REFERENCIAIS_DE_RESPOSTAS_-Cálculo_1-versão_2

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CÁLCULO DIFERENCIAL e INTEGRAL -I 
Capítulo 1 
 Limites e Continuidade 
 
Atividade 1 
 
1.1 a ) -1 b) 3 c) não existe d) -1 e) 3 f) 3 
 
 
1.2 a) 0 b) 0 c) 0 d) +∞ 
 
 
1.3 a) 0 b) 0 c) 0 d) +∞ e) −∞ f) 4 
 
 
1.4 a) 0 b) 0 c) +∞ d) -∞ e) 1 
 
 
1.5 a) +∞ b) 
1
2
 c) não existe d) 
1
2
 e) -∞ 
 
 
 
 
Atividade 2 
 
a) 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
 a função é contínua em 0=x 
 
b) 
 
 
) ( 2) 1
) lim ( ) 4
2
) lim ( ) ( 2)
2
− =
= −
→−
≠ −
→−
i f
ii f x
x
iii f x f
x
 
A função é descontínua em 2= −x 
 
 
 
 
 
 
 
 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
y
 
Atividade 3 
 
a) 22 7 0 5 0 2− ⋅ − ⋅ = b) 23 3 7 3 2 8⋅ − ⋅ + = 
 c) 5 4( 1) 6 ( 1) 2 9− − + ⋅ − + = d) 
1
2 7 8
2
⋅ + = 
e) ( ) ( )3 11 4 1 2 27 1 27− − + ⋅ − + = ⋅ =  f) ( ) ( )
10
0 2 0 4 1024 4 4096 − ⋅ + = ⋅ =  
g) 
2 4 6
3 2 1 5
+
=
⋅ −
 h) 
2 3 5
2 2 4
+
=
+
 
i) 
( )( )1 1
lim lim 1 1 1 2
11 1
− +
= + = + =
−→ →
x x
x
xx x
 j) 
22 5 2 6 20
5
2 2 4
+ ⋅ +
= =
+
 
k)
( )( )3 2
lim lim 3 2 3 1
22 2
− −
= − = − = −
−→ →
t t
t
tt x
 l) 
1
4
92
1 2
2
2
+
=
⋅
 
m) 33 2 4 3 11⋅ + = n) ( )
2
2 3333 7 2 (23) 529⋅ + = = 
o) 
( )22 2 2 4 2 (4 2) 2 4 2 2 2 2 1
3 2 33 2 3 2 3 2 2
− − − ⋅ − −
= = = =
⋅⋅
 
p) 
2 2 2 2
3 2 4 2
−
=
⋅ − 
 
 
 
 
 
 
Atividade 4 
a) 
2 2
1 1
( 1)( 1) ( 1) 3
lim lim
( 1)( 1) ( 1) 2→− →−
+ − + − +
= = −
− + −x x
x x x x x
x x x
 
b) 
2 2
( 2)( 2) ( 2) 0
lim lim 0
( 2)( 3) ( 3) 5→− →−
+ + +
= = =
+ − − −t t
t t t t t
t t t
 
c)
( ) ( )
2 2
( 5)( 2) ( 5) 7
lim lim 1
1 3 1 7
3 2
3
→ →
+ − +
= = =
+ + − 
 
x x
x x x
x
x x
 
d) 
( ) ( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 1
2 5 1 72
lim lim lim( 1)
2 5 2 5 2→ → →
 − +  − +  = = + =
− −t t t
t t
t t
t
t t
 
e)
( )( )1
lim lim 1 1
→ →
− +
= + = +
−x a x a
x a x
x a
x a
 
f) 
( )( )
( )( )
( )
( )4 4
3 5 4 3 5 7
lim lim 1
4 9 4 4 9 7→ →
− − −
= = =
− − −x x
x x x
x x x
 
g) 
( )( )
( )( )
( )
( )1 1
1 5 5 4
lim lim
1 4 4 5→− →−
+ + +
= = −
+ − −x x
x x x
x x x
 
h) 
( )( )
( )( )
( )
( )1 1
1 1 1
lim lim 2
1 2 2→− →−
+ − −
= = −
+ + +x x
x x x
x x x
 
i) 
( )( )
( )2 2
2 2
lim lim( 2) 4
2→ →
+ −
= + =
−x x
x x
x
x
 
j) 
( )( )
( )( )
( )
( )2 2
2 3 3 1
lim lim
2 10 10 8→ →
− − −
= =
− − −x x
x x x
x x x
 
 
k) 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 22
0 0
2
2
0 0
2 4 2 4 4 4 4 2 4
lim lim
4 2 4
lim lim 4 2 4 32
h h
h h
h h h h h
h h
h h h
h h
h
→ →
→ →
     + − + + + + − + +     = =
 + + +   = = + + + = 
l) 
2
0 0 0
16 8 16 (8 )
lim lim lim(8 ) 8
→ → →
+ + − +
= = + =
t t t
t t t t
t
t t
 
 
m) 
 
