GEOMERIA ANALIT. UNID.1-VETORES R2

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CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
FESV/FESVV 
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA 
PR O F º . FABIO VAGO 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
“Estudo da Geometria pelo método cartesiano que consiste em associar equações 
algébricas aos entes geométricos” 
UNIDADE 1: VETORES 
1) INTRODUÇÃO 
A abordagem do estudo de VETORES será feita por meio de dois tratamentos que se 
completam: GEOMÉTRICO E ALGÉBRICO. 
A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar predominantemente a 
VISUALIZAÇÃO dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu 
entendimento. 
Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros serão abordados sob o ponto de 
vista ALGÉBRICO, mais formal e abstrato. 
GRANDEZAS ESCALARES: São aquelas que ficam completamente definidas por 
apenas um número real. 
Ex: Comprimento, área, volume , massa, temperatura, densidade. 
GRANDEZAS VETORIAIS: São aquelas que para serem perfeitamente caracterizadas 
e entendidas é necessário conhecer o seu módulo, direção e sentido. 
Ex: Força, velocidade, aceleração. 
Os VETORES são segmentos orientados utilizados para representar as grandezas 
vetoriais. 
 
2) REPRESENTAÇÃO DOS VETORES 
 
 O vetor é indicado por letra minúscula ( v ) ou pela sua 
origem e extremidade (AB). 
 
O módulo do vetor é indicado por: v 
 
 
 
 
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3)DIREÇÃO E SENTIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)CASOS PARTICULARES DE VETORES 
 
 Vetor nulo: vetor cujo módulo é zero.Qualquer ponto no espaço é representante 
do vetor nulo, indicado por 0 ou AA. 
 Vetores opostos: a cada vetor não nulo corresponde um vetor OPOSTO - , 
de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto. 
 
 
 
Módulo: 4 unidades. 
Direção: Horizontal 
Sentido: da esquerda 
para direita. 
Módulo: 2 unidades. 
Direção: Vertical 
Sentido: de baixo para 
cima. 
J 
K 
n 
C 
D 
j 
45º 
Módulo: 5 unidades. 
Direção: Inclinado 45º 
em relação à horizontal. 
Sentido: de baixo para 
cima. 
v 
B A 
 v v 
 
 
 
 
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 Vetores ortogonais: Quando 2 vetores formam ângulo de 90º. Indica-se por 
 
 
 
 
 
 
 Vetores coplanares: Quando dois ou mais vetores pertencem a um mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 Vetores Paralelos: Quando dois ou mais vetores tem a mesma direção. Indica-se 
por 
 
 
 
 
 Vetor unitário: Vetor cujo módulo é igual a v = 1. 
 
 
 
 v u 
 v u 
 
 
 
 
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5) OPERAÇÕES COM VETORES 
 
5.1) ADIÇÃO DE VETORES 
 
 
 
 
Regra do Polígono: extremidade do primeiro vetor unindo com a origem do segundo.O 
vetor o que une a origem do primeiro vetor com a extremidade do segundo representa o 
a soma dos dois vetores. 
 
 
 
 
5.2) SUBTRAÇÃO DE VETORES 
Devemos utilizar o conceito de vetor oposto para realizar a subtração, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
u 
v 
u 
v+ u 
v 
u 
v 
u+v 
v 
v 
 -u 
v-u 
 -u 
v 
 
 
 
 
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5.3)SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES – MÉTODO DO PARALELOGRAMO 
 
 
 
 
SOMA: Devemos unir as origem dos dois vetores e formar um paralelogramo, a 
diagonal do paralelogramo representa graficamente o vetor soma 
 
 
 
 
 
SUBTRAÇÃO: Utilizar o conceito de vetor oposto para realizar a subtração e proceder 
como a soma. 
 
