Álgebra - Caderno 04

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4
ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA ÁLGEBRA
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Função modular
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1Função modular
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Função modular
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1
 FUNÇÃO MODULAR
1 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Módulo de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
MATEMÁTICA ÁLGEBRA
Luiz Roberto Dante
2120616 (PR)
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MÓDULO
Função modular
A Ciudad Mitad del Mundo (Cidade Metade do 
Mundo, em português) localiza-se em Quito, no Equa-
dor. Por ela passa a linha do equador, que divide o 
planeta nos hemisférios norte e sul e marca a latitude 
00°00'00".
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
A coordenada geográfica definida pelo ângulo 
entre o plano do equador e a normal à super-
fície de referência chama-se latitude. Ela pode 
ser medida para norte e para sul do equador: 
90° sul no polo Sul (negativa) e 90° norte no 
polo Norte. Outra maneira de dizer isso seria: 
290° e 90°. 
Você sabe o que é valor absoluto e o que é 
valor relativo? Quais são as propriedades da 
função modular e como é seu gráfico?
www.ser.com.br
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4 Função modular
CAPÍTULO
1 Função modular
Objetivos:
c Reconhecer função 
modular.
c Aplicar o conceito de 
função modular na 
resolução de situações-
-problema.
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
O ato mais simples para o qual a Matemática nos dá suporte é o de contar. Medir é um dos 
aspectos da contagem, pois quando o fazemos também comparamos grandezas. Muitas vezes, é 
conveniente associarmos um sentido à medida. Esse é o caso da longitude, medida em graus, de um 
ponto sobre a superfície terrestre: por convenção, às longitudes consideradas a leste do meridiano 
de Greenwich é atribuído o sinal positivo (1), enquanto às longitudes a oeste desse meridiano é 
atribuído o sinal negativo (2). 
O meridiano de Greenwich serve de referência para estabelecer a relação entre as horas em 
qualquer ponto da superfície terrestre, sendo o marcador oficial de tempo que estabelece os fusos 
horários: cada fuso corresponde a uma faixa de quinze graus de longitude de largura, que é conta-
bilizado a partir do meridiano 2 para oeste, o fuso é negativo e, para leste, positivo. Por exemplo, 
no horário de Brasília (hora oficial do Brasil), a cidade está localizada a 47°52'0" oeste do meridiano 
de Greenwich; logo, está atrasado em 3 h em relação ao distrito londrino. Entretanto, a quantidade 
expressa pela grandeza independe do sinal que a precede, pois este apenas indica um sentido. Assim, 
dizemos que essa quantidade é seu valor absoluto e, quando está acompanhada de sinal, é chamada 
valor relativo.
Dizemos que o valor absoluto é o módulo do número.
 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
O módulo ou valor absoluto de um número real r, que representamos por |r|, é considerado 
igual a r se r > 0 e igual a 2r se r , 0. Por exemplo: 
 |2| 5 2, porque, nesse caso, r 5 2 e 2 . 0;
 |0| 5 0, porque, nesse caso, r 5 0;
 |22| 5 2(22) 5 2, porque r 5 22 e 22 , 0.
Resumindo, podemos escrever:
|r| 5 r, se r > 0
e
|r| 5 2r, se r , 0
Geometricamente, o módulo de um número indica, na reta real, a distância desse número à 
origem (zero).
�3 20
2 unidades3 unidades
 distância do 2 ao 0: 2 unidades → |2| 5 2
 distância do 23 ao 0: 3 unidades → |23| 5 3
Veja outros exemplos:
 |3| 5 3
 |1,5| 5 1,5
 51
2
1
2
 |26| 5 2(26) 5 6
 − − −( )5 52 2 2
 |0| 5 0
Podemos observar que o módulo de um número real qualquer nunca é negativo, ou seja, é 
sempre positivo ou zero.
Meridiano de
Greenwich
Greenwich
O meridiano de Greenwich, por 
convenção, divide o globo terrestre em 
ocidente e oriente, permitindo medir a 
longitude. Ele atravessa dois continentes 
e sete países (na Europa: Reino Unido, 
França e Espanha; e na África: Argélia, 
Mali, Burkina Fasso e Gana).
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Função modular
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1 Calcule o valor de:
a) 2 ? |5|
b) |27| 1 |22|
c) |25 1 3|
RESOLUÇÃO:
a) 2 ? |5| 5 2 ? 5 5 10
b) |27| 1 |22| 5 7 1 2 5 9
c) |25 1 3| 5 |22| 5 2
2 Calcule:
a) |x2| com x [ R
b) |x5| com x [ R
c) |x 23| com x [ R
d) |x 22| 1 |x 26| com x , 2
e) |x 22| 1 |x 26| com x [ R
RESOLUÇÃO:
a) |x2| com x [ R
 Como x [ R ⇒ x2 > 0 e, pela definição, |x2| 5 x2.
b) |x5| com x [ R
 se x > 0, então x5 > 0 e, pela definição, | x5 | 5 x5;
 se x , 0, então x5 , 0 e, pela definição, | x5 | 5 2x5.
 Observação:
 |x2| independe do sinal de x.
 |x5| depende do sinal de x.
c) |x 2 3| com x [ R
 Para resolver este exercício, usamos o estudo do sinal de 
f(x) 5 x 2 3:
3 (raiz)2
1
 x > 3 ⇒ x 2 3 > 0 ⇒ |x 2 3| 5 x 2 3
 x , 3 ⇒ x 2 3 , 0 ⇒ |x 2 3| 52(x 2 3) 52x 1 3
 Então, |x 2 3| 5 x 2 3 quando x > 3, e 
 |x 2 3| 5 2x 1 3 quando x , 3.
d) |x 2 2| 1 |x 2 6| com x , 2
 x , 2 ⇒ x 2 2 , 0 e, pela definição, |x 2 2| 5 2(x 2 2) 5 
5 2x 1 2;
 x , 2 ⇒ x 2 6 , 0 e, pela definição, |x 2 6| 5 2(x 2 6) 5 
5 2x 1 6.
 Então:
 x , 2 ⇒ |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 (2x 1 2) 1 (2x 1 6) 5 2x 1 
1 2 2 x 1 6 5 22x 1 8.
 Portanto, para x , 2, temos |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 22x 1 8.
e) |x 2 2| 1 |x 2 6| com x [ R
 Vamos resolver este exercício de duas maneiras:
 1a maneira:
 Nessa expressão, devemos analisar três casos:
 x , 2, 2 < x < 6 e x . 6
 Para x , 2, já vimos no exercício anterior:
 |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 22x 1 8.
 Para 2 < x < 6, temos x 2 2 > 0 e x 2 6 < 0.
 Então:
 |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 (x 2 2) 1 (2x 1 6) 5 x 2 2 2 x 1 6 5 4.
 Para x . 6, temos x 2 2 . 0 e x 2 6 . 0.
 Então:
 |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 (x 2 2) 1 (x 2 6) 5 2x 2 8.
 Logo, |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 














2x 8, se x 2
4, se 2 x 6
2x 8, se x 6
2 12x2 1 x 2,x 2
< <2 x< <2 x
2 .8,2 .se2 .x 62 .x 6
 
 2a maneira:
 |x 2 2| 5 
x 2, se x 2
x 2, se x 2
2 >x 22 >x 2, s2 >e x2 >
2 1x 22 1x 2 ,
 
 |x 2 6| 5 
x 6, se x 6
x 6, se x 6
2 >x 62 >x 6, s2 >e x2 >
2 1x 62 1x 6 ,
 
2
2
6
6
–x + 2
–x + 6
–2x + 8
x – 2
–x + 6
4
x – 2
x – 6
2x – 8
|x – 6|
|x – 2| + |x – 6|
|x – 2|
 Logo: 
 |x 2 2| 1 |x 2 6| 5 
2x 8, se x 2
4, se 2 x 6
2x 8, se x 6































2 12x2 1 x 2,x 2
< <2 x< <2 x
2 .8,2 .se2 .x 62 .x 6
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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6 Função modular
Propriedades envolvendo módulo
Admitiremos, sem demonstrar, algumas propriedades dos módulos:
1a) Para todo r [ R, temos |r| 5 |2r|.
Exemplos:
a) |7| 5 |27|
 ↓ ↓
 7 7
b) |24| 5 |4|
 ↓ ↓
 4 4
c) 1
2
 5 
1
2
2
 ↓ ↓
 1
2
 1
2
2a) Para todo x [ R, temos |x2| 5 |x|2 5 x2.
Exemplos:
a) Para x 5 6 ⇒ x2 5 36, |x2| 5 |36| 5 36 e |x|2 5 |6|2 5 36.
b) Para x 5 0 ⇒ x2 5 0, |x2| 5 |02| 5 |0| 5 0 e |x|2 5 |0|2 5 02 5 0.
c) Para x 5 25 ⇒ x2 5 25, |x2| 5 |25| 5 25 e |x|2 5 |25|2 5 52 5 25.
Não é correto considerar x2 igual a x, pois isso é verdadeiro para x > 0, mas é falso para x , 0. 
Veja os exemplos:
 ⇒x 3 x 3 9 3 x2 25 5 5 5 5 ( )⇒x 4 x 4 16 4 x2
2
52 5 2 5 5 ±
O correto é afirmar que:
Para todo x [ R, temos x x2 5 .
3a) Para todox e y pertencentes a R, |x ? y| 5 |x| ? |y|.
Exemplos:
a) x 5 2 e y 5 3 ⇒ |2 ? 3| 5 |2| ? |3|
|6| 5 2 ? 3
6 5 6
b) x 5 1 e y 5 22 ⇒ |1 ? (22)| 5 |1| ? |22|
|22| 5 1 ? 2
2 5 2
4a) Para todo x e y pertencentes a R, |x 1 y| < |x| 1 |y|.
Exemplos:
a) x 5 23 e y 5 22 ⇒ |(23) 1 (22)| < |23| 1 |22|
|25| < 3 1 2
5 5 5
b) x 5 23 e y 5 4 ⇒ |(23) 1 4| < |23| 1 |4|
|1| < 3 1 4
1 , 7
c) x 5 4 e y 5 5 ⇒ |4 1 5| < |4| 1 |5|
|9| < 4 1 5
9 5 9
d) x 5 1 e y 5 22 ⇒ |1 1 (22)| < |1| 1 |22|
|21| < 1 1 2
1 , 3
c) x 5 23 e y 5 24 ⇒ |(23) ? (24)| 5 |23| ? |24|
|12| 5 3 ? 4
12 5 12
Cuidado! A igualdade |2r| 5 r 
não é verdadeira para r , 0. Por 
exemplo, para r 5 25, temos 
|2(25)| 5 25 ou |5| 5 25, que 
é falso.
PARA
REFLETIR
Compare os valores reais de x em 
cada uma das situações:
a) x 4x 49 7.5 5x 45 5x 4x 45 59 75 59 7
b) x 49 x 49 x 7,
ou sejaseja, x 7 ou x 7.
2x 42x 4 ⇒ ±9 x⇒ ±9 x ⇒ ±x 7⇒ ±x 75 5x 45 5x 49 x5 5⇒ ±5 5⇒ ±9 x⇒ ±9 x5 55 5⇒ ± x 7⇒ ±5x 75⇒ ±
5 57 o5 5u x5 5 2
PARA
REFLETIR
Para quaisquer números reais a e 
b, temos |a 2 b| 5 |b 2 a|.
PARA
REFLETIR
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5a) Para todo x e y pertencentes a R, ||x|2|y|| < |x 2 y|.
Exemplos:
a) x 5 1 e y 5 2 ⇒ ||1| 2 |2|| < |1 2 2|
|1 2 2| < 1 2 2
|21| 5 |21|
1 5 1
b) x 5 1 e y 5 22 ⇒ ||1| 2 |22|| < |1 2 (22)|
|1 2 2| < |1 1 2|
|21| < |3|
1 , 3
c) x 5 21 e y 5 22 ⇒ ||21| 2 |22|| < |(21) 2 (22)|
|1 2 2| < |1|
|21| < |1|
1 5 1
d) x 5 21 e y 5 2 ⇒ ||21| 2 |2|| < |21 2 2|
|1 2 2| < |23|
|21| < |23|
1 , 3
Valor de x a partir do módulo de x
Analise cada um dos exemplos (com módulo de x nulo, negativo e positivo):
1o) |x| 5 0 ⇒ x 5 0
Zero é o único número real cujo módulo é igual a zero.
2o) |x| 5 23
Não existe valor real para x, pois o valor de um módulo nunca é negativo.
3o) |x| 5 6 ⇒ x 5 6 ou x 526, porque |6| 5 6 e |26| 5 6. 
Resumindo, podemos dizer que:
 |x| 5 0 ⇒ x 5 0.
 Não existe x [ R tal que |x| 5 a, com a , 0.
 |x| 5 a e a . 0 ⇒ x 5 a ou x 5 2a.
PARA CONSTRUIR
1 Verifique se as afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) 2 22 5
 