 
 
n) 
 
 
o) 
0 0
1 0 1
lim lim 1
1 0 1h h
h
h→ →
− −
= =
− −
 
p) 
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
2 22
4 4 2
2
2 2
2 2
4 42 2
4 42 2
2 8 2 82 8
lim lim
4 4 2 8
2 8
2 8
lim lim
4 2 8 4 2 8
4 4 4 8
lim lim 1
84 2 8 2 8
h h
h h
h h
h h h hh h
h h h h
h h
h h
h h h h h h
h h h
h h h h h
→− →−
→− →−
→− →−
− + − −− +
= =
+ + − −
 
− −  − −  =
+ − − + − −
+ − − −
= = = −
+ − − − −
 
q) Considere que 33 8 8+ = ⇔ = −h y h y e 0 2→ ⇒ →h y 
( ) ( ) ( )3 2 22 2 2
2 2 1 1
lim lim lim
8 122 2 4 2 4→ → →
− −
= = =
− − + + + +y y y
y y
y y y y y y
 
 
r) 
 
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
0 0
0 0
25 3 5 25 3 5 25 3 5
lim lim
25 3 5 25 3 5
3 3 3
lim lim
1025 3 5 25 3 5
t t
t t
t t t
t t t t
t
t t t
→ →
→ →
+ − + + + −
= =
+ + + +
= = =
+ + + +
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
0 02 2
0 02 2
lim lim
lim lim
2
t t
t t
a bt a a bt a a bt a
t a bt a t a bt a
bt b b
at a bt a a bt a
→ →
→ →
+ − + + + −
= =
+ + + +
= = =
+ + + +
( )( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
1 1 1 11 1
lim lim
1 1
1 1
lim lim
21 1 1 1
x x
x x
x xx
x x x
x
x x x
→ →
→ →
+ − + ++ −
=
− − + +
= = −
− + + − + +
s) 
 
 
 
 
 
 
t) Considere que ( )33 3 3− = ⇔ = +x a y x y a e que se 0→ ⇒ →x a y . 
( )
( )
( )
3 3 2 3 2 3 30 0 33
3 2 3 20 03 2 3 23
3 20 2 3 23
lim lim
3 3
lim lim
3 3 3 3
1 1
lim
33 3
y y
y y
y
y y
y y a y a a ay a a
y y
y y a y a y y y a a
ay y a a
→ →
→ →
→
=
+ + + −+ −
=
+ + + +
=
+ +
 
 
Atividade 5 
 a) + 3 23 4 1⋅∞ + ⋅∞ − = +∞ 
b)
2
1 4
2 2− + =
∞ ∞
 
c)
2
1 1
lim lim 0= = =
∞→+∞ →+∞
t
t tt t
 
d) 
2
1 1
lim lim 0= = =
−∞→−∞ →−∞
t
t tt t
 
e) 
2
2
1 1
lim lim
2 2 2
= =
→+∞ →+∞
t
tt t
 
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
0 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
20
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
0 02 2 2 2 2
lim
lim
2
lim lim
2
x
x
x x
x a a x a a x b b
x b b x a a x b b
x a a x b b
x b b x a a
x x b b x b b b b
a ax x a a x a a
→
→
→ →
+ − + + + +
=
+ − + + + +
 + − + + 
 
 + − + + 
 
+ + + +
= = =
+ + + +
f) 
5
3
2
2
lim lim 2= − = −∞
−→+∞ →+∞
x
x
xx x
 
g) 
5 3
2
3 3
lim lim
1
= = +∞
− −→−∞ →−∞
x x
xx x
 
h) 
3
3
5 5 5
lim lim
7 7 7
− −
= = −
→−∞ →−∞
x
xx x
 
i) 
2
lim lim= = +∞
→+∞ →+∞
x
x
xx x
 
j) 
3
2
33 3
2
1
lim lim lim 0= = =
→+∞ →+∞ →+∞
x x x
x xx x x x
 
k) 
2
lim lim= = ∞
→+∞ →+∞
t
t
tx x
 
l) 
2
2
2 2 2
lim lim
3 3 3
= =
→+∞ →+∞
x
xx x 
m) + lim lim
3 3 3
∞
= = = +∞
→+∞ →+∞
v v v
vv v
 
 
 
n) 
 
 
 
 
o) 
 