 
 
 
 
 
Obs: O método do paralelogramo não pode ser utilizado quando os vetores são 
paralelos. 
u 
v 
v 
u 
 s 
s = v + u 
s = v - u 
v 
-u 
s 
 
 
 
 
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Exemplo: Com base na figura formada por 9 quadrados, determine graficamente as 
somas vetoriais: 
 
 
 
 
 
 
a) AC + CN e) AC + EO i) MO - NP 
b) AB + BD f) AM + BL j) BC - CB 
c) AC + DC g) AK + AN k) LP + PN + NF 
d) AC +AK h) AO – OE l) BL + BN + PB 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C D 
E 
F 
G H I J 
K 
L 
M N 
O P 
 
 
 
 
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5.4)MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6)VETORES NO PLANO - TRATAMENTO ALGÉBRICO 
Os vetores na abordagem geométrica são representados por segmentos de reta 
orientados livres, sem referência de base. 
 
O tratamento algébrico passa a relacionar os segmentos orientados com o sistema de 
eixos orientados no plano R
2 
e no espaço R
3. 
 
Dados os vetores 
xv e yv , unitários e ortogonais, representar graficamente o 
vetor: v = xv + yv (soma vetorial método do paralelogramo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor v é um combinação linear de xv e yv , da mesma forma , o vetor 
 
u = 2 xv + 2 yv é uma combinação linear de xv e yv e os números 2 e 2 
são chamados de componentes ou coordenadas de u em relação á base 
B
=
 xv
,
yv 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xv
yv
xv
v
yv
yv
xv
u
xv2
yv2
 
 
 
 
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Dentre as infinitas bases ortogonais no plano, a mais importante é a base que determina 
o conhecido SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL xOy. 
 
Os vetores ortogonais e unitários do plano cartesiano, são idênticos aos vetores 
xv
e 
yv
, e simbolizados pelas letras 
i
 e
j
 , ambos com origem em O e 
extremidades em (1,0) e (0,1) , respectivamente, sendo a base C=
 ji

,
 
denominada de base canônica. 
 
Qualquer vetor 
v
 no plano cartesiano com origem no ponto O(0,0) é representado 
por: 
 
 
jyixv


 ou 
 yxv ,
 
 
Os números x e y são as componentes de 
v
 em relação á base 
 ji

,
, o 
vetor
ix
 é a projeção ortogonal de 
v
 sobre i (ou sobre o eixo dos x) e jy é a 
projeção ortogonal de 
v
 sobre
j
 (ou sobre o eixo dos y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A cada vetor 
v
 do plano pode-se associar um par ordenado 
 yx,
, de números reais 
onde a primeira componente x é chamada de abscissa e a segunda y de ordenada. 
 
A cada ponto P(x,y) do plano xOy corresponde o vetor 
jyixOPv


 
, sendo O a origem do sistema , desta forma o plano cartesiano pode ser encarado como 
um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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61) IGUALDADE DE VETORES 
 
Dois vetores 
u
 = ( x1 , y1) e v = ( x2 , y2) são iguais se , e somente se , x1 = x2 e 
y1= y2. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
6.2) OPERAÇÕES COM VETORES 
 
Sejam os vetores 
u
 = ( x1 , y1) , v = ( x2 , y2) e  . 
 
a) Soma de vetores : 
u
 + 
v
 = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ; 
b) Produto de vetor por escalar: α
u
 = (α x1 , α y1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ex.: 
 
 
 
 

 
Ex1: Determina o ponto D de modo que 
ABCD 5,0
, sabendo que A=(-1,2), 
B=(3,-1) e C=(-2,4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ex2: Sendo A(-2,4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G 
que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4) Ponto Médio 
 
 
 
 
 
 
 
6.5) Paralelismo de dois vetores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Encontrar o ponto P de eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto 
A(2,-3) seja igual a 5. 
Solução: P(x,0), A(2,-3) 
 d(A.P) = 5 
 
5))²3(0()²2( x
 X² - 4X + 4 + 9 = 25 
 X² - 4X + -12 = 0 
 ∆ = b² -4ac = (-4)²-4(1)(-12) = 16 + 48 = 6 4 
X =
ab 2/)( 
 
X = (4 ± 8)/2 
X1 = 12/2 = 6 
X2 = -4/2 = -2 
P1 = (6,0) 0U P2 =(-2,0)