Atividades III Unidade

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COLÉGIO ESTADUAL MANOEL DE JESUS
Disciplina: Matemática
Professor: William Silva
Semana : à 07/07/2021
Turma(s): 3°CM/3°DM/3°DV -
Conjuntos Numéricos Canônicos; Ordem Neles & intevalos de
Números
Introdução: Vamos a partir de agora interrelacionar a "geometria com os números dos conjuntos
numéricos canônicos" até R , no intuito de estabelecer uma associação de comparação entre todos
eles para assim responder questões de ordem ,isto é , dizer quem é maior ; menor ; ou igual a quem
, ou seja dizemos de modo formal que a ordem em todos os conjuntos canônicos até R satisfaz a
propriedade tricotômica, ou seja , dados dois números quaiquer em quaisquer conjuntos dos conjunto
numéricos canônicos apresentados até R , nos preocuparemos com a pergunta?
quem é maior que ? ; quem é menor que? ; ou quem é igual a ?, para estabelecer a
comparação entre estes elementos de quaisquer dois números nestes conjuntos
numéricos canônicos!!!
Figura 1: Reta real completa com números positivos em preto e negativos em vermelho.
Usaremos os simbolos ( > ) → maior que ou ( ≥ ) → maior ou igual & ( < ) → menor que ou
( ≤ ) → menor ou igual , ou ainda o simbolo de igual ( = ) → é igual a , para estabelecer a
comparação de ordem entre quaisquer números nos conjuntos numéricos canônicos.
Exemplo 1.
• Vamos comparar −2 com 0 na reta . Obviamente nota-se que −2 está a esquerda de zero,
logo podemos dizer em termos de ordem que −2 < 0 ou de modo equivalente −2 ≤ 0 . Dito
de outro modo , isto é invertendo a desigualdade e trocando os números de posição , também
poderemos dizer que 0 > −2 ou 0 ≥ −2 , pois neste caso apesar de não ser igual , mas abarca
duas possibilidade com uma delas sendo a verdadeira , e isto será útil quando falarmos em
intervalos de números reais.
• O Pi que é representado pela letra grega π e vale 3,1415⋯ ( vai até o infinito , pois nunca para
de ter casas decimais não periódicas pois π = 3,1415⋯ é um número irracional portanto não
pode ser colocado em forma de fração. Comparando π = 3,1415... com 5/2 que é um número
racional, ou ainda interpretando-o num modelo como dinheiro ; cinco reais dividido por dois
,isto é 2,50 , teremos que π > 5
2
ou também π ≥ 5
2
pois π = 3,1415⋯ está a direita de 5
2
; de
modo equivalente , no entanto mudando os números de lugares na desigualdade , poderemos
dizer que 52 < π ou de outtro modo , 52 ≤ π, isto significa agora que 52 está a esquerda de
π = 3,1415.
• Por fim consideremos dois pontos identicos na reta ,por exemplo o ponto representado pelo
número
−3
2
comparado consigo mesmo , só poderemos ter
−3
2
= −3
2
, e isto é caracterizado por
uma das propriedade da ordem , que estabeleceremos na definição de ordem maisd adiante
. Assim , poderemos dizer que se
−3
2
< −3
2
e
−3
2
> −3
2
, na verdade os pontos na reta são
coincidentes, ou seja
−3
2
= −3
2
. Este caso comporta com um sanduíche, pois apertando pelos
dois lados a desigualdade ; não tem jeito , se ele for menor que sí mesmo e maior que si mesmo
simultâneamente ou menor ou igual a sí mesmo e maior ou iguala sí mesmoele ,
−3
2
, neste
caso específico , mas o caso poderia ser geral para qualquer número em qualquer conjunto
numérico , teremos que
−3
2
= −3
2
. Assim , dados dois quaisquer elementos(númerosos)essas
três possibilidades de comparação em termos de ordem entre eles, seja o conjunto numérico
qualquer , entre os apresentados em N ∪ Z ∪Q ∪ I isto é , esta união serpa justamente R ou o
conjunto dos números reais.