( )
2 2
2 2
2 2 V
2
25
5
5
b) |32| 5 |3|2 5 32
 
( )
3 9 3
3 3 9
3 3 3 V
2 2
2 2
2 2 2
5 5
5 5
5 5
En
em
C-5
H-2
1
c) 3 2 3 2( )? 2 , ? 2
 ( )
( )
( )
3 2 6 6
3 2 3 2 6
3 2 3 2 F
? 2 5 2 5
? 2 5 ? 5
? 2 , ? 2
d) 3 4 3 4( ) ( )2 ? 2 5 2 ? 2
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 4 12 12
3 4 3 14 12
3 4 3 4 V
2 ? 2 5 5
2 ? 2 5 ? 5
2 ? 2 5 2 ? 2
Analise e perceba a diferença entre 
as sentenças x 5 |7| e |x| 5 7.
PARA
REFLETIR
As competências e habi-
lidades do Enem estão 
indicadas em questões 
diversas ao longo do 
módulo. Se necessário, 
explique aos alunos que 
a utilidade deste “selo” é 
indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: laranja; 
Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.
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8 Função modular
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 3
Distância entre dois pontos na reta real
Considere a reta real representada por:
520
BADC
2425
Podemos determinar, por meio do módulo, a distância entre dois pontos dessa reta 
fazendo a correspondência entre os pontos da reta e os números reais:
 a distância entre A e B é AB 5 |5 2 2| 5 |3| 5 3;
 a distância entre C e D é CD 5 |(24) 2 (25)| 5 |1| 5 1;
 a distância entre D e A é DA 5 |2 2 (24)| 5 |6| 5 6;
 a distância entre B e C é BC 5 |(25) 2 5| 5 |210| 5 10.
Observe que:
 a distância entre A e B é AB 5 |5 2 2| 5 |3| 5 3;
 a distância entre B e A é BA 5 |2 2 5| 5 |23| 5 3.
Logo, AB 5 BA. Verifique outros exemplos e veja que esse fato ocorre sempre.
De modo geral, é possível demonstrar que, na reta, se a é a coordenada do ponto A e 
b é a coordenada do ponto B, então a distância entre A e B pode ser escrita por |a 2 b| ou 
|b 2 a|, que são iguais.
e) 1 2 1 2( )2 1 5 2 1
 
( )
( )
( )
1 2 1 1
1 2 1 2 3
1 2 1 2 F
2 1 5 5
2 1 5 1 5
2 1 5 2 1
f ) 3 5 3 5( )1 2 < 1 2
 ( )
( )
( )
3 5 3 5 2 2
3 5 3 5 8
3 5 3 5 V
1 2 5 2 5 2 5
1 2 5 1 5
1 2 < 1 2
g) 3 2 3 22 2 2 . 2 1
 
( )
3 2 3 2 1
3 2 1 1
3 2 3 2 F
2 2 2 5 2 5
2 1 5 2 5
2 2 2 . 2 1
h) 5 3 5 32 2 < 1
 
( )
5 3 5 3 2
5 3 8 8
5 3 5 3 V
2 2 5 2 5
1 5 5
2 2 < 1
2 Determine os possíveis valores reais de x nos seguintes casos:
a) x 5 |26|
x 5 6
b) |x| 5 26
Não existe valor real para x.
c) |x| 5 6
x 5 6 ou x 5 26
d) x 5 |6|
x 5 6
e) x 255
x 5 5
f ) x2 5 25
x 5 5 ou x 5 25
g) |x| 5 |3|
x 5 3 ou x 5 23
h) |x| 5 |24|
x 5 4 ou x 5 24
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 FUNÇÃO MODULAR
Dado um número real x, sempre existe |x| e seu valor é único.
Temos, então, uma função de R em R que será chamada função modular.
Definição de função modular
Denomina-se função modular a função f, de R em R, tal que f(x) 5 |x|, ou seja:
( )



f x
x , para x 0
x, para x 0
5
>
2 ,
Gráfico da função modular
Vamos construir o gráfico da função f(x) 5 |x|:
 se x > 0 ⇒ f(x) 5 |x| 5 x
2
1
0 1 2
y
x
x y 5 f(x)
0 0
1 1
2 2
 se x , 0 ⇒ f (x) 5 |x| 52x
x y 5 f(x)
21 1
22 2
2
1
02122
y
x
 Colocando as duas condições num só gráfico, temos o gráfico de f(x) 5 |x|:
D(f) 5 R
Im(f) 5 R
1
2
1
0 1 22122
y
x
Observação:
Podemos construir o gráfico de f(x) 5 |x| a partir do gráfico de g(x) 5 x usando o conceito 
de reflexão.
A reflexão de um ponto (x, y) em torno do eixo x é o ponto (x, 2y). Assim, a reflexão de 
um gráfico em torno do eixo x é:
Re� exão em 
torno de x
0
y
x 0
y
x
Ou seja, os valores de f(x) negativos tornam-se positivos e vice-versa.
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10 Função modular
No caso dos gráficos de funções modulares do tipo f(x) 5 |g(x)|, podemos obtê-los fazen-
do a reflexão da parte do gráfico de g(x) cujas imagens são negativas.
Assim:
Re� exão em 
torno de x
2
1
21
21
0 1 2
y
x
Parte do gráfico que
vai sofrer reflexão
2
1
2122 0 1 2
y
x
 
Outro conceito útil na elaboração de gráficos é o conceito de translação. Veja estes outros 
gráficos:
2
y
x
g(x) = |x| + 2
22
y
x
h(x) 5 |x| 2 2
g(x) = |x| + 2
h(x) = |x| 2 2
f(x) = |x|
22
2
0
y
x
2
y
x
r(x) = |x 2 2|
22 0
y
x
s(x) = |x + 2|
s(x) = |x + 2|
r(x) = |x 2 2|
f(x) = |x|
22 20
y
x
 
t(x) = |x 2 3| + 1
1
3
y
x
u(x) = |x + 1| 2 3
21
23
0
y
x
t(x) = |x 2 3| + 1
1
3
y
x
21
23
f(x) = |x|
u(x) = |x + 1| 2 3
10
De modo geral, podemos perceber que:
 O gráfico de uma função g(x) 5 |x| 1 k é congruente ao de f(x) 5 |x|, porém transladado para 
cima (quando k . 0) ou para baixo (quando k , 0). O número de unidades do deslocamento 
é o valor absoluto de k.
 O gráfico de uma função h(x) 5 |x 2 m| é congruente ao de f(x) 5 |x|, porém transladado 
para a direita (quando m . 0) ou para a esquerda (quando m , 0). O número de unidades 
do deslocamento é o valor absoluto de m.
 O gráfico de uma função p(x) 5 |x 2 m| 1 k é congruente ao de f(x) 5 |x|, porém transladado 
para a direita ou para a esquerda (m . 0 ou m , 0) e para cima ou para baixo (k . 0 ou 
k , 0). O número de unidades dos deslocamentos são os valores absolutos de m e de k, 
respectivamente.
Analise a sentença e o gráfico de 
g(x) e de h(x) em relação a f(x) 5 
5 |x|.
Analise a sentença e o gráfico de 
r(x) e de s(x) em relação a f(x) 5 
5 |x|.
Analise a sentença e o gráfico de 
t(x) e de u(x) em relação a f(x) 5 
5 |x|.
PARA
REFLETIR
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Função modular
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3 Construa o gráfico da funçãof(x) 5 |x 2 2| 2 1.
RESOLUÇÃO:
Em questões que peçam a construção de gráficos, podemos 
recorrer a dois caminhos:
1o caminho: utilizando translações
O gráfico de g(x) 5 |x| é:
y
0 x
g(x)
O gráfico de h(x) 5 |x 2 2| é congruente ao de g(x), porém 
transladado de 2 unidades para a direita:
 
