dos primeiros edifícios, com 
nove pavimentos. Essas edificações foram executadas com blocos sílico-calcáreos, com 24 cm de 
espessura para as paredes estruturais. 
Dessa forma, apesar de sua chegada tardia, o sistema acabou se f i rmando como uma 
al ternat iva ef ic iente e econômica para a execução de edi f icações residenciais e t ambém 
industriais. Com um desenvolvimento mais lento a princípio e bem mais rápido nos últimos anos. 
o sistema acabou sendo muito bem aceito, o que se pode perceber principalmente quando se 
considera o número de empresas produtoras de blocos, tanto de concreto como cerâmicos, 
existentes na atualidade. 
2 Associação Brasileira de Construção Industrializada (1990). 
1 . 2 . 9 SITUAÇÃO ATUAL NO BRASIL 
Atualmente, no Brasil, o sistema construtivo em alvenaria tem experimentado um grande 
impulso. Devido à estabilização da economia, a concorrência tem feito com que um número crescente 
de empresas passe a se preocupar mais com os custos, acelerando as pesquisas e a utilização de 
novos materiais. 
Dentro do sistema Alvenaria Estrutural, a alvenaria não-armada de blocos vazados de 
concreto parece ser um dos mais promissores, tanto pela economia proporcionada como pelo 
número de fornecedores já existentes. Sua utilização é mais indicada em edificações residenciais 
de padrão baixo ou médio com até 12 pavimentos. Nesses casos utilizam-se paredes com espessura 
de 14 cm e a resistência de bloco normalmente necessária é de 1 MPa vezes o número de 
pavimentos acima do nível considerado. 
Entretanto, a alvenaria de blocos cerâmicos também ganha força com o aparecimento 
de fornecedores confiáveis para resistências superiores a 10 MPa. Apesar de, no momento, ser 
mais utilizada em edificações de poucos pavimentos, pode-se considerar que dentro de algum 
tempo os blocos cerâmicos passarão a disputar com os blocos de concreto a utilização em 
edifícios de até 10 pavimentos. 
1 . 3 C O M P O N E N T E S D A A L V E N A R I A E S T R U T U R A L 
Neste item serão apresentadas algumas características dos principais componentes da 
alvenaria estrutural. Inicialmente é importante se ressaltar dois conceitos básicos que são aqui 
necessários: componente e elemento. Neste texto, esses conceitos são mencionados com o 
significado que possuem na NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de 
Concreto3. Essa norma de cálculo, entretanto, os apresenta de forma diversa da NBR 8798 -
Execução e Controle de Obras de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto4. Assim, 
torna-se necessário um esclarecimento cabal sobre os significados aqui adotados. 
Entende-se por um componente da alvenaria uma entidade básica, ou seja, algo que 
compõe os elementos que, por sua vez, comporão a estrutura. Os componentes principais da 
alvenaria estrutural são: blocos, ou unidades; argamassa; graute e armadura. Já os elementos são 
uma parte suficientemente elaborada da estrutura, sendo formados por pelo menos dois dos 
componentes anteriormente citados. Como exemplo de elementos podem ser citados: paredes, 
pilares, cintas, vergas, etc. 
9 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1985). 
Cons iderações I n i c i a i s 
1 . 3 . 1 UNIDADE 
Como componentes básicos da alvenaria estrutural, as unidades são as principais 
responsáveis pela definição das características resistentes da estrutura. 
Quanto ao material componente, as unidades mais utilizadas no Brasil para edificações 
de alvenaria estrutural são, em ordem decrescente de utilização: unidades de concreto, unidades 
cerâmicas e unidades sílico-catcáreas. 
Quanto à forma as unidades podem ser maciças ou vazadas, sendo denominadas tijolos ou 
blocos, respectivamente. São consideradas maciças aquelas que possuem um índice de vazios de no 
máximo 25% da área total. Se os vazios excederem esse limite, a unidade é classificada como vazada. 
Desse detalhe advêm dois conceitos de grande importância estrutural. A tensão que se refere à área 
total da unidade, desconsiderando-se os vazios, é chamada tensão em relação à área bruta. Já a 
tensão calculada descontando-se a área de vazios é chamada de tensão em relação à área líquida. No 
Brasil, é muito mais comum a referência à área bruta e assim, exceto quando for feita uma observação 
explícita sobre esse ponto, todas as tensões aqui mencionadas serão referidas à área bruta. Usualmente, 
os blocos apresentam uma área de vazios em torno de 50%. Dessa forma a conversão da tensão na 
área bruta para a tensão na área líquida se faz multiplicando-se o primeiro valor por dois. 
Já quanto à aplicação, as unidades podem ser classificadas de vedação e estruturais. 
Neste texto apenas estarão sendo tratadas as unidades estruturais. Assim, é importante observar 
o que está mencionado nas normas brasileiras quanto às resistências mínimas que devem 
apresentar essas unidades. A NBR 6136 - Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria 
Estrutural6especifica que a resistência característica do bloco à compressão, medida em relação 
à área bruta, deve obedecer aos seguintes limites: 
fbK > 6 MPa: blocos em paredes externas sem revestimento; 
fbk > 4,5 MPa: blocos em paredes internas ou externas com revestimento.Portanto, na prática, só podem ser util izados blocos de concreto com resistência 
característica de no mínimo 4,5 MPa. Já a NBR 7171 - Bloco Cerâmico para Alvenaria6 menciona 
que para os blocos portantes cerâmicos a resistência mínima deve ser de 4 MPa. 
1 . 3 . 2 ARGAMASSA 
A argamassa de assentamento possui as funções básicas de solidarizar as unidades, 
transmitir e uniformizar as tensões entre as unidades de alvenaria, absorver pequenas deformações 
5 Associação Brasileira do Normas Técnicas (1980). 
6 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1983). 
e prevenir a entrada de água e de vento nas edificações. Usualmente composta de areia, cimento, 
cal e água, a argamassa deve reunir boas características de trabalhabil idade, resistência, 
plasticidade e durabilidade para o desempenho de suas funções. 
Para o projetista é necessário o conhecimento da resistência média à compressão da 
argamassa, uma vez que a NBR 10837 especifica diferentes valores de tensão admissível à tração e 
ao cisalhamento para a alvenaria em função desse parâmetro. No entanto, a resistência à compressão 
da argamassa não é tão significativa para a resistência à compressão das paredes, conforme ficará 
claro em item subseqüente. Mais importante que essa característica de resistência é a plasticidade, 
que realmente permite que as tensões sejam transferidas de modo uniforme de uma unidade à outra. 
1 . 3 . 3 GRAUTE 
O graute é um concreto com agregados de pequena dimensão e relativamente fluido, 
eventualmente necessário para o preenchimento dos vazios dos blocos. Sua função é propiciar o 
aumento da área da seção transversal das unidades ou promover a solidarização dos blocos com 
eventuais armaduras posicionadas nos seus vazios. Dessa forma pode-se aumentar a capacidade 
portante da alvenaria à compressão ou permitir que as armaduras colocadas combatam tensões 
de tração que a alvenaria por si só não teria condições de resistir. É interessante ressaltar que a 
NBR 8798 estabelece quantidades-limite de cimento, cal e agregados para dosagens não-
experimentais, o que pode ser consultado como referência sempre que necessário. 
Considera-se que o conjunto bloco, graute e eventualmente armadura trabalhe 
monoliticamente, de maneira análoga ao que ocorre com o concreto armado. Para tanto, o graute 
deve envolver completamente as armaduras e aderir tanto a ela quanto ao bloco, de modo a 
formar um conjunto único. 
Segundo a NBR 10837, o graute deve ter sua resistência característica maior ou igual a 
duas vezes a resistência característica do bloco. Essa recomendação é fácil de ser entendida 
quando se recorda que a resistência característica do bloco é referida à área bruta e que o índice 
de vazios para os blocos é usualmente de 50%. Na verdade, seria mais claro se a norma 
mencionasse que a resistência do graute deve ser no mínimo a mesma do bloco em relação à área 
líquida. 
1 . 3 . 4 ARMADURAS 
As barras de aço utilizadas nas construções em alvenaria são as mesmas utilizadas 
nas estruturas de concreto armado, mas, neste caso, serão sempre envolvidas por graute, para 
garantir o trabalho conjunto com o restante dos componentes da alvenaria. Uma exceção é feita 
para as armaduras colocadas nas juntas das argamassas de assentamento. Nesse caso, é 
importante ressaltar que o diâmetro deve ser de no mínimo 3,8 mm, não ultrapassando a metade 
da espessura da junta. 
1 . 4 A S P E C T O S T É C N I C O S E E C O N Ô M I C O S 
Sempre que se fala de um novo sistema construtivo, é imprescindível que se discutam os 
aspectos técnicos e econômicos envolvidos. Isso significa considerar, para cada um desses itens, as 
principais vantagens e desvantagens desse sistema. Para tanto, optou-se não apenas por fazer um 
breve apanhado das principais características da alvenaria estrutural, isoladamente falando, mas, 
também desenvolver uma série de comparações com o processo convencional de produção de 
edifícios de concreto armado. 
Dessa forma pretende-se situar a alvenaria estrutural em relação às estruturas convencionais 
de concreto armado, um sistema construtivo bastante disseminado e muito conhecido, facilitando-se 
assim o entendimento de algumas características mais marcantes do sistema em análise. 
Inicialmente, deve-se ressaltar que a utilização da alvenaria estrutural, para os edifícios 
residenciais, parte de uma concepção bastante interessante que é a de transformar a alvenaria, 
originalmente com função exclusiva de vedação, na própria estrutura. Dessa forma, pode-se evitar a 
necessidade da existência dos pilares e vigas que dão suporte a uma estrutura convencional. 
Assim, a alvenaria passa a ter a dupla função de servir de vedação e suporte para a edificação, 
o que é, em princípio, muito bom para a economia. Entretanto, a alvenaria, nesse caso, precisa ter sua 
resistência perfeitamente controlada, de forma a se garantir a segurança da edificação. Essa necessidade 
demanda a utilização de materiais mais caros e também uma execução mais cuidadosa, o que 
evidentemente aumenta o seu custo de produção em relação à alvenaria de vedação. 
1 . 4 . 1 PRINCIPAIS PARÂMETROS A SEREM CONSIOERADOS PARA A ADOÇÃO DO SISTEMA 
Nos casos usuais, o acréscimo de custo para a produção da alvenaria estrutural compensa 
com folga a economia que se obtém com a retirada dos pilares e vigas. Entretanto, é necessário que 
se atente para alguns detalhes importantes para que a situação não se inverta, passando a ser a 
alvenaria um processo mais oneroso para a produção da estrutura. 
Esses detalhes dizem respeito a determinadas características da edificação que se pretende 
construir, pois não é correto se considerar que um sistema construtivo seja considerado adequado a 
qualquer edifício. Para maior clareza, apresentam-se a seguir as três características mais importantes 
que devem ser levadas em conta para se decidir pelo sistema construtivo mais adequado. 
a) Altura da edificação 
No caso da altura, considerando-se os parâmetros atuais no Brasil, pode-se afirmar que 
a alvenaria estrutural é adequada a edifícios de no máximo 15 ou 16 pavimentos. Para estruturas 
com um número de pavimentos acima desse limite, a resistência à compressão dos blocos 
encon t rados no m e r c a d o não pe rm i te que a obra se ja execu ta s e m um e s q u e m a de 
grauteamento general izado, o que prejudica muito a economia. A lém disso, mesmo que a 
resistência dos blocos pudesse ser adequada quanto ã compressão, as ações horizontais 
começar iam a produzir tensões de tração significativas, o que exigiria a uti l ização de armaduras 
e graute. E se o número de pontos sob essas condições for muito grande, a economia da obra 
estará i r remediavelmente compromet ida. 
b) Arranjo arquitetônico 
É claro que as af irmações feitas no item anterior referem-se a edifícios usuais. Para 
arranjos arquitetônicos que fujam desses padrões usuais, a situação pode ser um pouco melhor, 
ou bem pior. Nesse caso é importante se considerar a densidade de paredes estruturais por m2 de 
pavimento. Um valor indicativo razoável é que haja de 0,5 a 0,7 m de paredes estruturais por m2 de 
pavimento. Dentro desses limites, a densidade de paredes pode ser considerada usual e as 
condições para seu dimensionamento também refletirão essa condição. 
c) Tipo de uso 
Pelo que se menciona no i tem anterior, é importante ressaltar que para edifícios 
comerciais ou residenciais de alto padrão, onde seja necessária a util ização de vãos grandes, 
esse sistema construtivo normalmente não é adequado. A alvenaria estrutural é muito mais 
adequada a edifícios residenciais de padrão médio ou baixo, onde os ambientes, e também os 
vãos, são relativamente pequenos. 
Em especial para edifícios comerciais, é desaconselhável o uso indiscriminado da alvenaria 
estrutural. Nesse tipo de edificação é muito usual a necessidade de um rearranjo das paredes 
internas de forma a acomodar empresas de diversos portes.A adoção de alvenarias estruturais 
para esses casos seria inconveniente, pois essa flexibilidade deixa de existir. Pode-se inclusive 
considerar que sua adoção seja perigosa, pois com o tempo é provável que proprietários realizem 
modificações sem estarem conscientes dos riscos que correm. 
1 . 4 . 2 PRINCIPAIS PONTOS POSITIVOS DO SISTEMA 
Continuando a discussão sobre os mais importantes aspectos técnicos e econômicos da 
alvenaria estrutural, a seguir são apresentadas as características que podem representar as 
principais vantagens da alvenaria estrutural em relação às estruturas convencionais de concreto 
armado, em ordem decrescente de importância. 
a) Economia de fôrmas 
Quando existem, as fôrmas se limitam às necessárias para a concretagem das lajes. 
São, portanto, fôrmas lisas, baratas e de grande reaproveitamento. 
b) Redução significativa nos revestimentos 
Por se utilizar blocos de qualidade controlada e pelo controle maior na execução, a redução 
dos revestimentos é muito significativa. Usualmente o revestimento interno é feito com uma camada 
de gesso aplicada diretamente sobre a superfície dos blocos. No caso dos azulejos, eles também 
podem ser colados diretamente sobre os blocos. 
c) Redução nos desperdícios de material e mão-de-obra 
O fato de as paredes não admitirem intervenções posteriores significativas, como rasgos 
ou aberturas para a colocação de instalações hidráulicas e elétricas, é uma importante causa da 
eliminação de desperdícios. Assim, o que poderia ser encarado como uma desvantagem, na verdade 
implica a virtual eliminação da possibilidade de improvisações, que encarecem significativamente 
o preço de uma construção. 
d) Redução do número de especialidades 
Deixam de ser necessários profissionais como armadores e carpinteiros. 
e) Flexibilidade no ritmo de execução da obra 
Se as lajes forem pré-moldadas, o ritmo da obra estará desvinculado do tempo de cura 
que deve ser respeitado no caso das peças de concreto armado. 
Dos itens apresentados, pode-se perceber que, em termos gerais, a principal vantagem 
da uti l ização da alvenaria estrutural reside numa maior racionalidade do sistema executivo, 
reduzindo-se o consumo de materiais e desperdícios que usualmente se verificam em obras de 
concreto armado convencional. 
1 . 4 . 3 PRINCIPAIS PONTOS NEGATIVOS DO SISTEMA 
Apesar de as vantagens apresentadas serem de grande relevância, não se pode esquecer 
de algumas desvantagens da alvenaria estrutural em relação às estruturas convencionais em concreto 
armado. Elas se encontram listadas a seguir, também em ordem decrescente de importância. 
a) Dificuldade de se adaptar arquitetura para um novo uso 
Fazendo as paredes parte da estrutura, obviamente não existe a possibi l idade de 
adaptações significativas no arranjo arquitetônico. Em algumas situações isso se torna um problema 
bastante sério. Estudos realizados demonstram que ao longo de sua vida útil uma edificação tende 
a sofrer mudanças para se adaptar a novas necessidades de seus usuários. No caso da alvenaria 
isso não só é inconveniente como tecnicamente impossível na grande maioria dos casos. 
b) Interferência entre projetos de arquitetura/estruturas/instalações 
A interferência entre os projetos é muito grande quando se trata de uma obra em alvenaria 
estrutural. A manutenção do módulo afeta de forma direta o projeto arquitetônico e a impossibilidade 
de se furar paredes, sem um controle cuidadoso desses furos, condiciona de forma marcante os 
projetos de instalações elétricas e hidráulicas. 
c) Necessidade de uma mão-de-obra bem qualificada 
A alvenar ia estrutural exige uma mão-de-obra qual i f icada e apta a fazer uso de 
instrumentos adequados para sua execução. Isso significa um treinamento prévio da equipe 
contratada para sua execução. Caso contrário, os riscos de falhas que comprometam a segurança 
da edificação crescem sensivelmente. 
Quanto às desvantagens, deve-se ressaltar a impossibilidade de se efetuar modificações 
na disposição arquitetônica original. Essa limitação é um importante inibidor de vendas e até mesmo 
um fator que pode comprometer a segurança de uma edificação durante a sua vida útil. 
1 . 5 C O N C L U S Ã O 
Foi apresentado neste capítulo o conceito estrutural de alvenaria estrutural, destacando-
se a sua capacidade primordial de absorver solicitações de compressão. Foram, também, discutidos 
aspectos históricos relativos a esse sistema estrutural, incluindo a sua situação no Brasil, em que 
se percebe o grande impulso que sua utilização tem sofrido nas últimas décadas. De forma resumida 
foram concei tuados os componentes da alvenaria, indicando as suas característ icas mais 
importantes. Por f im foram discutidos aspectos técnicos e econômicos do sistema estrutural, 
levantando-se vantagens e desvantagens de sua utilização. 
2 
Principais Aspectos Quanto à Modulação o 
Q) 
TD 
2 . 1 C O N C E I T O S B Á S I C O S c 
O 
A unidade é o componente básico da alvenaria. Uma unidade será sempre definida por 
três dimensões principais: comprimento, largura e altura (Fig. 2.1). O comprimento e, pode-se 
dizer, também a largura definem o módulo horizontal, ou módulo em planta. Já a altura define o 
módulo vertical, a ser adotado nas elevações. 
Dentro dessa perspectiva, percebe-se que é muito importante que o comprimento e a 
largura sejam ou iguais ou múltiplos, de maneira que efetivamente se possa ter um único módulo 
em planta. Se isso realmente ocorrer, a amarração das paredes será enormemente simplificada, 
havendo um ganho significativo em termos da racionalização do sistema construtivo. Entretanto, 
se essa condição não for atendida, será necessário se utilizar unidades especiais para a correta 
amarração das paredes, o que pode trazer algumas conseqüências desagradáveis para o arranjo 
estrutural. Essas conseqüências serão apresentadas, com alguns detalhes, nos itens subseqüentes. 
Assim, pode-se dizer que modular um arranjo arquitetônico, ou pelo menos modular as 
paredes portantes desse arranjo, significa acertar suas dimensões em planta e também o pé-direito 
da edificação, em função das dimensões das unidades, de modo a não se necessitar, ou pelo menos 
se reduzir drasticamente, cortes ou ajustes necessários à execução das paredes. 
No presente texto a unidade usualmente referida será o bloco, por ser a mais freqüentemente 
utilizada nas edificações em alvenaria estrutural. 
2 . 2 I M P O R T Â N C I A D A M O D U L A Ç Ã O 
A modulação é um procedimento absolutamente fundamental para que uma edificação 
em alvenaria estrutural possa resultar econômica e racional. Se as dimensões de uma edificação 
não forem moduladas, como os blocos não devem ser cortados, os enchimentos resultantes 
certamente levarão a um custo maior e uma racionalidade menor para a obra em questão. 
Figura 2.1 - Dimensões de uma unidade. 
Esse custo mais elevado se verifica não só em relação à mão-de-obra para execução 
dos ench imentos propr iamente di tos, mas também pelo seu efeito negat ivo no própr io 
dimensionamento da estrutura como um todo. O fato de as paredes estarem trabalhando isoladas, 
conseqüência praticamente inevitável dos enchimentos, faz com que a distribuição das ações 
entre as diversas paredes de um edifício seja feita de forma a penalizar em demasia alguns 
elementos e conseqüentemente a economia do conjunto. 
Dessa forma, pode-se concluir que uma obra de alvenaria estrutural, que se pretenda 
racionalizada, deve apresentar todas as suas dimensões moduladas. Ajustes até podem ser 
realizados, mas em pouquíssimos pontos e apenas sob condições muito particulares. 
2 . 3 B L O C O S U S U A L M E N T E U T I L I Z A D O S 
Muitos blocos diferentes podem ser utilizados em uma edificação em alvenaria estrutural. 
Dependendo do tipo de bloco a ser utilizado, maciço ou vazado, cerâmico ou de concreto, existem 
dimensões usualmente encontradas. 
A NBR 6136, que trata de blocosvazados de concreto para alvenaria estrutural, especifica 
duas larguras padronizadas: largura nominal de 15 cm, denominados blocos M-15, e largura nominal 
de 20 cm, denominados blocos M-20. Entretanto, segundo a norma, os comprimentos padronizados 
serão sempre de 20 e 40 cm e as alturas de 10 e 20 cm. A padronização adotada, em especial quanto 
ao comprimento, é adequada à largura de 20 cm, mas revela-se inadequada à largura de 15 cm. Os 
motivos dessa inadequação serão mostrados com detalhes nos itens seguintes. 
No Brasil são mais facilmente encontrados blocos de modulação longitudinal de 15 cm e 
20 cm. ou seja, comprimentos múltiplos de 15 e 20 cm. Em algumas regiões, especialmente no 
Norte e Nordeste, é comum o módulo 12 cm, que começa a ser utilizado também no restante de 
nosso país para edificações de até dois pavimentos. Usualmente, a largura é igual ao módulo 
longitudinal, mas para o caso de blocos de módulo longitudinal 20 cm, pode-se encontrar larguras 
de 15 ou 20 cm, de acordo com a padronização apresentada pela NBR 6136. Já em termos de 
altura, não é comum encontrar-se valores diferentes de 20 cm, exceto para blocos compensadores. 
Na modulação longitudinal de 15 cm. normalmente são encontrados os blocos com 15 e 
30 cm de comprimento, ambos com 15 cm de largura. Com freqüência encontra-se, também, o 
bloco de 45 cm de comprimento, conforme se apresenta na figura 2.2. 
Quando se trata do módulo de 20 cm, cujos blocos usuais têm comprimentos nominais 
de 20 cm, 40 cm, são encontradas larguras de 15 e 20 cm. Para a largura de 15 cm, é também 
freqüentemente encontrado um bloco especial de 35 cm, um módulo de 15 somado a um módulo 
de 20, cuja utilização será discutida com detalhes em item posterior. Uma família típica de blocos 
de modulação longitudinal de 20 cm é apresentada na figura 2.3. 
Figura 2.3 - Blocos de comprimentos 20. 40 e 35 cm, 
largura 15 cm e altura 20 cm. 
Na verdade, poder-se-ia generalizar as afirmativas anteriores mencionando que a figura 2.2 
mostra blocos para os quais a largura é igual ao módulo, qualquer que seja esse valor. Já a figura 2.3 
mostra uma família de blocos em que a largura é menor que o módulo, também quaisquer que sejam 
esses valores. Por exemplo, largura 12 cm e módulo 20 cm, em vez da largura de 15 cm que é mencionada. 
2 . 4 E S C O L H A D A M O D U L A Ç Ã O A S E R U T I L I Z A D A 
À primeira vista pode parecer que o único parâmetro a ser considerado na escolha do 
módulo horizontal a ser adotado para uma edificação seja seu arranjo arquitetônico. Isso porque se 
adotado o módulo de 15 cm, por exemplo, as dimensões internas dos ambientes em planta devem 
ser múltiplas de 15. Assim, pode-se ter 60 cm, 1,20 m, 2,10 m, etc. No caso da utilização do módulo 
20. as dimensões devem ser múltiplas de 20 cm. por exemplo. 60 cm. 1.60 m. 2.80 m. etc. Dessa 
forma o módulo a ser adotado seria aquele que ocasionasse menores alterações em uma arquitetura 
previamente concebida ou que propiciasse a concepção de um partido arquitetônico interessante. 
Realmente, a arquitetura é um ponto muito importante na definição do módulo a ser adotado. 
Entretanto, o principal parâmetro a ser considerado para a definição da distância modular horizontal 
de uma edificação em alvenaria é a largura do bloco a ser adotado. Isso porque o ideal é que o 
módulo longitudinal dos blocos a serem utilizados seja igual à largura a ser adotada. Dessa forma 
pode-se prescindir da utilização de blocos especiais e evitar uma série de problemas muito comuns, 
em especial na ligação de duas paredes, tanto em canto quanto em bordas. Assim sendo, o projetista, 
antes de sugerir o módulo a ser adotado, deve avaliar o edifício e verificar se a largura conveniente 
será 15 cm ou 20 cm, ou eventualmente um outro valor. Somente após esse procedimento é que 
deve ser discutida a modulação a ser adotada. 
Todavia, nem sempre é possível definir o módulo apenas seguindo esse procedimento 
recomendado. Pode ocorrer de não se conseguir um fornecedor para a modulação mais adequada. 
O fornecedor dos blocos necessita estar a uma distância relativamente pequena da obra, de forma 
que se viabilize economicamente o empreendimento. Distâncias muito grandes, normalmente acima 
de 200 km, tornam o frete proibitivo, na prática a sua utilização. 
Além disso, o ideal é que existam pelo menos dois fornecedores potencialmente viáveis 
para uma determinada edificação, a menos que os blocos estejam sendo produzidos no próprio 
canteiro de obras. A dependência de apenas um fornecedor externo pode representar um perigo 
significativo quanto a eventuais interrupções no fornecimento ou aumentos abusivos de preços. 
Já quanto à modulação vertical, a situação é normalmente bem mais simples. Trata-se 
apenas de ajustar a distância de piso a teto para que seja um múltiplo do módulo vertical a ser 
adotado, normalmente 20 cm. Esse procedimento usualmente não traz problemas significativos 
para a compatibil ização com o projeto arquitetônico. Além disso, o módulo horizontal adotado e a 
largura dos blocos também não influem na escolha do módulo vertical. 
Por fim, alguns outros recursos que podem ser adotados, como a utilização de blocos 
compensadores ou jota adequados, podem fazer com que a distância a ser modulada seja de piso 
a piso, dando uma flexibilidade ainda maior ao pé-direito da edificação. Detalhes mais específicos 
serão analisados em item subseqüente. 
2 . 5 M O D U L A Ç Ã O H O R I Z O N T A L - P R I N C I P A I S D E T A L H E S 
O primeiro conceito a ser aqui abordado é o das dimensões reais. Quando se adota um 
determinado módulo, aqui chamado de M, esse módulo refere-se ao comprimento real do bloco 
mais a espessura de uma junta, aqui chamada de J. 
Portanto, conforme se apresenta na figura 2.4, o comprimento real de um hloco inteiro será 
2M - J e o comprimento real de um meio bloco será M - J. Considerando-se as juntas mais comuns, 
que são de 1 cm, tem-se que os comprimentos reais dos principais blocos serão seus comprimentos 
nominais (15, 20, 30, 35, 45 cm, etc.) diminuídos de 1 cm (14, 19, 29, 34, 44 cm, etc.). Entretanto, 
não são tão raros blocos preparados para juntas de 0,5 cm, principalmente nas famílias de módulo 
15 cm. Nesse caso os comprimentos reais seriam de 14,5 cm, 29,5 cm e 44,5 cm. 
Então, as dimensões reais de uma edificação entre faces dos blocos, ou seja, sem se 
considerar os revestimentos, serão sempre determinadas pelo número de módulos e juntas que 
se fizerem presentes no intervalo. Dependendo do caso pode-se ter (n ©o M), (n ©© M - J) ou (n <*> M + J). 
A figura 2.5 ilustra alguns casos típicos. 
Outro ponto interessante apresentado na figura 2.5 é o fato de os blocos que vão colocados 
em cantos e bordas vizinhos estarem "paralelos" ou "perpendiculares", sendo essas definições 
tomadas em relação a eixos segundo o comprimento das peças. 
2M M 
/ 
M - J 2 M - J J J M - J 
Figura 2.4 - Dimensões reais e dimensões nominais. 
M M 
CO 
6M + J 7M + J 
• • 
• • 
! : 
8 M - J 
• • | D D | D D B B 
(A) (B) 9 M - J 
Figura 2.5 - Dimensões reais entre faces de blocos. 
Quando a dimensão entre blocos de canto ou borda vizinhos é um número par vezes o 
módulo, os blocos se apresentarão paralelos (Fig 2.5A). Em caso contrário, se a dimensão for um 
número ímpar vezes o módulo, os blocos estarão perpendiculares (Fig 2.5B). 
Somente com esses conceitos simples apresentados já é possível definir uma das fiadas, 
por exemplo, a primeira. As demais fiadas devem levar em conta a preocupação de se evitar ao 
máximo as juntas a prumo. Portanto, as fiadas subseqüentes são definidas de modo a se produzir 
a melhor concatenação possível entre os blocos. Isso significa defasar as juntas de uma distância M, 
obtendo-se a situação mostrada na figura 2.6. Ressalta-se que os blocos de canto estão hachurados 
apenas para se destacar o seu posicionamento. 
| D D | D a | D D | a D | gg | D n K O 
Fiada 2 
• • | D D | D D | D D | D D | D D | D D j 
Fiada 1 
Elevação 
Figura 2.6 - Fiadas 1 e 2 e elevação de uma parede sem juntas a prumo. 
Com os conceitos apresentados, a modulação horizontal estará praticamente resolvida 
na maior extensão das paredes. Apenas podem ocorrer alguns problemas adicionais em cantos e 
bordas, especialmente quando o módulo adotado não for o mesmo valor da largura. Para deixar 
bem claros esses detalhes a serem utilizados é que se apresentam no próximo item soluções 
recomendadas para esses casos. 
2 . 6 S O L U Ç O E S R E C O M E N D A D A S P A R A C A N T O S E B O R D A S 
Neste item, procurar-se-á destacar os blocos vazados de concreto, os mais utilizados no 
Brasil, e que por serem vazados exigem maiores cuidados na disposição a ser adotada em cantos 
e bordas. Entretanto, as disposições aqui adotadas podem ser adaptadas com facilidade para 
outros tipos de blocos, inclusive cerâmicos e não-vazados. 
2 . 6 . 1 MÓDULO E LARGURA IGUAIS 
Neste i tem serão apresentados deta lhes para canto e bordas quando o módulo 
adotado é igual à largura do bloco. Esse valor pode ser de 12 ,15 ou mesmo 20 cm. Os detalhes 
serão os mesmos para qualquer caso. Entretanto, é importante mencionar que na grande 
maioria das edi f icações residenciais a largura de bloco ideal a ser adotada é de 15 cm. Nesse 
caso, o módulo ideal também será o de 15 cm. Quando for possível adotá-lo, os detalhes de 
cantos e bordas são muito s imples, em especial quando se puder util izar o bloco de três 
módulos nas bordas. 
Para maior clareza, apresentam-se nas figuras 2.7 a 2.9 os esquemas de fiadas para 
esses encontros. É interessante salientar que para os cantos, sempre, e para as bordas, quando 
se dispõe de um bloco especial de três módulos, são necessárias apenas duas fiadas para esclarecer 
completamente o detalhe. Já para as bordas executadas sem a utilização do bloco de três módulos, 
serão necessárias quatro fiadas para que o detalhe seja completo. Nesse caso, após três fiadas 
com juntas a prumo é que ocorrerá uma fiada com junta defasada. 
Figura 2.7 - Canto com modulação e largura iguais. 
Figura 2.8 - Borda com modulação e largura 
iguais, com bloco especial de três módulos. 
Figura 2.9 - Borda com modulação e largura 
iguais, sem bloco especial de três módulos. 
2 . 6 . 2 LARGURA MENOR QUE o MÓDULO 
Se o projetista não puder utilizar o módulo e a largura do bloco iguais, será necessário se 
prever a utilização de blocos especiais para a solução de cantos e bordas. Somente para exemplificar 
apresenta-se o esquema de fiadas em um canto sem a utilização desses blocos especiais. Pode-
se observar que a solução é completamente inadequada, tanto em relação à continuação das 
fiadas quanto ao mau posicionamento dos septos. 
Assim, para esses casos, é imprescindível a utilização do bloco especial no qual um dos 
furos é especialmente adaptado para a dimensão da largura do bloco, enquanto o outro é um furo 
com as dimensões normais. Por exemplo, para blocos que estejam de acordo com a especificação 
M-15 da NBR 6136, módulo de 20 cm com largura 15 cm, o bloco especial teria 35 cm de 
comprimento. Somente com a utilização desse tipo de bloco é que se pode realizar corretamente 
a concatenação de blocos entre as diversas fiadas, conforme se mostra na figura 2.11. 
Também a modulação de uma borda pode ser resolvida com o mencionado bloco espe-
cial, de acordo com o esquema apresentado na figura 2.12. 
Outra possibilidade é a utilização de um bloco especial de três furos, raramente encontrado 
no mercado. Esse bloco teria de apresentar os furos das extremidades com as dimensões normais 
e o furo do meio com a dimensão adaptada à largura das unidades. Assim, além de não ser comum 
a sua produção, esse bloco normalmente apresentaria dificuldades de instalação, pois seria muito 
Figura 2.10 - Canto com módulo e 
largura diferentes, sem bloco especial. 
Figura 2.11 - Canlo com módulo e 
largura diferentes, com bloco especial. 
pesado. Por exemplo, no caso dos blocos seguindo a especificação M-15 da NBR 6136, ele teria 55 cm 
de comprimento. Entretanto, o esquema de fiadas da borda pode ser simplificado com a sua utilização 
como se observa na figura 2.13. 
Figura 2.12 - Borda com módulo e 
largura diferentes, com bloco especial. 
Figura 2.13 - Borda com módulo e largura 
diferentes, com bloco especial de três furos. 
2 . 7 M O D U L A Ç Ã O V E R T I C A L - P R I N C I P A I S D E T A L H E S 
Conforme já se menc ionou, a modu lação ver t ica l raramente provoca mudanças 
significativas no arranjo arquitetônico. Existem basicamente duas formas de se realizar essa 
modulação. A primeira, apresentada na figura 2.14, é aquela em que a distância modular é aplicada 
de piso a teto. Assim, paredes de extremidades terminarão com um bloco J que tem uma das suas 
laterais com uma altura maior que a convencional, de modo a acomodar a altura da laje. Já as 
paredes internas terão sua última fiada composta por blocos canaleta comuns. 
Em casos em que não se pretenda ou não se possa utilizar blocos J, mesmo nas paredes 
externas poderão ser utilizados apenas blocos canaleta convencionais, realizando-se a concretagem 
da laje com uma fôrma auxiliar convenientemente posicionada (Fig. 2.15). 
Figura 2.14 - Modulação de piso a teto. 
Figura 2.15 - Parede externa sem bloco J. 
A segunda possibi l idade de modulação vert ical que pode ser uti l izada é a apl icação 
da distância modular de piso a piso. Nesse caso, apresentado na f igura 2.16, a últ ima f iada 
das paredes externas será formada por blocos J com uma das suas laterais com altura menor 
que a convencional, de forma a também propiciar a acomodação da espessura da laje. Já as 
paredes internas apresentarão, em sua últ ima fiada, blocos compensadores, para permit i r o 
ajuste da distância de piso a teto que não estará modulada. 
Este procedimento pode ser interessante quando o fabricante de blocos não puder 
fornecer b locos J e não se desejar fazer a concre tagem ut i l izando-se fô rmas auxi l iares. 
Ocorre que os blocos canaleta comuns poderão ser cor tados no canteiro, por meio de uma 
ferramenta adequada, permi t indo que os b locos J e os compensadores possam ser obt idos 
com relativa faci l idade. 
E ^ Z H z Z T ^ 
— I 2 
Z ^ v E Z L ^ 
Figura 2.16 - Modulação de piso a piso. 
2 . 8 C O N C L U S Ã O 
No presente capítulo foram apresentadas as características geométricas da utilização 
da alvenaria, tendo sido discutidos os aspectos relativos às suas modulações horizontal e vertical. 
Foi mostrada a importância da modulação para a obtenção de economia e racionalidade na 
edif icação em alvenaria. Foram apresentadas também as d imensões usuais das unidades 
encontradas no mercado brasileiro, apontando-se para uma relativa vantagem daquelas em que o 
módulo longitudinal é igual à largura nominal da unidade. São feitas algumas recomendações para 
amarração de paredes em cantos e bordas, sempre com o objetivo de evitar-se a presença de 
junta a prumo, com benefícios na interação de paredes e na redução de potenciais fissuras. Por 
fim são discutidas as opções para a modulação vertical, com destaque para a escolha de pés-
direitos a serem praticados, e a eventual necessidade de adoção de um maior número de 
componentes na família de unidades escolhida. 
£ F = 
3 
Anál ise Est ru tura l para Cargas Vert ica is 
3 . 1 P R I N C I P A I S S I S T E M A S E S T R U T U R A I S 
A concepção da estrutura consiste em se determinar, a partir de uma planta básica, 
quais as paredes que serão consideradas estruturais ou não-estruturais, no presente caso, em 
relação às cargas verticais. Alguns fatores podem condicionar esta escolha: utilização da edificação, 
simetria da estrutura, etc. Esse conjunto de elementos portantes é denominado sistema estrutural. 
Apenas com objetivos didáticos, os sistemas estruturais podem ser classificadosem 
alguns tipos notáveis. Segundo Hendry (1981), que criou uma classificação que se pode considerar 
clássica, os sistemas estruturais podem ser nomeados de acordo com a disposição das paredes 
estruturais nos tipos apresentados nos itens que se seguem. 
3 . 1 . 1 PAREDES TRANSVERSAIS 
Utilizável em edifícios de planta retangular e alongada. As paredes externas, na direção 
do maior comprimento, são não estruturais, de forma a permitir a colocação de grandes caixilhos. 
As lajes são armadas em uma direção, de forma a apoiarem-se sobre as paredes estruturais. 
Algumas aplicações principais podem ser mencionadas: hotéis, hospitais, escolas, etc. 
3 . 1 . 2 PAREDES CELULARES 
Sistema adequado a edificações de plantas mais gerais. Todas as paredes são estruturais. 
As lajes podem ser armadas em duas direções, pois há a possibilidade de apoiarem-se em todo 
seu contorno. Suas aplicações principais são em edifícios residenciais em geral. 
Por conferir uma maior rigidez ao conjunto, o sistema de paredes celulares é bastante 
interessante de ser utilizado, sempre que possível. 
3 . 1 . 3 SISTEMA COMPLEXO 
Trata-se da utilização simultânea dos tipos anteriores, normalmente em regiões diferentes 
da planta da edificação. Interessante para edificações onde se necessita de alguns painéis externos 
não estruturais, sendo, entretanto, possível manter-se uma região interna mais rígida, com todas 
as paredes com função estrutural. 
1 
\ I : : : : : : : 
Figura 3.1 - Sistema estrutural em paredes transversais. 
+ 
+ 
J J t i 
Figura 3.2 - Sistema estrutural em paredes celulares. 
- 1 -
r = 
( U , 
Figura 3.3 - Sistema estrutural complexo. 
3 . 2 C A R R E G A M E N T O V E R T I C A L 
As cargas a serem consideradas em uma edificação dependem do tipo e da utilização 
desse edifício. Por exemplo, em um edifício industrial pode ser necessária a consideração de 
cargas provenientes de pontes rolantes. 
Neste trabalho, entretanto, as atenções principais estão voltadas para edif icações 
residenciais. E para os edifícios residenciais em alvenaria estrutural as principais cargas a serem 
consideradas nas paredes são: 
a) ações das lajes; 
b) peso próprio das paredes. 
Os valores mínimos a serem adotados para os carregamentos podem ser obtidos 
consultando-se a NBR 6120 - Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações1. 
3 . 2 . 1 CARGAS PROVENIENTES DAS LAJES 
As principais cargas atuantes nas lajes de edifícios residenciais podem ser divididas em 
' Associação Brasileira de Normas Técnicas (1980). 
dois grandes grupos: cargas permanentes e cargas variáveis. As principais cargas permanentes 
normalmente atuantes são: 
a) peso próprio; 
b) contrapiso; 
c) revestimento ou piso; 
d) paredes não-estruturais. 
Já as cargas variáveis são cobertas pela sobrecarga de utilização, que para os edifícios 
residenciais variam de 1,5 a 2,0 kN/m2. 
As lajes descarregam todas essas cargas sobre as paredes estruturais que lhe servem 
de apoio. Para o cálculo dessas ações, dois casos podem ser destacados: 
a) lajes armadas em uma direção; 
b) lajes armadas em duas direções. 
Para os casos de lajes pré-moldadas ou armadas em uma direção, deve-se considerar 
simplesmente a região de influência de cada apoio, ou seja. os lados perpendiculares à direção da 
armadura. Nesse caso pode-se imaginar a existência de uma linha, paralela aos apoios, que delimita 
as regiões de influência. Considerando-se um vão L, essa linha pode ser tomada nas seguintes 
posições: 
a) 0,5 L entre dois apoios do mesmo tipo; 
b) 0,38 L do lado simplesmente apoiado e 0,62 L do lado engastado; 
c) 1,0 L do lado engastado quando a outra borda for livre. 
Já no caso de ações de lajes maciças, armadas em duas direções, pode-se utilizar o 
procedimento das linhas de ruptura, recomendado pela NBR 6118 - Projeto e Execução de Obras 
de Concreto Armado2. 
3 . 2 . 2 PESO PRÓPRIO DAS PAREDES 
Para considerar o peso próprio das paredes, basta utilizar a expressão: 
p = Y e h 
2 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1978). 
Em que, 
p: peso da alvenaria (por unidade de comprimento) 
y : peso específico da alvenaria 
e: espessura da parede (bloco + revestimento) 
h: altura da parede (não esquecer eventuais aberturas) 
Quanto ao valor de y, o parâmetro mais importante da expressão, devem ser consideradas 
as condições específicas da alvenaria utilizada. Para os principais tipos presentes em edifícios 
residenciais, pode-se mon ta ra tabela 3.1. 
Tabela 3.1 - Principais pesos específicos para alvenaria. 
Tipo de alvenaria Peso específico kN/m3 
Blocos vazados de concreto 14 
Blocos vazados de concreto preenchidos com graute 24 
Blocos cerâmicos 12 
3 . 3 I N T E R A Ç Ã O D E P A R E D E S 
Numa parede de alvenaria, quando se coloca um carregamento localizado sobre apenas 
uma parte de seu comprimento, tende a haver um espalhamento dessa carga ao longo de sua 
altura. A NBR 10837 - Cálculo de Estruturas de Alvenaria de Blocos Vazados de Concreto3 prescreve 
que esse espalhamento deve-se dar segundo um ângulo de 459. 
Se esse espalhamento pode ser observado em paredes planas, é de se supor que também 
possa ocorrer em cantos e bordas, especialmente quando a amarração é realizada intercalando-se 
blocos numa e noutra direção, ou seja. sem a existência de juntas a prumo. Isso se dá porque um 
canto assim executado guarda muita semelhança com a própria parede plana, devendo ser, portanto, 
o seu comportamento também semelhante (Fig. 3.4). 
É claro que somente haverá espalhamento da carga através de um canto se nesse 
ponto puderem se desenvolver forças de interação (Fig. 3.5). Se essas forças não estiverem 
presentes por um motivo qualquer, como a existência de uma junta a prumo no local, evidentemente 
o espalhamento também não se verificará. E não ocorrendo o espalhamento não ocorrerá a 
uniformização das cargas que atuam sobre essas paredes. 
Outro ponto em que se pode discutir a existência ou não de forças de interação são as 
aberturas. Usualmente, considera-se que a existência de uma abertura também represente um 
3 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
limite entre paredes, ou seja, a abertura caracteriza a interrupção do elemento. Assim sendo uma 
parede com aberturas normalmente é considerada como uma seqüência de paredes independentes. 
Entretanto, também nesse caso, costuma haver forças de interação entre esses diferentes elementos 
e, portanto, haverá espalhamento e uniformização de cargas (Fig. 3.6). Não se pode esquecer que 
em casos usuais de janelas ainda se tem aproximadamente 2/3 do pé-direito preenchido com mate-
rial, sendo que essa altura se reduz a aproximadamente 1/3 no caso de portas. 
Figura 3.4 - Espalhamento do carregamento em paredes planas e em "L". 
Figura 3.5 - Interação de paredes em um canto. 
m 
I I I I 
Figura 3.6 - Interação de paredes em região de janela. 
Dessa forma, é importante deixar bem claro que o procedimento de distribuição de cargas 
verticais somente pode ser definido após uma clara avaliação desses níveis de interação entre 
paredes, de modo a não se violar condições reais de trabalho da estrutura. Se for possível a 
ocorrência de forças de interação relativamente grandes, isso significará um espalhamento do 
carregamento e, portanto, uma uniformização das cargas entre essas paredes. Em caso contrário, 
o espalhamento e a uniformização do carregamento podem se dar em níveis muito baixos. 
3 . 4 I M P O R T Â N C I A D A U N I F O R M I Z A Ç Ã O D A S C A R G A S 
Normalmente, as cargas verticais que atuam sobre as paredes, num determinado nível 
da edificação, apresentam valores que podem ser muito diferentes. Por exemplo, as paredes internas 
tendem a receber carregamentos bem maiores que as paredes externas. 
Mesmo assim, não é recomendável que. para um determinado pavimento, sejam utilizadas 
resistências diferentes para os blocos. Seria muito perigoso uma troca de resistências, fazendocom que uma parede que necessitasse de um bloco mais resistente acabasse sendo construída 
com um menos resistente e vice-versa. Isso porque os blocos normalmente não possuem nenhuma 
indicação explícita dessa resistência, podendo ser facilmente confundidos. 
