12 Energia e Potencial Elétrico

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CCE0159- Teoria Eletromagnética 1
Aula 12: Energia e Potencial Elétrico
O campo elétrico devido a uma carga pontual Q
tem direção puramente radial.
𝑉𝐴𝐵 = − න
𝐵
𝐴
𝐸. 𝑑𝑙
𝑉𝐴𝐵 =
𝑄
4𝜋𝜖0
1
𝑟𝐴
−
1
𝑟𝐵
= 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
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Potencial absoluto de uma carga pontual
Energia e Potencial Elétrico
Eletromagnetismo
𝑉𝐴𝐵 = − න
𝑟𝐵
𝑟𝐴
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
𝑎𝑟 . 𝑑𝑟𝑎𝑟
𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
𝑎𝑟 𝑑𝑙 = 𝑑𝑟𝑎𝑟
∴
න
1
𝑟2
𝑑𝑟 = න 𝑟−2𝑑𝑟 = −
1
𝑟
= −
𝑄
4𝜋𝜖0
−
1
𝑟
𝑟𝐴
𝑟𝐵
Considerando que o ponto de referência B seja movido para o infinito, tem-se a definição
de potencial absoluto:
⇒ trabalho por coulomb necessário para trazer uma carga do infinito ao raio r.
𝑉𝐴𝐵 =
𝑄
4𝜋𝜖0
1
𝑟𝐴
−
1
∞
𝑉 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟
⇒
Exemplo 5 – Para uma carga pontual Q = 500pC na origem e considerando a referência
zero no infinito, calcule:
(a) Os potenciais absolutos VA e VB nos pontos rA = 5m e rB = 15;
(b) O potencial em rA = 5m em relação a rB = 15m.
Solução:
(a)
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Eletromagnetismo
Energia e Potencial Elétrico
𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
𝑉𝐴 𝑉𝐵
(b) O ponto de referência é o potencial em B.
𝑉𝐴𝐵 = 0,90 − 0,30 = 0,60 𝑉
𝑉 Ԧ𝑟 = ෍
𝑚=1
𝑚
𝑄𝑚
4𝜋𝜖0 Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟𝑚
• Se a coleção de cargas se tornar uma distribuição contínua,
podemos encontrar o potencial total pela integração:
• Para uma coleção de “m” cargas pontuais, o potencial
absoluto total pode ser encontrado somando-se os
potenciais de cada carga separadamente:
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Eletromagnetismo
Energia e Potencial Elétrico
Potencial absoluto de uma carga pontual (Cont.)
𝑉 = න
𝑑𝑄
4𝜋𝜖0𝑅
Exemplo 6 – Três cargas de 1nC existem nos pontos (1, 0, 0) m; (-1, 0, 0) m e (0, 0, 1) m, respectivamente.
Determine o potencial eletrostático absoluto no ponto (0, 1, 0) m, assumindo que o referencial de
potencial nulo está a uma distância infinita da origem.
Solução:
𝑉 Ԧ𝑟 = ෍
𝑚=1
𝑚
𝑄𝑚
4𝜋𝜖0 Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟𝑚
𝑉(1,0,0) = 3 ×
9
2
= 𝟏𝟗, 𝟏𝟒 𝑽
𝑟 − 𝑟𝑚 = 12 + 12 = 2
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Eletromagnetismo
Energia e Potencial Elétrico
𝑉(1,0,0) =
1 × 10−9
4𝜋 ×
10−9
36𝜋 × 2
+
1 × 10−9
4𝜋 ×
10−9
36𝜋 × 2
+
1 × 10−9
4𝜋 ×
10−9
36𝜋 × 2
z
x
y
𝑉 0,1,0 = ?
-x
1 1
-11
1nC
1nC
1nC
(para todas as cargas, no ponto (0, 1, 0))
Consideremos cargas distribuídas continuamente sobre um volume
finito 𝑣 , com uma densidade de cargas conhecida ρ (C/m3).
Para calcular o potencial em P, consideremos um diferencial de carga
em um ponto genérico dentro do volume, conforme figura.
OBS:
A variável R não deve ser
confundida com a variável r
do sistema de coordenadas
esféricas. R não é um vetor,
mas sim a distância de dQ ao
ponto de observação P.
Potencial de uma distribuição de cargas
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• Potencial elétrico em um ponto externo
Então, em P: 𝑑𝑉 =
𝑑𝑄
4𝜋𝜖0𝑅
න
𝑣𝑜𝑙
𝑑𝑉 = න
𝑑𝑄
4𝜋𝜖0𝑅
= න
𝜌𝑣𝑑𝑣
4𝜋𝜖0𝑅
𝒅𝑽
𝜌𝑣
𝑉 = න
𝜌𝑣𝑑𝑣
4𝜋𝜖0𝑅
Eletromagnetismo
Energia e Potencial Elétrico
Se as cargas estão distribuídas sobre uma superfície ( s )
𝑉 = න
𝜌𝑠𝑑𝑠
4𝜋𝜖0𝑅
𝑉 = න
𝜌𝑙𝑑𝑙
4𝜋𝜖0𝑅
Se as cargas estão distribuídas sobre linha ( l )
𝑑𝑄 = 𝜌𝑣𝑑𝑣
• Potencial de uma linha infinita de cargas
𝑉 = න
0
𝐿 1
4𝜋𝜖0
.