0 x
2
2
h(x)
y
O gráfico de f(x) 5 |x 2 2| 2 1 é congruente ao de h(x), po-
rém transladado de 1 unidade para baixo:
 
y
0 x
1
2
f(x)
21
Partindo do gráfico de g(x) 5 |x| fazemos uma transla-
ção de 2 unidades para a direita seguida de uma trans-
lação de 1 unidade para baixo e obtemos o gráfico de f(x) 5 
5 |x 2 2| 2 1.
PARA
REFLETIR
2o caminho: utilizando a definição de módulo
Vamos escrever f(x) usando sentenças sem módulo:
 x > 2 ⇒ x 2 2 > 0 ⇒ f(x) 5 |x 2 2| 2 1 5 x 2 2 2 1 5 x 2 3
 x , 2 ⇒ x 2 2 , 0 ⇒ f(x) 5 |x 2 2| 2 1 5 2(x 2 2) 2 1 5 
5 2x 1 1








f(x)
x 3, se x 2
x 1, se x 2
5
2 >x 32 >x 3, s2 >e x2 >
2 1x 12 1x 1 ,
Usaremos as retas dos gráficos das duas funções afins para 
obter o gráfico de f(x):
x > 2
x y 5 x 2 3
2 21
3 0
x , 2
x y 5 2x 1 1
1 0
0 1
x
y
2
1
0
y 5 2x 1 1
21
y 5 x 2 3
Gráfico de f(x) 5 |x 2 2| 2 1
y
x
1
0
2 3
1
21
 D(f ) 5 R
 Im(f ) 5 {y [ R | y > 21}
4 Construa o gráfico da função f(x) 5 |x 2 1| 1 |x 2 3|.
RESOLUÇÃO:
 x 3
x 1 x 1
x 3 x 3
⇒








x 3>x 3
2 52 5x 12 5x 1 x 12x 1
2 52 5x 32 5x 3 x 32x 3
f(x) 5 (x 2 1) 1 (x 2 3) 5 x 2 1 1 x 2 3 5 2x 2 4
 1 x 3
x 1 x 1
x 3 x 3( )x 3( )
⇒
−








< ,1 x< ,1 x
2 52 5x 12 5x 1 x 12x 1
2 52 5x 32 5x 3 2 5( )2 5x 3( )2 5x 32 5( ) 2 1x 32 1x 3
f(x) (x 1) ( x 3) x 1x 1 x 3x 3 25 2(x5 2 1 2( x1 2( x 2 53)2 5 2 2x 12 2x 1 2 5x 32 5x 3
 ⇒









2 52 52 2 5 2
2 52 52 2 5 2
x 1,x 1
x 12 5x 12 5 (x2 2(x2 2 1) x 11x 1
x 32 5x 32 5 (x2 2(x2 2 3) x 31x 3
f(x) 5 (2x 1 1) 1 (2x 1 3) 5 22x 1 4
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12 Função modular
Então, f (x)
2x 4, se x 3
2, se1 x 3
2 4, se x 1














5
2 >4,2 >se2 >x 32 >x 3
< ,1 x< ,1 x
2 12 42 12 4 ,
Gráficos de funções cujas sen-
tenças têm mais de um módulo 
devem ser feitos pela definição.
PARA
REFLETIR
x > 3
x y 5 2x 2 4
3 2
4 4
1 < x , 3
x y 5 2
1 2
2 2
x , 1
x y 5 22x 1 4
1 2
2 2
Gráfico de f(x) 5 |x 2 1| 1 |x 2 3|:
 
y
x10 3 4
2
4
6
21
 D(f ) 5 R
 Im(f ) 5 {y [ R | y > 2}
5 Construa o gráfico de f(x) 5 |x2 2 4|.
RESOLUÇÃO:
1a maneira: utilizando a definição
Fazendo o estudo do sinal de x2 2 4, temos:
 
22 2
2
1 1
Então:
 x < 22 ou x > 2 ⇒ x2 2 4 > 0 ⇒ f(x) 5 |x2 2 4| 5 x2 2 4
 22 , x , 2 ⇒ x2 2 4 , 0 ⇒ f(x) 5 |x2 2 4| 5 2(x2 2 4) 5 
5 x2 1 4 
Podemos escrever f(x) 5 |x2 2 4| como:
f(x)
x 4, para x 2 ou x 2
x 4, para x 2 x 2
2x 42x 4
2x 42x 4








5
2 <x 42 <x 4, p2 <ar2 <a x2 <2 <2 o2 <u x2 <
2 1x 42 1x 4x 42x 42 12 12 2 ,2 x2 ,2 x ,
Construímos os gráficos dessas duas funções quadráticas, de 
mesmas raízes e concavidades opostas. O gráfico de f(x) será 
obtido a partir destas parábolas:
 
x
y
22
24
4
2
y 5 x2 2 4
y 5 2x2 1 4
 
x
y
22
4
2
f(x) 5 |x2 2 4|
2a maneira: utilizando reflexões
O gráfico de g(x) 5 x2 2 4 é: 
 
x
y
22
24
2
Para se obter o gráfico de f(x) 5 |g(x)| a partir do gráfico de 
g(x), devemos fazer uma reflexão em torno do eixo x da parte 
do gráfico de g(x) cujas imagens são negativas:
 
x
y
22
24
2
Re� exão em 
torno de x
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Função modular
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
13
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 4 a 7 Para aprimorar: 1 a 4
x
y
22
4
2
Re� exão em 
torno de x
Dessa forma, o gráfico de f(x) 5 |x2 2 4| é:
x
y
22
4
2
6 Construa o gráfico da função f dada por
f(x)
x ,x , para 2 x 2
x, para x 2
4, para x 2

















5
2 ,2 x2 ,2 x <
x 2<2x 2
x 2.x 2
RESOLUÇÃO:
x
y
22
4
22
2
3 (UFRGS-RS) A intersecção dos gráficos das funções f e g, de-
finidas por f(x) 5 |x| e g(x) 5 12 |x|, os quais são desenhados 
no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina 
um polígono.
A área desse polígono é: c
a) 0,125.
b) 0,25.
c) 0,5.
d) 1.
e) 2.
Considere a figura a seguir.
x
y
1
0
g(x) 5 1 2 |x|
f(x) 5 |x|
1
2
1
2
As abscissas dos pontos de intersecção dos gráficos de f e de g são 
tais que:
⇔ ⇔ ⇔ ±f(x) g(x) | x | 1 | x | | x |
1
2
x
1
2
.5 5 2 5 5
Logo, como o gráfico da função g corresponde ao gráfico da função 
h(x) 5 2|x|, deslocado de uma unidade no sentido positivo do eixo 
das ordenadas, obtemos a figura acima.
É fácil ver que o polígono determinado pelos gráficos de f e de g é 
um quadrado cuja diagonal mede 1. Portanto, a área desse quadrado 
é igual a 5
1
2
0,5.
2
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
4 (Fuvest-SP) Seja f(x) 5 [ R|x| 1, x∀2 , e considere também a 
função composta g(x) 5 f(f(x)), [ R∀x .
a) Esboce o gráfico da função f, indicando seus pontos de 
intersecção com os eixos coordenados.
 
|x|
|x| 2 1
x
y
1
(1, 0), (21, 0) e (0, 21)
21
21
 
b) Esboce o gráfico da função g, indicando seus pontos de 
intersecção com os eixos coordenados.
 
| |x| 2 1| 2 1
| |x| 2 1|
x
y
2
(22, 0), (2, 0) e (0, 0)
22
c) Determine os valores de x para os quais g(x) 5 5.
⇔ ⇔
⇔
⇔ ⇔ ±
⇔





2 2 5 2 5
2 5 5 5
2 52 5 2
x 1 1 5 x 1 6
x 1 6 x 7 x 7
x 1 6 x 5 (não convém)
S 5 {27, 7}
PARA CONSTRUIR
2120596_2120616_SER_EM_MAT_ALG_CAD4_CAP1_01a24_AL_PR.indd 13 2/11/15 7:11 PM
14 Função modular
 EQUAÇÕES MODULARES
Equações modulares são aquelas em que a variável aparece dentro de módulos.
Para resolvê-las, é útil relembrar algumas propriedades envolvendo módulos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
7 Resolva as equações:
a) |3x 2 1| 5 25
b) |x2 2 x 2 1| 5 1 
c) |2x 2 1| 5 x 1 3 
d) |x2| 2 9|x| 2 10 5 0
e) x ? |x| 2 x 5 2
RESOLUÇÃO:
a) |3x 2 1| 5 25 
 Não existe módulo com valor 
negativo; logo, não existe va-
lor real para x.
 S 5 ∅
 Não há intersecção entre os 
gráficos; logo, a equação não 
tem solução. Graficamente:
 
b) |x2 2 x 2 1| 5 1 ⇔ x2 2 x 2 1 5 1 ou x2 2 x 2 1 5 21
 x2 2 x 2 1 5 1 
x2 2 x 2 2 5 0
Δ 5 9
x' 5 2 e x" 5 21
S 5 {21, 0, 1, 2}
c) |2x 2 1| 5 x 1 3
 Condição: x 1 3 > 0 ⇒ x > 23 (o módulo de um número 
real é sempre positivo ou nulo)
 |2x 1 1| 5 x 1 3 ⇔ 2x 2 1 5 x 1 3 ou 2x 2 1 5 2(x 1 3) 
(definição de módulo)
 Resolvendo as equações, temos:
 2x 1 1 5 x 1 3 ⇒ 2x 2 x 5 3 1 1 ⇒ x 5 4
(satisfaz a condição x > 23)
 2x 2 1 5 2x 2 3 ⇒ 2x 1 x 5 23 1 1 ⇒ 3x 5 22 ⇒ 
⇒ x
2
3
52
(satisfaz a condição x > 23)
S
2
3
, 4

















5 25 2
d) |x2| 2 9|x| 2 10 5 0 ⇒ |x|2 2 9|x| 2 10 5 0
 Fazendo |x| 5 y, com y > 0, temos:
 y2 2 9y 2 10 5 0
 Δ 5 121
 y' 5 10 e y" 5 21 (esse valor não convém)
 Como |x| 5 y e y 5 10:
 |x| 5 10 ⇔ x 5 10 ou x 5 210 
 S 5 {210, 10}
e) x ? |x| 2x 5 2 
 Vamos analisar dois casos: x > 0 e x , 0.
 x > 0 ⇒ |x| 5 x 
 Daí:
 x ? |x| 2 x 5 2 ⇒ x ? x 2 x 5 2 ⇒ x2 2 x 2 2 5 0
 Δ 5 9
 x' 5 2 (serve, pois 2 > 0) e x'' 5 21 (não serve, pois 21 , 0) 
 x , 0 ⇒ |x| 5 2x
 Daí:
 x ? |x| 2 x 5 2 ⇒ x(2x) 2 x 5 2 ⇒ 2x2 2 x 2 2 5 0
 Δ 5 27 (não existem raízes reais)
 Logo, S 5 {2}.
8 Resolva a equação |x 2 2| 1 | x 1 1| 5 7.
RESOLUÇÃO:
 f(x) 5 x 2 2
 