2
2
2
2 2 2
1
1 | |
lim lim
11
| |
1 1 1
1 1
lim lim 1
1 1 1
1 1
x
x x
xxx x
x
x
x x
xx x
x x
+
+
=
++→+∞ →+∞
+
+ +
∞= = =
+→+∞ →+∞ + +
∞
2 2
2 2
22
1 1
1 | |
lim lim lim
1 11
| |
11 11
( )
lim 1
1 1
1 1
( )
x x
x x x
x xxx x x
x x
x
x
x
+ +
+
= =
+ ++→−∞ →−∞ →−∞
−
++ −∞
= = −
→−∞ − − − −
−∞
 
p) 
 
 
 
Atividade 6 
a) 
0 0 0 0
9 9 9 9
lim lim lim9 lim 9 1 9
9 9→ → → →
⋅
= = ⋅ = ⋅ =
⋅x x x x
sen x sen x sen x
x x x
 
 
b) 
0 0 0 0
4 4 4 4 4 4 4
lim lim lim lim 1
3 4 3 3 4 3 3→ → → →
⋅
= = ⋅ = ⋅ =
⋅x x x x
sen x sen x sen x
x x x
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
5 5
1 1 1
lim 1 lim 1 lim 1 1
+
→∞ →∞ →∞
     + = + ⋅ + = ⋅ =     
     
n n
n n n
e e
n n n
 
 
f) Considere 
2 1
2= ⇒ =x y
x y
 e se →∞⇒ →∞x y 
2
2
22 1 1lim 1 lim 1 lim 1
→∞ →∞ →∞
     + = + = + =     
       
y yx
x y y
e
x y y
 
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
( 1 1)( 1 1)
lim 1 1 lim
lim 1 1
2 2
lim 0
21 1
x x x x
x x
x xx x
x
x xx
+ − − + + −
+ − − =
+ + −→+∞ →+∞
→+∞
= =
⋅∞+ + −→+∞
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1cos
lim lim lim lim lim lim
cos cos cos
1
lim lim lim lim 1 1 1
cos
x x x x x x
x x x x
sen ax
tg ax senax senax senaxax
x x x ax x ax x ax
a senax senax
a a a
ax ax ax
→ → → → → →
→ → → →
= = ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
0 0 0
2
0 0 0
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
lim lim lim
1 cos 1 cos 1 cos
0
lim lim lim 1 0
1 cos 1 cos 2
x x x
x x x
x x x x
x x x x x x
sen x sen x sen x
x x x x
→ → →
→ → →
− + − −
= =
+ + +
= ⋅ = ⋅ =
+ +
 Capítulo 2 
DERIVADAS 
 
ATIVIDADE 1 
1.1 
a) 
3 9 2
3 9 2
12
6 4 10 8 3 0
5
24 21 24
df
x x x
dx
df
x x x
dx
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +
= − + −
 
b) Reescrevendo: 
1
2 12
( )
5
9 3
2
g θ θ θ θ
−= ⋅ + ⋅ − ⋅ 
 Derivando: 
( )
1
1 22
2
( )
( )
1 5
9 3 2 1
2 2
9 5
6
22
'
'
g
g
θ
θ
θ θ θ
θ
θθ
− −= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
= + +
 
c) Reescrevendo: 4 2 3( ) 6 3 4 10 5zh z z z z
−= − ⋅ + − ⋅ + − 
 Derivando: 
( ) 5 0 1 2
2
5
( )
( )
6 4 3 1 4 2 0 5 3
24
3 8 15
z
z
'
'
h z z z z
h z z
z
−= − ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅
= + − −
 
d) Reescrevendo: 
1
2 3
5 813 6
3 7
y x x x
−−
= + − + ⋅ 
 Derivando: 
1
1
0 3
3 4
5 1
1 0 13 2 6
3 3
5 2
26
3
dy
x x x
dx
dy
x
dx x
−
−−
= − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
−
= − −
 
 
 
 
 
 
1.2 Derivando-se a função, temos: 2 2( ) ( )
1 5 1
3 2 0 5
6 2 2
x x
' 'f x x f x x= ⋅ − ⋅ + → = ⋅ − 
Com a função derivada, monta-se a equação: 
2
( )4 0 4 5 0
2
x
' xf x
 
⋅ = → ⋅ − = 
 
. 
 As soluções desta equação do segundo grau são: 1 0x = e 2 10x = . 
 
1.3 Reescrevendo a função, temos: 1 2( ) 48 3 5ts t t
−= ⋅ + − . Deve-se derivar a função de 
posição para encontrar a função de velocidade. Assim: 
( ) 2 2( )
48
48 1 3 2 0 6t
dv
v t t t
dt t
− −= = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = + . Com a função de velocidade é possível 
responder às seguintes questões: 
a) Para o instante 4 segundos: 
2(4)
(4)
48
6 4 3 24
4
21
v
v
−
= + ⋅ = − +
=
 
Resposta: A velocidade é 21 m/s. 
 
b) Para velocidade nula: 
2
3
2
3
( )
48
0 6 0
48
6 48 6
8 2
tv t
t
t t
t
t t
−
= → + =
−
= − → =
= → =
 
Resposta: A velocidade é nula após 2 segundos. 
 