Assim , dados dois números quisquer destes conjuntos numéricos canônicos já apresentados an-
tes(outrora) , uma pergunta bastante evidente entre eles ou entre numéros envolvendo quaisquer
um deles é "quem é o maior dos dois números" ? . Digamos que um deles seja designado por
um símbolo qualquer ,idem par o outrO. Já sabemos das atividades passadas que isto é feito com
símbolos que na maioria das vezes são letras do alfabeto , pois sem simbologia a matemática era feita
com palavras e sinais não intuitivos o que dava muito trabalho em enxugar a linguage;, como idade
média( ou idade das trevas) .
Observação 0.1. A mesma idéia é se trocarmos o simbolo de maior ( > ) por maior ou igual(
≥ ); menor ( < ) por ( ≤ ) menor ou igual nas duas primeiras comparações de ordem dos casos
abstratos acima
Vamos representá-los asbtratamente por simbolos do alfabeto grego , e usaremos vários deles diferente
, de modo e desmistificar a problemática da simbologia matemática, pois como disseramos antes ,
os simbolos são nossos amigos para representar números , coisas ou idéias abtratas. Segue abaixo
os novos caracteres ou simbolos introduzidos , isto é , o alfabeto grego e o alfabeto hebraico , com
cada letra descita pelo seu nome, no entanto note que as letras maiuscúlas do alfabeto grego estão
em cor preta , já as minúsculas estão em cor azul. Poderemos ainda usar caracteres inusitados
como letras gregas ou hebraicas e assim desmistificar essa barreira de linguagem que se apresenta
no ensino da matemática ,pois a maiora das pessoas compreêndem essas idéias como algo muito
abstrato ou dosado como "muito difícil , apenas por não entenderem a linguagem como estes temas
são apresentados. Nesta atividade iremos dispor de mais caracteres e símbolos , pois já sabemos das
atividadades passada que símbolos são nossos aliádos no simbolismo representar idéias, como por
exemplo os chamados hieróglifos egípcios. Neste contexto iremos apresentar o alfabeto grego , e
o hebraico , para dispor de mais simbolismo e assim aprender não só a simbologia como formação
matemática e e também do ponto de vista linguistico conhecer outros alfabetos que não seja o nosso
alfabeto latin. Comecaremoos aprentando o alfabeto grego , e demostraremos a idéia de ordem entre
números com esta simbologia , no entando note que quaisquer outros simbolos poderiam ser usados
2
a priori; inclusive letras , emotions ou quaiser simbolos inventados por voçêe assim nada se perderia
no sentido de se fazer matemática com tais simbolismos representaticos de idéias.
Figura 2: Letras do alfabeto Grego & Hebraico e seus caracteres ou símbolos
Usando agora os simbolos gregos α ( chamado alpha ) & β ( chamado beta ) vamos estabelecer a
noção de ordem e como isto nos leva de modo natural a noção de intervalo. Note na figura abaixo
a geometria dos números envolvida ao munir os números numa reta. Assim de modo genérico , não
explicitanto quais sejam dois números quaiquer , porem sejam eles designados simbolicamente por α
e β ,logo as três únicas possibilidade cabíveis de comparação entre eles dois são são :
∎ α é maior que β ⇐⇒ α > β ; neste caso o valor de α estará à esquerda de β na reta. De modo
análogo poderia ter...
∎ α menor que β ⇐⇒ α < β ; neste caso o valor de α estará à direita de β na reta. De modo
análogo poderia ter...
∎ α é igual a β ⇐⇒ α = β ; neste caso o valor de α coincidirá com o valor de β na reta. De modo
análogo poderia ter...
Definição 0.2. (Relação de Ordem ) Uma relação O ⊆X ×X, isto é de pares de elementos
de X , sendo X um conjunto não vazio. Diz-se que X está munido ou dotado de uma relação
de ordem parcial , quando para quaisquer três elementos de X munido de O com , digams
α ,β, , γ vale os seguistes axiomas:
• Reflexividade: Para todo x ∈ X, tem-se xOx ; isto é (x,x) ∈ O , aplicado aos conjuntos
numéricos canônicos isto quer dizer que dois elementos iguais ou uma par de elementos
iguais numa relaçao de ordem sempre estão relacionados.