22
1
x > 2 ⇒ x 2 2 > 0 ⇒ |x 2 2| 5 x 2 2
x , 2 ⇒ x 2 2 , 0 ⇒ |x 2 2| 5 2x 1 2
 g(x) 5 x 1 1
212
1
x > 21 ⇒ x 1 1 > 0 ⇒ | x 1 1| 5 x 1 1
x , 21 ⇒ x 1 1 , 0 ⇒ | x 1 1| 5 2x 2 1
Então:
 x 1
x 2 x 2
x 1 x 1
x 2 x 1 7 2x 6 x 3
⇒








 ⇒
⇒ ⇒x 2⇒ ⇒x 1⇒ ⇒7 2⇒ ⇒7 2 ⇒
x 1,2x 1
2 52 5x 22 5x 2 2 1x 22 1x 2
1 51 5x 11 5x 1 2 2x 12 2x 1
2 1x 22 1x 2⇒ ⇒2 1⇒ ⇒x 2⇒ ⇒2 1x 22 1⇒ ⇒⇒ ⇒2 2⇒ ⇒x 1⇒ ⇒2 2x 12 2⇒ ⇒7 25 27 2⇒ ⇒5 2⇒ ⇒7 2⇒ ⇒7 25 25 2⇒ ⇒ 5 5x 65 5x 6 x 35 5x 3⇒5 5x 32x 3
 
(serve, pois 23 , 21)
 1 x 2
x 2 x 2
x 1 x 1
x 2 x 1 7 3 7
⇒








 ⇒
⇒ ⇒x 2⇒ ⇒x 1⇒ ⇒7 3⇒ ⇒7 3
2 <1 x2<1 x ,
2 52 5x 22 5x 2 2 1x 22 1x 2
1 51 5x 11 5x 1 x 11x 1
2 1x 22 1x 2⇒ ⇒2 1⇒ ⇒x 2⇒ ⇒2 1x 22 1⇒ ⇒1 1x 11 1x 1⇒ ⇒1 1⇒ ⇒x 1⇒ ⇒1 1x 11 1⇒ ⇒5 57 35 5⇒ ⇒5 5⇒ ⇒7 3⇒ ⇒7 35 5⇒ ⇒
(falso)
x 2
x 2 x 2
x 1 x 1
x 2 x 1 7 2x 8 x 4









⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒ ⇒ ⇒7 2⇒ ⇒7 2x 8⇒ ⇒x 2>x 2
2 52 5x 22 5x 2 x 22x 2
1 51 5x 11 5x 1 x 11x 1
2 1x 22 1x 2 1 5x 11 5x 1 5 5x 45 5x 4⇒ ⇒5 5x 8⇒ ⇒5 5x 85 5⇒ ⇒
(serve, pois 4 > 2)
Logo, S 5 {23, 4}.
 x2 2 x 2 1 5 21
x2 2 x 5 0
x(x 2 1) 5 0
x' 5 0 e x" 5 1
x
y
1
22
21
021 1 2
y 5 |3x 2 1|
22
23
2
24
25 y 5 25
2120596_2120616_SER_EM_MAT_ALG_CAD4_CAP1_01a24_AL_PR.indd 14 2/11/15 7:11 PM
Função modular
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
15
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 8 a 10 Para aprimorar: 5 e 6
PARA CONSTRUIR
5 (ITA-SP) O produto das raízes reais da equação |x2 2 3x 1 2| 5
5 |2x 2 3| é igual a: a
a) 25. 
b) 21. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 5. 
6 Resolva |x2 1 2x 2 2| 5 | x2 2 x 2 1| algébrica e graficamente.
|x2 1 2x 2 2| 5 |x2 2 x 2 1| ⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒







x    2x   2   x    x   1   3x   1   x   
1
3
x    2x   2    x    x   1   2x    x   3   0 
 x   
3
2
ou x   1
2 2
2 2 2
1 2 5 2 2 2 5
1 2 5 2 1 1 1 2 5
5 2 5
Então, { }S 32,
1
3
, 1 .5 2
Graficamente:
t�Z�5 x2 1 2x 2 2
x2 1 2x 2 2 5 0 ⇒ x 5 21 1 3 ou x 5 21 2 3
Vértice: (21, 23)
t�Z�5 x2 2 x 2 2
x2 2 x 2 1 5 0 ⇒
+
x
1 5
2
ou x
1 5
2
5 5
2
Vértice: −




1
2
,
5
4
 
Logo:
 
x
y
–1–2–3 1 2 30
3
1
2
En
em
C-5
H-2
1
x2 2 3x 1 2 5 2x 2 3 ⇔ x2 2 5x 1 5 5 0, temos o 
produto das raízes igual a 5.
x2 2 3x 1 2 5 22x 1 3 ⇔ x2 1 x 2 1 5 0, temos 
o produto das raízes igual a 21.
Logo, o produto total das raízes é 21 ? 5 5 25.
 INEQUAÇÕES MODULARES
Inequações modulares são inequações que envolvem variável em módulo. Veja alguns exemplos:
 |x| < 7
 |3x 2 1| . 4
 |x 1 2| Þ 5
 |x2 2 1| . 22
 |x 2 3| , x
Vamos analisar algumas desigualdades que podem ser resolvidas usando apenas a definição 
de módulo:
 I) |x| > 24 ⇒ S 5 R (todo número real tem módulo maior ou igual a 0 e, portanto, maior 
ou igual a 24)
 II) |x| < 24 ⇒ S 5 [ (não existe número real com módulo negativo)
 III) |x| > 0 ⇒ S 5 R
 IV) |x| . 0 ⇒ S 5 R*
 V) |x| , 0 ⇒ S 5 [
 VI) |x| < 0 ⇒ S 5 {0}
VII) |x| , 4 ⇒ S 5 {x [ R | 24 , x , 4}
24 4 x
Números com módulo menor do que 4
VIII) |x| . 4 ⇒ S 5 {x [ R | x , 24 ou x . 4}
 
24 4 x
Números com módulo maior do que 4
Pelos dois últimos casos (VII e VIII) podemos escrever que:
Dado o número real a . 0, temos:
|x| , a ⇒ 2a , x , a
|x| , a ⇒ x , 2a ou x . a
Justifique as conclusões de III, IV, 
V e VI.
Pense nas soluções das inequa-
ções:
 |x| < 3 |x| > 3
PARA
REFLETIR
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16 Função modular
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
9 Resolva as seguintes inequações em R:
a) |x 2 3| , 7
b) |x 2 1| > 5
c) |5x 2 3| < 22
d) 2 , | x 2 1| , 4
e) |x 2 6| < x
f ) |x 2 3| 1 |x| . 5 
RESOLUÇÃO:
a) |x 2 3| , 7 ⇔ 27 , x 2 3 , 7 (pela propriedade)
 27 , x 2 3 , 7 ⇒ 27 1 3 , x , 7 1 3 ⇒ 24 , x , 10
 Graficamente:
 24 10 x
 S 5 {x [ R | 24 , x , 10}
b) |x 2 1| > 5 ⇔ x 2 1 > 5 ou x 2 1 < 25 (pela propriedade)
 
x 1 5 x 6
x 1 5 x 4
⇒5 x⇒5 x
⇒5 x⇒5 x









2 >x 12 >x 1 >
2 <x 12 <x 1 2 <5 x2 <5 x⇒5 x2 <⇒ 2
 Fazendo a união, vamos obter a solução por meio do se-
guinte quadro:
 
6
24
24 6
I
II
S
 S 5 {x [ R | x < 24 ou x > 6}
c) |5x 2 3| < 22
 Todo módulo é maior ou igual a zero; portanto, nunca 
pode ser menor ou igual a 22.
 Logo, S = [.
d) 2 , | x 2 1| , 4 equivale ao sistema
 









x 1 4
x 1 2
2 ,2 ,x 12 ,x 1
2 ,2 ,x 12 ,x 1
 I | x 2 1| , 4 ⇔ 24 , x 2 1 , 4 ⇔
 ⇔ 24 1 1 , x , 4 1 1 ⇔ 23 , x , 5
 II | x 2 1| . 2 ⇔ x 2 1 . 2 ou x 2 1 , 22 ⇔
 ⇔ x . 3 ou x , 21
 A solução será dada pela intersecção dos resultados obtidos:
 
5
23
23
21 53
21 3
I
II
S
 S 5 {x [ R | 23 , x , 21 ou 3 , x , 5}
Como seria o conjunto solução 
do item d da questão 9:
a) em Z?
b) em N?
PARA
REFLETIR
e) |x 2 6| < x
 Nesse caso, temos de resolver a inequação em três situa-
ções: para x , 0, x 5 0 e x . 0. A solução da inequação 
será dada pela união das soluções de cada uma.
 x 0 x 6⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒x 6⇒ ⇒x⇒ ⇒, 2, 2x 0, 2x 0 x 6, 2⇒ ⇒, 2⇒ ⇒, 2x 6⇒ ⇒, 2x 6, 2⇒ ⇒<⇒ ⇒<⇒ ⇒ não existe valor para x (o mó-
dulo nunca é menor ou igual a um número negativo)
 S
1 
5 [ 
 x 5 0 ⇒ |0 2 6| < 0 ⇒ 6 < 0 (impossível)
 S
2 
5 [
 x 0 x 6 x x x 6 x⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒x 6⇒ ⇒x x⇒ ⇒x x ⇒. 2. 2x 0. 2x 0 x 6. 2⇒ ⇒. 2⇒ ⇒. 2x 6⇒ ⇒. 2x 6. 2⇒ ⇒< 2x x< 2x x⇒ ⇒< 2⇒ ⇒x x⇒ ⇒x x< 2< 2⇒ ⇒ < 2 <x 6< 2 <x 6
 
[ R
x 6 x x 3
x 6 x 0 6 x
⇒
⇒x x⇒x x
⇒ ⇒x 0⇒ ⇒x 0 6 x⇒ ⇒6 x









2 >x 62 >x 6 2 >x x2 >⇒2 >x x⇒x x2 >⇒
2 <x 62 <x 6 <⇒ ⇒<⇒ ⇒
 As condições x . 0, x > 3 e x [ R simultaneamente nos 
dão S
3
 5 {x [ R | x > 3}.
 Temos, então, S
1 
5 [, S
2
 5 [ e S
3
 5 {x [ R | x > 3}.
 A solução da inequação é dada por
 S
1
 ø S
2
 ø S
3 
5 {x [ R | x > 3}.
f ) |x 2 3| 1 |x| 5 5
 f(x) 5 x 2 3
 
32
1
 x > 3 ⇒ x 2 3 > 0 ⇒ |x 2 3| 5 x 2 3
 x , 3 ⇒ x 2 3 , 0 ⇒ |x 2 3| 5 2x 1 3
 g(x) 5 x
02
1
 x > 0 ⇒ |x| 5 x
 x , 0 ⇒ |x| 5 2x
 Então:
 ⇒








