11 Energia e Potencial Elétrico

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CCE0159- Teoria Eletromagnética 1
Aula 11: Energia e Potencial Elétrico
Aplicando uma força para mover o objeto do
ponto a ao ponto b, o trabalho realizado é: 𝑊 =
න
𝑎=𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝑏=𝑓𝑖𝑚
𝑭. 𝑑𝒍
Trabalho do campo elétrico para movimentar um conjunto de cargas
𝑑𝒍 = 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑎𝑜
longo de alguma parte do percurso
entre a e b. (m)
Eletromagnetismo
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Energia e Potencial Elétrico
𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐸 = 𝑄න
𝑎=𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝑏=𝑓𝑖𝑚
𝐄. 𝑑𝐥
Trabalho realizado pelo campo elétrico para mover uma carga de a para
b Independe do caminho escolhido: o trabalho é conservatório.
Unidade: C.V (Coulomb . Volt) ou J (Joule)
𝑭 = 𝑄. 𝑬 (𝑁)Força exercida por um campo elétrico sobre uma carga Q:
• Na mecânica clássica
• Na eletrostática:
𝑊 = −𝑄න
𝑎=𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝑏=𝑓𝑖𝑚
𝐄. 𝑑𝐥
Se uma força externa move a carga contra o campo, o trabalho realizado por esta força é o negativo de 𝑾𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝑬
Trabalho de uma força externa para movimentar um conjunto de cargas
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Eletromagnetismo
𝒂 = início; 𝒃 = fim
𝒅𝒍 = 𝒅𝒙𝒂𝒙 + 𝒅𝒚𝒂𝒚 + 𝒅𝒛𝒂𝒛 (cartesiano)
𝒅𝒍 = 𝒅𝒓𝒂𝒓 + 𝒅∅𝒂∅ + 𝒅𝒛𝒂𝒛 (cilíndrico)
𝒅𝒍 = 𝒅𝒓𝒂𝒓 + 𝒓𝒅𝜽𝒂𝜽 + 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝜽𝒅∅𝒂∅ (esférico)
𝑊 = −𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐸
𝑖
J
k
Exemplo 1 – (a) Calcular o trabalho realizado por uma força externa para
mover uma carga de 10 nC, da origem ao ponto P(1,1,0) contra o campo
estático E = 5ax V/m. (b) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico
nessas mesmas condições?
Escolheremos o percurso i e dividiremos o problema em duas integrais. Uma 
variando em cima do eixo X e outra no eixo Y.
Vários percursos (i, j, k) são indicados e todos vão requerer a mesma
quantidade de trabalho para mover a carga de a (origem) para b (ponto P).
= 0; pois o produto escalar ax.a y= 0 − 10𝑛𝐶 (5 Τ𝑉 𝑚) (1 m)
𝑾 = −𝟓𝟎 𝒏𝑱
Solução:
𝑊 = −𝑄න
𝑎
𝑏
𝐄. 𝑑𝐥
• O trabalho do campo elétrico é o negativo do trabalho realizado pela força externa, portanto + 50 nCV ou + 50 nJ.
𝑊 = − 10𝑛𝐶 න
0
𝑦=1𝑚
5𝑎𝑥 . 𝑑𝑦 𝑎𝑦 + [−(10𝑛𝐶)න
0
𝑥=1𝑚
5𝑎𝑥 . 𝑑𝑥𝑎𝑥]
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Eletromagnetismo
x
y
z
1
1
P(1,1,0)
Percurso i
i
i
𝑊 = −𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐸
O trabalho necessário para movimentar um conjunto de cargas (Cont.)
𝑊 = −𝑄න
𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝑓𝑖𝑚
𝐸. 𝑑𝑙
(o ângulo entre 𝑎𝑟 𝑒 𝑎∅ = 90°. Logo, 𝑎𝑟 . 𝑎∅ = 0)
a) Trabalho nulo: movimento circular de uma carga ao redor de um condutor linear carregado.
𝐸 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟
𝑾 = −𝑄න
0
2𝜋
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟 . 𝑟. 𝑑∅. 𝑎∅
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Eletromagnetismo
𝑾 = 𝟎
Na direção do movimento: 𝑑𝑙 = 𝑟. 𝑑∅. 𝑎∅
Para uma linha de cargas:
Pode ser: Nulo, Negativo ou Positivo
b) Trabalho negativo: movimento de uma carga se afastando no sentido radial a um condutor linear carregado.