Desse modo, a parede mais carregada acaba definindo a resistência dos blocos a serem 
utilizados em todas as paredes do pavimento. É claro que podem ser previstos pontos grauteados, 
o que aumenta a resistência da parede mantendo-se a resistência do bloco. Entretanto, o 
grauteamento não é uma solução para ser utilizada de modo extensivo, devido ao custo e às 
dificuldades de execução. 
Portanto, pode-se concluir que quanto maior a uniformização das cargas verticais ao longo 
da altura da edificação, maiores os benefícios para a economia, pois haverá uma tendência a uma 
redução das resistências dos blocos a serem especificados. Por outro lado, se a suposta uniformização 
não ocorrer na prática, pode-se ter uma redução significativa da segurança da edificação. 
Logo, o projetista deve ter em mente esses parâmetros para considerar a distribuição 
dos carregamentos verticais, de modo a não onerar em excesso o custo da obra e não comprometer 
a segurança da estrutura. É bastante claro que, em maior ou menor grau, sempre ocorrerá uma 
uniformização dos carregamentos ao longo da altura da edificação. Entretanto, quantificar essa 
uniformização é o ponto relevante da questão. 
3 . 5 I N F L U Ê N C I A D O P R O C E S S O C O N S T R U T I V O 
Quando se fala de distribuição de cargas verticais entre as diversas paredes de um 
pavimento, deve-se levar em consideração que o processo executivo é uma variável de grande 
importância. Pode-se citar algumas das providências construtivas que mais contribuem para a 
existência de forças de interação elevadas e portanto uma maior uniformização das cargas verticais, 
em caso de cantos e bordas: 
a) amarração das paredes em cantos e bordas sem juntas a prumo; 
b) existência de cintas sob a laje do pavimento e à meia altura; 
c) pavimento em laje maciça. 
A primeira característica apresentada é a mais importante. Quando se utiliza qualquer 
procedimento de amarração que não seja a colocação dos blocos de forma a se evitar a formação 
de juntas a prumo, o desenvolvimento de forças de interação, o espalhamento das cargas e 
logicamente a uniformização desse carregamento, torna-se um procedimento duvidoso. 
Resultados de pesquisas recentes realizadas no Laboratório de Estruturas do SET-EESC-
USP, ainda a serem publicados, indicam que grapas, corretamente colocadas em cantos e bordas 
com o auxílio de furos grauteados, podem atuar de forma bastante eficiente. Os resultados são 
realmente muito animadores, podendo-se admitir um comportamento muito próximo daquele que 
se obteria com a amarração entre as paredes sem juntas a prumo. Entretanto, tendo sido esses 
resultados obtidos para paredes construídas em escala 1:3, é necessário que se confirmem esses 
valores através de ensaios em escala real para que possam ser utilizados com segurança. 
Já alguns outros esquemas de armaduras que muitas vezes são colocadas nos cantos e 
bordas, como telas ou barras de pequeno diâmetro envolvidos pela argamassa de juntas horizontais, 
realmente não tem a condição de garantir com segurança a transmissão de forças significativas 
nos encontros de paredes. 
Também podem contribuir para uma uniformização das cargas em cantos e bordas as 
outras providências mencionadas, se bem que num nível de menor importância. Cintas sob a laje e 
à meia altura e pavimentos em laje maciça trabalham a favor da uniformização pois tendem a aumentar 
as forças de interação. Entretanto, é difícil quantificar essa influência benéfica, especialmente se for 
considerada a grande variabilidade dessas providências. Cintas podem ser executadas com diversas 
alturas e armadas com barras de diversos diâmetros. Lajes também podem apresentar espessuras 
diferentes e diversos esquemas de armação. 
Quanto às aberturas, os detalhes construtivos que mais colaboram no sentido do aumento 
das forças de interação e portanto da uniformização são: 
a) existência de vergas; 
b) existência de contra-vergas. 
Evidentemente, essas vergas e contra-vergas devem ser previstas com uma penetração 
apropriada nas paredes a que se ligam. Quanto maiores forem essas penetrações melhores 
condições de desenvolvimento de forças de interação serão criadas. 
3 . 6 P R O C E D I M E N T O S D E D I S T R I B U I Ç Ã O 
Para auxiliar a definição da distribuição de cargas verticais, pode-se apresentar alguns 
dos procedimentos mais indicados. Cada um tem suas vantagens, desvantagens e aplicações 
apropriadas, o que se tentará destacar nos itens específicos. 
3 . 6 . 1 PAREDES ISOLADAS 
Neste procedimento trata-se de considerar cada parede como um elemento independente, 
não interagindo com os demais elementos da estrutura. É um procedimento simples e rápido. Para 
encontrar a carga numa parede, num determinado nível, basta somar todas as cargas atuantes 
nessa parede nos pavimentos que estão acima do nível considerado. 
Além de simples é também muito seguro para as paredes, pois na ausência da 
uniformização das cargas as resistências prescritas para os blocos resultarão sempre mais elevadas 
que se a uniformização fosse considerada. 
O ponto negativo é obviamente a economia, que sai penalizada, pois blocos mais 
resistentes são também blocos mais caros. Além disso, considerar as paredes completamente 
isoladas não é verossímil, para a maioria das edificações, pelas razões anteriormente citadas. 
Isso pode causar uma estimativa errada das ações sobre estruturas complementares, como 
pavimentos de pilotis e fundações em concreto armado. 
A recomendação que se pode fazer é que este procedimento de se considerar as paredes 
isoladas seja utilizado para edificações de altura relativamente pequena, onde os seus efeitos 
negativos são menos perceptíveis. 
3 . 6 . 2 GRUPOS ISOLADOS DE PAREDES 
Um grupo é um conjunto de paredes que são supostas totalmente solidárias. Geralmente, 
os limites dos grupos são as aberturas, portas e janelas, conforme se mostra como exemplo na 
figura 3.7. Neste procedimento consideram-se as cargas totalmente uniformizadas em cada grupo 
de paredes considerado. Isso significa que as forças de interação em canto e bordas são 
consideradas suficientes para garantir um espalhamento e uma uniformização total em uma pequena 
altura. Por outro lado, desconsideram-se as forças de interação nas aberturas, limites dos grupos. 
Dessa forma, cada grupo definido trabalhará isolado dos demais. 
É um procedimento bem aceito na literatura internacional. Sutherland (1968) propõe que 
se divida a laje em triângulos e trapézios e que essas áreas de contribuição sejam levadas a 
grupos de paredes que estariam trabalhando solidárias. Esse é, em suma, o procedimento aqui 
recomendado. Os triângulos e trapézios mencionados nada mais são do que as regiões formadas 
por linhas de ruptura das lajes de concreto. E as evidências de uniformização do carregamento 
vertical dentro dos grupos foram levantadas por Stockbridge4 apuei Hendry (1981) que mediu 
deformações em paredes na base de um edifício de cinco pavimentos enquanto este era construído. 
Essas medidas evidenciaram que as cargas acabavam se uniformizando à medida que os 
pavimentos eram acrescentados à edificação. 
PI 
E Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 2 
G1 
P3 
TEZ: 
G 2 
P5 
G3 
P6 
Figura 3.7 - Exemplo de grupos de paredes 
definidos pelas aberturas existentes. 
Também é um procedimento simples de ser implementado, se bem que implique um 
trabalho um pouco maior do que para o procedimento de paredes isoladas. Basta que todas as 
cargas a serem aplicadas em qualquer parede de um determinado grupo sejam somadas e 
posteriormente distribuídas pelo comprimento total dessas paredes do grupo. Encontrada a carga 
para o grupo correspondentea um pavimento, basta multiplicar pelo número de pavimentos que 
se encontram acima do nível que se pretende verificar. 
Usualmente, também é um procedimento seguro, em especial quando as aberturas são 
consideradas como o limite entre os grupos. Entretanto, como essa definição pode basear-se 
cm outros parâmetros, o procedimento pode apresentar distorções, dependendo de quais paredes 
serão consideradas como pertencentes a tal ou qual grupo. Considera-se ainda que produza reações 
adequadas para eventuais estruturas de apoio, o que é um detalhe bastante importante a ser 
considerado. 
Quanto à economia, sempre se admitindo uma escolha tecnicamente correta dos grupos 
a serem considerados, é um procedimento bastante racional e que normalmente resulta em 
4 STOCKBRIDGE. J.G. (1967) A Study of High-Rise Load Bearing Brickwork in Britain. M. Arch.Thesis. Univ.of Edinburgh. 
especificações adequadas de blocos. A redução das resistências necessárias para os blocos 
costuma ser bastante significativa em relação ao procedimento das paredes isoladas. 
Pelas suas qualidades, pode-se considerá-lo um procedimento adequado a edificações 
de qualquer altura. Entretanto, é fundamental que se avalie corretamente a possibilidade de 
realmente ocorrerem as mencionadas forças de interação em cantos e bordas, condição funda-
mental para sua correta aplicação. 
3 . 6 . 3 GRUPOS DE PAREDES COM INTERAÇÃO 
Este procedimento é uma extensão do anterior, com uma sofisticação adicional de modo 
que os próprios grupos de paredes interagem entre si. Portanto, a diferença entre este procedimento 
e o anterior, que apenas considerava a interação em canto e bordas, é a existência de forças de 
interação também sobre as aberturas. 
Claro que essa interação não pode se limitar a uma uniformização total do carregamento, 
pois isso eqüivaleria a encontrar a carga vertical total de um pavimento e dividi-la pelo comprimento 
total das paredes, obtendo uma carga média igual para todos os elementos. Na verdade é 
conveniente que seja definida uma taxa de interação, que representa quanto da diferença de 
cargas entre grupos que interagem deve ser uniformizada em cada nível. Além disso, é também 
importante que se possa especificar quais grupos de paredes estão interagindo, de modo que o 
projetista tenha total controle sobre o processo. 
É bem mais trabalhoso que os dois procedimentos anteriormente mencionados. Assim, de 
forma a reduzir a possibilidade da ocorrência de erros, recomenda-se que seja automatizado através 
de computadores, até mesmo com a utilização de um programa de planilha eletrônica. Uma sugestão 
interessante para se considerar essa interação através de um algoritmo seguro e relativamente fácil 
de ser implementado é apresentada em Corrêa & Ramalho (1994a) ou Corrêa & Ramalho (1998b). 
Resumidamente trata-se de fazer a distribuição através das seguintes equações: 
d = ( q , - q j * ( 1 - t ) I q, = qm + d, ...(3.1) 
Em que. 
n = número de grupos que estão interagindo 
q, = carga do grupo i 
qm = carga média dos grupos que estão interagindo, calculada pela carga total dividida 
pelo comprimento total 
d = diferença de carga do grupo em relação à média 
t = taxa de interação 
Quanto à segurança do procedimento aqui exposto, é difícil adotar uma posição simplista. 
34 Como devem ser definidos os grupos, quais grupos interagem entre si e ainda a taxa de interação 
adotada, é um procedimento que exige bastante experiência do projetista e resultados experimentais 
para a sua utilização. Quando bem utilizado é seguro, produzindo inclusive ações adequadas para 
eventuais estruturas de suporte. 
A economia é seu grande atrativo. As especificações de resistências de blocos resultantes 
de sua utilização tendem a ser as menores entre os procedimentos discutidos até aqui. Especialmente 
quando se tem paredes de pequenas dimensões e isoladas por aberturas, as diferenças costumam 
ser muito significativas, mesmo em relação ao procedimento de grupos isolados. 
De forma semelhante ao procedimento que considera os grupos isolados, é adequado a 
edificações de qualquer altura. Entretanto, aqui também é fundamental que se avalie corretamente 
a possibilidade de realmente ocorrerem as forças de interação, tanto em cantos e bordas como 
nas regiões de aberturas. Serão essas, sem dúvida, as condições fundamentais para sua utilização. 
3 . 6 . 4 MODELAGEM TRIDIMENSIONAL EM ELEMENTOS FINITOS 
Trata-se de modelar a estrutura discretizada com elementos de membrana ou chapa, 
colocando-se os carregamentos ao nível de cada pavimento. Dessa forma a uniformização dar-se-á 
através da compatibilização dos deslocamentos ao nível de cada nó. 
É um procedimento muito interessante que, entretanto, apresenta alguns inconvenientes: 
dificuldades na montagem dos dados e na interpretação dos resultados, além da definição de 
elementos que possam representar o material alvenaria. No momento, pode-se afirmar que ainda 
não é viável para projetos usuais. São ainda necessárias pesquisas adicionais, inclusive com o 
desenvolvimento de elementos especiais para a simulação da alvenaria, para que realmente possa 
ser utilizada com eficiência e segurança. 
3 . 7 E X E M P L O S D E D I S T R I B U I Ç Ã O D E C A R G A S V E R T I C A I S 
Para deixar clara a utilização dos três primeiros procedimentos discutidos, apresenta-se 
neste item dois exemplos de aplicação. Através deles pretende-se demonstrar as principais 
características de cada procedimento, verificando-se assim as suas peculiaridades quanto à 
dificuldade do implementação e obtenção de resultados. 
3 . 7 . 1 EXEMPLO 1 
Trata-se de parte de uma edificação, representada pelos três grupos apresentados 
na figura 3.7. Será admitido que esses três grupos representem o conjunto de paredes do 
pavimento, o que é bastante razoável para as comparações efetuadas. O objetivo maior é 
demonstrar os cálculos necessários para a obtenção dos resultados, além da discussão sobre 
esses valores obtidos. 
Dados adicionais sobre comprimentos das paredes e cargas atuantes são organizados 
na tabela 3.2. Ressalta-se que os valores dos carregamentos são representativos de uma situação 
típica de projeto e, para a comparação pretendida, são adotados oito pavimentos de altura e 
espessura das paredes igual a 0,14 m. 
Tabela 3.2 - Comprimentos das paredes e carregamento atuante por pavimento. 
Parede Comp. (m) Laje (kN/m) P. prop (kN/m) Tot. dist. (kN/m) Total (kN) 
P1 2,55 8,50 5.50 14,00 35,70 
P2 3,60 14,75 5.50 20,25 72,90 
P3 0,75 7,50 5.50 13,00 9.75 
P4 3,45 8,75 5.50 14,25 49,17 
P5 2,25 17.25 5.50 22,75 51,19 
P6 0,40 36.00 5.50 41,50 16,60 
Utilizando-se o procedimento das paredes isoladas, para o primeiro pavimento, obtêm-se 
os valores de carga e tensão especificados na tabela 3.3. Pelos resultados obtidos, pode-se concluir 
que a variação das tensões nas diversas paredes que compõem o citado exemplo é bastante 
grande. A parede P6, a mais solicitada, apresenta uma tensão 3,2 vezes maior que a parede P3, 
a menos solicitada. 
Já quanto à resistência necessária de bloco, a última coluna da referida tabela 3.3 
apresenta o valor aproximado calculado considerando-se a util ização de blocos vazados de 
concreto. Pelos valores obtidos verifica-se que mesmo que se adotasse o grauteamento da parede 
P6, procedimento altamente recomendável para esse caso, ainda se obteria uma variação bastante 
significativa da resistência considerando-se apenas as outras paredes. Isso, obviamente, acabaria 
por penalizar a economia da obra. 
Tabela 3.3 - Paredes isoladas, primeiro pavimento. 
Parede Carga Dist. (kN/m) Tensão (kN/m1) Tensão (MPa) Res. Bloco1 (MPa) 
P1 112.0 800,0 0.800 5 
P2 162,0 1157,1 1,157 7 
P3 104,0 742,9 0.743 4,5 
P4 114,0 814,3 0.814 5 
P5 182,0 1300,0 1.300 8 
P6 332,0 2371,4 2.371 15 
5 Os procedimentos para a determinação da resistência de bloco serão discutidos em capítulos posteriores. 
Agora, considerando-segrupos isolados de paredes (sem interação), obtêm-se, para o 
mesmo primeiro pavimento, os resultados apresentados na tabela 3.4. Da análise dos resultados 
obtidos, pode-se perceber que a situação das paredes em que a distribuição das cargas dependia 
de forças de interação em canto e bordas, que neste caso são consideradas, fez com que a tensão 
se aproximasse de 1 MPa para os dois grupos. Portanto, tensões que no caso anterior variavam de 
1,30 a 0,74 MPa foram praticamente igualadas. Apenas a parede P6, que se encontra isolada no 
grupo G3, já que as forças de interação através das aberturas não estão sendo consideradas, ainda 
apresenta a mesma tensão elevada que apresentava no procedimento anterior. 
Quanto à resistência a ser especificada para os blocos que comporão as paredes, ao se 
considerar apenas os grupos 1 e 2, os valores que variavam de 4,5 a 8 MPa passam a 6 MPa. 
Já a pequena parede isolada P6, que compõe o grupo G3, deve ser considerada grauteada e 
armada. Isso faz com que o bloco de 6 MPa possa ser utilizado em todo o pavimento, o que 
representa uma economia significativa. 
Tabela 3.4 - Grupos de paredes sem interação. 
Grupo Comp. (m) C. tot. (kN) C. dist. (kN/m) Tensão (MPa) Res. bloco (MPa) 
G1 6,15 868,8 141,3 1,009 6 
G2 6,45 880,9 136,6 0,976 6 
G3 0,40 132,8 332,0 2,371 15 
Finalmente, pode-se demonstrar a utilização do procedimento de grupos de paredes 
com interação. Nesse caso, adotando-se uma taxa de uniformização da diferença de carga de 
50%, obtêm-se os resultados que se encontram organizados na tabela 3.5. 
Observando-se os resultados da tabela 3.5, verifica-se que para o primeiro pavimento 
ocorreu um aumento muito discreto das tensões nos grupos 1 e 2 para uma diminuição bastante 
acentuada da tensão no grupo 3. Essa é realmente a situação típica a ser encontrada. Como a 
parede isolada tinha pequena dimensão, e por causa disso apresentava problemas com tensões 
muito elevadas, a carga transmitida aos demais grupos não é significativa para acrescer as suas 
tensões, sendo no entanto suficiente para reduzir de forma significativa a própria tensão. 
Quanto à resistência a ser especificada para os blocos, sempre considerando-os vazados 
de concreto, verifica-se que o valor para o pavimento como um todo não se modifica, mantendo-se 
em 6 MPa. Entretanto, a parede P6 poderá ser simplesmente grauteada, não se necessitando da 
utilização de armaduras para resistir à nova tensão obtida. 
Percebe-se que, obviamente, os cálculos necessár ios à obtenção dos resultados 
organizados na tabela 3.5 são muito mais trabalhosos que para os dois procedimentos anteriores. 
Entretanto, utilizando-se o recurso de uma planilha eletrônica eles podem ser executados de forma 
confortável e acima de tudo confiável. Portanto, essa maior complexidade não é tão importante na 
opção por um ou outro procedimento. O aspecto da segurança é, sem dúvida, muito mais significativo. 
Tabela 3.5 - Grupos de paredes com interação. 
Pav. C. média (KN/m) Grupo Carga (kN/m) A Carga (kN/m) 
C. unif. 
(KN/m) 
Tensão 
(kN/m*) Tensáo (MPa) Bloco (MPa) 
G1 17,66 -0,219 17,88 127,7 0,128 1 
8 18,10 G2 17,08 -0,513 17,58 125,6 0,126 1 
G3 41,50 11,700 29,80 212,8 0,213 1 
G1 35,33 -0,437 35,76 255,4 0.255 2 
7 36,20 G2 34,15 -1,025 35,17 251,2 0.251 2 
G3 83,00 23,400 59,60 425,7 0.426 3 
G1 52,99 -0,656 53.64 383,1 0.383 2 
6 54,30 G2 51,23 -1,538 52,76 376,8 0,377 2 
G3 124,50 35,100 89.40 638,5 0,639 4 
G1 70,65 -0,874 71,52 510,9 0,511 3 
5 72,40 G2 68,30 -2,050 70,35 502,5 0,503 3 
G3 166,00 46,800 119,20 851,4 0,851 5 
G1 88,32 -1,093 89,40 638,6 0,639 4 
4 90,50 G2 85,38 -2,563 87,93 628,1 0,628 4 
G3 207,50 58,500 149,00 1064,2 1,064 7 
G1 105,98 -1,311 107,28 766,3 0,766 5 
3 108,60 G2 102,45 -3,075 105,52 753,7 0,754 5 
G3 249,00 70,200 178,80 1277,1 1,277 8 
G1 123,64 -1,530 125,17 894,0 0,894 6 
2 126,70 G2 119.53 -3,588 123,11 879,3 0,879 5 
G3 290.50 81,900 208,60 1490,0 1,490 9 
G1 141,30 -1,748 143,05 1021,8 1,022 6 
1 144,80 G2 136,60 -4,100 140,70 1005,0 1,005 6 
G3 332,00 93,600 238,40 1702,8 1,703 11 
3 . 7 . 2 EXEMPLO 2 
O segundo exemplo a ser discut ido é um edifício de a lvenar ia estrutural de nove 
pavimentos, com pé-direi to de 2,72 m de piso a teto, cuja planta esquemát ica apresenta-se 
na f igura 3.8. 
As paredes portantes externas e as que dividem os apartamentos têm espessura de 
19 cm, sendo as restantes de 14 cm de espessura. Para se limitar esta discussão aos elementos 
mais importantes, tomar-se-á a região inferior esquerda da edificação, que aparece em detalhe 
na figura 3.9. Essa região foi dividida em paredes e analisada com quatro suposições de níveis 
de interação entre os elementos componentes: 
a) paredes isoladas; 
b) grupos de paredes sem interação; 
c) grupos de paredes com taxa de uniformização de cargas igual a 50%; 
d) grupos de paredes com taxa de uniformização de cargas igual a 100%. 
Figura 3.8 - Planta completa do edifício. 
P1 
CO Q. 
P3 P5 
i i 
f i P7 
OJ 
CL 
K. 
P9 
P11 £ 
o 
CL 
CO 
51 
CO 
CL 
P13 P15 
0 = I 
P17 P19 
Figura 3.9 - Definição de paredes para região inferior esquerda. 
Convém ressaltar que a interação adotada no item d corresponde a uma uniformização 
completa das cargas verticais entre todos os grupos, obtendo-se um único valor de carga média 
para todas as paredes. 
Os grupos foram definidos procurando-se reunir paredes de mesma espessura, conforme 
se apresenta na tabela 3.6. Isso foi feito porque a interface entre paredes de espessuras diferentes 
precisaria ser realizada através de utilização de armaduras, pela inexistência de blocos especiais 
adequados à chamada amarração direta. Conforme já se mencionou, esse é um procedimento 
sobre o qual há algumas dúvidas quanto à sua eficiência para a distribuição das ações verticais. 
Assim sendo, seria perigoso considerar que as forças de interação nessas interfaces pudessem 
se desenvolver de forma completa, a menos que se tratasse de paredes muito pequenas, que 
dificilmente trabalhariam de forma independente. 
Tabela 3.6 - Grupos e paredes componentes. 
Grupo Paredes componentes 
G1 P2 e P17 
G2 P6 e P11 
G3 P1 e P4 
G4 P19 
G5 P10 
G6 P9 e P18 
G7 P8 
G8 P5, P7, P12 e P14 
G9 P13 e P16 
G10 P3 
G11 P15 e P20 
Quanto aos resultados obtidos para as quatro simulações mencionadas, eles serão 
apresentados por parede, independentemente delas estarem ou não agrupadas e desses grupos 
estarem interagindo ou não. Dessa forma poder-se-á comparar com maior facilidade os diversos 
resultados obtidos. A tabela 3.7 apresenta um resumo desses resultados, com as diversas 
simulações, sempre para o primeiro pavimento da edificação, que é o mais solicitado. 
Com os resultados da tabela 3.7, podem-se observar algumas diferenças muito significativas 
na carga vertical atuante em algumas paredes quando se considera o procedimento de paredes 
isoladas e grupos de paredes. Normalmente são paredes de pequeno comprimento que se encontram 
adjacentes a uma abertura. Podem-se citar, por exemplo, as paredes P4, P5, P6 e P15. Nesse caso, 
pode-se afirmar que é fundamental a consideração de um grupo entre essas paredes e as adjacentes, 
supondo que as forças de interação sejam suficientes para a uniformização das cargas. Se isso não 
for feito, será praticamente impossível especificar blocos com resistência razoável. 
Já para as simulações que envolvem grupos de paredes, as diferenças são menos 
expressivas, e as maiores cargas ocorrem nas paredes que estão isoladas das demais pela 
existência de aberturas. O caso mais significativo é a parede P3. A redução do carregamento 
entre o procedimento de grupos sem interação e com interação de 50% é da ordem de 37%. Caso 
semelhante ocorre com uma parede de grande importância, a P20, que apresenta uma redução 
de 21% na carga vertical atuante. 
Tabela 3.7 - Resultados obtidos para as cargas nas paredes. 
Parede 
Carga (kN/m) 
Parede Paredes 
isoladas 
Grupossem 
Interação 
Grupos com 
interação de 50% 
Grupos com 
interação de 100% 
P1 103,9 121,3 149,9 153,5 
P2 108,9 117,6 149,5 153,5 
P3 260,9 260,9 165,4 153,5 
P4 300,8 121,3 149,9 153,5 
P5 328,5 166,3 154,9 153,5 
P6 309,1 149,3 153,1 153,5 
P7 158,8 166,3 154,9 153,5 
P8 195,2 195,2 158,1 153,5 
P9 155,1 146,0 152,7 153,5 
P10 129,1 129,1 150,8 153,5 
P11 114,8 149,3 153,1 153,5 
P12 97,6 166,3 154,9 153,5 
P13 193,4 190,4 157,6 153,5 
P14 182,5 166,3 154,9 153,5 
P15 577,2 201,3 158,8 153,5 
P16 184,0 190,4 157,6 153,5 
P17 164,3 117,6 149,5 153,5 
P18 140,4 146,0 152,7 153,5 
P19 148,8 148,8 153,0 153,5 
P20 166,6 201,3 158,8 153,5 
Somente como comparação pode-se estimar a resistência à compressão necessária 
para o bloco em cada caso simulado, sempre para o primeiro pavimento e considerando-se blocos 
vazados de concreto. Para tanto, serão utilizadas as tensões obtidas para cada parede, realizando-
se o dimensionamento e tomando-se o maior valor obtido. Os resultados podem ser encontrados 
na tabela 3.8. Observe-se que não foi considerada a possibilidade de grauteamento das paredes. 
Tabela 3.8 - Resistências à compressão do bloco (em MPa). 
Paredes Isoladas Grupos sem interação 
Grupos com 
interação de 50% 
Grupos com 
interação de 100% 
16 8 6 6 
Através dos resultados da tabela 3.8, pode-se perceber que o processo utilizado para a 
distribuição das cargas verticais influencia, de forma muito significativa, a resistência necessária 
para os blocos a serem utilizados e, por conseqüência, o custo da obra. Entretanto, não se deve 
deixar de se considerar o aspecto mais importante a ser analisado: a segurança a ser obtida com 
o procedimento de análise, o que mostra ser fundamental o desenvolvimento de pesquisa que 
gere informação sobre a interação de paredes. 
3 . 8 V E R I F I C A Ç Ã O D E D A N O A C I D E N T A L 
Ações acidentais são aquelas que estão fora do conjunto normalmente considerado 
para o projeto de um edifício, como ações devidas a explosões e impactos. Essas verificações 
ganharam importância após um acidente ocorrido em 1968 na Inglaterra. Um edifício de 23 
pavimentos, o Ronan Point, sofreu um colapso progressivo após a explosão de um botijão de gás 
no 181 pavimento. Pela retirada de um de seus painéis portantes, no caso um painel pré-moldado, 
as lajes que estavam acima do nível acidentado entraram em colapso, levando à ruína todo um 
canto da edificação. 
Existem, basicamente, duas maneiras de se prevenir o colapso progressivo: 
a) evitar a possibilidade de ocorrência do dano acidental; 
b) admitir a possibilidade de ocorrência do acidente e evitar o colapso progressivo. 
Evidentemente a primeira opção nem sempre é viável de ser implementada. Claro que 
em alguns casos podem ser tomadas providências que minimizem a probabilidade de ocorrência 
do acidente. Por exemplo a construção de obstáculos que evitem o eventual impacto de veículos 
em paredes do pavimento térreo. Entretanto, a eliminação completa dessas possibilidades seria 
no mínimo antieconômica. 
Quanto à segunda opção, trata-se de evitar que o acidente, e a falha local dele advinda, 
possam se transformarem uma ruína de parte significativa da estrutura pela progressão de colapsos. 
Nesses casos os projetistas devem estar atentos à identificação dos pontos em que seria mais 
provável a ocorrência de um acidente e prover a estrutura de alternativas para a transmissão das 
cargas. Na prática, isso significa retirar uma parede ou um trecho de uma parede e verificar se o 
acréscimo dos esforços sobre a laje e demais paredes pode ser suportado pela estrutura. É 
importante ressaltar dois pontos sobre essa questão: os elementos devem ser retirados um de 
cada vez e os coeficientes de segurança podem ser reduzidos ou mesmo eliminados. 
Em casos usuais, um pequeno reforço nas armaduras das lajes e a mudança dos detalhes 
de armadura normalmente empregados são suficientes para evitar o colapso progressivo após 
um dano acidental. Ocorre que usualmente as armaduras são interrompidas sobre os apoios, no 
caso as paredes estruturais. Na eventualidade de uma dessas paredes ser destruída, as lajes que 
concorrem para ela perdem as condições mínimas de continuarem suportando o seu carregamento, 
provocando, então, a progressão de um colapso que poderia ser apenas localizado. Portanto, é 
recomendável que para um edifício de alvenaria, as armaduras do pavimento sejam calculadas para 
resistir à eventualidade desses acidentes e detalhadas com transpasses sobre todas as paredes. 
A norma brasileira é omissa quanto a essa questão. Entretanto a BS 5628 - Code of 
Practice for Structural Use of Masonry - Unreinforced Masonry, Part 16, apresenta uma série de 
prescrições sobre o assunto em seu item 37. Algumas recomendações são gerais, para edifícios de 
até quatro pavimentos, e outras são mais específicas, para edificações de cinco ou mais pavimentos. 
Finalmente é importante salientar que o uso de muito bom senso é imprescindível numa 
questão que trata de ocorrências tão eventuais. 
3 . 9 C O N C L U S Ã O 
Neste capítulo foi inicialmente apresentada uma breve classificação dos principais 
sistemas estruturais para edificações em alvenaria. Foram destacadas as cargas verticais que 
usualmente devem ser consideradas no seu projeto estrutural. Na seqüência, foram discutidos 
aspectos relativos à interação de paredes interconectadas submetidas a carregamentos verticais, 
destacando-se a importância da uni formização de cargas entre paredes submet idas a 
carregamentos desiguais, bem como a importância do processo construtivo na garantia de 
transmissão de forças entre paredes através de sua interface comum. Foram apresentados alguns 
procedimentos para a distribuição de cargas verticais: paredes isoladas, grupos isolados de paredes, 
grupos de paredes com interação e modelagem tridimensional em elementos finitos. O segundo 
deles é o indicado pelos autores por aliar fatores como economia, segurança e viabilidade prática 
em uma medida adequada. São incluídos exemplos de distribuição de cargas verticais com aplicação 
dos três primeiros procedimentos, discutindo-se as suas características principais e implicações 
nos resultados produzidos. Finalmente são apresentados conceitos básicos relativos à verificação 
do dano acidental e a importância de se evitar o chamado colapso progressivo. 
6 British Standards Institution (1992). 
4 
Anál ise Est ru tura l para Ações Hor izonta is o 
" D 
4 . 1 C O N C E I T O S B Á S I C O S 
RR 
C 
O 
Algumas considerações são fundamentais para se entender os procedimentos de 
distribuição das ações horizontais. Inicialmente, vale a pena discutir uma classificação das estruturas 
de contraventamento apresentada no CEB-FIP Model Code 1990'. Lá se encontram definidas 
estruturas contraventadas e estruturas de contraventamento. Isso significa que em um sistema 
estrutural global existiria um subsistema de contraventamento e um subsistema contraventado. 
Obviamente, essa é uma classificação que tem por objetivo sistematizar o conhecimento sobre o 
tema e não descrever o funcionamento real da estrutura da edificação em análise. Na verdade, é 
impossível separarem-se elementos que contraventam e elementos que são contraventados. O 
projetista deve ter em mente que se algum elemento for retirado do sistema de contraventamento, 
por qualquer razão específica, será impossível informar isso à estrutura, a menos que sejam 
tomadas providências efetivas para seu desligamento. De fato, quando se considera que uma 
determinada peça não faz parte da estrutura de contraventamento, isso significa que esse elemento 
deve ter uma participação de pequena importância. Portanto, a sua eliminação não deve provocar 
alterações significativas nem nos seus esforços nem nos esforços dos elementos vizinhos. 
Outro ponto interessante é que se supõe que as ações horizontais sejam distribuídas 
aos painéis de contraventamentopelas lajes dos pavimentos. Para tanto, as lajes são usualmente 
consideradas como diafragmas rígidos em seu próprio plano, embora sem rigidez transversal. 
Nesse caso, deve-se tomar muito cuidado para que essa suposição seja respeitada quando da 
definição do processo construtivo da edificação. Lajes pré-moldadas devem ser utilizadas com 
restrições, em especial para edifícios acima de cinco ou seis pavimentos, quando as ações 
horizontais tornam-se mais significativas. Mas, mesmo abaixo desse limite, seria interessante se 
utilizar lajes pré-moldadas com capa de concreto moldado in loco, onde armaduras podem ser 
adicionadas em duas direções ortogonais. Somente deste modo se pode admitir que haverá um 
razoável travamento dos painéis que fazem parte da estrutura de contraventamento. Em todo 
caso, lajes moldadas in loco são mais adequadas quando existe a necessidade de se considerar 
a existência de um diafragma. 
Por fim, deve-se mencionar outro detalhe importante. Trata-se da simetria da estrutura 
de contraventamento. Sempre que possível, assimetrias significativas devem ser evitadas. Quando 
a ação se dá segundo um eixo de simetria da estrutura, as lajes apresentam apenas translações 
nessa direção. Entretanto, em caso de ações que atuem segundo direções em que essa simetria 
não se faça presente, além da mencionada translação ocorrem rotações nos pavimentos. Esses 
1 Comitê Euro-lnternacional Du Béton (1991). 
movimentos de corpo rígido são exemplificados esquematicamente pela figura 4.1. O fato é que 
assimetrias acentuadas, além de tornarem a distribuição das ações muito mais complicada ao 
nível do projeto, são inconvenientes para o próprio funcionamento da estrutura, gerando maiores 
tensões nas lajes em si, em seu comportamento de membrana. 
t í 
Figura 4.1 - Ação horizontal em contraventamento simétrico e não-simétrico. 
4 . 2 A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S A S E R E M C O N S I D E R A D A S 
No Brasil, as ações horizontais que devem ser consideradas são a ação dos ventos e o 
desaprumo. Eventualmente podem ocorrer empuxos desequil ibrados do solo. Em caso de áreas 
sujeitas a abalos sísmicos, a sua consideração também é indispensável. 
4 . 2 . 1 AÇÃO DOS VENTOS 
Considera-se que o vento atua sobre as paredes que são normais à sua direção. Estas passam 
a ação às lajes dos pavimentos, consideradas como diafragmas rígidos, que as distribuem aos painéis de 
contraventamento, de acordo com a rigidez de cada um. Esse esquema é mostrado pela figura 4.2. 
Figura 4.2 - Atuação do vento e distribuição para os painéis de contraventamento. 
Para consideração da ação do vento, deve-se utilizar a NBR 6123 - Forças Devidas ao 
Vento em Edi f icações2 . Dessa forma, ob têm-se forças, ao nível de cada pavimento, que 
posteriormente serão distribuídas pelos painéis de contraventamento segundo os procedimentos 
mostrados em itens subseqüentes. 
4 . 2 . 2 DESAPRUMO 
Sugere-se que o desaprumo seja considerado tomando-se por base a norma alemã DIN 
1053 - Alvenaria: Cálculo e Execução3. Sua prescrição para esse caso é bastante razoável, sendo 
o ângulo para o desaprumo do eixo da estrutura tomado em função da altura da edificação, conforme 
o que se apresenta na equação 4.1. 
<P = 
1 ...(4.1) 
Em que, 
<p : ângulo em radianos 
H : altura da edificação em metros 
Como mencionado, este procedimento é racional pois o ângulo de desaprumo decresce 
em relação à altura da edificação. Isso é o que se espera no caso de uma edificação, pois a 
probabilidade de erros de prumo dos pavimentos sempre para o mesmo lado é relativamente 
pequena. Apenas como exemplo, tomando-se a expressão 4.1 pode-se calcular o ângulo de 
desaprumo para algumas alturas mais significativas, o que é apresentado na tabela 4.1. 
Tabela 4.1 - Desaprumo segundo a DIN 1053. 
Altura H (m) Desaprumo • (rad) 
10 1 / 316 
20 1 / 447 
30 1/548 
40 1 /R3? 
50 1/707 
É importante mencionar um aspecto prático para a consideração do desaprumo. Através 
do ângulo <p, pode-se determinar uma ação horizontal equivalente, a ser aplicada ao nível de cada 
pavimento, através da expressão 4.2. 
3 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
3Deutsch Industrie Normen (1974). 
Fd = AP<p ...(4.2) 
Em que, 
Fd : força horizontal equivalente ao desaprumo 
AP: peso total do pavimento considerado 
Essas forças, que aparecem esquematizadas na figura 4.3, podem ser simplesmente somadas 
à ação dos ventos, permitindo que a consideração desse efeito seja feita de forma simples e segura. 
d 
F,-> 
Figura 4.3 - Ação horizontal equivalente para consideração do desaprumo. 
4 . 2 . 3 SISMOS 
A ação de sismos pode também ser considerada através da ação de forças horizontais 
equivalentes. Para a definição dessas forças deve-se consultar normas específicas, que sejam 
válidas para o local onde será construída a edificação. 
4 . 3 C O N S I D E R A Ç Ã O DE A B A S E M P A I N É I S DE C O N T R A V E N T A M E N T O 
Para a correta consideração da rigidez dos painéis de contraventamento é recomendável 
que se leve em conta a contribuição das abas ou flanges, que são trechos de paredes transversais 
ligados ao painel. Esses trechos podem ser considerados como solidários aos painéis, alterando de 
forma significativa a sua rigidez, especialmente o momento de inércia relativo à flexão. A figura 4.4 
mostra, para duas situações típicas, como o painel seria ampliado pela consideração das abas. 
Figura 4.4 - Consideração de abas em painéis de contraventamento. 
Todos os procedimentos para distribuir as ações horizontais mostrados a seguir podem ser 
executados com ou sem a consideração das abas. Entretanto, apesar de um pouco mais trabalhosa, 
essa consideração é bastante interessante. Duas vantagens podem ser destacadas. A primeira diz 
respeito a uma maior acuidade na determinação da rigidez de cada painel que participa da estrutura de 
contraventamento. Como os quinhões de carga são distribuídos em função dessas rigidezes, a ausência 
das abas pode influir negativamente na distribuição das ações, fazendo com que alguns painéis tenham 
sua rigidez subestimada ou superestimada, causando uma distribuição incorreta dessas ações. 
Além disso, as abas em geral dobram as inércias dos painéis e, portanto, praticamente 
dividem por dois as tensões a serem obtidas da análise. Dessa forma, evita-se que apareçam tensões 
elevadas, inclusive trações, que podem inviabilizar uma estrutura. Essa vantagem é especialmente 
importante quando se trata da distribuição com a consideração de paredes isoladas, conforme se verá 
nos resultados apresentados para os exemplos de edifícios que são discutidos no final deste capítulo. 
As recomendações normalizadas para a consideração dos comprimentos efetivos das abas 
serão apresentadas posteriormente, junto a outros aspectos relativos às características geométricas 
dos elementos. Entretanto, é muito importante que se esteja atento à possibilidade de se desenvolverem 
forças de interação entre a parede e as abas que eventualmente sejam consideradas. Se essas forças 
não puderem se desenvolver, pela existência de uma junta a prumo, por exemplo, a consideração da 
aba ou das abas será injustificável. 
Nesse aspecto o ACI530 - Building Code Requirements for Masonry Structures4 é bastante 
explícito, citando situações em que essa consideração pode ser feita. Uma delas é quando não 
existem juntas a prumo na ligação das abas com a parede. A outra, na eventualidade da existência 
de juntas a prumo, é quando são tomadas providências adicionais para garantir a existência de 
forças de interação: utilização de conectores metálicos ou cintas convenientemente armadas e pouco 
espaçadas para ligar as fiadas. 
4 . 4 D I S T R I B U I Ç Ã O D E A Ç Õ E S P A R A C O N T R A V E N T A M E N T O S S I M É T R I C O S 
No caso de contraventamentos simétricos em relação à direção em que atua o vento que se 
deseja analisar, haverá apenas translação dos pavimentos.Nesse caso todas as paredes, em um determinado 
nível, apresentarão deslocamentos iguais. Isso facilita significativamente a distribuição das ações pelos 
diversos painéis de contraventamento, conforme ficará claro pelos procedimentos descritos a seguir. 
4 . 4 . 1 PAREDES ISOLADAS 
Nesse caso, supõe-se que a existência de uma abertura separe as paredes adjacentes 
a essa abertura, transformando-as em elementos isolados, verdadeiras vigas engastadas na 
* American Concrete Institute (1992). 
extremidade inferior e livres na outra. Entre elas existirá apenas a necessidade de que os 
deslocamentos horizontais sejam os mesmos ao nível de cada pavimento, devido à existência das 
lajes de concreto e consideradas como diafragmas rígidos. 
Considerar paredes de forma isolada é um procedimento de distribuição de ações 
horizontais que pode ser muito simples e eficiente. Sobretudo em casos de ações que atuem 
segundo eixos de simetria da estrutura, basta que seja feita a compatibilização dos deslocamentos 
dos diversos painéis para que se possa encontrar o quinhão de carga correspondente a cada um. 
Inicialmente deve-se lembrar que cada painel assume um quinhão de carga proporcional à sua 
rigidez, ou, para painéis de rigidez constante ao longo da altura, simplesmente proporcional ao 
seu momento de inércia. Dessa forma, pode-se definir a soma de todas as inércias, o que é 
apresentado na equação 4.3. 
SI = 11 + I2 + I3 + ... + L ...(4.3) 
Depois, a rigidez relativa de cada painel será simplesmente: 
R = I 7 X I ...(4.4) 
A ação em cada painel pode ser obtida simplesmente multiplicando-se a ação total em 
um determinado pavimento, F(ot, pelo valor R , ou seja: 
...(4.5) 
Encontradas as ações ao nível de cada pavimento, resta determinar os diagramas de 
esforços solicitantes, em especial o momento fletor. Então, as tensões devidas a essa ação podem 
ser encontradas utilizando-se a expressão tradicional da resistência dos materiais: 
o = M / W ...(4.6) 
Em que, 
M : momento fletor atuante na parede 
W : módulo de resistência à flexão (W = I / ymâx) 
4 . 4 . 2 PAREDES COM ABERTURAS 
Outro procedimento que pode ser utilizado consiste em considerar as alvenarias com 
aberturas como pórticos, sendo as paredes entendidas como pilares e os lintéis, trechos entre as 
aberturas, como vigas, conforme se apresenta na figura 4.5. Os painéis assim definidos absorverão 
esforços também proporcionais às suas rigidezes, de forma semelhante ao que foi descrito 
anteriormente para o procedimento com paredes isoladas. Aliás, quando se fala na consideração 
de paredes com suas respectivas aberturas, não se deve esquecer que algumas paredes não 
possuirão aberturas, comportando-se como simples paredes isoladas. 
• 
• 
• 
A 
Figura 4.5 - Representação de uma parede com aberturas por barras. 
Esse procedimento evidentemente envolve a utilização de recursos computacionais, mesmo 
que a estrutura de contraventamento seja simétrica. Para o caso de ação segundo um eixo de simetria 
da estrutura de contraventamento, poderá ser utilizado um programa para pórticos planos, sem quaisquer 
recursos especiais. Basta que metade dos diversos painéis da estrutura, pórticos ou paredes isoladas, 
sejam modelados em um esquema chamado de associação plana de painéis (Fig. 4.6). 
F/2. 
F/2 
F/2 
F/2 
• 
• 
• 
n 
• 
• 
• 
• 
Figura 4.6 - Associação plana de painéis de contraventamento. 
Dois detalhes são importantes para esse caso de associação. O primeiro diz respeito à 
barra que realiza a ligação entre os painéis ao nível de cada pavimento, simulando a laje de 
concreto. Evidentemente essa barra deve ser suficientemente rígida para que os deslocamentos 
de todos os nós de um mesmo nível sejam iguais. Entretanto, essa rigidez não pode ser muito 
grande, sob pena de impor um mau condicionamento numérico à matriz de rigidez global da 
estrutura, inviabilizando a obtenção de resultados coerentes. Recomenda-se que os comprimentos 
dessas barras sejam pequenos, entre 0,5 m e 1 m, e que sua seção transversal seja a de uma 
faixa de 2 a 3 m da laje de concreto presente na estrutura. Por exemplo, supondo-se que a laje 
tenha 0,09 m de espessura, as características da seção transversal dessa barra, em especial a 
área, seriam determinadas considerando-se as dimensões 0,09 x 2,00 m. Além do comprimento e 
da área da seção, as outras características são pouco importantes, devido ao fato de se supor a 
barra articulada em seus extremos. Dessa forma o momento de inércia não influi nos resultados a 
serem obtidos. Apenas se o programa não possuir o recurso de articulação em extremidade de 
barra deve-se reduzir esse valor de inércia para que a rigidez à flexão seja desprezível, em 
conformidade com a hipótese de comportamento de diafragma para a laje. 