 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
2 52 5 2 1
2 1⇒ ⇒2 1⇒ ⇒2 .⇒ ⇒2 .⇒ ⇒
2 .⇒ ⇒2 .⇒ ⇒2 .⇒ ⇒2 .⇒ ⇒ , 2
x 0,x 0
x 32 5x 32 5 x 32 1x 32 1
x xx x5 2x x
x 3⇒ ⇒x 3⇒ ⇒2 1x 3⇒ ⇒2 1⇒ ⇒x 3⇒ ⇒x 32 1 x 5⇒ ⇒x 5⇒ ⇒2 .x 5⇒ ⇒2 .⇒ ⇒x 5⇒ ⇒x 52 .
2x⇒ ⇒2x⇒ ⇒2 .2x2 .⇒ ⇒2 .2x⇒ ⇒2x2 . 2 x⇒ ⇒2 x⇒ ⇒ 1
S
1
 = {x [ R | x , 21} 
I
II
I
II
↓
Negativo
↓
Positivo
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Função modular
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
17
 0 x 3
x 3 x 3
x xx x
x 3 x 5
3 5
S2
( )impo( )ssí( )ve( )ssívessí( )vel( )
⇒








 ⇒ ⇒x 3⇒ ⇒x 5⇒ ⇒
⇒
∅
< ,0 x< ,0 x
2 52 5x 32 5x 3 2 1x 32 1x 3
x x5x x
2 1x 32 1x 3⇒ ⇒2 1⇒ ⇒x 3⇒ ⇒2 1x 32 1⇒ ⇒1 .x 51 .x 5⇒ ⇒1 .⇒ ⇒x 5⇒ ⇒1 .x 51 .⇒ ⇒
3 5.3 5
5
 x 3
x 3 x 3
x xx x
x 3 x 5
2x 8 x 4
S x3S x3S x{ }[{ }R{ }S x{ }S x | x{ }4{ }
⇒








 ⇒ ⇒x 3⇒ ⇒x 5⇒ ⇒
⇒ ⇒2x⇒ ⇒8 x⇒ ⇒8 x
x 3>x 3
2 52 5x 32 5x 3 x 32x 3
x x5x x
2 1x 32 1⇒ ⇒2 1⇒ ⇒x 3⇒ ⇒2 1x 32 1⇒ ⇒x 5.x 5x 5⇒ ⇒.x 5.⇒ ⇒
. .8 x. .⇒ ⇒. .⇒ ⇒8 x⇒ ⇒8 x. .. .⇒ ⇒
S x5 .S x{ }5 .{ }[{ }5 .5 .{ }R{ }5 .5 .{ }S x{ }S x5 .5 .{ }| x{ }5 .5 .{ }
 Logo:
 S
1
 ø S
2
 ø S
3 
5 {x [ R | x ,21 ou x . 4}.
10 Determine o domínio das funções:
a) f (x)
1
x 2 3
5
2 22 2x 22 2x 2
b) f (x) 5 x5 x 35 25 25 x5 25 x 2
RESOLUÇÃO:
a) 
1
x 2 32 22 2x 22 2x 2 só é possível em R se:
 |x 2 2| 2 3 Þ 0.
 |x 2 2| 2 3 Þ 0 ⇒ |x 2 2| Þ 3 ⇒ x 2 2 Þ 3 e x 2 2 Þ 23 ⇒ 
⇒ x Þ 5 e x Þ 21
 Logo, D(f) 5 {x [ R | x Þ 5 e x Þ 21}.
 
Por que de |x 2 2| Þ 3 deduzi-
mos x 2 2 Þ 3 e x 2 2 Þ 23, e 
não x 2 2 Þ 3 ou x 2 2 Þ 23?
PARA
REFLETIR
b) 5 x5 x 32 25 x2 25 x5 x2 2 só é possível em R se:
 5 2 |x 2 3| > 0.
 5 2 |x 2 3| > 0 ⇒ 2|x 2 3| > 25 ⇒ |x 2 3| < 5 ⇒ 
⇒ 25 < x 2 3 < 5 ⇒ 25 1 3 < x < 5 1 3 ⇒22 < x < 8
 Logo, D(f ) 5 {x [ R | 22 < x < 8}.
PARA CONSTRUIR
7 (ESPCEX-SP) Se [ RY {y | 6y 1 5y 10},5 2 > 2 então: c
a) Y ,
1
6
∞




5 2 
b) Y 5 {21} 
c) Y 5 R
d) Y 5 [ 
e) 
1
6
, ∞



1 
8 Explicite o domínio D das seguintes funções:
a) f (x)
1
x 10
5
2
|x| 2 10 Þ 0 ⇒ |x| Þ 10 ⇒ x Þ 10 e x Þ 210
D 5 {x [ R | x Þ 10 e x Þ 210}
b) g(x) 2 x 1= − +
2 2 |x 1 1| > 0 ⇒ |x 1 1| < 2 ⇒ 22 < x 1 1 < 2 ⇒ 23 < x < 1
D 5 {x [ R | 23 < x < 1}
c) h(x) x 1 15 2 2
|x 2 1| 2 1 > 0 ⇒ |x 2 1| > 1 ⇒ x 2 1 > 1 ou x 2 1 < 21 ⇒
⇒ x > 2 ou x < 0
D 5 {x [ R | x < 0 ou x > 2}
d) i(x)
x
x 3
5
2
|x| 2 3 . 0 ⇒ |x| . 3 ⇒ x . 3 ou x , 23
D 5 {x [ R | x , 23 ou x . 3}
{ }
⇒ ⇒
⇒ ⇒
R
,
2 2 > 2 2 1 > 2
2 >2 <
5 <[
Z
1
6
(6Z �) 5Z �0 6Z � �Z 10
11Z �� Z 1
4 Z ] Z 1
1 
[ R{ }
⇒ ⇒
Z
1
6
�Z 1 5Z �0 6Z � �Z 10 Z �
4 Z ] Z 9
1
>
2 > 2 2 > 2 >2
5 >2
S
1
< S
2
 = R 
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18 Função modular
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11 a 13 Para aprimorar: 7 e 8
TAREFA PARA CASA
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
PARA PRATICAR
1 Calcule:
a) |27| 1 7
b) |21| 2 |21|
c) |2x 2 1| quando x 5 25
d) (23) ? |25|
e) |29| 1 |27|
f ) 2|27|
g) |22 1 5|
h) |x2 2 x 2 12| quando x 5 3
2 Aplicando a definição, escreva a expressão dada usando sen-
tenças que não apresentem módulo.
a) |x4| com x [ R
b) |x3| com x [ R
c) |x 2 2| com x [ R
d) |x 1 1| com x , 21
e) |x 2 2| 1 |x 2 1| com x . 2
f ) |x 2 3| 2 |x 2 5| com x [ R
g) |x 2 1| 1 |x 2 4| com 1 , x , 4
h) |x 2 2| 1 |x 2 5| com x . 4 (Sugestão: Analise 4 , x , 5 e 
x > 5.)
3 Verifique se as igualdades são verdadeiras ou falsas:
a) |5| 5 25
b) |25| 5 5 
c) |5| 5 |25| 
d) 2|5| 5 25
e) |5| 1 |25| 5 0
f ) 2|25| 5 5
g) ( )5 5
2
2 5
h) |52| 5 (25)2
4 Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções:
a) f(x) 5 |x 2 3|
b) f(x) 5 |x| 1 1
c) f(x) 5 |x 1 3| 2 1
5 (FGV-SP) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satisfazem a 
equação |x| 1 |y| 5 2 determinam um polígono cujo perímetro é: 
a) 2 2
b) 4 2 21
c) 4 2
d) 8 4 21
e) 8 2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
9 Usando as funções f, g, h e i do exercício anterior, calcule, 
caso exista:
a) f(0)
( ) 5
2
52f 0
1
0 10
1
10
b) f(1)
( ) 5
2
5
2
52f 1
1
1 10
1
1 10
1
9
c) f(29)
( )f 9
1
9 10
1
1
12 5
2 2
5
2
52
d) g(22)
( )g 2 2 2 1 2 1 12 5 2 2 1 5 2 5
e) h(11)
( )h 11 11 1 1 9 35 2 2 5 5
f ) i(1)
i(1) 5 não existe, pois 1 Ó D(i).
g) i(4)
( )i 4
4
4 3
4
1
45
2
5 5
h) x tal que h(x) 5 3
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
x 1 1 3 x 1 1 9 x 1 10
x 1 10 ou x 1 10 x 11ou x 9
2 2 5 2 2 5 2 5
2 5 2 5 2 5 5 2
Verificando:
x 11: 11 1 1 10 1 3
x 9 : 9 1 1 10 1 3
5 2 2 5 2 5
52 2 2 2 5 2 5
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As resoluções 
encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
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Função modular
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
19
6 (UPE) Dos gráficos abaixo, o que mais se assemelha ao gráfico 
da função f(x) 5 ||x 1 2| 2 2| no intervalo 25 . x . 5 é :
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
7 (UFPA) Um professor de Matemática Aplicada enviou a se-
guinte mensagem ao seu melhor aluno, um estudante cha-
mado Nicéphoro, que gostava muito de desenhar e traçar 
gráficos:
Prezado Nicéphoro
Estive analisando cuidadosamente aquele problema 
de Matemática e percebi que ele é regido por uma função 
pulso-unitário definida por 



f(x)
1, se x 1
0, se x 1
5
<
.
Trace, por favor, usando os seus conhecimentos, o 
gráfico desta função e o envie para mim.
Um abraço e saudações matemáticas.
Euclides Arquimedes.
Nicéphoro traçou corretamente o gráfico da função acima e 
o enviou ao prof. Euclides Arquimedes.
O gráfico enviado foi:
a) y
x
1
0
b) y
x
1
0
c) y
x
1
–1
0
 