 
 
 
 
Atividade 2 
 
2.1 
a) 
( ) ( ) ( )3 3
0
( )
2 2
lim
h
x
'
x h x h x x
f
h→
+ − + − −
= 
 
Fatorando e simplificando: 
3 2 2 3 33 3 2 2 2 hx x h h x h x h x x
h
+ + + − − − +
=
( )2 23 3 2x hx h
h
⋅ + + −
 
Calculando o limite: 2 2 2
0
( ) ( )lim 3 3 2 3 2
h
x x
' 'f x hx h f x
→
= + + − → = −
 
 
 
b) 
0
( )
7 7
3 3
lim
h
x
'
x h x
g
h→
+  − − − 
 = 
 
Fatorando e simplificando: 
7 7
1 13 3 3 3
3 3
x h x x h x h
h
h h h h
+ − − + −
− − + −
= = = ⋅ = − 
Calculando o limite: 
0
( ) ( )
1 1
lim
3 3h
x x
' 'f g
→
= − → = −
 
 
c) 
0 0
( ) ( )
15 15 0
lim lim 0
h h
x x
' 'f f
h h→ →
−
= = → = 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 
Utilizando-se da definição de módulo, deve-se reescrever a função. Temos: 
( )
( )( ) ( )
2 3 5 , 3 2 1 , 3
2 11 , 32 3 5 , 3
x x
x se x x se x
f f
x se xx se x
⋅ − + ≥ − ≥
= → = 
− + <⋅ − + + < 
 
Com as expressões válidas à esquerda e à direita do ponto 3x = , calculamos as 
derivadas laterais. 
( ) ( )
0 0 0
(3)
(3)
2 3 1 2 3 1 6 2 1 5 2
lim lim lim
2
h h h
'
'
h h h
f
h h h
f
+ + ++ → → →
+
⋅ + − − ⋅ + + − −
= = =
=
 
( ) ( )
_
0 0 0
_
(3)
(3)
2 3 11 2 3 11 6 2 11 5 2
lim lim lim
2
h h h
'
'
h h h
f
h h h
f
− − −→ → →
− ⋅ + + − − ⋅ + − − + − −
= = =
= −
 
Como as derivadas laterais da função são diferentes, a função não é derivável no 
ponto 3x = 
 
 
2.3 
O gráfico da função é uma parábola para 3x < e uma reta para o intervalo 3x > . 
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
 
 
 
Tomando-se as diferentes expressões da função à esquerda e à direita do ponto 
3x = , encontramos as derivadas. Temos: 
( )
( )
4 3
2 2 3
x
x
'
'
g para x
g x para x
= >
= − <
 
 Calculando-se as derivadas laterais da função encontramos os seguintes valores: 
(3) 4
'g+ = e (3) 2 3 2 4
'g− = ⋅ − = . As derivadas laterais são iguais e dessa forma a 
função é derivável no ponto 3x = . 
 
 
2.4 
Semelhantemente ao exercício 3, derivamos as diferentes expressões da função 
válidas nos respectivos intervalos. Temos: 
( ) ( ) ( )0 0 2 6 0 4 2 4x x x
' ' 'h se x h x se x h para x= < = − + < < = − >
 
 
a) (0) 2 0 6 6
'h+ = − ⋅ + = e (0) 0
'h− = . A função não é derivável no ponto 0x = 
porque as derivadas laterais são diferentes. 
 
 
b) (4) 2
'h+ = − e (4) 2 4 6 2
'h− = − ⋅ + = − . É derivável porque as derivadas laterais 
são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 3 
 
3.1 a) Aplica-se a regra do quociente ao primeiro termo da função: 
 ( )
3
1
32
0
2
3
2
( )
( )
3
2 2
2 4 1 0
2
3 2
4
4
x
x
'
'
x x x
f x
x
x x x
f
x
−
⋅ ⋅ − ⋅
= + ⋅ ⋅ −
⋅ − ⋅
= +
 
 
b) Aplica-se a regra do produto para derivar a multiplicação dos termos entre 
parênteses, ou multiplicam-se os termos aplicando a propriedade distributiva e, em 
seguida, se faz a derivada. 
 
8 7
2
7 6
6
7
( )
( )
( )
5 3
55 33 4 3
2 2
40 21
110 33 4
2 2
21
110 20 29
2
'
'
'
g
g
g
θ
θ
θ
θ θ
θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ θ
= − − + + −
= − − + +
= − + −
 
c) -se a regra do produto de funções, em que a primeira das funções é 
2
3
6z z
z
−
 e a 
outra função é 4 3z − . Deve-se ficar atento ao aplicar a regra do produto, pois ao 
derivar a primeira função, precisamos levar em conta o quociente entre os termos 
2 6z z− e 3z . Outra opção é aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, e, 
em seguida, derivar o quociente do resultado deste produto. 
 