• Anti - Simetria: Para todo x, y ∈ X, se xOy e yOx ⇒ x = y ; isto é se (x, y) ∈ O
e (y, x) ∈ O ⇒ x = y,aplicado aos conjuntos numéricos canônicos isto quer dizer que dois
elementos quaisquer ou uma par de elementos elementos onde vale a relação de ordem nos
dois sentidos , então na verdade estes elementos são iguais.
• (3) Transitividade: Para todo x, y, z ∈ X, se xOy e yOz ⇒ xOz ; isto é se (x, y) ∈ O
e (y, z) ∈ O ⇒ (x, z) ∈ O, aplicado aos conjuntos numéricos canônicos isto quer dizer
que dados dois pares de números com três elementos quaisquer quaisquer onde o ultimoelemento do segundo par e igual ao primeiro do segundo par , então o primeiro do último
par esta relacionado com o último doi segundo par , tipo se 1 < 2 , par (1,2) & 2<3 par
(2,3) então 2<3 , ou par (2,3).
Uma relação binária O ⊆X ×X , X ≠ ∅ é chamado uma relação de ordem parcial em X
se e somente se O é reflexiva ,anti-simétrica e transitiva ,isto é:
3
Tendo em vista os novos caracteres apresentados , vamos a idéia de completamento dos con-
juntos numéricos na reta , vendo como podemos completar a reta de modo a ter o conjunto
dos números reais introduzindo uma geometria dos números ,e assim aprendendo a comparar
dois números quaisuer entre os conjuntos canônicos apresentados como vimos anteriormente
nas atividades anteriores , isto é , N∪Z∪Q∪I = R , portanto , "todos os números dos conjuntos
anteriores de N U Z U Q U I "desemborcam de modo natural no "conjuntos dos números reais
no sentido que R como conjunto contém todos os conjuntos anteriores. Nosso objetivo é com-
parar dois quaisquer elementos em R , no entanto , vamos trazer esse senso de completeza da
reta que pode não ser internalizado em uma apresentação que apenas contemporize apenas R e
não o mecanismo de R e os outros conjuntos numéricos canônicos ; não se atendo que ele é
a união dos outros conjuntos canônicos apresentados ; em outras palavras , esta imagem abaixo
é o objetivo de completeza que queremos vamos alcançar e como isto implica diretamente no
entendimento de toda a matemática de funções a aplicações com modelos , mostrando que
precisamos desse completamente de modo a ter uma descrição mais fidedigna da realidade.
Conjunto após conjunto na escala de completamento até obter R, quais as entidades numéricas
envolvidas e como podemos apresenrtar intervalos neste processo de complertamento da reta
em R, isto é , R não tem buraços. DE MODO chique , dizemos que R é completo no sentido
de não haver furos na reta , quando dispomos conjunto após conjunto todos eles em uma reta
, que só será completa , ou seja sem buraços , quando estivermos em N U Z U Q U I , isto é a
união de todos eles , ou R o conjunto dos números reais que como disseramos é união de todos
anteriores. Portanto nosso objetivo crucial é passo a passo trazer a idéia de tera completeza da
reta , como apresentar este completamento dos conjuntos numéricos a a disparidade de sair do
discreto para o denso , e quando unimos todos eles , temos um denso e completo , fato este que
é uma junção de interpretações via a geometria para dar a idéia intuitiva do que é ser discreto
e do que é ser denso e mais forte ainda , ser denso e completo como é o conjuno dos números
reais.
Figura 3: Representação analítica dos conjuntos numéricos numa reta e a relação discreto × denso ×
denso e completo e o diagrama sagital de inclusão de uns nos outros.
Seja a palavra está contido , está dentro , é parte de ou é subconjunto de , vamor denotar esta
idéia pelo símbolo ⊂ ( que significa está contido, e é uma relação de inclusão entre conjuntos
como explicitado acima ) , note que segundo o diagrama acima aprensentado nas imagens
,tem-se:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
No entando note cuidadosamente que I ou o conjunto dos números irracionais , isto é , aqueles
que não podem ser colocados em forma de fração não apresentam elementos nenhum em comum
com N , Z , Q . Dizemos anteriormente que N é o menor inifinito que conhecemos e é possível
provar que os infinitos de N , Z e Q todos tem o mesmo tamanho , no sentido potência, no
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entanto o implemento de I bagunça a história toda , pois seu infinito é que faz com que R; que
é a junção ou união dos elementos de Q com I tenha mais elementos que os três primeiros ,
isto é N , Z , Q.
