Álgebra - Caderno 06

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA ÁLGEBRA
6
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Progressões e matrizes
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1
 PROGRESSÕES E MATRIZES
1 Progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Progressão aritmética (PA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Interpolação aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Soma dos termos de uma PA finita . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Progressão geométrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Classificação das progressões geométricas . . . . . . . . . . 19
Fórmula do termo geral de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Interpolação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Soma dos n primeiros termos de uma PG finita . . . . . . . 26
Limite da soma dos termos de uma PG infinita . . . . . . . 28
Produto dos termos da PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problemas envolvendo PA e PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Representação genérica de uma matriz . . . . . . . . . . . . . 39
Matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Matriz triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Matriz identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Adição de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Subtração de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Multiplicação de um número real por uma matriz . . . . . . 47
Matriz transposta de uma matriz dada . . . . . . . . . . . . . 48
Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Matriz inversa de uma matriz dada . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Equações matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
MATEMÁTICA ÁLGEBRA
Luiz Roberto Dante
2122798 (PR)
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MÓDULO
Progressões e matrizes
O número de espiras em diversas flores e frutos se 
ajusta a pares consecutivos de termos da sequência de 
Fibonacci (sequência em que cada número é determi-
nado pela soma dos dois anteriores: 1 1 2 3 5 8 
13 21 34 55 89 144 233 377 ...). Os girassóis 
têm 55 espiras em um sentido e 89 em outro ou 89 e 144. 
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reFletINdo SoBre a Imagem
Observe o formato das flores, a quantidade 
de pétalas que elas contêm, o desenho que apa-
rece nas frutas quando são cortadas transversal 
ou longitudinalmente ou os gomos da casca do 
abacaxi. Você perceberá que há uma disposição 
perfeitamente simétrica. 
O padrão de distribuição das folhas ao 
longo do caule das plantas é chamado filota-
xia. De acordo com esse padrão, os ramos e 
as folhas das plantas distribuem-se de modo a 
receber o máximo de luz. Essa distribuição, em 
algumas plantas, apresenta o padrão conheci-
do como sequência de Fibonacci. 
Você sabe o que caracteriza uma sequên-
cia? Sabe reconhecer os dois tipos de sequência?
Muitas vezes, para designar com clareza 
certas situações, é necessário formar um gru-
po ordenado de números que se apresentam 
dispostos em linhas e colunas numa tabela. 
Em Matemática, essas tabelas são chamadas 
de matrizes. Com o advento da computação 
e a crescente necessidade de se guardar infor-
mação, as matrizes adquiriram uma grande 
importância. Para termos ideia dessa impor-
tância, basta saber que o que vemos na tela do 
computador é uma enorme matriz e cada valor 
guardado nas linhas e colunas da matriz repre-
senta uma região quadrada bem pequena, que 
a olho nu não deixa de ser um ponto colorido 
mostrado na tela (pixel).
Você sabe qual o conceito de matriz, 
quais são os seus tipos e como aplicá-lo para 
resolver problemas?
www.ser.com.br
Atualmente são muito utilizadas as 
resoluções de imagem de 600 3 800 
(600 linhas, 800 colunas) ou 768 3 1 024 
(768 linhas, 1 024 colunas) nos monitores de 
computador.
Acima, a mesma imagem é mostrada em três 
diferentes resoluções. A matriz usada para 
guardar os pontos que compõem a primeira 
imagem tem apenas 33 linhas e 22 colunas, 
enquanto a matriz usada na terceira imagem 
tem 650 linhas e 433 colunas.
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4 Progressões e matrizes
CAPÍTULO
1 Progressões
Objetivos:
c Conceituar sequência.
c Reconhecer os dois 
principais tipos de 
sequências: Progressão 
Aritmética (PA) e 
Progressão Geométrica 
(PG).
c Saber utilizar a PA e 
a PG na resolução de 
situações-problema.
Examine estas duas situações:
1a) Um corpo caindo livremente (desprezando-se a resistên-
cia do ar) tem, no final do primeiro segundo, velocidade 
de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo 
seguinte; de 29,4 m/s no final do terceiro segundo; e as-
sim por diante. Continuando nesse ritmo, qual será sua 
velocidade no final do décimo segundo (10 s)?
2a) Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: 
cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas diferentes, por 
exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro 
possibilidades: cara, cara; cara, coroa; coroa, coroa; ou coroa, 
cara. Se lançarmos três moedas diferentes, serão oito os re-
sultados possíveis. E assim por diante.
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
A relação entre o número de moedas e o número de resultados é mostrada na tabela:
Número de moedas Número de resultados
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
A A
Vemos que 2 5 21; 4 5 22; 8 5 23; 16 5 24; 32 5 25, etc.
Então, se n é o número de moedas, o número de resultados é dado por 2n.
Nesse caso, temos uma sequência: (2, 4, 8, 16, 32, ).
Qual é o total de resultados se lançarmos oito moedas?
Estudaremos sequências e, em particular, as sequências chamadas de progressão aritmética 
(PA) e de progressão geométrica (PG). Com esses conceitos, poderemos resolver situações como 
as exemplificadas e outras envolvendo sequências.
Explicite os oito resultados no 
caso de três moedas.
Para
reFletIr
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Progressões e matrizes
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5
 SeQuÊNCIaS
Em muitas situações da vida diária, aparece a ideia de sequência ou sucessão. Assim, por 
exemplo, temos:
 a sequência dos dias da semana (domingo, segunda, terça, …, sábado);
 a sequência dos meses do ano (janeiro, fevereiro, …, dezembro);
 a sequência dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, …);
 a sequência dos anos, a partir de 1990, nos quais a Copa do Mundo de Futebol é realizada (1990, 
1994, 1998, 2002, 2006, 2010, 2014, …).
Em todas essas situações, observamos uma certa ordem nos elementos da sequência. Esses 
elementos são também chamados termos da sequência. Na sequência dos meses do ano, temos:
1o termo: janeiro; 2o termo: fevereiro; …; 12o termo: dezembro.
Se representarmoso 1o termo por a
1
 (lê-se “a índice um”), o 2o termo por a
2
, o 3o por a
3
, e assim 
por diante, até o termo de ordem n, ou enésimo termo (a
n
),
 