( ) ( )
( )
( )
3 2 2 2
2
2 33
2
2
2 2
2
2
2
2 6 3 6 6
4 3 4 5 3 0
4 51 36 4 24
15
4 55 60
15
z z z z zdh z z
z z
dz zz
dh z z z
z
dz z z
dh z z
z
dz z
− ⋅ − ⋅ − −
= ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ −
− + − −
= + +
− + −
= + 
 
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1
2 2
2 2
2
2
( )
( )
( )
1 1
1 2 1 2 62 2
1 1
1
2 2 2 2 6
 
1 6
 
d
2
) p
p
p
'
'
'
p p p p p p
f
pp
p p
p p p p
f
p p
f
pp p
− −
⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ −
= +
⋅ − ⋅ +
− +
= +
= − +
 
 
 
3.2 Para derivar a função, deve-se aplicar a regra do quociente. Tem-se, então: 
( )
( ) ( )
2 2
2 2( )
4 1 1 2 2 4
1 1
x
'
x x x x x
f
x x
⋅ − − ⋅ −
= =
− −
 
Ao igualarmos a derivada a zero, temos a equação 
( )
2
2
2 4
0
1
x x
x
−
=
−
, fazendo 
22 4 0x x− = , que tem soluções 1 0x = e 2 2x = . 
 
3.3 Derivando-se diretamente: 4 44 5 20
dh
x x
dx
= ⋅ ⋅ = . 
 Aplicando-se a regra do produto, temos: 
2 2 3 4 4
4
( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 4 12 8
20
x x x x
' 'dh f g g f x x x x x x
dx
dh
x
dx
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = +
=
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 4 
 
4.1- Para determinar o ponto de tangência, basta substituir na função o valor de x 
dado: 
3
(2)
2 8
2
2 4
f = = = 
O ponto de tangência tem coordenadas ( )2,4 . 
Para se determinar a inclinação da reta tangente, deve-se calcular o valor da derivada 
da função no ponto 2x = . 
2 2
( ) (2)
3 3 2
6
2 2
x
' 'xf f
⋅
= → = = 
Basta, agora, substituir na equação ( )0 0y y m x x− = ⋅ − fazendo ( )4 6 2y x− = ⋅ − e 
encontrar a equação da reta tangente: 
6 8 Equação da retay x= − → 
 
4.2-O vértice da parábola do segundo grau é tal que 
( )10
5
2 2 1
V
b
x
a
− −−
= = =
⋅
. 
A derivada da função é 2 10'y x= − , e representa a inclinação da reta que é tangente 
ao gráfico da função num dado ponto. No vértice da função, a reta tangente 
y mx b= + tem inclinação 2 5 10 0m = ⋅ − = . Como a inclinação da reta é nula, ela é 
paralela ao eixo x. 
 
 
 
 
 
4.3 
A derivada primeira da função é dada por 2( ) 5 14x
'f x x= − − . A função derivada é 
uma parábola do segundo grau com concavidade voltada para cima e raízes iguais 
 A x’=-2 e x”=7. A análise de sinal da derivada faz: 
( ) ( )0 2 7 0 2 7x x
' 'f se x f se x ou x< − < < > < − > . 
Assim, as retas tangentes ao gráfico da função são ascendentes no intervalo 
2 7x ou x< − > e descendentes no intervalo 2 7x− < < . 
 
 
ATIVIDADE 5 
 
5.1 a) Primeiramente se encontra a derivada primeira: ( ) ( )( ) 2 sen cos 2x x x
'f x= ⋅ + ⋅ . 
Em seguida, deriva-se novamente a expressão para encontrar a derivada segunda: 
 
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )
( )
2 cos sen 2 2 cos
4 cos 2 sen
x
x
x x x
x x
''
''
f x
f x
= ⋅ + − ⋅ + ⋅
= ⋅ − ⋅
 
 
 
23
30 3
4
b) 
dh x
x
dx
= − + 
 
2
2
3
30
2
d h x
dx
= − 
 
3
3
3
2
d h
dx
= 
 
 
 
c) Neste item, deve-se aplicar a regra da derivada do quociente de funções, agrupar 
os termos semelhantes e aplicar novamente a regra do quociente para encontrar a 
derivada segunda. 
 