Em outras palavras :
R = Q ∪ I
R é denso é completo e por isso é o o conjunto padrão onde fazemos a matemática no ensino
médio e fundamental , com exceção dos complexos , que é estudado muito depois já no final
do ensino médio nos moldes atuais. Portanto uma mesma função tipo f(x) = 2x poderia ser
definida em cada uma deles , mas no ensino médio isto não é frizado com uma certa prudência,
portanto ao se trabalhar com outros conjuntos , temos infinitos furos ou buraços na reta real
, ou a reta em preto no diagrama acima. Assim em R completamos todos os pontos da reta
, fato este que não é possível nos conjuntos anteriores , todavía sempre é possivel aproxima
infinitamente até o infinito qualquer número real por uma racional.
Questões Avaliativas da Atividade
01. Dada a figura abaixo associada a semi-reta orientada a direita com números , responda :
(i) Qual o número no trajeto retilíneo, que descreve a igreja , o casébre e o casarão?
(ii) Qual o intervalo de números onde estes imóveis estão localizados em linha reta na ordem do
menor imóvel para o maior , de modo que o limitante inferior do intervalo seja o primeirto
imóvel , e o limitante superior seja o último imóvel.
(iii) Estabeleça a função que associa a posição numérica ao imóvel citando os pares ordenados
desta função; também se possível de ser feito estabeleça função inversa ,dos imóveis para
a posição numérica que ocupam expresssando o resultado também como pares ordenados.
(iv) Se algum imóvel estivesse situado entre o casébre e a igreja , a qual intervalo ele teria que
pertencer ? Existe outra forma de expressar este intervalo? Se existe mais de um , cite
todos eles um por um.
(v) Se algum imóvel estivesse situado entre a igreja e o casarão , a qual intervalo necessaria-
mente esse imóvel pertenceria ? Se existe mais de uma , cite todoss eles um por um.
(vi) Qual o intervalo da casébre ao casarão excluindo o casébre e o casarão?
(vii) Qual o intervalo do casébre ao casarão excluindo o casébre e o casarão? E incluindo o
casébre e excluindo ? Idem para excluindo o casébre e incluindo o casarão ?
(vii) Dê a interpretação nos itens de (iv) à (vii) em todos os conjuntos numéricos canônicos
para os quais estes imóveis estariam ou não nos intervalos citados analisando cuidado-
samente essa semi-reta positiva N; em Z , em Q , em I e em R , isto é ; em todos os
conjunto numéricos canônicos como elementos ou do conjunto , tendo o(s) intervalo(s)
com referência no sentido de completeza do conjunto nos trechos citados onde os imóvéis
em linha reta estão.
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(vii) Qual dos conjunto canônicos que não consegue ter nenhum imóvel representado entre os
apresentados pelos pontos dados pelo casébre , igreja e casarão ? Explique em detalhes o
por quê isto acontece!
02. A imagem abaixo se refere a modelagem de um lancamento oblíqueo por funções numéricas
matemáticas , onde no eixo das abcisssas ou eixo x representamos o(s) tempo(s) do mo-
vimento em uma unidade de medida , já no eixo das ordenadas ou eixo y representamos
as alturas neste caso com o crachá h(t) ( ou y = h(t), isto é o valor da altura é função
dos valores do tempo) . Sabendo que o intervalo do inicio ao fim do movimento durou
Figura 4: Lancamento oblíqueo de uma moto causado pela gravidade da terra.
• Qual o intervalo de números reais , neste caso aplicado a variável para esta função
, no sentido de unidade de medida , que modela os tempos desta função do inicio ao
fim do movimento?
• Qual o intervalo de números reais que modela o movimento até a altura máxima?
• Analisando o movimento ,o intervalo de subida e de descida e repetido no movimento?
Justifique cuidadosamente sua resposta , e caso verdadeira , explique o que isso tem
haver com o uso do intervalo de números reais.
