Sequências e séries infinitas

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Fundamentos de 
Análise Matemática
Material Teórico
Sequências e séries infinitas
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Francisco Augustin Machado Echalar
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos
• Intervalos
• Sequências infinitas
• Séries infinitas
• Testes de convergência
 · Apresentar formalmente a noção de limite de uma sequência. 
Apresentar uma série como uma sequência de somas finitas. 
Relembrar conceitos e testes de convergência.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Sequências e séries infi nitas
Caro(a) aluno(a),
Seja bem-vindo(a) às nossas discussões sobre Fundamentos de Análise Matemática]!
Saiba que esta disciplina tem como propósito [aprofundar sua compreensão da Lógica ao 
mesmo tempo em que discute com maior rigor conceitos relacionados aos números reais e 
ao cálculo], oferecendo-lhe contato com as discussões mais recentes dessa área; além de lhe 
proporcionar momentos de leitura – textual e audiovisual – e reflexão sobre os temas que 
serão aqui discutidos, contribuindo com sua formação continuada e trajetória profissional.
Esta disciplina está organizada em [seis] unidades, cujo eixo principal será [o desenvolvimento 
lógico do cálculo], ou seja, que dê conta [do significado e das técnicas de demonstração, 
das regras de inferência da lógica, da compreensão das especificidades dos números reais 
quando comparados com outros campos numéricos, de como essas especificidades permitem 
compreender o estudo de limites de sequências e séries e finalmente definir de modo rigoroso 
conceitos como continuidade de funções, derivadas e integrais]. É o que você encontrará nas 
próximas unidades.
Ademais, perceba que a disciplina em ensino a distância pode ser realizada em qualquer lugar 
em que você tenha acesso à Internet e a qualquer horário. Entretanto, normalmente com a 
correria do dia a dia, não nos organizamos e deixamos para o último momento o acesso ao 
estudo, o que implicará o não aprofundamento do material trabalhado ou, ainda, a perda dos 
prazos para o lançamento das atividades solicitadas.
Assim, organize seus estudos de maneira que entrem na sua rotina. Por exemplo, você poderá 
escolher um dia ao longo da semana ou um determinado horário para todos os dias ou alguns 
dias e determinar como o “momento do estudo”.
No material de cada unidade, há videoaulas e leituras indicadas, assim como sugestões de 
materiais complementares, elementos didáticos que ampliarão sua interpretação e auxiliarão 
no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de 
discussão, bem como realize as atividades de sistematização, as quais o(a) ajudarão a verificar 
o quanto absorveu do conteúdo: são questões objetivas que lhe pedirão resoluções coerentes 
ao apresentado no material da respectiva Unidade para, então, prepará-lo(a) para a realização 
das respectivas avaliações. Tratando-se de atividades avaliativas, se houver dúvidas sobre a 
resposta correta, volte a consultar as videoaulas e leituras indicadas para sanar tais incertezas.
Lembre-se: você é responsável pelo seu processo de estudo. Por isso, aproveite ao máximo 
esta vivência digital!
ORIENTAÇÕES
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Contextualização
O tema da unidade trata do infinito: se você tem uma sequência de números 
que nunca acaba, o que é que se pode dizer do que acontece com os valores dessa 
sequência à medida que você avança mais e mais por ela?
Em alguns casos é simples. Por exemplo, sequências triviais, em que todos os 
valores são iguais: numa sequência de 1’s o valor será sempre 1, não importa 
quanto você avance por ela. Em outros, a resposta, ainda que não imediata como 
na sequência constante, parece visível, mas é preciso prová-la, como na sequência 
a seguir que parece convergir para zero: 1 2
3
4
9
8
27
16
81
32
243
, , , , , ,... (Talvez a razão de nossa 
hipótese fique mais clara se você olhar a expansão decimal dessas frações...)
Um exemplo em que aparece uma sequência como a sequência acima é no 
quicar de uma bola de tênis. Suponha que você a deixa cair de uma altura de 1m 
e que, a cada quicada, sua altura se reduz 1/3 em relação à altura anterior. A 
sequência de alturas atingidas pela bola é a sequência acima. Evidentemente, a 
bola vai subir cada vez menos, até parar. Isso nos dá um indício de que a sequência 
converge para 0.
Há outros mais complicados, como: 1 3
2
11
6
25
12
137
60
147
60
, , , , , ,... Se você converter essas 
frações para sua representação decimal, verá que a sequência é crescente, mas 
que o crescimento a cada passo é cada vez menor. Será que os valores acabam 
convergindo para um valor limite?
O problema é que não é possível chegar às respostas passo a passo, percorrendo 
um a um os elementos das sequências. É necessário recorrer ao raciocínio lógico. 
Ao mesmo tempo, o raciocínio lógico envolvendo processos com infinitas etapas 
pode ser bem capcioso. O filósofo da Antiguidade Zenon de Eléia propôs alguns 
paradoxos que evidenciam essa dificuldade. O mais conhecido deles é o da corrida 
entre Aquiles e uma tartaruga. O herói Aquiles vai apostar uma corrida com uma 
tartaruga. Como a tartaruga é mais lenta, ela começa com uma dianteira de, por 
exemplo, 10 m. Dada a largada, Aquiles percorre rapidamente os 10m, mas nesse 
ínterim a tartaruga andou 1m. Quando Aquiles percorre esse 1m, ela está 0,1 
m à frente. Quando Aquiles percorre esse 0,1 m, ela está 0,01m. E assim por 
diante. Por esse raciocínio, Aquiles nunca alcança a tartaruga. Ela sempre estará 
um pouco à frente. Na prática, sabemos que Aquiles rapidamente ultrapassaria a 
tartaruga. Qual o problema com o raciocínio?
Bem, são dessas questões que trataremos nesta Unidade.
6
7
Intervalos
Usaremos intervalos numéricos frequentemente na nossa discussão, por isso é 
bom relembrar alguns conceitos e algumas notações. A seguir, algumas definições 
que valem para qualquer conjunto numérico limitado.
Um conjunto C de números reais é limitado à direita ou limitado superiormente 
se existe um número real K, que será chamado de cota superior de C, tal que para 
todo elemento c de C vale c ≤ K. 
Observe que K não precisa pertencer a C. Por exemplo, o conjunto dos números 
negativos é limitado superiormente. Um conjunto C de números reais é limitado à 
esquerda ou limitado inferiormente se existe um número real k, que será chamado 
de cota inferior de C, tal que para todo elemento c de C vale k ≤ c. Observe que k 
não precisa pertencer a C. 
Observe também que se existe um K ou k, existem infinitos outros números que 
têm a mesma propriedade. Por exemplo, se C é o conjunto de todos os números 
racionais menores que 2, então 2 é uma cota superior de C, mas também 5, 13, 2, 
ou 1245,5601. A menor das cotas superiores é chamada de supremo do conjunto. 
No exemplo acima, o supremo é o número 2. A maior das cotas inferiores é 
chamada de ínfimo do conjunto.
Um conjunto limitado superiormente pode ou não ter máximo, isto é, um elemento 
que é maior do que todos os outros elementos do conjunto. Veja o exemplo de um 
conjunto com máximo: o intervalo x ≤ 35 é um conjunto limitado superiormente e 
tem como máximo o número 35. Agora, observe que nem todo conjunto limitado 
superiormente tem um máximo. Por exemplo, o conjunto de todas as frações da forma 
n
n + 2
, onde n é um número natural, é limitado superiormente, pois qualquer que seja 
n, a fração correspondente é necessariamente menor que 1, pois o denominador é 
maior que o numerador. No entanto, esse conjunto não tem máximo, pois à medida 
que n aumenta, a fração aumenta. Isto é, se m > n, então m
m
n
n+
>
+2 2
 . Provemos 
isso por uma demonstração direta.
m n
m n
m mn n mn
m n n m
 