essa sequência pode ser representada por:
(a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
)
Nesse exemplo, temos:
 a
1
 5 janeiro; a
7
 5 julho; a
10
 5 outubro; a
12
 5 dezembro.
definição
Uma sequência finita de n termos é uma função cujo domínio é o conjunto numérico {1, 2, 
3, …, n}. Os números do contradomínio são indicados por a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
.
Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio é N* 5 {1, 2, 3, …, n, …} e o contradomínio 
é indicado por {a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …}. Assim, f(1) 5 a
1
, f(2) 5 a
2
, …, f(n) 5 a
n
, …
determinação de uma sequência
Algumas sequências são dadas por regras ou leis matemáticas chamadas leis de formação, que 
possibilitam explicitar todos os seus termos.
A sequência a
n
 5 2n 2 1, n [ N*, é dada por:
 para n 5 1 ⇒ a
1
 5 2 ? 1 2 1 5 1;
 para n 5 2 ⇒ a
2
 5 2 ? 2 2 1 5 3;
 para n 5 3 ⇒ a
3
 5 2 ? 3 2 1 5 5;
 para n 5 4 ⇒ a
4
 5 2 ? 4 2 1 5 7, etc.
Portanto, a sequência é (1, 3, 5, 7, …), ou seja, a dos números naturais ímpares.
Exemplos de sequências:
1o) A sequência dos números 
ímpares positivos é infini-
ta: (1, 3, 5, 7, 9, …), na qual 
a
1
 5 1, a
2
 5 3, a
3
 5 5, a
4
 5 7, 
a
5
 5 9, etc.
2o) A sequência dos quatro pri-
meiros múltiplos de 5 é fini-
ta: (0, 5, 10, 15). Nesse caso, 
a
1
 5 0, a
2
 5 5, a
3
 5 10 e 
a
4
 5 15.
3o) A sequência dos números 
quadrados perfeitos é infini-
ta: (1, 4, 9, 16, 25, …).
4o) A sequência do número de 
dias dos 12 meses de um 
ano bissexto é finita: (31, 29, 
31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 
30, 31). Esse exemplo mostra 
ainda que os termos de uma 
sequência não são necessa-
riamente distintos.
5o) 17, 12, 7, 2, 23, 28 é uma 
sequência finita de 6 termos.
relação entre o número phi e a sequência de Fibonacci
Fibonacci foi o nome com o qual o matemático Leonardo Pisano (ou Leonardo de Pisa) ficou conhecido. Nascido em Pisa (na atual 
Itália), viveu na Idade Média (1170-1250) e contribuiu para o desenvolvimento da Matemática em diversas pesquisas. 
Na sequência de Fibonacci temos: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Se dividirmos cada um desses números pelo seu antecedente, reparamos que a razão vai tender para um certo valor.
Ou seja, se fizermos 5 5 5 5 5
a
a
1;
a
a
2;
a
a
1,5;
a
a
1,6;
a
a
1,6
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
 e continuarmos assim sucessivamente, obteremos a seguinte 
sequência de números:
5
5
5
5
a
a
1,000000;
a
a
2,000000;
a
a
1,500000;
a
a
1,666666...;
2
1
3
2
4
3
5
4
5
5
5
a
a
1,600000;
a
a
1,625000;
a
a
1,615385... ;
6
5
7
6
8
7
Esse valor que se aproxima nas razões 
a
a
n 1
n
1 tende ao número phi ( )ϕ 1,61803398875 .
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6 Progressões e matrizes
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
1 Determine o termo a
n
, chamado termo geral, na sequência 
dos números quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, …).
reSoluÇÃo:
a
n
 5 ?
Observamos que:
 n 5 1 ⇒ a
1
 5 1 5 12
 n 5 2 ⇒ a
2
 5 4 5 22
 n 5 3 ⇒ a
3
 5 9 5 32
 n 5 4 ⇒ a
4
 5 16 5 42
A
 para um n qualquer ⇒ a
n
 5 n2
Logo, a
n
 5 n2 é o termo geral da sequência, com n [ N*.
2 Escreva a sequência definida por:
N5 1
2
{ [
a 35a 3
a a5 1a a5 12, para n ,Nn ,[n , n 2>n 2
1a 31a 3
n n5 1n n5 1a an na a5 1a a5 1n nn na a 15 115 1
reSoluÇÃo:
a
1
 5 3
 para n 5 2 ⇒ a
2
 5 a
1
 1 2 5 3 1 2 5 5
 para n 5 3 ⇒ a
3
 5 a
2
 1 2 5 5 1 2 5 7
 para n 5 4 ⇒ a
4
 5 a
3
 1 2 5 7 1 2 5 9, etc.
Portanto, a sequência é (3, 5, 7, 9, …), que é a sequência dos 
números naturais ímpares a partir do 3.
Para CoNStruIr
1 Calcule:
a) a soma a
2
 1 a
5
 para a sequência cujo termo geral é dado 
por a
n
 5 (21)n ? 
1
1
n 2
n 1
.
a
2
 5 (21)2 ? 
2 2
2 1
4
3
1
1
5
a
5
 5 (21)5 ? 
5 2
5 1
7
6
1
1
52 
a
2
 1 a
5
 5 
4
3
7
6
8 7
6
1
6
2 5
2
5
b) a soma dos quatro primeiros termos da sequência cujo ter-
mo geral é f(n) 5 
1
n2
, com n [ N*. 
a
1
 5 
1
1
1
2
5
a
2
 5 
1
2
1
42
5
a
3
 5 
1
3
1
92
5 
a
4
 5 
1
4
1
162
5 
a
1
 1 a
2
 1 a
3
 1 a
4 
5 1
1
4
1
9
1
16
1 1 1 5 
144 36 16 9
144
205
144
1 1 1
5
No exercício 1b, a notação f(n) 
corresponde a a
n
.
Para
reFletIr
2 Calcule o 8o termo da sequência que tem a
1
 5 6 e a
n
 5 a
n 2 1 
1 
1 3, para n > 2. 
n 5 1 ⇒ a
1
 5 6
n 5 2 ⇒ a
2
 5 a
1
 1 3 5 6 1 3 5 9
n 5 3 ⇒ a
3
 5 a
2
 1 3 5 9 1 3 5 12
n 5 4 ⇒ a
4
 5 a
3
 1 3 5 12 1 3 5 15
etc.
A sequência é (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...).
Logo, o 8o termo é 27.
3 Observe as figuras formadas com palitos.
Agora, complete a tabela com o número de palitos necessá-
rios para formar os triângulos:
Número de triângulos Número de palitos
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
: :
x 2x 1 1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-2
H-7
En
em
C-6
H-2
4
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste 
“selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: la-
ranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.
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 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 7
Observando que o número de palitos necessários é dado em 
função do número de triângulos que se quer formar, responda:
a) Quantos palitos são necessários para formar 20 triângulos?
41 palitos
2x 1 1 5 2 ? 20 1 1 5 41
b) Quantos palitos são necessários para formar 77 triângulos?
155 palitos
2x 1 1 5 2 ? 77 1 1 5 155
c) Quantos triângulos se podem formar com 81 palitos? 
40 triângulos
2x 1 1 5 81 ⇒ 2x 5 80 ⇒ x 5 40
4 (FGV-SP) Os números 1, 3, 6, 10, 15, … são chamados de nú-
meros triangulares, nomenclatura justificada pela seguinte 
sequência de triângulos.
1 3 6 10 15
a) Determine uma expressão algébrica para o enésimo nú-
mero triangular.
n 5 1 ⇒ a
1
 5 1 5 
1 2
2
?
n 5 2 ⇒ a
2
 5 3 5 
2 3
2
?
n 5 3 ⇒ a
3
 5 6 5 
3 4
2
?
 