• Chamando INtempo o "dito"intervalo apenas com números naturais , dê os seus ele-
mentos um a um , analogamento para INalturas dê também um a um os seus elementos.
• Considerando os números naturais como partida , coloque todos os tempos em ordem
considerando a unidade de medida segundo, abreviado por s, analogamente , coloque
todas as alturas em ordem usando a unidade de medida mêtros.
• Será que dar o intervalo dito por IN poderá ser feito para os numeros racionais , e os
irracionais? Justifique cuidadosamente suas respostas .
03. O conjunto N é dado por N = 0,1,2,3,4,5,6,}. Tome a função x2, o que é a mesma coisa
EM TERMOS DE operação matemática que x.x ou x vezes x.
(a) Determine as associações como no exemplo acima , para todos os naturais de 0 até 6. Faca
o mesmo para x3 , isto é x multiplicado por x multiplicado por x.
(b) Repita o exercício anterior considerando agora os números de o à 6 em variações de 0,1
em 0,1 , isto é , de 1/10 até chegar á 6. Como exemplo , de 0 até 1 tomando de o,1
em o,1 , temos 0,1<0,2<0,3<0,4<0,5<0,6<0,7<0,8<0,9<1. Note que do ponto de vista
de números racionais este refinanamento poderia ser feito até o infinito e considerando
números irracionais mais complicado ainda ( densidadade).
04. Escolha quatro pessoas da sua familia , e represente os elementos pelo nome delas . (1)
Monte uma função de apertos de mão entre elas . (2) Quantos apertos de maõs distintos,
poderão ser formados , isto é , quantas funções distintas poderão ser formadas?
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Paradoxos , Conjuntos Numéricos Canônicos , Funções &
Sequências e o Finito × Infinito
Introdução Histótica : discutir um pouco mais sobre os infinitos ligados aos conuntos nu-
méricos ,e como essa concepção evoluiu para um entendimento mais consistente do infinito. Na
história antiga os paradoxos de Zenão, atribuídos ao filósofo pré-socrático( antes de Socrates)
Zenão de Eleia, são argumentos utilizados para provar a inconsistência dos conceitos de multi-
plicidade, divisibilidade e movimento. será que isso faz sentido ? Como analisar o infinitos nas
duas situações ? .
Figura 5: Zenão de Eleia e seus paradoxos.
Através de um método dialético(discursar e debater) que antecipou Sócrates, Zenão procurava,
partindo das premissas de seus oponentes, reduzi-las ao absurdo. Com isso, ele sustentava o
ponto de fé dos eleáticos e de seu mestre Parmênides, que ia contra as idéias pitagóricas. Como
em outros pré-socráticos, não possuímos na atualidade nenhuma obra completa de Zenão, sendo
as fontes principais para os seus paradoxos as citações na obra de Aristóteles e do comentador
aristotélico Simplício. Aristóteles foi quem escreveu na Física dele dado o período que Zenão
viveu enunciou quatro argumentos contra o movimento, conhecidos como , paradoxo de Aquiles
e a tartaruga,paradoxo da flecha voando e paradoxo do estádio.
Figura 6: Paradoxos do Movimento de Zenão.
Imagine que voçê é um atleta e deseja correr de sua casa ao seu Colégio Estadual Manoel de
Jesus , digamos que essa distância hipoteticamente seja de 60 metros. |A lógica é que para
chegar no final do percursoo( isto é chegar no colégio) , voçê terá primeiro que passar no ponto
que corresponde a 1/2 (metade do percurso, isto é 30 mêtros), depois no próximo ponto que
corresponde a 2/3 do percurso( isto é 40 metros) , depois 3/4 do percurso( isto é 45 metros),
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para assim chegar a 4/5 do percurso ( isto é 48 metros) e depois 5/6 do percurso( isto é 50 me-
tros) e depois 30/31 do percurso, ⋯ e também ao ponto correspondente a 199/200 do percurso
e depois ao ponto 5647/5648 do percurso (que numericamente corresponderia a 59,9893798
metros ), tendendo assim a ser um número infinito de pontos antes que voçê que aqui tipifica
o corredor chegue ao final, ou seja chegue ao Colégio.
.