𝑊 = −𝑄න
𝑟1
𝑟2 𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟 . (𝑑𝑟. 𝑎𝑟) = −𝑄න
𝑟1
𝑟2 𝜌𝑙
2𝜋𝜖0
𝑑𝑟
𝑟
𝑊 = −𝑄
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝑟2
𝑟1
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𝑑𝑙 = 𝑑𝑟. 𝑎𝑟
= −𝑄
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0
𝑙𝑛(𝑟2 − 𝑟1)
𝑊 = −𝑄න
𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝑓𝑖𝑚
𝐸. 𝑑𝑙 𝐸 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟Para uma linha de cargas:
𝑑𝑙 está na direção do movimento, de 𝑟1 para 𝑟2: 𝑑𝑙 = 𝑑𝑟. 𝑎𝑟
𝑟2> 𝑟1 ⇒ 𝑙𝑛
𝑟2
𝑟1
> 0
O intervalo de integração será de 𝑟1 (início) para 𝑟2 (fim) . 
⟹ O trabalho é negativo
c) Trabalho positivo : movimento de uma carga se aproximando no sentido radial a um condutor linear carregado.
𝑊 = −𝑄න
𝑟2
𝑟1 𝜌𝑙
2𝜋𝜖0
𝑑𝑟
𝑟
= − 𝑄
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝑟1
𝑟2
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Eletromagnetismo
𝑊 = −𝑄න
𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝑓𝑖𝑚
𝐸. 𝑑𝑙 𝐸 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟Para uma linha de cargas:
Na direção do movimento, de 𝑟2 para 𝑟1: 𝑑𝑙 = 𝑑𝑟. 𝑎𝑟
O intervalo de integração será de 𝑟2 (início) para 𝑟1 (fim) . 
𝑟2> 𝑟1 ⇒ 𝑙𝑛
𝑟1
𝑟2
< 0 ⟹ O trabalho é positivo
Ddp: é o trabalho realizado pela força externa para mover uma carga do ponto a
ao ponto b, sob ação de um campo elétrico, dividido pelo valor da carga movida.
𝑉𝑎𝑏 = −
𝑊
𝑄
𝑉𝑎𝑏 = −
𝑊
𝑄
= −න
𝑏
𝑎
𝐄. 𝑑𝐥OU
Onde 𝑽𝒂 e 𝑽𝒃 são potenciais absolutos, sendo o
potencial de a é maior que o potencial de b.
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Diferença de Potencial Elétrico (ddp) entre dois pontos
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𝑉𝑎𝑏 = −
𝑊
𝑄
= −න
𝑏
𝑎
𝐄. 𝑑𝐥
Maior
potencial
Menor
potencial
𝑉(𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜)(𝑓𝑖𝑚) = −
𝑊
𝑄
= −න
𝑓𝑖𝑚 =𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙)
(𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜)=𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙)
𝐄. 𝑑𝐥
ddp relacionada a potenciais eletrostáticos absolutos
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏
Quando 𝑉𝑎𝑏 é positivo, ‘a’ está em potencial mais elevado que ‘b’.
No caso de um ponto intermediário c e como E é um campo conservativo, a ddp entre a e b se mantém: 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑐 − 𝑉𝑏𝑐
𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑏𝑎 = ර𝐄. 𝑑𝑙 = 0
A integral de linha de E ao longo de uma trajetória fechada, conforme a fig. deve ser zero.
Fisicamente: não é realizado trabalho ao se
movimentar uma carga, ao longo de uma
trajetória fechada, no interior de um campo
eletrostático. Esta afirmação consiste na
generalização da Lei das Malhas de Kirchhoff:
⇒
⇒
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𝑉𝑎𝑏 = −𝑉𝑏𝑎Sendo a trajetória é fechada
Ddp nos pontos a e b:
𝑉𝐴𝐵 − 𝑉2 − 𝑉3 = 0
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• Referência de potencial nulo: plano de terra, ou placa.
Encontrar o potencial absoluto num ponto qualquer requer que tenhamos um
potencial de referência:
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• No caso de um condutor coaxial, a referência de potencial nulo é escolhida como
sendo o condutor externo aterrado.