n 5 4 ⇒ a
4
 5 10 5 
4 5
2
?
etc.
Logo, a
n
 5 
n (n 1)
2
1
, para n [ N*.
b) Prove que o quadrado de todo número inteiro maior que 
1 é a soma de dois números triangulares consecutivos.
n(n 1)
2
1
 1 
(n 1) (n 2)
2
1 1
 5 
n n n 3n 2
2
2 2
1 1 1 1
 5
5 
2n 4n 2
2
2
1 2
 5 n2 1 2n 1 1 5 (n 1 1)2, para n [ N*.
En
em
C-1
H-2
En
em
C-5
H-2
1
 ProgreSSÃo arItmÉtICa (Pa)
Encontramos frequentemente grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo 
iguais. Veja, por exemplo, o seguinte problema:
Uma empresa produziu 100 000 unidades de certo produto em 2007. Quantas unidades 
produzirá, anualmente, de 2007 a 2012, se o aumento anual de produção for estabelecido em 
20 000 unidades?
Esquematizamos o problema da seguinte forma:
 produção em 2007 5 100 000
 produção em 2008 5 (produção em 2007) 1 20 000 5 100 000 1 20 000 5 120 000
 produção em 2009 5 (produção em 2008) 1 20 000 5 120 000 1 20 000 5 140 000
 produção em 2010 5 (produção em 2009) 1 20 000 5 140 000 1 20 000 5 160 000
 produção em 2011 5 (produção em 2010) 1 20 000 5 160 000 1 20 000 5 180 000
 produção em 2012 5 (produção em 2011) 1 20 000 5 180 000 1 20 000 5 200 000
Nessas condições, a produção anual nesse período será representada pela sequência:
(100 000, 120 000, 140 000, 160 000, 180 000, 200 000).
Notamos que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido a partir do ante-
rior somado a um número fixo (20 000, nesse caso). Ou seja, a produção teve aumentos iguais 
de 20 000 unidades em intervalos de tempo iguais, de 1 ano.
Sequências desse tipo são chamadas de progressões aritméticas.Observe que a diferença 
entre cada termo e o termo anterior é constante (20 000 unidades nessa sequência).
A sequência (100 000, 120 000, 140 000, 160 000, 180 000, 200 000) é um exemplo de PA. 
O aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo e é chamado razão da progressão. 
A razão dessa progressão é 20 000. Dizemos que os termos dessa sequência estão em PA.
definição
Progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada 
termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada 
razão da progressão e é representada pela letra r.
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8 Progressões e matrizes
Exemplos:
1o) A sequência (2, 7, 12, 17, …) é uma progressão aritmética infinita de razão r 5 5, em que 
a
1
 5 2. Essa é uma PA crescente, pois r . 0.
2o) A sequência (20, 10, 0, 210, 220) é uma PA de cinco termos em que o 1o termo é a
1
 5 20 
e a razão é r 5 210. Essa é uma PA decrescente, pois r , 0.
3o) A sequência (4, 4, 4) é uma PA de três termos, em que o 1o termo é a
1
 5 4 e a razão é r 5 0. 
Quando r 5 0, a PA é chamada PA constante ou estacionária.
4o) A sequência (1, 21, 1, 21, 1, 21, …) não é uma progressão aritmética, pois as diferenças 
entre termos sucessivos são alternadamente 22 e 2.
Observações:
1a) Notamos então que, de modo geral, uma sequência (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, …, a
n
, …) é uma PA quando:
a
2
 5 a
1
 1 r ⇒ a
2
 2 a
1
 5 r
a
3
 5 a
2
 1 r ⇒ a
3
 2 a
2
 5 r
a
4
 5 a
3
 1 r ⇒ a
4
 2 a
3
 5 r
A
a
n
 5 a
n 2 1
 1 r ⇒ a
n
 2 a
n 2 1
 5 r
Comparando, temos:
a
2
 2 a
1
 5 a
3
 2 a
2
 5 a
4
 2 a
3
 5 … 5 a
n
 2 a
n 2 1
 5 … 5 r
2a) Da definição decorre que, se a
r 
, a
s
 e a
p
 são termos consecutivos de uma PA, então:
a
s
 2 a
r
 5 a
p
 2 a
s
 ⇒ 2a
s
 5 a
r
 1 a
p
 ⇒ a
s
 5 
a a
2
r p1
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma progressão aritmética, o termo do meio é a 
média aritmética dos outros dois.
representações especiais
Eventualmente podemos recorrer a algumas representações especiais de uma PA, principalmen-
te quando a soma dos termos for conhecida. A vantagem das representações especiais é diminuir a 
quantidade de cálculos exigidos em algumas situações.
As principais representações especiais são:
 três termos em PA: (x 2 r, x, x 1 r)
 quatro termos em PA: (x 2 3y, x 2 y, x 1 y, x 1 3y)
Note que nesse caso r 5 2y.
 cinco termos em PA: (x 2 2r, x 2 r, x, x 1 r, x 1 2r)
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
3 A sequência (x 2 4y, x 2 2y, x, x 1 2y), em que x e y são nú-
meros reais, é ou não uma PA? Se for, determine a razão.
reSoluÇÃo:
 (x 2 2y) 2 (x 2 4y) 5 x 2 2y 2 x 1 4y 5 2y
 x 2 (x 2 2y) 5 x 2 x 1 2y 5 2y
 (x 1 2y) 2 x 5 x 1 2y 2 x 5 2y
Logo, a sequência é uma PA de razão r 5 2y.
4 A sequência 2,
7
3
, …




 
, …


 é uma PA infinita. Determine a razão e 
o 3o termo dessa PA.
reSoluÇÃo:
a
1
 5 2; a
2
 5 
7
3
 
r 5 a
2
 2 a
1
 5 2 5 2 52 5
7
3
22 522 5
7
3
6
3
1
3
 
a
3
 5 a
2
 1 r 5 1 51 5
7
3
1
1 5
1
1 5
3
8
3
Logo, r 5 
1
3
 e a
3
 5 
8
3
.
5 Determine quatro números em PA crescente, sabendo que 
sua soma é 22 e a soma de seus quadrados é 6.
reSoluÇÃo:
Um artifício para representar PAs com um número par de ter-
mos é chamar os dois termos centrais de x 2 y e x 1 y, pois 
assim a razão passa a ser:
(x 1 y) 2 (x 2 y) 5 xx 1 y 2 xx 1 y 5 2y 
Logo, r 5 2y.
Portanto, a PA é dada por (x 2 3y, x 2 y, x 1 y, x 1 3y), com 
as seguintes condições:
2 1 2 1 1 1 1 52
2 1 2 1 1 1 1 5
(x 3y2 13y2 1) (2 1) (2 1 x y2 1x y2 1) (2 1) (2 1 x y1 1x y1 1) (1 1) (1 1 x 31 5x 31 5y)1 5y)1 5 2
(x 3y2 13y2 1) (2 1) (2 1 x y2 1x y2 1) (2 1) (2 1 x y1 1x y1 1) (1 1) (1 1 x 31 5x 31 5y)1 5y)1 562 2 22 12 2 21 12 2 2) (2 2 2) (2 1) (2 2 22 12 2 2) (x y2 2 22 1x y2 12 2 22 2 2x y) (2 2 2) (2 1) (2 12 2 22 12 2 2) (x y2 2 21 1x y1 12 2 22 2 2x y) (2 2 2) (1 1) (1 12 2 21 12 2 2) ( 21 521 5









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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
9
Efetuando os cálculos, chegamos a:
x 3y x y x y x 3y 2
x 6xy 9y x 2xy y x
2xy y x 6xy 9y 6
2 2x 62 2x 6 9y2 2 2 2x 22 2x 2xy2 2 2
2 2x 62 2x 6 2