Como o infinito é uma abstração matemática que significa algo que não tem limite, o voçê que
no paradoxo de zenão ipifica o atleta jamais conseguiria chegar ao final do percurso (60 m),
pois teria que percorrer infinitos pontos para chegar a um final. Se voçê chegasse ao fim depois
de percorrer o infinito, significaria que este infinito tem um fim; como isto não é possível, gera
assim o paradoxo. Isto se deve também ao fato de conceber o infinito potencial e o infinito
atual , isto é o infinito em permanente crescimento e o infinito pronto e acabado.
"O problema por trás da Dicotomia(duas situações confletantes) , que é o mesmo que o do
Aquiles, parece repousar na intuição de que o corredor demora um tempo finito mínimo para
percorrer cada intervalo espacial sucessivo. Como há infinitos desses intervalos, o tempo de
transcurso seria infinito. Sabemos, porém, que essa intuição é errónea: o tempo de percurso
por cada intervalo é proporcional ao comprimento do intervalo (supondo velocidade constante).
Esse ponto foi apontado por Aristóteles (Física VI, 233a25), mas em outro trecho ele se con-
fundiu em relação à presença de infinitos intervalos finitos de tempo (Física VIII, 263a15). Da
mesma maneira que os intervalos espaciais somam 1 na série convergente, os intervalos tempo-
rais também o fazem. O corredor acaba completando o percurso!"
A mesma estrutura acontece no paradoxo de Aquiles a a tartaruga contado sob a forma de uma
corrida entre Aquiles e uma tartaruga. Aquiles, herói grego, e a tartaruga decidem apostar uma
corrida. Como a velocidade de Aquiles é maior que a da tartaruga, a tartaruga recebe uma
vantagem, começando a corrida um trecho na frente da linha de largada de Aquiles. Porém
Aquiles nunca sobrepassa à tartaruga, pois quando ele chegar à posição inicial A da tarta-
ruga, esta encontra-se mais a frente, numa outra posição B. Quando Aquiles chegar a B, a
tartaruga não está mais lá, pois avançou para uma nova posição C e assim sucessivamente, ad
infinito .Em termos matemáticos, seria dizer que o limite, com o espaço entre a tartaruga e
Aquiles tendendo a 0, do espaço de Aquiles, é a tartaruga. Ou seja, ele virtualmente alcança
a tartaruga, mas nessa linha de raciocínio, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca
alcançará a tartaruga nem, portanto, poderá ultrapassá-la. Esse paradoxo vale-se fortemente
do conceito de referencial. Dada uma corrida somente de Aquiles, sem estar contra ninguém,
o seu movimento é ilimitado. Ao se colocar, porém, a tartaruga, cria-se um referencial para o
movimento de Aquiles, que é o que causa o paradoxo. De fato, o movimento dele é indepen-
dente do movimento da tartaruga; se adotamos a tartaruga como um padrão para determinar
o movimento dele, criamos uma situação artificial em que Aquiles é regido pelo espaço da tar-
taruga. É uma visão do problema que pode remeter à mecânica quântica e ao princípio da
Incerteza formulado por Werner Heisenberg em 1927. Esse princípio rege que, quão maior a
certeza da localização de uma partícula, menor a certeza de seu momento, e isso é implicado
pela existência de um observador no sistema físico. Analogamente, o paradoxo de Aquiles e da
tartaruga tem sua interpretação mudada conforme a existência ou não da última, gerando o
denominado Paradoxo quântico de Zenão, que em determinadas condições relacionadas à medi-
ção, Aquiles nunca alcançaria a tartaruga. As incoerências do paradoxo a o se afirmar que, por
tal argumento explícito acima, Aquiles nunca alcançará a tartaruga, Zenão desconsidera qual-
quer reflexão sobre o que é o tempo. A conclusão de que a tartaruga sempre estará à frente se
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sustenta sobre o argumento de infinitos deslocamentos simultâneos, de Aquiles e da tartaruga,
mas que representam sempre um décimo em relação ao deslocamento anterior. Analogamente,
o tempo transcorrido para cada deslocamento irá ser de um décimo do tempo do deslocamento
anterior. Logo, o tempo transcorrido é uma progressão geométrica de razão inferior a "um",
o que significa que somando-se os infinitos intervalos de tempo dessa progressão, haverá um
valor limite ao qual o somatório converge. Encontra-se, então, uma incoerência no paradoxo,
porque ele define que a tartaruga nunca será alcançada, mas a análise temporal demonstra que
isto acontecerá apenas neste intervalo de tempo fixo.