 
 
 
>
>
+ > +
+ > +
+
>
+
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
m
m
n
n 22
Ou seja, ainda que o conjunto dessas frações seja limitado superiormente, dada 
uma delas, sempre é possível conseguir uma outra que é maior.
7
UNIDADE Sequências e séries infinitasTemos uma ideia análoga para conjuntos limitados inferiormente. Eles podem 
ou não ter elemento mínimo. Um exemplo de conjunto com mínimo é 2 ≤ x. E 
um exemplo de conjunto limitado inferiormente que não tem mínimo é o conjunto 
de todas as frações do tipo 1n , onde n é um número natural. Essas frações são 
todas positivas, isto é, qualquer que seja n, 1 0n > . No entanto, esse conjunto não 
tem mínimo, pois dada uma fração 1n , sempre é possível encontrar outra (por 
exemplo, 1 1n +( ) ) que é menor que ela, qualquer que seja n.
Os intervalos são um tipo de conjunto numérico limitado, definido pela 
identificação das suas extremidades. A seguir, relembramos alguns aspectos da 
notação relativa a intervalos.
Um intervalo é definido pelas suas extremidades, frequentemente representadas 
como a e b, com a < b. Quando as extremidades não pertencem ao intervalo, 
dizemos que ele é um intervalo aberto de extremos a e b, representado por 
(a, b) (onde os parênteses indicam que os extremos não pertencem ao intervalo). 
Esse intervalo corresponde ao conjunto (a, b) = {x ∈ R: a < x <b}
Quando os extremos a e b pertencem ao intervalo, então ele chamado de 
intervalo fechado e indicado como [a, b] (onde os parênteses indicam que os 
extremos não pertencem ao intervalo). Esse intervalo corresponde ao conjunto: 
[a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤b}
O intervalo pode também ser semifechado ou semiaberto, como nos 
exemplos seguintes:
• [-3, 1) = {x ∈ R: -3 ≤ x < 1} – o extremo direito não pertence ao intervalo, 
mas o esquerdo pertence.
• (8,125] = {x ∈ R: 8 < x ≤ 125} – o extremo direito pertence ao intervalo, mas 
o esquerdo não pertence.
Os símbolos –∞ (menos infinito) e +∞ (mais infinito) podem ser usados para 
representar a reta real como um intervalo: (-∞, +∞) = {x: -∞ < x < +∞}. Esses 
símbolos são usados para representar também intervalos limitados apenas de 
um lado:
• [-7,+∞) = {x ∈ R: -7 < x} intervalo fechado limitado à esquerda.
• (-∞,425] = {x ∈ R: x < 425}
Quando falarmos dos intervalos (a, b), [a, b], (a, b] ou [a, b), a e b serão números 
finitos, com a < b.
A Tabela 1 procura sistematizar os diferentes tipos de intervalo. Vamos 
considerar, salvo menção em contrário, que estamos trabalhando no universo 
dos números reais.
8
9
Tabela 1 – tipos de intervalos de números reais.
Tipo Características
Exemplo e 
notação
Na reta
Intervalo limitado 
aberto
Definido por dois números a 
e b, tais que a < b, a e b não 
pertencem ao intervalo.
-3 < x < 7
(-3, 7)
Conjunto dos pontos do segmento que começa 
em -3 e termina em 7, com exceção das 
extremidades -3 e = 7. 
Intervalo limitado 
fechado
Definido por dois números 
a e b, tais que a < b, a e b 
pertencem ao intervalo.
-3 ≤ x ≤ 7
[-3, 7]
Conjunto dos pontos do segmento que começa 
em -3 e termina em 7.
Intervalo limitado 
semiaberto à esquerda
Definido por dois números a e 
b, tais que a < b, b pertence ao 
intervalo, mas a não.
-3 < x ≤ 7
(-3, 7]
Conjunto dos pontos do segmento que começa 
em -3 e termina em 7, com exceção do 3.
Intervalo limitado 
semiaberto à direita
Definido por dois números a e 
b, tais que a < b, a pertence ao 
intervalo, mas b não.
-3 ≤ x < 7
[-3, 7)
Conjunto dos pontos do segmento que começa 
em -3 e termina em 7, com exceção do 7.
Intervalo 
aberto limitado 
superiormente
Definido por um número a, a 
não pertence ao intervalo.
x < 7
(-∞,7)
Conjunto dos pontos da semirreta esquerda que 
tem origem em 7. 7 não pertence ao intervalo.
Intervalo 
fechado limitado 
superiormente
Definido por um número a, a 
pertence ao intervalo.
x ≤ 7
(-∞, 7]
 