2 1x 32 1x 3y x2 1y x 2 1y x2 1y x 1 1y x1 1y x 1 53y1 52
2 1x 62 1x 6xy2 12 22 12 2x 62 22 12 12 2xy2 22 12 12 2 1 2x 21 2x 2x 22 2x 21 21 22 21 1y x1 1y x2 21 12 2y x2 2y x1 11 12 2 1
1 12x1 1y y1 1y y 1 1x 61 1x 62 21 12 2x 62 2x 61 11 12 2 1 59y1 521 5
52
1 5
4x 2
4x 20y1 520y1 562 21 52 21 520y2 21 520y1 52 22 220y









Resolvendo o sistema:
 4x 5 22 ⇒ x 5 21
2
 
 4x2 1 20y2 5 6 ⇒ 4 2
1
2
2




 



 1 20y2 5 6 ⇒
⇒ 1 1 20y2 5 6 ⇒ 20y2 5 5 ⇒ 
⇒ y2 5 1
4
 ⇒ y 5 
1
2
± 
Como a PA é crescente, então y é positivo.
Assim, x 5 2
1
2
 e y 5 
1
2
. Daí, vem:
x 2 3y 5 22; x 2 y 5 21; x 1 y 5 0; x 1 3y 5 1
Portanto, a PA é dada por (22, 21, 0, 1), e sua razão é r 5 1.
6 Três números estão em PA; o produto deles é 66 e a soma é 
18. Calcule os três números.
reSoluÇÃo:
Podemos sempre representar três números em PA por x 2 r, 
x, x 1 r, em que r é a razão.
Assim, temos o seguinte sistema de equações:
2 ? ? 1
2 1 1 1
2 5
5
(x r)2 ?r)2 ? x (? 1x (? 1x r? 1x r? 1 ) 65) 66
(x r)2 1r)2 1 x (1 1x (1 1x r1 1x r1 1 ) 15) 18
x (x r2 5x r2 5) 62 5) 62 5 6
3x 18
2 2 2x r2 2x r







 ⇒









Resolvendo o sistema:
 3x 5 18 ⇒ x 5 6
 6(62 2 r2) 5 66 ⇒ 36 2 r2 5 
66
6
 ⇒ 36 2 r2 5 11 ⇒ 
⇒ r2 5 25 ⇒ r 5 ±5
Então, para x 5 6 e r 5 5, temos:
 x 2 r 5 6 2 5 5 1 x 1 r 5 6 1 5 5 11
Para x 5 6 e r 5 25, temos:
 x 2 r 5 6 2 (25) 5 11 x 1 r 5 6 2 5 5 1
Verificação:
1 ? 6 ? 11 5 66 e 1 1 6 1 11 5 18
Portanto, os números procurados são 1, 6 e 11, que estabe-
lecem duas PAs: uma crescente (1, 6, 11) e outra decrescente 
(11, 6, 1).
Para CoNStruIr
5 Sabe-se que três números inteiros estão em PA. Se esses nú-
meros têm por soma 24 e por produto 120, calcule os três 
números.
PA (x 2 r, x, x 1 r)
x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 24 ⇒ 3x 5 24 ⇒ x 5 8
(8 2 r) ? 8 ? (8 1 r) 5 120 ⇒ 64 2 r2 5 15 ⇒ r2 5 49 ⇒ r' 5 ±7
Portanto, os números procurados são 1, 8 e 15, que estabelecem 
duas PAs: uma crescente (1, 8, 15) e outra decrescente (15, 8, 1).
6 (Unicamp-SP) O perímetro de um triângulo retângulo é 
igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão 
aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a: c
a) 3,0 m2.
b) 2,0 m2.
c) 1,5 m2.
d) 3,5 m2.
Sejam x, x 1 r e x 1 2r as medidas, em metros, dos lados do triân-
gulo, com x, r . 0.
x 1 2r é a hipotenusa, já que é o maior lado do triângulo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
(x 1 2r)2 5 x2 1 (x 1 r)2
x2 1 4xr 1 4r2 5 x2 1 x2 1 2xr 1 r2
x2 1 4xr 1 4r2 5 2x2 1 2xr 1 r2
2x2 1 2xr 1 3r2 5 0
x2 2 2xr 2 3r2 5 0
(x 1 r)(x 2 3r) 5 0
Como x . 0,
x 5 3r
Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, temos: 
3r 4r 5r 6 12r 6 r
1
2
1 1 5 5 5⇒ ⇒
 
Lembrando que a área do triângulo retângulo pode ser calculada 
considerando-se um cateto como base e o outro como altura, temos:
?
5 5 ? 5




3r 4r
2
12r
2
6
1
2
1,5 m
2 2
2.
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
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10 Progressões e matrizes
 Fórmula do termo geral de uma Pa
Em uma PA (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …) de razão r, partindo do 1o termo, para avançar um termo, basta 
somar r ao 1o termo (a
2
 5 a
1
 1 r); para avançar dois termos, basta somar 2r ao 1o termo (a
3
 5 a
1
 1 
1 2r); para avançar três termos, basta somar 3r ao 1o termo (a
4
 5 a
1
 1 3r); e assim por diante. Desse 
modo, encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PA, que é dado por:
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r
Ao passar de a
1
 para a
n
, avançamos (n 2 1) termos, ou seja, basta somar (n 2 1) vezes a razão 
ao 1o termo.Nessa fórmula, temos:
a
n
 5 termo geral; a
1
 5 1o termo; n 5 número de termos (até a
n
); r 5 razão da PA.
Observações:
1a) Note que a
9
 5 a
4
 1 5r, pois, ao passar de a
4
 para a
9
, avançamos cinco termos e que 
a
3
 5 a
15
 2 12r, pois retrocedemos 12 termos ao passar de a
15
 para a
3
; e assim por diante.
Agora podemos estender a definição do termo geral para:
a
n
 5 a
k
 1 (n 2 k)r
Ao passar de a
k
 para a
n
, avançamos (n 2 k) termos, ou seja, basta somar (n 2 k) vezes a razão 
ao k-ésimo termo.
2a) Observe a PA finita (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
). Nela, os termos a
2
 e a
3
 são equidistantes dos extremos a
1
 