Supondo agora uma extensão da mecânica quântica (ainda em discussão na comunidade cien-
tífica) na qual o tempo pode ser caracterizado por unidades mínimas indivisíveis, o paradoxo
perde sua lógica à medida que os intervalos de tempo se aproximam da unidade fundamental,
na qual o valor absoluto da velocidade de Aquiles é superior à da tartaruga, e consequentemente
haverá a ultrapassagem, tornando Aquiles o vencedor da corrida.
Finito versus Infinito
A solução clássica para esse paradoxo envolvea utilização do conceito de limite e convergência
de séries numéricas. O paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos interva-
los de tempo é infinita, de tal forma que seria necessário passar um tempo infinito para Aquiles
alcançar a tartaruga. No entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo for-
mam uma progressão geométrica e a sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles
encontra a tartaruga. Outra solução seria : esse é um raciocínio infinitesimal, ,portanto envolve
nos intervalos em que cada objeto move-se infinitamente por distâncias que vão reduzindo-se
infinitamente a cada etapa, o que só seria possível se as dimensões de cada objeto pudessem
ser abstraídas, como se fossem pontos materiais, o que não ocorre, no mundo físico, pois as leis
da mecânica clássica (de Newton) não se aplicam em espaços que tendem ao comprimento de
Planck ( pai da mecânica quãntica , que estuda particulas aindamenores que o átomo e mesmo
assim cabem num intervalo.
Questões Avaliativas da Atividade
01. ( Modelo de sequência série truncada com números figurados e aplicação a
soma de números impares) O objetivo deste modelo e atividade é levar o observador
a intuiir que a soma de números impares sempre é uma quadrado perfeito, isto é uma
potência de um número natural.
O simbolo de exponte ou logaritmo vai significar pra gente elevado , assim 22 = 2x2 = 4 (
se lê 22 como 2 elevado ao quadrado). Assim :
♣ 1= 12 ( tem apenas o primeiro número impar na soma, por isso a soma dará 12 = 1 )
♣ 1+3=22 = 4 Ô⇒ ( têm dois números impares em ordem na soma , por isso a soma
dará 22 = 4 )
♣ 1+3+5=32 = 9 Ô⇒ ( têm três números impares em ordem na soma , por isso a soma
dará 32 = 9 )
♣ 1+3+5+7=42 = 16 Ô⇒ ( têm quatro números impares em ordem na soma , por isso
a soma dará 42 = 16 )
♣ 1+3+5+7+9=52 = 25 Ô⇒ ( têm cinco números impares em ordem na soma , por isso
a soma dará 52 = 25 )
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Figura 7: Modelo de sequência série de somas truncada ou até mesmo infinita.
♣ 1+3+5+7+9+11=62 = 36 Ô⇒ ( têm seis números impares em ordem na soma , por
isso a soma dará 62 = 36 )
♣ 1+3+5+7+9+11+13=72 = 49 Ô⇒ ( têm sete números impar na soma , por isso a
soma dará 72 = 49 )
♣ ⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
De modo geral , o observador é levado a concluir que , se há ”n” números impares em ordem
na soma , isto é a soma tem ”n” números impares em ordem , isto é 1+3+5+7+9+ ...+n
, sua soma dará n2 ( poderia ser qualquer outro símbolo), sendo o ”n” representando a
quantidade de números impares em ordem , do primeiro até o último , que são parcelas
desta soma truncada , porém poderia ser infinita e diferentemente a situação do paradoxo
iria divergir , isto é ser infinita quanto mais parcelas fossem somadas!, porém no caso
truncado Pode-se calcular a soma de todos os impares para um n qualquer de impares!
(a) Represente cada soma das listatas acima ordenando os númerosdo maior para o menor
, e dê para cada uma delas um intevalo fechado onde3 os seus termos estejam situados.