• Para um conjunto de cargas pontuais próximas à origem, a referência de
potencial nulo é geralmente selecionada num raio infinito.
• A referência pode estar também num ponto de potencial conhecido ou assumido,
como no caso do ponto C.
Potencial absoluto e potencial de referência 
Exemplo 2
a) Encontrar a diferença de potencial 𝑽𝒑𝒐 entre a origem o ponto P no exemplo
anterior (exemplo 1: carga na origem).
b) Conhecendo o potencial absoluto na origem igual a 8 Volts, determine o potencial
absoluto em P.
b) Conhecendo o potencial absoluto na origem, Vo = 8 V, então o potencial absoluto em P (𝑽𝒑) é:
𝑉𝑝𝑜 = 𝑉𝑝 − 𝑉𝑜 𝑽𝒑 = 𝑉𝑝𝑜 + 𝑉𝑜 = −5 + 8 = 𝟑 𝑽
Q = 10 nC na origem; 𝑊 = −50 𝑛𝐽; E = 5ax V/m]a) [Do exemplo 1: origem ao ponto P(1,1,0); 
Solução:
𝑉𝑖𝑓 = −
𝑊
𝑄
= −න
𝑓𝑖𝑚
𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝐄. 𝑑𝐥
𝑽𝒑𝒐 = −𝟓 𝑽
𝑽𝑜𝑝 = −න
1𝑚
0
𝐄. 𝑑𝐥 = −න
1𝑚
0
(5 ax). (𝑑𝑥 ax) = −5. 0 − 1 = 𝟓 𝑽
Alternativamente: 
𝑉𝑜𝑝 = −
𝑊
𝑄
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Então 𝑽𝒑𝒐 é: 𝑽𝒑𝒐 = −𝑽𝑜𝑝 = −𝟓𝑽
𝑉𝑜𝑝 = −
−50 𝑛𝑗
10 𝑛𝐶
= 5 𝑉
Exemplo 3 – Para uma linha de cargas ao longo do eixo z, com densidade ρl = (10
-9/2) C/m, calcule VAB, onde A é o
ponto (2m, π/2 rad, 0) e B é o ponto (4m, π rad, 5m).
Solução: 𝑉𝐴𝐵 = −න
𝐵
𝐴
𝐸. 𝑑𝑙
𝑉𝐴𝐵 = −න
4
2
10−9
2(2𝜋𝜖0𝑟)
𝑎𝑟 . 𝑑𝑟. 𝑎𝑟 = −
10−9
4𝜋
10−9
36𝜋
න
4
2
1
𝑟
𝑑𝑟
𝑽𝑨𝑩 = −9 𝑙𝑛𝑟
2
=
4
− 9 𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛4 = 𝟔, 𝟐𝟒 𝑽
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Assim, a integral fica:
O campo elétrico para uma linha de cargas é 𝐸 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝑎𝑟 𝑑𝑙 = 𝑑𝑟. 𝑎𝑟e
Exemplo 4– Para o campo do exemplo 3, encontre VBC e VAC, onde rB = 4m e rC = 10m.
Solução:
𝑉𝐵𝐶 = −9 𝑙𝑛𝑟
𝑟𝐵
𝑟𝐶
= −9 𝑙𝑛4 − 𝑙𝑛10 = 𝟖, 𝟐𝟓 𝑽
𝑉𝐴𝐶 = −9 𝑙𝑛𝑟
𝑟𝐴
𝑟𝐶
= −9 𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛10 = 𝟏𝟒, 𝟒𝟗 𝑽
𝑉𝐴𝐶 = 𝑉𝐴𝐵 + 𝑉𝐵𝐶= 6,24 + 8,25 = 𝟏𝟒, 𝟒𝟗 𝑽
Ou, de maneira alternativa para 𝑉𝐴𝐶 :
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴𝐶 − 𝑉𝐵𝐶
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Em analogia ao exemplo 3, agora irão variar apenas os intervalos da integral. 𝑽𝑨𝑩 = −9 𝑙𝑛𝑟
𝑖𝑛í𝑐𝑖𝑜
𝑓𝑖𝑚
Assuntos da próxima aula:
Continuação de Energia e Potencial Elétrico.