( )
( )
2 2
2 2( )
4 3 5 3 2 6 20
9 30 253 5
x
'
x x x x x
h
x xx
⋅ − − ⋅ −
= =
− +−
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
4
( )
( )
12 20 9 30 25 18 30 6 20
3 5
300 500
3 5
x
x
''
''
x x x x x x
h
x
x
h
x
− ⋅ − + − − ⋅ −
=
 − 
−
=
−
 
 
 
( )[ ]
( )
( )
( )
2 sen 1
 4 2 3 log
3
2sen 3
 8 log
3
5.2 a) x
x
x
x
'
'
f x e
x
f x e
x
− ⋅ −
= + ⋅ − ⋅ ⋅
= + − ⋅ 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )1
1
2
2
12
2
2
( )
( )
( )
3 3 1
 2 cos
23
3 1 1
 2 cos
9
2
1 1
 2 cos
3 2
b)
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
'
'
'
e x e
f x
x
e x
f
x
x
e x
f
x x
−
−
⋅ − ⋅
= + ⋅ − ⋅
⋅ −
= + ⋅ −
⋅ −
= + ⋅ 
 
 
( ) 2
2
5
9 ln9 7cos sen 7
5
 9 ln 9 7 sen 7co
c)
s
 
dh
d
dh
d
α
α
α α α
α α
α α α
α α
= ⋅ − + − ⋅ −  
= ⋅ + ⋅ − −
Dica: reescrever 
5
α
 como 15 α −⋅ . 
 
 
 
 
 
 
5.3 No ponto onde a tangente ao gráfico é horizontal, a derivada primeira da função 
deve ser nula, pois a derivada representa a inclinação das retas tangentes. 
A derivada primeira da função é: ( ) 1
x
x
'f e= − . Temos, então: 
1 0 1 0x xe e x− = → = → = 
Substituindo-se o valor de x na função encontramos a ordenada do ponto onde a 
tangente é horizontal. Temos: 
1
(1) 1 1 1,718f e e= − = − ≅ 
As coordenadas do ponto onde a tangente é horizontal são: ( )1, 1− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo3 
Derivadas de funções compostas e 
aplicações. 
 
Atividade-I 
1.1 Tem-se: ( )
( )( )
1
sec
cos
= =x x
x
h 
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
0 cos -sen
cos
sen
cos
1 sen
cos cos
sec( ) ( )
x x
x
x
x
x
x x
dh
dx
dh
dx
dh
dx
dh
x tg x
dx
  ⋅ −=
=
= ⋅
= ⋅
 
 
1.2 Encontrando a derivada primeira. 
( ) ( ) ( ) ( )3 cos sec cot 3cos sec cotx x x x'y = ⋅− ⋅ = − 
 
Para determinarmos a derivada segunda, precisamos utilizar a propriedade do 
produto de funções. Assim: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]23 cossec cot cot cossec 3cossecx x x x x' 'y  = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ −  
( ) ( ) ( )2 2 33cos sec cot 3cos secx x x' 'y = − 
 
 
1.3 Reescrevendo a função, temos: 
( )
( )( )
cos
x
x
sen x
h = . 
 
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2
'
2
'
2
2
sen sen cos cos
( )
sen co s
( )
( )
1
( )
1 1
( )
( ) cossec ( )
x x x x
sen x
x x
x
x x
'
'
'
h x
h x
sen x
h x
sen
h x
sen sen
h x x
−
−
− ⋅ ⋅
=
−
=
−
=
−
= ⋅
= −
 
 
1.4 Reescrevendo a função como um produto de termos: 
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos cos sen sen= ⋅ + ⋅x x x x xf 
 Derivando a expressão, aplicamos a propriedade do produto de funções: 
 
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
sen cos sen cos cos sen cos sen
2sen cos 2sen cos
0
= − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅
= − +
=
x
x
x
x x x x x x x x
x x x x
'
'
'
f
f
f
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 3 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( )
2 3 2
2 2
( )
( )
6 1
15 sec sec tan 5 sec
4 3
3 1
 5 sec 3 tan sec
2 3
2.1 a) x
x
x x x x
x x x
'
'
x
f x x
x
f x x
= ⋅ + ⋅ + −
= ⋅ + + −
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
1
2
( )
( )
1
6 sen 3cos sec sec tan 3sen
2
1
 6sen 3sec cos tan sen
b 
2
) '
'
g
g
θ
θ
θ θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ
θ
−
= − + ⋅ + ⋅ − ⋅
= − + + −
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )
3
3
( )
( )
 sec sec tan 6 2 0 5 sen
12
 sec 1 tan
c
5sen
) p p
p
p
p
p p p p
p p p
'
'
f e e p
f e
p
−= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − − −
= ⋅ + − +
 
 
 
2.2 A inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto é o valor da 
derivada da função naquele ponto. Para a função ( )( ) tan=x xf , a derivada é 
( )2( ) sec=x xf e, dessa forma, se a reta tangente tem inclinação igual a 4: 
( ) ( ) ( )2sec 4 sec 4 sec 2= → = ± → = ±x x x 
( )
( ) ( )
1 1 1
2 cos cos
cos 2 2
= ± → = = −x x
x
ou 
5
3 6
= =x rad ou x rad
π π
 