(b) Determine a soma dos 100.000 cem mil primeiros números impares
02. A função progressão aritmética(P.A) a(n) = 2.n ( dois vezes n ) para n número
natural ou equivalentemente an = 2n omitindo o ponto que denota a operação de
multiplicar. Determine:
(a) Todos os relacioanados pelo connunto X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(b) A diferença entren cinco dos consecutivos de uma relacionado e o relacionado.
03. O conjunto dos números naturais é uma P.A ( progresão aritmética de razão 1 ,
infinita , dado pela função s(n) = n + 1. No entanto quando estudamos funções que
só toma valores nos números naturais , a notação Do crachá da função é mudada
para sn ( notação etiquetada, cada etiqueta é um número natural , pois o domínio
é N) , assim para ficar de acordo com a notação , seja a P.A sn = n + 1 , mostre
ludicamente que tomando zero como número natuaralo , a P.A sn = n+1 , gera todos
os natuais, , isto é , todos são sucessores de 0, tomando a P.A infinitas vezes , como por
exemplo s(0) =?, s(?) =?? , s(??) =???, . ( Afirmação: A função progessão arimética
sn = s(n) = n + 1 pod ser visto como um sistema dinâmico cuja órbita completa
coincide com os número naturais , que assim o geram tomando nos numeros naturais
pela função sucessor e a operação de composição infinita de funções , começando por
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0 ou pelo 1 como partida. Pois é opcional colocar ou não o 0 como número natural.
Se comecarmos do 0, admitimos como axioma que o zero é natural , analogamente
para o 1!!! ).
04. Ternos pitagóricos são números uma tripla de números tais que o o primeiro vezes
ele mesmo É IGUAL ao segunso vezes ele mesmo , adiocionado ao terceiro vezes ele
mesmo . Esta relação surge naturalmente como típido do que é em essência o teorema
de pitágoras, entretanto , só tomando termos com números naturais. Como exemplo
temos ( 5, 4, 3 ) é uma terna pitagória de números naturais , pois :
Figura 8: Exemplificação do teorema de Pitágoras & ternps pitagóricos
Encontre pelo menos mais quatro pares de ternos pitagóricos , como apresentado na
exemplificação:
05. Conta-nos a história da matemática que Johann Carl Frederich Gauss ( 1777dC-
1855dC ) determinou a soma de todos os números naturais de 1 até 100 com um
raciocínio sofisticado para a epóca.Primeiro ele somou todos em ordem crescente ,após
isto , fez novamente em ordem decrescente ,tendo , concluido assim que a soma daria
5050.
1 + 2 + 3 +⋯98 + 99 + 100
100 + 98 + 99 +⋯3 + 2 + 1
Figura 9: : Gauss o princípe dos matemáticos como é considerado pela comunidade matemática
internacional.
Como gênio que era Gauss , aos 10 anos de idade deu imediatamente a resposta ao
professor encontrando a resposta 5050, isto é, ele notou que as parcelas contadas duas
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vezes davam sempre 101 quando somadas de modo inteligentemente para resolução da
problemática envolvida , isto é 1+100 = 99+2 = 98+3 = ⋯, e um número de 100 parcelas
iguais a 101, porém duplicada. Assim Gauss deu a resposta como (100.101) ÷ 2 que
dera 5050. Baseado na explicação , determine:
(a) A soma de todos os número naturais de 1 até 300.
(b) A soma de todos os naturais de 1 até 500.
(c) A soma de todos os natuais de 1 até 1000.
Observação 0.3. Gauss é chamado o "príncipe dos matemáticos"por ter dado contri-
buições imporantissimas a matemática. A profundidade dos seus trabalhos se espalha em
quase todas as áreas da matemática e até hoje influencia problemas em aberto , que já era
sabido por ele , como a hipótese de Rieemann, o maior problemas em aberto na história
da matemática e talvez indecidível segundo Godel. Gauss também era astrônomo e físico.
Até os dias de hoje , muitas das idéias de Gauus estão presentes em matemática , tendo
vários teoremas importantissimos em sua homenagem. Gauss foi orientador de Rieemann,
o homem que apresentou a teoria de geometria que deu o modelo para a relatividade de
Einstein.
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