O segundo ponto a ser destacado é a aplicação do carregamento, normalmente metade 
da ação total do pavimento, apenas no primeiro painel modelado. A distribuição dessa ação se fará 
automaticamente pela compatibilidade dos deslocamentos, garantindo esforços coerentes em cada 
elemento da estrutura. 
Este procedimento costuma produzir resultados de tensões nas paredes significativamente 
menores que as paredes consideradas isoladamente. Entretanto, deve-se tomar as devidas 
precauções para que todos os esforços advindos da análise sejam corretamente considerados. 
Em especial, deve-se verificar a flexão e o cisalhamento dos lintéis, garantindo o funcionamento 
da estrutura segundo o modelo idealizado. Observe-se que no caso das paredes com aberturas, 
os "pilares" estão submetidos à flexão composta com força normal. 
4 . 5 D I S T R I B U I Ç Ã O D E A Ç Õ E S P A R A C O N T R A V E N T A M E N T O S A S S I M É T R I C O S 
Neste caso, quando se aplica a ação horizontal, o pavimento não apenas translada, mas 
também apresenta uma rotação. Assim sendo, os deslocamentos dos painéis, mesmo para um 
mesmo pavimento, não serão os mesmos. Dessa forma existe a necessidade de maiores recursos 
computacionais para a obtenção de resultados consistentes com o fenômeno. Entretanto, os 
procedimentos de distribuição basicamente continuam os mesmos e serão tratados a seguir. 
4 . 5 . 1 PAREDES ISOLADAS 
Caso o eixo segundo o qual atua a ação não seja de simetria, o procedimento torna-se 
imprat icável de ser executado sem um programa computac ional . Nesse caso, conforme já 
mencionado, a distribuição precisa levar em conta a rotação dos pavimentos, inviabilizando o 
procedimento simples anteriormente descrito para contraventamentos simétricos. Uma alternativa 
interessante é utilizar um programa que possua elementos barra tridimensional e um recurso 
conhecido como nó mestre. Nesse caso, as paredes devem ser discretizadas com um elemento 
para cada pavimento da estrutura e todos os nós correspondentes a um pavimento devem ser 
ligados a um nó mestre. O aspecto de um modelo deste tipo é o que se apresenta na figura 4.7. 
Figura 4.7 - Perspectiva de modelo tridimensional para paredes isoladas. 
O nó mestre é um recurso computacional através do qual as translações no plano do pavimento 
dos nós a ele ligados são transferidas em conjunto com a rotação normal a esse plano, como se existisse 
um segmento totalmente rígido entre o nó considerado e o nó mestre (Fig. 4.8). Assim, acaba-se definindo 
um plano rígido ao nível do pavimento, simulando-se a existência da laje de concreto. Todos os nós do 
pavimento perdem os referidos graus de liberdade de translação, e também a rotação em tomo do eixo 
normal ao plano, ficando as rigidezes concentradas no nó eleito como mestre do pavimento. 
Como também os carregamentos são colocados apenas no nó mestre, após a solução do 
sistema global de equações do edifício, as translações e a rotação obtidas para o nó mestre são 
utilizadas para o cálculo dos deslocamentos e rotações de cada nó do pavimento. Dessa forma 
garante-se total compatibilidade das translações e rotação do plano.Z 
A 
Y 
Figura 4.8 - Nó mestre. 
4 . 5 . 2 PAREDES COM ABERTURAS 
Para as paredes com aberturas, a situação é semelhante ao caso apresentado no item 
anterior. Os recursos computacionais necessários serão os mesmos, com a diferença de que 
existirão barras horizontais para simular os lintéis (Fig. 4.9). 
Também aqui todos os nós de um pavimento devem estar l igados a um mesmo nó 
mestre e a ação total do pavimento estará aplicada nesse referido nó mestre, de forma que o 
plano do pavimento execute movimentos de corpo rígido. Cont inua sendo imprescindível a 
verif icação dos lintéis quanto ao esforço cortante e momento fletor. 
Figura 4.9 - Modelo tridimensional de paredes com lintéis. 
4 . 6 C O N S I D E R A Ç Ã O D E T R E C H O S R Í G I D O S P A R A O S L I N T É I S 
Um detalhe importante, quando se menciona a modelagem de pórticos, é a consideração 
da dimensão finita dos nós ou os chamados trechos rígidos (Fig. 4.10). Ocorre que a colocação de 
barras nos eixos dos elementos faz com que o comprimento flexível dessas barras seja na verdade 
maior que o seu comprimento real, e isso tem como resultado painéis mais flexíveis. De fato, pelo 
menos para os elementos que representam os lintéis, a consideração dos trechos rígidos pode 
alterar bastante a rigidez de um painel. 
Da mesma forma que para o caso das abas, a não-consideração desses comprimentos 
corretos pode provocar algumas perturbações importantes na distribuição das ações horizontais. 
Alguns painéis sofrem um acréscimo significativo de sua rigidez e outros permanecem sem 
alterações sensíveis. Dessa forma, os quinhões de carga são também bastante modificados, sendo 
que a distribuição pode se afastar da realidade. 
Para corrigir essas distorções, considerando-se os trechos rígidos, existem basicamente 
dois procedimentos. O primeiro, muito mais eficiente, exige que o programa computacional utilizado 
incorpore trechos rígidos como recurso de modelagem. Isso significa que quando se define uma 
barra pode-se indicar, junto às duas extremidades, o comprimento dos trechos sem deformação. 
Dessa forma, ao montar a matriz de rigidez do elemento, o programa considera apenas o trecho 
Figura 4.10 - Nós de dimensões finitas ou trechos rígidos de barras. 
efetivamente flexível, transferindo as rigidezes através de um procedimento padrão de translação de 
graus de liberdade. Evidentemente os resultados a serem obtidos também serão correspondentes 
às extremidades flexíveis, onde a consideração dos esforços realmente tem significado. 
O segundo procedimento, muito menos eficiente, só deve ser utilizado quando o programa 
não dispuser do recurso anteriormente citado. Trata-se de colocar nós adicionais e dividir os 
elementos em dois ou três trechos, conforme existam trechos rígidos junto às extremidades inicial 
e final. Obviamente, os modelos crescem em dimensão e complexidade, existindo ainda um problema 
a ser resolvido: que características geométricas adotar para esses trechos que não devem 
apresentar deformação. Se os valores forem muito elevados, a matriz global da estrutura tende a 
ser mal condicionada, obtendo-se do processamento valores incoerentes. Entretanto, se as 
características forem relativamente pequenas, o trecho pode apresentar deformações significativas, 
não sendo a modelagem representativa. 
Como indicação geral pode-se sugerir que as características geométricas adotadas sejam 
correspondentes a uma seção com a largura igual à espessura da parede e altura igual ao pé-
direito da edificação. Dessa forma, as deformações serão desprezíveis e a matriz não deve 
apresentar problemas de condicionamento numérico, sendo obtidos resultados confiáveis. 
Entretanto, esse procedimento alternativo somente deve ser utilizado quando não se dispuser do 
recurso descrito para a alternativa anterior. 
Para finalizar, é importante citar que o CEB-FIP Model Code 1990 menciona uma forma 
simples e eficiente de se considerar os comprimentos flexíveis e por conseqüência os trechos 
rígidos das extremidades. Apesar de serem originalmente prescritos para peças de concreto armado, 
eles podem ser considerados adequados para os elementos de alvenaria estrutural. E esses valores 
estão mencionados em capítulo posterior, no qual se encontram agrupadas as características 
geométricas para elementos de alvenaria. 
4 . 7 E X E M P L O S D E M O D E L O S P A R A E D I F Í C I O S S O B A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 
Neste item serão analisados dois edifícios residenciais com sete e dez pavimentos, em 
alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto. Em todos os exemplos, as paredes têm 
espessura de 14,5 cm. Serão consideradas as ações do vento segundo as direções dos eixos X e Y, 
indicados nas plantas do pavimento tipo. As paredes, bem como seus respectivos lintéis, são 
identificados por PX, LX, PY ou LY, conforme sejam paralelos à direção do eixo X ou Y, seguidos 
por seus números. 
Para o processamento utilizou-se o sistema em elementos finitos descrito em Ramalho (1990). 
Para a consideração do pavimento como diafragma rígido, o programa dispõe do recurso do nó mestre. 
Além disso, existe a possibilidade de se considerar trechos rígidos pela translação de rigidezes, sem a 
necessidade de utilizar barras e nós adicionais. Nos exemplos apresentados optou-se por localizar o 
nó mestre no centro geométrico dos pavimentos, para facilitar a aplicação das ações. 
Levando-se em conta a pequena assimetria das estruturas analisadas, o que faz com 
que as rotações sejam praticamente nulas, somente serão analisados resultados dos painéis 
paralelos ã direção do vento considerada, apesar dos modelos construídos serem tridimensionais. 
São comparados os deslocamentos, esforços e tensões normais nas paredes, modelando-se os 
edifícios de seis maneiras distintas. A descrição dos modelos é feita na tabela 4.2. 
Tabela 4.2 - Modelos para os exemplos. 
Modelo Descrição Trechos rígidos Abas 
M1 Paredes isoladas - Sim 
M2 Paredes com aberturas Não Sim 
M3 Paredes com aberturas Sim Sim 
M4 Paredes isoladas - Não 
M5 Paredes com aberturas Não Não 
M6 Paredes com aberturas Sim Não 
As ações do vento foram determinadas conforme a NBR 6123. Os comprimentos efetivos 
das abas foram adotados como sendo de seis vezes a espessura das paredes e os comprimentos 
dos trechos rígidos foram obtidos com base nas recomendações do CEB-FIP Model Code 1990. 
Já os lintéis mais solicitados foram dimensionados à flexão e ao cisalhamento de acordo com a 
NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto5. 
4 . 7 . 1 EXEMPLO 1 
Neste item, é analisado o efeito do vento em um edifício de sete pavimentos, com pés-
direitos de 2,74 m. A planta do pavimento tipo é apresentada na figura 4.11. As dimensões externas 
do edifício, em planta, são de 18,60 m e 22,20 m, nas direções normais aos eixos X e Y, 
respectivamente. O módulo de elasticidade adotado foi de 4.480 MPa. 
As forças devidas ao vento foram determinadas para uma velocidade básica de 45 m/s. O fator 
topográfico S, e o fator estatístico S3 são iguais a 1.0. A categoria do terreno é IV e a classe da edificação 
é B. Os coeficientes de arrasto são 0,99 e 1,03, considerando-se o vento nas direções X e V, respectivamente. 
4 . 7 . 1 . 1 DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS 
Na figura 4.12 são apresentadas as curvas de deslocamentos horizontais obtidas nos 
modelos M1, M2 e M3. Observando-se as referidas curvas, verifica-se que o comportamento do 
s Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
conjunto é predominantemente de parede isolada, mesmo quando são considerados os lintéis. 
Já na tabela 4.3, são comparados os deslocamentos no topo para todos os modelos e 
para o vento nas direções X e Y. 
0 = ^ 
i=n 
2 t 
PY10 
Ml 
PY14 PY13 
PY11 
PY7 
PY5 
PY2 
i 
o 
U 
X 
CL Hl 
n 
L 
c d 
PY9 PY8 
m 
x 
c l 
PY6 
IO OL 
x 
PY4 PY3 
LY1 
PY1 
X 
a 
c o 
0 = ^ 
• — ' j 
J 
0 = O 
n 
j 
nFigura 4.11 - Planta do pavimento tipo do exemplo 1. 
7 
6 
5 
T/> 4 
'5 > 
2 3 
2 
1 
0 
/ 
/ 
/ / 
/ / 
/ 
M 
1 
M 3 
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 
Deslocamentos X (cm) 
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 
Deslocamentos Y (cm) 
Figura 4.12 - Deslocamentos horizontais em X e Y. 
Tabela 4.3 - Deslocamentos no topo (cm). 
Direção M1 M2 M3 M4 M5 M6 
X 5,97 1,59 1,26 12,07 2,19 1,66 
Y 4,91 2,92 2,18 7,29 4,31 3,91 
Analisando-se a tabela 4.3, observa-se que na direção X há uma redução maior nos 
deslocamentos obtidos nos modelos M2 e M3, em relação a M1, indicando um efeito mais 
pronunciado dos lintéis nesta direção. O mesmo é verificado nos modelos sem abas, quando se 
comparam M5 e M6 a M4. Ocorre que na direção X há um número maior de aberturas e, assim, as 
diferenças percentuais entre os deslocamentos dos modelos com lintéis em relação aos modelos 
sem lintéis são maiores. 
Quanto aos trechos rígidos, a maior diferença percentual entre M3 e M2 verifica-se na 
direção Y. Ocorre que nesta direção os trechos rígidos considerados foram maiores. Entretanto, 
comparando-se M6 e M5, observa-se que o efeito dos trechos rígidos é mais acentuado na direção 
X, devido à aproximação dos centros de gravidade das seções transversais das paredes e 
conseqüente aumento dos comprimentos dos trechos enrijecidos. 
Por f im, deve-se ressal tar que a co locação das abas rea lmente tem um efei to 
extremamente importante, reduzindo praticamente à metade os deslocamentos obtidos. 
4 . 7 . 1 . 2 MOMENTOS FLETORES 
Na figura 4.13, são apresentados os diagramas de momentos fletores em algumas paredes 
nos modelos M1, M2 e M3. 
Os momentos fletores nos painéis compostos por apenas uma parede nos modelos M2 
e M3 foram menores do que no modelo M1, indicando que suas rigidezes, nos modelos com 
lintéis, perderam importância em relação ao conjunto. Como exemplo, podem ser tomados os 
diagramas da parede PY10. 
Nas bases das paredes de painéis com aberturas, os momentos obtidos nos modelos 
M2 e M3 foram menores do que os de M1, devido à ação dos lintéis. Observa-se ainda que os 
d iagramas de momentos de PX2 e PY8 em M2 e M3 apresentam descont inu idades mais 
pronunciadas do que os diagramas de PX10. Tal comportamento deve-se ao fato de o lintel da 
parede PX10 ser bastante flexível diante da rigidez dessa parede. 
Os trechos rígidos provocam uma restrição maior às rotações dos nós dos painéis. Logo, 
os momentos obtidos no modelo M3 são menores que os momentos de M2, como se pode ver nos 
diagramas apresentados. Nota-se, inclusive, que as descontinuidades do diagrama de momento 
de PX10 tornam-se um pouco mais destacadas no modelo M3, em relação ao modelo M2, pois a 
rigidez do lintel cresceu. 
Modelo M1 
Modelo M2 
Modelo M3 
8 
> 6 
5 
4 
3 
•2 i 
/ ^ > 2 1 
.Modolo M1 
.Modelo M2 
Modelo M3 
(A) PX2 (B) PX10 
-20 -15 -10 -5 0 5 
Momentos fletores (kNm) 
10 •350 -280 -210 -140 -70 0 70 
Momentos fletores (kNm) 
(C) PY8 
12 -10 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 
Momentos fletores (kNm) 
(D) PY10 
-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 
Momentos fletores (kNm) 
.Modelo M1 
.Modelo M2 
Modelo M3 
Modelo M1 
Modelo M2 
Modelo M3 
Figura 4.13 - Momentos fletores em paredes. 
Convém ressaltar que as observações feitas nos parágrafos anteriores, relativas aos 
efeitos dos lintéis com e sem trechos rígidos, continuam válidas nos modelos sem as abas, M4, M5 
e M6, que deixam de ser aqui apresentados. 
4 . 7 . 1 . 3 ESFORÇOS NORMAIS 
Na figura 4.14 são apresentados os esforços normais nas bases das paredes, onde 
ocorrem os valores máximos, para as paredes com aberturas. A tendência, para os valores mais 
significativos, é um discreto aumento para os casos em que são considerados os trechos rígidos. 
Isso ocorre porque, com os trechos rígidos, os esforços cortantes nas extremidades dos lintéis 
tendem a ser maiores, aumentando também os esforços normais nas paredes. 
• M2 9 M3 DM5 DM6 
PX1 PX2 PX3 PX9 PX13 PX14 PX15 PX16 PY1 PY3 PY8 
Figura 4.14 - Esforço solicitante normal na base das paredes. 
4 . 7 . 1 . 4 TENSÕES NORMAIS 
Na figura 4.15 são apresentados os gráficos das tensões normais nas paredes PX13, 
PX14, PY1 e PY2. São comparadas as máximas tensões de tração devidas ao vento, obtidas nos 
modelos M1, M2 e M3, com as tensões de compressão provenientes das cargas permanentes, as 
quais são denominadas de tensão V. 
Fazendo-se a combinação das tensões, con forme os gráf icos das f iguras ac ima 
mencionadas, resulta em valores que indicam a predominância de tensões de tração nessas 
paredes, em alguns desses modelos. Entretanto, estas tensões estão dentro das faixas admissíveis 
prescritas pela NBR 10837. 
Já na tabela 4.4 são apresentadas as tensões devidas ao vento nos modelos com e sem 
abas e as tensões devidas às cargas verticais, incluindo-se as cargas variáveis. Os resultados 
mostram o efeito favorável das abas, reduzindo-se as tensões praticamente à metade das que 
seriam obtidas sem as abas. De fato, nos modelos sem abas em algumas paredes as tensões 
devidas ao vento são maiores que as tensões provenientes das cargas verticais. Já nas paredes 
modeladas com abas, as tensões finais são unicamente de compressão. 
Nos modelos M2 e M3, devido à presença dos lintéis e dos trechos rígidos, verifica-se 
que as diferenças percentuais entre as tensões nas paredes mais e menos solicitadas são menores 
do que no modelo M1. 
> 4 
• Tensão V 
• Modelo M1 
• Modoio M2 
L B Modelo M3 
1—1—I—I—I—I—I—1—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I I I 
O 110 220 330 440 550 
Tensões Normais (kN/m*) 
(A) PX13 (B) PX14 
6 » 
.5 M 
1 
I I Tensão V 
I I Modelo M1 
• Modelo M2 
P B Modelo M3 
• 
O 100 200 300 400 500 
Tensões Normais (kN/m7) 
(C) PY1 
330 440 550 
Tensões Normais (kN/m2) 
(D) PY2 
Figura 4.15 - Tensões normais em paredes. 
• Tensão V 
I I Modelo M1 
I I Modelo M2 
f | Modelo M3 
0 100 200 300 400 500 600 
Tensões Normais (kN/m7) 
Tabela 4.4 - Tensões normais nas bases das paredes (kN/m2). 
Parede Tensões normais devidas ao vento Tensões cargas vert. Parede M1 M2 M3 M4 M5 M6 
Tensões 
cargas vert. 
PX10 646 290 278 974 375 358 857 
PX13 501 272 239 958 416 362 525 
PX14 85 282 153 169 211 205 686 
PX15 85 111 113 169 199 180 1275 
PY1 214 349 393 233 502 571 525 
PY2 497 408 383 719 593 584 518 
PY3 156 158 213 148 218 233 708 
PY10 650 456 396 973 666 609 953 
4 . 7 . 1 . 5 VERIFICAÇÃO DOS LINTÉIS À FLEXÃO E AO CISALHAMENTO 
Nas tabelas 4.5. e 4.6 são apresentados os momentos fletores e os esforços cortantes 
máximos nos lintéis mais solicitados. Nos modelos sem abas os momentos e cortantes são em 
geral maiores, tendo em vista as paredes serem relativamente mais flexíveis. 
A maior área de aço necessária para combater a flexão foi de 0,93 cm* no lintel LX5 e 
0,91 cm2 para o lintel LY1 no modelo M2. No modelo M5, a área de aço necessária no lintel LX5 foi 
de 1,11 cm2. Em todos os lintéis, tanto nos modelos com abas como nos modelos sem abas, as 
tensões de cisalhamento atuantes são menores que as tensões admissíveis especificadas pela 
NBR 10837 para dimensionamento sem armaduras transversais. 
Tabela 4.5 - Momentos (kN ~ m) e cortantes (kN) máximos nos lintéis - modelos com abas. 
Lintel 
Modelo M2 Modelo M3 
Lintel 
Nível Momento máximo 
Cortante 
máximo Nível 
Momento 
máximo 
Cortante 
máximo 
LX1 3 12,42 4,94 3 10,69 4,73 
LX5 3 21,34 6,61 2 19,00 7,39 
LY1 4 21,00 9,55 3 20,24 14,05 
Tabela 4.6 - Momentos (kN ~ m) e cortantes (kN) máximos nos lintéis - modelos sem abas. 
Lintel 
Modelo M5 Modelo M6 
Lintel 
Nível Momento máximo 
Cortante 
máximo Nível 
Momento 
máximo 
Cortante 
máximo 
LX1 3 13,88 5,93 2 11,12 4,76 
LX5 2 25,27 8,05 2 22,59 8,82 
LY1 3 23,29 10,71 2 22,14 15,16 
4 . 7 . 2 EXEMPLO 2 
Neste item será analisado um edifício de dez pavimentos, com pés-direitos de 2,72 m. A 
planta do pavimento tipo é apresentada na figura 4.16. Suas dimensões externas são 15,90e 22,05 m 
nas direções normais a X e Y, respectivamente. O módulo de elasticidade adotado foi de 6.400 MPa. 
x 
CL 
Y <-
JL 1 P Y 2 3 
PY21 cl lO, co PY20 
•RT 
PY5 
PY18 
PY17 n 
D Jl 
f g g J í n 
PY19 
5 . P Y 1 6 
<0 
X 
CL 
u m 
PY12 
PY9 
LY2 
PY4 PY3 
-<fr 
x o. 
PY14 
co 
x 
CL 
PY8 
LY1 
CM 
x 
CL 
X 
CL 
PY2 PY1 
Figura 4.16 - Planta do pavimento tipo do exemplo 2. 
As forças devidas ao vento, ao nível de cada pavimento, são determinadas para uma 
velocidade básica de 35 m/s. O fator topográfico S, e o fator estatístico S3 são iguais a 1,0. A 
categoria do terreno é IV e a edificação classe B. Os coeficientes de arrasto são 1,03 e 1,11, 
respectivamente nas direções X e Y. 
4 . 7 . 2 . 1 DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS 
Na figura 4.17 são comparados os deslocamentos horizontais nas direções X e Y, para 
os modelos com abas. 
Figura 4.17 - Deslocamentos horizontais. 
Também neste caso o comportamento do conjunto foi predominantemente de parede 
isolada, em ambas as direções e nos três modelos. Na tabela 4.7 são comparados os deslocamentos 
no topo obtidos nas seis modelagens. 
Tabela 4.7 - Deslocamentos horizontais no topo (cm). 
Direção M1 M2 M3 M4 M5 M6 
X 5,52 3,20 2,69 7,66 4,83 4.22 
Y 12,48 7,70 4,13 23,24 11,69 6.54 
Da tabela 4.7. conclui-se que os efeitos dos lintéis sem trechos rígidos foram mais 
pronunciados na direção X e com trechos rígidos na direção Y. tanto nos modelos com abas como 
nos modelos sem abas. Também neste exemplo, observa-se o efeito favorável das abas, reduzindo-
se os deslocamentos de forma significativa, especialmente na direção Y. 
4 . 7 . 2 . 2 MOMENTOS FLETORES 
Quanto aos momentos fletores, não há nenhuma novidade em relação ao que já foi dito para 
o exemplo anterior. Então, são apresentados apenas os diagramas de momentos nas paredes PX8 e 
PY17 (Fig. 4.18), as mais importantes em termos de absorção das ações provenientes do vento. 
11 
Modelo Ml 
10 
Modelo M2 
10 
9 
! j 
8 
/ t 
/ / 7 
/ / ' 
/ / ' 6 
/ / • • 
/ / • ' 
/ /? 5 
/ / / 
/ / . • ' 4 
' / / W / / © 3 
• / / > 
' / / 2 2 
s. i . x 1 . (A) P X 8 (B) P Y 1 7 
Modelo Ml 
Modelo M2 
1 
t 
1 
m 
í lO 
/ 
/ I 
-9 
' / 
/ / 
•8 
' / • " 
/ ] • -7 
/ / / 
/ / 6 
/ 
/ / / 
S 
/ 
s -4 
/ 
/ / 
/ / 
/ 1 > 3 
/ / / Z 2 
/ / 
1 • . A A 1 
• 1400 -1120 -840 -560 -280 0 
Momontos llotoros (kNm) 
280 -1400 -1120 -840 -560 -280 0 280 
Momentos lletores (kNm) 
Figura 4.18 - Momentos fletores em paredes. 
4 . 7 . 2 . 3 ESFORÇOS NORMAIS 
Na figura 4.19 comparam-se os esforços normais nas bases das paredes. O que se pode 
perceber é que. de forma semelhante ao exemplo anterior, a utilização de trechos rígidos tende a aumentar 
os esforços normais para as paredes que apresentam valores significativos, em especial a PY16. 
IM2 IM3 DM5 DM6 
PX8 PX9 PX10 PY1 PY3 PY8 PY16 
Figura 4.19 - Esforços normais na base das paredes. 
4 . 7 . 2 . 4 TENSÕES NORMAIS 
Na figura 4.20 são comparadas as máximas tensões de tração devidas ao vento, 
determinadas nos modelos com abas, com as tensões devidas às cargas verticais permanentes 
atuantes nas paredes PX9, PY3, PY4 e PY8. 
Os gráficos apresentados mostram a predominância das tensões de tração em algumas seções 
dessas paredes, que em geral são inferiores às admissíveis pela NBR 10837. Entretanto, para a parede 
PX9, no modelo M3, seus valores são mais elevados que os admitidos pela referida norma. No modelo 
M1, as tensões de tração são predominantes apenas na parede PY8 e nos dois primeiros níveis. 
(A) PX9 (B) PY3 
10 
9 
8 
7 
6 
M 
| 5 
2 
4 
3 
2 
1 
I I TcfisAo V 
I I Mcxlolo M1 
( D Modelo M2 
! | Modelo M3 
280 560 840 1120 1400 
Tensões Normais (kN/m*) 
10 
9 
8 
7 
6 vt 
I 5 
Z 
4 
3 
2 
1 
• Tensão V 
f~ l Modelo M1 
H Modelo M2 
I Modelo M3 
(C) PY4 (D) PY8 
0 260 520 780 1040 1300 
Tensões Normais (kN/m") 
0 270 540 810 1080 1350 
Tensões Normais (KN/m*) 
• Teivsao v 
I I Modelo MI 
QÊI Modelo M2 
I Modelo M3 
0 190 380 570 760 950 
Tensões Normais (kN/m1-) 
Figura 4.20 - Tensões normais nas paredes. 
Na tabela 4.8 são apresentadas as tensões devidas às cargas verticais, incluindo-se as 
cargas variáveis, e as tensões devidas ao vento nos modelos com e sem abas. Considerando-se 
as tensões devidas às cargas variáveis, nos modelos com abas as tensões finais nas paredes são 
unicamente de compressão, o que não ocorre para os modelos sem abas. 
Tabela 4.8 - Tensões normais nas bases das paredes (kN/m2). 
Parede 
Tensões normais devidas ao vento Tensões 
cargas vert. Parede M1 M2 M3 M4 M5 M6 
Tensões 
cargas vert. 
PX8 750 513 475 938 667 623 1430 
PY8 873 665 487 1674 849 608 997 
PY17 1142 830 682 1530 1168 983 1432 
PY23 1121 820 631 886 1168 983 1333 
Aná l i se Es t ru tu ra l para Ações Hor i zon ta i s 
4 . 7 . 2 . 5 VERIFICAÇÃO DOS LINTÉIS À FLEXÃO E AO CISALHAMENTO 
Os momentos e cortantes máximos nos lintéis mais solicitados, nos modelos com abas, 
são apresentados na tabela 4.9. A máxima área de aço necessária foi de 1,40 cm2 no lintel LY2. 
Neste exemplo, as tensões de cisalhamento atuantes nos lintéis ainda poderiam ser resistidas 
sem armaduras transversais. 
Tabela 4.9 - Momentos (kN m) e cortantes (kN) máximos nos lintéis - modelos com abas. 
Lintel 
Modelo M2 Modelo M3 
Lintel 
Nível Momento máximo 
Cortante 
máximo Nível 
Momento 
máximo 
Cortante 
máximo 
LX1 4 15,84 7,38 3 13,84 9,87 
LY1 4 9,58 7,59 2 6,39 5,07 
LY2 7 8,61 6,16 5 5,56 5,19 
4 . 7 . 3 CONCLUSÕES GERAIS PARA o s EXEMPLOS 
Como se pode observar dos resultados obtidos para os exemplos desenvolvidos, algumas 
conclusões são bastante claras. Inicialmente é importante destacar que a consideração das abas reduz 
de forma significativa os valores dos deslocamentos horizontais previstos e ainda os valores das tensões 
devidas às ações horizontais nas paredes. Sua consideração, portanto, é altamente recomendável. 
Quanto às paredes com aberturas, obtém-se uma redução bastante significativa das 
tensões nas paredes, mas os lintéis precisam ser armados para resistir aos esforços de flexão 
devidos à ação dos ventos. É claro que os lintéis já possuem uma armadura construtiva para servir 
como vergas, mas a situação se diferencia devido à inversão do sentido do momento no caso dos 
ventos. Assim, torna-se necessária a colocação de armaduras inferiores e superiores. Ainda quanto 
às armaduras, uma constatação importante é que os lintéis não ultrapassaram os limites para 
tensões de cisalhamento da NBR 10837, mesmo quando foram considerados os trechos rígidos. 
Aliás, as diferenças verificadas pela consideração dos trechos rígidos nos lintéis são 
significativas, mas não alteram de forma drástica os valores obtidos. Talvez sua maior atuação seja 
nos deslocamentos horizontais a serem obtidos. 
Portanto, a recomendação que se pode fazer é que inicialmente o projetista tente considerar 
as paredes isoladas, não se esquecendo de acrescentar a contribuição das abas. Se com essa 
consideração estiverem sendo obtidos deslocamentos muito grandes ou as tensões nas paredes 
estiverem apresentando grandes trações, então se deve pensar no modelo de paredes com aberturas. 
Não se deve esquecer que a consideração das paredes com aberturas vai resultar na 
colocação de armaduras adicionais, algumas vezes inclusive para o cisalhamento, nos lintéis. Dessa 
forma, pode-se dificultar a execução da obra e penalizar a economia a ser obtida com a adoção do 
sistema construtivo. Assim, deve-se verificar se não é possível evitar tais situações, adotando-se um 
modelo mais simples e ainda seguro para a análise e o dimensionamento da estrutura. 
4 . 8 E S T A B I L I D A D E G L O B A L D A E S T R U T U R A D E C O N T R A V E N T A M E N T O 
A verificação da estabilidade global de uma estrutura de contraventamento é recomendável 
para qualquer edificação e indispensável para edifícios em que, em razão do número de pavimentos 
ou outro motivoqualquer, haja suspeita sobre sua condição de deslocabilidade. 
Por exemplo, para os casos de edifícios nos quais a grande maioria das paredes estruturais 
esteja orientada segundo uma só direção, pode ocorrer que a deslocabilidade seja inaceitável 
para a outra direção, mesmo que a edificação apresente poucos pavimentos. Dessa forma, é 
importante estar atento aos problemas de segunda ordem, principalmente quando se utiliza o 
sistema estrutural chamado de "paredes transversais", mencionado anteriormente. 
4 . 8 . 1 CONCEITOS BÁSICOS 
Imagine-se uma estrutura submetida simultaneamente a uma carga vertical e uma ação 
horizontal. É fácil concluir-se que haverá um acréscimo do momento fletor inicial, chamado de 
momento de primeira ordem, representado pelas cargas verticais atuando nos deslocamentos 
produzidos pelas ações horizontais, conforme se mostra na figura 4.21. 
Esse acréscimo, chamado momento de segunda ordem, somente não ocorreria se a 
estrutura pudesse ser considerada indeslocável, o que é impossível quando se considera que 
qualquer material tem sua flexibilidade. 
Esse é o caso dos edifícios em geral, e de alvenaria em particular, que se encontram 
submetidos a ações verticais e horizontais. Essas estruturas devem, portanto, apresentar acréscimos 
de esforços de segunda ordem, tanto maiores quanto maior a sua deslocabilidade. 
Figura 4.21 - Momento de segunda ordem. 
Aná l i se Es t ru tu ra l para Ações Hor i zon ta i s 
4 . 8 . 2 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 
Torna-se aqui importante mencionar um conceito discutido no CEB-FIP Model Code 
1990 para as estruturas de contraventamento. Trata-se de uma c lassi f icação quanto à 
deslocabilidade da estrutura considerada, que pode ser classificada em deslocável ou indeslocável. 
Obviamente não existem estruturas indeslocáveis, do ponto de vista rigoroso, posto que submetidas 
a determinada ação todas apresentariam algum deslocamento. Mas a classificação indeslocável 
pode ser adotada quando os acréscimos de segunda ordem representam menos de 10% dos 
esforços de primeira ordem. Trata-se, na verdade, de uma simplificação, que consiste em se chamar 
uma estrutura pouco deslocável de indeslocável. 
Entretanto, essa classificação é muito importante, pois, como se verá a seguir, é tomada 
como base para se decidir se é ou não necessário que a análise de uma determinada estrutura 
seja feita em teoria de segunda ordem. 
4 . 8 . 3 AVALIAÇÃO DOS ACRÉSCIMOS DE SEGUNDA ORDEM 
A avaliação do acréscimo de esforços devido à consideração da segunda ordem é sempre 
um processo iterativo. Para tanto existem processos, que podem ser chamados de rigorosos, em 
que são feitas alterações na matriz de rigidez e no vetor de cargas, dentro de um programa 
computacional de pórtico plano ou tr idimensional. Podem ainda ser uti l izados processos 
simplificados, como, por exemplo, o chamado processo P-O. 
No caso dos processos rigorosos, é necessário que se tenha acesso a um programa 
computacional que permita a consideração da segunda ordem, ou não-linearidade geométrica. 
Esses programas não têm ainda uma utilização disseminada, pelo menos para análises usuais. 
Ex igem uma entrada de dados normalmente mais complexa e apresenta um tempo de 
processamento relativamente elevado, motivos pelos quais têm utilização mais restrita a casos 
especiais. 
Já no processo P-D a análise é feita com a utilização de um programa de pórtico 
convencional, ou seja, sem a consideração da não-linearidade geométrica. Os dados são mais 
simples e o tempo de processamento de cada etapa muito menor. Conforme mencionado, trata-se 
de um processo iterativo. Na primeira etapa a estrutura é analisada com a atuação simultânea das 
ações verticais e horizontais, obtendo-se os deslocamentos dos pontos nodais. Através desses 
deslocamentos são calculados acréscimos de momento fletor ao longo da altura do edifício e 
esses acréscimos são transformados, por equilíbrio, em forças horizontais equivalentes que são 
somadas às ações originais. A estrutura é novamente processada e com a obtenção dos novos 
deslocamentos são calculados novos acréscimos de esforços e ações horizontais. O processo 
cont inua até que os acréscimos obt idos para deslocamentos, esforços ou ações sejam 
suficientemente pequenos de modo que se possa considerar que o procedimento convergiu ao 
seu resultado final. Assim sendo, os esforços obtidos no último processamento já estarão 
computando os acréscimos devidos à consideração da segunda ordem. 
O processo P-B apresenta resultados muito satisfatórios e seu desenvolvimento pode 
ser automatizado, sendo que o tempo total de processamento não deve ultrapassar o tempo de 
solução de um programa que efetivamente considere a não-linearidade geométrica. Como os 
dados de entrada e os recursos computacionais utilizados são mais simples, pode-se considerar 
que ele se qualifica como uma alternativa bastante interessante. 
4 . 8 . 4 DESLOCABILIDADE DAS ESTRUTURAS POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS 
Foi mencionado que para estruturas com acréscimos de esforços devidos à consideração 
da segunda ordem menores que 10% dos de primeira ordem, a estrutura pode ser considerada 
indeslocável. Nesse caso não haverá necessidade de a análise ser realizada em teoria de segunda 
ordem, podendo ser utilizado um procedimento convencional em primeira ordem, sem a necessidade 
de diversas iterações. É, sem dúvida, o procedimento mais confortável. 
Entretanto, é necessário saber se os referidos acréscimos realmente se limitam aos 
mencionados 10% para a estrutura em análise. Nesse caso pode-se lançar mão de procedimentos 
simplificados que indiquem se uma estrutura pode ou não ser considerada indeslocável. O próprio 
CEB-FIP Model Code 1990 apresenta uma solução para o mencionado problema: o parâmetro a. 
Outro procedimento, que se pode considerar mais adequado, é o parâmetro yz. A seguir esses 
parâmetros são discutidos com maiores detalhes. 
4 . 8 . 4 . 1 PARÂMETRO a 
Em que, 
a : parâmetro de instabilidade 
H : altura total do edifício 
P : peso total da edificação 
E l : rigidez à flexão do sistema de contraventamento 
Considera-se que o acréscimo de esforços de segunda ordem será menor que 10% se o 
referido parâmetro for: 
O parâmetro a pode ser avaliado de acordo com a expressão: 
...(4.7) 
a - 0,7: para sistemas compostos apenas por pilares-parede 
a - 0,6: para sistemas mistos 
a - 0,5: para sistemas compostos apenas por pórticos 
Quando o parâmetro o. exceder os valores apresentados, o projetista deve necessariamente 
providenciar a análise do edifício em teoria de segunda ordem, de forma a avaliar corretamente o 
acréscimo nos esforços. 
4 . 8 . 4 . 2 PARÂMETRO y, 
O outro procedimento, ainda mais interessante, é o chamado parâmetro yz. Trata-se de 
um estimador do acréscimo de esforços devidos à consideração da segunda ordem e por esse 
motivo é mais adequado que o parâmetro a anteriormente citado. Com a sua utilização consegue-
se estimar o efeito de segunda ordem apenas com o resultado do cálculo da estrutura submetida 
às ações verticais e horizontais. É como se estimarem os valores de convergência de um processo 
P-D apenas com os resultados da primeira etapa. 
Sua expressão é a seguinte: 
...(4.8) 
Em que, 
AM : acréscimo de momento devido aos deslocamentos horizontais 
M, : momento de 1 ! ordem 
Dessa forma, calculado o parâmetro pode-se avaliar a deslocabilidade da estrutura. 
Analogamente ao que já foi mencionado, pode-se estabelecer, considerando-se o limite de 10%: 
Y, - 1,10: estrutura indeslocável 
yz > 1,10: estrutura deslocável 
Aqui a vantagem do yz torna-se evidente. Em especial porque o parâmetro é um bom 
estimador do acréscimo de segunda ordem até, pelo menos, o valor 1,20. Assim sendo, pode-se, 
obtido um valor entre 1,10 e 1,20, utilizar o próprio parâmetro como multiplicador de esforços de 
primeira ordem para a obtenção dos de segunda ordem,ou seja: 
M2 = Y, M, ...(4.9) 
Em que, 
M, : esforços de 1? ordem 
M 2 : esforços finais de 2- ordem 
yg : parâmetro com valor entre 1,10 e 1,20 
4 . 9 C O N C L U S Ã O 
O presente capítulo apresentou conceitos relativos à análise de estruturas de edificações 
em alvenaria submetidas a ações horizontais. Inicialmente foram discutidas as ações usualmente 
consideradas, com destaque para as devidas ao vento e ao desaprumo. Foi enfatizada a importância 
de consideração das abas ou flanges na composição das seções transversais dos painéis de 
contraventamento, devido à sua significativa contribuição na rigidez e na resistência desses painéis. 
Foram discutidos procedimentos para a distribuição de ações horizontais para contraventamentos 
simétricos e assimétricos, analisando-se o processo das paredes isoladas e o de paredes com 
aberturas, bem como as suas implicações nas duas referidas situações. No caso das paredes com 
aberturas foi introduzido o conceito de nós de dimensões finitas, como elemento de enrijecimento 
dos painéis. Foram ainda discutidos os recursos de modelagem encontrados em alguns programas 
computacionais, que permitem um aumento da eficiência da análise, tanto sob o ponto de vista da 
representatividade da estrutura como na elaboração e no processamento dos modelos numéricos. 
Foram introduzidos dois exemplos de modelagem de edifícios submetidos a ações horizontais, 
comparando-se os resultados obtidos com os procedimentos alternativos apresentados e as suas 
implicações no desenvolvimento do projeto estrutural. Por fim foi discutida a questão da estabilidade 
global da estrutura de contraventamento, apresentando dois procedimentos simplificados para a 
avaliação da relevância dos efeitos de segunda ordem. Destaca-se a superioridade do parâmetro 
y2 sobre o parâmetro a, devido à possibilidade que aquele possui de apresentar uma estimativa 
para os efeitos de segunda ordem. 
Principais Parâmetros para o Dimensionamento de Elementos n 
eu 
c 
o 
5 . 1 T E N S Õ E S A D M I S S Í V E I S E E S T A D O S L I M I T E S 
A segurança de uma estrutura pode ser entendida como a capacidade de suportar as diversas 
ações previstas durante a sua vida útil, garantida sua possibilidade de funcionar conforme sua destinação. 
Todas as teorias que permitem introduzir o conceito de segurança baseiam-se na hipótese 
de que o comportamento estrutural é determinístico. Isto significa que para um mesmo corpo, sob as 
mesmas condições de vinculação, a repetição de uma solicitação ao longo do tempo produziria as 
mesmas respostas estruturais, ou seja, as mesmas deformações, tensões, esforços e deslocamentos. 
O método das tensões admissíveis introduz a segurança no projeto estrutural mediante 
o estabelecimento de um coeficiente de segurança interno y_. É imposta a condição de que as 
maiores tensões na estrutura não ultrapassem valores admissíveis, estabelecidos de forma empírica, 
a partir da divisão de tensões de ruptura ou de escoamento pelo coeficiente y4. A aplicação desse 
método pode ser resumida por: 
S < R / Yj ...(5.1) 
Em que, 
S : máxima tensão atuante 
y : coeficiente de segurança interno 
R : tensão de ruptura ou de escoamento do material 
Este método tem algumas deficiências que podem ser consideradas sérias: 
a) impossibilidade de se interpretar o coeficiente yt como um coeficiente externo: 
b) preocupação exclusiva com a relação serviço-ruptura; 
c) adequação apenas para o comportamento linear. 
Também se pode conceituar a segurança de uma estrutura com a introdução da idéia de 
estado limite. Segura é a estrutura que, durante a sua vida útil, não atinge nenhum estado limite. 
Esses estados limites podem ser definidos como: 
a) estado limite último (ELU); 
b) estado limite de serviço (ELS). 
O estado limite último corresponde ao esgotamento da capacidade portante da estrutura e 
pode ser ocasionado por diversos fatores: perda de estabilidade do equilíbrio, ruptura, colapso, 
deterioração por fadiga ou excesso de deformação plástica que inviabilize a sua utilização como estrutura. 
Já o estado limite de serviço está relacionado a exigências funcionais ou de durabilidade 
da estrutura e pode ser causado por excesso de deslocamentos, deformações, danos ou vibrações. 
A segurança é introduzida mediante a verificação dos estados limites de serviço e através 
de coeficientes de segurança externos ye relativos aos estados limites últimos. O estabelecimento 
dos coeficientes yc é feito de maneira empírica. A vantagem do método dos estados limites sobre 
o das tensões admissíveis é que ele permite a definição de um critério direto para resistência e 
para as condições de serviço da estrutura. 
Atualmente, um aperfeiçoamento verificado para o método dos estados limites consiste 
em se considerar que os parâmetros geométricos, mecânicos e de solicitação das estruturas não 
são determinísticos, sendo representados por variáveis aleatórias contínuas. A inclusão de conceitos 
probabilísticos permite considerar incertezas relativas ao carregamento, à resistência dos materiais 
e à representatividade do modelo de análise empregado. 
O dimensionamento com base nos estados limites pode ser resumido da seguinte maneira: 
- Sd > 0 ...(5.2) 
Em que, 
Rd = Rk / ym: resistência de cálculo 
Sd = S( y, x Fk): solicitação de cálculo 
e Y,: coeficientes de ponderação 
Rk e Fk: valores característicos de resistência e ação 
Geralmente os valores característicos são escolhidos de modo que 95% das resistências 
verificadas na estrutura excedam Rk e 95% das ações aplicadas sejam menores que Fk. 
Assim, a probabilidade de ruína é dada por: 
P [ R r i - S d < 0] = p ...(5.3) 
É necessário determinar os valores dos coeficientes ym e Y, compatíveis com o valor de 
up" pré-fixado. Para que isso seja feito, além de conceitos estatísticos, são utilizados também valores 
empíricos baseados na experiência de construção acumulada e em ensaios de laboratório. 
A norma brasileira NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de 
Concreto1, assim como a norma americana ACI 530 - Building Code Requirements for Masonry 
Structures2, adotam o método das tensões admissíveis para a introdução da segurança estrutural. 
Entretanto, a BS 5628 - Code of Practice for Use of Masonry3 já adota os estados limites. 
' Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
2 American Concrete Instituto (1992). 
3 British Standards Institution (1992). 
De fato, seria interessante se a norma brasileira adotasse o conceito dos estados limites. 