 
 
 
2.3Reescrevendo a função: 
( ) ( ) ( ) ( )( ) sec sec tan tan= ⋅ − ⋅x x x x xf 
 Para derivar a função, aplica-se a propriedade do produto nos dois termos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2( ) sec tan sec sec tan sec sec tan sec tan= ⋅ + ⋅ − +x x x x x x x x x x x'f
 
( ) ( ) ( ) ( )2 2( )
( )
2sec tan 2sec tan
0
= −
=
x
x
x x x x'
'
f
f
 
 
 
A derivada está de acordo com a identidade trigonométrica, uma vez que esta 
pode ser reescrita como ( ) ( )2 2sec tan 1− =x x , e a função ( )xf poderia ser 
escrita como ( ) 1=xf , que é uma função constante cuja derivada é nula. 
 
 
Atividade 3 
3.1 
 
a) Reescrevendo a função: 
( ) ( )
1 4
2
2
( )
1
3 1 3 13
2
= + − +xf x x
 
 
 Derivando-se a função, temos: 
 
( ) ( ) ( )
( )
1 3
2
2
3
2
( )
( )
1 1
3 3 4 1 3 6 0
2 2
3
12 1 3
2 3
x
x
'
'
f x x x
f x x
x
−
= ⋅ + ⋅ − ⋅ − +
= − −
 
 
 
b) Deve-se aplicar a propriedade do produto de funções, ficando atento às duas 
funções compostas que estão se multiplicando: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 62 2 2 2( )
10
6 5 3 10 2 4 2 2 2 5 3
2
'g θ
θ
θ θ θ θ θ θ θ θ= − ⋅ + + + + ⋅ − − 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 62 2 2 2( ) 60 5 3 2 8 8 2 5 3 5'g θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= − + + + + − − 
 
c) Reescrevendo a função: 
 
( )
34
2 3
( ) 6 9 5 30
3
−
 = − + ⋅ + + 
 
z
z
h z z
 
 Derivando a função, temos: 
 
( ) ( )
1
2 3
( )
4
6 2 9 3
3
= − ⋅ + ⋅ −z
'h z z ( )
4
1
5
3 3
−
 + ⋅ 
 
z
( )
( )
41
2 3
23
4
( )
( )
30
8
6 9 5 30
3 3
8 9
6 30
3
5
3
−
 
+ 
 
 = − + + + 
 
= − + +
 + 
 
z
z
'
'
z z
h z
z
h z
z
 
 
d) Reescrevendo a função: 
 ( )
( )
( ) ( )
1 1
9 9 33 2
1
2
( )
7
2 6 2 6 7 2 5
2 5
−
= − ⋅ + = − ⋅ + +
+
pf p p p p p
p
 
 Derivando: 
( ) ( ) ( )
2
8 93 3
( )
1 1
9 2 6 2 2 6 7
3 2
− −
= − ⋅ + ⋅ − + ⋅p
'f p p p p ( )
3
22 5 2
− 
+ 
 
p ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
8 93
2 3
3 2
9
8 3
2 33
( )
( )
1 7
18 2 6 2 6
2 53
2 6 7
18 2 6
3 2 5
= − ⋅ + ⋅ − −
+
−
= − ⋅ + −
+
p
p
'
'
f p p p
pp
p
f p p
p p
 
 
 
 
 
 
3.2 
Pela regra da cadeia, 
 
= ⋅
dy dy dx
dt dx dt . 
 Temos: 
 
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
6 1 1 3 6 6 3 3 6
1 1 1
⋅ − − ⋅ − − −
= = =
− − −
x x xdy x x x x x
dx x x x
 
 Assim, a expressão da derivada é: 
( )
2
2
3 6
1
−
= ⋅
−
dy x x dx
dt dtx
 
 
3.3 
A derivada é dada em função de 
dx
dt
 porque não se conhece a expressão da 
função ( )= tx f , apenas se sabe que a variável x é dada em função da variável 
t. 
 
Pela regra da cadeia, = ⋅
df df dw
dt dx dt
. Encontrando-se a derivada 
2
12
6= −
df
w
dw w
 podemos então escrever: 
2
12
6
 = − ⋅ 
 
df dw
w
dt dtw
. 
 