e a
4
. Veja: a
2
 1 a
3
 5 (a
1
 1 r) 1 a
3
 5 a
1
 1 (a
3
 1 r) 5 a
1
 1 a
4
Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes 
dos extremos é igual à soma dos extremos.
Generalizando, temos que:
a
m
 1 a
n
 5 a
k
 1 a
p
 se m 1 n 5 k 1 p.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 8 a 12 Para aprimorar: 1 e 2
7 (UEG-GO) Sabendo que o lado, a diagonal e a área de um 
quadrado estão em progressão aritmética, calcule a medida 
do lado do quadrado.
Seja , o lado do quadrado, então PA ( ), , ,; 2; 2 .
Logo, em se tratando de três termos consecutivos de uma PA, o 
termo do meio é a média aritmética dos outros dois:
, 2 5 
1, ,
2
2
 ⇒ , 2 5 
(1 )
2
1, ,
 ⇒ 1 1 , 5 2 2 ⇒ , 5 2 2 21
8 As medidas dos ângulos de um triângulo estão em PA de ra-
zão 20. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo. 
PA (x 2 r, x, x 1 r)
x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 180º ⇒ 3x 5 180º ⇒ x 5 60º
PA (60º 2 20º, 60º, 60º 1 20º) ⇒ PA (40º, 60º, 80º)
Verificação:
40º 1 60º 1 80º 5 180º
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
11
Consequentemente, tomando-se três termos consecutivos (…, a
k 2 1
, a
k
, a
k 1 1
, …), temos que 
2a
k
 5 a
k 2 1
 1 a
k 1 1
, pois k 1 k 5 k 2 1 1 k 1 1. Isso significa que o termo central é a média 
aritmética dos seus vizinhos: 
a
k
 5 
1
2 1
a a
2
k 1 k 1
3a) Muitas vezes, é conveniente notar que o 1o termo é a
0
, e não a
1
, ficando o termo geral da PA 
dado por a
n
 5 a
0
 1 nr. Observe isso no seguinte problema:
Se o preço de um carro novo é R$ 40 000,00 e esse valor diminui R$ 1 200,00 a cada ano de uso, 
qual será seu preço com 5 anos de uso?
Temos uma PA com a
0
 5 40 000, razão r 5 21 200, e queremos determinar a
5
:
a
5
 5 a
0
 1 5r 5 40 000 1 5(21 200) 5 40 000 2 6 000 5 34 000
Assim, após 5 anos, o carro custará R$ 34 000,00.
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
7 Dê a fórmula do termo geral da PA (5, 9, … ).
reSoluÇÃo:
Na PA dada, temos a
1
 5 5 e r 5 9 2 5 5 4.
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ a
n
 5 5 1 (n 2 1)4 5 
5 5 1 4n 2 4 5 4n 1 1
Logo, a fórmula do termo geral é a
n
 5 4n 1 1.
8 Qual é o 1o termo de uma PA em que a
10
 5 39 e r 5 4?
reSoluÇÃo:
Dados: a
10
5 39; r 5 4; n 5 10.
a
10
 5 a
1
 1 9r ⇒ 39 5 a
1
 1 9 ? 4 ⇒
⇒ 39 5 a
1
 1 36 ⇒ a
1
 5 3
Então, a
1
 5 3 e a PA é (3, 7, 11, … ).
9 Numa PA de 14 termos, o 1o termo é 2, e o último é 28. Calcu-
le a razão dessa PA.
reSoluÇÃo:
Dados: a
1
5 2; a
14
5 28; n 5 14.
a
14
 5 a
1
 1 13r ⇒ 28 5 2 1 13r ⇒
⇒ 13r 5 26 ⇒ r 5 2
Portanto, r 5 2 e a PA é (2, 4, 6, 8, … , 28).
10 Numa PA crescente, a
2
 1 a
6
 5 20 e a
4
 1 a
9
 5 35. Determine o 
1o termo (a
1
) e a razão r dessa PA.
reSoluÇÃo:
a a r
a a 5r
2 1a a2 1a a
6 1a a6 1a a
5 1a a5 1a a2 15 1a a2 15 15 12 1
5 1a a5 1a a6 15 1a a6 15 15 16 1 } ⇒ a2 1 a6 5 (a1 1 r) 1 (a1 1 5r) ⇒ a2 1 a6 5 
5 2a
1
 1 6r (I)
a a 3r
a a 8r
4 1a a4 1a a
9 1a a9 1a a
5 1a a5 1a a4 15 1a a4 15 15 14 1
5 1a a5 1a a9 15 1a a9 15 15 19 1 } ⇒ a4 1 a9 5 (a1 1 3r) 1 (a1 1 8r) ⇒ a4 1 a9 5 
5 2a
1
 1 11r (II)
Pelos dados do problema, vamos resolver o sistema:
2a 6r 20
2a 11r 35
1
1








 ⇒
1 56r1 5
1 511r1 5 
2 a2 a 6r 20
2 a2 a 11r 35
5r 15r r 3
1
1
2 22 a2 22 a2 2 52
1 511r1 5
5 515r5 5r 35 5r 3









⇒5 5⇒5 5
 
Substituindo em (I), temos:
2a
1
 1 6 ? 3 5 20 ⇒ 2a
1
 1 18 5 20 ⇒ 2a
1
 5 2 ⇒ a
1
 5 1
Logo, a
1
 5 1 e r 5 3. A PA é (1, 4, 7, 10, 13, … ).
11 Numa PA, a
10
 5 23 e a
12
 5 11. Calcule o 1o termo (a
1
) e a 
razão r dessa PA.
reSoluÇÃo:
a
12
 5 a
10
 1 2r ⇒ 11 5 23 1 2r ⇒ 2r 5 14 ⇒ r 5 7
a
12
 5 a
1
 1 11r ⇒ 11 5 a
1
 1 11 ? 7 ⇒ a
1
 5 266
Então, a
1
 5 266, r 5 7 e a PA é (266, 259, 252, 245, … ).
12 Quantos são os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1 000?
reSoluÇÃo:
 o primeiro número múltiplo de 8, maior que 100, é 104;
 o último número múltiplo de 8, menor que 1 000, é 992.
Então, os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1 000 
constituem a PA (104, 112, … , 992).
Nessa PA, temos: a
1
5 104; r5 8; a
n
 5 992.
Precisamos calcular o número n de termos da PA:
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ 992 5 104 1 (n 2 1)8 ⇒ 992 5 104 1 
1 8n 2 8 ⇒ 8n 5 992 2 104 1 8 ⇒ 8n 5 896 ⇒ n 5 112
Portanto, existem 112 múltiplos de 8 compreendidos entre 
100 e 1 000.
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12 Progressões e matrizes
Para CoNStruIr
9 (UFSM-RS) As doenças cardiovasculares são a principal causa 
de morte em todo mundo. De acordo com os dados da Or-
ganização Mundial da Saúde, 17,3 milhões de pessoas morre-
ram em 2012 vítimas dessas doenças. A estimativa é que, em 
2030, esse número seja de 23,6 milhões.
Suponha que a estimativa para 2030 seja atingida e conside-
re a
n
, com n [ N, a sequência que representa o número de 
mortes (em milhões de pessoas) por doenças cardiovascu-
lares no mundo, com n 5 1 correspondendo a 2012, n 5 2 
correspondendo a 2013 e assim por diante.
Se a
n
 é uma progressão aritmética, então o 8o termo dessa 
sequência, em milhões de pessoas, é igual a: c
a) 19,59.
b) 19,61.
c) 19,75.
d) 20,10.
e) 20,45.
Em 2012: a
1
 5 17,3
Em 2030: a
19
 5 23,6
Considerando a PA, temos:
5 1 ?
5 1 ?
? 5
5
a a 18 r
23,6 17,3 18 r
18 r 6,3
r 0,35
19 1
Portanto, o oitavo termo dessa sequência é:
5 1 ?
5 1 ?
5
a a 7 r
a 17,3 7 0,35
a 19,75
8 1
8
8
10 (Fuvest-SP) Seja A o conjunto dos 1 993 primeiros números 
inteiros estritamente positivos.
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A?
132 múltiplos.
PA (15, 30, …, 1 980)
a
1
 5 15; r 5 15; a
n
 5 1 980
a
n
 5 a
1
 1 (n
1
 2 1)r
1 980 5 15 1 (n
1
 2 1)15 ⇒ 1 980 215 5 15n
1
 215 ⇒ n
1
 5 132
b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 
3 nem de 5? 
1 063 números.
Para saber quantos são os múltiplos de 3 e de 5, é preciso reti-
rar depois os múltiplos de 15, que são as interseções. Portanto, 
temos:
múltiplos de 3 → PA (3, 6, …, 1 992)
a
1
 5 3; r 5 3; a
n
 5 1 992
1 992 5 3 1 (n
2
 2 1)3 ⇒ 1 992 2 3 5 3n
2
 2 3 ⇒ n
2
 5 664
múltiplos de 5 → PA (5, 10, …, 1 990)
a
1
 5 5; r 5 5; a
n
 5 1 990
1 990 5 5 1 (n
3
 2 1)5 ⇒ 1 990 2 5 5 5n
3
 2 5 ⇒ n
3
 5 398
Assim:
n 5 1 993 2 (n
2
 1 n
3
 2 n
1
) 5 1 993 2 (664 1 398 2 132) 5
5 1 993 2 930 5 1 063
11 (Uerj)
Disponível em: <leceblog.blogspot.com>. Adaptado.
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em 
quilômetros, d
AB
, d
BC
 e d
CD
 formam, nessa ordem, uma pro-
gressão aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a: a
a) −50. b) −40. c) −30. d) −20.
A B
x 1 10 x 2 10x
C D
1 1 1 2 5
5
5
x 10 x x 10 390
3x 390
x 130
PA (140, 130, 120, …)
Seu vigésimo termo será dado por:
5 1 ? 2 52a 140 19 ( 10) 5020
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
7
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
P
E
A
N
U
T
S
, 
D
E
 C
H
A
R
L
E
S
 S
C
H
U
L
Z
/P
E
A
N
U
T
S
 W
O
R
L
D
W
ID
E
 L
L
C
./
D
IS
T
. 
B
Y
 U
N
IV
E
R
S
A
L
 U
C
L
IC
K
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
13
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 13 a 23Para aprimorar: 3 e 4
12 (UFRGS-RS) Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois pontos adjacentes, na horizontal ou vertical, encontram-se à distância de 
1 centímetro.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da vigésima etapa, em cm2, é: d
a) 100. b) 200. c) 400. d) 800. e) 1 600.
Como os quadriláteros possuem os quatro lados e os quatro ângulos congruentes, todos são quadrados (quadriláteros regulares).
Lado do quadrado da figura da Etapa 1: x cm
5 1 5⇒x 1 1 x 2 cm2 2 2
Lado do quadrado da figura da Etapa 2: y cm
5 1 5⇒y 2 2 y 2 2 cm2 2 2
Lado do quadrado da figura da Etapa 3: z cm
5 1 5⇒z 3 3 z 3 2 cm2 2 2
Os lados dos quadrados formam uma PA, de razão 5r 2.
Logo, temos uma PA 2, 2 2, 3 2,...( ), cujo lado do vigésimo 
quadrado mede 20 2 cm.
Sua área então será dada por: 5 5( )A 20 2 800 cm2 2.
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
1
1
x
 INterPolaÇÃo arItmÉtICa
Vamos resolver o seguinte problema:
No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora está em PA 
crescente. Em janeiro, a produção foi de 18 000 carros e, em junho, de 78 000 unidades. Qual foi a 
produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
Nessas condições, o problema consiste em formar uma PA na qual:
5 5
5 5
5
a produção de janeiro 18000
a produção de junho 78000
n 6
1
n