d) y
x
1
–1 10
 
e) y
x
1
0
 
8 Resolva as equações:
a) |x 2 6| 5 10
b) |3x 2 1| 5 5
c) |4x 2 1| 5 23
d) 
x 1
4
2
2
5
e) 5 1 |22x 1 4| 5 11
f ) 
x 1
x 3
2, para x 3
2
2
5 ±
9 Resolva as seguintes equações:
a) |3x 2 7| 5 |2x 2 3| 
b) |1 2 3x| 5 |x 1 3| 
c) |x2 2 4x 1 1| 5 |x 1 1| 
10 Resolva as seguintes equações em R:
a) |2x 2 1| 5 x
b) |x 2 5| 5 2x 2 2
c) |x2 2 4| 5 3x
d) |3x 1 2| 2 1 5 x
e) |x 2 1| 5 ( )2
x
x 0± 
f ) 1 2 |2x 2 1| 5 x
g) x 1 |x 2 2| 5 5
h) x ? |x| 2 x 5 0
11 (Fuvest-SP) Determine para quais valores reais de x é verda-
deira a desigualdade |x2 2 10x 1 21| < |3x 2 15|.
12 Dê o conjunto dos números x que satisfazem a inequação 
1 , |x 2 3| , 4.
13 (Cefet-MG) O conjunto dos números reais que tornam a fun-
ção f(x) x 4x25 2 maior que 5 é:
a) [ 
b) R
c) {x [ R | 21 , x , 5}. 
d) {x [ R | x , x 2 1 ou x . 5}. 
PARA APRIMORAR
1 (Unicamp-SP) Considere a função f(x) 5 2x 1 |x 1 p| , defini-
da para x real. 
0 x
y
f(x)
1 2 321
2
4
6
8
a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor espe-
cífico de p. Determine esse valor. 
b) Supondo, agora, que p 5 23, determine os valores de x 
que satisfazem a equação f(x) 5 12.
En
em
C-5
H-2
0
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
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20 Função modular
2 (Mack-SP) Dadas as funções reais definidas por f(x) 5 |x|2 2
2 4 |x| e g(x) 5 |x2 2 4x|, considere I, II, III e IV abaixo.
 I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em rela-
ção ao eixo das ordenadas.
 II. O número de soluções reais da equação f(x) 5 g(x) é 3.
 III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4.
 IV. Não existe x real tal que f(x) , g(x).
O número de afirmações corretas é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
3 (UEL-PR) Seja f: R → R dada por f(x) 5 |x2| 1 |x|. O gráfico da 
função g: R → R, definida por g(x) 5 2f(x 1 1), é:
a) 
x
y
1
21
21
1
2
3
4
5
6
2
22
22
3
23
23
4
24
24
b) 
x
y
1
21
21
2
3
4
5
6
2
22
22
3
23
23
4
24
24
1
c) 
x
y
1
21
21
3
4
5
6
2
22
22
3
23
23
4
24
24
1
2
d) 
x
y
21
3
4
5
6
2
22
3
23
23
4
24
24
1
2
1
21
22
e) 
x
y
1
21
21
3
4
5
6
2
22
22
3
23
23
4
24
1
2
24
4 (UFPE) Considere a função f(x) 5 |x 1 1| 2 |x 2 1|, definida 
para x real. Analise as afirmações seguintes sobre f. 
( ) f é par. 
( ) f é positiva. 
( ) f é injetora. 
( ) A imagem de f é o intervalo fechado [22, 2]. 
( ) f(x 1 y) 5 f(x) 1 f(y), para quaisquer x e y reais. 
5 (Fuvest-SP) Seja m . 0 um número real e sejam f e g funções 
reais definidas por f(x) 5 x2 2 2|x| 1 1 e g(x) 5 mx 1 2m.
a) Esboce no plano cartesiano os gráficos de f e de g quando 
m
1
4
5 e m 5 1.
b) Determine as raízes de f(x) 5 g(x) quando m
1
2
5 .
c) Determine, em função de m, o número de raízes da equa-
ção f(x) 5 g(x).
6 (Udesc) A soma das raízes distintas da equação x2 2 5x 1 6 5 
5 |x 2 3| é: 
a) 10.
b) 7.
c) 0.
d) 3.
e) 4.
7 (Fuvest-SP) Resolva a inequação x|x| . x.
8 Um professor de Matemática parte da Universidade Federal 
de São Carlos (Ufscar), localizada na cidade de São Carlos-
-SP, na rodovia Washington Luís, km 235, em direção à Uni-
versidade Estadual Paulista (Unesp), localizada na cidade de 
Rio Claro, São Paulo, na mesma rodovia, no km 175. Nesse 
deslocamento, o automóvel do professor desenvolve uma 
velocidade média de 85 km/h. No mesmo instante, saindo 
de Rio Claro, um professor de Física se dirige a São Carlos, 
desenvolvendo uma velocidade média de 95 km/h. A figura 
abaixo ilustra a rodovia que interliga as duas cidades.
Rodovia Washington Luís (SP-310)
Unesp RC – km 175
Ufscar – km 235
Considere que as equações horárias dos automóveis sejam 
S
1
 5 175 1 95t e S
2
 5 235 2 85t, em que S
1
 é a posição do 
veículo que sai de Rio Claro e S
2
 é a posição do veículo que 
sai de São Carlos, ambas em função do instante t (em horas).
a) Qual é a posição em que se encontram os dois veículos 
após 10 min de viagem?
b) Quais os instantes em que a distância que separa os dois 
veículos é de 30 km? (Se necessário, releia o quadro “Dis-
tância entre dois pontos na reta real” da página 8.)
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-5
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1
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Função modular
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
21
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.REVISÃO
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Revisão”. As resoluções 
encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
1 (Cefet-MG) A soma das raízes da equação modular 
|x 1 1|2 2 5 |x 1 1| 1 4 5 0 é: 
a) 27. 
b) 24. 
c) 3. 
d) 5. 
2 (UEPB) A soma das raízes que a equação modular 
||x 2 2| 2 7| 5 6 é: 
a) 15.
b) 30.
c) 4.
d) 2.
e) 8.
3 (FGV-SP) O polígono do plano cartesiano determinadopela relação |3x| 1 |4y| 5 12 tem área igual a:
a) 6. 
b) 12. 
c) 16. 
d) 24. 
e) 25. 
4 (ESPCEX-SP) Considerando a função real f(x) 5 (x 2 1) ? |x 2 
2 2|, o intervalo real para o qual f(x) > 2 é:
a) {x [ R | x > 3}.
b) {x [ R | x < 0 ou x > 3}.
c) {x [ R | 1 < x < 2}.
d) {x [ R | x > 2}.
e) {x [ R | x < 1}.
5 (UFPB) Para todos x, y [ R, é verdade que:
a) xy
2
( )xy( ) 5
b) x yx yx y x yx yx yx y1 51 51 5x y1 5x yx y1 5 1x y1x y
c) x y x yx yx y2 2x y2 2x y1 5x y1 5x y2 21 52 2x y2 21 5x y1 52 2 1x y1x y
d) x yx yx y
2
( )x y( )2 5( )2 5x y( )2 5x y2 5( ) x y2x y
e) x y
2
( )x y( )2 5( )2 5x y( )2 5x y2 5( ) x y2x y
6 (UFC-CE) Dadas as funções f: R → R e g: R → R defini-
das por f(x) 5 |1 2 x2| e g(x) 5 |x|, o número de pontos na 
intersecção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
7 (UEG-GO) Dada a função: f(x) 5 |x 2 1| 1 1, x [ [21, 2],
a) esboce o gráfico da função f ;
b) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da 
função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x 5 21 
e x 5 2.
8 (Uesc-BA) Para fazer um estudo sobre certo polinô-
mio P(x), um estudante recorreu ao gráfico da função po-
linomial y 5 P(x), gerado por um software matemático.
Na figura, é possível visualizar a parte da curva obtida 
para valores de x, de 25 até 2,7.
0 x
y
32121232425
1
21
22
23
24
2
3
4
5
6
7
8
9
22
 
O número de raízes da equação |P(x)| 5 1, no intervalo 
[25, 2, 7], é igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
9 (Uece) Se f: R → R é a função definida por
f x
x ,x , se 1 x 1
1, se x 1 ou x 1
( )f x( )f x








5
2 <1 x2 <1 x <
x 1,2x 1 x 1.x 1
a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e 
pelas retas x 5 2, x 5 22 e y 5 0, em unidades de área, 
é igual a:
a) 4.
b) 3,5.
c) 3.
d) 2,5.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
0
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
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22 Função modular
10 (UFC-CE) Seja f uma função real de variável real cujo grá-
fico está representado abaixo:
x0
1
21
1
3 4
f(x)
2
Se g(x) 5 2f(x) 5 1, assinale a alternativa cujo gráfico me-
lhor representa |g(x)|.
a) 
x0
1
21
2 41
2
7
2
|g(x)|
b) 
x0
1
3
2
4
1
2
7
2
|g(x)|
21
 