Conjunto dos pontos da semirreta esquerda que 
tem origem em 7. 7 não pertence ao intervalo.
Intervalo aberto 
limitado inferiormente
Definido por um número a, a 
não pertence ao intervalo.
- 3 < x
(-3,+∞)
Conjunto dos pontos da semirreta esquerda que 
tem origem em -3. -3 não pertence ao intervalo.
Intervalo fechado 
limitado inferiormente 
Definido por um número a, a 
pertence ao intervalo.
- 3 ≤ x
[-3, +∞)
Conjunto dos pontos da semirreta esquerda que 
tem origem em -3. -3 não pertence ao intervalo.
Um intervalo limitado superior e inferiormente está, então, associado a um 
segmento da reta, enquanto os intervalos limitados apenas de um lado correspondem 
a semirretas. Quando as extremidades pertencem ao intervalo, costuma-se desenhá-las 
como “bolas cheias”, como indicado na figura 1. Quando a extremidade não pertence 
ao intervalo, costuma-se desenhá-la como “bola vazia”, como mostrado na Figura 1.
Figura 1 – exemplo de representação gráfi ca de intervalos. Extremidade como círculo preenchido: 
pertence ao intervalo. Extremidade como círculo não preenchido: não pertence ao intervalo.
9
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Toda nossa discussão será baseada em intervalos e é essa uma das dificuldades 
do tratamento formal do cálculo. O aluno inicialmente está acostumado a trabalhar 
com cálculos e problemas que envolvem manipulação de números e cujos resultados 
são números. Quando se começa a estudar funções, uma das dificuldades é se 
dar conta de que o objeto de estudo não são mais números e sim relações entre 
números. Às vezes o resultado até é um número, mas que deve ser interpretado no 
contexto das relações em que ele se insere. Aqui, o problema é que não trabalhamos 
mais com números e sim com intervalos de números.
Sequências infinitas
Uma sequência numérica infinita nada mais é do que uma sequência de números 
que tem um elemento inicial, mas não tem fim. Uma sequência (não ficaremos 
repetindo o termo “infinita”, todas de que trataremos aqui são infinitas) pode ser 
simplesmente constante, a repetição de um mesmo número: 2, 2, 2, ... Pode 
ser uma sequência de números aleatórios: 1, 4, 2, 2, 2, 5, 9, 7,... ou pode ser 
uma sequência de números que variam segundo alguma determinada regra. O 
exemplo mais simples desse caso é a sequência de números naturais: 1, 2, 3, 4, 
5,... Conforme o tipo de regra, às vezes as sequências recebem nomes especiais. 
Você possivelmente conhece as progressões aritméticas e geométricas.
Uma progressão geométrica é uma sequência na qual cada elemento é obtido multipli-
cando-se o elemento anterior por uma razão q. O termo geral dessa sequência é
a a qn
n= −1
1.
onde a1 é o termo inicial da sequência.
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por:
S
a q
qn
n
=
−( )
−( )
1 1
1
.
Ex
pl
or
No link a seguir você encontrará informações sobre as progressões aritméticas:
Disponível em : http://goo.gl/Vl7Noq
E neste aqui sobre progressões geométricas:
Disponível em : http://goo.gl/SH1VRk
Ex
pl
or
As posições dos números são numeradas e são importantes. A sequência 1, 2, 
3, 4, 5, 6, ... é diferente da sequência 6, 5, 4, 3, 2, 1 ... Em termos matemáticos, 
10
11
toda sequência pode ser entendida como uma função cujo domínio são os números 
naturais: n f n→ ( ) . Cada número natural n identifica uma posição da sequência 
(começando com o 1, mas isso pode ser mudado conforme a conveniência). A 
cada posição n, está associado um número, que representamos como f(n), segundo 
a notação usual de funções, ou, muito mais frequentemente, como an, segundo 
a notação mais comum quando se fala de séries. O número n que aí aparece é 
chamado de índice da sequência, e an de n-ésimo elemento da sequência.
Uma sequência está definida quando se conhecem, ou se tem condições de 
conhecer, os números que ocupam cada uma das posições da sequência. Isto é, 
para cada n, há como conhecer o an correspondente. Quando temos uma fórmula 
que relaciona n e an, isso é inequívoco. A fórmula do an em função de n é chamada 
de termo geral da sequência. Exemplos:
A sequência dos números pares positivos é dada pela fórmula an = 2n. Verifique, 
substitua n por cada um dos primeiros números naturais, faça a conta e veja que são 
gerados os primeiros números pares positivos. A sequência dos números ímpares 
positivos é dada pela fórmula an = 2n – 1, com n = 1, 2, 3,... Se começamosa 
contar o n a partir do 0 (o que em alguns casos pode ser conveniente fazer), a 
fórmula deve ser alterada para an = 2n + 1, com n ≥ 0.
Uma sequência pode ser descrita pelos seus primeiros termos. Por exemplo, 
as relações abaixo sugerem que se trata da sequência dos múltiplos positivos de 4.
a1 = 4, a2 = 8, a3 = 12, a4 = 16, a5 = 20, a6 = 20,...
No caso a seguir, o reconhecimento não necessariamente é imediato, mas se 
trata das aproximações decimais por falta de 2 :
a1 = 1,4, a2 = 1,41, a3 = 1,414, a4 = 1,4142, a5 = 1,41421, a6 = 1,414213,...
Para indicar a sequência como um todo, muito frequentemente se usa a notação 
(an) ou então (an)n∈N, (a1, a2, a3,...).
Por que falar de sequências infinitas? Por que não se restringir a 
sequências finitas?
Uma razão é porque já vimos que sequências infinitas podem ser muito frequentes 
ao trabalhar com números reais. Lembra-se dos dígitos das expansões decimais de 
dízimas periódicas e de números irracionais? Então, precisamos entender melhor 
como é possível uma sequência infinita de dígitos corresponder a um valor finito, 
bem preciso. Como é possível que a sequência infinita de dígitos que representam 
a expansão decimal da raiz quadrada de 2 corresponda a um valor preciso, bem 
definido, à medida da diagonal de um quadrado de lado 1?
Vamos, então, primeiramente procurar identificar o conceito de sequência 
convergente. Um exemplo é a sequência dada por a
nn
=
1
. A Tabela 2 mostra os 
primeiros termos dessa sequência:
11
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Tabela 2 – primeiros termos da sequência a
nn
=
1 .
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
an 1 0,5 0,333.. 0,25 0,20 0,1666... 0,142857... 0,125 0,111...
Observe os valores da sequência. Eles ficam cada vez menores à medida que n 
aumenta e parecem chegar cada vez mais perto do 0. Parece razoável pensar que 
quando n tende a infinito, o valor de an tende a 0. Não parece?
Bem, daqui a pouco provaremos que é mesmo isso. Antes devemos sublinhar 
alguns aspectos:
• “No popular”, o problema pode ser traduzido por “qual é o valor de an quando 
n é infinito”? Por que “no popular”? Porque infinito não é um número real, 
muito menos natural. Ou seja, não dá para substituir n por infinito e fazer uma 
conta. A ideia é tentar prever qual o resultado quando n assume valores finitos, 
mas cada vez maiores, sem limite. Dá para dizer algo sobre o valor de an?
• Como a cada vez n assume apenas valores finitos bem determinados, não é 
possível chegar ao infinito passo a passo, aumentando gradativamente o valor 
de n. Precisamos de outro caminho. Esse caminho é dado pelo raciocínio 
lógico, que vai nos permitir dar esse salto: contornar as limitações de passos 
finitos e levar-nos a um valor de an “no infinito” que faça sentido.
• Para desenvolver esse salto, precisamos antes definir mais objetivamente 
alguns termos que usamos acima: “valor no infinito”, “tender para”, “ficar 
cada vez menor”, “chegar cada vez mais perto”. É isso que faremos agora.
Comecemos lembrando que n cresce indefinidamente. Uma maneira de 
dizer isso é que “n tende a infinito” ou “n tende a mais infinito”. Isso quer dizer 
que se tomarmos como referência um número L qualquer, em algum ponto da 
sequência os valores de n alcançarão L e o ultrapassarão. Em outras palavras, não 
é possível colocar um limite para n. Em algum momento, n alcançará esse limite e 
o ultrapassará.
No caso dos an, isso também pode acontecer. Depende da sequência. Por 
exemplo, isso acontece com a sequência dos números pares positivos mencionada 
anteriormente (an = 2n). Não é possível colocar um limite superior para an. Vamos 
tentar. Vamos supor que o limite seja L. A ideia é que todos os elementos da 
sequência sejam menores ou no máximo iguais a L. an ≤ L. Vamos substituir nessa 
expressão a fórmula de an: 2n ≤ L. Ora, essa fórmula só será verdadeira enquanto 
n for menor ou no máximo igual à metade de L. Quando n for igual à metade de 
L + 1, acabou. A partir daí todos os an serão maiores que L, qualquer que seja L. 
É isso o que quer dizer “an tende a infinito”. Se todas as sequências fossem desse 
jeito, as coisas seriam muito sem graça. Provavelmente nem estaríamos falando 
delas. A questão é que há séries para as quais é possível colocar um limite, é 
possível dizer, por exemplo, que “an tende para 2.”
12
13
Vejamos um exemplo. Seja a sequência a
n
nn
=
+1 2
. A Figura 2 mostra os valores 
dessa sequência de n = 1 até n = 100. Observe que ele começa em 3 e cai 
rapidamente no início e depois continua caindo cada vez mais lentamente à medida 
que n aumenta. Por exemplo, em n = 1, an = 3, enquanto em n = 10, an = 2,1, 
em n = 20, an = 2,05, em n = 100, an = 2,01. Em outras palavras, dá a impressão 
de que an se aproxima cada vez mais de 2, à medida que n aumenta. Se isso for de 
fato verdade para qualquer valor de n, nós dizemos que a sequência an converge 
para 2 quando n tende a infinito. A ideia é que, se fosse possível chegar a n, an 
valeria dois. Vamos primeiramente formalizar essa ideia.
Figura 2 – Comportamento de a
n
nn
=
+1 2
 a medida que n cresce.
Diz-se que uma sequência (an) converge para o número L, ou tem limite L, se, dado qualquer 
número ε > 0, é sempre possível encontrar um número N tal que:
n N a Ln> → − < ε
Uma sequência que não converge é dita divergente. Chama-se sequência nula toda 
sequência que converge para zero.
Escreve-se lim ,
n n n
a L a L,
→
= =
∞
 lim ou a Ln → .
(ÁVILA, 2006)
Ex
pl
or
Vamos interpretar a definição de sequência convergente. O e representa um 
limite superior para o erro absoluto, a diferença em módulo entre o valor an da 
sequência e o limite L, ou ainda a distância entre an e L na reta. A definição diz que 
qualquer que seja o valor escolhido para esse e, (isto é, “dado e > 0”) a partir de um 
certo valor de n maior do que um limite N (que pode ou não ser inteiro ou mesmo 
positivo), todos os valores subsequentes de an estarão a uma distância de L menor 
que e. Em outras palavras, se a sequência converge, podemos chegar tão perto 
quanto necessário de L, sendo esse “tão perto quanto se queira” definido pelo valor 
de e. Para isso, basta avançar o suficiente na sequência, isto é, encontrar o valor de 
n a partir do qual estaremos a uma distância menor do que e.
Para desenvolver as discussões sobre limites, é importante apresentar o conceito 
de vizinhança.
13
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Dado um número L qualquer, chama-se vizinhança ε de L todos os números x do intervalo 
(L – ε, L + ε). Denotaremos esse intervalo com o símbolo Vε(L). Observe que a condição 
x ∈ Vε(L) pode ser escrita das seguintes três maneiras equivalentes:
x L x L L x L− < ⇔ − < − < ⇔ − < < +ε ε ε ε ε
Ex
pl
or
O conceito de vizinhança permite dizer que se uma sequência converge para o 
limite L, isso quer dizer que a partir de um certo valor suficientemente grande de 
n, todos os termos an passam a pertencer à vizinhança em torno de L, vizinhança 
esta definida por e. Simbolicamente, isso pode ser representado de diferentes 
modos equivalentes:
• A sequência converge para L: n N a Ln> → − < 
• A partir de n > N, an está na vizinhança de L: n N a V Ln> → ∈ ( )ε
Vamos provar agora, usando a definição, que a sequência acima de fato converge 
para 2. A sequência é:
a
n
n
n
nn
( ) = +