𝜌𝑙𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑑2
𝑉 =
𝜌𝑙
4𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝐿 + 𝐿2 + 𝑑2
𝑑
Solução da int. na próxima página
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Eletromagnetismo
Energia e Potencial Elétrico
න
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑑2
= ln
𝑥 + 𝑥2 + 𝑑2
𝑑
(dq = 𝜌𝑙𝑑𝑥)
𝑹𝒅
𝑷
𝑳
Solução de න
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑑2
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑑/𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑥2 + 𝑑2/𝑥
𝑥2 + 𝑑2 = 𝑑. 𝑡𝑔𝜃
𝑥 = 𝑑. 𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑑𝑥 = 𝑑. 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑔𝜃
𝐼 = න
𝑑. 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑔𝜃
𝑑. 𝑡𝑔𝜃
𝑑𝜃 = න 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = ln |𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃|
𝐼 = ln 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑔𝜃 = ln(
𝑥
𝑑
+
𝑥2 + 𝑑2
𝑑
)
Eletromagnetismo
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Energia e Potencial Elétrico
• Potencial de um anel carregado com carga uniformemente distribuída
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𝝆𝒍
𝑉𝑃 = 0, 0, 𝑧
𝑷
𝒛
𝒚
𝒙
a
∅
𝒓
𝒓′
𝑹 = a2 + 𝑧2
𝒅𝒍 = a𝑑∅
𝑉 = න
0
2𝜋 𝜌𝑙 . 𝑎. 𝑑∅
4. 𝜋. 𝜖0. 𝑎2 + 𝑧2
𝑵𝒂 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒆𝒎 𝒛 = 𝟎 :
𝑉 = න
𝜌𝑙𝑑𝑙
4𝜋𝜖0𝑅
𝑉 =
𝜌𝑙 . 𝑎
2. 𝜖0. 𝑎
2 + 𝑧2
(𝑉)
𝑉 =
𝜌𝑙
2𝜖0
(𝑉)
𝑵𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝑷:
Eletromagnetismo
Energia e Potencial Elétrico
𝑟 = za𝑧
𝑟′ = a.a𝑟
𝑅 = 𝑟 − 𝑟′ = a2 + 𝑧2
𝒅𝒍 = 𝑎𝑑∅
𝒅∅
a
a
• Potencial de um disco carregado
𝑉 =
1
4𝜋𝜖0
. න
0
𝑎 𝜌𝑠2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑟2 + 𝑥2
𝑉 =
𝜌𝑠
2𝜖0
. [ 𝑎2 + 𝑥2 − x
𝑉 =
𝜌𝑠
2𝜖0
. 𝑟2 + 𝑥2
𝑎
0
න
𝑟𝑑𝑟
𝑟2 ± 𝑥2
𝑚 = 𝑟2 ± 𝑥2
𝑑𝑚 = 2𝑟𝑑𝑟
න
ൗ𝑑𝑚 2
𝑚1/2
=
1
2
𝑚−1/2𝑑𝑚 =
1
2
. 2. 𝑚1/2 =
= 𝑚 = 𝑟2 ± 𝑥2
න
𝑟𝑑𝑥
𝑟2 ± 𝑥2
= 𝑟2 ± 𝑥2
Solução da integral:
𝑑𝑟 =
𝑑𝑚
2
Resolvendo:
Área do círculo: 𝑆 = 𝜋𝑟2
Derivando 𝑆 : 𝒅𝑺 = 𝟐𝝅𝒓𝒅𝒓
Disco de raio “a” e densidade “𝜌𝑠”
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𝑉 = න
𝜌𝑠𝑑𝑠
4𝜋𝜖0𝑅
Eletromagnetismo
Energia e Potencial Elétrico
Potencial eletrostático imposto às linhas de força do campo de uma carga
pontual:
• Os contornos de potencial eletrostático formam superfícies equipotenciais
ao redor da carga pontual.
• Todos os pontos destas superfícies têm o mesmo potencial.
• As superfícies são sempre ortogonais à linha do campo elétrico.
É um método para encontrar a direção, sentido e intensidade de campo
elétrico a partir do potencial.
𝑑𝑉 = 𝛻𝑉. 𝑑𝑟
O campo vetorial 𝜵𝑽 (ou grad V) é chamado de o gradiente da função
escalar V, ou simplesmente gradiente de potencial.