Além de ser mais adequado, por permitir melhor conhecimento da segurança da estrutura, esse é 
o conceito que serve de base para as demais normas existentes no País. até mesmo para algumas 
que complementam o próprio emprego da alvenaria como sistema estrutural. Por exemplo, a NBR 
6136 - Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria Estrutural4 fala explicitamente em 
resistência característica do bloco de concreto. Além disso, é impossível a utilização da NBR 8681 -
Ações e Segurança nas Estruturas* para edificações de alvenaria estrutural. 
5 . 2 R E S I S T Ê N C I A À C O M P R E S S Ã O D A A L V E N A R I A 
A resistência à compressão é, obviamente, o parâmetro de resistência mais importante 
para a alvenaria estrutural. Dessa forma, não é de se estranhar que muitos trabalhos tenham sido 
desenvolvidos para quantificá-la. Aqui, procurar-se-á apresentar um panorama geral sobre esse 
aspecto de grande importância. 
5 . 2 . 1 INFLUÊNCIA DOS COMPONENTES NA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO 
A seguir, se faz um breve resumo sobre a influência de cada componente sobre a 
resistência à compressão da alvenaria. O principal objetivo é dar noções qualitativas, ou até mesmo 
quantitativas, sobre a maneira como cada um desses componentes atua no sentido de aumentar 
ou reduzir a referida resistência. 
5 . 2 . 1 . 1 BLOCOS 
Dentre os fatores que exercem influência na resistência à compressãodos painéis de 
parede, a resistência dos blocos tem caráter predominante. De forma geral, quanto mais resistente 
o bloco, mais resistente será a alvenaria. 
Existe um conceito muito importante quando se trata da influência da resistência dos blocos 
na resistência à compressão das paredes. É a "eficiência", ou seja, a relação entre a resistência da 
parede e a resistência do bloco que a compõe. A relação 5.4 exprime matematicamente esse conceito. 
n = f ...(5.4) 
Em que, 
fpw : resistência da parede 
f0 : resistência do bloco 
4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1980). 
5 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1984). 
A eficiência costuma variar bastante, dependendo da sua forma, material e até mesmo 
da resistência dos blocos. Normalmente, quanto mais resistente for o bloco menor será a eficiência 
e vice-versa. Também se pode considerar que usualmente os blocos cerâmicos apresentem uma 
eficiência menor que a dos blocos de concreto. Além disso, características dos outros componentes 
podem influir na eficiência parede-bloco. 
Considerando-se os casos mais comuns no Brasil: paredes executadas com blocos vazados 
de concreto ou cerâmicos (resistência entre 4,5 e 20 MPa), não-grauteadas e com argamassas 
usuais, pode-se estimar que a eficiência apresente os valores que constam da tabela 5.1. 
Tabela 5.1 - Valores da eficiência parede-bloco. 
Bloco Valor mín imo Valor máximo 
Concreto 0,40 0,60 
Cerâmico 0,20 0,50 
5 . 2 . 1 . 2 ARGAMASSA 
É interessante se destacar pelo menos dois fatores quando se trata da influência da 
argamassa na resistência à compressão das paredes: a espessura da junta horizontal e a resistência 
à compressão da argamassa. 
Quanto ao primeiro aspecto, está bem estabelecido que a espessura da junta precisa se 
situar dentro de limites muito estreitos. Ela não pode ser muito pequena, pois isso poderia permitir 
que, por falhas na execução, pontos das superfícies dos blocos acabassem se tocando. Obviamente, 
essa situação provocaria uma concentração de tensões que prejudicaria a resistência da parede. 
Entretanto, desde um trabalho pioneiro de Francis (1971) foi comprovado que a resistência da 
parede decresce com o aumento da espessura da junta horizontal. Isso se explica porque com o 
aumento da espessura diminui o confinamento da argamassa. E é exatamente esse confinamento 
que torna a argamassa pouco suscetível à ruptura, mesmo que a sua resistência à compressão, 
medida em corpos-de-prova cilíndricos, seja relativamente baixa. Assim, segundo Sahlin6 apud 
Camacho (1995), a cada aumento de 0,3 cm na espessura da argamassa há uma redução de 15% 
na resistência da parede. Numa concordância implícita com esses fatos apresentados, a NBR 
10837 especifica que a espessura da junta horizontal entre blocos deve ser igual a 1 cm, a menos 
que se justifique tecnicamente a adoção de um outro valor. 
Quanto à resistência à compressão da argamassa, conforme já se afirmou em item 
anterior, esse parâmetro não influi de forma tão significativa na resistência à compressão da parede. 
Apenas se a resistência da argamassa for menor que 30% ou 40% da resistência do bloco é que 
essa influência pode ser considerada importante. Por exemplo, segundo os resultados obtidos por 
6 SAHLIN, S. (1971). Structural Masonry. 
Gomes (1983), para paredes construídas com blocos de 7,5 MPa, variando a resistência da 
argamassa em torno de 135%, verificou-se que o acréscimo de resistência para as paredes foi de 
apenas 11,5%. A própria BS 5628 corrobora esse fato quando indica que, por exemplo, para 
blocos de 7,0 MPa, ao se aumentar a resistência da argamassa de 6,5 MPa para 16,6 MPa, a 
resistência à compressão da parede cresce apenas 6%. Na verdade, argamassas exageradamente 
resistentes podem apresentar até mesmo um efeito contrário ao desejado, reduzindo a resistência final 
da parede. Dessa forma parece interessante a recomendação de Gomes (1983), que concluiu que a 
argamassa de assentamento deve ter como resistência um valor entre 70% e 100% da própria 
resistência do bloco. Pode-se até mesmo afirmar que para argamassas com resistências em torno de 
50% da resistência dos blocos dificilmente haverá uma queda significativa na resistência da parede. 
5 . 2 . 1 . 3 GRAUTE 
A influência do graute na resistência das paredes deve ser computada levando-se em 
conta duas situações distintas. Quando o grauteamento ocorre em blocos vazados de concreto, 
esse preenchimento, realizado com um material muito semelhante ao material do próprio bloco, 
pode ser avaliado de forma relativamente simples. A utilização do graute leva a um simples aumento 
da área líquida da unidade, podendo o acréscimo de capacidade portante da parede ser quantificado 
sem grandes complicações. Trata-se, na verdade, de se promover um aumento na resistência da 
unidade, proporcional à área grauteada, obtendo-se por conseqüência um aumento da resistência 
da parede, sempre se considerando a já mencionada eficiência bloco-parede. 
Por exemplo, tomando-se um bloco de concreto de resistência na área bruta igual a 6 
MPa, com 50% de vazios, e realizando-se o preenchimento de seus furos com um graute de 
resistência igual à do material que compõe o bloco, ou seja 12 MPa, obtém-se na verdade um 
bloco com resistência à compressão na área bruta 12 MPa. Dessa forma, tomando-se 0,5 como o 
valor de eficiência bloco parede-parede, pode-se estimar que a resistência da parede seja da 
ordem de 6 MPa, sempre em relação à área bruta. Caso o grauteamento não fosse utilizado, a 
resistência estimada para a parede seria da ordem de 3 a 3,5 MPa, dependendo do valor da 
eficiência bloco-parede que fosse tomado. 
Já para os blocos cerâmicos, essa avaliação torna-se mais complexa. Por se tratarem de 
materiais diferentes, ainda que de mesma resistência, fica mais difícil prever com clareza a resistência 
final do conjunto bloco-graute. O comportamento do conjunto dos dois materiais poderia ser 
influenciado negativamente, por exemplo, pelas diferentes características elásticas de cada um. 
Entretanto, Garcia (2000), que realizou ensaios em dez paredes grauteadas, concluiu 
que a situação não deve ser muito diferente daquela que se observa para os blocos de concreto. 
Foram utilizados blocos cerâmicos com resistência aproximada de 10 MPa e definidos dois 
esquemas de grauteamento, com cinco paredes rompidas para cada caso. Os resultados obtidos 
mostram que considerar o graute como uma redução da área de vazios dos blocos, conforme o 
que se sugeriu para os blocos de concreto, não parece muito distante da realidade. Mas, como os 
exemplares ensaiados são poucos e seriam necessários estudos complementares para corroborar 
esses resultados iniciais, é importante que essa consideração seja feita com cuidado, de modo a 
se evitar uma redução significativa do nível de segurança. 
5 . 2 . 1 . 4 ARMADURAS 
De fato, o aço nas estruturas de alvenaria acaba tendo sua capacidade pouco aproveitada 
na resistência à compressão, pois a tensão usualmente fica limitada a valores bem abaixo da 
tensão de escoamento do material. A imposição de limites relativamente baixos para as tensões 
no aço é explicada pela necessidade de se evitar uma fissuração excessiva, bem como garantir a 
aderência entre as barras de aço e o graute que as envolve. Entretanto, essa limitação leva a uma 
contribuição menor do que aquela que se poderia esperar, especialmente porque a resistência à 
compressão dos outros componentes da alvenaria é relativamente elevada. 
Assim sendo, usualmente não é interessante do ponto de vista da relação custo-benefício 
se utilizar esse recurso para aumentar a resistência à compressão. Na verdade a alvenaria armada 
parece mais adequada quando se necessita conferir ductilidade à estrutura, aumentar o limite 
normalizado para a esbeltez de paredes ou quando se necessita de acréscimo muito localizado de 
resistência. 
5 . 2 . 2 AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃODAS PAREDES 
Alguns procedimentos podem ser util izados para uma avaliação da resistência à 
compressão das paredes de alvenaria. A seguir são apresentados três deles, sendo que são 
discutidas as principais vantagens e desvantagens de cada um. 
5 . 2 . 2 . 1 ESTIMATIVA ATRAVÉS DA RESISTÊNCIA DE PRISMAS 
Prismas sao elementos obtidos pela superposição de um certo número de blocos, 
normalmente dois ou três, unidos por junta de argamassa e destinados ao ensaio de compressão 
axial, conforme se apresenta na figura 5.1. 
A estimativa da resistência de paredes através do ensaio de prismas é o procedimento 
adotado pela NBR 10837, sendo também permitido pelo ACI 530. É extremamente interessante e 
representa um avanço significativo do ponto de vista de se obter um método de dimensionamento 
válido para praticamente qualquer condição de unidade, argamassa ou mesmo graute. Obviamente, 
é importante que os prismas sejam executados nas mesmas condições verificadas na construção. 
Devem ser mantidos materiais e mão-de-obra, para que se possa ter resultados representativos 
do que realmente ocorre durante a execução. 
J^Carga 
Bloco 
Argamassa 
Bloco 
Figura 5.1 - Prisma de dois blocos. 
Um outro ponto positivo desse procedimento é que os ensaios podem ser realizados 
com facilidade por qualquer laboratório minimamente equipado e que realize controles usuais para 
estruturas de concreto armado. Até mesmo através de uma prensa manual, instalada no próprio 
canteiro de obras, pode-se controlar a resistência ã compressão de prismas, obtendo-se um 
procedimento de verificação simples, barato e eficiente. 
A NBR 10837, em seu item 5.3.1, é enfática na especificação do prisma como resistência básica 
da alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto, e podem-se reproduzir as suas palavras textuais 
"As tensões admissíveis para a alvenaria não-armada e para a alvenaria armada devem 
ser baseadas na resistência dos prismas (fp) aos 28 dias ou na idade na qual a estrutura está submetida 
ao carregamento total. Nas plantas submetidas à aprovação ou usadas na obra, deve constar 
claramente a resistência (fp) na idade em que todas as partes das estruturas foram projetadas". 
E é importante ressaltar que, apesar da NBR 10837 ser uma norma voltada especificamente 
aos blocos vazados de concreto, não há nenhuma incoerência conceituai em estender esse procedi-
mento a unidades de outros tipos ou material. 
Aqui também se pode utilizar um conceito que já foi apresentado no item 5.2.1.1. Trata-se 
da "eficiência", neste caso que se analisa uma relação entre a resistência do prisma e do bloco que 
o compõe. Essa relação pode ser escrita matematicamente como na equação 5.5. 
f 
- F 
...(5.5) 
Normalmente esses valores da eficiência prisma-bloco, para a prática corrente no Brasil, variam 
de 0,5 a 0,9 para os blocos de concreto e de 0,3 a 0,6 no caso dos blocos cerâmicos. Da mesma forma 
que no item 5.4.1.1, a eficiência tende a ser menor quando se aumenta a resistência do bloco e vice-
versa. Também semelhante é o comportamento em relação ao material que compõe os blocos blocos de 
concreto tendem a apresentar uma eficiência significativamente maior que os cerâmicos. 
Existe ainda uma terceira relação entre resistências que é de grande importância e que 
não deixa de ser também uma eficiência: a relação entre a resistência da parede e do prisma. É 
uma relação muito importante porque, mesmo sendo o dimensionamento e o controle feitos com 
base na resistência do prisma, o que interessa em última instância é a resistência da parede. E a 
resistência do prisma é sempre maior que a da parede, porque com o aumento do número de 
juntas que se verifica na parede, inclusive com a adição de juntas verticais que não existem no 
prisma, a resistência do painel tende a cair. 
Tomando-se um amplo conjunto de ensaios já realizados no Brasil, verifica-se que essa 
relação de resistência parede-prisma situa-se por volta de 0,7 tanto para blocos de concreto como para 
blocos cerâmicos. Esse número é corroborado implicitamente até mesmo pela NBR 10837, quando 
são observadas as expressões para dimensionamento com base na resistência de prisma ou de parede. 
Por fim, resta mencionar que a norma brasileira que regulamenta o método de ensaio 
dos prismas é a NBR 8215 - Prismas de Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria 
Estrutural - Preparo e Ensaio à Compressão7. 
5 . 2 . 2 . 2 ESTIMATIVA ATRAVÉS DOS COMPONENTES 
A estimativa da resistência à compressão das paredes através dos componentes é um 
procedimento muito bom, mas que apresenta um inconveniente sério para um país de dimensões 
continentais e com grandes diferenças regionais. Seria preciso uma boa padronização desses 
componentes para que o número de ensaios necessários a essa estimativa fosse razoável. Em 
caso contrário, a caracterização do material demandaria um número de ensaios que acabaria 
praticamente inviabilizando o próprio procedimento. 
A estimativa da resistência através dos componentes é o principal método utilizado pela 
BS 5628, que apresenta tabelas para a resistência característica à compressão das paredes em 
função do tipo de argamassa e da resistência das unidades. Por exemplo, se forem tomados os 
blocos vazados com relação entre a altura e a menor dimensão na horizontal entre 2,0 e 4,0, os 
valores da resistência característica serão os da tabela 5.2. 
É interessante ressaltar que a BS 5628 não se refere a prismas. Quando se tratar de 
uma alvenaria especial, a resistência à compressão deve ser obtida de ensaios de paredes com 
pelo menos 1,20 m de comprimento por 2,40 m de altura. 
Também o ACI 530 se utiliza deste procedimento como uma das alternativas para o cálculo da 
resistência à compressão. Podem-se apresentar, por exemplo, os valores especificados para unidades de 
concreto pelo ACI 530.1 Specifications for Masonry Structures3, organizados na tabela 5.3. A diferença em 
7 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1983). 
8 American Concrete Instituto (1992). 
relação à BS 5628 é que o ACI 530 menciona a resistência de prisma como a alternativa para a estimativa 
da resistência à compressão da alvenaria, num procedimento semelhante ao admitido pela NBR 10837. 
Tabela 5.2 - Resistência da alvenaria - Blocos vazados com altura/largura entre 2,0 e 4.0. 
Tipo da 
argamassa 
Resistência à compressão dos blocos (N/mnr) ' Tipo da 
argamassa 2,8 3.5 5 7 10 15 20 2 35 
(i) 2.8 3.5 5 5.7 6.1 6.8 7.5 11.4 
(«) 2,8 3,5 5 5,5 5,7 6,1 6.5 9,4 
(üi) 2.8 3.5 5 5.4 5.5 5,7 5.9 8.5 
(iv) 2.8 3.5 4.4 4.8 4.9 5.1 5,3 7,3 
'Obs.: 1 N/mm? = 1 MPa. 
Tabela 5.3 - Resistência da alvenaria baseada na resistência das unidades e da argamassa. 
Resistência à compressão na área líquida das 
unidades de concreto (psi)4 Resistência à compressão da alvenaria 
na área líquida (psi)* Argamassa tipo M ou S Argamassa tipo N 
Resistência à 
compressão da alvenaria 
na área líquida (psi)* 
1250 1300 1000 
1900 2150 1500 
2800 3050 2000 
3750 4050 2500 
4800 5250 3000 
*Obs.: 145.45 psi = 1 MPa. 
5 . 2 . 2 . 3 MODELOS TEÓRICOS DE RUPTURA 
Vários pesquisadores elaboraram formulações matemáticas para a determinação teórica 
de um modelo de ruptura de paredes em alvenaria. A seguir, serão comentadas as contribuições 
dadas por alguns deles, que trabalharam com prismas moldados com tijolos e com blocos vazados 
preenchidos com graute. 
Segundo Gal legos (1989), os pr imeiros estudos que se tem conhecimento foram 
realizados por Paul Haller em 1959, baseados em uma análise elástica do sistema bloco-argamassa. 
Entretanto, chegou-se a resultados absurdos, em que as resistências dos prismas resultavam 
maiores que as resistências dos blocos. 
Posteriormente, Hi lsdor f apud Muller (1984) e Francis etal. (1971) elaboraram modelos 
matemáticos também considerando o comportamento elástico dos componentes tijolo e argamassa. 
Francis etal. desenvolveram um modelo teórico para a ruptura deprismas de alvenaria submetidos 
a esforços de compressão axial. Supuseram a ocorrência de tensões de tração nos tijolos provocada 
pela excessiva deformação da argamassa, conforme a figura 5.2. Isso é explicado pela existência 
0 HILSDORF. H. K. (1969) Investigation info failure mechanism of brick masonry loaded in axial compression. 
de diferentes módulos de elasticidade dos materiais usados para a execução dos prismas. Francis 
et ai se basearam na deformação unitária dos materiais para fundamentar o seu modelo, enquanto 
que Hilsdorf baseou-se nos esforços resistidos pelos materiais. Entretanto, adotaram as mesmas 
hipóteses para as formulações das suas teorias: 
a) as unidades estruturais eram constituídas por tijolos sólidos; 
b) relação de Coulomb entre o valor da resistência à tração biaxial e à resistência à 
compressão uniaxial, def in indo a envoltór ia de ruptura do t i jolo submet ido ao 
carregamento triaxial; 
c) esforços de tração laterais uniformes na altura da unidade; 
d) esforços de tração laterais iguais nas direções x e z ; 
e) aderência perfeita entre a argamassa e o tijolo. 
y 
a 
Figura 5.2 - Estado de tensões atuantes nos blocos e nas juntas de argamassa. 
No comportamento do prisma, ao ser submetido a um estado de compressão axial, é 
suposto que a argamassa, por ter módulo de elasticidade menor, tende a deformar-se mais do que 
o bloco, submetendo-o a tensões de tração. Quando essas tensões ultrapassam a resistência à 
tração dos blocos, ocorre a fissuração da peça e sua conseqüente ruptura. 
No modelo de Francis et ai, os pesquisadores deduziram um equacionamento puramente 
teórico envolvendo, além das resistências individuais dos componentes, as características reológicas 
e mecânicas referentes a cada um. O modelo foi estudado para prismas e foram admitidos os equilíbrios 
de forças de tração lateral nas unidades e de compressão lateral nas argamassas, ou seja, a 
compatibilidade das deformações laterais nas unidades e na junta de argamassa. 
Outros autores, entretanto, verificaram a existência de grandes variações entre os valores 
teóricos obtidos com essa formulação e os experimentais. Essas variações, segundo Hendry 
(1981), ocorreram devido a aproximações feitas para a obtenção de determinados parâmetros. 
Ele também critica a utilização desse modelo para a obtenção da tensão de ruptura de paredes 
com blocos amarrados, uma vez que toda a sua formulação foi feita para prismas. 
Segundo Aly (1991), outros pesquisadores continuaram o estudo sobre os modelos de 
ruptura já apresentados e os aperfeiçoaram. No decorrer das pesquisas, alguns autores como 
Hamid e Drysdale (1979) começaram a estender os estudos para prismas de blocos vazados de 
concreto preenchidos com graute. Para isso, novas considerações tiveram que ser formuladas. 
Através de ensaios laboratoriais, Hamid e Drysdale (1979) verificaram que a ruína de prismas de 
blocos de concreto grauteados, submetidos à compressão axial, inicia-se com o aparecimento de 
fissuras verticais nos blocos. Essas fissuras se estendem com o aumento do carregamento, 
provocando, muitas vezes, o descolamento das suas faces e o rompimento do graute. O 
aparecimento de fissuras nos blocos ocorre principalmente devido à maior deformação lateral do 
graute e da argamassa em relação à do bloco, à medida que se aumenta o carregamento, 
provocando, assim, a sua ruptura prematura. Assim, os autores se basearam nas seguintes 
hipóteses para o desenvolvimento das suas teorias sobre o comportamento dos blocos grauteados 
submetidos a esforços de compressão: 
a) aderência perfeita nas interfaces bloco-argamassa-graute; 
b) distribuição proporcional de esforços verticais entre o bloco, a argamassa e o graute, 
em função do módulo de elasticidade de cada material; 
c) distribuição uniforme das tensões laterais para cada um dos materiais ao longo da altura; 
d) teoria de ruptura de Mohr (envoltória de Coulomb) adotada para expressar a ruptura 
do bloco de concreto submetido a um estado biaxial de tensão; 
e) o graute é suposto como tendo as mesmas características de um concreto convencional 
sob um estado de compressão triaxial. 
Dois modelos de ruína foram propostos, dependendo do componente que primeiro atinge 
a sua tensão de ruptura sem confinamento: o graute ou o conjunto bloco-argamassa. Quando o 
graute atinge primeiro a sua capacidade de resistência a esforços de compressão não confinada, 
grande expansão lateral ocorre devido a deformações inelásticas provocadas pela sua microfissuração. 
As faces do bloco tendem a impedir essa deformação e a confiná-lo, resultando em um estado de 
tensões de tração. Essas tensões associadas às tensões de tração provocadas pela deformação da 
argamassa provocam a ruptura prematura das faces dos blocos, conforme figura 5.3. 
Quando as faces dos blocos atingem a sua tensão máxima à compressão antes do 
graute atingir a sua tensão de compressão não confinada, o graute se encontra submetido a 
deformações elásticas. Portanto, as faces dos blocos irão apenas restringir as deformações da 
argamassa e a tensão de ruptura apresenta outro valor. Nesse caso, a resistência da parede será 
controlada tanto pela ruptura das faces dos blocos quanto pela resistência do graute. Para graute 
muito resistente ou com grandes seções transversais, é possível que mesmo após a ruptura dos 
blocos o conjunto permaneça resistindo a cargas mais elevadas. 
De fato, nenhum dos métodos teóricos apresentados tem condições de prever com 
razoável segurança a resistência de paredes à compressão. Isso pôde ser comprovado por Garcia 
(2000). Assim, o objetivo de mencioná-los aqui é muito mais discutir as suas hipóteses e os seus 
mecanismos de ruptura, esses sim bastante interessantes, do que aproveitar as expressões que 
foram deduzidas. Aliás, essas expressões nem são aqui apresentadas principalmente pelas razões 
expostas acima, podendo ser encontradas com detalhes em Garcia (2000). 
w 
Bloco 
Graute 
w, 
Z 7 
Prisma 
Z7T 
Argamassa 
Figura 5.3 - Estado multiaxial de tensão de um prisma grauteado. 
5 . 3 C A R A C T E R Í S T I C A S G E O M É T R I C A S P A R A E L E M E N T O S DE A L V E N A R I A 
Para que se possa discutir as características geométricas de elementos de alvenaria, é 
importante se apresentarem os conceitos de parede e pilar. Segundo a NBR 10837, a parede é 
um elemento laminar vertical, apoiado de modo contínuo em toda sua base, com comprimento 
maior que cinco vezes a sua espessura. Já o pilar, ainda segundo a NBR 10837, é um elemento 
estrutural semelhante à parede, mas no qual o comprimento é menor que cinco vezes a sua 
espessura. Em caso de seções compostas por retângulos (L, T ou Z), a limitação é para cada 
ramo. A figura 5.4 ajuda a entender a diferença citada. 
Figura 5.4 - Parede e pilar. 
A diferenciação desses elementos resistentes em paredes e pilares é importante não 
apenas para as características geométricas a serem citadas, mas também para o dimensionamento. 
Os valores das máximas cargas de compressão que podem ser admitidas para esses elementos 
variam de acordo com essa classificação mencionada. Obviamente, isso ocorre porque a parede 
tem uma característica laminar mais acentuada, podendo resistir a esforços maiores que o pilar, 
que apresenta uma característica mais marcante de elemento linear. 
5 . 3 . 1 ESPESSURA EFETIVA PARA PILARES E PAREDES PORTANTES 
Nos casos usuais, a espessura efetiva de uma parede de alvenaria é sua espessura real, 
portanto, descontando-se revestimentos que possam estar presentes. Entretanto, algumas normas, 
dentre elas a BS 5628 e a NBR 10837, permitem que se considere uma espessura efetiva equivalente 
quando se tem a presença de enrijecedores. A expressão genérica para o caso seria a equação 5.6. 
Quanto aos valores de Ô, a tabela 5.4 e a figura 5.5 devem esclarecer adequadamente a questão. 
...(5.6) 
Em que, 
t p i : espessura real da paredeÔ : coeficiente de multiplicação apresentado pela tabela 5.4 
te,: espessura efetiva 
Tabela 5.4 - Coeficiente Ô*. 
u / t . t . / tp . = 1 t . / tp. = 2 t. /tp, = 3 
6 1.0 1.4 2,0 
8 1,0 1.3 1.7 
10 1,0 1.2 1.4 
15 1,0 1.1 1.2 
>20 1.0 1.0 1.0 
*Obs.: é possível a interpolação de valores. 
pn • • • 1 / r • • / 
• • 
Figura 5.5 - Parâmetros para cálculo da espessura efetiva de paredes. 
Esses enri jecedores são muito utilizados especialmente em edifícios industriais, nos 
quais é necessário se aumentar a espessura das paredes tanto para se satisfazer os limites de 
esbeltez, que serão vistos em item subseqüente, quanto para reduzir os problemas com a 
instabilidade do elemento no dimensionamento. Ocorre que para esses edifícios a altura das paredes 
precisa ser relativamente grande, de forma a satisfazer características de uso dessas edificações. 
É importante mencionar que parede e enrijecedores devem ser executados simultaneamente e 
deve haver amarração entre os blocos na ligação entre eles. 
Em todo caso, algumas normas também apresentam valores absolutos mínimos para a 
largura efetiva de paredes portantes e pilares. A NBR 10837 menciona 14 cm para as paredes arma-
das, subentendo-se que esse limite valha também para as alvenarias não-armadas. O ACI 530, no seu 
item de dimensionamento empírico, especifica 20 cm, exceto para edificações de apenas um andar, 
para as quais o mínimo é 15 cm. Recomenda-se que esses limites mínimos de espessura absoluta 
sejam utilizados com bom senso. Existem casos em que eles se revelam muito conservadores. 
5 . 3 . 2 ALTURA EFETIVA 
A altura efetiva de paredes e pilares de alvenaria, aqui denominada heJ, é um dos 
parâmetros importantes para o cálculo da esbeltez de um elemento. A NBR 10837, o ACI 530 e a 
DIN 1053 - Alvenaria: Cálculo e Execução10 apresentam prescrições muito simples que podem ser 
resumidas nos itens seguintes: 
a) quando existe travamento na base e no topo, a altura efetiva deve ser a própria altura 
real da parede (hcf = h); 
b) quando a extremidade superior estiver livre, a altura efetiva será duas vezes a altura 
real do elemento (he. = 2 h). 
O ACI 530 acrescenta que nos casos em que se puder calcular os pontos de inflexão da 
elástica da posição deformada, a altura efetiva deve ser a distância entre esses pontos. 
A BS 5628 é menos conservadora nas suas recomendações. Suas prescrições podem 
ser resumidas no seguinte: 
a) quando existe travamento "reforçado" na base e no topo, a altura efetiva deve ser 
75% da altura real da parede (h^ = 0,75 h); 
b) quando existe travamento "simples" na base e no topo, a altura efetiva será a própria 
altura real do elemento (h = h). 
10 Deutsch Industrie Normen (1974). 
A BS 5628 considera travamento "reforçado" uma laje de concreto moldado in loco, ou 
outro esquema equivalente, que esteja presente em pelo menos um dos lados da parede. O 
travamento "simples" será considerado basicamente para pavimentos de madeira, o que não é 
usual para o Brasil. Entretanto, essa recomendação pode ser interessante quando se estiver 
considerando telhados de madeira. Nesse caso. desde que corretamente fixados à alvenaria, eles 
podem ser considerados como um travamento, se bem que um travamento "simples". O trabalho de 
Haseltine & Moore (1981) traz interessantes considerações sobre esse tópico, inclusive com detalhes 
sobre os travamentos "simples" e "reforçados". 
5 . 3 . 3 ESBELTEZ 
A esbeltez é definida usualmente pela divisão da altura efetiva pela espessura efetiva, 
ou seja, X = he! / te|. A NBR 10837 apresenta, para esse parâmetro, os valores limites que estão 
organizados na tabela 5.5. 
Tabela 5.5 - índices máximos de esbeltez da NBR 10837. 
Tipo de Alvenaria Elemento Esbeltez 
Não-armada 
Paredes 20 
Não-armada Pilares 20 Não-armada 
Pilares isolados 15 
Armada Paredes e pilares 30 
Não-estrutural Paredes 36 
Já de acordo com a BS 5628, o coeficiente de esbeltez X não deve ultrapassar 27, 
exceto nos casos de paredes com espessuras inferiores a 90 mm e em edifícios com mais de dois 
andares, para os quais não deve ultrapassar 20. 
É interessante se ressaltar que a BS 5628 permite a execução de paredes bem mais 
esbeltas que a NBR 10837. Além do limite de ?. ser maior, existe a possibilidade de se considerar 
como altura efetiva 75% da altura real, o que representa uma diferença total de 80%. Por exemplo, 
se considerarmos um bloco de 14 cm de largura, a máxima altura de uma parede usual para um 
edifício residencial seria 2,80 m, de acordo com a NBR 10837. Já de acordo com a BS 5628, esse 
valor da altura máxima seria de aproximadamente 5,00 m. É claro que se trata apenas de um limite 
construtivo. Obviamente que em casos em que a esbeltez é elevada a redução da resistência da 
parede será bem significativa. 
5 . 3 . 4 COMPRIMENTO EFETIVO DE ABAS EM PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO 
Conforme já foi mencionado, abas são trechos de paredes transversais ligados a um 
determinado painel de contraventamento. As recomendações da NBR 10837 e do ACI 530 para a 
consideração do comprimento efetivo das abas são muito semelhantes. Na verdade, a norma 
brasileira é um pouco mais restritiva e suas recomendações um pouco mais complexas, pois 
dependem da altura da alvenaria sobre um determinado ponto considerado. Essas prescrições 
são as apresentadas nas equações 5.7 e na figura 5.6. 
2 bf - h / 6 e b, < 61: para o caso de seção em T ou I 
b , - h / 1 6 e b, < 61: para o caso de seção em L ou C 
...(5.7) 
Já o ACI530 é mais prático sobre esse aspecto, especificando apenas que o comprimento 
efetivo das abas deve ser de seis vezes a espessura da parede para cada lado onde houver aba a 
ser considerada. Recomenda-se que essa seja a prescrição adotada, pois as recomendações da NBR 
10837 tornam a consideração mais complexa, sem acrescentar qualquer benefício significativo. 
Figura 5.6 - Comprimento efetivo de abas. 
5 . 3 . 5 TRECHOS RÍGIDOS PARA LINTÉIS 
Quando da distribuição de ações horizontais pelos painéis de contraventamento, 
mencionou-se a possibilidade de se considerar a dimensão finita dos encontros entre as paredes 
e os lintéis, na discretização de paredes com aberturas. Essa consideração pode ser feita através 
do estabelecimento de trechos rígidos para os lintéis. 
Na ausência de uma especificação especialmente voltada para a alvenaria, pode-se 
adotar a recomendação do CEB-FIP Model Code 199011, para estruturas de concreto armado, que 
se encontram apresentadas na figura 5.7. 
- I I - - I I -
h/2 h/2 
Figura 5.7 - Comprimentos de trechos rígidos para os lintéis. 
" Comitê Euro-lnternacional Du Béton (1991). 
Pr inc ipa is Pa râme t ros para o D i m e n s i o n a m e n t o de E lementos 
5 .4 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA PARA ALVENARIA 
Os parâmetros de resistência, quando se considera o ACI 530 e a NBR 10837, são 
tensões admissíveis. De fato, essas normas ainda são conceitualmente muito semelhantes, sendo 
que na verdade a NBR 10837 é uma adaptação do antigo ACI 531 - Building Code Requirements 
for Concrete Masonry Structures'2. A diferença conceituai mais significativa entre elas é o fato do 
ACI 530 considerar as tensões, tanto as atuantes quanto as resistentes, em relação à área líquida, 
enquanto a NBR 10837 as considera em relação à área bruta. Entretanto, optou-se por apresentar 
aqui apenas os parâmetros definidos pela NBR 10837. 
Entende-se que uma comparação mais interessante será obtida com a consideração da 
BS 5628. A norma inglesa, por ser baseada no método dos estados limites, tem realmente diferenças 
conceituais muito mais acentuadas em relação à NBR 10837. Assim, alguns parâmetros de 
resistência da BS 5628 é que serão resumidos em item subseqüente. 
5 . 4 . 1 PARÂMETROS DA N B R 1 0 8 3 7 
A tabela 5.6 faz um resumo das prescrições da NBR 10837 para as tensões admissíveis 
da alvenaria não-armada. De forma semelhante, a tabela 5.7 apresenta as prescrições para a 
alvenaria armada.Uma consideração importante pode ser feita em relação à tabela 5.6. Percebe-se que 
existe a possibilidade de se adotar a resistência de paredes, medida em ensaio normalizado pela 
NBR 8949 - Paredes de Alvenaria Estrutural - Ensaio à Compressão Simples13, para se obter a 
tensão admissível à compressão para a alvenaria não-armada. E os valores colocados confirmam 
o valor da eficiência parede-prisma como sendo 0,7. 
Além disso, através da comparação de valores prescritos nas tabelas 5.6 e 5.7, pode-se 
verificar que a contribuição da armadura para a resistência à compressão é pequena, apenas 12% 
a mais no valor da tensão admissível. 
Outro detalhe interessante a ser esclarecido são as l inhas que dão a tensão de 
cisalhamento admissível para o que na tabela 5.7 está sendo chamado de "pilar parede". Na 
verdade trata-se de paredes de contraventamento, painéis que recebem ações horizontais. Nesse 
caso, quando o momento M é relativamente grande em relação à cortante V, o limite para a tensão 
de cisalhamento diminui. E o parâmetro escolhido para quantificar essa relação entre o momento 
e a cortante é o que aparece lá discriminado, ou seja, o momento fletor dividido pelo esforço 
cortante vezes a altura útil da seção transversal. 
,2 American Concrete Institute (1979). 
,3 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1985). 
Por fim, com relação às tensões de contato, a figura 5.8 deve esclarecer a situação. São 
valores de tensões admissíveis para serem usados em casos de aplicação de cargas em áreas 
relativamente pequenas, ocupando de 1/3 da espessura a toda espessura da parede. Nesse caso, 
devido aos efeitos de confinamento, a tensão admissível acaba sendo mais elevada do que nos 
casos de cargas distribuídas por todo o comprimento da parede. 
Tabela 5.6 - Tensões admissíveis para alvenaria não-armada (NBR 10837). 
Tipo de solicitação 
Tensão admissível (MPa) 
Tipo de solicitação 
12,0 < t <17,0 5,0 < f .< 12,0 
Compressão Parede 0,20 f,R ou 0.286 U R 0.20 f .Rou 0.286 U R 
<Q CO simples Pilar 0.18 f»R 0.18 f,R 
Ê 
1 CO 0) o 
£ 
Compressão na Ilexão 0.30 f» 0.30 U Ê 
1 CO 0) o 
£ 
Tração 
Normal à liada 
0.15 (bloco vazado) 
0,25 (blooo maciço) 
0,10 (bloco vazado) 
0,15 (bloco maciço) 
Ê 
1 CO 0) o 
£ na Uoxão Paralela à fiada 0.30 (bloco vazado) 
0.55 (bloco maciço) 
0.20 (bloco vazado) 
0.40 (bloco maciço) 
Cisalhamento 0.25 0.15 
Tabela 5.7 - Tensões admissíveis para alvenaria armada (NBR 10837). 
Tipo de solicitação Tensão admissível (MPa) 
Valor máximo 
(MPa) 
Te
ns
õe
s 
no
rm
ai
s Compressão simples 
Parede 0.225 f , R 
0.33 fr S 6.2 
Te
ns
õe
s 
no
rm
ai
s Compressão simples Pilar (0,20 fp +0.30 p f . J R 
0.33 fr S 6.2 
Te
ns
õe
s 
no
rm
ai
s 
Compressão na Ilexão 0.33 f . 6.2 Te
ns
õe
s 
no
rm
ai
s 
Tração na Ilexão - -
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
ílelidas sem 
armadura 
Vigas 0.09 J J 0.35 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
ílelidas sem 
armadura 
Pi
la
re
s 
pa
re
de
 S e - ^ M 
Vxd 0.07 f à 0.25 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
ílelidas sem 
armadura 
Pi
la
re
s 
pa
re
de
 
So ^ < 1 
Vxd 0.17 J I 0.35 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
lietídas com 
armadura 
para todas as 
tensões de 
cisalhamento 
Vigas 0.25 1 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
lietídas com 
armadura 
para todas as 
tensões de 
cisalhamento 
CO G> 
i l 
£ 2. 
0.12 J J 0.5 
o 
c 
0 
E CO .c 
1 
O 
Peças 
lietídas com 
armadura 
para todas as 
tensões de 
cisalhamento 
CO G> 
i l 
£ 2. 
s® 773<x 0.17 J J 0.8 
0 
"O O 
,3 3 
1 § 
Em toda a espessura da parede 0.250 ÍP 
0 
"O O 
,3 3 
1 § 
Em 1/3 da espessura (mínimo) 0.375 rr 
0 
"O O 
,3 3 
1 § Entro os limites acima Interpolar os valores anteriores 
Aderência 1.0 
Em que (tabelas 5.6 e 5.7): 
fa, fp e f ^ : resistências da argamassa, prisma e parede, respectivamente 
M e V : momento fletor e força cortante em paredes de contraventamento 
d: distância entre a face comprimida e a armadura (altura útil da seção) 
R = 1 - : í a t o r d e redução da resistência associado à esbeltez (he/tc)) 
X 
x' > V31 ou x' > 50 mm 
1 
V31 < x* < t 
Figura 5.8 - Aplicação de cargas em áreas relativamente pequenas. 
Para encerrar os parâmetros de resistência da NBR 10837, a tabela 5.8 apresenta os 
valores de tensões admissíveis para as armaduras. Pela observação dos valores lá apresentados 
se percebe por que a contribuição do aço na compressão é tão pequena. Ocorre que os valores 
das tensões admissíveis são realmente muito baixos, pelo menos quando comparados aos que 
são utilizados no concreto armado, por exemplo. 
Tabela 5.8 - Tensões admissíveis no aço (NBR 10837). 
Solicitação Armadura Tensão admissível (MPa) 
Tração 
Barras com mossas, F* >412 MPa e <P < 32 mm 165 
Tração Barras colocadas na argamassa de assentamento 0.50 Í* < 206 Tração 
Outras armaduras 137 
Compressão 
Armaduras de pilares 0.40 F* <165 
Compressão 
Armaduras em paredes 62 
5 . 4 . 2 PARÂMETROS DA B S 5 6 2 8 
Conforme já foi mencionado, a BS 5628 baseia-se no método dos estados limites. Portanto. 
seus valores de resistência de cálculo são derivados de valores característicos. 
Essas resistências características podem ser obtidas na própria norma através de valores 
tabelados, como os que foram apresentados na tabela 5.2, ou através de gráficos, como o que se 
encontra na figura 5.9, para a resistência à compressão da alvenaria não-armada. 
Resistência à compressão característica de alvenaria 
_ de blocos (2.0 < h/t < 4.0) 
n* 12 o •CO 
(0 10 
O "C 
F 
c <D 8 
o > o ra 
<0 ca b ro u 
o K) c o 4 
in o 2 o 
d o C3 
ca 0 o 
Argamassa tipo (i) 
Argamassa tipo (il) 
Argamassa tipo (iii) 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 
Resist. à compressão da unidade (MPa) 
Figura 5.9 - Gráfico de resistência característica da alvenaria não-armada - BS 5628. 
Então, os valores característicos precisam ser multiplicados e divididos por coeficientes 
adequados para se obter os valores de cálculo, ou valores de projeto. No caso da resistência à 
compressão de paredes, para se obter os valores de cálculo, deve-se utilizar a expressão 5.8. 
...(5.8) 
Em que, 
fd : resistência à compressão de cálculo 
p : fator de redução devido à esbeltez e à excentricidade 
ym : coeficiente de segurança parcial para o material 
O coeficiente p pode ser obtido da tabela 5.9, em função do coeficiente de esbeltez X e 
da excentricidade ex, que é devida ao carregamento. 
Tabela 5.9 - Coeficiente p - BS 5628. 
Esbeltez 
A = hrf / 
Excentricidade das cargas no topo da parede, e, Esbeltez 
A = hrf / S0.05 t 0,1 t 0.2 t 0,3 t 
0 1,00 0,88 0,66 0,44 
6 1,00 0,88 0,66 0,44 
8 1,00 0,88 0,66 0,44 
10 0,97 0,88 0,66 0,44 
12 0,93 0,87 0,66 0,44 
14 0,89 0,83 0,66 0,44 
16 0,83 0,77 0,64 0,44 
18 0,77 0,70 0,57 0,44 
20 0,70 0,64 0,51 0,37 
22 0,62 0,56 0,43 0,30 
24 0,53 0,47 0,34 • 
26 0,45 0,38 - -
27 0,40 0,33 - -
O valor de e<t por sua vez, ó calculado segundo o que se apresenta nas equações 7.9, 
para laje atuando por apenas um lado da parede, e 7.10, laje atuando pelos dois lados. Os valores 
de C,, carga centrada que vem dos pavimentos superiores, C2 e C3, cargas com excentricidade 
que vêm das lajes no próprio nível considerado, podem ser vistos na figura 5.10. 
e = 
C2(t/6) 
C , + C2 
...(5.9) 
e =• (C?- C3)t/3 
c,+ c 2 +c. 
...(5.10) 
w w 
Figura 5.10 - Valores de C,, C2 e C3 para cálculo das excentricidades. 
Por fim, ym, que é o coeficiente se segurança parcial para o material, pode ser obtido na 
tabela 5.10, em função do controle existente na manufatura dos blocos e na construção. 
Tabela 5.10 - Coeficiente de segurança parcial - BS 5628. 
Valores de Ym 
Categoria do controle na 
construção Valores de Ym 
Especial Normal 
Categoria do controle 
na produção dos blocos 
Especial 2,5 3,1 Categoria do controle 
na produção dos blocos Normal 2,8 3,5 
A tensão de compressão para paredes é um exemplo de determinação de uma tensão de 
cálculo pela BS 5628. Claro que existem alguns outros valoresa serem considerados, como, por 
exemplo, tensão de cisalhamento, tração normal à fiada, tração na direção da fiada, compressão na 
flexão, etc. Entretanto, para não se tornar muito extenso, o objetivo deste capítulo é apenas apresentar 
um exemplo interessante. E a escolha recaiu sobre a resistência à compressão da alvenaria não-
armada devido à sua importância no dimensionamento da maioria dos elementos de uma edificação. 
Obviamente, a determinação da resistência de projeto à compressão de paredes pela 
BS 5628 é mais complexa do que a simples utilização de valores admissíveis. Ainda mais se 
considerarmos que os carregamentos também devem ser mult ipl icados por coef ic ientes de 
segurança parcia is especí f icos para o cálculo da tensão atuante. Entretanto, essa maior 
complexidade é que realmente permite se obter economias mais significativas, quando isso é 
possível, ou então penalizações adequadas para situações de risco. A complexidade, nesse caso, 
é justificável exatamente por tratar de forma diferente situações que são realmente diferentes. 
5 . 5 P A R Â M E T R O S E L Á S T I C O S P A R A A L V E N A R I A 
A relação entre a tensão e deformação da alvenaria é importante parâmetro de projeto 
no cálculo dos elementos que utilizam este material, tendo influência significativa na configuração 
deformada da estrutura. Além disso, é utilizada diretamente na definição da razão modular entre a 
alvenaria e o aço, parâmetro básico para o equacionamento da flexão. 
Apesar de sua importância, este tema ainda gera dúvidas e grande controvérsia entre 
diversos autores, que acabam por apresentar diferentes valores e relações para a determinação 
do módulo de deformação. Usualmente este módulo é calculado por expressões do tipo E,.. = Ç fp, 
em que ç é baseado em resultados obtidos em grandes conjuntos de testes. 
Pedreschi (1998) cita ensaios realizados com prismas feitos com diferentes blocos, nos 
quais também foram variáveis o tipo de argamassa, o padrão de assentamento e a direção do 
carregamento (paralelo ou perpendicular à junta de assentamento). Para blocos de concreto, esse 
autor obteve do conjunto de ensaios a expressão Ealv = 1000 fp. Sugere, no entanto, adotar como 
módulo de elasticidade, para todos os tipos de blocos, o valor Ealv = 900 fp, uma vez que os 
parâmetros obtidos são aproximados e difíceis de serem medidos. 