 = …
+
…





1 2 3
1
5
2
7
3
1 2
, , , , ,
Então, nossa hipótese é que lim
n
n
n→
+
=
∞
1 2
2.
Se esse for o caso, provar que esse limite existe e é 2 implica encontrar uma 
regra que, dado e, permite calcular N tal que n N a Ln> → − < ε . A estratégia é 
manipular o termo a Ln − <  de maneira a isolar n. Procuremos fazer isso.
a L
n
n
n n
n
n
n − <
+
− <
+ −
<
<
ε
ε
ε
ε
1 2
2
1 2 2
1
Como n é sempre positivo, podemos tirar o módulo.
1
1
1
n
n
n
<
<
<
ε
ε
ε
Ou seja sempre que n for maior que N = 1
ε
, então a Ln − < ε
14
15
Observe que, em geral, como neste caso, N depende de e. Isto é, conforme 
nosso nível de exigência sobre a proximidadeentre an e L, isto é, um e maior ou 
menor, teremos que ter um N correspondentemente menor ou maior.
Neste caso, se (e = 0,1) n → 10. Ou seja, a partir do a11, é que ,an − <2 0 1 . 
De fato, a11
23
11
= . E que a11 2
23
11
2
23 22
11
1
11
− = − =
−
= , que de fato é menor do que 
é dado (e = 0,1). Se quisermos valores muito mais próximos de L, teremos que 
avançar bem mais na sequência. Por exemplo, se e = 0,000001 → n > 1000000. 
Ou seja, a partir do a1000001, é que ,an − <2 0 1 . De fato, a1000001
2000003
1000001
= . E que 
a1000001 2
2000003
1000001
2
23 2000002
1000001
1
1000001
− = − =
−
= , que de fato é menor do que o é dado 
(e = 0,000001).
Façamos um segundo exemplo, retirado de Ávila (2006). Seja a sequên-
cia: a n
n sen nn
=
+
3
2
O limite dessa sequência é 3. Você pode, por exemplo, fazer o gráfico para 
chegar a essa estimativa. Agora é necessário provar que de fato essa sequência 
converge para 3 à medida que n se torna cada vez maior. A ideia é basicamente a 
mesma, partir da definição e encontrar uma fórmula para n em função de e.
a L
n
n sen
n n n
n sen
n n n
n
n − <
+
− <
− +( )
+
=
− −
ε
ε
3
3
3 3 2 3 3 3
++
=
−
+
=
+
<
n
n
n sen
n
n sen
ε
2
2
2
2
2
3 2
2
3 2
2
Para continuar, vamos usar uma propriedade da função seno: sen x( ) ≤1, 
qualquer que seja x.
3 2
2
3
2
sen n
n sen n n sen n+
≤
+
Observe agora o denominador: n sen n sen+ ≥ −2 22 2 . Consequentemente:
1 1
n sen n sen+
″
−2 2
≤
Multiplicando essa inequação por 3, temos:
3 3
n sen n sen+
″
−2 2
≤
15
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Voltando a usar sen x( ) ≤1:
3
2
3
1n sen n n−
≤
− 
Observe que a relação acima só vale quando n > 1.
Em resumo, conseguimos o seguinte:
a L
n
n sen nn
− =
+
− ″
−
3
3
3
12
≤
Ou seja, se fizermos com que 3
1n −
≤ ε , garantiremos que a L
n
n senn
− =
+
− ″
3
3 ε≤
2
Resolvendo a 1ª desigualdade:
3
1
3 1 3 3
3
1
n
n n n n
−
≤ → ≤ −( ) → ≤ − → + ≤ → + ≤ε ε ε ε ε ε
ε
Ou seja, se n > +1 3
ε
, então necessariamente a L n
n senn
− =
+
− <
3
3 ε
2
, o que prova o 
limite acima. Observe que por causa das simplificações realizadas, não é possível 
dizer que se 3 3n
n sen+
− < ε
2
, então n > +1 3
ε
, mas como para nós o objetivo é provar 
que o limite é 3, só precisamos da 1ª implicação.
O estudo de sequências implica determinar seus limites. Hipóteses sobre limites 
são feitas, por exemplo, por meio de estudo da função f(n) = an. A demonstração 
pela definição de que o limite é de fato o que se supõe utiliza outras ferramentas, 
como as propriedades operacionais de limites e os testes de convergência.
A seguir estudaremos mais aprofundadamente algo que pode ser entendido 
como um tipo especial de sequência numérica: as séries infinitas, de particular 
importância no estudo de funções.
Séries infinitas
Nós já encontramos séries infinitas. A expansão decimal de um número irracional 
ou de uma fração que é uma dízima periódica é uma série infinita (de agora em 
diante, usaremos na maior parte das vezes o termo série apenas – está implícito 
que é uma série infinita). Por exemplo:
1
3
3
10
3
100
3
1000
3
10000
0 3333= + + + +…= …,
Ou seja, uma série infinita nada mais é do que uma soma com infinitos termos. 
No caso da expansão acima, a soma, apesar de ter infinitos termos, tem um valor 
16
17
finito. Como dissemos no início, temos que ser capazes de responder à seguinte 
pergunta: como chegar ao resultado de uma soma infinita? Não dá para fazer a 
soma no sentido estrito. Precisamos usar o raciocínio lógico. No caso de dízimas 
periódicas, podemos, por exemplo, usar o procedimento a seguir:
Chamemos a dízima de x:
x = 0,33333...
Multipliquemos x por 10:
10x = 3,3333...
Façamos 10x – x
10x – x = 3,3333... – 0,33333...
9x = 3
x = 3/9 = 1/3
Tudo parece muito claro e lógico, não? E funciona. No entanto, por cada 
passagem há a ideia de que essa soma tem um valor definido e que posso operar 
com elas como se fossem números reais. Ora, anteriormente já mostramos uma 
série que, conforme a maneira como a analisássemos, resultava num valor diferente:
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -1 ...
1ª possibilidade:
S = (1 - 1) + (1 -1) + (1 -1) + ... = 0.
2ª possibilidade
S = 1 — (1 — 1) — (1 — 1) — (1 — 1) — ... = 1.
Precisamos definir o limite de uma série e depois calculá-lo. Para fazer isso, 
definimos formalmente uma série como uma sequência de somas parciais.
Para entender melhor as sutilezas que podem envolver raciocínios sobre processos 
infi nitos, vale a pena conhecer os paradoxos de Zenon. Você pode encontrar uma 
interessante apresentação em (USP. Filosofi a da Física. Capítulo 1: Paradoxos de Zenão. 
Disponível em: http://goo.gl/2D7jS3
Ex
pl
or
Seja a série: S = a1 + a2 + a3 + a4...
Essa série é definida como o limite da seguinte sequência de somas
parciais (finitas)
S1 = a1
S2 = a1 + a2
17
UNIDADE Sequências e séries infinitas
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
...
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
...
Onde cada Sn é a soma dos n primeiros termos da série. Sn também é chamado 
de soma parcial ou reduzida de ordem n.
A série S tem um valor definido, isto é, converge para um limite se a sequência 
(Sn) é convergente. Isto é: . A diferença entre esse limite (se ele existe) e 
uma dada soma parcial qualquer Sk é chamada de resto de ordem k (Rk) da série. 
Simbolicamente: .
[...] a noção de série infinita generaliza o conceito de soma finita, pois a série se 
reduz a uma soma finita quando todos os seus termos, a partir de um certo índice, 
são nulos. Mas é bom enfatizar que há uma real diferença entre a soma de um 
número finito de termos e a soma de uma série infinita. Esta última não resulta de 
somar uma infinidade de termos — operação impossível: ela é, isto sim, o limite da 
soma finita Sn. (ÁVILA, 2006)
Vamos agora desenvolver algumas ferramentas para estudar séries. Vejamos 
inicialmente uma condição necessária para que uma série convirja. Vamos provar 
que se uma série converge, seu termo geral an tende a zero. 
Hipóteses:
• S an
k
n
k=
=
∑
1
– esta é a reduzida de ordem n da série S.
• S S
n n
=
→
lim
∞
– a série converge.
Tese:
lim
n n
a
→
=
∞
0
Demonstração
a S S
a S S
n n n
n n n n n
= −
= −( )
−
→ → −
1
1lim lim∞ ∞
Como, quando os limites existem, o limite da diferença é a dos limites, 
podemos escrever:
lim lim lim
n n n n n n
a S S
→ → → −
= ( ) − ( )
∞ ∞ ∞ 1
18
19
Ora, tanto lim
n n
S S
→
( ) =
∞
, como lim
n n
S S
→ −
( ) =
∞ 1
. Logo:
lim
lim
n n
n n
a S S
a
→
→
= −
=
∞
∞
0
Observe que o ponto de partida foi que a série converge, e a conclusão foi que 
an tende a 0. Isso não quer dizer que se an tende a zero, a série converge. Veja 
um exemplo famoso, o da série harmônica: S
nn
=
=
∑
1
1∞
. O termo 
1
n
 tende a 0. No 
entanto, a série é divergente. A seguir uma ilustração da demonstração dada por 
Nicole Oresme, matemático do século XIV (ÁVILA, 2006):
A série é esta soma: S = + + + +…1
1
2
1
3
1
4
. Os termos desta soma podem ser 
agrupados do seguinte modo:
S = + + +