 ⇒ (18 000, , , , , 78 000)
Devemos inicialmente calcular o valor da razão r: 
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r 
78 000 5 18 000 1 5r ⇒ 5r 5 60 000 
r 5 12 000
Então, teremos: 
a produção de fevereiro 30000
a produção de março 42000
a produção de abril 54000
a produção de maio 66000
2
3
4
5






5 5
5 5
5 5
5 5
 ⇒ (18 000, 30 000, 42 000, 54 000, 66 000, 78 000)
Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interpolar quatro meios aritméticos entre os números 
18 000 e 78 000.
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14 Progressões e matrizes
Já vimos que o termo geral de uma PA é dado por 
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ou por a
n
 5 a
0
 1 nr ao começarmos 
a enumeração dos termos por a
0
. Assim, podemos pen-
sar em uma PA como uma função que associa a cada 
número natural n o valor a
n
 dado por a
n
 5 a
0
 1 nr. Essa 
função é a restrição aos números naturais da função afim 
a(x) 5 a
0
 1 rx, ou seja, ela é definida por uma fórmula do 
tipo função afim, mas com domínio N. O gráfico dessa 
função é formado por uma sequência de pontos coli-
neares no plano: (0, a
0
), (1, a
1
), (2, a
2
), (3, a
3
), … , (n, a
n
), … 
Assim, podemos caracterizar uma PA observando 
que uma sequência (a
n
) é uma PA se e somente se os 
pontos do plano que têm coordenadas (0, a
0
), (1, a
1
), 
(2, a
2
), (3, a
3
), etc. estiverem em linha reta.
INterPretaÇÃo geomÉtrICa de uma ProgreSSÃo arItmÉtICa
0 1 2 3 4
a
n
 = a
0
 + nr
n
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
n
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
13 Interpole seis meios aritméticos entre os números 100 e 184.
reSoluÇÃo:
Precisamos formar a seguinte PA:
(100, , , , , , , 184) em que:
a 100
a 184
n 2 6 8 termos
1
n
5
5
5 1n 25 1n 2 6 856 8














a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r 
184 5 100 1 7r ⇒ 7r 5 84 
r 5 12
Então, temos a PA (100, 112, 124, 136, 148, 160, 172, 184).
14 Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual é a 
razão da PA obtida?
reSoluÇÃo:
a 2
a 79
n 2 10 12 termos
1a 21a 2
na 7na 7
a 25a 2
a 75a 7
5 1n 25 1n 2 5














a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r 
79 5 2 1 11r
11r 5 77
r 5 7
Logo, r 5 7.
 Soma doS termoS de uma Pa FINIta
Na tabela abaixo está demonstrada a produção anual de uma empresa em certo período:
Ano Produção (em unidades)
2000 10 000
2001 12 000
2002 14 000
2003 16 000
2004 18 000
2005 20 000
2006 22 000
2007 24 000
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
15
Quantas unidades a empresa produziu de 2000 a 2007?
Pela tabela, no período de 2000 a 2007 a empresa produziu:
10 000 1 12 000 1 14 000 1 16 000 1 18 000 1 20 000 1 22 000 1 24 000 5 136 000 unidades.
Observamos que:
 as parcelas formam uma PA finita, cuja razão é r 5 2 000: (10 000, 12 000, 14 000, 16 000, 18 000, 
20 000, 22 000, 24 000).
 o número 136 000 representa a soma dos termos dessa PA.
Fórmula da soma dos termos de uma Pa finita
Carl Friedrich Gauss foi um matemático alemão que viveu de 1777 a 1855. Certo dia, quando 
Gauss era um estudante de aproximadamente 10 anos de idade, seu professor, querendo manter 
o silêncio em sala de aula por um bom tempo, pediu que os alunos somassem todos os números 
de 1 a 100, isto é, 1 1 2 1 3 1 4 1 … 1 99 1 100. Para surpresa do professor, depois de alguns 
minutos, Gauss disse que a soma era 5 050. Veja seu raciocínio:
1 1 2 1 3 1 ... 1 98 1 99 1 100
(1 1 100 5 101; 2 1 99 5 101; 3 1 98 5 101 etc.)
50 parcelas de 101 ⇒ 50 ? 101 5 5 050
Ou seja, 1 1 2 1 3 1 … 1 99 1 100 5 5 050.
Fórmula
O procedimento usado por Gauss no caso da PA (1, 2, 3, 4, …, 99, 100) vale de modo geral.
Consideremos a PA finita de razão r (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
 