𝜵𝑽 é a divergência do campo vetorial V (potencial):
Gradiente de Potencial (𝜵𝑽)
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Eletromagnetismo
Energia e Potencial Elétrico
Conhecendo o comportamento do potencial, o campo elétrico pode
ser determinado pela variação espacial máxima do campo potencial,
na direção em que ela ocorre, então:
𝐸 = −𝛻𝑉 “E é lido como igual ao negativo do gradiente de V”
𝑑𝒍 = 𝑑𝒓𝑉 = −
𝑊
𝑄
= − න𝐄. 𝑑𝐥
−𝐸. 𝑑𝑙 = 𝛻𝑉. 𝑑𝑟
𝑑𝑉 = −𝐸. 𝑑𝑙 𝑑𝑉 = 𝛻𝑉. 𝑑𝑟
Determinação do campo elétrico 
O Gradiente (𝜵𝑽)
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Eletromagnetismo
e
O gradiente de V (𝜵𝑽) representa o vetor normal às superfícies equipotenciais, apontando na direção contrária de
crescimento do potencial V, ou seja, está direcionado dos níveis mais elevados para os níveis mais baixos de
potencial.
O Gradiente (𝜵𝑽)
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Eletromagnetismo
Em termos de coordenadas:
∇𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑎𝑥 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝑎𝑦 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑎𝑧
∇𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑟
𝑎𝑟 +
𝜕𝑉
𝑟𝜕∅
𝑎∅ +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑎𝑧
∇𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑟
𝑎𝑟 +
𝜕𝑉
𝑟𝜕𝜃
𝑎𝜃 +
𝜕𝑉
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝜕∅
𝑎∅
C. Cartesianas
C. Cilíndricas
C. Esféricas
Exemplo prático
Elevação do potencial de terra quando há incidência de
corrente elétrica no solo, criando superfícies
equipotenciais ao redor do ponto incidente.
Exemplo 7 – Dado o campo vetorial 𝑽 = 𝒙𝟐𝒚𝒛 (𝑉), encontre o campo elétrico E em (2,3,0) m.
Solução:
𝜕𝑉
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦𝑧𝑎𝑥 = 2 × 2 × 3 × 0 𝑎𝑥 = 0
𝜕𝑉
𝜕𝑦
= 𝑥2𝑧𝑎𝑥 = 2
2 × 0 𝑎𝑦 = 0
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 𝑥2𝑦𝑎𝑧 = 2
2 × 3 𝑎𝑧 = 12𝑎𝑧
𝐸 = −𝛻𝑉
𝐸 = −(0 + 0 + 12𝑎𝑧)
𝑬 = −𝟏𝟐𝒂𝒛 𝑽/𝒎
𝐸 = −( )
O Gradiente (𝜵𝑽)
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Eletromagnetismo
𝐸 = −( )
C. Cartesianas
𝒅𝑬
Determinação do campo elétrico pela equação do gradiente: Considere
um disco de raio a com densidade e cargas 𝜌𝑠,como mostrado na figura.
𝑉 =
𝜌𝑠
2𝜖0
ℎ2 + 𝑎2 − ℎ
Para encontrar E, deve-se saber como V varia
com a posição. Nesse caso, onde queremos
saber como E varia ao longo do eixo z, podemos
simplesmente trocar h por z na resposta de V, e
trabalhar com a expressão do gradiente.
A função potencial num ponto h no eixo z, já
foi calculada é:
𝑉 =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝑧2 + 𝑎2 − 𝑧
O Gradiente (𝜵𝑽)
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Eletromagnetismo
No ponto onde se quer calcular E, para
cada valor de dQ distribuído no disco há
um campo elétrico dE correspondente,
havendo divergência na direção a𝑧.
𝐸 = −𝛻𝑉
Portanto, o cálculo do campo
elétrico será:
Determinação do campo elétrico pela equação do gradiente (Cont.)
𝐸 = −𝛻𝑉
𝐸 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑎𝑧 = −
𝜌𝑠
2𝜖0
1
2
. 𝑧2 + 𝑎2 (
1
2
−1). 2. 𝑧 − 1 𝑎𝑧
𝐸 = −
𝜌𝑠
2𝜖0
𝑧
𝑧2 + 𝑎2
− 1 𝑎𝑧 𝐸 =
𝜌𝑠
2𝜖0
1 −
𝑧
𝑧2 + 𝑎2
𝑎𝑧
• Situação idêntica para a determinação de E, pode ser
aplicada para “linha infinita de cargas” e “anel carregado”.
O Gradiente (𝜵𝑽)
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Eletromagnetismo
𝒅𝑬
𝑉 =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝑧2 + 𝑎2 − 𝑧
❑ Tem-se agora três maneira de calcular o Campo Elétrico E:
• 1º) se o problema tiver uma simetria suficiente, pode-se aplicar a lei de Gauss;
• 2º) pode-se usar a abordagem da lei de Coulomb. Porém, esta abordagem pode ser de difícil implementação,
dependendo da distribuição de cargas.
• 3º) pela equação do gradiente, que nos fornece uma técnica poderosa para encontrar a intensidade do campo
elétrico.
Aqui pode-se fazer uma integração (sem nos importarmos com vetores), seguida de uma diferenciação
relativamente simples. O potencial eletrostático age como um passo intermediário, trocando um única operação
matemática difícil, por duas mais simples.
O Gradiente (𝜵𝑽)
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Assuntos da próxima aula:
Continuação de Energia e Potencial Elétrico