 + + + +





 + +…+





 + +…+1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
16
1
17
11
32
1
33
1
64





 + +…+





…
Observe que cada par de parênteses é a soma
2 1
2 1 1
k
k
n+
+
∑
CUIDADO COM AS POTÊNCIAS: No limite de baixo, o expoente é 
somente k (o 1 está sendo somado ao 2k). No limite de cima, o expoente 
do 2 é k+1
Essa soma é sempre maior que ½, pois:
2 1
2
1 1 1
1
1 1
2 1
1
2 2
1
2 2 1
1
2
1
2
1
2
1
k
k
n k k k k k k k+
+ + +
+
∑ = + + + +…+ + −( )
+ > + +…+
22
2
2
1
21 1k
k
k+ += =
Exemplo no caso do 4º parênteses:
1
17
1
18
1
31
1
32
1
32
1
32
1
32
1
32
16
32
1
2
+ …+ +




 > + …+ + = =
Ou seja
S > + + + + + + + +…1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
O lado direito é claramente divergente; consequentemente, S também é.
Para dizer que o lado direito é divergente, usamos o teorema na sua forma 
contrapositiva. O teoremadiz “Se S converge, então an à 0”. A contrapositiva é 
“Se an não tende a 0, então S não converge.” Essa contrapositiva também pode 
ser usada para demonstrar que a série S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 -1 ... não converge, 
pois an fica oscilando entre -1 e 1.
19
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Testes de convergência
O teorema acima forneceu uma condição necessária para a convergência de 
uma série, mas, como ela não é uma condição suficiente, ele não pode ser usado 
como teste de convergência. A seguir apresentamos alguns testes úteis. Mas 
antes, apresentaremos um teorema que permite deduzir a convergência de uma 
série a partir da convergência de outras séries. O teorema é consequência das 
propriedades operacionais dos limites de sequências. Ele diz que se as séries ∑ na
e ∑ nb convergem e k é um número qualquer, então as séries ∑ nka e ∑ +( )a bn n 
também convergem e valem as seguintes relações:
∑ = ∑
∑ +( ) = ∑ + ∑
ka k a
a b a b
n n
n n n n
Em outras palavras, a soma de duas séries convergentes é uma série convergente, 
e seu limite é a soma dos limites das duas séries iniciais; o produto de uma série 
convergente por uma constante k é uma série convergente e seu limite é o produto 
da série inicial por k.
Uma consequência disso é que se prova-se que uma série converge a partir de 
n > N, toda a série converge e os limites se relacionam do seguinte modo:
n
n N
n
N na S a
= =
+∑ ∑= +
1 1
∞ ∞
onde S a a aN N= + + +1 2 ...
Pois
n
n n N N N N n
n
n N
a lim S S a a a
a lim S
=
+ + +
=
∑
∑
= ( ) = + + +…+( )
= ( ) +
1
1 2
1
∞
∞
lim
limm a a a
a S a
N N N n
n
n N
n
N n
+ + +
= =
+
+ +…+( )
= +∑ ∑
1 2
1 1
∞ ∞
Critério de convergência de Cauchy
O critério de convergência de Cauchy oferece uma condição necessária 
e suficiente para a convergência de uma série. O teorema diz o seguinte: uma 
condição necessária e suficiente para que uma série ∑ na seja convergente é que 
dado e > 0 qualquer, é possível encontrar um N tal que para todo inteiro positivo p:
n N a a an n n p> → + +…+ <+ + +1 2 ε
Observe que a a a S Sn n n p n p n+ + + ++ +…+ = −1 2
20
21
Com esse critério, podemos formalizar a demonstração da não convergência da 
série harmônica. Para isso, façamos p = n. Logo:
a a a a a an n n p n n n+ + + + ++ +…+ = + +…+1 2 1 2 2
Observe que a soma dentro do módulo tem n parcelas.
a a a
n n n
a a a
n n
n n n p
n n n p
+ + +
+ + +
+ +…+ =
+
+
+
+…+
+ +…+ > + +…
1 2
1 2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
++ = =
1
2 2
1
2n
n
n
Ora, se o lado esquerdo é maior que meio para um n qualquer, nunca 
encontraremos um N tal que, para n > N, o lado esquerdo seja menor que um 
dado e arbitrário. Logo, a série é divergente.
Provemos agora que se ∑ na converge, então ∑ na converge. Se ∑ na 
converge, ela passa pelo critério de Cauchy. Ou seja, é possível encontrar N, tal 
que, dado e > 0 qualquer, para todo inteiro positivo p:
n N a a an n n p> → + +…+ <+ + +1 2 ε
Se ∑ na e ∑ na são ambas séries convergentes, diz-se que a série ∑ na converge 
absolutamente. Se ∑ na é convergente mas ∑ na não é convergente, diz-se que a série 
∑ na converge condicionalmente.
Ex
pl
or
Ora, a a a a a an n n p n n n p+ + + + + ++ +…+ ≥ + +…+1 2 1 2 . Logo, se ∑ na atende ao 
critério de Cauchy, então necessariamente ∑ na também atende e consequentemente 
∑ na é convergente.
Teste da comparação
Sejam ∑an e ∑bn duas séries de termos não negativos, tal que an≤ bn, para n ≥ p. 
Atendidas estas condições, podemos afirmar que:
(a) Se ∑ nb converge, então ∑ na converge e ∑ ≤ ∑a bn n .
(b) Se ∑ na diverge, então ∑ nb também diverge.
Demonstremos a parte (a) usando o critério de Cauchy.
Se ∑ nb converge, então, dado e, é possível encontrar um N tal que para todo 
inteiro positivo p:
n N b b bn n n p> → + +…+ <+ + +1 2 ε
21
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Ora, como para todo n, an≤bn e an≥0 e bn≥0, então
a a a b b bn n n p n n n p+ + + + + ++ +…+ ≤ + +…+1 2 1 2
Ou seja, se ∑ nb atende ao critério de Cauchy, então necessariamente ∑ na 
também atende ao critério.
Tendo provado (a) podemos provar (b) rapidamente: se ∑ nb convergisse, então 
∑ na também convergiria (por causa da parte a do teste).
Um exemplo da utilização desse teste é a demonstração de que a 
série 
n n=
∑
0
1∞
!
 é convergente. Observe que 1 0
n!
> . A série ∑ na será 
n n=
∑
2
1∞
!
. 
Ou seja, 
n
nn
a
=
∑ ∑= + +
0
1 1
0
1
1
∞
! ! !
.
Como vimos acima, se ∑ na converge, então 
n n=
∑
0
1∞
! converge e n
nn
a
=
∑ = + ∑
0
1
2
∞
! . 
Precisamos encontrar uma série ∑ nb tal que an≤bn para todo n. Isso é feito do 
seguinte modo:
1
n!
=
1
2. 3. ... .n
£
1
2. 2. ... .2
 =
1
2n-1
≤
Ou seja, ∑ =
=
−∑bn
n
n
2
1
1
2
∞
Ora, ∑ nb nada mais é do que a soma de uma progressão infinita de razão ½ e 
termo inicial ½. Como a razão é menor que 1, essa progressão tem limite dado por 
S
l
razão
=
−1
inicia . Ou seja:S =
−
= =
1
2
1 12
1
2
1
2
1.
Ou seja, temos que ∑ =
=
∑a nn n 2
1∞
!
 e ∑ =
=
−∑bn
n
n
2
1
1
2
∞
. Essas duas séries atendem às 
condições do teste: para todo n, an > 0, bn ≥ 0, an ≤ bn. Ou seja, elas atendem 
à condição do teste.
Sabemos que ∑ nb converge; logo ∑ na converge. Se ∑ na e 
n
nn
a
=
∑ = + ∑
0
1
2
∞
! , então 
n n=
∑
0
1∞
!
 também converge, como queríamos demonstrar.
22
23
Teste da razão ou teste de D’Alembert
Seja ∑ na uma série de termos positivos (isto é, an > 0 para todo n) tal que 
existe o limite L do quociente 
a
a
n
n
+1 . Se L < 1, a série converge. Se L > 1, a série 
diverge. Se L = 1, não é possível concluir nada sobre a convergência de ∑ na . A 
demonstração desse teste você encontra em Ávila (2006, p. 120).
Veja um exemplo de aplicação com a série ∑
+n
n
1
!
. Observe que os termos dessa 
série são todos positivos, pois n ≥ 1. Precisamos ver se existe o limite L. Primeiro 
calculemos 
a
a
n
n
+1 :
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
+ =
+( ) +
+( )
+
=
+( ) +
+( ) +
=
+
+( )
1
1 1
1
1
1 1
1 1
2
1
!
!
!
.
!
. !
.
nn
n
a
a
n
n n
a
a
n
n
a
a
n
n n
n
n
n
n
n
n
!
.
+
=
+
+( ) +
=
+
+( )
=
+
+ +
+
+
+
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2 11
Calculemos agora o limite de a
a
n
n
+1 :
L
a
a
n
n nn
n
n
n
= =
+
+ +→
+
→
lim lim
∞ ∞
1
2
2
2 1
Dividindo o numerador e o denominador da razão por n²:
L
n
n n
n
n
n
n n
L
n
n
n
n n
n
=
+
+ +
=
( ) + ( )
→
→ →
→
lim
lim / lim
lim
∞
∞ ∞
2 2
2
2 2 2
2
2
2 1
1 2
∞∞ ∞ ∞
1 2 1
0 0
1 0 0
0
1
0
2+ ( ) + ( )
=
+
+ +
= =
→ →
lim / lim
n n
n
n
L
Logo, L < 1. Consequentemente, a série converge.
23
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Teste da integral
Seja f(x) uma função positiva e decrescente. Seja uma série ∑ na tal que an = f(x). Seja 
a integral 
1
N
f x dx∫ ( ) . Essa integral é limitada superior e inferiormente do seguinte modo:
n
N N
n
N
f n f x dx f n
= =
−
∑ ∫ ∑( ) ≤ ( ) ≤ ( )
2 1 1
1
O esquema da Figura 3 mostra porque essas somas constituem estimativas 
por falta e por excesso dessa integral. Quando N →∞ , se a integral converge, 
pela primeira desigualdade de expressão acima, concluímos que a série converge; 
se a série converge, pela segunda desigualdade da expressão, concluímos que a 
integral converge.
Figura 3 – relação entre as somas e a integral no teste da integral. No lado esquerdo, entre 
n
N
f n
=
∑ ( )
2
 
(estimativa por falta) e 
1
N
f x dx∫ ( ) . No lado direito, entre 
n
N
f n
=
−
∑ ( )
1
1
 (estimativa por excesso) e 
1
N
f x dx∫ ( ) .
Fonte: Ávila (2006).
Em resumo, dadas essas condições, a série ∑ na converge se e somente se a 
integral imprópria 
1
∞
∫ ( )f x dx tem um limite definido. Vejamos dois exemplos.
Comecemos por −∑ ne . Seja f x e x( ) = − . A integral que devemos calcular é 
1
N
xe dx∫ − :
1
1
1
N
x x N Ne dx e e e∫ − − − −= − = − +
Precisamos agora calcular o limite dessa integral quando → ∞N .
lim lim lim lim
li
N
N
x
N
N
N
N
N
e dx e e e e→
−
→
− −
→
−
→
−∫ = − +( ) = −( ) + ( )∞ ∞ ∞ ∞
1
1 1
mm lim lim
lim
N
N
x
N N N
N
N
x
e dx
e e
e d
→
−
→ →
→
−
∫
∫
= − 