2 2
, a
n
 
2 1
, a
n
) cuja soma dos seus n termos 
pode ser escrita por:
S
n
 5 
5
∑ai
i 1
n
S
n
 5 a
1
 1 a
2
 1 a
3
 1 … 1 a
n 2 2
 1 a
n 2 1 
1 a
n
a
1
 1 a
n
a
1
 1 a
n
a
1
 1 a
n
Portanto:
S
n
 5 1 1 1 1 1 1
1
1 2444444 3444444
(a a ) (a a ) … (a a )1 n 1 n 1 n
n
2
parcelas iguais a (a1 an)
Observação: O símbolo Σ significa somatório.
Então, a fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA é:
S
n
 5 
a a n
2
1 n( )1
em que:
 a
1
 é o primeiro termo;
 a
n
 é o enésimo termo;
 n é o número de termos;
 S
n
 é a soma dos n termos.
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16 Progressões e matrizes
15 Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, …).
reSoluÇÃo:
Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam uma PA fini-
ta, na qual a
1
 5 2, r 5 4 e n 5 50.
Devemos calcular a
n
 (ou seja, a
50
):
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ a
50
 5 2 1 49 ∙ 4 ⇒ a
50
 5 2 1 196 ⇒ 
⇒ a
50
 5 198
Aplicando a fórmula, temos:
S
n
 5 
1(a a )n
2
1 n11 na )1 na ) ⇒ S
50
 5 
1(2 198)50
2
 ⇒ S
50
 5 5 000
A soma procurada é igual a 5 000.
16 A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1o termo dessa 
PA é 2, calcule a razão r da PA.
reSoluÇÃo:
Nessa PA, sabemos que S
10
 5 200, a
1
 5 2 e n 5 10.
Devemos calcular a
10
 aplicando a fórmula da soma:
S
10
 5 
1(a a )10
2
1 111 1a )1 1a )0a )0a ) ⇒ 200 5 
1(2 a )10
2
10a )10a ) ⇒ 400 5 20 1 10a
10 
⇒ 
⇒ 10a
10
 5 380 ⇒ a
10
 5 38
Vamos calcular r:
a
10
 5 a
1
 1 9r ⇒ 38 5 2 1 9r ⇒ 9r 5 36 ⇒ r 5 4
Então, a razão procurada é 4.
17 Determine o valor de x na igualdade 2 1 7 1 … 1 2x 5 198, 
sabendo que as parcelas do 1o membro formam uma PA.
reSoluÇÃo:
Nessa PA, temos S
n
 5 198, a
1
 5 2, a
n
 5 2x e r 5 7 2 2 5 5.
Vamos determinar n em função de x:
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ 2x 5 2 1 (n 2 1)5 ⇒ 2x 5 2 1 5n 2 5 ⇒ 
⇒ 5n 5 2x 1 3 ⇒ n 5 
2x 3
5
1
 
Aplicando a fórmula da soma, temos:
S
n
 5 
1n(a a1a a )
2
1 na a1 na a1a a1 n1 na a ⇒ 198 5 
1
1
2x 3
5
(2 2x)
2




 




 ⇒ 
⇒ 
2x 3
5
1



 




 (2 1 2x) 5 396 ⇒ 
4x 4x 6 6x
5
2
1 14x1 121 16 616 6
 5 396 ⇒ 
⇒ 4x2 1 10x 1 6 5 1 980 ⇒ 2x2 1 5x 2 987 5 0
Vamos resolver a equação do 2o grau:
2x2 1 5x 2 987 5 0
Δ 5 52 2 4 ? 2 ? (2987) 5 25 1 7 896 5 7 921
x 5 
5 89
4
5 8±5 82
 ⇒ x' 5 21 e x" 5 
47
2
2 
Como a PA é crescente, temos que x 5 21.
18 Determine o valor de:
a) S 5 2i;
i 1
5
i 15i 1
∑ 
b) S 5 
i 1
30
i 15i 1
∑( )1 i( )1 i11 i( )1
reSoluÇÃo:
a) S 5 2i
i 1
5
i 15i 1
∑ 
O símbolo S significa somatório, ou seja, devemos efetuar 
a seguinte soma:
S 5 2 ? 1 1 2 ? 2 1 2 ? 3 1 2 ? 4 1 2 ? 5 5 2 1 4 1 6 1 8 1 
1 10 5 30
b) S 5 
i 1
30
i 15i1
∑( )1 i( )1 i11 i( )1
S 5 (1 1 1) 1 (1 1 2) 1 … 1 (1 1 29) 1 (1 1 30) 5 2 1 3 1 
1 … 1 30 1 31
Assim, temos uma PA em que a
1
 5 2 e a
30
 5 31.
Aplicando a fórmula, temos:
S 5 
1 ?(2 311 ?311 ?) 31 ?) 31 ? 0
2
 5 495
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
Para CoNStruIr
13 Calcule as somas:
a) dos trinta primeiros termos da PA (4, 10, …);
a
1
 5 4 e r 5 6 
a
30
 5 a
1
 1 29r 5 4 1 29 ? 6 5 178
S
30
 5 
4 178 30
2
( )1
 
S
30
 5 2 730
b) dos vinte primeiros termos de uma PA em que o 1o termo 
é a
1
 5 17 e r 5 4;
n 5 20; a
1
 5 17; r 5 4 
a
20
 5 a
1
 1 19r 5 17 1 19 ? 4 5 93
S
20
 5 
17 93 20
2
( )1
 5 1 100
S
20
 5 1 100
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Progressões e matrizes
M
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IC
A
 