c) 
x0
1
1
3
2 3 4
|g(x)|
d) 
x0
1
1
2 3 4
|g(x)|
e) 
x0
1
2 4
3
1
2
7
2
|g(x)|
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: LTC, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974.
 COLEÇÃO do professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 1997.
 DAVIS, P. J. ; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do professor de Matemática, v. 1 e 2.)
 MORETTIN, P. A. ; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1981.
 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986.
 ________. Mathematical discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v.
 REVISTA do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1 a 36.
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ENEMMAIS
 Ciências Humanas e suas Tecnologias
 Ciências da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
 Matemática e suas Tecnologias
MARCO ZERO
Duas avenidas principais de uma grande metrópole se cruzam 
exatamente no marco zero da cidade (marco zero é o local de fun-
dação de uma cidade).
Os veículos que se deslocam por elas apresentam diferentes 
direções e sentidos. Entre eles, podemos destacar quatro, nomea-
dos como A, B, C e D, os quais apresentam velocidades constantes. 
Ao colocá-los em um gráfico, no instante que começaram a mo-
nitorar esses carros, t 5 0 h, as coordenadas das localizações em 
quilômetros são:
A(0, 10); B(225, 0); C(0, 250) e D(45, 0).
Com base nas informações apresentadas acima, resolva as ques-
tões 1, 2 e 3.
1 Ao monitorarem os carros por apenas alguns minutos, foram 
registrados, em uma tabela, todos os deslocamentos para que 
pudessem descobrir as velocidades. Observe:
Carro
Tempo de 
monitoramento
(em minutos)
Distância percorrida
(em quilômetros)
A 5 5
B 12 10
C 6 10
D 10 15
Analisando os dados acima, podemos afirmar que as veloci-
dades dos carros A, B, C e D são, respectivamente: a
a) 60 km/h, 50 km/h, 100 km/h e 90 km/h.
b) 50 km/h, 60 km/h, 100 km/h e 90 km/h.
c) 60 km/h, 50 km/h, 90 km/h e 100 km/h.
d) 50 km/h, 60 km/h, 90 km/h e 100 km/h.
2 Observe na imagem a seguir a direção e o sentido desses veí-
culos, ou seja, se estão na vertical ou horizontal e se vão a favor 
ou contra os sentidos dos eixos.
Com base na imagem, nos dados encontrados na questão 1
e nos demais dados apresentados pelo texto, podemos afir-
mar que as equações horárias (S 5 S
0
 1 V ? t) dos carros 
serão iguais a: a
Dados: S 5 espaço final, S
0 
5 espaço inicial e V 5 velocidade
x
D
0
B
A
C
y
a) A(t) 5 10 2 60t
 B(t) 5225 2 50t
 C(t) 5250 1 100t
 D(t) 5 45 2 90t
b) A(t) 5 10 1 60t
 B(t) 5 25 2 50t
 C(t) 5250 1 100t
 D(t) 5 45 2 90t
c) A(t) 5 210 2 60t
 B(t) 5 25 2 50t
 C(t) 5250 1 100t
 D(t) 5 245 2 90t
d) A(t) 5 10 2 60t
 B(t) 5 225 1 50t
 C(t) 5250 1 100t
 D(t) 5 45 2 90t 
e) A(t) 5 210 1 60t
 B(t) 5 225 2 50t
 C(t) 5250 1 100t
 D(t) 5 45 1 90t
3 Após 1 hora e 30 minutos, as distâncias entre os carros AC e BD 
serão, respectivamente: e
a) 20 km e 10 km.
b) 180 km e 190 km.
c) 180 km e 20 km.
d) 90 km e 190 km.
e) 180 km e 10 km.
Veja comentários sobre as questões no Guia do Professor.
23
C
A
S
A
 D
E
 T
IP
O
S
/A
R
Q
U
IV
O
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A
 E
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IT
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24 Função modular
QUADRO DE IDEIAS
Módulo de um 
número real
Definição
|x| 5 x, se x > 0
|x| 5 2x, se x < 0
Propriedades Função 
modular
Equação modular e 
Inequação modular
|x| 5 |2x|
|x2| 5 |x|2 5 x2
|x ? y| 5 |x| ? |y|
|x 1 y| < |x| 1 |y|
||x| 2 |y|| < |x 2 y|
f(x) 5 x, para x > 0
f(x) 52x, para x , 0
g(x) = |x| + a
h(x) = |x| 2 a
f(x) = |x|
2a
a
0
y
x
s(x) = |x + b|
r(x) = |x 2 b|
f(x) = |x|
2b b0
y
x
t(x) = |x 2 b| + a
a
b
y
x
Presidência: Mário Ghio Júnior
Direção: Carlos Roberto Piatto
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Conselho editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves, 
Carlos Roberto Piatto, Daniel Augusto Ferraz Leite, 
Eduardo dos Santos, Eliane Vilela, Helena Serebrinic, 
Lidiane Vivaldini Olo, Luís Ricardo Arruda de Andrade, 
Marcelo Mirabelli, Marcus Bruno Moura Fahel, 
Marisa Sodero, Ricardo Leite, Ricardo de Gan Braga, 
Tania Fontolan
Gerência editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Tatiana Leite Nunes (coord.),
Pietro Ferrari 
Assistência editorial: Carolina Domeniche Romagna, 
Rodolfo Correia Marinho
Organização didática: Maitê Fracassi
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, 
Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Tatiane Godoy, 
Tayra Alfonso, Vanessa Lucena;
Colaboração: Aparecida Maffei, Rita Sam
Coordenação de produção: Fabiana Manna (coord.),
Adjane Oliveira, Solange Pereira
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Daniel Hisashi Aoki
Diagramação: Antonio Cesar Decarli,
Claudio Alves dos Santos, Fernando Afonso do Carmo,
Flávio Gomes Duarte, Kleber de Messas
Iconografia: Sílvio Kligin (supervisão), Marcella Doratioto;
Colaboração: Fábio Matsuura, Fernanda Siwiec,
Fernando Vivaldini
Licenças e autorizações: Edson Carnevale
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Fabio Colombini
Projeto gráfico de miolo: Daniel Hisashi Aoki
Editoração eletrônica:Casa de Tipos
 
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Ensino Abril Educação S.A.
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CEP: 05425-902 – São Paulo – SP
(0xx11) 4383-8000
© Sistemas de Ensino Abril Educação S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino médio, caderno 4 :
álgebra : PR / Luiz Roberto Dante. -- 2. ed. --
São Paulo : Ática, 2015.
 1. Álgebra (Ensino médio) 2. Matemática (Ensino
médio) I. Título.
14–12941 CDD–510.7
Índice para catálogo sistemático:
1. Matemática : Álgebra : Ensino médio 510.7
2015
ISBN 978 85 08 17162-0 (AL)
ISBN 978 85 08 17163-7 (PR)
2ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Função modular
M
A
T
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A
 
 
Á
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G
E
B
R
A
 LUIZ RO BERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP.
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela 
PUC/São Paulo.
Mestre em Matemática pela USP.
Ex-presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática 
(Sbem).
Ex-secretário executivo do Comitê Interamericano de Educação 
Matemática (Ciaem).
Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp 
– Rio Claro/SP.
Autor de vários livros: Didática da resolução de problemas de 
Matemática; Didática da Matemática na pré-escola; Coleção 
Aprendendo Sempre – Matemática (1o ao 5o ano); Tudo é Mate-
mática (6o ao 9o ano); Matemática – Contexto & Aplicações – 
 Volume único (Ensino Médio); Matemática – Contexto & Aplica-
ções – 3 volumes (Ensino Médio).
GUIA DO PROFESSOR
MÓDULO 
 Função modular (8 aulas)
MATEMÁTICA ÁlGEBra
2120616_SER_EM_MAT_ALG_CAD4_CAP1_GuiaProf.indd 1 2/13/15 9:40 AM
2 GUIA DO PROFESSOR
MÓDULO
Função modular
Plano de aulas sugerido
Carga semanal de aulas: 3
Número total de aulas do módulo: 8
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em 
questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique 
aos alunos que a utilidade deste “selo” é indicar o número da(s) 
competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área 
de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: laranja; 
Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: 
azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está 
disponível no portal.
 1. Função modular
Objeto do conhecimento
Conhecimentos algébricos/geométricos.
Objeto específico
Gráficos e funções. Funções algébricas do 1o e do 2o graus, 
polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas. Equações e 
inequações. Plano cartesiano.
aulas 1 e 2
 Páginas: 4 a 8
módulo de um número real
objetivos
 Identificar para os alunos o módulo ou valor absoluto de um nú-
mero real.
 Resolver com os alunos expressões que contenham módulo.
Competências
 c Construir noções de 
variação de grandezas para 
a compreensão da realidade 
e a solução de problemas do 
cotidiano.
 c Modelar e resolver problemas 
que envolvam variáveis 
socioeconômicas ou 
técnico-científicas usando 
representações algébricas.
Habilidades
 c Identificar a relação 
de dependência entre 
grandezas.
 c Identificar representações 
algébricas que expressem a 
relação entre grandezas.
 c Interpretar gráficos 
cartesianos que representem 
relações entre grandezas.
 Explicar como se aplicam as propriedades envolvendo módulo.
 Ensinar como se determina o valor de x a partir do módulo de x.
 Explicar como se determina a distância entre dois pontos na reta real.
Estratégias
Conceitue módulo de um número real para os alunos. Por meio 
dos exercícios resolvidos, ressalte o processo de como se calcula o 
módulo de um número real.
Ressalte que cada módulo deve ter uma expressão equivalente 
analisada para, depois, ser feita a intersecção das expressões obtidas.
Enuncie as cinco propriedades envolvendo módulo e explique 
cada exemplo.
Analise com os alunos os três exemplos para encontrar o valor de x a 
partir do módulo de x. Discuta com eles o segundo boxe “Para 
refletir” da página 7, de modo que fique claro a diferença entre 
x 5 |7| e |x| 5 7.
Solicite aos alunos que resolvam os exercícios 1 e 2 da seção “Para 
construir” das páginas 7 e 8.
Por meio do texto “Distância entre dois pontos na reta real”, explique 
que o módulo de um número pode ser considerado a distância desse 
número até a origem da reta real.
Desenhe a reta real na lousa com alguns valores e explique o con-
ceito de módulo.
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 1 a 3 do “Para pra-
ticar” (página 18).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
aulas 3 e 4
 Páginas: 9 a 13
Função modular
objetivos
 Ensinar os alunos como calcular o valor da função modular f(x), 
dado x.
 Auxiliar os alunos na construção do gráfico da função modular.
Estratégias
Retome primeiramente o conceito de módulo. Depois, defina fun-
ção modular.
Explique os exemplos sobre construção de gráfico da função mo-
dular e proponha a discussão dos assuntos apresentados nos boxes 
“Para refletir”. Para facilitar, utilize uma transparência com os gráficos.
Monte uma tabela com alguns valores para a função f(x) 5 |x| e 
desenhe o gráfico.
Solicite aos alunos que resolvam os exercícios 3 e 4 da seção “Para 
construir” da página 13.
Se possível, aplique o exercício extra 1, presente neste guia.
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 4 a 7 do “Para pra-
ticar” (páginas 18 e 19) e as atividades 1 a 4 do “Para aprimorar” 
(páginas 19 e 20).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
2120616_SER_EM_MAT_ALG_CAD4_CAP1_GuiaProf.indd 2 2/13/15 9:40 AM
3Função modular
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 
 Á
LG
E
B
R
A
aula 5 Páginas: 14 e 15
Equações modulares
objetivos
 Apresentar as equações modulares.
 Ensinar os alunos a resolver equações modulares sujeitas a con-
dições.
Estratégias
Conceitue equações modulares. Recorde com os alunos as cin-
co propriedades envolvendo módulo e aplique-as na resolução das 
equações modulares.
Explique os exercícios resolvidos 7 e 8.
Solicite aos alunos que resolvam os exercícios 5 e 6 da seção “Para 
construir” da página 15.
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 8 a 10 do “Para pra-
ticar” (página 19) e as atividades 5 e 6 do “Para aprimorar” (página 20).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
aulas 6 e 7 Páginas: 15 a 18
Inequações modulares
objetivos
 Apresentar as inequações modulares.
 Aplicar, com os alunos, inequações modulares para determinar o 
domínio de algumas funções.
Estratégias
Conceitue inequações modulares. Discuta com os alunos os con-
teúdos do boxe “Para refletir” da página 15.
Explique o exercício resolvido 9 e os conceitos do boxe “Para refle-
tir” relacionado ao item d deste exercício.
Mostre como determinar o domínio de algumas funções aplicando 
a resolução de inequações modulares. Utilize, para isso, o exercício 
resolvido 10 e o boxe “Para refletir” relacionado a essa questão.
Os exemplos de inequação modular podem ser resolvidos apenas 
com a definição de módulo.
Analise com os alunos os exemplos de desigualdades do início da 
seção “Inequações modulares”.
Solicite aos alunos que resolvam os exercícios 7 a 9 da seção “Para 
construir” das páginas 17 e 18.
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 11 a 13 do “Para pra-
ticar” (página 19) e as atividades 7 e 8 do “Para aprimorar” (página 20).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
 rEVIsão E maIs EnEm
aula 8 Páginas: 21 a 24
objetivos
 Revisar o conteúdo apresentado no módulo.
 Desenvolver habilidades e competências.
 Apresentar conteúdos interdisciplinares.
Estratégias
Selecione alguns exercícios da “Revisão”e resolva-os com os alu-
nos. Identifique os conteúdos em que ainda há dúvidas e resolva os 
exercícios correspondentes na lousa.
Leia o texto do “Mais Enem”. Proponha à classe a leitura e o desen-
volvimento da atividade.
Em seguida, discuta as perguntas e faça a correção das questões 1, 2 e 3.
Na questão 1, explicite aos alunos:
 Se o carro A em 5 minutos se desloca 5 km, então em 60 minutos 
se deslocará 60 km; assim, sua velocidade será igual a 60 km/h.
 Se o carro B em 12 minutos se desloca 10 km, então em 60 minutos 
se deslocará 50 km; assim, sua velocidade será igual a 50 km/h.
 Se o carro A em 6 minutos se desloca 10 km, então em 60 minutos 
se deslocará 100 km; assim, sua velocidade será igual a 100 km/h.
 Se o carro A em 10 minutos se desloca 15 km, então em 60 minu-
tos se deslocará 90 km; assim, sua velocidade será igual a 90 km/h.
Já na questão 2, como os carros A, B e D estão contra o sentido dos 
eixos, então suas velocidades aparecem de forma negativa.
As coordenadas de localização indicam o S
0
 do movimento.
Temos, então:
A(t) 5 10 2 60t; B(t) 5 225 2 50t; C(t) 5 250 1 100t e 
D(t) 5 45 2 90t.
Finalmente, na questão 3: 