 +





∞ ∞ ∞
∞
1
1
1 1
xx
e
e dx
eN
N
x
= − +
=
→
−∫
0
1
1
1
lim
∞
Ou seja, a integral imprópria 
1
∞
∫ ( )f x converge. Logo, a sequência converge.
24
25
Exercícios de fi xação
1) Demonstre pela definição que a sequência a
n
nn
=
+
2
7
2
2 converge para o limite 2.
2) Demonstre pela definição que a sequência a n n
n nn
=
+
3
5
 converge para o limite 3.
3) Demonstre pelo teste da comparação que a série ∑
+
4
3 2n
 é convergente.
4) Demonstre que 0,9999... = 1
5) Verifique se as séries a seguir convergem ou não. Utilize o teste da integral:
a) 2
1
4
∑
n
b) 1
2 1
∑
+n
Soluções
1) Demonstre pela definição que a sequência a
n
nn
=
+
2
7
2
2 converge e tem como 
limite 2.
Pela definição, se L = 2, então podemos encontrar N tal que para n > N, temos
2
7
2
2
2
n
n +
− < ε
Manipulando o lado esquerdo, temos:
2
7
2
2 2 14
7
14
7
14
7
142
2
2 2
2 2 2 2
n
n
n n
n n n n+
− =
− −
+
=
−
+
=
+
<
Se fizermos 14
2n
< ε , teremos:
n
n
2 14
14
>
>
ε
ε
Ou seja, dado e, se n > 14
ε
, então teremos 2
7
2
2
2
n
n +
− < ε
Logo, está provado que o limite é 2.
2) Demonstre pela definição que a sequência a
n n
n nn
=
+
3
5 converge para o limite 3.
Pela definição, se L = 3, então podemos encontrar N tal que para n > N, temos:
3
5
3
n n
n n +
− < ε
25
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Manipulando o lado esquerdo, temos:
3
5
3
3 3 5
5
3 3 15
5
15
5
15
5
15n n
n n
n n n n
n n
n n n n
n n n n n n+
− =
− +( )
+
=
− −
+
=
−
+
=
+
<
nn n
Se fizermos 15
n n
< ε , teremos:
n n n
n
= >
> 





3
2
2
3
15
15
ε
ε
Ou seja, dado e, se n > 





15
2
3
ε
, então teremos 3
5
3
n n
n n +
− < ε
Logo, está provado que o limite é 3.
3) Demonstre pelo teste da comparação que a série a seguir é convergente:
∑
+
4
3 2n
Se ∑ = ∑ +
an n
4
3 2 , precisamos encontrar 
∑ nb , tal que bn ≥ an.
Considerebn n=
4
3
 . Observe que 4
3
4
3 2n n
>
+
 para todo n ≥ 1.
Por outro lado, 
4
3
∑ n é uma progressão geométrica infinita de razão 1/3 e 
termo inicial 4/3. Logo, ela converge.
Pelo teste da comparação, se ∑ nb converge, sendo ,b an n≥ ≥ 0 então ∑ na converge.
4) Demonstre que 0,9999... = 1
Lembre-se do que significa a expansão decimal de um número:
0 9999
9
10
9
10
9
10
9
10
12 3 4, …= + + + +…=
26
27
Ou seja, a pergunta pode ser entendida como: demonstre que a série 
9
10
∑ n
converge para o limite 1.
Vamos demonstrar que a série converge com auxílio do teste da razão.
Determinemos primeiro 
a
a
n
n
+1 :
a
a
n
n
n
n
n
n
+
+
+= = =
1
1
1
9
10
9
10
9
10
10
9
1
10
.
Ou seja, a razão entre o termo seguinte e o anterior é sempre 1/10. 
Evidentemente, neste caso o limite da razão existe:
lim lim
n
n
n
n
a
a→
+
→
= =
∞ ∞
1 1
10
1
10
Como o limite lim
n
n
n
a
a→
+
∞
1 é menor que 1, a série converge.
Para provar que o limite da série 
9
10
∑ n é 1, precisamos calcular a soma parcial 
Sn. Observe que a série é uma progressão geométrica infinita. A soma de uma PG 
finita é dada por:
S
a q
qn
n
=
−( )
−
1 1
1
No problema, a q1
9
10
1
10
= = e :
Sn
n
n n
=
( ) −



−
=
−





−
=
−910
1
10 1
1
10 1
9
10
1
10
1
1 10
10
9
10
1
10
1





−
= − −




 = −






9
10
1
10
1 1
1
10
Sn n n
27
UNIDADE Sequências e séries infinitas
Claramente, quando n à ∞, Sn à 1
5) Verifique se as séries a seguir convergem ou não. Utilize o teste da integral:
a) 2
1
4
∑
n
2
1
4
∑
n
> 0 para todo n > 1
Seja f x
x
( ) = 1
4 2
. f(x) é decrescente.
Precisamos calcular a integral 
1
N
f x dx∫ ( ) :
1
2
1
2 1
1
1
4 4 4
1
4
1
4
N N N
x
dx
x
dx
x
N∫ ∫= = − = − +
− −
Calculando o limite:
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
∞
∞ ∞ ∞∫ = − +





 = −





 +


→ → →x
dx
N Nn n n
lim lim lim 

 = + =0
1
4
1
4
Como o limite existe, a série converge.
b) 
1
2 1
∑
+n
1
2 1
∑
+n > 0 para todo n ≥ 1
Seja f x
x
( ) =
+
1
2 1
. f(x) é decrescente.
Precisamos calcular a integral 
1
N
f x dx∫ ( ) :
1
1
1
1
2 1
2 1 2 1 2 1
1
2 1
2 1 3
N N
N
x
dx x N
x
dx N
∫
∫
+
= +

 = + − +
+
= + −
Calculando o limite:
1
1
2 1
2 1 3
∞
∞
∞∫ + = + −( ) = +→x dx Nnlim
Como o limite não existe, a série não converge.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Videoaulas da UNIVESP TV sobre sequências e séries convergentes:
USP: (UNIVESP TV. Cálculo III. Aula 01 – Introdução ao estudo de sequências e séries 
convergentes.
https://goo.gl/bm0IPQ
UNICAMP: UNIVESP TV. Cursos Unicamp - Cálculo III – Sequências numéricas- parte 1.
https://goo.gl/QOjWFQ
Paradoxos de Zenon
Preparação Digital. Noções de cálculo, limite de funções e paradoxo de Zenão.
http://goo.gl/1ySGgj
O que é o paradoxo da dicotomia, de Zenão – Colm Kelleher.
https://goo.gl/7aGucI
Progressões geométrica e aritmética
Matemática com Prof. Gui. Progressão Aritmética (P.A) – Prof. Gui.
https://goo.gl/aD34bB
Marcos Aba Matemática. PG – Progressão Geométrica – aula 01.
https://goo.gl/bgK4KX
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UNIDADE Sequências e séries infinitas
Referências
ÁVILA, Geraldo. Análise matemática para licenciatura. 3ª ed. São Paulo: 
Blücher, 2006.
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