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Função Exponencial e 
Logarítmica
Docente: Bruna Neves de Andrade
Vitória da Conquista
Período: 2021.1
Seção 1.2
Introdução
 As funções exponencial e logarítmica são funções muito importantes,
pois explicam muitos acontecimentos naturais, sendo assim
ferramentas imprescindíveis para físicos, matemáticos, químicos,
biólogos e também para engenheiros;
 A função exponencial 𝒚 = 𝒆𝒙 aparece na descrição de vários
fenômenos naturais e evolutivos;
 É o que se passa, por exemplo, na capitalização de juros (Economia),
no crescimento de uma população (Biologia), na desintegração
radioativa (Química), na propagação de uma doença (Medicina), entre
outros;
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Introdução
 Nesta seção aprenderemos diversas aplicações dessas ferramentas
matemáticas;
 Também iremos aprender:
• as condições de existência;
• as principais propriedades
• resolver questões.
 Chama-se função exponencial a função f de R em 𝑹+
∗ apresentada pela
forma característica, em que:
• 𝑎 é um número real positivo e diferente de um;
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Função Exponencial
 Definição 𝒇: 𝑹 → 𝑹+
∗ , 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 ou 𝐲 = 𝒂𝒙 é exponencial se 𝒂 > 𝟎 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏.
 As restrições 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 dadas da definição são necessárias, pois:
 Para 𝒂 = 𝟎 e x negativo, não existiria 𝑎𝑥 (não teríamos uma função
definida em R);
 Para a< 𝟎 e 𝐱 =
𝟏
𝟐
, por exemplo, não haveria 𝑎𝑥 (não teríamos uma função
em R);
 Para 𝒂 = 𝟏 e x qualquer número real, 𝑎𝑥 = 1 (função constante).
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Relembrando Propriedades de Potenciação
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Função Exponencial
 A função 𝑔(𝑥) = 𝑘. 𝒂𝒙 , onde k é uma constante, é do tipo exponencial.
 Aqui devem ser asseguradas as propriedades para quaisquer expoentes k e x
pertencentes aos reais:
1) 𝑎𝑘 . 𝑎𝑥 = 𝑎𝑘+𝑥
2) 𝑎1 = 𝑎
3) 𝑎0 = 1
 O valor da base da minha função vai variar apenas de duas formas:
• a > 𝟏 e minha função é crescente
• 0 < 𝒂 < 𝟏 e minha função é descrescente 6
Representações Gráficas
 Podemos analisar, pela definição já apresentada de uma função
exponencial, alguns apontamentos para funções cuja forma seja 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 .
 Se a base a é diferente de um e maior que zero (𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑎 > 1) a imagem
desta função é sempre positiva 𝐈𝐦 𝐟 = 𝑹+
∗
 Para 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 teremos as seguintes construções geométricas:
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Observações Importantes
 O gráfico de 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 sempre passa pela coordenada (0, 1);
 A função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 nunca se anula (seu gráfico não toca o eixo x);
 Nos dois gráficos representados pela figura, observamos dois tipos de
comportamentos: uma função crescente e outra decrescente.
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A função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 com a > 1 tem 
valores que crescem de forma cada vez 
mais intensa, ou acelerada ( se a > 1 a 
função é crescente);
A função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 com 0 < a < 1 
tem valores que decrescem de 
forma cada vez mais branda, ou 
desacelerada ( se 0 < a < 1 a 
função é decrescente);
Exemplificando
 Esboce o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 3𝑥.
Podemos atribuir valores inteiros para x, por exemplo, de –2 a 2, e encontrar o
valor de y correspondente, como na tabela:
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Exercício
 Esboce o gráfico da função 𝑦 = 3−𝑥 ou 𝑦 =
𝟏
𝟑
𝒙
.
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Função Exponencial com base ℮
 Ao longo da história, muitos fenômenos naturais puderam ser
descritos por uma função matemática de base irracional e valor
aproximado 2,718, sendo algumas do tipo exponencial;
 Este valor tem infinitas casas decimais, assim como o 𝜋 , e é
simbolizado pela letra 𝑒, em homenagem ao matemático Euler;
 Deste modo, a função exponencial de base e é denotada como 𝒚 =
𝒆𝒙 , pode ser aproximada por 𝑦 = 2,718 algumas vezes representada
por 𝑦 = exp(𝑥).
 A representação do número 2,718281828459... pela letra e surgiu,
pela primeira vez, no século XVIII, com Euler. Esta designação
conserva-se como homenagem a este matemático, embora o número
também seja chamado Número de Neper.
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Função Logarítmica
Introdução
 Os logaritmos são extremamente úteis para resolver problemas que
ocorrem em situações diversas, como na economia, previsão de
enchentes, crescimento populacional, abalos sísmicos, entre várias
outras;
 A função logarítmica permite cálculo de amplitude, nível de energia
liberada por um abalo sísmico, temos como exemplo a Escala Richter.