 Para os valores fornecidos no enunciado, temos: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
12
6 2 4 12 3 4 9 4
2
36
 = ⋅ − ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ − 
 
= −
df
dt
df
dt
 
 
 
 
 
 
 3.4 
Pela regra da cadeia, = ⋅
dg dg dx
dt dx dt
 onde: 
1
2
=
dg
dx
( ) 223 2 3 4⋅ − ⋅x ( ) 215+x x . 
 
Assim a derivada em relação à variável t é: 
( ) 22 26 2 3 15 = − + ⋅  
dg dx
x x x
dt dt
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 4 
 
a) 
( )
( )5 2( )
4
2 5 6
4 5
−= + ⋅ − +
+
z
z
'h e z
z
 
 
( )
( )5 2( )
4
10 5 6
4 5
−= − ⋅ − +
+
z
z
'h e z
z
 
 
b) ( ) ( ) ( )2 22( ) 2 2cos 2 7 ln 7 2 12 cos sen 2 6 = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ 'f θθ θ θ θθ θ θ 
 ( ) ( ) ( )[ ]22( ) 2 22 cos 2 7 ln 7 12 cos sen= + ⋅ ⋅ − − ⋅'f θθ θ θ θθ θ θ 
 
c) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 3 2( ) 2 2 32cossec cot 2 2 3 3 2 sec 3
 
− 
 
= − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −x xx x x x
'f e x x e
π 
 ( ) ( ) ( )2 3 2( ) 2 2 322cossec cot 6 1 3sec
 
− 
 
= − − + −xx x x x
'f x e x
π
 
 
 
 
d) 2( ) 2 2
3 1
log 5sec tan 0
3 2
   
   
   
= ⋅ + ⋅ +p
x x'g e
x
 
 
2( ) 2 2
1 5
log sec tan
2
p
x x'g e
x
   
   
   
= ⋅ + 
 
e) ( )
( )
2
2 2
2 2
2 3
´ 2 2 2 4 3 2
´ 2 4 3 2
2
( ) (3 ) 5cot 2
3
( ) 3cos(3 ) 2 (3 ) 3 1 ln 2 5 cossec 2 2
3
3cos(3 ) 2 (3 )
( ) 3 ln 2 10cossec 2
3
x x
x x x x
x x
x
xf sen x e x x
f x x e sen x e x e x x x x
x sen x
f x x e x x x x
e
π
π
π
−
− −
− −
−
 = ⋅ + + − 
 
  = ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅  
  
+  = + − ⋅ + ⋅ ⋅ − − 
 
 
 
 
 
 
Atividade 5 
 
5.1 
a) 
( )22
4
3
1 2 1
=
− +
' xy
x
 
b) 
2
2
1
24
1 3
2
2
1 3
2
'
'
y
x
y
x
= ⋅
 + − 
 
=
 + − 
 
 
 
c) 2
4
6
, 3 1
9 1
= >
⋅ −
' xy para x
x x
 
 
 
 
 
 
 
5.2 
a) Derivando-se o numeradore o denominador: ( ) ( )2 1= =
x
x x
' 'f e e g 
 Calculando o limite: 
0 0
2 2 2
2
1
lim lim
→ →
−
= =
x x
x x
e e
x
 
 
b) Derivando-se o numerador e o denominador, temos o seguinte resultado: 
 ( )2 2( ) ( )3 1 3 3= − = −x x' 'f x e g x 
Calculando o limite: 
( ) ( )3 2
3 21 1
1 3 1 0
03 2 3 3
lim lim
→ →
− −
= =
− + −x x
x x
x x x
. 
 
Como a indeterminação ainda persiste, vamos derivar novamente as funções 
do numerador e do denominador. 
 ( )( ) ( )6 1 6= − =x x' ' ' 'f x e g x 
 Calculando o limite: 
( ) ( )3
31 1
1 6 1 0
0
6 13 2
lim lim
→ →
− −
= = =
− +x x
x x
xx x
 
 
c) Derivando-se o numerador e o denominador, obtemos como resultado: 
 2 3( ) ( )3 6 20= + =x x
' 'f x x e g x . 
 
Ao tentar fazermos o cálculo do limite, observamos que o numerador e o 
denominador continuam convergindo para o infinito. Assim, vamos continuar 
derivando as funções até que um deles não esteja mais convergindo ao infinito. 
 2( ) ( )6 6 60= + =x x
' ' ' 'f x e g x e ( ) ( )6 120= =x x
' ' ' ' ' 'f e g x 
 
 Calculando o limite: 
3 2
4 2
3 2 6
0
1205 7
lim lim
→ ∞ → ∞
+ −
= =
+x x
x x
xx x
 
 
 
d) Derivando-se o numerador e o denominador: 
 ( )
1 2
3 22
3
( ) ( )
1 3
1 3 1
2 2 1
−
= + ⋅ = =
+
p p
' 'pf p p e g
p
. 
 
 
Calculando o limite: 
 
3 2 2
3 32 2
1 3 3 3 2 3
2 2 1 2 1 2
lim lim
→ →
+ − ⋅
= = =
− + +p p
p p
p p
4⋅
2 3⋅
2=