⇒
⇒
A(1, 5) 10 60 1,5 80
C(1, 5) 50 100 1,5 100
D 80 100 180 180 kmAC
5 2 ? 5 2
5 2 1 ? 5
5 2 2 5 2 5



⇒
⇒
B(1, 5) 25 50 1,5 100
D(1, 5) 45 90 1,5 90
D 100 ( 90) 100 90 10 10 kmBD
5 2 2 ? 5 2
5 2 ? 5 2
5 2 2 2 5 2 1 5 2 5
ANOTAÇÕES
2120616_SER_EM_MAT_ALG_CAD4_CAP1_GuiaProf.indd 3 2/13/15 9:40 AM
4 GUIA DO PROFESSOR
1 (AFA-SP) Considere a figura abaixo, que representa um esbo-
ço do gráfico da função real f.
0 x
y
u
u
3u
2u
2u 3u
Sabe-se que g(x) 5 f(x) 2 3u, h(x) 5 g(x 1 u) e j(x) 5 |h(x)|.
Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é:
a) 
0 x
y
u
u
2u
2u 3u22u 2u 4u 5u 6u
b) 
0 x
y
u
u
2u
2u 3u22u 2u 4u 5u 6u
c) 
0 x
y
u
u
2u
2u 3u22u 2u 4u 5u
d) 
0 x
y
u
u
2u
2u 3u22u 2u 4u 5u
rEsolução:
 f(x) sofre uma translação vertical.
0 x
f(x)
g(x)
3u
y
u
u
3u
2u
22u
2u
2u 3u
 g(x) sofre uma translação horizontal.
0 x
h(x) g(x)
y
u
u
u
3u
2u
22u
2u
2u
3u
 A parte negativa de h(x) é multiplicada por –1.
0
x
j(x)
y
u
u
3u
2u
22u
2u
2u
3u
Logo, a alternativa correta é a a.
EXErCÍCIo EXTra
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5Função modular
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
rEsPosTas
 CaPÍTulo 1 – Função modular
 Para PraTICar – páginas 18 e 19
 1. a) 14
b) 0
c) 11
d) 215
e) 16
f ) 27
g) 3
h) 6
 2. a) |x4| 5 x4
b) x > 0 ⇒ |x3| 5 x3; x , 0 ⇒ |x3| 5 2x3
c) x > 2 ⇒ |x 2 2| 5 x 2 2; x , 2 ⇒ |x 2 2| 5 2x 1 2
d) |x 1 1| 5 2x 2 1
e) |x 2 2| 1 |x 2 1| 5 2x 2 3
f ) x , 3 ⇒ |x 2 3| 2 |x 2 5| 5 22;
 3 < x , 5 ⇒ |x 2 3| 2 |x 2 5| 5 2x 2 8;
 x . 3 ⇒ |x 2 3| 2 |x 2 5| 5 2
g) |x 2 1| 1 |x 1 4| 5 3
h) 4 , x , 5 ⇒ |x 2 2| 1 |x 2 5| 5 3;
 x > 5 ⇒ |x 2 2| 1 |x 2 5| 5 2x 2 7.
 3. a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f ) V
g) F
h) V
 4. a) f(x)
x0
1
2
3
1 2 3 4
b) f(x)
x0
1
2
3
121 2 3 4
c) f(x)
x0
1
21
2
3
121
2223
24 2
(23, 21)
 5. e.
 6. c.
 7. d.
 8. a) S 5 {24, 16} 
b) S
4
3
, 2






5 2
c) S 5 Ø
d) S 5 {27, 9}
e) S 5 {21, 5}
f ) S
7
3
, 5






5
 9. a) S 5 {2, 4}
b) S
1
2
, 2






5 2
c) S 5 {0, 1, 2, 5}
 10. a) S
1
3
, 1






5
b) S
7
3
5






c) S 5 {1, 4}
d) S
3
4
,
1
2






5 2 2
e) S 5 {2}
f ) S 0,
2
3






5
g) S
7
2
5






h) S 5 {21, 0, 1}
 11. S 5 {x [ R | 1 < x < 4 ou 6 < x < 9}
 12. S 5 {x [ R | 21 , x , 2 ou 4 , x , 7} 
 13. d.
 Para aPrImorar – páginas 19 e 20
 1. a) Tomando como referência o ponto (1, 2) destacado no gráfi-
co, temos:
 2 5 2 ? 1 1 |1 1 p| ⇔ |1 1 p| 5 0 ⇔ p 5 21
b) 2x 1 |x 2 3| 5 12 ⇔ |x 2 3| 5 12 2 2x ⇔ x 2 3 5 12 2 2x 
ou x 2 3 5 2x 2 12 ⇒ x 5 5 ou x 5 9
 x 5 9 não convém, pois 12 2 2 ? 9 , 0.
 Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5.
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6 GUIA DO PROFESSOR
 2. b.
 3. a.
 4. F – F – F – V – F
 5. a) y
x
1
2
3
g
2
(x)
g
1
(x)
f
2122 1 2 3 40
b) 
3
2
, 0 e
5
2
2 
c) Se m 5 0, há duas raízes reais distintas; se 0 m
1
2
, , , há quatro 
raízes reais distintas; se m
1
2
5 , há três raízes reais distintas; se 
m
1
2
. , há duas raízes reais distintas.
 6. e.
 7. S 5 {x [ R | 21 , x , 0 ou x . 1}
 8. a) O veículo de Rio Claro está, aproximadamente, no km 190, e o 
veículo de São Carlos está, aproximadamente, no km 200.
b) 10 min e 30 min.
 Para rEFlETIr
página 7
 x 5 |7| ⇒ x 5 7
 |x| 5 7 ⇒ x 5 ±7
página 10
 Em g(x), todos os pontos de f(x) se deslocaram duas unidades para 
cima. Em h(x), todos os pontos de f(x) se deslocaram duas unidades 
para baixo.
 Em r(x), todos os pontos de f(x) se deslocaram duas unidades para a 
direita. Em s(x), todos os pontos de f(x) se deslocaram duas unidades 
para a esquerda.
 Em t(x), todos os pontos de f(x) se deslocaram três unidades para a 
direita e uma unidade para cima. Em u(x), todos os pontos de f(x) 
se deslocaram uma unidade para a esquerda e três unidades para 
baixo.
página 15
 III) Todo número real tem módulo > 0; portanto, S 5 R.
 IV) Todo número real não nulo tem módulo . 0; portanto, 
S 5 R*.
 V) Nenhum número real tem módulo , 0; portanto, S 5 Ø. 
 VI) Nenhum número real tem módulo negativo; resta, por-
tanto, |x| 5 0 ⇒ S 5 {0}.
 S 5 {x [ R | 23 < x < 3} 
 S 5 {x [ R | x < 23 ou x > 3}
página 16
 a) S 5 {22, 4}
 b) S 5 {4}
página 17
 Porque a negação de x 5 3 ou x 5 23 é x Þ 3 e x Þ 23.
 rEVIsão
páginas 21 e 22
 1. b.
 2. e.
 3. d.
 4. a.
 5. e.
 6. b.
 7. a) 
4
3
2
1
21
22 21 1 2 3 4 x
y
0
b) 5,5 u.a.
 8. d. 9. c. 10. e.
rEFErÊnCIas BIBlIoGrÁFICas
 ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: LTC, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974.
 COLEÇÃO do professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 1997.
 DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. (Coleção do professor de Matemática, v. 1 e 2.)
 MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1981.
 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986.
 ________. Mathematical discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v.
 REVISTA do Professor de Matemática. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1 a 36.
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7Função modular
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 
 Á
LG
E
B
R
A
ANOTAÇÕES
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8 GUIA DO PROFESSOR
ANOTAÇÕES
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518961PROFESSOR
O sistema de ensino SER quer conscientizar seus alunos sobre os problemas da 
atualidade. Pensando nisso, apresentamos, no Ensino Médio, capas com animais da 
fauna brasileira em extinção. Esperamos que as imagens e as informações fornecidas 
motivem os estudantes a agir em favor da preservação do meio ambiente.
O lobo-guará (Chrysocyon brachyurus) é o animal de maior porte da família dos 
canídeos e pode atingir até 1 metro de altura e 1,2 metro de comprimento. Está 
ameaçado de extinção, por causa da destruição de seu hábitat, ocasionada pela 
exploração do cerrado para o plantio de soja e o pastoreio de gado. Ao contrário de 
outras espécies de lobo, ele raramente caça animais de grande porte, alimentando-se 
principalmente de roedores, pequenos répteis, caules doces, mel, aves e frutas.
Desde 2009, o Plano de Ação Nacional para a Conservação do Lobo-guará, que 
envolve institutos nacionais e internacionais, procura reverter o declínio populacional 
da espécie, reduzindo a categoria de ameaça atual.
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