 O seu uso é de fundamental importância para encontrar a solução de
um problema;
 Então, é importante compreender a função logarítmica e entender
suas propriedades, pois são elas que serão usadas na solução de
diversas situações. 13
Função Logarítmica
 Toda função que obedece à lei de formação 𝑅+
∗ → 𝑅 , definida por 𝒇(𝒙) =
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙, satisfazendo as condições de existências (𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1) chamamos
de função logarítmica;
 Na definição apresentada destacamos o domínio da função f que
simbolicamente representamos por 𝐷(𝑓) = 𝑅+
∗ e a imagem 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅
 A relação entre a função exponencial e o logaritmo (simbolizado por log)
é:
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 = 𝒚 ⇔ 𝒃
𝒚 = 𝒙
 O logaritmo é o y é o x é o logaritmando!
 Lê-se 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 = 𝒚 como: o logaritmo de x na base b é igual a y;
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Logaritmo
 Como calcular logaritmos?
 Vejamos alguns exemplos numéricos:
 log2 8 = 3, pois 2
3 = 8 ;
 log5 25 = 2, pois 5
2 = 25 ;
 log10 1000 = 3, pois 10
3 = 1000 ;
 log3 9 = 2, pois 3
2 = 9 .
 Pode-se assim dizer que o logaritmo é a função inversa à exponencial.
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x
x
éé
x y
b elevado a y
É igual a x
Exercício
 Calcule: 
a) log4 16
b) log3 81
c) log1/2 0,25
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Propriedades dos Logaritmos
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Observações Importantes
 Ao escrevermos um logaritmo:
 Se a base for 10, ela não precisa ser simbolizada:
log 100 = 2, pois 102 = 100
Lê-se log 100 = 2 como: o logaritmo de 100 é igual a 2.
 Se a base for 𝒆 (número de Euler: 2,178...), usa-se 𝒍𝒏 :
ln 2 = log𝑒 2 = 0, 693 . . , pois 𝑒
0,693… = 2,178… ≅ 2
Lê-se ln 2 = 0,693…como: o logaritmo neperiano (ou logaritmo natural)
de 2 é, aproximadamente, 0,693. 18
Mudança de Base
 Calculadoras e tabelas resolvem logaritmos de uma base específica,
geralmente 10 ou e;
 Por este motivo é interessante conhecer um método para trocar a
base de um logaritmo, e isto pode ser feito dividindo-se o logaritmo,
com uma base conveniente, do logaritmando, por um logaritmo de
base igual à considerada conveniente, da base do logaritmo
anterior, conforme diagrama a seguir:
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x
x
Exemplificando
 Calcule, sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, log 5 = 0,699
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Definição
 Por definição, a base do logaritmo é um número positivo (𝒃 > 𝟎) e
diferente de 1 (𝒃 ≠ 𝟏), e o logaritmando x é um número positivo
(𝒙 > 𝟎);
 Além disso, devemos considerar ainda que...
 Conforme as propriedades das potências estudadas:
 𝑏1 = 𝑏 , então log𝑏 𝑏 = 1;
 𝑏0 = 1, então log𝑏 1 = 0; e,
 𝑏𝑛 = 𝑏𝑥 ⇒ n = 𝑥 , então log𝑏 𝑏
𝑛 = 𝑛.
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Propriedades
 Função Crescente: Dizemos que uma função logarítmica, 𝒇(𝒙) =
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 é crescente, quando obedece à seguinte condição: 𝒃 > 𝟏
Exemplo: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙
 Função Decrescente: Dizemos que uma função logarítmica, 𝒇(𝒙) =
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 é decrescente, quando obedece à seguinte condição: 𝟎 < 𝒃 < 𝟏
Exemplo: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝒙
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Gráficos de Funções Logarítmicas
 Função logarítmica crescente:
 Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 , com 𝑏 > 1 o gráfico é representado por:
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Gráficos de Funções Logarítmicas
 Função logarítmica decrescente:
 Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 , com 0 < 𝑏 < 1 o gráfico é
representado por:
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Construindo o Gráfico
 Vamos esboçar o gráfico da função logarítmica de base 2 ou seja 𝑓 𝑥 = log2 𝑥.
 O primeiro passo é encontrar alguns pontos desse gráfico:
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Logarítmo Neperiano
 A outra base muito utilizada é 𝒆;
 O logaritmo em base 𝑒 é chamado de logaritmo
natural de x, denotado por ln x e definido como
sendo a função inversa de 𝑒𝑥 , ou seja, o
logaritmo natural de x, escrito ln x, é a potência
de e necessária para obter x;
 Em outras palavras, 𝑙𝑛𝑥 = 𝑐 significa que 𝑒𝑐 =
𝑥. Veja que “e” é outra base para o logaritmo, que
possui uma denominação especial, mas que
possui exatamente as mesmas propriedades já
apresentadas. A Figura 1.19 apresenta o gráfico
da função exponencial 𝑒𝑥 e 𝑙𝑛𝑥
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