Andrade (1998) apresenta ensaios realizados por diversos autores, como Gallegos (1989), 
Drysdale (1994)14 apud Andrade (1998) e Gomes (1983). Estes propuseram limites de variação de Ç, 
sugerindo as relações 400 fp < Ea>, < 1290fp , e concluíram que algumas normas estrangeiras 
superestimam os valores de E1tv e G r v , adotando ç = 1000. Como valor de referência, é proposto o valor 
Ç = 750 para alvenaria de blocos de concreto e Ç = 500 a 600 para alvenaria de tijolos cerâmicos. 
Amrhein (1998) utiliza ç = 750 para o cálculo do módulo de elasticidade, tanto na resolução 
de exemplos como também na confecção de ábacos e tabelas, e o texto da ABCI (1990) sugere o 
uso de Ealv = 1000 fp. Além de todos esses números, a NBR 10837 apresenta valores ainda mais 
discrepantes, pois prescreve 400 f„ para o módulo de deformação longitudinal e 200 fp para o 
módulo de deformação transversal para blocos de concreto. 
Conforme se pode verificar, as sugestões para os valores do módulo de deformação da 
alvenaria são bastante diversas. A opinião do autor deste texto é que sejam adotados os valores 
constantes na tabela 5.11. 
Tabela 5.11 - Módulos de deformação da alvenaria. 
Bloco Módulo de deformação E * (MPa) 
Valor máximo 
(MPa) 
Concreto 
Longitudinal soo rp 16.000 Concreto 
Transversal 400 fp 6.000 
Cerâmico 
Longitudinal 600 fp 12.000 Cerâmico 
Transversal 300 fP 4.500 
14 DRYSDALE. R. G. (1994) Masonry structures: behavior and design. 
6 
Dimens ionamento de Elementos CA
P
Í
T
U
L
O
 
6 . 1 I N T R O D U Ç Ã O 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
Neste capítulo são apresentados os principais procedimentos para o dimensionamento 
de elementos de alvenaria. Para não se estender demais esses tópicos, serão normalmente 
considerados apenas os procedimentos prescritos pela NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural 
de Blocos Vazados de Concreto1. Em muitos casos, nos quais isso for interessante, serão 
mencionadas e discutidas as recomendações do ACI 530 - Building Code Requirements for Ma-
sonry Structures2 e pela BS 5628 - Code of Practice for Use of Masonry3, sempre no sentido de 
estabelecer comparações e apresentar sugestões sobre possíveis aprimoramentos a serem 
oportunamente agregados à NBR 10837. 
Neste texto, optou-se por apresentar os dimensionamentos pelo ponto de vista das 
solicitações, e não dos elementos em si. Esta opção pareceu mais conveniente, pois elementos do 
mesmo tipo podem estar submetidos a solicitações variadas, dependendo dos casos específicos 
que se considere. Por exemplo, uma parede pode estar submetida desde a uma compressão 
simples até a uma flexão composta oblíqua. 
De fato, deve-se considerar que na realidade quase todos os elementos presentes numa 
estrutura acabam sendo submetidos a um estado combinado de solicitações. Paredes submetidas 
à compressão simples na realidade não existem, pois as excentricidades inevitáveis nas aplicações 
dos carregamentos têm como conseqüência uma solicitação mais complexa do que a que se 
imagina inicialmente. O que se admite é que sendo uma dessas solicitações muito pequena em 
relação às demais, ela possa ser desconsiderada e, por simplicidade, um determinado elemento 
possa ser dimensionado com segurança através de um procedimento mais simples. 
Mesmo assim, no início de cada item se apresentam algumas indicações sobre quais elementos 
são com mais freqüência submetidos àquela solicitação considerada. O objetivo é realizar a ligação 
entre a solicitação analisada e a situação de projeto na qual ela é provavelmente mais importante. 
6 . 2 C O M P R E S S Ã O S I M P L E S 
A compressão é a solicitação mais comum e a mais simples de ser considerada. No 
capítulo anterior foram discutidas todas as prescrições necessárias ao dimensionamento de 
elementos sob compressão simples. Até mesmo o procedimento da BS 5628, uma norma que se 
baseia nos estados limites, foi discutido com detalhes suficientes para a sua correta aplicação. 
Portanto, restaria a este item apenas a apresentação de exemplos de dimensionamento. Entretanto, 
1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
2 American Concrete Instituto (1992). 
3 Britsh Standards Inslitution (1992). 
optou-se pela realização de uma comparação entre os dimensionamentos efetuados com a NBR 
10837, o ACI 530 e a BS 5628, de forma a se verificar as principais vantagens e desvantagens, 
tanto em relação à economia obtida quanto à complexidade desses procedimentos. 
Os elementos comumente considerados como submetidos à compressão simples são as 
paredes e os pilares, sejam eles armados ou não. Dessa forma, fica evidente a importância desse tipo 
de dimensionamento, já que paredes e pilares são os elementos mais importantes em qualquer estrutura 
de edifício de alvenaria. Aliás, para edifícios de altura relativamente reduzida, até seis pavimentos em 
casos usuais, esse é o único dimensionamento necessário na prática. Nem mesmo as vergas sobre 
aberturas de janelas e portas com vãos convencionais precisariam de fato ser verificadas. Normalmente, 
qualquer armadura construtiva adotada é suficiente para se garantir a resistência necessária. 
6 . 2 . 1 TENSÃO ATUANTE 
A tensão atuante em elementos comprimidos será sempre a carga dividida pela área da 
seção transversal desse elemento. A NBR 10837 e a BS 5628 trabalham com a área bruta da seção 
dos elementos, portanto desconsiderando a existência de vazios. Já o ACI 530 considera a área líquida, 
e dessa forma a área da seção transversal deve ser calculada descontando-se a área de vazios. 
A tensão atuante não sofre nenhumacorreção quando o dimensionamento se dá segundo 
a NBR 10837 e o ACI 530. Essas normas, sendo baseadas no método das tensões admissíveis, 
não prevêem coeficientes de segurança parciais a serem aplicados aos carregamentos. Toda a 
segurança está embutida no próprio valor da tensão admissível. 
Já com a BS 5628 ocorre uma situação diferente. Nesse caso, existem coeficientes parciais de 
segurança a serem aplicados aos carregamentos, transformando-os de valores característicos em valores 
de cálculo. Um resumo dos valores de y, apresentados por essa norma podem ser vistos na tabela 6.1. 
Tabela 6.1 - Valores de coeficientes parciais de segurança para ações (yf). 
Combinação Carregamentos Combinação 
Permanente Variável Vento Terra/Agua 
Permanente e variável 0,9 ou 1,4 1,6 - 1.4 
Permanente e vento 0,9 ou 1,4 - 1.4 1.4 
Permanente, variável e vento 1.2 1.2 1.2 1.2 
Dano acidental 0,95 ou 1,05 0,35 - 0,35 
6 . 2 . 2 COMPARAÇÃO DE DIMENSIONAMENTOS 
Não é muito fácil produzir uma comparação consistente de dimensionamentos obtidos 
pela NBR 10837 e o ACI 530 com o resultante da BS 5628. Entretanto, neste item procurar-se-á 
obter a máxima tensão de compressão à qual pode estar submetida uma parede não-armada de 
alvenaria estrutural com as seguintes condições: 
D i m e n s i o n a m e n t o de E lementos 
a) espessura 14 cm; 
b) alturas 240, 260 e 280 cm; 
c) resistência média de prisma de 8 MPa; 
d) resistência característica de parede de 4,7 MPa; 
e) contraventamento por laje de concreto armado na base e no topo; 
f) tensão atuante para 80% de cargas permanentes e 20% de cargas variáveis; 
g) excentricidade das cargas menor ou igual a 5% da espessura. 
Essas condições especificadas são típicas para as situações normalmente encontradas 
em edificações residenciais no Brasil. Através delas obter-se-á um panorama interessante sobre 
os resultados a serem alcançados pelo dimensionamento segundo as três normas mencionadas. 
Existe um ponto relativamente polêmico a ser destacado. Trata-se da resistência 
característica da parede, o parâmetro básico para o dimensionamento segundo a BS 5628, a ser 
obtida com base na resistência média de prisma. Pode-se adotar, com razoável segurança, que a 
relação entre a resistência de parede e a resistência de prisma seja 0,7. Isso faria com que 8 MPa 
para a resistência média de prisma representasse uma resistência média de parede de 5,6 MPa. 
Além disso, a própria BS 5628 menciona que se pode obter a resistência característica de uma 
parede dividindo-se a resistência média obtida para dois exemplares ensaiados por 1,2. Portanto, 
se a resistência média de parede for 5,6 MPa, a sua resistência característica pode ser suposta 
como sendo da ordem de 4,7 MPa, o valor adotado para as simulações apresentadas. 
Um último detalhe a ser esclarecido é sobre o coeficiente parcial de segurança a ser 
adotado para o carregamento, y|( também no caso da BS 5628. Considerando-se a relação entre 
cargas permanentes e variáveis admitida para o carregamento, pode-se estimá-lo em 1,45, tomando-
se em consideração os valores apresentados na tabela 6.1. 
Um resultado parcial interessante é o valor do coeficiente de redução da tensão relativo 
à esbeltez. A tabela 6.2 apresenta um resumo desses valores para as três alturas de parede 
adotadas e para as três normas analisadas. Através dela pode-se observar que, apesar das 
peculiaridades de cada código até mesmo em relação à altura efetiva que deve ser considerada, 
os valores não são muito díspares, pelo menos quando se toma a NDR 10G37 e a D3 GG28. O ACI 
530 é que prescreve alguns valores um pouco mais conservadores. 
Finalmente, a tabela 6.3 resume os resultados obtidos para a referida tensão máxima 
que pode ser aplicada na parede segundo as condições anteriormente especificadas. 
Uma observação dos resultados obtidos permite perceber que a BS 5628 fornece 
resultados bem mais conservadores que o ACI 530 ou mesmo a NBR 10837. Mesmo considerando-
se o controle especial tanto para a manufatura das unidades como para a execução da obra, as 
diferenças chegam a 20% em relação à NBR 10837 e a 30% em relação ao ACI 530. 
A extensa utilização da NBR 10837, e também do ACI 530, não traz evidências de que a 
segurança esteja sendo minimizada por esses dois códigos. Então, parece ser o caso de se imaginar 
que a BS 5628 poderia reduzir um pouco seus coeficientes. Especialmente o coeficiente ym parece 
um pouco exagerado, quando se considera que está aplicado sobre uma resistência característica 
de parede. Se sua faixa de variação fosse alterada para algo entre 1,8 e 2,3, provavelmente os 
resultados obtidos continuariam a ser seguros e poderiam ser considerados mais satisfatórios. 
Quanto à utilização em si, os procedimentos baseados nas tensões admissíveis são realmente 
mais simples de ser aplicados. Entretanto, até mesmo considerando-se as normas existentes para os 
demais materiais utilizados em estruturas, a tendência aos estados limites parece ser irreversível. 
Ademais, a maior complexidade da BS 5628 não compromete a sua correta utilização, especialmente 
quando se dispõe de recursos computacionais fartos e relativamente baratos para viabilizá-la. 
Tabela 6.2 - Coeficiente de redução devido à esbeltez. 
Altura parede (cm) NBR 10837 ACI 530 BS 5628* 
240 0,921 0,820 0,905 
260 0,900 0,789 0,888 
280 0,875 0,755 0,860 
'Obs.: excentricidade das cargas menor ou igual a 5% da espessura. 
Tabela 6.3 - Máxima tensão na área bruta para a parede exemplo (MPa). 
Altura 
(cm) NBR 10837 
ACI 530 BS 5628 
Controle normal* 
BS 5628 
Controle especial* 
240 1,474 1,640 0,838 1,173 
260 1,440 1,578 0,822 1,151 
280 1,400 1,510 0,796 1,115 
'Obs.: tipo de controle tanto para as unidades quanto para a construção. 
6 . 3 F L E X Ã O S I M P L E S 
Vigas e vergas são elementos estruturais lineares destinados a suportar e transmitir 
ações verticais mediante um comportamento predominante de flexão. Normalmente utiliza-se o 
termo verga quando o elemento estrutural está colocado sobre vãos de aberturas de portas e 
janelas. E esses são os elementos mais comuns que estão submetidos à flexão simples numa 
edificação de alvenaria estrutural. Entretanto, muros de arrimo e paredes de reservatório, que 
também são e lementos encontrados com muita f reqüência nessas edif icações, podem ser 
considerados como submetidos à flexão simples, bastando que as tensões de compressão sejam 
relativamente pequenas em relação às de flexão. Portanto, a flexão simples pode ser considerada 
uma solicitação bastante importante e comum em edificações de alvenaria. Provavelmente a mais 
comum, logo após os casos de compressão. 
Por fim, menciona-se que a notação adotada para os equacionamentos aqui apresentados, 
sempre que possível, baseia-se na notação utilizada pela NBR 10837. Pretende-se, dessa forma, 
facilitar a sua utilização, tornando mais direta a identificação das variáveis presentes. 
6 . 3 . 1 DIFERENÇAS CONCEITUAIS ENTRE A N B R 1 0 8 3 7 E A B S 5 6 2 8 
No Brasil, a diferença básica entre a análise de elementos de alvenaria estrutural e de 
concreto armado está no modelo de cálculo adotado para cada material. A NBR 6118 - Projeto e 
execução de obras de concreto armado4, que utiliza o método dos estados limites, admite, por 
exemplo, a possibil idade da plastificação da armadura ou deformações no concreto iguais às 
convencionais de ruptura, na situação última de cálculo. 
Já a NBR 10837, que adota o método das tensões admissíveis, busca garantir distância apropriada 
entre as tensões atuantes e as que provocam o escoamento ou ruptura dos materiais. Nesse método, as 
tensões resistentes devem ser calculadas admitindo comportamento elástico e linear do material. 
Assim, no caso de elementos fletidos, enquanto o concreto normalmente é suposto 
trabalhando no Estádio III, a NBR 10837, que fixa as hipóteses de cálculo em alvenaria, especifica que 
os mesmos devem ser calculadosno Estádio II. Já a BS 5628, que também trabalha com estados 
limites, acaba admitindo para a alvenaria um comportamento muito semelhante ao do concreto armado. 
Dessa forma, conforme já se explicou no início deste capítulo, aqui serão apresentadas 
as hipóteses básicas da NBR 10837, e o equacionamento desenvolvido tomará por base as suas 
considerações. Se o enfoque fosse o da BS 5628, todo o equacionamento seria o mesmo já 
tradicionalmente apresentado para a flexão simples de elementos de concreto armado. Até mesmo 
tabelas e ábacos desenvolvidos para o concreto poder iam ser uti l izados, bastando tomar a 
resistência à compressão adequada. No caso, a BS 5628 menciona que a resistência à compressão 
da alvenaria na flexão deve ser a metade da prescrita para compressão simples. 
6 . 3 . 2 HIPÓTESES BÁSICAS DA N B R 1 0 8 3 7 
O item 5.2.2 da NBR 10837 é que fixa as hipóteses de cálculo dos elementos fletidos. 
Para maior clareza, apresentam-se as suas prescrições, que são as seguintes: 
"...Os componentes fletidos são calculados no Estádio II. Nestes cálculos, as hipóteses 
básicas são as seguintes: 
a) a seção que é plana antes de se fletir permanece plana após a flexão; 
b) o módulo de deformação da alvenaria e da armadura permanece constante; 
4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
c) as armaduras são completamente envolvidas pelo graute pelos elementos constituintes 
da alvenaria, de modo que ambos trabalhem como material homogêneo dentro dos 
limites das tensões admissíveis". 
É interessante ressaltar que no Estádio II supõe-se que a alvenaria não suporte tensões 
de tração, que deve ser totalmente resistida pelas armaduras. Além disso, o comportamento dos 
materiais é admitido como sendo linear, ou seja, supõe-se aplicável a lei de Hooke, até os limites 
admissíveis das tensões. 
6 . 3 . 3 EQUACIONAMENTO BÁSICO 
O equacionamento necessário para a análise de seções submetidas à flexão reta simples, 
pelo método das tensões admissíveis, pode ser realizado a partir das hipóteses básicas deste 
método, apresentadas anteriormente. Busca-se conhecer a situação deformada da seção, que 
pode ser caracterizada pela posição da linha neutra e pela inclinação do plano da seção após a 
aplicação da solicitação. A figura 6.1 apresenta alguns dos principais parâmetros necessários ao 
equacionamento mencionado. 
Figura 6.1 - Seção Retangular - Flexão Simples - Armadura Simples. 
As distâncias x e z. respectivamente profundidade da linha neutra e braço entre as resultantes no 
aço e na alvenaria, serão referenciadas por parâmetros adimensionais k, e k^, relacionados à altura útil: 
...(6.1) 
...(6.2) 
Além disso, serão utilizadas duas grandezas auxiliares: a razão de tensões m e a razão 
modular n. Elas são definidas como: 
= m ...(6.3) 
= n ...(6.4) 
em que f5 e falvsão as tensões atuantes no aço e na alvenaria. Es e EaJv os módulos de deformação 
do aço e da alvenaria, respectivamente. 
O primeiro passo para o equacionamento propriamente dito pode ser a aplicação da lei 
de Hooke para as tensões atuantes no aço e na alvenaria: 
faV=E*vea 
...(6.5) 
Já a compatibilidade de deformações, de acordo com a hipótese de a seção permanecer 
plana após a deformação, exige que: 
1 - k _ d - x 
x " k ...(6.6) 
Utilizando-se a condição de equilíbrio da flexão simples, ou seja, força normal igual a 
zero, pode-se escrever: 
...(6.7) 
Define-se a taxa geométrica de armadura através da relação: 
p = b d ...(6.8) 
Portanto, levando-se em conta as equações 6.3, 6.7 e 6.8, pode-se escrever: 
m = 
2p 
...(6.9) 
Já pela divisão, membro a membro, das equações 6.5, chega-se a: 
L 
...(6.10) 
Assim, substituindo-se em 6.10 as relações 6.4, 6.6 e 6.9 obtém-se a equação de 
segundo grau: 
Kx?+ 2npkx- 2np = 0 ...(6.11) 
Resolvendo-se a equação e tomando apenas a raiz que interessa, chega-se à posição 
da linha neutra, dada por: 
...(6.12) k< = -pn + V(Pn)2 + 2pn 
A área de armadura e a máxima tensão atuante, na alvenaria e nas armaduras, podem 
ser obtidas pela equivalência do momento fletor atuante e o produzido pelas resultantes de tração 
e compressão na seção. Considerando-se a resultante de tração na armadura, pode-se escrever: 
...(6.13) M = fs As k. d 
Então, a tensão na armadura iguala-se a: 
f = 
M 
E a área de aço resulta em: 
em que. 
a _ 1 _M M_ 
' f .k. d * d 
k = 
f A 
...(6.14) 
...(6.15) 
De maneira semelhante, pode-se calcular a máxima tensão na alvenaria, a partir do 
momento atuante: 
M ^ i ^ f ^ b ( M ) ( k i d ) b f . em que. 
Então, pode-se escrever o valor de fa.v, a máxima tensão na alvenaria: 
f _ 2 M 
* kx kz bd:' 
...(6.16) 
...(6.17) 
Mas, considerando-se a equação 6.2, o parâmetro k pode ser também igualado a: 
k . = 
L M 3 - k ) 
...(6.18) 
É também interessante se expressar kx e a taxa geométrica de armadura p em função dos 
parâmetros m e n, o que pode ser realizado tomando-se as equações 6.4 e 6.6 e substituindo-se em 
6.10. Assim se obtém: 
kx = n n + m 
Então, utilizando-se a equação 6.9, chega-se a: 
P = 2m (m + n) 
...(6.19) 
...(6.20) 
6 . 3 . 4 DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
A situação de dimensionamento balanceado, que corresponde ao melhor aproveitamento 
dos materiais, é obtida quando a tensão atuante na alvenaria é igual à tensão admissível à 
compressão na flexão e a tensão atuante no aço é igual à tensão admissível à tração: 
Nesse caso, a posição da linha neutra e a taxa de armadura podem ser facilmente obtidas 
com as relações 6.19 e 6.20: 
" n + m . 
P.,= 2mti (m. + n) 
...(6.21) 
...(6.22) 
A altura útil correspondente a este dimensionamento é obtida através da reorganização 
da equação 6.16, com a utilização da tensão admissível à compressão na flexão para a alvenaria: 
4> 
M 
K>x Krt. bx f irfv.l 
...(6.23) 
Em que corresponde ao dimensionamento balanceado. 
6 . 3 . 5 DIMENSIONAMENTO SUBARMADO 
No dimensionamento subarmado, que ocorre quando a altura útil disponível é maior ou igual 
à necessária ao dimensionamento balanceado, d • db, não são conhecidas, de início, as tensões 
desenvolvidas na alvenaria, sendo que apenas o aço estará submetido à tensão admissível, ou seja: 
Então, deve ser utilizado um processo iterativo para a determinação da posição da linha 
neutra e da área de aço necessária ao elemento. Esse procedimento pode ser realizado com o 
auxílio da planilha de cálculo apresentada na tabela 6.4. O processo iterativo pode ser iniciado 
com o valor de prosseguindo até a convergência deste parâmetro, ou seja, quando a diferença 
entre a última e a primeira coluna estiver dentro de uma margem considerada satisfatória. 
Tabela 6.4 - Flexão de seções subarmadas. 
/ k. K . K * k„= -pn*V(Pn), + 2pn 
1 kit» — > — > — > — > — > 
2 — > — > — » — » — > — > 
— » — > —> — > — > — > 
Observe-se que ao final deve-se verificar a tensão atuante na alvenaria, com o emprego 
da equação 6.17, de forma a se garantir que seu valor seja menor que o limite admissível. 
6 . 3 . 6 DIMENSIONAMENTO SUPERARMADO 
Caso a altura útil seja menor que a do dimensionamento balanceado, ou seja, d < d^, 
uma das opções que se pode adotar é o dimensionamento superarmado, no qual a tensão admissível 
da alvenaria é atingida antes que a do aço. Portanto, tem-se: 
'a* ~ ^Ar.l 
Então, utilizando-se a equação 6.16, com a expressão de kalw que aparece em 6.18, e o 
valor limite para fav, obtém-se: 
...(6.24) 
Dessa forma, reorganizando-se a expressão 6.24, obtém-se a equação de segundo grau: 
...(6.25) 
txFf alv.l 
Assim, após a determinação de kx5, e o correspondente k^ através da equação 6.2, o 
objetivo é o cálculo da área de aço necessária. Isso pode ser feito através da equação 6.26, obtida 
quando se isola o valor de m da equação 6.19 e se substitui na expressão 6.9. 
P=- 2n (1 - k,) 
...(6.26) 
É claro que, determinada a taxa geométrica de armadura, o valor de As pode ser 
encontrado pela equação 6.8. Um último detalhe diz respeito à verificaçãoda tensão no aço. Isso 
pode ser feito pela equação 6.14, ou seja: 
f = 
M 
A M " f w 
...(6.27) 
6 . 3 . 7 DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA DUPLA 
O dimensionamento da seção retangular com armadura dupla é realizado determinando-
se inicialmente a parcela do momento fletor que é absorvida pela seção considerando-se armadura 
simples e dimensionamento balanceado, M0, e a correspondente parcela complementar, DM. Esta 
segunda parcela deve ser absorvida por um binário de forças resultantes de armaduras adicionais, 
uma tracionada e outra comprimida. 
6 A determinação é feita escolhendo-se a raiz da equação que tenha siginificado físico. 
L 
/ X/-5 , ) 
/ X Í W x b A 
d - x 
— * — 
z / 
d-d" 
• W 
Figura 6.2 - Seção Retangular - Flexão Simples - Armadura Dupla. 
O momento M pode ser obtido da equação 6.16 quando se utiliza f igual ao limite 
admissível, ou seja: 
bd2 M0 = U i ~2 ...(6.28) 
A correspondente armadura tracionada pode ser obtida da equação 6.15, adotando-se 
os valores de M0 e da tensão admissível do aço: 
1 Mo 
LK 6 «,1 Ib 
...(6.29) 
A parcela complementar do momento AM = M - M0, pode ser igualada ao momento 
produzido pelo binário de forças das armaduras adicionais, A., na região tracionada e A..' na região 
comprimida. Sabe-se, de antemão, que a tensão na armadura tracionada correspondente ao valor 
para o dimensionamento balanceado, ou seja, é o valor admissível. A tensão na armadura comprimida 
pode ser obtida através da compatibilidade de deformações, com o auxílio da figura 6.2. 
x - d' x - d 
Da lei de Hooke e da condição de 
x - d s 4 x - d 
...(6.30) 
, obtém-se a tensão na armadura comprimida. 
...(6.31) 
Por equivalência estática do momento complementar com as forças de tração e compressão 
nas armaduras, considerando-se d - d' o braço de alavanca, obtêm-se as áreas de armadura As2 e As'. 
...(6.32) AM A^ (d - d') = fs' Au' (d - d') 
R _ A M 
A . A M A M x d - x x 1 
f5(d - d') " (d - d ' ) " x - d' í , 
...(6.33) 
...(6.34) 
A área de armadura tracionada para o dimensionamento com armadura dupla é igual à 
soma das parcelas As l e A r2. 
6 . 4 C I S A L H A M E N T O 
...(6.35) 
O cisalhamento ocorre normalmente em conjunto com a solicitação por momento fletor. Vergas, 
vigas ou paredes que participam do sistema de contraventamento são os elementos nos quais o cisalhamento 
deve ser usualmente verificado. Essa solicitação também ocorre em paredes de arrimo ou de reservatórios, 
mas, devido ao fato de esses elementos trabalharem segundo a direção de menor inércia, é muito pouco 
provável que nesses casos ocorram tensões cisalhantes que ultrapassem os limites admissíveis. 
6 . 4 . 1 TENSÕES ATUANTES 
A NBR 10837 é bastante confusa quando se trata de definir a tensão de cisalhamento 
atuante. Por exemplo, para elementos de alvenaria não-armada. utiliza expressões como "esforço 
cortante horizontal" sem que essa direção "horizontal" esteja direta ou indiretamente definida. Ainda 
apresenta expressões conflitantes, confundindo comprimento da seção com altura útil para o caso 
das alvenarias armadas. Além disso, se refere à variável utilizada para o cálculo da tensão atuante, 
ta l v , como " tensão de c i sa lhamento de referência, para e lementos de a lvenar ia não-
armada, e como "tensão convencional de cisalhamento", para elementos de alvenaria armada. 
Enfim, não contribui em nada para elucidar a correta aplicação de seus preceitos. 
Para se colocar o cálculo da tensão de cisalhamento atuante em peças de alvenaria em 
termos claros, o que se pode recomendar é que para elementos não-armados se utilize a expressão: 
V 
...(6.36) 
Em que, 
V: esforço cortante 
A: área da seção transversal do elemento 
Já para os elementos com armaduras longitudinais, pode-se tomar o seguinte valor: 
...(6.37) T_V. = V 
b d 
Em que, 
V: esforço cortante 
b: largura da seção 
d: altura útil, ou seja, distância da face comprimida ao centróide das armaduras tracionadas 
Como referência interessante, menciona-se que a BS 5628 adota sempre a tensão atuante 
como sendo a força cortante dividida pela área da seção transversal, mesmo no caso de alvenarias 
armadas. É uma posição defensável e pode ser adotada mesmo por quem pretende utilizar os 
valores limites recomendados pela NBR 10837. Nesse caso a expressão 6.36 poderia ser 
considerada tanto para alvenaria armada como para alvenaria não-armada. 
Já o ACI 530 recomenda que a tensão atuante seja calculada da forma apresentada pela 
expressão 6.36. ou seja, força cortante divida pela área, apenas quando parte da seção transver-
sal estiver submetida a tensões normais de tração. Caso a seção apresente apenas tensões de 
compressão, a tensão de cisalhamento atuante deve ser calculada pela expressão tradicional da 
resistência dos materiais, força cortante vezes momento estático, divididos pela espessura e pelo 
momento de inércia à flexão. 
Como última recomendação importante, deve-se observar que no caso de seção trans-
versal em forma de T, I ou L, as abas não devem ser consideradas no cálculo da tensão de 
cisalhamento. Todo o cisalhamento deve ser absorvido pela alma da seção transversal do elemento. 
6 . 4 . 2 DIMENSIONAMENTO COM OU SEM ARMADURAS 
Apesar de muito confusa na definição da tensão atuante, a verificação e o dimensionamento 
são fáceis e rápidos de ser realizados pela NBR 10837. Isso pode ser verificado pelo exame da 
tabela resumo apresentada no capítulo anterior. 
Para o caso de elementos não-armados. por exemplo paredes do sistema de contraventamento 
que não tenham armaduras verticais, os limites são absolutos: 0,15 MPa e 0,25 MPa, respec-
tivamente para o caso de argamassas entre 5 e 12 MPa ou 12 e 17 MPa. Portanto, basta comparar 
o T , obtido com esses limites. alv 
No caso de elementos de alvenaria armada, deve-se fazer uma distinção entre peças fletidas 
sem armadura para resistir às tensões de cisalhamento e aquelas que possuem armaduras para resistir 
a toda tensão de cisalhamento atuante. Dentro de cada um desses grupos ainda é importante se destacar 
o caso de vigas ou vergas e o caso de pilares paredes. Mais especificamente ainda, para pilares parede, 
ainda há duas condições: a situação em que o momento fletor é preponderante e a situação em que a 
força cortante é preponderante. Entretanto, localizado o valor a ser utilizado para o elemento e a circunstância 
específica que se analisa, não existe nenhuma outra dificuldade a ser considerada pois todos os valores 
sâo simplesmente definidos em função da raiz quadrada da resistência de prisma. Basta, como no caso 
das alvenarias não-armadas, comparar o valor de xaV com o limite adequado. 
6 . 4 . 3 CÁLCULO DA ÁREA E DISPOSIÇÃO DAS ARMADURAS PARA O CISALHAMENTO 
Se for necessário prever a utilização de armadura específica para o combate às tensões 
de cisalhamento, ela pode ser determinada mediante a aplicação da analogia de treliça, como se 
ilustra de forma genérica na figura 6.3. As bielas de compressão são admitidas com inclinação (3, 
enquanto as armaduras estão inclinadas de a, sempre em relação ao eixo longitudinal da peça. 
biela de armadura A § w a 
concreto média 
Biela de 
Compressão 
Figura 6.3 - Analogia de treliça. 
A força resultante na armadura média, V/sencz, deve ser absorvida pelo conjunto de 
barras dispostas no comprimento z(cot« + cotfi). Assim sendo, pode-se escrever: 
...(6.38) V _ z (cota + cotp) A j 
sena 
Então, a armadura transversal é dada por: 
A =. Vs 
fs l z (cota + cotp) sena 
...(6.39) 
Admitindo-se que as bielas tenham inclinação (5 = 45° e aproximando z por d a expressão 
anterior ganha a seguinte redação: 
A, =. Vs 
fMd (cota + sena) ...(6.40) 
Se forem utilizados apenas estribos a 90°, a armadura de cisalhamento necessária será: 
...(6.41) A =-V§_ 
4W" 
Essas duas últimas expressões também estão presentes na NBR 10837. Na verdade é 
quase impossível, para os casos usuais, se prescrever armaduras com inclinaçõesdiferentes de 
90°. Portanto, a expressão 6.41 é que realmente tem importância prática para o problema. 
Para a correta utilização da expressão 6.41, deve-se lembrar que o espaçamento "s" 
precisa ser considerado em relação à dimensão dos blocos, pois é totalmente inadequado se 
prever furos para a colocação das armaduras. Assim, o correto é se adotarem espaçamentos de 
20 e 40 cm para blocos de comprimento múltiplo de 20 cm, ou espaçamentos de 15 e 30 cm, 
quando da utilização de blocos de comprimento múltiplo de 15 cm. 
Além disso, a tensão admissível do aço deve se limitar aos valores apresentados na 
tabela correspondente do capítulo anterior. Essa observação é importante, pois a NBR 10837 
limita essa tensão a valores relativamente baixos, 165 MPa para os casos usuais. 
Finalmente, ainda com respeito à disposição das armaduras, deve-se lembrar que a 
NBR 10837 especifica que cada linha de fissura potencial precisa ser atravessada por pelo menos 
uma barra da armadura transversal. Com base nessa prescrição, a figura 6.4 apresenta os espaçamentos 
máximos a serem observados tanto para o caso dos estribos quanto para as barras dobradas a 45°. O 
limite de 30 cm é adotado por analogia às prescrições para as peças de concreto armado, 
fissura fissura 
Figura 6.4 - Espaçamento mínimo para barras de armaduras transversais. 
6 . 5 F L E X Ã O C O M P O S T A 
A flexão composta, em que ocorre interação entre carregamento axial e momentos fletores, 
é também uma solicitação muito comum em elementos de alvenaria estrutural, particularmente 
quando se anal isam estruturas portantes de edifícios. Nestes, a lém de suportar as cargas 
gravitacionais, as paredes que fazem parte do sistema de contraventamento lateral resistem às 
ações horizontais provenientes do vento e do desaprumo. 
Este tipo de solicitação também ocorre em elementos sujeitos a cargas verticais atuando 
conjuntamente com ações laterais provenientes do empuxo do solo ou da água, e ainda quando o 
carregamento vertical é excêntrico em relação ao eixo do elemento. 
6 . 5 . 1 SOLICITAÇÕES COMBINADAS SEGUNDO A N B R 1 0 8 3 7 
A primeira verif icação a ser feita quando se analisa uma seção submetida à flexão 
composta é a respeito de eventuais tensões de tração que possam ocorrer. Essa verificação é feita 
através da seguinte expressão: 
...(6.42) 
Em que, 
f i l v f : tensão atuante devida à flexão 
f i l v c : tensão atuante devida à compressão 
f : tensão admissível à tração da alvenaria não-armada (normal à fiada) 
Se a relação 6.42 for atendida, isso significa que a seção transversal estará submetida a 
tensões menores que aquelas que podem ser resistidas pela alvenaria não-armada. Nesse caso, 
não será realmente necessário se lançar mão de armaduras para resistir a essas tensões, bastando para 
tanto verificar as tensões de compressão conforme as expressões 6.43 ou 6.44 apresentadas a seguir. 
Em caso contrário, quando a tensão admissível de tração é ultrapassada, deve-se providenciar 
armaduras para absorvê-la. Então, será necessário considerar o equacionamento apresentado no 
item subseqüente para se conseguir a solução do problema. 
É interessante observar-se que na relação 6.42 a NBR 10837 está implicitamente admitindo 
que 75% das cargas verticais são permanentes. Tal consideração é, em muitos casos, conservadora. 
Para edifícios residenciais essa parcela varia de 80% a 85%. Pode-se considerar que é razoável verificar 
em cada caso qual a parcela de carga permanente e utilizá-la na verificação da tração. 
Exista ou não tensão de tração acima do limite admissível, as tensões de compressão advindas 
dos carregamentos combinados devem satisfazer a uma das expressões de interação apresentadas a 
seguir. Quando para o cálculo das tensões atuantes estiverem sendo consideradas apenas as cargas 
permanentes e ações variáveis, a verificação será feita através da relação: 
nt/.c 
f 
<1,00 ...{6.43) 
Em que, 
r v c : tensão de compressão atuante 
W • t e n s ã o admissível à compressão 
f . : tensão de flexão atuante 
f a y f : tensão admissível de flexão 
Caso a ação dos ventos também esteja sendo considerada na combinação, a NBR 10837 
prescreve que o limite das tensões pode ser acrescido de 33%. Isso significa verificar a combinação 
através da relação: 
«V.l < 1.33 ...(6.44) 
6 . 5 . 2 EQUACIONAMENTO BÁSICO 
Quando as tensões de tração ultrapassarem o valor admissível, de acordo com a 
verificação feita na expressão 6.42, a NBR 10837 prescreve que se deve prever a utilização de 
armaduras para resistir a essas tensões. É exatamente esse equacionamento que se apresenta 
neste item. 
Entretanto, é interessante ressaltar que a solução aqui apresentada é interessante quando 
as tensões devidas ao esforço normal são significativas em relação às que provêm da atuação do 
momento fletor. Se a flexão for muito preponderante, o ideal é calcular a armadura através do 
procedimento apresentado anteriormente para flexão simples, ou seja, ignorando-se a atuação 
conjunta dos esforços para o cálculo da armadura. Apenas a verificação da tensão de compressão 
seria realizada considerando-se a combinação dos esforços através das expressões 6.43 ou 6.44. 
A exemplo do verificado para o caso da flexão simples, o equacionamento da flexão composta 
no método das tensões admissíveis também é realizado a partir das hipóteses básicas deste método, 
como a seção que permanece plana após a flexão, a validade da lei de Hooke e o equilíbrio entre os 
esforços solicitantes e a resultante das tensões na alvenaria e no aço.Também aqui, o equacionamento 
será desenvolvido considerando-se, sempre que possível, a notação utilizada pela NBR 10837. 
A figura 6.5 apresenta um elemento submetido à flexão composta no qual as tensões de 
tração superam as de compressão geradas pela força normal solicitante. 
d cr 
h/2 m 
r q ü j 
Figura 6.5 - Flexão composta. 
Com base nos elementos geométricos apresentados na figura, pode-se escrever: 
...(6.45) 
...(6.46) 
c. = 
A tensão fav, que aparece na figura 6.5, é a tensão total na alvenaria, ou seja, a soma da 
tensão devida à compressão e à flexão: 
...(6.47) 'ai* ~ 'ato + 
O valor devido à compressão pode ser obtido simplesmente pela divisão da força normal 
atuante pela área da seção transversal: 
f = J L 
bh em que b: largura da seção ...(6.48) 
Já a tensão devida à flexão pode ser estimada através das expressões 6.43 ou 6.44, 
dependendo da combinação incluir ou não a ação do vento. Essa é a situação ideal para se obter 
o dimensionamento mais econômico nos casos usuais de flexão composta em edifícios, em que a 
tensão de compressão é normalmente significativa. Isso ocorre porque quanto maior a tensão na 
alvenaria menor a profundidade da linha neutra e isso tende a melhorar o aproveitamento da 
armadura. Dessa forma, quando a ação dos ventos não estiver sendo considerada, tem-se: 
...(6.49) 
Já para o caso mais comum, pelo menos para os edifícios residenciais, no qual o momento 
é justamente provocado pela ação dos ventos, pode-se escrever: 
...(6.50) 
Definida a tensão máxima na alvenaria, podem-se integrar as tensões de compressão no 
plano da seção transversal de forma a se determinar a resultante de compressão C, que é dada por: 
...(6.51) 
Mas a força normal deve ser igual à diferença entre a resultante de compressão C e a 
tração T. Assim: 
T = C - N = - Í - I J J X - N ...(6.52) 
O momento fletor M, por sua vez, deve ser igual à soma das contribuições das forças de 
tração e compressão. Então, pode-se escrever: 
...(6.53) C . C, + T . C, = M 
Introduzindo na equação anterior os valores de c,, c2 e o valor de C, dado pela equação 
6.51, obtém-se: 
f j L 
l 2 
_Lf tacíi-4-l+í-í-fJW-NlíA.tf =M ...(6.54) 
Reorganizando a equação anterior, tendo como incógnita a profundidade x da linha 
neutra, obtém-se: 
4 - í*bx2 - 4 - t *bdx + M + N f-iL - tf! = 6 2 \ 2 J ...(6.55) 
Assim, a equação do segundo grau 6.55pode ser escrita, de maneira sintética, como sendo: 
...(6.56) a2x2 + a,x + a0 = 0 
Em que, 
Resolvendo a equação 6.56, e tomando apenas a raiz que interessa, isso resulta: 
...(6.57) x _ •
 a< • V a » 2 ' 4a?a0 
2a, 
É óbvio que o valor de x deve ser um número real, positivo e menor que a altura útil da 
seção. Se isso não ocorrer, o dimensionamento deve ser interrompido. Entretanto, se essas 
condições forem atendidas, resta estabelecer o valor da tensão de tração no aço. Isso pode ser 
feito através da utilização de outras hipóteses admitidas para o problema. A manutenção da seção 
plana permite escrever a seguinte equação de compatibilidade de deformações: 
...(6.58) 
Através da multiplicação de ambos os membros da equação 6.58 pela razão modular, 
n = E s /E^ , obtém-se: 
f 
Então, explicitando a tensão na armadura de tração obtém-se: 
f ~ d ~ x « 
...(6.59) 
...(6.60) 
A tensão no aço deve resultar menor que a tensão admissível, Caso isso não ocorra, 
pode-se tentar reduzir a tensão fa. . e reiniciar o processo a partir da equação 6.51. Normalmente 
essa providência produz bons resultados. Com a redução da tensão de compressão na alvenaria 
para valores abaixo do máximo permitido, consegue-se reduzir também a tensão no aço, obtendo-
se, como conseqüência, uma área de armadura maior que aquela que seria calculada inicialmente. 
Ao contrário, também pode ocorrer o caso em que o valor de fs calculado seja muito 
menor que o valor admissível. Então, a solução será antieconômica, por causa do aproveitamento 
deficiente da armadura. Essa situação ocorre normalmente quando o valor de x aproxima-se da 
altura útil d. Nesse caso, a solução seria a utilização de uma alvenaria mais resistente. Aumentando-
se a tensão iaW aumenta-se também a tensão na armadura, reduzindo-se a área de aço calculada. 
De qualquer modo, uma vez definida a tensão no aço, pode-se determinar a área da 
armadura de tração que é dada por: 
...(6.61) 
6 . 5 . 3 PROCEDIMENTO SIMPLIFICADO 
O equacionamento básico mostrado no item anterior pode ser considerado um pouco 
complicado para o dimensionamento automático à flexão composta. Sendo assim, pode-se sugerir 
a utilização de um procedimento simplificado para esses casos. 
O processo assume que a seção é homogênea, mas que a tração é suportada pelas 
armaduras. Sua utilização é bastante simples, mas implica considerar que o aço estará submetido 
a deformações que produzam uma tensão igual à admissível. Isso normalmente não é correto, 
considerando-se as hipóteses de que as seções planas permanecem planas e que a deformação 
é proporcional à distância até a linha neutra. 
Entretanto, Amrhein (1998), que sugere um processo semelhante, tenta justificar que se 
possa assumir a tensão no aço com seu valor admissível pelos seguintes motivos: 
a) as seções planas podem não permanecer planas após a flexão; 
b) a seção é fissurada e as fissuras localizadas que se abrem provocam uma distribuição 
de tensões diferente da usualmente considerada. 
Mesmo considerando-se o fato de que essas justificativas não são completamente 
defensáveis, o procedimento pode ser considerado interessante exatamente pela sua simplicidade. 
Além disso, os resultados quase sempre são seguros, mesmo para casos-limite. Ele pode ser 
organizado nos seguintes passos: 
a) determinação das tensões atuantes de tração, ft, e compressão, faV bem como a posição da 
linha neutra, figura 6.6, através das expressões clássicas da resistência dos materiais. 
...(6.62) 
...(6.63) 
Em que, A: área da seção transversal e W: módulo de resistência à flexão. 
b) verificação da tensão de compressão na alvenaria, f a V por meio das expressões de 
interação 6.43 ou 6.44; 
c) determinação da força total de tração por integração das tensões de tração, que na 
seção retangular se escreve: 
T = V2 f ,b(h-x)1 ...(6.64) 
d) determinação da área de aço. 
\ = J - ...(6.65) 
f = Ü + -M 
A W 
f = _N_ M_ 
1 A ' W 
T = 7 2 f , b (h -x ) 
determinação d 
A - = f 
5,1 
Exemplos de Apl icação 
7 
o 
cu 
" D 
r r 
C 
O 
7 . 1 I N T R O D U Ç Ã O 
Este capítulo tem por objetivo apresentar alguns exemplos de apl icação sobre os 
dimensionamentos apresentados no capítulo anterior. Os dimensionamentos são apresentados de acordo 
com as prescrições da NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto'. 
7 . 2 E X E M P L O S DE C O M P R E S S Ã O S I M P L E S 
7 . 2 . 1 EXEMPLO 1 
Determinara resistência mínima de bloco de concreto que deve ter a parede de alvenaria 
não-armada, indicada na figura 7.1, sendo dados: 
t = 14 cm; h = 2,80 m; h = 0,70 
SOLUÇÃO: 
to( = t = 14 cm de acordo com a NBR 10837! 
Esbeltez de acordo com a NBR 10837! 
70 kN/m 
400 cm 
Elevação 
Laje 
Laje 
i i 
1414 cm 
Corte 
Figura 7.1 - Exemplo 1 de compressão simples. 
1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
O valor mínimo da resistência de prisma é calculado igualando a tensão admissível à 
tensão atuante. 
0,70 x 400 
400 x 14 
= 0,05 kN/cm2 = 0,5 MPa 
/ h y 
L , = 0,20 f R com R = 1 - — 
* * p \,40t/ 
Então W = 0.20f|( 1 - ( 280 >
3 
^40 x 14; = 0,175 f 
Igualando as duas tensões 0,175 fp = 0,5 MPa, chega-se a uma resistência mínima de 
prisma de 2,86 MPa, referida à área bruta. 
Com eficiência de 0,7, pode-se determinar a resistência mínima do bloco. 
, 4 - 4 
2,86 
0,7 
= 4,09 MPa 
Deve-se adotar, então, 4,5 MPa, já que esse é o valor mínimo de resistência de bloco de 
concreto para que a alvenaria possa ser considerada estrutural. 
7 . 2 . 2 EXEMPLO 2 
Qual a carga máxima de compressão que pode ser aplicada no pilar de 5 m de altura, 
contraventado na base e no topo, sabendo-se que a resistência de prisma cheio é de 10 MPa e 
que ele deverá ser armado com aço CA 50A? 
Obs.: Sabe-se que a seção transversal do pilar é constituída de dois blocos de 
19 cm x 39 cm, compondo uma seção de 39 cm x 39 cm. 
SOLUÇÃO: 
As condições de esbeltez máxima e de espessura mínima são atendidas, pois: 
X = 500/39 = 12,8 < 30 e tél = t = 39 cm > 20 cm 
A máxima tensão admissível de compressão no pilar é dada por: 
L * = (0-20 f D + 0,30 p f j 
3" 
1 - (JÚ 
V40t, 
Para se atingir a máxima carga de compressão admite-se a máxima taxa de armadura, 
que é de 1%. Assim: 
( 500 ^ r = (0,20 x 1,0 + 0,30 x 0,01 x 16,5) 1 -
^ 4 0 x 3 9 ; 
= 0.241 kN/cm? 
Então a máxima carga admissível é de P = 0.241 x 39 x 39 = 366 ktèso é alcançado com 
uma área de armadura de 1% de 39 x 39 c m 2 , ou seja, As = 15,21 cm2. Pode-se utilizar, então, 8 
.j 1 g <J> 16 mm. 
7 . 2 . 3 EXEMPLO 3 
No exemplo anterior qual a máxima carga admissível no pilar, se for utilizada armadura 
composta por 4 0 16 mm? 
SOLUÇÃO: 
4 x 2 0 1 
A taxa de armadura, neste caso, é p = = 0,53% 
39 x 39 
A tensão admissível de compressão passa a ser 
fiK c = (0,20 x 1.0 + 0,30 x 0.0053 x 16.5) 1 _ ( 500 V = 0.219 kN/cm? ^40 x 39j 
A máxima carga admissível é, então, 
P = 0,219 x 39 x 39 = 333 kN. 
Observe-se que uma redução de 50% na área de aço produziu uma diminuição da carga 
admissível de compressão em apenas 9%. 
7 . 3 E X E M P L O S D E F L E X Ã O S I M P L E S 
7 . 3 . 1 EXEMPLO 1 
Projetar as armaduras de flexão de uma viga em alvenaria estrutural, com largura de 
14 cm, para vencer um vão livre de três metros. Considerar uma carga de 6 kN/m, uniformemente 
distribuída, sobre a viga. 
DADOS: 
fp= 9.5 MPa = 0,950 kN/cm2 
f = 165 MPa = 16,5 kN/cm? 
Mx d d 
14 
c 
Figura 7.2 - Exemplo 1 de compressão simples. 
SOLUÇÃO: 
E ^ = 800 x 9.5 = 7600 MPa 
n = 2 1 0 0 0 0 = 27,63 
En„ 7600 
A máxima tensão admissível à flexão é dada por: 
l , = 0.33 x f = 0.33 x 0,950 = 0,3135 kN/cm* Jrv.i p 
O momento atuante máximo é calculado por: 
M = i L í i l = 6,75 kN x m = 675 kN x cm 
8 8 
De te rm inando in ic ia lmente a a l tura úti l que co r responde ao d imens ionamen to 
balanceado, tem-se: 
favi = f v i = 0,3135 kN/cm? 
f, = 7, = 16,5 kN/cm? 
Mt = J f _ = _ Ü L . = 52,63 
1m, 0,3135 
= 2 A 6 3 = 0.344 
n + m „ 27,63 + 52,63 
K 0.344 
k = 1 - - f = 1 — 1 — = 0,885 
3 3 
d = / _ ? I = 31,8 cm 
V M K b b x T , Y 0,344 x 0,885 14 x 0,3135 
Uti l izando-se dois blocos canaleta obtêm-se, com cobr imento de 7 cm, altura útil, 
d = 32 cm. Nestas condições deve ser provida a armadura correspondente ao dimensionamento 
balanceado, cuja área corresponde a: 
A. = = 675 = 1 M c m ? 
f. x k / b x d 16,5x0,885x32 
S O L U Ç Ã O C O M O A U X I L I O D E T A B E L A S 
O mesmo problema, analisado anteriormente através do equacionamento desenvolvido 
para seções na situação balanceada, pode ser resolvido de modo bastante prático com o auxílio 
de tabelas, como as apresentadas anexas nesta publicação. Assim: 
a) Resolução através da tabela IA 
Determinação da altura efetiva correspondente ao dimensionamento balanceado, db, e 
da correspondente área de aço, A_. 
Para a situação de fp = 9,5 MPa e tensão na alvenaria igual à situação-limite, falv = f 
obtém-se da tabela kalv = 20,93 e ks = 0,685. Assim, calcula-se: 
= _bx_d^ = M x c T = 20,93 >d = 31,8 cm 
* M 675 
A, x d A, x 31,8 
k = = —s — = 0,0685 >A, = 1.45 cm2 
M 675 
alv.t' 
b) Resolução através da tabela IIC 
Para a situação de f p = 9,5 MPa, tabela II C, determinam-se os coeficientes K e p 
correspondentes ao par de tensões na alvenaria e no aço da situação que se deseja dimensionar. 
Para a situação balanceada, a tabela fornece K = 0,048 e r = 0,00327. Assim, calcula-se: 
K = ——— = 6 7 5 = 0.048 >d = 31,7 cm 
b x d2 14 x d2 
A A 
p = = 2 = 0.00327 »A = 1.45 cm2 
1 b x d 14x31,7 
Observa-se que na mesma tabela podem ser conferidos os valores de kx e kz, calculados 
anteriormente para a situação de projeto. 
c) Resolução através da tabelas III 
O conjunto de tabelas III permite a resolução direta do problema da flexão simples para a 
situação de dimensionamento balanceado, fornecendo a altura útil e a armadura necessária a esta situação. 
Assim, para a situação de f p = 9,5 MPa, tabela III C, entra-se com o valor da largura útil, 
b = 14 cm, e do momento solicitante, M = 675 kN x cm. Interpolando-se os valores de "d" fornecidos, 
facilmente obtém-se: d = 31,7 cm. 
Da mesma forma obtém-se o valor do parâmetro p para a situação balanceada, com o 
qual se calcula a área de armadura da seção, na forma: 
A A 
p = — = = 0.00327 >Ar = 1.45 cm2 
b x d 14x31,7 
d) Resolução através das tabelas tipo IV 
Para a utilização das tabelas de tipo IV, 'Tabela de cálculo à flexão no Estádio II", é 
necessário saber se a configuração da seção caracteriza a condição de seção superarmada ou 
subarmada. Caso a seção seja superarmada, deve-se dar entrada pelo parâmetro km, por se 
conhecer a máxima tensão na região comprimida. Caso contrário, realiza-se a entrada através do 
parâmetro nk t, por conhecer-se a tensão na armadura. 
Para os dados do exemplo fornecido, pode-se calcular: 
EaV= 800x9,5 = 7600 MPa 
n = = = 27,63 
= 52,63 
Es 210000 
7600 
\ 16,5 
L 0,3135 
n 27,63 
52,63 
O momento máximo atuante na seção é calculado por: 
M = = = 6,75 kN x m = 675 kN x cm 
8 8 
Utilizando a tabela IV, para o valor de ky que mais se aproxima de k .b, calculado, obtém-
se o valor de km = 0,153. A partir deste valor, pode-se calcular a altura útil que correspondente ao 
dimensionamento balanceado, na forma: 
« J - SZ5 =31,7 cm V 0,í"~ • k , n x f ^ x b V 0,153 x 0,3135 x 14 
Nesta mesma linha da tabela, obtém-se n x p = 0,0915, que fornece a área de armadura 
para esta situação. Assim: 
A A 
n x p = n x i - = 27,63 x = 0,0915 >A = 1,47 cm2 
1 b x d 14x31,7 
e) Resolução através das tabelas tipo V 
Com os dados do exemplo fornecido, pode-se calcular: 
Ea(v= 800x9,5 = 7600 MPa 
n s — a 210000 a 2 7 , 6 3 
E ^ 7600 
m = ^ - = 1 6 ' 5 =52,63 
b f t 0,3135 
Na situação balanceada (fs = f~ e faIv = f ^ ) , pode-se determinar a altura útil necessária, 
por exemplo através do parâmetro ys. Interpolando-se os valores obtidos nas tabelas de n = 25 e n 
= 35, e com m = mB = 52,63, obtêm-se os valores correspondentes a y s= 18,61 e 100 p = 0,325. 
Como o momento máximo atuante é de 675 kN x cm, pode-se calcular a altura útil que 
corresponde ao dimensionamento balanceado, através de: 
d . , M x t f . «7SX1M1» ^ 
f^xb V 16,5x14 
A área de armadura para esta situação corresponde a: 
100 x p = 100 x 
b x d 
= 100 x 
14x31,8 
= 0,325 • A = 1,45 cm? 
7 . 3 . 2 EXEMPLO 2 
Determinar a armadura necessária a uma viga de alvenaria, cuja seção transversal é 
apresentada na figura 7.3, submetida ao momento fletor de 315 kN <» cm. 
DADOS: 
f = 9,5 MPa = 0,950 kN/cm? p 
f = 165 MPa = 16,5 kN/cm2 
Mx 
G-
19 
33 
6 
Figura 7.3 - Exemplo 2 de flexão simples. 
SOLUÇÃO: 
E^ = 800 x 9,5 = 7600 MPa 
210000 n = 
E * 7600 
= 27,63 
Inicialmente é necessário determinar o tipo de dimensionamento a ser realizado (seção 
subarmada, superarmada ou com armadura dupla). O cálculo inicia-se, então, pela verificação da 
altura útil necessária ao dimensionamento balanceado. 
L . . = ° - 3 3 x f „= ° - 3 3 x ° - 9 5 = ° - 3 1 3 5 kN/cm2 
= = = 52.63 
U . 0,3135 
K = 
27.63 
n + m b 27,63 + 52,63 
= 0,344 
K 0,344 
k . = 1 - — = 1 — = 0,885 
I b 3 3 
• 
M 
K * K b x f 
315 
0,344x0.885 19x0,3135 
= 18,6 cm 
Como a altura útil disponível é maior que a necessária ao dimensionamento balanceado, 
realiza-se o dimensionamento para seção subarmada. A planilha a seguir organiza os passos do 
dimensionamento iterativo. 
Tabela 7.1 - Cálculo iterativo no exemplo 2. 
Passo kt k. A. n x p k . k. 
1 0,8850 0,0685 0,654 0,0288 0,2129 0,9290 
2 0,9290 0,0652 0,623 0,0274 0,2084 0,9305 
3 0,9305 0,0651 0,622 0,0274 0,2083 0,9306 
Em três iterações o processo convergiu, com tolerância de 0,01%. Pode-se, portanto, 
utilizar uma área de aço igual a 0,62 cm2. 
O mesmo resultado pode ser obtido através do emprego de tabelas. Com o uso da 
tabela II C, determina-se a área de armadura, A „ na forma: 
K = M 315 = 0,0152 
b x d? 19 x 33* 
Da tabela, para este valor do coeficiente K, pode-se obter o valor de p = 0,000972, 
bem como facilmente verificar a tensão na alvenaria e no aço (fVi, = 0,155 kN/cm2 e fs = 16,5 kN/cm2), 
que caracterizam a situação esperada (seção subarmada). Assim, a armadura necessária à seção 
é facilmente obtida como: 
\ = p x b x d = 0,000972 x 19 x 33 = 0,61 cm? 
7 . 3 . 3 EXEMPLO 3 
Determinar a armadura necessária à seção descri ta no exercício anterior, quando 
submetida a um momento fletor de 1220 kN x cm. Caso necessário, verifique as situações de 
seção superarmada e com armadura dupla, considerando neste último caso um cobrimento da 
armadura de compressão igual a 4 cm. 
DADOS: 
fp = 9.5 M 
f = 165 MPa = 16,5 kN/cm2 
fp = 9,5 MPa = 0,950 kN/cm? 
Mx 
O 
33 
- 1 9 - 4 
Figura 7.4 - Exemplo 3 de flexão simples. 
SOLUÇÃO: 
E^ = 800 x 9,5 = 7600 MPa 
n s l = 2 1 0 0 0 0 = 27,63 
Eaftf 7600 
Mais uma vez é necessário determinar a altura útil necessária ao dimensionamento 
balanceado, agora para a nova situação de carregamento, 
f = 0,33 x f = 0,33 x 0,95 = 0,3135 kN/cm2 
«W.i p 
n ^ 52,63 
L,.f 0.3135 
k = = 2 7 ' 6 3 0.344 
n + mo 27,63 + 52,63 
k, 0.344 
k l( = 1 — — = 1 - — — = 0,885 
' b 3 3 
d = / _ _ ? M I 2 1220 = 3 6 6 8 c m 
b V K*Kb b x?^ V 0.344 x 0.885 19 x 0,3135 
Como a altura útil disponível (33 cm) é menor que a necessária ao dimensionamento 
balanceado, será realizado o dimensionamento para seção superarmada e também para a situação 
de armadura dupla. 
a) Resolução para seção superarmada 
Como primeiro passo deve-se resolver a equação de segundo grau que fornece a posição 
da linha neutra para a condição de seção superarmada, a seguir: 
k 2 - 3k + 6 X M = 0 
x b x d2x f ^ 
a x k / + b x ks + c = 0 
6 x 1220 , . 0 0 , a = 1 b = - 3 c = = 1,1285 
19 x 332x 0,3135 
As raízes da equação são: 
(< = - b ? V b 2 - 4 x a x c 3 t V 9 - 4 x 1 x 1,1285 
2 x a ~ 2 
kx , = 2,56 (não interessa) e k ^ =0.44 
Conhecida a posição da linha neutra, determinam-se a taxa de armadura e, finalmente, 
a área de armadura necessária à seção. 
P = Y x n " x T " ^ = T x i ^ 6 3 x T ^ Ã Ã = ° ' 0 0 0 6 3 0 
A,= p x b x d = 0,000630 x 19 x 33 = 3,95 cm? 
b) Resolução para armadura dupla 
No d imens ionamento com armadura dupla deve-se inicialmente determinar o momen to 
supor tado pela a rmadura s imples, com d imens ionamento balanceado, M0 . Uti l izando os valores 
de kb e k / b , já calculados, tem-se: 
M = J x k x k = 0,3135 1 9 x 3 3 2 x 0,344 x 0,885 = 987,39 kN x cm o g d jd 2 
As áreas de armadura tracionada e comprimida (As e As ') podem ser obtidas então a partir de: 
! M0 M - M0 1 987,39 _ 1220-987 ,39 
A i ~ L x k » * + L x < d - d ' ) " 1 6 , 5 x 0 , 8 8 5 x 3 3 " 1 6 , 5 X < 3 3 ~ 4 ) 
A, = 2,05 + 0,486 = 2,54 cm? 
A . _ M " M o x d - x x 1 . 1220-987 ,39 x 3 3 - 0 , 3 4 4 x 3 3 x _ j _ = ^ ^ 
5 ( d - d ' ) x - d 1 (33 - 4) 0,344 x 33 - 4 16,5 
Também nas si tuações de armadura dupla ou seção superarmada, pode-se utilizar tabelas 
para o d imens ionamento ou veri f icação das seções. 
Através da tabela I, por exemplo, pode-se calcular a a rmadura necessár ia nestas duas 
si tuações. Inicialmente, calcula-se: 
b x d2 19 x 332 k . = = = 16,96 
M 1220 
Para a seção superarmada, através da tabela I obtém-se ks =0,1068, o que corresponde a 
uma área de armadura compr imida igual a: 
k x M 0.1068x 1220 , 
A = — = — = 3.95 cm-
d 33 
Para o d imens ionamento com armadura dupla, determina-se: 
b ^ = 1 9 x 3 3 2 = 9 8 8 5 8 k N x c m 
° k ^ 20,93 
= 0,1212 d 33 
_ k » x M o k ^ x A M _ 0,0685x988,58 0.0606 x (1220 - 988,58) f\ — A + r\ — + ~ + — 
s 41 d d - d ' 33 3 3 - 4 
A% = 2.53 cm? 
M - M 0 0.180 x (1220-988,58) , _ , 
% - s = i = 1,44 cm? 
d - d' 3 3 - 4 
7 . 4 E X E M P L O S D E F L E X Ã O C O M P O S T A 
7 . 4 . 1 EXEMPLO 1 
Determinar a a rmadura necessár ia à parede esquemat izada na f igura 7.5, sabendo-se 
que o momen to fletor é devido ao vento. A parede está v inculada na base e e m seu topo. 
DADOS: 
fp = 9,5 MPa = 0,950 kN/cm2 
fs = 165 MPa = 16,5 kN/cm2 
q = 40 kN/m 
M = 85 kN/m 
• 
£ 
o 
o 
CO 
CM 
d = 20 _ 
L = 120 cm 
d = 100 cm 
t = 1 9 cm 
/ 
Figura 7.5 - Exemplo 1 de flexão composta. 
SOLUÇÃO: 
E ^ = 800 x 9.5 = 7600 MPa 
n = 210000 
7600 
= 27,63 
As máximas tensões admissíveis são dadas por: 
= 0.225 fp 1 - Vtot, 
= 0,225 x 0,950 1 - f 280 > ^ 4 0 x 1 9 ; = 0,2031 kN/cm2 
f,vf = 0,33 x fp = 0,33 x 0.950 = 0,3135 kN/cm2 
A máxima tensão devida à flexão que a seção pode suportar pode ser obtida calculando-se: 
N 40x1 ,2 L.= = 0,0211 kN/cm2 
b ~ t 120x19 
Considerando-se a = 1,33, tem-se: 
L , ^ L , = ^1,33 - ^ J S 0,3135 = 0,3844 kN/cm2 
^ V 0.2031 j 
Como tentativa inicial, pode-se admitir que a máxima tensão de compressão é a que 
corresponde à máxima tensão admissível pela flexão. f ^ , o que leva a uma tensão de compressão 
total de: 
f*v = L , = t , . = 0,0211 + 0.3844 = 0.4055 kN/cm2 
A fim de se determinar a posição da linha neutra, x, calculam-se os coeficientes a, b e c 
da equação de 2o grau que fornece o valor de x: 
a = V6 x t x f iV = V6 x 19 x 0.4055 = 1,2841 
b = - V2x t x f ^ x d = - V2 x 19 x 0,4055 x 100 = - 385,23 
c = N ^—— d' + M = 48 x - 20! + 8500 = 10420 
) V 2 ) 
Calculando a raiz de interesse da equação, obtém-se x: 
x d = - b - V b ^ 4 x a x ^ = 3 0 0 6 c m 
2 x a 
E então a tensão de tração no aço: 
f = n x f f L J L = 27,63 x 0,4055 1 0 0 - 3 0 - 0 6 = 26,07 kN/cm2 
x 30,06 
Como a tensão no aço é superior à admissível (í5= 16,50 kN/cm2) deve-se repetir o 
processo adotando uma tensão total de compressão na alvenaria menor do que a admissível. 
Com o novo valor de fafv, recalculam-se os coeficientes a, b e c, a posição da linha neutra, x, e, 
então, a tensão de tração no aço. Organizando-se as tentativas e os resultados obtidos em uma 
planilha, obtêm-se: 
Tabela 7.2 - Tentativas no exemplo 1. 
u A b c x f. 
0,4055 1,2841 -385,225 10420 30,061 26,07 
0,3500 1,1083 -332,500 10420 35,551 17,53 
0,3000 0,9500 -285,000 10420 42,615 11,16 
0,3400 1,0767 -323,000 10420 36,766 16,16 
0,3425 1,0846 -325,375 10420 36,454 16,50 
Para a condição de falv = 0,3425 kN/cm2 obteve-se x = 36,45 cm e fs = 16,50 kN/cm2. 
Nesta situação, pode-se determinar a área de aço, como apresenta a equação a seguir: 
1 f t x X x f ^ 1 ^19 x 36,45 x 0,3425 \ 
2 4 8J 
As = 4.28 cm2 
Vale lembrar que esta área de armadura deve ser disposta segundo cada lado da parede, 
pelo fato de a ação do vento poder se dar segundo um ou outro sentido. Deve-se ter o cuidado de 
manter o CG da armadura de modo a se ter d' = 20 cm. 
7 . 4 . 2 EXEMPLO 2 
Determinar a armadura necessária ao muro representado na figura 7.6. O momento é 
devido a empuxo lateral. A parede está vinculada no topo e na base. 
DADOS: 
f p= 11.0 MPa = 1,10 kN/cm2 
ís = 165 MPa = 16,5 kN/cm2 
N = 12 kN/m 
M = 3,50 kN x m/m 
Figura 7.6 - Exemplo 2 de flexão composta. 
SOLUÇÃO: 
E . = 800 x 11,0 = 8800 MPa m 
n = - L = 2 1 0 0 0 0 =23.86 
EaV 8800 
As máximas tensões admissíveis são dadas por: 
L , = 0.225 fp 1 - f J U V40t; = 0,225 oo 1,10 
i _ ( 260 Y 
^ 4 0 x 1 4 ; = 0,2227 kN/cm
2 
L., = 0,33 x fp= 0,33 x 1.10 = 0.363 kN/cm2 
A máxima tensão devido à flexão que a seção pode suportar pode ser obtida calculando-se: 
N 12 
L.. = = 0.0086 kN/cm2 
* * b x t 100x14 
Considerando o fator de majoração das tensões admissíveis combinadas a = 1.0: 
f - f a _ ^ f = f i ,oo - 0 , 0 0 8 j f 0,363 = 0,3490 kN/cm? 
l L J J l 0,2227 j 0.2227) 
Como tentativa inicial, pode-se admitir que a máxima tensão de compressão é a que 
corresponde à f ^ , ^ (total aproveitamento da capacidade resistente da alvenaria), o que conduz a 
uma tensão de compressão total de: 
f ^ = f vc = f v, = 0,0086 + 0,3490 = 0,3576 kN/cm2 
A posição da linha neutra, x, pode ser expressa por uma equação de 2° grau. A fim de 
determinar esta posição, determinam-se os coeficientes a, b e c da equação que fornece o valor de x: 
a = V6x t x fiiV = V6 x 100 x 0,3576 = 5,96 
b = - V?x t x fV/ x d = - % x 100 x 0,3576 x 7 = - 125,16 
( u > f 14 ^ 
C = N : — - d ' + M = 12 - - 7 + 3 5 0 = 350 
\ 2 ) K 2 ) 
Calculando a raiz de interesse da equação, obtém-se: 
- b - v b * - 4 x a x c . „ x = k x d = — — í — = 3.32 cm 
2 x a 
E, então, a tensão de tração no aço: 
I = n x f = 23.86 x 0,3576 7 " 3 , 3 2 = 9.46 kN/cm* 
* x 3,32 
A tensão no aço é inferior à admissível (f = 16,50 kN / cm2). A área de aço é calculada 
através da expressão: 
= , ' t x X x f „ _ _ L ^ 100 x 3,32 x 0,3576 _ } A 5,01 cm>/m 
' U 2 j 9.46 V 2 ; 
Podem ser posicionadas, por exemplo, dez barras de 8 mm de diâmetro por metro, 
configurando Asofo) = 5,00 cm2/m. 
7 . 5 E X E M P L O S DE C I S A L H A M E N T O 
7 . 5 . 1 EXEMPLO 1 
Verificar a necessidade de armadura transversal em uma viga de seção 19 cm °° 40 cm. 
DADOS: 
V ^ l O k N 
fp = 4 MPa 
d = 33 cm 
SOLUÇÃO: 
T - = ^ = 19T33 = 0,016 k N / c m - 0 , 1 6 MPa 
"f , = 0,09 V~í = 0,18 MPa - 0,35 MPa 
o»l p 
Como fcisl < íctSl não há necessidade de se disporem armaduras de cisalhamento na 
viga em análise. 
7 . 5 . 2 EXEMPLO 2 
Dimensionar as armaduras transversais para a viga representada na figura 7.7. 
DADOS: 
f( = 9 MPa (prisma cheio) 
Aço CA 50A 
SOLUÇÃO: 
"f , = 0 ,09 /7 = 0,27 MPa - 0.35 MPa col ' p 
~f_ = 0.09VT = 0,75 MPa - 1.00 MPa CS2 ' p 
16 (N/m 
JL. 
5 m 
Viga 
40 kN 
14 cmi 
40 kN 
E o 
i o 
Seção 
Figura 7.7 - Exemplo 2 de cisalhamento. 
Pode-se. então, determinar a máxima força cortante admissível na viga (V2) e a máxima 
força cortante que pode ser absorvida sem armaduras de cisalhamento (V,). 
V, ="f , bd = 0,027 x 14 x 55 = 20,79 kN 1 cwl 
\J2 =lc n 2 bd = 0,075 X 14 x 55 = 57,75 kN 
A máxima força cortante atuante é de 40 kN, que é admissível, devendo as regiões 
próximas aos apoios ser armadas para o combate ao cisalhamento. A região central da viga, cerca 
de 2,50 m, nãoprecisa de armaduras de cisalhamento, já que nesse trecho as forças cortantes 
são inferiores a V,. Observe-se que essa possibilidade em uma viga de alvenaria armada é bastante 
diferente de uma viga de concreto armado, em que exige a presença de armaduras mínimas de 
cisalhamento mesmo em regiões pouco solicitadas por força cortante. 
A armadura de cisalhamento, supondo-se estribos verticais, correspondente a V = 40 kN 
pode ser ca lcu lada com a equação (6.41). Deve ser observado espaçamento máximo de 
d/2 = 27,5 cm. Supondo-se que o bloco tenha dimensões em planta 14 cm °° 39 cm, pode-se 
adotar o espaçamento s = 20 cm. Assim: 
40x20 
A f , d = 0,88 cm
2 por furo 
16,5x55 
Se for utilizado estribo de dois ramos pode-se adotar 4» 8,0 mm a cada 20 cm. Opcionalmente, 
com estribo de 1 ramo, 0 =12,5 mm a cada 20 cm. As ilustrações encontram-se na figura 7.8. 
Região sem estribos 
N1 c/20 ou N2 c/20 
n 
4 
Figura 7.8 - Opções de armação. 
N1 o 8,0 (2 ramos) 
N2 (J> 12.5 (1 ramo) 
Exemplo de Edifício de Porte Médio 
8 
o 
Ü) 
•O 
r r 
C 
O 
8.1 C A R A C T E R Í S T I C A S D O E D I F Í C I O 
A título de ilustração são aqui desenvolvidos a análise estrutural e o dimensionamento 
de um edifício de porte médio de alvenaria estrutural. O edifício possui oito pavimentos tipo, sendo 
o primeiro apoiado diretamente sobre o solo e os demais em lajes de concreto armado, que, por 
sua vez, se apoiam em paredes de alvenaria estrutural de blocos de concreto. O edifício possui 
ainda um pavimento de cobertura/casa de máquinas e um ático, que engloba a mesa de motores 
para o elevador e a caixa d'água da edificação. Para efeito do vento, admite-se a velocidade básica 
de 38 m/s, terreno de rugosidade categoria IV e vento de baixa turbulência. A alvenaria será não-
armada, de acordo com a definição adotada pela NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de 
Blocos Vazados de Concreto1. 
O esquema vertical do edifício é mostrado na figura 8.1, em conjunto com as plantas 
baixas dos pavimentos superiores. Observe-se que os pés-direitos nos pavimentos tipo são de 
2,80 m de piso a piso. Admitindo-se lajes maciças de concreto de 8 cm de espessura, obtém-se 
paredes de 2,72 m de altura. Neste caso, serão então utilizados o bloco jota e o bloco compensador 
para ajuste da modulação vertical, conforme discutido no capítulo 2. Todas as lajes possuem 8 cm 
de espessura, exceto as de fundo dos reservatórios e a da mesa de motores, que têm 10 cm. 
Caixa d'água Esquema vertical 
27.20 
C. d'água 
M. motores 
Cob./c. máq. 
7- pav. 
£ pav. 
S pav. 
4! pav. 
3' pav. 
2- pav. 
1! pav. 
2̂5.60 8 
24.00 S 
22A0[— a 
19.60 
o 
16.80 § C\J 
14.00 S OJ 
11.20 S CM 
8.40 S CM 
5.60 § CM 
2.80 8 CM 
O CO OJ 
Casa de máquinas 
284 
14 
284 
14 181 14 \ 6 ' / 
14 
» 
Mesa 
motores 
14 
14
 
16
4 l _ J 
C. máquinas 
14 14 14 
CM 
14 
CM 
14:121 
V E3 
14 8 
14 
Caixa 
d'água 
Caixa 
d'água 
256 14 
89 106 89 
Figura 8.1 - Esquema vertical e arranjo arquitetônico do ático. 
A planta baixa do pavimento tipo é apresentada na figura 8.2. Com base nas dimensões 
apresentadas, pode-se perceber o módulo horizontal de 15 cm. Admite-se no presente exemplo 
que todas as paredes sejam estruturais. 
1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 
I 
8 8 8 8 8 
2 5 õj O 2 ój ÕJ 
! NNSSJ 
1 
«- N n t UÍ |;| |l| lu [11 III 
14 
14 
14 
151 14 
45Í91 1 st 
704 
226 14 
t 14 150 ' 76 
r J 
286 14 91 
271 14 
14 
391 14 
255 91 45 
Hall 
178 
Sala 
271 14 
196 
o 
Cozinha 
ti! 
Banho 
121 14 
Dormitório 
Dormitório 
lu o 
E4 E3 
44 106 134 106 314 
Figura 8.2 - Arranjo arquitetônico do pavimento tipo. 
8 .2 C A R G A S V E R T I C A I S 
Para a determinação dos carregamentos aqui apresentados, foram admitidos o peso 
específico da parede revestida em 15 kN/m3 e o peso específico do concreto 25 kN/m3. 
Para as lajes do pavimento tipo, indicadas na figura 8.3, os carregamentos e as suas 
características geométricas são apresentadas na tabela 8.1. Por simplicidade admite-se que o carregamento 
nas lajes de cobertura seja, no total após composição, igual às do pavimento tipo. As escadas foram 
admitidas com carga total de 3,5 kN/m2, com os degraus apoiados em suas extremidades. A figura 8.3 
apresenta, também, as reações nos apoios das lajes, incluindo as reações devidas à escada. 
Figura 8.3 - Lajes do pavimento tipo e reações (kN/m). 
Tabela 8.1 - Carregamentos e características geométricas do pavimento tipo. 
Lajes 
Características geométricas Cargas (kN/m1) 
Lajes 
Lx (cm) Ly (cm) Espessura (cm) Sobrecarga Revest. Peso próprio Alv. não-estrutural Carga total 
L1 = L6 150,0 165,0 8,0 1,5 1.0 2,0 0.0 4,5 
L2 = L5 225,0 300,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5 
L3 = L4 285,0 405,0 8,0 1,5 1.0 2,0 0.0 4.5 
L7 = L8 150,0 240,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5 
L9 270,0 178,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5 
L10 = L11 225,0 105,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0,0 4,5 
L12 = L15 330,0 285,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5 
L13 = L14 330,0 285,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5 
L16 270,0 128,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 4,5 
Quanto às cargas devidas à mesa de motores e ao reservatório superior, a figura 8.4 apresenta, 
em resumo, as cargas lineares aplicadas ao nível da laje de cobertura, incluindo-se o peso próprio das 
paredes. Para a obtenção desses valores, adotaram-se os carregamentos indicados na tabela 8.2. 
Tabela 8.2 - Carregamentos e características geométricas do ático. 
Lajes 
Características geométricas Cargas (kN/m2) 
Lajes 
Lx(cm) Ly (cm) Espessura (cm) Sobrecarga Revest. Peso próprio 
Alv. não-
estrutural Carga total 
Mesa de motores 195,0 188,0 10,0 5.5 1,0 2.5 0.0 10,0 
Tampada caixa 270,0 690,0 8,0 0,5 1,0 2.0 0,0 3,5 
Fundo da caixa 270,0 690,0 10,0 14,0 1.0 2,5 0,5 18,0 
29.49 24.59 
Figura 8.4 - Carregamento total devido ao ático (kN/m). 
8.3 D I S T R I B U I Ç Ã O D A S C A R G A S V E R T I C A I S 
Para a distribuição das cargas verticais foi adotado o procedimento dos grupos isolados de 
paredes. Na presente análise apenas os trechos compreendidos entre o térreo e a cobertura serão 
considerados. A nomenclatura adotada para as paredes e os grupos considerados é apresentada na 
figura 8.5. Observe-se que é evitada a numeração de grupos simétricos. A delimitação de grupos foi 
feita considerando-se a separação por aberturas. A tabela 8.3 apresenta as características geométricas 
de cada grupo, bem como as paredes que o constituem. 
Dentro do conceito de grupos isolados de paredes interessa determinar a resultante de 
cargas verticais presente em cada grupo, em cada nível da edificação. Essa carga é distribuída de 
maneira uniforme pela área total em planta do grupo de paredes. A determinação é feita de forma 
cumulativa do tipo para a base de cada um dos grupos. Com os resumos de carregamentos aplicados 
pelo pavimento tipo/cobertura (figura 8.2) e pelo ático (figura 8.3) é possível determinar essas 
resultantes, t o que se mostra nas últimas duas colunas da tabela 0.3. Os valores apresentados 
nessa tabela incluem o peso próprio das paredes. Cabe lembrar que as cargas verticais sobre 
aberturas (reação de lajes e peso próprio de alvenaria) são repartidas igualmente entre os dois 
grupos adjacentes a essas aberturas. 
Com base nos resultados apresentados na tabela 8.3, podem-se acumular as cargas verticais 
em cada grupo, encontrando-se os valores junto à base de cada parede em cada um dos oito níveis 
escolhidos para a análise. É o que se apresenta na tabela 8.4, que resume a distribuição de ações 
verticais no edifício. Com os valores das resultantes em cada nível, podem-se obter as tensões normais 
em cada grupo, bastando dividir essas resultantes pela área total da seção transversal do grupo. É 
o que será feito na fase de dimensionamento da estrutura. 
Figura 8.5 - Grupos de paredes estruturais. 
Tabela 8.3 - Grupos de paredes e resultantes verticais. 
Grupo Paredes do grupo Comprimento (m) Área (m*) 
Carga 
verticalático 
(kN) 
Carga vertical 
tipo/cobertura 
(kN) 
1 PX1.PY3, PY5 2,910 0,407 0,00 33,73 
2 PX7, PX9, PY2, PY4 5,750 0,805 0,00 69,47 
3 PX13, PX19, PY1 6,960 0,974 0,00 80,63 
4 PX2, PX10, PY7 4,560 0,638 0,00 66,90 
5 PX14, PX20, PY6 4,030 0,564 0,00 65,63 
6 PX3, PY9, PY11 7,270 1,018 203,74 70,94 
7 PX15, PX21, PY8 8,080 1,131 191.80 107,54 
8 PY10 1,960 0,274 0,00 20,49 
9 PX4, PY13 3,440 0,482 214,82 49,06 
Tabela 8.4 - Cargas verticais acumuladas em cada grupo. 
Grupo Cobertura (kN) 72 Pav. (kN) 62 Pav. (kN) 5
a Pav. (kN) 42 Pav. (kN) 32 Pav. (kN) 22 Pav. (kN) 12 Pav. (kN) 
1 33.73 67.45 101,18 134.91 168.63 202.36 236,09 269.82 
2 69.47 138.95 208,42 277.90 347,37 416.84 486.32 555,80 
3 80.63 161.27 241,90 322.53 403,17 483.80 564,44 645,08 
4 66,90 133.80 200,70 267.59 334.49 401,39 468.29 535,19 
5 65,63 131,25 196.88 262.51 328,13 393,76 459.39 525,02 
6 274.68 345.61 416.55 487.49 558,43 629,36 700.30 771,24 
7 299,35 406.89 514,43 621.97 729,52 837.06 944.60 1052.14 
8 20.49 40.97 61.46 81.94 102,43 122.92 143,40 163,89 
9 263.88 312.94 362,00 411.06 460,12 509.18 558,24 607,30 
8 . 4 A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 
8 . 4 . 1 AÇÕES DEVIDAS AO VENTO 
Com base nos dados fornecidos é possível determinar os coeficientes de arrasto para o 
edifício em análise. Os valores determinados são iguais a 0,95 e 1,36 para as direções X e Y de 
atuação do vento, respectivamente. Para completar os cálculos das forças atuantes am cada andar 
é necessário determinar o valor do coeficiente S2 em cada nível, o que depende adicionalmente da 
classe da edificação que no presente caso é a B, pois a maior dimensão frontal do edifício está 
entre 20 e 50 m, tem-se a classe B. Assim é possível montar a tabela 8.5 que contém as forças 
horizontais devidas ao vento em cada pavimento nas direções X e Y. A avaliação é feita em cada 
pavimento, considerando-se área frontal que engloba meio pé-direito abaixo e meio acima do 
pavimento. Observe-se que no caso do 8* nível, a altura considerada acima do pavimento é de todo 
o ático da edificação, ou seja, 4,80 m e que para a direção Y o retângulo acima do nível considerado 
possui largura de 2,84 m, e não os 16,04 m ao longo dos demais pavimentos. 
Tabela 8.5 - Forças horizontais devidas ao vento. 
Nível Cota (m) s2 
Pressão 
(10 a kN/m*) 
F„ 
(kN) 
F, 
(kN) 
1 2,80 0,71 45,55 8.53 27,82 
2 5,60 0,78 54,17 10,14 33,09 
3 8,40 0,82 59,95 11,23 36,62 
4 11,20 0,85 64,42 12,06 39,35 
5 14,00 0,87 68,12 12,76 41.61 
6 16,80 0,89 71,30 13,35 43.55 
7 19,60 0,91 74,10 13,88 45.26 
8 22,40 0,92 76,61 32,51 38.03 
8 . 4 . 2 AÇÕES CORRESPONDENTES AO DESAPRUMO 
Para determinação das forças horizontais correspondentes ao desaprumo, com base na expressão 
(4.1) foi utilizada a altura do modelo de 22,40 m. Assim tp = 1/100 x (22,40)"*, ou 9 = 2,113 x io3 rad. 
Para os níveis de 1 a 7, deve-se utilizar o peso de cada pavimento acima desse nível, ou 
seja, P = 988 kN, que é o peso total de cada pavimento tipo (vide tabela 8.3). Assim se chega a 
uma força equivalente ao desaprumo F d = P x (p= 2,09 kN para as direções X e Y. 
Para o nível superior, deve-se utilizar o peso total acima desse nível, ou seja, P = 638 kN (vide 
tabela 8.3). A força horizontal equivalente ao desaprumo é, neste caso, igual a F d= P x <p = 1,35 kN. 
Compondo-se os valores devidos à ação do vento com os relativos ao desaprumo, chega-se ao 
carregamento horizontal total em cada uma das direções de atuação do vento escolhidas neste exemplo. 
8 . 5 D I S T R I B U I Ç Ã O D A S A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 
A atuação do vento nas direções X e V é aqui considerada sem excentricidades. Para a 
distribuição das ações horizontais foi escolhido o procedimento das paredes isoladas, admitindo-
se como representativa a associação plana dos painéis de contraventamento. Na verdade, a análise 
realizada com a associação tridimensional leva a rotações desprezíveis dos pavimentos para ambas 
as direções estudadas. 
Para a aplicação do procedimento escolhido é necessário determinar, em cada uma das 
direções, o momento de inércia de flexão de cada uma das paredes, relativo ao eixo baricêntrico 
ortogonal à direção de atuação do vento. Cabe lembrar que a avaliação do momento de inércia 
deve ser feita compondo-se a seção transversal de cada parede com as abas correspondentes às 
paredes ortogonais adjacentes. Lembre-se que a largura da aba (ou mesa) não deve ser maior 
que seis vezes a espessura da alma e que o comprimento de parede disponível. A título de ilustração, 
observe-se a figura 8.6 que apresenta a parede PY1 em detalhe, com as dimensões reais do 
grupo de paredes a que ela pertence e as dimensões da seção composta, observando-se o limite 
de comprimento da mesa colaborante. 
217 
PX13 
PX19 
172 84 
(A) Grupo da parede PY1 (cm) (B) Seção transversal composta (cm) 
Figura 8 . 6 - Parede PY1. 
Na distribuição das ações horizontais na direção Y, deve-se avaliar o momento de inércia 
de todas as paredes orientadas segundo o eixo Y com relação ao seu eixo baricêntrico paralelo a 
X. Assim, no caso da parede PY1, interessa o momento de inércia de flexão relativo ao eixo X 
indicado na figura 8.6 (B), cujo valor é 0,817m4. Observe-se que as distâncias máximas ao eixo de 
flexão, indicadas na mesma figura (1,496 m e 1,574 m), são necessárias para a determinação dos 
módulos de resistência à flexão da seção transversal, que é feita dividindo-se o momento de inércia 
por essas distâncias. Esses módulos são utilizados para a determinação das máximas tensões 
normais produzidas pelo momento fletor atuante na seção transversal. 
A distribuição das ações horizontais é feita de maneira proporcional à rigidez de cada 
painel relativa ao conjunto completo de painéis que constitui a associação, conforme se mostrou 
no item 4.4.1. Assim, para que se possa determinar a solicitação em cada painel, é necessário 
seguir o seguinte roteiro: 
a) calcular, em níveis previamente escolhidos, os esforços solicitantes globais atuantes 
na edificação nas direções de atuação do vento; 
b) calcular a rigidez relativa de cada painel nas referidas direções; 
c) multiplicar o esforço solicitante global desejado (momento fletor ou esforço cortante) 
pela rigidez relativa do painel. 
A tabela 8.6 apresenta os esforços cortantes e momentos fletores correspondentes às 
forças horizontais nas direções X e Y. As forças indicadas constituem a soma das ações devidas 
ao vento com as relativas ao desaprumo. As seções escolhidas para a determinação dos esforços 
solicitantes são as da base das paredes em cada pé-direito. Assim, por exemplo, os esforços no 
nível 8 são os que ocorrem logo acima do 72 pavimento. 
Tabela 8.6 - Esforços solicitantes globais. 
Nível 
Direção X Direção Y 
Nível 
Força 
(kN) 
Cortante 
(kN) 
Momento 
(kN x m) 
Força 
(kN) 
Cortante 
(kN) 
Momento 
(kN x m) 
8 33,86 33,86 94,81 39,38 39,38 110,25 
7 15,97 49,83 234,33 47,35 86,72 353,07 
6 15,44 65,27 417,07 45,64 132,36 723,69 
5 14,85 80,11 641,39 43,70 176,06 1216,65 
4 14,15 94,26 905,32 41,44 217,50 1825,64 
3 13,32 107,58 1206,55 38,71 256,21 2543,02 
2 12,23 119,01 1542,01 35,10 291,30 3350,09 
1 10,62 130,43 1907,20 29,91 321,29 4258,50 
As tabelas 8.7 e 8.8 apresentam para as direções X e Y, respectivamente, o momento de 
inércia de flexão de cada parede e o índice de rigidez relativa, fundamental para a distribuição das 
ações. Observe-se que nas tabelas é evitada a repetição de paredes correspondentes, sendo 
indicado apenas o número de vezes em que cada uma se repete na associação. 
A partir dos valores apresentados 8.6,8.7 e 8.8, podem-se calcular os esforços solicitantes 
ao longo de qualquer uma das paredes da edificação, produzidos pelas ações horizontais, bastando 
multiplicar os esforços globais pela rigidez relativa dessa parede. A tabela 8.9 ilustra os esforços 
solicitantes nas paredes PX1, PX4, PY1, PY8 e PY13. 
Tabela 8.7 - Rigidez das paredes PX. 
ParedePX I (m4) n 
n*l 
(m1) R = 7a 
1 0.165800 2 0.331600 0.054363 
2 0.029700 2 0,059400 0.009738 
3 0.496200 1 0,496200 0.162695 
4 0.016200 1 0.016200 0.005312 
7 0.206300 2 0,412600 0.067642 
9 0.040300 2 0.080600 0.013214 
10 0.000420 2 0.000839 0.000138 
13 0.236600 2 0,473200 0.077577 
14 0.000994 2 0,001988 0.000326 
15 0.257000 2 0.514000 0.084266 
19 0.117800 2 0.235600 0.038624 
20 0.004728 2 0.009456 0.001550 
21 0.209100 2 0,418200 0,068560 
1 = 3.049883 
Tabela 8.8 - Rigidez das paredes PY. 
Parede PY I (m4) n 
n' l 
<m4) R = ' /„ 
1 0.817000 2 1,634000 0.100313 
2 0.042710 2 0,085420 0.005244 
3 0.001822 2 0,003644 0.000224 
4 0.174100 2 0.348200 0.021376 
5 0.005201 2 0,010402 0.000639 
6 0.599200 2 1,198400 0.073571 
7 0.719700 2 1,439400 0.088366 
8 1.187000 2 2,374000 0.145742 
9 0,454000 1 0,454000 0.055743 
10 0,087840 1 0,087840 0.010785 
11 0.149300 1 0,149300 0.018331 
13 0.359900 1 0.359900 0.044189 
1 = 8.144506 
Tabela 8.9 - Esforço cortante (V) e momento fletor (M) nas paredes PX1, PX4, PY1, PY8 e PY13. 
PX1 PX4 PY1 PY8 PY13 
Nível V M V M V M V M V M 
(kN) (kN x m) (kN) (kN x m) (kN) (kN x m) (kN) (kN x m) (kN) (kN x m) 
8 1,84 5,15 0.18 0.5 3,95 11,06 5,74 16.07 1,74 4,87 
7 2,71 12,74 0.26 1,24 8,7 35,42 12,64 51,46 3,83 15,6 
6 3,55 22,67 0.35 2,22 13,28 72,6 19,29 105,47 5,85 31,98 
5 4,35 34,87 0,43 3,41 17,66 122,05 25,66 177,32 7,78 53,76 
4 5,12 49,22 0.5 4,81 21,82 183,14 31.7 266,07 9,61 80,67 
3 5,85 65,59 0.57 6,41 25,7 255,1 37,34 370,63 11,32 112,37 
2 6,51 83,83 0.64 8,19 29,23 336,94 42,47 489,53 12.88 148.43 
1 7,09 103,68 0.69 10,13 32,23 427,18 46,83 620,64 14,20 188,18 
8.6 D I M E N S I O N A M E N T O DAS PAREDES 
O dimensionamento das paredes é feito mediante a análise da composição das tensões devidas 
aos carregamentos vertical e horizontal em todas as suas seções transversais. No presente texto serão 
verificadas as seções junto à base de cada parede, as mesmas nas quais foram determinados os esforços 
solicitantes, entre o pavimento térreo e o de cobertura. Para completar a análise, é preciso estabelecer 
mais alguns parâmetros de projeto. Adota-se argamassa de resistência característica 5 MPa, o que leva 
a uma tensão admissível de tração na alvenaria na direção normal à fiada igual a 0,10 MPa (vide tabela 
5.6 para alvenaria não-armada). Nessas condições tem-se a máxima tensão admissível ao cisalhamento 
igual a 0,15 MPa. Quando necessário, será admitida a eficiência prisma/bloco igual a 0,8 MPa. 
Sendo o cálculo repetitivo, escolhem-se apenas duas paredes para ilustração dos 
procedimentos de dimensionamento: PY1 e PY13. Cabe ressaltar que a parede PY13 é a mais solicitada 
da edificação, ou seja, aquela que no conjunto das cargas verticais e ações horizontais acaba 
apresentando a maior resistência de prisma necessária. Todas as paredes do edifício atendem à 
espessura mínima de 14 cm e de esbeltez máxima 20. Quanto à esbeltez, tem-se X = 272/14 = 19,43. 
A tabela 8.10 agrupa os resultados correspondentes à parede PY1. Para o carregamento 
vertical deve-se apenas observar que PY1 pertence ao grupo G3. Para a determinação das tensões normais, 
basta dividir os valores das cargas verticais acumuladas em cada grupo (tabela 8.4) pela sua área total 
em planta (tabela 8.3). Para o carregamento horizontal deve-se inicialmente calcular as tensões de 
cisalhamento, dividindo-se as forças cortantes na parede (tabela 8.9) pela área de sua alma, que é igual 
a 0,430 m2. Observe-se que nenhuma tensão de cisalhamento supera o valor admissível de 0,15 MPa. 
Ainda com o carregamento horizontal deve-se determinar as tensões normais nas fibras 
extremas da seção transversal da seção da parede composta. Essas tensões são determinadas 
dividindo-se os momentos fletores atuantes (tabela 8.9) pelos módulos de rigidez de flexão em torno 
do eixo x. Com base nos resultados apresentados no item 8.5 (vide figura 8.6 e parágrafo que a 
segue), podem-se calcular esses módulos que se igualam a W, = 0,817/1,496 = 0,546 m3 e W2 
= 0,817/1,574 = 0,519 m3. Deve-se verificar se ocorre tração na parede. Se ocorrer e for superior a 
0,10 MPa, há a necessidade de providenciar armaduras para absorção da resultante de tração. 
A verificação da tração é feita com a expressão 6.42 (faM - 0,75 falvc -~falvt). Para PY1 existe 
a necessidade de se armar os cantos da parede para absorver a tração nos seus três primeiros 
níveis. O cálculo dessa armadura é ilustrado a seguir para o primeiro nível da parede, utilizando-se o 
procedimento simplificado mostrado no item 6.5.3. 
A figura 8.7 apresenta a seção transversal da parede PY1, incluindo as mesas colaborantes 
e os diagramas de tensão normal, compondo-se 75% das produzidas pelo carregamento vertical e 
100% das relativas às ações horizontais. Cabe notar que duas composições são feitas devido à 
reversibilidade das ações horizontais. A primeira delas em que a tração ocorre na porção superior 
da seção e a segunda na porção inferior. 
0.50 
© 
0.84 
(m) 
0.50 
0.50 
E 
0.82 
0.78 
0.82 
1.28 
1.32 
0.32 
0,50 0.78 0.29 
Figura 8.7 - Composição de tensões normais na base da parede PY1. 
A integração das tensões de tração nos dois casos leva aos valores das resultantes 
T1 = 38,17 kN e T2 = 45,27 kN. Note que essa integração deve ser feita ao longo de toda a região 
tracionada, envolvendo alma e abas. As armaduras necessárias para combate à tração podem ser 
calculadas dividindo-se as resultantes pela tensão admissível do aço. Admitindo-se aço CA50, o 
valor admissível é de 165 MPa, o que leva às áreas de aço de 2,37 cm2 e 2,70 cm?, nas porções 
superior e inferior, respectivamente. Ao dispor as barras de armadura deve-se tomar o cuidado de 
que a montagem não leve o centro de gravidade da armadura a ficar mais próximo da linha neutra 
do que a resultante de tração correspondente, sob pena de reduzir a sua eficiência devido à 
diminuição do braço de alavanca. 
Quanto à definição do prisma, é necessário verif icar as tensões normais, conforme 
apresentado no item 6.5.1: 
Jíü£-<1,00 e + 1,33 
A primeira verificação se faz apenas com as tensões normais produzidas pelo carregamento 
vertical e a segunda, compondo-se essas tensões com as máximas tensões normais causadas pelo 
carregamento horizontal. No presente caso há as seguintes tensões admissíveis para a alvenaria 
não-armada (vide tabela 5.6): 
\VjC = 0,20 x fp [1 - (X/40)3] 
U = 0.30xfp 
Levando esses valores admissíveis e as tensões atuantes nas duas expressões de 
verificação, chega-se às mínimas resistências de prisma que se deve ter em cada caso. Essas 
resistências são apresentadas na tabela 8.10 como fp l e fp2 , respectivamente. Dividindo-se o maior 
dentre os dois citados valores pela eficiência do prisma, chega-se à mínima resistência de bloco 
necessária, que é apresentada na última coluna da tabela 8.10. 
Tabela 8.10 - Resultados para a parede PY1. 
Nível 
Cargas 
verticais 
Ações 
horizontais Tração Prismas Bloco 
(MPa) Nível N/A, 
(MPa) 
V/A 
(MPa) 
M/W, 
(MPa) 
M/W2 
(MPa) 
M/W, - 0,75 x N/A 
(MPa) 
<PI 
(MPa) 
FPA 
(MPa) 
Bloco 
(MPa) 
8 0,08 0,01 0,02 0,02 0,47 0,40 0,58 
7 0,17 0,02 0,07 0,06 - 0,94 0,87 1.17 
6 0,25 0,03 0,14 0,13 • 1,40 1,40 1,75 
5 0,33 0,04 0,24 0,22 - 1,87 1,99 2,49 
4 0,41 0,05 0,35 0,34 0,04 2,34 2,64 3,29 
3 0,50 0,06 0,49 0,47 0,12 2,81 3,33 4,17 
2 0,58 0,07 0,65 0,62 0,21 3,27 4,08 5,10 
1 0,66 0,07 0,82 0,78 0,32 3,74 4.86 6,08 
A escolha da resistência de bloco em cada pavimento é feita analisando-se a condição 
de todas as paredes, admitindo-se a possibilidade de grauteamento de algumas delas, para evitar 
penalizar todas por causa da mais solicitada. No presente exemplo a parede PY1 é representativa 
do que ocorre com grande parte das paredes da edificação. Neste caso, uma possível definição de 
resistência de blocos seria a apresentada na tabela 8.11. Observe-se que foi seguida a regra 
prática de 1 MPa por pavimento, o que levoua 8 MPa de resistência máxima de bloco. 
Tabela 8.11 - Resistência de blocos. 
Pavimento Bloco (MPa) 
1-2 8,0 
3-4-5 6,0 
Demais 4,5 
Há paredes em que seria necessário o grauteamento, já que a resistência do prisma 
sem grauteamento não atenderia à verificação das tensões normais. É o que ocorre com PY13, 
cujos resultados na análise são apresentados, de modo análogo ao de PY1, na tabela 8.12. 
Tabela 8.12 - Resultados para a parede PY13. 
Nível 
Cargas 
verticais 
Ações 
horizontais Tração Prismas Bloco 
(MPa) 
Nível N/A, 
(MPa) 
V/A 
(MPa) 
M/W, 
(MPa) 
M/W2 
(MPa) 
M/W, -0,75 x N/A 
(MPa) 
fpi 
(MPa) 
fp2 
(MPa) 
Bloco 
(MPa) 
8 0,55 0,00 0,02 0,01 - 3,09 2,37 3,86 
7 0,65 0,01 0,07 0,04 - 3,67 2,93 4,58 
6 0,75 0,02 0,14 0,09 - 4,24 3,54 5,30 
5 0,85 0,02 0,24 0,15 - 4,82 4,22 6,02 
4 0,95 0,03 0,36 0,22 - 5,39 4,95 6,74 
3 1,06 0,03 0,51 0,31 - 5,97 5,74 7,46 
2 1,16 0,04 0,67 0,41 - 6,54 6,58 8,22 
1 1,26 0,04 0,85 0,52 - 7,12 7,46 9,32 
Neste caso, a parede PY13 está muito solicitada devido às cargas provenientes do ático. Cabe 
notar que as tensões normais devidas às ações horizontais são comparáveis às da parede PY1, enquanto 
que as produzidas pelas cargas verticais são praticamente o dobro nos pavimentos inferiores. Neste caso 
não chega a ocorrer tração em nenhum pavimento. As tensões de cisalhamento são todas admissíveis. 
A especificação do grauteamento é um procedimento relativamente simples de ser realizado, 
pois basta verificar qual o acréscimo de área necessário em cada caso. Como exemplo, observe-se o que 
ocorre na base da PY13, em que a razão entre a resistência de bloco necessária (9,32 MPa) e a 
existente (8,0 MPa) define o acréscimo necessário, no caso 17%. Obviamente, esse procedimento é 
válido supondo-se que o valor da eficiência se mantém no bloco grauteado, o que usualmente é uma 
consideração a favor da segurança. Lembrando-se que a resistência se refere à área bruta, que é cerca 
do dobro da área líquida, e que não será utilizado graute de resistência inferior à do bloco, pode-se montar 
a tabela 8.13, com o valor do acréscimo da área líquida em função do grauteamento adotado. 
Tabela 8.13 - Grauteamento. 
Furos 
grauteados Razão de área líquida Acréscimo de área 
Todos 2/1 100% 
1 a cada 2 3/2 50% 
1 a cada 3 4/3 33% 
1 a c a d a 4 5/4 25% 
1 a cada 5 6/5 20% 
Assim, no seu primeiro nível, a parede PY13 deveria ser grauteada, podendo-se adotar 
um furo grauteado a cada cinco, ou seja, a cada dois blocos e meio. Um ponto a se considerar é a 
preferência pela uniformidade do grauteamento em uma parede, quando as tensões que determinam 
o grauteamento são produzidas pelo carregamento vertical. Eventualmente essa uniformidade pode 
ser desobedecida em função da necessidade de compatibilidade do projeto estrutural com os 
demais, como, por exemplo, o de instalações hidro-sanitárias ou elétricas. 
Outro ponto importante a ser destacado refere-se à presença de armaduras, quando 
seus posicionamentos em pavimentos sucessivos são usualmente compatibil izados, de forma a 
permitir a passagem da armadura através da laje. 
8.7 D I M E N S I O N A M E N T O D A S V E R G A S 
De todas as vergas do pavimento tipo do edifício, as mais solicitadas são as dos 
dormitórios. Os dados relevantes para o seu dimensionamento estão indicados na tabela 8.14. 
Como é desejável que as vergas sejam armadas igualmente em todos os níveis, o dimensionamento 
aqui exemplificado é feito para a menor resistência de prisma, ou seja, 3,6 MPa, que corresponde 
à menor resistência de bloco (4,5 MPa) multiplicada pela eficiência de 80%. 
Tabela 8.14 - Verga mais solicitada no pavimento tipo. 
Comprimento 
(m) 
Altura 
(m) 
Largura 
(m) 
Laje 
(kN/m) 
Peso próprio 
(kN/m) 
Carga total 
(kN/m) 
Momento fletor 
(kN x m) 
Força cortante 
(kN) 
1.21 0,51 0,14 3,64 1,54 5,18 0,948 3,13 
Inicialmente verifica-se a eventual necessidade de armadura transversal. Adotando-se a 
altura útil d = 47 cm, determina-se a máxima tensão de cisalhamento, dividindo-se o esforço cortante 
máximo pela altura útil (b °° d). O valor encontrado é de 0,048 MPa. Para a dispensa de armaduras 
transversais (vide tabela 5.7), não se deve ultrapassar o limite de 0,09 (fp)1/2 = 0,17 MPa (< 3,5 MPa). 
É o que ocorre, não sendo necessária a disposição de estribos na verga e bastando a existência da 
armadura longitudinal da flexão. 
Para a determinação dessa armadura de flexão, pode-se seguir o equacionamento 
apresentado no item 6.3.3. Utilizando a mesma nomenclatura já adotada, tem-se como parâmetros 
básicos para o dimensionamento: 
faV1 = 0,33 f p= 1,188 MPa 
E ^ = 800 fp = 2880 MPa 
\ x = 165 MPa (aço CA50A) 
E, = 210.000 MPa 
n = EJE^= 72,92 
^ = 1 / ^ = 138,89 
k * = (n + m t )= 0,344 
^ = 1 - ^ / 3 = 0 , 8 8 5 
d, = 19,34 cm (< d) 
Como a altura útil disponível é superior à necessária ao dimensionamento balanceado, 
pode-se absorver o momento fletor com armadura simples em seção subarmada. O cálculo da 
armadura pode ser feito com a planilha apresentada na tabela 8.15. 
Exemp lo de Edif íc io de Por te Médio 
Tabela 8.15 - Seção subarmada (kN.cm). 
I K K A. Np Kc k* 
1 0,885 0,0685 0,135 0,0147 0,157 0,948 
2 0,948 0,0640 0,126 0,0137 0,152 0,949 
3 0,949 0,0639 0,126 0,0137 0,152 0,949 
Nota-se a rápida convergência, em que a armadura necessária iguala-se a 0,13 cm2, que 
é bastante reduzida. Sob o ponto de vista executivo, costuma-se utilizar valor superior ao encontrado, 
igualando-se a armadura de flexão das vergas à armadura de cintas que é apenas construtiva. Uma 
solução bastante usual consiste na utilização de 1 o 10 mm, que corresponde a 0,8 cm2. 
8 .8 ESTABILIDADE GLOBAL DA ESTRUTURA DE CONTRAVENTAMENTO 
No caso do presente edifício, não há problemas quanto aos efeitos de segunda ordem que 
ficam abaixo do limite de 10% dos de primeira ordem em ambas direções escolhidas para a análise 
das ações horizontais. A tabela 8.16 apresenta os deslocamentos horizontais dos pavimentos, 
fundamentais para o cálculo dos momentos de segunda ordem produzidos pelas cargas verticais. 
Tabela 8.16 - Translações dos pavimentos e efeitos de segunda ordem. 
Carga vertical 
(kN) 
Direção X Direção Y 
Nível Carga vertical 
(kN) Translação 
(m) 
AM 
(kN x m) 
Translação 
(m) 
AM 
(kN x m) 
8 1625,36 0,01993 32,39 0,01550 25,20 
7 988,29 0,01621 16,02 0,01271 12,56 
6 988,29 0,01258 12,43 0,00996 9,84 
5 988,29 0,00917 9,06 0,00734 7,25 
4 988,29 0,00614 6,06 0,00496 4,90 
3 988,29 0,00360 3,56 0,00294 2,90 
2 988,29 0,00167 1,65 0,00138 1,36 
1 988,29 0,00045 0,44 0,00037 0,37 
1 = 81,61 1 = 64,38 
Tendo os acréscimos Om em cada direção, bem como o momento fletor global na base 
em cada direção, pode-se calcular o parâmetro y2 com a expressão 4.8. Assim: 
yzx = 1/(1 - 81,61/1907,20) = 1,04 e = 1/(1 - 64,38/4258,50) = 1,02 
Ressaltam-se, também, as reduzidas razões flecha no topo/altura, que assumem os 
seguintes valores para as direções X e Y, respectivamente: 1/1124 e 1/1445. 
Com base nestes resultados, percebe-se que a rigidez da estrutura de contraventamento 
da edificação é adequada. 
8.9 C O N C L U S Ã O 
O presente capítulo apresentou um exemplo de edifício de porte médio, mostrando algumas 
das etapas mais importantes do desenvolvimento do projeto estrutural. Foram apresentadas as 
definições dos carregamentos verticais e horizontais. O carregamento vertical foi distribuído 
utilizando-se o procedimento de grupos sem interação, devido à sua viabilidade prática e suficiente 
precisão. As ações horizontais foram distribuídas utilizando-se o procedimento das paredes isoladas, 
com a adoção de associações planas. Detalhes relativos à consideração das abas na composição 
das seções dos painéis foram mostrados a título de ilustração. Os carregamentos foram combinados, 
mostrando-se uma forma prática de obtenção das tensões normais e cisalhantes nas paredes. 
Obtidas as tensões, foram apresentados exemplos de dimensionamento,incluindo a disposição de 
armaduras de tração e a adoção de grauteamento como elemento de acréscimo de resistência à 
compressão. Um exemplo de dimensionamento de verga foi inserido, comentando-se os aspectos 
mais importantes do seu projeto. Por fim, foi estudada a estabilidade global da edificação mediante 
o emprego do parâmetro yz. A adequação da rigidez da estrutura foi complementada com a análise 
da relação entre a flecha no topo e a altura do edifício. 
Tabe las de F lexão anexos T A B E L A I A - FLEXÃO SIMPLES EM-NBRIO837 
anexos 
A' h i , : (cm2 /k.\') 
M 
Kx fc [Mpa] (cm
2/kN) Kx 7,0 9,5 12,0 14,5 17,0 19,5 
(cm2/kN) 
0.034 3746.25 2760.39 2185.31 1808,53 1542.57 1344,81 0.0613 
0.046 2090.31 1540,23 1219.35 1009.11 860.72 750.37 0.0615 
0.057 1326.86 977,69 774.00 640.55 546.35 476.31 0.0618 
0,069 913.78 673,31 533.04 441.13 376,26 328.02 0,0620 
0.080 665.68 490.50 388.31 321.36 274.10 238.96 0.0623 
0,092 505,29 372,32 294,75 243.93 208,06 181.39 0.0625 
0,103 395,76 291,61 230,86 191.05 162,96 142.07 0.0628 
0.115 317,72 234.11 185,34 153.38 130,83 114,05 0.0630 
0,126 260.21 191.73 151.79 125.62 107.14 93.41 0.0633 
0.138 216,64 159,63 126.37 104.59 89,21 77.77 0.0635 
0.149 182.87 134,75 106.67 88.28 75,30 65.65 0.0638 
o» TJ 
eo 
0,161 156.18 115,08 91.11 75.40 64,31 56.06 0.0640 o» TJ 
eo 0.172 134.74 99.28 78.60 65.04 55,48 48.37 0.0643 
a 
£1 3 (0 
0,184 117,25 86.40 68.40 56.61 48.28 42.09 0.0646 a 
£1 3 (0 
0,195 102,82 75.77 59.98 49.64 42,34 36.91 0.0648 
a 
£1 3 (0 0,207 90.78 66.89 52.96 43.83 37,38 32.59 0.0651 
0,218 80.63 59.41 47.03 38.92 33,20 28.94 0.0654 
0,230 72.00 53.05 42.00 34.76 29,65 25.85 0.0656 
0,241 64.60 47.60 37,68 31.19 26,60 23.19 0.0659 
0,252 58.21 42.89 33,96 28.10 23,97 20.90 0.0662 
0,264 52.66 38.80 30,72 25.42 21,68 18.90 0.0665 
0,275 47,81 35,23 27,89 23.08 19,69 17.16 0.0667 
0,287 43.55 32,09 25,40 21.02 17,93 15.63 0.0670 
0,298 39,78 29,31 23,21 19.21 16,38 14.28 0.0673 
0,310 36.44 26,85 21,26 17.59 15,01 13.08 0.0676 
0,321 33.47 24.66 19,52 16.16 13.78 12.01 0.0679 
0,333 30.80 22.70 17.97 14.87 12,68 11,06 0.0682 
Bal 0,344 28,41 20,93 16,57 13,71 11,70 10,20 0,0685 
0,356 27.61 20,35 16.11 13.33 11.37 9.91 0.0723 
0,367 26.87 19.80 15.67 12.97 11.06 9.64 0.0763 
0.379 26.17 19.28 15,26 12.63 10,77 9.39 0.0805 
0.390 25.51 18.80 14,88 12.31 10,50 9.16 0.0849 
0.402 24,89 18.34 14,52 12.02 10,25 8.93 0.0895 
0,413 24.30 17.91 14,18 11,73 10,01 8.72 0.0942 
0,425 23.75 17.50 13,86 11,47 9,78 8.53 0.0992 
0,436 23.23 17,12 13,55 11.22 9,57 8.34 0.1044 
0.448 22.74 16.75 13,26 10.98 9,36 8.16 0.1099 
ro 
"D 
0,459 22,27 16.41 12,99 10.75 9.17 7.99 0.1156 ro 
"D 0.470 21.82 16.08 12,73 10.54 8,99 7.83 0.1217 
0,482 21.40 15.77 12.48 10.33 8.81 7.68 0.1280 
0,493 21.00 15.47 12,25 10.14 8,65 7.54 0.1346 
Oi 
a 
3 
to 
0,505 20.62 15.19 12,03 9.95 8.49 7.40 0.1416 Oi a 
3 
to 
0,516 20.25 14.92 11.81 9.78 8.34 7.27 0.1489 
Oi 
a 
3 
to 0,528 19.90 14.67 11.61 9.61 8.20 7.15 0.1566 
0,539 19.57 14.42 11.42 9.45 8.06 7.03 0.1648 
0,551 19,25 14.19 11.23 9.29 7.93 6.91 0.1734 
0,562 18.95 13.96 11.05 9.15 7.80 6.80 0.1825 
0,574 18.66 13.75 10.88 9.01 7.68 6.70 0.1922 
0,585 18.38 13.54 10,72 8.87 7,57 6.60 0.2024 
0,597 18,11 13.35 10,57 8,74 7,46 6,50 0.2132 
0,608 17.86 13.16 10.42 8.62 7,35 6.41 0.2248 
0,620 17.61 12,98 10,27 8.50 7.25 6.32 0.2371 
0,631 17.37 12,80 10.13 8.39 7.15 6.24 0,2502 
Obs. : 1) falv.f = 0 .33 fp 2) fs.t = 16.5 M p a 3) Ealv = 800 íp 4 ) Es = 210000 Mpa 1 4 7 
T A B E L A I B - FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR 
Armadura Dupla 
- M - -M; -AM-
M. = bxd'
á 
jA-Jm 
L\M=M- M. 
/ML 
A* = M 
AM 
d-d' 
As' = kl* 
AM 
d-d• 
W e /cs'= - y r para o dimensionamento balanceado 
d ' / d K K 
0.05 0 , 0 6 1 0.1351 
0,10 0.061 0.1627 
0.15 0.061 0.2046 
0.20 
0.25 
0,30 
0.061 
0.061 
0,061 
0.2755 
0.4216 
0.8979 
Util iza o mé todo das tensões admissíveis, c o m fo>/ = 0,33 fp. f = 165 MPa e EaV = 800 fp 
Unidades: kN e c m 
T A B E L A I I A - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
f = 12,5 MPa; f = 165 MPa; n = 21.00 p i 
M1 — -
j d 
DADOS DO PROJETO 
\ f =12 ,5 MPa = 1.25 kN/cm1" p 
faV = 0 , 3 3 fp = 4 , 1 2 5 MPa f, = 1 6 5 . 0 MPa 
DADOS DO PROJETO 
\ f =12 ,5 MPa = 1.25 kN/cm1" p 
faV = 0 , 3 3 fp = 4 , 1 2 5 MPa f, = 1 6 5 . 0 MPa 
j £ z 1 EA V = 8 0 0 f p = 1 0 0 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
c .< 
l< d X N 1 
EA V = 8 0 0 f p = 1 0 0 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
c .< 
EA V = 8 0 0 f p = 1 0 0 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
c .< 
• 
.1 (V 
9 . 1 . 1 
k 1 h - 1 - A . 
9 
' 1 
- 1 - A . 
• -'KLI _ K M 
1 " bxd ~ f xk s f xk.xd d 
_ K M 
1 " bxd ~ f xk s f xk.xd 
f-v f. K P np k x k4 2 / (Kx x KJ 
0 .033 16.5 0 ,001 0 .00004 0 ,001 0 ,040 0 ,987 50 ,295 
0 .066 16.5 0,002 0,00015 0 ,003 0 ,077 0,974 26,494 
0 .099 16.5 0,005 0 .00034 0 ,007 0,112 0.963 18,566 
0 .132 16.5 0 ,009 0 . 0 0 0 5 8 0,012 0,144 0.952 14,605 
0.165 16.5 0 ,013 0 , 0 0 0 8 7 0 ,018 0 ,174 0 ,942 12,231 
0 .198 16.5 0 ,019 0.00121 0 , 0 2 5 0 ,201 0 ,933 10,651 
0 .231 16.5 0,024 0.00159 0 , 0 3 3 0 ,227 0.924 9 .524 
0.264 16.5 0 ,030 0 .00201 0 .042 0 ,251 0 ,916 8 .680 
0 .297 16.5 0 ,037 0 . 0 0 2 4 7 0 ,052 0 ,274 0 ,909 8 .025 
0 .330 16.5 0,044 0 . 0 0 2 9 6 0 ,062 0 ,296 0 .901 7 .501 
0 .363 16.5 0,051 0 . 0 0 3 4 8 0 , 0 7 3 0 ,316 0 ,895 7 .074 
0 ,396 16.5 0,059 0 , 0 0 4 0 2 0 ,084 0 ,335 0 ,888 6 .719 
0,413 16,5 0,063 0,00430 0,090 0,344 0,885 6,563 
n.4i a 15.0 O.Ofifi 0.00503 0.10R n.nfifi 0,ft7ft fi.5>5>3 
0 .413 13.5 0,070 0 , 0 0 5 9 7 0 , 1 2 5 0 ,391 0 ,870 5 ,883 
0 .413 12.0 0,074 0 .00721 0 ,151 0 ,419 0 ,860 5.546 
0 .413 10.5 0,079 0 . 0 0 8 8 8 0 ,186 0 ,452 0 ,849 5 ,209 
0 .413 9 .0 0 ,085 0.01124 0 , 2 3 6 0 ,490 0 ,837 4 . 8 7 5 
0 .413 7,5 0.091 0.01474 0 .310 0 ,536 0 .821 4 . 5 4 3 
0 .413 6.0 0.098 0 ,02031 0 , 4 2 6 0 ,591 0 ,803 4 ,215 
0 .413 4.5 0.106 0.03016 0 . 6 3 3 0 ,658 0 .781 3 .893 
T A B E L A I I B - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
fp = 11,0 MPa; fs = 165 MPa; n = 23.86 
M 
\ 
j d 
DADOS DO PROJETO 
f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm2 
í . = 0,33 ( = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa 
•WV p S 
E ^ = 800 fp = 8800 MPa E, = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
lc- 1 fr - 1 - k ' 
- " 1 + f / n * L ' 3 
\ K A _ M 
p bxd fs x k7 s / xk{x d 
k d \ S 
DADOS DO PROJETO 
f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm2 
í . = 0,33 ( = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa 
•WV p S 
E ^ = 800 fp = 8800 MPa E, = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
lc- 1 fr - 1 - k ' 
- " 1 + f / n * L ' 3 
\ K A _ M 
p bxd fs x k7 s / xk{x d 
' v ' 
DADOS DO PROJETO 
f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm2 
í . = 0,33 ( = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa 
•WV p S 
E ^ = 800 fp = 8800 MPa E, = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
lc- 1 fr - 1 - k ' 
- " 1 + f / n * L ' 3 
\ K A _ M 
p bxd fs x k7 s / xk{x d d 
DADOS DO PROJETO 
f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm2 
í . = 0,33 ( = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa 
•WV p S 
E ^ = 800 fp = 8800 MPa E, = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
lc- 1 fr - 1 - k ' 
- " 1 + f / n * L ' 3 
\ K A _ M 
p bxd fs x k7 s / xk{x d 
f - f. K P np K k. 2 / ( K i X K k ) 
0.033 16,5 0,001 0,00005 0.001 0,046 0,985 44,582 
0.066 16,5 0,003 0.00017 0,004 0,087 0,971 23.639 
0.099 16.5 0.006 0.00038 0.009 0,125 0.958 16.664 
0.132 16.5 0.010 0,00064 0.015 0,160 0.947 13.180 
0.165 16,5 0.015 0.00096 0.023 0,193 0.936 11.093 
0.198 16,5 0.020 0.00134 0.032 0,223 0.926 9.704 
0.231 16,5 0.027 0,00175 0.042 0.250 0.917 8.714 
0,264 16,5 0.033 0,00221 0.053 0,276 0.908 7.972 
0.297 16,5 0.040 0.00270 0,065 0,300 0.900 7.397 
0.330 16,5 0.048 0.00323 0.077 0,323 0.892 6.938 
0,363 16,5 0.055 0,00379 0,090 0,344 0,885 6,563 
0.363 15,0 0.058 0.00443 0.106 0.366 0.878 6.223 
0.363 13.5 0.062 0.00525 0,125 0.391 0.870 5.883 
0,363 12.0 0.065 0.00634 0,151 0,419 0.860 5.546 
0.363 10.5 0.070 0.00781 0.186 0,452 0.849 5.209 
0.363 9.00.074 0,00989 0.236 0,490 0.837 4.875 
0.363 7.5 0.080 0.01297 0.310 0,536 0.821 4,543 
0.363 6.0 0.086 0.01787 0.426 0,591 0.803 4,215 
0.363 4.5 0.093 0.02654 0.633 0.658 0.781 3.893 
0,363 3.0 0.101 0.04494 1.072 0,743 0.752 3.579 
T A B E L A I I C - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
fp = 9,5 MPa; f t = 165 MPa; n = 27,63 
j d 
k d 
DADOS DO PROJETO 
fp = 9.5 MPa = 0.95 kN/cm? 
f, = 0,33f =3,135 MPa 
av p 
E ^ = 800 fp = 7600 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
E 
n = 
k = 
K = 
P = 
1 + f / n x f^ 
A, K 
bxd f^xk. 
k = 1 -
A = 
\ = 165,0 MPa 
E t = 210000 MPa 
M M - y v k x k x f 
K_ 
3 
M 
f xkxd 
f-v f . K P np K k, 2 / (K, X Kx) 
0.033 16.5 0,001 0.00005 0.001 0.052 0.983 38.869 
0.066 16.5 0.003 0,00020 0,006 0.100 0.967 20.785 
0,099 16,5 0,007 0,00043 0.012 0.142 0.953 14.763 
0.132 16.5 0,011 0,00072 0,020 0.181 0.940 11.757 
0,165 16,5 0,017 0,00108 0,030 0.216 0.928 9,957 
0.198 16,5 0.023 0,00149 0.041 0.249 0.917 8.759 
0,231 16.5 0.029 0,00195 0,054 0.279 0.907 7,905 
0.264 16.5 0.036 0.00245 0.068 0.307 0.898 7.266 
0.297 16,5 0,044 0,00299 0,083 0.332 0.889 6,771 
0,314 16,5 0,048 0,00327 0,090 0,344 0,885 6,563 
0.314 15,0 0.050 0.00383 0,106 0.366 0.878 6,223 
0.314 13.5 0.053 0.00454 0,125 0.391 0.870 5,883 
0.314 12,0 0,057 0.00548 0,151 0.419 0.860 5.546 
0,314 10,5 0,060 0.00675 0,186 0,452 0.849 5,209 
0.314 9.0 0,064 0.00854 0.236 0.490 0.837 4.875 
0.314 7.5 0.069 0.01120 0.310 0.536 0.821 4.543 
0.314 6.0 0,074 0,01543 0,426 0.591 0.803 4.215 
0.314 4.5 0,081 0.02292 0,633 0.658 0.781 3,893 
0.314 3.0 0.088 0.03881 1,072 0.743 0.752 3.579 
T A B E L A I I D - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
fp = 8.0 MPa; fs = 165 MPa; n = 32,81 
J T 
M 
j d 
DADOS DO PROJETO 
fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf 
L = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 M P a f5 = 165,0 MPa 
E iV = 800 fp = 6400 MPa E„ = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
*tv 
k - 1 k - r K 
d 
s 
DADOS DO PROJETO 
fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf 
L = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 M P a f5 = 165,0 MPa 
E iV = 800 fp = 6400 MPa E„ = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
*tv 
k - 1 k - r K 
í 1 
' * ' 
o * v -
DADOS DO PROJETO 
fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf 
L = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 M P a f5 = 165,0 MPa 
E iV = 800 fp = 6400 MPa E„ = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
*tv 
k - 1 k - r K 
d 
DADOS DO PROJETO 
fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf 
L = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 M P a f5 = 165,0 MPa 
E iV = 800 fp = 6400 MPa E„ = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
*tv 
k - 1 k - r K 
O * 4 -
' b x d " fs x k, * fsxk,x d 
f-v f . K P np k. k. 2 / (K I XK 1 ) 
0.033 16.5 0,001 0,00006 0.002 0.062 0.979 33,157 
0.066 16.5 0,004 0.00023 0.008 0.116 0.961 17,932 
0.099 16.5 0,008 0,00049 0.016 0.164 0.945 12,864 
0.132 16.5 0,013 0.00083 0.027 0,208 0.931 10,335 
0.165 16.5 0,019 0,00124 0.041 0,247 0.918 8.822 
0.198 16.5 0,025 0,00170 0.056 0,283 0.906 7,815 
0.231 16.5 0,033 0,00220 0.072 0,315 0.895 7,099 
0,264 16,5 0,040 0,00275 0,090 0,344 0,885 6,563 
0.264 15.0 0,042 0,00322 0.106 0,366 0,878 6,223 
0.264 13,5 0,045 0,00382 0,125 0,391 0,870 5.883 
0.264 12.0 0,048 0,00461 0,151 0,419 0,860 5,546 
0.264 10.5 0,051 0.00568 0,186 0.452 0.849 5,209 
0,264 9,0 0,054 0.00719 0.236 0.490 0,837 4,875 
0,264 7,5 0,058 0.00943 0.310 0,536 0,821 4,543 
0,264 6,0 0,063 0.01300 0.426 0.591 0,803 4,215 
0,264 4,5 0,068 0.01930 0,633 0.658 0.781 3.893 
0,264 3,0 0,074 0.03268 1,072 0.743 0,752 3.579 
T A B E L A I I E - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
fp = 6,5 MPa; f, = 165 MPa; n = 40,38 
- f -
M 
i f X 
j d 
DADOS DO PROJETO 
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p 
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa 
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
n- E* M = '/2 xk xk x f 
E F bxd2 2 ' ' *v 
Ic- 1 k -
A w A/f 
k d 
k_ 
N 
X 
c £ 
DADOS DO PROJETO 
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p 
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa 
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
n- E* M = '/2 xk xk x f 
E F bxd2 2 ' ' *v 
Ic- 1 k -
A w A/f 
DADOS DO PROJETO 
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p 
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa 
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
n- E* M = '/2 xk xk x f 
E F bxd2 2 ' ' *v 
Ic- 1 k -
A w A/f 
v ' ' r' ' 
?'. ' - ' ' 
'' - K' ' 
DADOS DO PROJETO 
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p 
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa 
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
n- E* M = '/2 xk xk x f 
E F bxd2 2 ' ' *v 
Ic- 1 k -
A w A/f d 
DADOS DO PROJETO 
f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p 
^ = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa í = 165,0 MPa 
E ^ = 800 fp = 5200 MPa E s = 210000 MPa 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
n- E* M = '/2 xk xk x f 
E F bxd2 2 ' ' *v 
Ic- 1 k -
A w A/f 
p bxd / xfc ' fa xktx d 
1. K P np K K 2 / (Kz X Kx) 
0,033 16.5 0,001 0.00007 0,003 0.075 0.975 27.446 
0.066 16.5 0,004 0,00028 0.011 0,139 0.954 15.080 
0,099 16.5 0.009 0,00059 0.024 0.195 0,935 10,967 
0,132 16,5 0.015 0.00098 0.039 0.244 0,919 8.916 
0,165 16,5 0.021 0.00144 0.058 0.288 0.904 7.690 
0,198 16.5 0.029 0.00196 0.079 0.326 0,891 6,875 
0,215 16,5 0,033 0,00224 0,090 0,344 0,885 6,563 
0.215 15.0 0,034 0.00262 0,106 0.366 0,878 6.223 
0,215 13,5 0,036 0.00311 0.125 0.391 0.870 5,883 
0.215 12,0 0,039 0.00375 0,151 0.419 0,860 5.546 
0,215 10,5 0.041 0.00462 0,186 0,452 0,849 5,209 
0.215 9.0 0,044 0.00584 0,236 0,490 0.837 4.875 
0.215 7.5 0,047 0.00766 0,310 0,536 0,821 4.543 
0.215 6.0 0,051 0.01056 0.426 0,591 0.803 4.215 
0.215 4.5 0,055 0.01569 0.633 0.658 0.781 3.893 
0.215 3.0 0.060 0.02655 1,072 0,743 0.752 3.579 
T A B E L A I I F - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
fp = 5.0 MPa; f, = 165 MPa; n = 52.50 
d 
DADOS DO PROJETO 
f = 5.0 MPa = 0.50 kN/cm? 
f . = 0,33 f = 1,65 MPa « P 
E = 800 f = 4000 MPa AV p 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
E. 
165,0 MPa 
E =210000 MPa 
n -
k = 1 
P = 
1 + f / h x f „ 
A K 
b x d f * k . 
M 
f x k xd 
f-v f. K P np K K 2 / (Kz x Kx) 
0,033 16,5 0,002 0,00010 0.005 0,095 0968 21,736 
0,066 16.5 0,005 0,00035 0.018 0,174 0,942 12,231 
0,099 16.5 0,011 0.00072 0.038 0,240 0,920 9,074 
0,132 16.5 0,018 0.00118 0,062 0,296 0,901 7,501 
0,165 16,5 0,025 0,00172 0,090 0,344 0,885 6,563 
0.165 15.0 0,027 0,00201 0,106 0,366 0.878 6,223 
0.165 13.5 0,028 0,00239 0,125 0,391 0,870 5,883 
0.165 12,0 0,030 0,00288 0,151 0,419 0.860 5,546 
0.165 10,5 0,032 0,00355 0,186 0,452 0,849 5,209 
0.165 9,0 0,034 0,00450 0,236 0,490 0,837 4,875 
0.165 7,5 0,036 0,00590 0,310 0,536 0,821 4,543 
0.165 6,0 0,039 0,00812 0,426 0,591 0,803 4,215 
0,165 4.5 0,042 0,01207 0.633 0,658 0,781 3,893 
0,165 3,0 0,046 0.02043 0,072 0,743 0,752 3,579 
T A B E L A I I G - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
fp = 3,5 MPa; f% = 165 MPa; n = 75,00 
jt 
M 
s 
\ 
j d 
DADOS DO PROJETO 
f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm2 p 
f ^ = 0.33 fp = 1.555 MPa fs = 165.0 MPa 
EoV = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
l c - 1 k - 1 -
' 1 ' 3 
k d 
N 
X J 
DADOS DO PROJETO 
f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm2 p 
f ^ = 0.33 fp = 1.555 MPa fs = 165.0 MPa 
EoV = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
l c - 1 k - 1 -
' 1 ' 3 
v» c> ; 
DADOS DO PROJETO 
f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm2 p 
f ^ = 0.33 fp = 1.555 MPa fs = 165.0 MPa 
EoV = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
l c - 1 k - 1 -
' 1 ' 3 
d 
DADOS DO PROJETO 
f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm2 p 
f ^ = 0.33 fp = 1.555 MPa fs = 165.0 MPa 
EoV = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 M P a = 2 1 0 0 0 0 M P a 
EQUAÇÕES DO PROJETO 
l c - 1 k - 1 -
' 1 ' 3 
o * * 1 -
' b x d / x k , f 9 x k r x d 
L, t. K p np k. k, 2 / (Kx x K J 
0,033 16,5 0,002 0.00013 0.010 0.130 0,957 16,030 
0,066 16,5 0.005 0.00046 0.035 0,231 0,928 9.389 
0,083 16,5 0.010 0.00068 0.051 0,273 0,909 8.067 
0,099 16,5 0.014 0.00093 0,070 0,310 0.897 7.188 
0,11616,5 0,018 0,00120 0,090 0,344 0,885 6,563 
0,116 15,0 0,019 0,00141 0,106 0,366 0.878 6.223 
0,116 13,5 0.020 0,00167 0,125 0,391 0.870 5.883 
0,116 12,0 0,021 0,00202 0,151 0,419 0.860 5.546 
0,116 10,5 0.022 0,00249 0.186 0,452 0.849 5.209 
0.116 9.0 0.024 0,00315 0.236 0.490 0.837 4.875 
0,116 7,5 0.025 0,00413 0.310 0.536 0.821 4,543 
0,116 6,0 0.027 0.00569 0.426 0,591 0,803 4,215 
0,116 4,5 0.030 0.00845 0.633 0,658 0,781 3,893 
0,116 3,0 0.032 0.01430 0.072 0,743 0,752 3,579 
T A B E L A I I I A - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
fp = 12.5 MPa; fs = 165 MPa; n = 21.00 
DADOS DO PROJETO 
L = 0.33fp 
E * = 800f p . 
E„ = 210000 MPa 
d ^ 
SITUAÇÃO BALANCEADA s 
p = 0.00430 V 
k,^ = 0.344 ^ J 
/ M 'yls ' 1 
d 
b 
d 
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 
5.0 22.00 29.86 45.57 78.57 157,14 188.57 
7,0 43,12 58.52 89.32 154.00 307,99 369.59 
10,0 88.00 119.43 182.28 314,28 628.56 754.27 
14.0 172.48 234.08 357.27 615.99 1231.98 1478.38 
20.0 351.99 477.71 729.13 1257.12 2514.24 3017.09 
25.0 549.99 746.42 1139.27 1964,25 3928.51 4714.21 
30.0 791.99 1074.84 1640.54 2828.52 5657.05 6788.46 
35.0 1077.98 1462,98 2232.96 3849.94 7699.87 9239.84 
40.0 1407.98 1910.83 2916.52 5028,49 10056.97 12068.37 
45.0 1781.97 2418.39 3691,22 6364.18 12728.36 15274.03 
50.0 2199.96 2985.66 4557.07 7857.01 15714.02 18856.83 
55.0 2661.96 3612.65 5514,05 9506.98 19013.97 22816,76 
60.0 3167.95 4200.36 6562,18 11314,10 22628.10 27153,83 
65.0 3717.94 5045.77 7701,44 13278.35 26566.70 31868,04 
70.0 4311.93 5851.90 8931,85 15399.74 30799.48 36959,38 
75.0 4949.92 6717,74 10253.40 17678.27 35356.55 42427.86 
80.0 5631.91 7643.30 11666.09 20113.95 40227.90 48273.47 
T A B E L A I I I B - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
fp = 11.0 MPa; f5 = 165 MPa; n = 23.86 
DADOS DO PROJETO 
L = 0.33fp 
E ^ = 800fp . 
E. = 210000 MPa < 4 1 
d ^ 
SITUAÇÃO BALANCEADA ^ 
p= 0.00379 V 
Kob = ° - 3 4 4 
/ y \ \ M. / 
d 
b 
d 
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 
5.0 19.36 26.27 40.10 69,14 138.28 165.94 
7.0 37.94 51.50 78,60 135,52 271.04 325,24 
10.0 77.44 105,10 160,41 276,57 553.13 663,76 
14.0 151.78 205,99 314,40 542,07 1084.14 1300,97 
20.0 309.75 420,38 641.63 1106,27 2212.53 2655.04 
25.0 483.99 656,85 1002,55 1728.54 3457.08 4148.50 
30.0 696.95 945,86 1443.68 2489,10 4978.20 5973,84 
35.0 948.62 1287.42 1965,01 3387,94 6775.89 8131.06 
40.0 1239,02 1287.42 2566,54 4425.07 8850.14 10620.16 
45.0 1568,13 2128,18 3248.28 5600.48 11200.95 13441.15 
50,0 1935,97 2627,38 4010,22 6914.17 13828,34 16594.01 
55.0 2342.52 3179,14 4852.36 8366.15 16732,29 20078.75 
60.0 2707.79 3783.43 0774.71 9950,40 19912,01 23805.37 
65.0 3271,79 4440.28 6777.27 11684,95 23369,89 28043.87 
70.0 3794,50 5149.67 7860.03 13551,77 27103,54 32524.25 
75.0 4355,93 5911.61 9022,99 15556,88 31113,76 37336.52 
80.0 4956,08 6726,10 10266.16 17700,27 35400,55 42480.66 
T A B E L A I I I C - MOMENTO RESISTENTE PARA o DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
fp = 9,5 MPa; f5 = 165 MPa; n = 27.63 
DADOS DO PROJETO 
L = 0.33fp 
E * = 800fp . 
E„ = 210000 MPa 
d 
SITUAÇÃO BALANCEADA 
p= 0.00327 \ 
k x , = 0.344 ^ 
MJZIP 
AX/ 'O 
d 
b 
d 
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 
5.0 16,72 22.69 34,63 59,71 119,43 143.31 
7.0 32,77 44.47 67,88 117,04 234,08 280.89 
10,0 66.88 90.76 138.53 238,85 477,71 573.25 
14,0 131.08 177,90 271,53 468.15 936.30 1123,57 
20.0 267.52 363,06 554.14 955.41 1910,83 2292.99 
25.0 417.99 567,28 865,84 1492.83 2985,66 3582.80 
30.0 601.91 816,88 1246,81 2149.68 4299.36 5159,23 
35.0 819.27 1111,86 1697,05 2925,95 5851,90 7022,28 
40.0 1070,06 1452.23 2216,56 3821.65 7643,30 9171.96 
45.0 1354.30 1837.97 2805,33 4836.78 9673.55 11608,26 
50,0 1671,97 2269.10 3463,37 5971.33 11942.66 14331,19 
55,0 2023,09 2745,62 4190,68 7225.31 14450,61 17340,74 
60.0 2407.64 3267,51 4987.25 8598.71 17197.43 20636.91 
65,0 2825,63 3834,79 5853,10 10091.54 20183.09 24219.71 
70,0 3277,06 4447,45 6788,21 11703.80 23407.61 28089.13 
75,0 3761,94 5105,49 7792.58 13435,49 26870.98 32245.17 
80,0 4280.25 5808.91 8866,23 15286,60 30573.20 36687.84 
T A B E L A I I I D - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
fp = 8.0 MPa; f, = 165 MPa; n = 32,81 
DADOS DO PROJETO 
L = 0.331, 
E * = 800 f p . 
E, = 210000 MPa K Í f l 
d _ 
SITUAÇÃO BALANCEADA 
p= 0.00275 V 
1 ^ = 0.344 
MJZ^f 
3 r w > t* 
4 > / all 
^ 4 
r 5 
d 
b 
d 
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 
5.0 14,08 19,11 29.17 50.28 100.57 120.68 
7.0 27.60 37.45 57.16 98.56 197,12 236.54 
10.0 56.32 76.43 116.66 201,14 402.28 482.73 
14.0 110.39 149.81 228.66 394,23 788.47 946,16 
20.0 225.28 305-73 466.64 804.56 1609.12 1930,94 
25.0 351.99 477.71 729.13 1257,12 2514.24 3017.09 
30.0 506,87 687.90 1049.95 1810,26 3620.51 4344,61 
35.0 689.91 936.30 1429.10 2463.96 4927.92 5913,50 
40.0 901,10 1222.93 1866.57 3218,23 6436.46 7723.76 
45.0 1140.46 1547,77 2362.38 4073,07 8146.15 9775.38 
50.0 1407.98 1910.83 2916.52 5028,49 10056.97 12068.37 
55.0 1703.65 2312.10 3528.99 6084.47 12168.94 14602.73 
60.0 2027.49 2751.59 4199.79 7241.02 14482.04 17378,45 
65,0 2379,48 3229,29 4928.92 8498.14 16996.29 20395.54 
70,0 2759.63 3745,22 5716.38 9855.83 19711.67 23654.00 
75,0 3167.95 4299.36 6562.18 11314.10 22628.19 27153.83 
80.0 3604.42 4891.71 7466.30 12872.93 25745.85 30895.02 
T A B E L A I I I E - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
fp = 6.5 MPa; f, = 165 MPa; n = 40.38 
DADOS DO PROJETO 
L = 0.33fp 
E * = 800 f p . 
E, = 210000 MPa K ^ í 
d ^ 
SITUAÇÃO BALANCEADA 
p= 0.00224 V 
k x , = 0.344 ^ 
MJP^T 
I / J/j J M 4 V / d 
d 
b 
d 
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 
5.0 11,44 15.53 23.70 40.86 81,71 98.06 
7.0 22.42 30.43 46.45 80.08 160.16 192.19 
10.0 45.76 62.10 94.79 163,43 326.85 392.22 
14.0 89.69 121.72 185.78 320.31 640.63 768.76 
20.0 183.04 248.41 379.15 653.70 1307.41 1568.89 
25.0 286.00 388,14 592.42 1021.41 2042.82 2451.39 
30.0 411.83 558.92 853.08 1470.83 2941.66 3530.00 
35,0 560.55 760.75 1161.14 2001.97 4003.93 4804,72 
40.0 732,15 993.63 1516.59 2614,81 5229.63 6275.55 
45.0 926,62 1257.56 1919.44 3309.37 6618,75 7942,50 
50.0 1143,98 1552.55 2369.67 4085.65 8171.29 9805.55 
55.0 1384.22 1878.58 2867,31 4943.63 9887.26 11864.71 
60.0 1647.33 2235.67 3412.33 5883.33 11766.66 14119.99 
65.0 1933.33 2623.80 4004,75 6904.74 13809,48 16571.38 
70.0 2242.20 3042.99 4644.75 8007.87 16015.73 19.218.88 
75.0 2573.96 3493.23 5331.77 9192.70 18385.41 22062.49 
80,0 2928.59 3974.52 6066,37 10459,25 20918.51 25102.21 
T A B E L A I I I F - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
fp = 5.0 MPa; fs = 165 MPa; n = 52.50 
DADOS DO PROJETO 
L = 0.33fp 
E * = 800f p . 
E = 210000 MPa < í f l 
SITUAÇÃO BALANCEADA 
p= 0.00172 V 
Kx, = ° - 3 4 4 
/ J / 1 i M r y / 
d 
b 
d 
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 
5.0 8.80 11.94 18,23 31,43 62,86 75,43 
7.0 17.25 23.41 35,73 61,60 123.20 147.84 
10.0 35.20 47.77 72,91 125.71 251.42 301.71 
14.0 68.99 93.63 142,91 246.40 492.79 591.35 
20.0 140.80 191.08 291,65 502,85 1005,70 1206.84 
25.0 220.00 298.57 455,71 785.70 1571,40 1885.68 
30.0 316.79 429.94 626,22 1131.41 2262.82 2715,38 
35.0 431.19 585.19 893,18 1539,97 3079,95 3695,94 
40.0 563.19 164.33 1166.61 2011,39 4022.79 4827.35 
45.0 712.79 967.36 1476.49 2545,67 5091.34 6109.61 
50.0 879.99 1194.27 1822.83 3142.80 6285.61 7542.73 
55.0 1064,78 1445.06 2205.62 3802,79 7605.59 9126.70 
60.0 
65.0 
1267.18 
1487.18 
1719.74 
2018.31 
2624.87 
3080.58 
4525,64 
5311,34 
9051,28 
10622,68 
10861,53 
12747,21 
70.0 1724.77 2340.76 3572.74 6159,90 12319,79 14783,75 
75.0 1979.97 2887,10 4101.36 7071,31 14142,62 16971,14 
80.0 2252.76 3057.32 4666,44 8045.58 16091,16 19309,39 
T A B E L A I I I G - MOMENTO RESISTENTE PARA o DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 
fp = 3.5 MPa; f, = 165 MPa; n = 75.00 
DADOS DO PROJETO 
L = 0.33fp 
^ = 800 fp . 
Er = 210000 MPa 
d , 
SITUAÇÃOBALANCEADA 
p= 0.00121 X 
k , ^ 0.344 ^ 
aJS^ 
I / J / j J M 
" I 
/ 
d 
b 
d 
14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 
5.0 6.16 8.36 12,76 22,00 44.00 52,80 
7.0 12,07 16,39 25,01 43,12 86,24 103,49 
10.0 24,64 33,44 51,04 88,00 176,00 211,20 
14.0 48.29 65.54 100,04 172,48 344,95 413,95 
20.0 98,56 133,76 204.16 351.99 703,99 844,79 
25.0 154,00 209,00 318.99 549,99 1099.98 1319,98 
30.0 221,76 300,95 459.35 791,99 1583.97 1900,77 
35.0 301,83 409,63 625.23 1077,98 2155.96 2587,16 
40.0 394,23 535,03 816.63 1407,98 2815,95 3379,14 
45.0 498,95 677,15 1033,54 1781,97 3563,94 4276,73 
50.0 615,99 835,99 1275,98 2199,96 4399,93 5279,91 
55,0 745.35 1011,54 1543,93 2661,96 5323,91 6388,69 
60.0 887.03 1203,82 1837,41 3167,95 6335,89 7603,07 
65.0 1041.02 1412,82 2156,40 3717.94 7435.88 8923,05 
70.0 1207.34 1638.53 2500,92 4311,93 8623,86 10348,63 
75.0 1385.98 1880.97 2870.95 4949.92 9899,83 11879.80 
80.0 1579,93 2140,12 3266.51 5631,91 11263.81 13516,57 
Tabelas de Flexão 
T A B E L A I V - TABELA DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I 
K„ K. K, K, K, nK' np 
0.033 0.068 0.977 0.073 5.486 0.0024 0.0025 
0.036 0.074 0.975 0.080 5,264 0,0029 0.0030 
0.039 0.080 0.973 0.087 5,068 0.0034 0,0035 
0.042 0.086 0.971 0.094 4,893 0.0039 0,0040 
0.045 0.093 0.969 0.103 4,711 0.0046 0,0048 
0,048 0.099 0.967 0.110 4,571 0,0053 0.0054 
0.051 0.106 0.965 0.119 4,423 0,0061 0.0063 
0,054 0,112 0.963 0.126 4.307 0,0068 0.0071 
0.057 0.119 0.960 0.135 4,183 0,0077 0.0080 
0.060 0.125 0.958 0,143 4,086 0,0086 0.0089 
0.063 0.132 0.956 0.152 3.981 0.0096 0.0100 
0.066 0.138 0.954 0.160 3,898 0.0105 0.0110 
0,069 0.145 0.952 0.170 3,807 0.0117 0.0123 
0.072 0.152 0.949 0.179 3,723 0.0129 0.0136 
0.075 0.158 0.947 0.188 3.655 0.0140 0.0148 
0.078 0.165 0.945 0.198 3.581 0.0154 0.0163 
0.081 0.172 0,943 0,208 3.512 0.0168 0.0179 
0,084 0.179 0.940 0,218 3.447 0.0183 0.0195 
0.087 0.185 0.938 0,227 3.394 0.0197 0.0210 
0.090 0.192 0.936 0.238 3,336 0,0214 0.0228 
0.093 0,199 0,934 0,248 3,281 0.0231 0,0247 
0,096 0,206 0,931 0.259 3,229 0,0249 0.0267 
0.099 0.213 0.929 0,271 3.179 0.0268 0.0288 
0.102 0.220 0.927 0.282 3.132 0.0288 0,0310 
0.105 0.227 0.924 0,294 3.087 0.0308 0.0333 
0.108 0.234 0.922 0.305 3,045 0.0330 0.0357 
0.111 0.241 0.920 0.318 3,004 0.0352 0.0383 
0.114 0.249 0.917 0.332 2,960 0,0379 0.0413 
0.117 0.256 0.915 0,344 2,923 0,0403 0.0440 
0.120 0.263 0.912 0.357 2,887 0,0428 0.0469 
0.123 0.270 0.910 0.370 2,853 0.0454 0.0499 
0.126 0.278 0.907 0.385 2,816 0.0486 0.0535 
0,129 0.285 0.905 0.399 2.785 0.0514 0.0568 
0.132 0.293 0.902 0.414 2,750 0.0548 0.0607 
0.135 0.300 0.900 0.429 2,722 0.0579 0.0643 
0.138 0.308 0.897 0.445 2,690 0.0615 0.0685 
0.141 0.315 0.895 0,460 2,663 0,0648 0.0724 
0.147 
0.323 
0.330 
0.892 
0.890 0,493 
2,634 
2.610 
0.0688 
0.0723 
0.0771 
0.0813 
0.150 0.338 0.887 0.511 2,582 0,0766 0.0863 
0,153 0,346 0.885 0,529 2,556 0,0810 0.0915 
0.156 0.354 0.882 0.548 2,531 0,0855 0.0970 
0.159 0.362 0,879 0.567 2,507 0,0903 0.1027 
0.162 0.370 0.877 0.587 2,483 0,0953 
0.1004 
0.1087 
0.1149 0.165 0.378 0.874 0.608 2.460 
0,0953 
0.1004 
0.1087 
0.1149 
Equações básicas: km = » = "57d 
T A B E L A I V - TABELA DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I 
(CONTINUAÇÃO) 
K K k. k. k, n k, n p 
0.168 0.386 0.871 0.629 2.439 0.1057 0.1213 
0,171 0,394 0,869 0,650 2,417 0,1113 0.1281 
0.174 0.402 0.866 0.672 2.397 0.1170 0.1351 
0.177 0.410 0.863 0.695 2.377 0.1230 0.1425 
0,180 0.418 0,861 0.718 2,358 0.1292 0.1501 
0,183 0.427 0,858 0.745 2.337 0.1365 0.1591 
0,186 0.435 0,855 0,770 2,319 0.1432 0.1675 
0.189 0.444 0.852 0.799 2.299 0.1510 0.1773 
0,192 0,452 0,849 0.825 2,282 0.1583 0.1864 
0.195 0,461 0,846 0,855 2,264 0,1668 0,1971 
0.198 0,469 0,844 0.883 2,248 0.1747 0.2071 
0,201 0,478 0,841 0,916 2,231 0,1840 0.2189 
0.204 0.487 0.838 0.949 2.214 0.1936 0,2312 
0,207 0,496 0,835 0.984 2.198 0.2037 0.2441 
0.210 0.505 0.832 1.020 2.182 0.2142 0.2576 
0.213 0.514 0,829 1,058 2,167 0.2252 0.2718 
0.216 0.523 0.826 1.096 2.152 0,2367 0.2867 
0,219 0.533 0,822 1,141 2,136 0.2501 0.3042 
0,222 0.542 0,819 1,183 2,122 0.2628 0.3207 
0.225 0.551 0.816 1,227 2.109 0.2760 0.3381 
0.228 0.561 0.813 1,278 2.094 0.2914 0.3585 
0.231 0.570 0,810 1.326 2.081 0.3060 0.3778 
0,237 0.590 0.803 1.439 2.054 0.3410 0.4245 
0,240 0.600 0.800 1.500 2,041 0.3600 0.4500 
0.243 0.610 0.797 1,564 2.029 0.3801 0.4771 
0,246 0,620 0,793 1,632 2,016 0.4013 0,5058 
0,249 0.631 0.790 1.710 2,003 0.4260 0,5395 
0.252 0.641 0.786 1.786 1.992 0.4500 0.5723 
0,255 0.651 0.783 1.865 1.981 0.4754 0.6072 
0,258 0,662 0,779 1.959 1.969 0.5052 0.6483 
0.261 0.673 0,776 2.058 1.957 0.5372 0,6926 
0,264 0.684 0,772 2.165 1,946 0.5715 0.7403 
0.267 0.695 0.768 2.279 1.935 0.6084 0,7918 
0,270 0.706 0,765 2.401 1,925 0.6482 0.8477 
0,273 0,718 0,761 2,546 1.914 0.6953 0,9140 
0.276 0.729 0.757 2.690 1.904 0.7423 0.9805 
0.279 0.741 0,753 2.861 1.893 0.7982 1.0600 
0,282 0,753 0,749 3,049 1,883 0.8597 1,1478 
0.285 0.765 0.745 3,255 1.873 0.9276 1.2452 
0,288 0.778 0.741 3,505 1.863 1.0097 1.3633 
0.291 0.790 0.737 3.762 1.854 1.0947 1.4860 
0.294 0.803 0.732 4,076 1,844 1,1985 1.6366 
0.297 0.816 0.728 4.435 1.835 1.3172 1.8094 
0.300 0.829 0,724 4.848 1.826 1.4542 2.0095 
M n o© M A 
Equações básicas: k = — r — - r 2 n x k = - — - — — p = — — 
M Y f^x b x d 2 f x b x d 2 bxd 
T A B E L A V A - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 1 5 
m K k. 100 p Y. Y- m k. k. 100 p Y. Y-, 
1 0.938 0,688 46.88 1.76 1.76 51 0.227 0.924 0.22 22.04 3.09 
2 0.882 0.706 22.06 2.53 1,79 52 0.224 0.925 0,22 22.41 3.11 
3 0.833 0,722 13.89 3.16 1,82 53 0.221 0.926 0.21 22.11 3.13 
4 0.789 0.737 9.87 3.71 1,85 54 0,217 0.928 0.20 23.14 3.15 
5 0.750 0.750 7.50 4.22 1.89 55 0.214 0.929 0.19 23.51 3.17 
6 0.714 0,762 5.95 4.70 1,92 56 0.211 0.930 0.19 23.88 3.19 
7 0.682 0.773 4.87 5.15 1,95 57 0,208 0.931 0.18 24.25 3.21 
8 0,652 0,783 4.08 5.60 1.98 58 0.205 0.932 0.18 24.62 3.23 
9 0.625 0,792 3.47 6.03 2,01 59 0.203 0,932 0.17 24.99 3.25 
10 0.600 0,800 3.00 6.45 2,04 60 0.200 0.933 0.17 25.35 3.27 
11 0.577 0.808 2.62 6.87 2.07 61 0.197 0.934 0.16 25.72 3.29 
12 0.556 0.815 2.31 7.28 2.10 62 0.195 0.935 0.16 26.09 3,31 
13 0.536 0,821 2.06 7.69 2,13 63 0.192 0.936 0.15 26.46 3.33 
14 0,517 0,828 1.85 8.09 2,16 64 0.190 0.937 0.15 26.83 3.35 
15 0.500 0.833 1.67 8.49 2.19 65 0.188 0.938 0.14 27.19 3,37 
16 0.484 0,839 1,51 8.88 2,22 66 0.185 0.938 0.14 27.56 3,39 
17 0,469 0,844 1.38 9.27 2,25 67 0.183 0.939 0.14 27.93 3.41 
18 0.455 0,848 1.26 9.66 2,28 68 0.181 0,940 0,13 28.30 3,43 
19 0,441 0,853 1.16 10.05 2,31 69 0.179 0.940 0.13 28.67 3.45 
20 0.429 0,857 1,07 10.43 2.33 70 0.176 0,941 0.13 29.03 3.47 
21 0.417 0.861 0.99 10.82 2.36 71 0.174 0.942 0.12 29.40 3.49 
22 0.405 0.865 0.92 11.20 2.39 72 0.172 0.943 0.12 29.77 3.51 
23 0,395 0.868 0.86 11.58 2.42 73 0.170 0.943 0.12 30.14 3.53 
24 0,385 0.872 0.80 11.96 2.44 74 0.169 0.944 0.11 30.50 3.55 
25 0,375 0,875 0.75 12.34 2.47 75 0.167 0.944 0.11 30.87 3.56 
26 0,366 0,878 0.70 12.72 2,50 76 0.165 0.945 0.11 31.24 3.58 
27 0,357 0,881 0,66 13.10 2,52 77 0,163 0,946 0.11 31.60 3.60 
28 0.349 0,884 0.62 13.48 2,55 78 0,161 0.946 0.10 31.97 3.62 
29 0.341 0,886 0.59 13.85 2,57 79 0,160 0.947 0.10 32.34 3.64 
30 0.333 0.889 0.56 14.23 2.60 80 0,158 0.947 0.10 32.71 3.66 
31 0.326 0.891 0.53 14.61 2,62 81 0.156 0,948 0.10 33.07 3.67 
32 0,319 0,894 0.50 14.98 2,65 82 0.155 0.948 0.09 33.44 3.69 
33 0.313 0,896 0.47 15.35 2,67 83 0.153 0.949 0.09 33.81 3,71 
34 0,306 0.898 0.45 15,73 2,70 84 0,152 0.949 0.09 34.17 3.73 
35 0,300 0,900 0.43 16.10 2,72 85 0.150 0.950 0.09 34.54 3.75 
36 0,294 0,902 0.41 16.47 2,75 86 0.149 0.950 0.09 34.91 3.76 
37 0,288 0,904 0.39 16.85 2.77 87 0.147 0.951 0.08 35.27 3.78 
38 0,283 0,906 0.37 17.22 2,79 88 0.146 0.951 0.08 35.64 3.80 
39 0,278 0,907 0.36 17.59 2,82 89 0.144 0.952 0.08 36.01 3.82 
40 0,273 0,909 0.34 17.96 2,84 90 0.143 0.952 0.08 36.37 3.83 
41 0.268 0,911 0.33 18.33 2,86 91 0.1420.953 0.08 36.74 3.85 
42 0,263 0.912 0.31 18.71 2,89 92 0.140 0.953 0.08 37.11 3.87 
43 0,259 0.914 0.30 19.08 2,91 93 0.139 0.954 0.07 37.47 3.89 
44 0,254 0.915 0.29 19.45 2,93 94 0.138 0.954 0.07 37.84 3.90 
45 0,250 0.917 0.28 19.82 2,95 95 0.136 0.955 0.07 38.21 3.92 
46 0,246 0.918 0,27 20.19 2,98 96 0.135 0.955 0.07 38.57 3,94 
47 0.242 0,919 0,26 20.56 3,00 97 0.134 0,955 0.07 38.94 3.95 
48 0.238 0,921 0.25 20.93 3,02 98 0.133 0.956 0.07 39.31 3.97 
49 0,234 0,922 0.24 21.30 3,04 99 0,132 0.956 0.07 39.67 3.99 
50 0,231 0.923 0.23 21.67 3.06 100 0.130 0.957 0.07 40.04 4.00 
T A B E L A V B - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 2 5 
m K K 100 p Y. Yriv 
1 0.962 0.679 48,08 1.75 1.75 
2 0.926 0.691 23,15 2,50 1.77 
3 0.893 0.702 14.88 3,09 1.79 
4 0.862 0.713 10.78 3,61 1.80 
5 0.833 0.722 8.33 4.08 1.82 
6 0.806 0.731 6,72 4,51 1,84 
7 0.781 0.740 5.58 4.92 1.86 
8 0.758 0.747 4,73 5,32 1.88 
9 0.735 0.755 4.08 5.69 1.90 
10 0.714 0.762 3,57 6.06 1,92 
11 0.694 0.769 3,16 6,42 1,94 
12 0.676 0.775 2,82 6.77 1.95 
13 0.658 0.781 2,53 7.11 1.97 
14 0.641 0.786 2,29 7.45 1.99 
15 0.625 0.792 2,08 7.79 2.01 
16 0.610 0.797 1,91 8.12 2.03 
17 0.595 0.802 1,75 8.44 2.05 
18 0.581 0.806 1.61 8,76 2.07 
19 0.568 0.811 1,50 9,08 2.08 
20 0.556 0.815 1,39 9,40 2,10 
21 0.543 0.819 1,29 9,71 2,12 
22 0.532 0.823 1.21 10.03 2.14 
23 0.521 0.826 1,13 10.34 2.16 
24 0.510 0.830 1,06 10.65 2.17 
25 0.500 0.833 1,00 10.95 2.19 
26 0.490 0.837 0,94 11,26 2,21 
27 0.481 0.840 0,89 11,57 2.23 
28 0.472 0.843 0,84 11,87 2,24 
29 0.463 0.846 0,80 12,17 2.26 
30 0.455 0.848 0,76 12,47 2.28 
31 0.446 0.851 0,72 12,77 2.29 
32 0.439 0.854 0,69 13.07 2.31 
33 0.431 0.856 0,65 13,37 2.33 
34 0.424 0.859 0,62 13,67 2.34 
35 0.417 0.861 0.60 13,97 2,36 
36 0.410 0.863 0,57 14,26 2,38 
37 0.403 0.866 0.54 14,56 2.39 
38 0.397 0.868 0,52 14,86 2.41 
39 0.391 0.870 0,50 15,15 2.43 
40 0.385 0.872 0.48 15.45 2,44 
41 0.379 0.874 0,46 15,74 2,46 
42 0.373 0.876 0.44 16.03 2.47 
43 0.368 0.877 0,43 16,33 2,49 
44 0.362 0.879 0.41 16,62 2,51 
45 0.357 0.881 0.40 16,91 2,52 
46 0.352 0.883 0.38 17,21 2,54 
47 0.347 0.884 0,37 17.50 2,55 
48 0.342 0.886 0.36 17.79 2,57 
49 0.338 0,887 0,34 18,08 2,58 
50 0.333 0.889 0.33 18,37 2,60 
m K K 100 p Y. Y* 
51 0.329 0.890 0,32 18.66 2.61 
52 0.325 0.892 0.31 18.95 2.63 
53 0.321 0.893 0.30 19,24 2.64 
54 0.316 0.895 0,29 19.53 2.66 
55 0.313 0.896 0.28 19.82 2.67 
56 0.309 0.897 0,28 20,11 2.69 
57 0.305 0.898 0.27 20,40 2.70 
58 0.301 0.900 0.26 20.69 2.72 
59 0.298 0.901 0.25 20.98 2,73 
60 0.294 0.902 0,25 21,27 2.75 
61 0.291 0.903 0,24 21,56 2.76 
62 0.287 0.904 0,23 21,85 2.77 
63 0.284 0.905 0,23 22,13 2.79 
64 0.281 0.906 0,22 22,42 2.80 
65 0.278 0.907 0.21 22,71 2,82 
66 0.275 0.908 0,21 23,00 2,83 
67 0.272 0.909 0,20 23,29 2,84 
68 0.269 0.910 0,20 23,57 2,86 
69 0.266 0,911 0,19 23.86 2,87 
70 0.263 0.912 0.19 24.15 2.89 
71 0.260 0.913 0,18 24,44 2,90 
72 0,258 0.914 0,18 24,72 2.91 
73 0.255 0.915 0.17 25,01 2.93 
74 0.253 0.916 0,17 25,30 2.94 
75 0.250 0.917 0,17 25,58 2,95 
76 0.248 0.917 0,16 25,87 2,97 
77 0.245 0.918 0,16 26.16 2.98 
78 0.243 
n oa(\ 
0.919 0,16 
A < C 
26.44 2.99 
O A 1 79 
80 
U . t H U 
0.238 
0.920 
0.921 
0,15 
0.15 
c O , / O 
27,02 
3.01 
3.02 
81 0.236 0.921 0,15 27,30 3,03 
82 0.234 0.922 0,14 27,59 3,05 
83 0,231 0.923 0,14 27,88 3.06 
84 0.229 0.924 0,14 28.16 3.07 
85 0.227 "0.924 0,13 28,45 3,09 
86 0.225 0.925 0,13 28.73 3,10 
87 0.223 0.926 0,13 29,02 3.11 
88 0.221 0.926 0,13 29,31 3,12 
89 0.219 0.927 0.12 29,59 3,14 
90 0.217 0.928 0.12 29.88 3,15 
91 0.216 0.928 0,12 30,16 3,16 
92 0.214 0.929 0.12 30,45 3.17 
93 0.212 0.929 0,11 30,73 3,19 
94 0.210 0.930 0,11 31,02 3,20 
95 0.208 0.931 0,11 31,31 3.21 
96 0.207 0.931 0.11 31,59 3,22 
97 0.205 0.932 0.11 31.88 3,24 
98 0.203 0.932 0.10 32.16 3,25 
99 0.202 0.933 0,10 32,45 3,26 
100 0.200 0.933 0,10 32,73 3,27 
T A B E L A V C - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 3 5 
m K k. 100 p Y. 'U m k. k, 100 p Y. 'U 
1 0.972 0.676 48,61 1.74 1.74 51 0,407 0.864 0,40 17,03 2.38 
2 0.946 0.685 23.65 2,49 1,76 52 0,402 0.866 0,39 17,28 2.40 
3 0.921 0.693 15.35 3,07 1.77 53 0,398 0.867 0,38 17,53 2.41 
4 0.897 0.701 11,22 3.57 1,78 54 0,393 0.869 0,36 17.78 2.42 
5 0.875 0.708 8.75 4.02 1,80 55 0.389 0.870 0,35 18,03 2.43 
6 0.854 0.715 7.11 4.43 1.81 56 0.385 0.872 0,34 18.28 2.44 
7 0.833 0.722 5.95 4.82 1,82 57 0.380 0.873 0,33 18,53 2.45 
8 0.814 0.729 5.09 5.19 1.84 58 0,376 0.875 0.32 18,77 2.47 
9 0.795 0.735 4.42 5.55 1,85 59 0.372 0.876 0.32 19.02 2.48 
10 0.778 0.741 3.89 5.89 1,86 60 0.368 0.877 0,31 19,27 2.49 
11 0.761 0,746 3.46 6.22 1,88 61 0,365 0.878 0,30 19,52 2,50 
12 0.745 0.752 3,10 6.55 1,89 62 0,361 0.880 0,29 19,76 2,51 
13 0.729 0,757 2.80 6.86 1,90 63 0.357 0.881 0.28 20,01 2.52 
14 0.714 0.762 2,55 7.17 1,92 64 0,354 0.882 0,28 20.26 2.53 
15 0.700 0,767 2,33 7.48 1,93 65 0,350 0.883 0,27 20,51 2.54 
16 0.686 0.771 2,14 7.78 1.94 66 0.347 0.884 0.26 20,75 2.55 
17 0.673 0.776 1,98 8.07 1.96 67 0.343 0.886 0.26 21.00 2.57 
18 0.660 0.780 1,83 8.36 1.97 
— 
68 0.340 0.887 0.25 21.25 2.58 
19 0.648 0.784 1.71 8.65 1.98 — 69 0.337 0.888 0,24 21,49 2.59 
20 0.636 0.788 1,59 8.93 2.00 70 0.333 0.889 0,24 21,74 2.60 
21 0.625 0,792 1,49 9,21 2,01 71 0.330 0.890 0,23 21,98 2,61 
22 0.614 0.795 1,40 9.49 2.02 72 0.327 0.891 0,23 22,23 2,62 
23 0.603 0,799 1.31 9.77 2.04 73 0.324 0.892 0.22 22.47 2,63 
24 0.593 0.802 1,24 10.04 2.05 74 0.321 0.893 0.22 22.72 2.64 
25 0.583 0.806 1.17 10.32 2.06 75 0.318 0.894 0.21 22.96 2.65 
26 0.574 0.809 1.10 10.59 2,08 76 0.315 0.895 0,21 23.21 2.66 
27 0.565 0.812 1,05 10.85 2.09 
— 
77 0.313 0.896 0.20 23.45 2.67 
28 0.556 0.815 0.99 11.12 2.10 — 78 0.310 0.897 0.20 
0.19 
23.70 2.68 
29 0.547 0.818 0,94 11.39 2.11 79 0.307 0.898 
0.20 
0.19 23.94 2.69 
30 0.538 0.821 0.90 11.65 2.13 80 0.304 0.899 0,19 24,19 2.70 
31 0.530 0,823 0,86 11.92 2.14 81 0,302 0.899 0,19 24.43 2.71 
32 0.522 0,826 0.82 12.18 2.15 82 0.299 0.900 0,18 24,68 2.73 
33 0.515 0,828 0.78 12.44 2.17 83 0,297 0,901 0,18 24,92 2.74 
34 0.507 0.831 0,75 12.70 2.18 84 0,294 0.902 0,18 25,17 2.75 
35 0.500 0.833 0,71 12.96 2.19 85 0.292 0.903 0.17 25.41 2.76 
36 0.493 0.836 0.68 13.22 2.20 86 0.289 0.904 0.17 25.65 2.77 
37 0.486 0.838 0.66 13.48 2.22 87 0.287 0.904 0,16 25.90 2.78 
38 0.479 0.840 0,63 13.74 2.23 88 0.285 0.905 0,16 26.14 2.79 
39 0.473 0.842 0.61 13.99 2.24 
— 
89 0.282 0.906 0.16 26.38 2.80 
40 0.467 0,844 0.58 14,25 2.25 — 90 0.280 0.907 0,16 26,63 2.81 
41 0.461 0,846 0,56 14,50 2.27 91 0,278 0,907 0,15 26.87 2.82 
42 0.455 0,848 0,54 14.76 2.28 92 0,276 0.908 0,15 27,11 2.83 
43 0.449 0,850 0,52 15,01 2.29 93 0.273 0.909 0,15 27.36 2.84 
44 0.443 0.852 0,50 15,27 2.30 94 0,271 0.910 0,14 27.60 2.85 
45 0.438 0.854 0,49 15.52 2.31 95 0.269 0.910 0,14 27,84 2.86 
46 0.432 0.856 0,47 15.77 2,33 96 0.267 0.911 0,14 28,09 2.87 
47 0.427 0.858 0,45 16,02 2,34 97 0.265 0.912 0,14 28,33 2.88 
48 0.422 0.859 0.44 16,28 2,35 98 0.263 0.912 0,13 28,57 2.89 
49 0.417 0.861 0,43 16,53 2,36 99 0.261 0.913 0,13 28,82 2.90 
50 0.412 0.863 0.41 16.78 2.37 100 0.259 0.914 0,13 29.06 2.91 
T A B E L A V D - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 4 5 
m K K 100p Y. Y-r m k. k, 100 p Y. Y* 
1 0.978 0,674 48.91 1.74 1.74 51 0.469 0,844 0.46 16.06 2.25 
2 0.957 0.681 23.94 2.48 1.75 52 0.464 0.845 0,45 16.28 2,26 
3 0.938 0.688 15.63 3.05 1.76 53 0.459 0.847 0.43 16.51 2,27 
4 0.918 0.694 11.48 3.54 1.77 54 0.455 0.848 0.42 16.73 2,28 
5 0.900 0.700 9.00 3.98 1.78 55 0.450 0.850 0.41 16.96 2.29 
6 0.882 0.706 7.35 4.39 1.79 56 0,446 0.851 0.40 17,18 2.30 
7 0.865 0.712 6.18 4.77 1.80 57 0.441 0,853 0.39 17.41 2.31 
8 0.849 0.717 5.31 5.13 1.81 58 0,437 0,854 0.38 17,63 2,31 
9 0.833 0.722 4.63 5.47 1.82 59 0.433 0,856 0.37 17.85 2.32 
10 0.818 0.727 4.09 5.80 1.83 60 0.429 0,857 0.36 18.07 2,33 
11 0.804 0.732 3.65 6.12 1.84 61 0.425 0,858 0.35 18.30 2.34 
12 0.789 0.737 3.296.42 1.85 62 0.421 0.860 0.34 18,52 2.35 
13 0.776 0.741 2.98 6.72 1.86 63 0.417 0.861 0.33 18.74 2.36 
14 0.763 0.746 2.72 7.02 1.88 64 0.413 0.862 0.32 18.96 2.37 
15 0.750 0,750 2.50 7.30 1.89 65 0.409 0.864 0.31 19.18 2.38 
16 0.738 0.754 2.31 7.58 1.90 66 0.405 0,865 0.31 19,40 2.39 
17 0.726 0.758 2.13 7.86 1.91 67 0.402 0.866 0.30 19,62 2.40 
18 0.714 0.762 1.98 8.13 1.92 68 0.398 0.867 0.29 19.84 2.41 
19 0.703 0.766 1.85 8.40 1.93 69 0.395 0,868 0.29 20.06 2.42 
20 0.692 0.769 1.73 8.67 1.94 70 0.391 0,870 0.28 20.28 2.42 
21 0.682 0.773 1.62 8.93 1.95 71 0.388 0,871 0.27 20.50 2.43 
22 0.672 0.776 1.53 9.19 1,96 72 0.385 0.872 0.27 20.72 2,44 
23 0.662 0.779 1,44 9.44 1.97 73 0.381 0,873 0.26 20.94 2.45 
24 0.652 0.783 1,36 9.70 1.98 74 0.378 0,874 0,26 21.16 2.46 
25 0.643 0.786 1.29 9.95 1.99 75 0.375 0,875 0.25 21.38 2.47 
26 0.634 0.789 1.22 10.20 2.00 76 0.372 0,876 0.24 21.60 2.48 
27 0.625 0.792 1.16 10.45 2.01 77 0.369 0,877 0.24 21.82 2.49 
28 0.616 0.795 1.10 10.69 2.02 78 0.366 0,878 0.23 22.04 2.50 
29 0.608 0,797 1.05 10.94 2.03 79 0.363 0,879 0.23 22,26 2.50 
30 0.600 0,800 1,00 11,18 2.04 80 0.360 0,880 0.23 22.47 2.51 
31 0.592 0.803 0.96 11.42 2.05 81 0.357 0,881 0.22 22.69 2.52 
32 0.584 0.805 0.91 11.66 2.06 82 0.354 0.882 0.22 22.91 2.53 
33 0.577 0.808 0.87 11.90 2.07 83 0.352 0.883 0.21 23.13 2.54 
34 0.570 0.810 0.84 12.14 2.08 84 0.349 0.884 0.21 23.34 2.55 
35 0.563 0.813 0.80 12.38 2.09 85 0.346 0.885 0.20 23.56 2.56 
36 0.556 0,815 0.77 12.61 2.10 86 0,344 0,885 0,20 23.78 2.56 
37 0,549 0,817 0.74 12.85 2.11 87 0.341 0,886 0,20 24.00 2.57 
38 0.542 0,819 0.71 13.08 2.12 88 0,338 0,887 0.19 24.21 2.58 
39 0.536 0.821 0.69 13.31 2.13 89 0.336 0.888 0.19 24.43 2.59 
40 0.529 0.824 0.66 13.55 2.14 90 0,333 0.889 0.19 24.65 2.60 
41 0.523 0.826 0.64 13.78 2.15 91 0.331 0,890 0.18 24.86 2.61 
42 0.517 0.828 0.62 14.01 2.16 92 0.328 0,891 0.18 25.08 2.61 
43 0.511 0.830 0,59 14.24 2.17 93 0.326 0,891 0.18 25.30 2.62 
44 0.506 0.831 0.57 14.47 2,18 94 0.324 0,892 0.17 25.51 2.63 
45 0.500 0.833 0.56 14.70 2.19 95 0.321 0,893 0.17 25.73 2.64 
46 0.495 0.835 0.54 14.93 2.20 96 0.319 0,894 0.17 25.95 2.65 
47 0.489 0.837 0.52 15.15 2.21 97 0,317 0,894 0.16 26.16 2.66 
48 0.484 0.839 0.50 15.38 2.22 98 0,315 0.895 0.16 26.38 2,66 
49 0.479 0.840 0.49 15.61 2.23 99 0.313 0.896 0.16 26.59 2.67 
50 0.474 0.842 0.47 15.83 2.24 100 0.310 0.897 0.16 26.81 2.68 
T A B E L A V E - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I N = 5 5 
m K k. 100 p Y. 'U m K K 100 p Y. •u 
1 0.982 0.673 49.11 1,74 1.74 51 0.519 0.827 0.51 15.42 2.16 
2 0.965 0.678 24.12 2.47 1.75 52 0,514 0.829 0,49 15.63 2.17 
3 0.948 0.684 15,80 3.04 1.76 53 0,509 0.830 0,48 15.83 2.17 
4 0.932 0.689 11.65 3.53 1.76 54 0,505 0.832 0,47 16.04 2.18 
5 0.917 0.694 9.17 3.96 1.77 55 0,500 0.833 0,45 16.25 2.19 
6 0,902 0.699 7.51 4.36 1.78 56 0,495 0.835 0.44 16.45 2.20 
7 0.887 0.704 6,34 4.73 1.79 
— 
57 0.491 
0.487 
0.836 0,43 16.66 2.21 
8 0.873 0.709 5.46 5.08 1.80 — 58 
0.491 
0.487 0.838 0.42 16.87 2.21 
9 0.859 0.714 4.77 5.42 1.81 59 0,482 0.839 0.41 17.07 2.22 
10 0.846 0.718 4,23 5.74 1.81 60 0.478 0.841 0,40 17.28 2.23 
11 0.833 0.722 3.79 6,05 1.82 61 0,474 0.842 0,39 17.48 2.24 
12 0.821 0.726 3.42 6,34 1.83 62 0.470 0.843 0.38 17.69 2.25 
13 0.809 0.730 3.11 6,63 1.84 63 0.466 0.845 0,37 17.89 2.25 
14 0.797 0.734 2.85 6.92 1.85 64 0,462 0.846 0.36 18.09 2.26 
15 0.786 0.738 2,62 7,19 1.86 65 0,458 0.847 0,35 18.30 2.27 
16 0.775 0,742 2.42 7.46 1.87 66 0,455 0.848 0.34 18,50 2.28 
17 0.764 0.745 2.25 7.73 1.87 67 0.451 0,850 0.34 18.70 2.28 
18 0.753 0.749 2,09 7.99 1,88 68 0.447 0.851 0.33 18.91 2,29 
19 0.743 0,752 1.96 8,24 1.89 69 0.444 0.852 0,32 19.11 2.30 
20 0.733 0.756 1.83 8.50 1.90 70 0.440 0.853 0.31 19.31 2.31 
21 0.724 0.759 1.72 8,75 1,91 71 0,437 0.854 0.31 19.51 2.32 
?? 0.714 0.762 1.62 8,99 1.92 72 0,433 0.856 0,30 19.71 2.32 
23 0.705 0.765 1.53 9.23 1.93 73 0.430 0,857 0,29 19.91 2.33 
24 0.696 0.768 1.45 9.48 1.93 74 0.426 0.858 0,29 20.12 2.34 
25 0,688 0.771 1.38 9.71 1.94 75 0.423 0.859 0.28 20.32 2.35 
26 0.679 0.774 1.31 9.95 1.95 76 0.420 0.860 0.28 20.52 2.35 
21 0.671 0.776 1.24 10.18 1.96 77 0.417 0.861 0.27 20.72 2.36 
28 0.663 0,779 1.18 10.41 1.97 78 0,414 0.862 0.27 20.92 2.37 
29 0.655 0.782 1.13 10.64 1.98 79 0.410 0.863 0,26 21.12 2.38 
30 0.647 0,784 1.08 10.87 1.99 80 0,407 0.864 0.25 21.32 2.38 
31 0.640 0,787 1.03 11.10 1.99 81 0,404 0.865 0.25 21.52 2.39 
32 0.632 0.789 0.99 11.33 2.00 82 0.401 0.866 0.24 21.72 2.40 
33 0.625 0.792 0.95 11.55 2,01 83 0.399 0,867 0,24 21.92 2.41 
34 0.618 0,794 0.91 11.77 2.02 84 0.396 0.868 0.24 22.12 2.41 
35 0.611 0,796 0.87 11.99 2.03 85 0,393 0.869 0.23 22.31 2.42 
36 0.604 0.799 0.84 12.21 2.04 86 0,390 0.870 0.23 22.51 2.43 
37 0.598 0.801 0.81 12.43 2.04 87 0,387 0.871 0.22 22.71 2.43 
38 0.591 0,803 0.78 12.65 2.05 88 0.385 0.872 0.22 22.91 2.44 
30 0.S8S 0,805 0.75 12,07 2,05 80 0,382 0.873 0,21 23.11 2.45 
40 0.579 0,807 0.72 13.09 2.07 90 0,379 0.874 0,21 23.31 2.46 
41 0.573 0,809 0,70 13.30 2.08 
2.09 
91 0,377 0.874 0,21 23.51 2.46 
42 0.567 0.811 0.68 13.52 
2.08 
2.09 92 0,374 0.875 0.20 23.70 2.47 
43 0.561 0,813 0.65 13.73 2.09 93 0.372 0.876 0.20 23.90 2.48 
44 0.556 0,815 0.63 13.94 2.10 94 0,369 0.877 0.20 24,10 2.49 
45 0.550 0,817 0.61 14.16 2.11 95 0.367 0.878 0.19 24.30 2.49 
46 0.545 0,818 0.59 14.37 2.12 96 0,364 0.879 0.19 24.49 2.50 
47 0.539 0,820 0.57 14.58 2.13 97 0.362 0.879 0.19 24.69 2.51 
48 0.534 0.822 0.56 14,79 2,13 98 0.359 0.880 0.18 24,89 2.51 
49 0.529 0,824 0.54 15.00 2.14 99 0,357 0.881 0.18 25.09 2.52 
50 0.524 0,825 0,52 15.21 2.15 100 0.355 0,882 0.18 25,28 2.53 
Márcio Roberto Silva Corrêa 
Engenheiro Civil (1979), pela Universidade 
Federal de Juiz de Fora. Mestre (1983), Doutor 
(1991), pela Escola de Engenharia de Sáo 
Carlos, Universidade de Sáo Paulo, onde 
atualmente é Professor Doutor Fez Pós-
Doutorado (2001) na University ol Newcastle, 
Australia Leciona disciplinas em nível de 
graduação e pós-graduação nas áreas de 
resistência dos materiais, atvenana estrutural o 
análise de estruturas de concreto Desenvolve 
pesquisa nas referidas áreas, com dezenas de 
trabalhos publicados em revistas, congressos e 
outros eventos denfficos no Brasil e no exterior. 
Tem experiência profissional em projeto de 
estruturas de concreto e alvenaria Ministrou 
vários cursos em universidades o associações 
de engenheiros no Brasil Proferiu palestras em 
universidades no Brasil o no exterior. Foi membro 
da comissão executiva da nova NB-1. tendo 
participado diretamente na redação de alguns de 
seus capítulos. 
O presente texto compreende uma atual e 
ampla cobertura dos vários aspectos do 
projeto estrutural e reflete o estado da arte 
do projeto e prática de alvenaria no Brasil. 
Uma vez que os princípios do projeto da 
alvenaria são universais, grande parte do 
material apresentado é igualmente aplicável 
à construção em alvenaria em outros países. 
O livro é relevante não apenas para alunos, 
como também para pesquisadores e engenheiros 
projetistas, e vem se juntar ao relativamente 
reduzido número de textos amplos sobre projeto 
de alvenaria disponíveis na literatura mundial.