 
Á
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G
E
B
R
A
17
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 24 a 32 Para aprimorar: 5
c) dos 200 primeiros números pares positivos;
PA (2, 4, …)
a
1
 5 2; r 5 2; n 5 200
a
200
 5 2 1 199 ? 2 5 400
S
200
 5 
2 400 200
2
( )1
 5 40 200
S
200
 5 40 200
d) dos 50 primeiros múltiplos positivos de 5.
PA (5, 10, …)
a
1
 5 5; r 5 5; n 5 50
a
50
 5 5 1 49 ? 5 5 250
S
50
 5 
1( )5 250 50
2
 5 6 375
S
50
 5 6 375
14 (Uerj) Admita a realização de um campeonato de futebol no 
qual as advertências recebidas pelos atletas são representa-
das apenas por cartões amarelos. Esses cartões são converti-
dos em multas, de acordo com os seguintes critérios:
 os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
 o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
 os cartões seguintes geram multas cujos valores são sem-
pre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa 
anterior.
Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco pri-
meiros cartões aplicados a um atleta.
Cartão amarelo recebido Valor da multa (R$)
1o 2
2o 2
3o 500
4o 1 000
5o 1 500
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos 
durante o campeonato.
O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses 
cartões equivale a: b
a) 30 000 b) 33 000 c) 36 000 d) 39 000 
As multas relacionadas formarão uma PA de 11 termos e de razão 
500 (500, 1 000, 1 500, ... , a
11
), em que a
11
 5 500 1 10 ? 500 5 5 500
Calculando a soma dos 11 primeiros termos dessa PA, temos:
5
1 ?
5
( )
S
500 5500 11
2
33000
15 (UEPB) Melhorando-se o nível de alimentação da população, 
as condições sanitárias das casas e ruas, promovendo-se a vaci-
nação das crianças e o pré-natal, é possível reduzir o índice de 
mortalidade infantil em determinada cidade. Considerando-se 
que o gráfico a seguir representa o número de crianças que 
foram a óbito a cada ano, durante dez anos, e que os pontos 
do gráfico são colineares, podemos afirmar corretamente que 
o total de crianças mortas nesse intervalo de tempo foi de: b
y
x (Ano)10
56
23 45 6 78910
N
ú
m
e
ro
 d
e
 ó
b
it
o
s
a) 224. b) 280. c) 324. d) 300. e) 240.
A sequência é uma PA de 10 termos, pois sua variação é constante 
e, no gráfico, os pontos pertencem a uma mesma reta.
PA (56, , , , , , , , , 0)
A soma dos 10 primeiros termos da PA será dada por:
5
1 ?
5
( )
S
56 0 10
2
28010
16 (Uece) Se n é a soma dos 2013 primeiros números inteiros 
positivos, então o algarismo das unidades de n é igual a: a
a) 1. b) 3. c) 5. d) 7
5
1 ?
5 ?n
1 2013 2013
2
1007 2013
( )
Não há a necessidade de se realizar a multiplicação, pois, como 7 ? 3 5
5 21, já teremos que o último algarismo de n será 1.
17 (PUC-RJ) A soma de todos os números naturais pares de três 
algarismos é: c
a) 244 888.
b) 100 000.
c) 247 050.
d) 204 040.
e) 204 000.
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r
998 5 100 1 (n 2 1)2
998 5 100 1 2n 2 2
998 5 98 1 2n
2n 5 900
n 5 450
O resultado pedido corresponde à soma dos termos da PA (100, 
102,..., 998), ou seja, 
1
? 5




100 998
2
450 247050
18 (Cefet-RJ) Disponha os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 nas 
casas do tabuleiro abaixo de modo que: o número 9 ocupe 
a casa central, os números da primeira linha sejam todos ím-
pares e a soma dos números de cada linha e cada coluna seja 
sempre a mesma.
2
7
6
5
9
1
3
4
8
 
Calculando a soma de todos os naturais de 1 ao 9, temos: 
1 ?
5
( )1 9 9
2
45.
Portanto, a soma de cada linha e de cada coluna será 5;45 3 15.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
1
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18 Progressões e matrizes
 ProgreSSÃo geomÉtrICa (Pg)
A taxa de crescimento relativo de uma grandeza é dada pela razão entre o seu aumento e seu 
valor inicial. Assim, uma grandeza que passa do valor a para o valor b apresenta taxa de crescimento 
relativo valendo 
2b a
a
.
Por exemplo, a taxa de crescimento relativo de uma grandeza que passa do valor 5 para o valor 
8 é igual a 60%, pois 
2
5
8 5
5
3
5
 5 0,60 5 60%.
Neste item, trataremos de sequências que variam com taxa de crescimento relativo constante. 
Examine, por exemplo, a seguinte situação-problema:
Em 2007, uma empresa produziu 200 000 unidades de certo produto. Quantas unidades pro-
duzirá no período de 2007 a 2012 se o aumento de produção anual for sempre de 10% em relação 
ao ano anterior?
Esquematizamos o problema da seguinte forma:
 produção em 2007 5 200 000
 produção em 2008 5 produção em 2007 ? 1,10 5 200 000 ? 1,10 5 220 000
 produção em 2009 5 produção em 2008 ? 1,10 5 220 000 ? 1,10 5 242 000
 produção em 2010 5 produção em 2009 ? 1,10 5 242 000 ? 1,10 5 266 200
 produção em 2011 5 produção em 2010 ? 1,10 5 266 200 ? 1,10 5 292 820
 produção em 2012 5 produção em 2011 ? 1,10 5 292 820 ? 1,10 5 322 102
Nessas condições, a produção anual, nesse período, será representada pela sequência (200 000, 
220 000, 242 000, 266 200, 292 820, 322 102).
Notamos que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido com a multiplicação 
do termo anterior por um número fixo (no caso, 1,10), ou seja, a produção anual teve uma taxa de 
crescimento relativo constante de 10% em relação ao ano anterior.
Sequências com esse tipo de lei de formação são chamadas progressões geométricas. No 
exemplo dado, o valor 1,10 é chamado de razão da progressão geométrica (PG) e é indicado por q 
(no exemplo, q 5 1,10). Dizemos que os termos dessa sequência estão em PG.
definição
Progressão geométrica (PG) é toda sequência de números não nulos na qual é constante 
o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente 
constante é chamado razão (q) da progressão. Ou seja, uma PG é uma sequência na qual a taxa 
de crescimento relativo de cada termo para o seguinte é sempre a mesma.
Exemplos:
1o) A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, em que o 1o termo é a
1
 5 2 e a 
razão é q 5 5. Observe que:
 a
1
 5 2; a
2
 5 2 ? 5; a
3
 5 10 ? 5; a
4
 5 50 ? 5
 250 : 50 5 5; 50 : 10 5 5; 10 : 2 5 5 → quociente constante 5 5 (razão)
 a taxa de crescimento relativo de a para b é dada por 
2b a
a
. Nesse exemplo:
i 5 
210 2
2
 5 
8
2
 5 4 5 400%
Logo, q 5 1 1 i 5 1 1 4 5 5.
2o) A sequência (6, 212, 24, 248, 96) é uma PG de cinco termos, na qual a
1
 5 6 e q 5 22, pois:
a
1
 5 6
a
2
 5 212 5 6(22), ou seja, a
2
 5 a
1
 ? (22)
a
3
 5 24 5 (212)(22), ou seja, a
3
 5 a
2
 ? (22)
a
4
 5 248 5 24(22), ou seja, a
4
 5 a
3
 ? (22)
a
5
 5 96 5 (248)(22), ou seja, a
5
 5 a
4
 ? (22)
Se uma grandeza tem taxa de 
crescimento relativo igual a i, 
o novo valor é obtido fazendo 
(1 1 i) vezes o valor anterior. No 
exemplo, (1 1 i) 5 (1 1 0,10) 5
5 1,10 ou 1,1.
Para
reFletIr
Aumentar uma vez é aumentar 
100%, aumentar duas vezes é au-
mentar 200% e assim por diante.
Para
reFletIr
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
19
Ou de modo equivalente:
 212 : 6 5 22; 24 : (212) 5 22; 248 : 24 5 22; 96 : (248) 5 22 → quociente cons-
tante 5 22 (razão)
 taxa de crescimento relativo:i 5 
2 212 6
6
 5 2
18
6
 5 23 5 2300%
Logo, q 5 1 1 i 5 1 1 (23) 5 22.
3o) A sequência (1, 3, 9, 27, 81, …) é uma PG infinita na qual a
1
 5 1 e q 5 3, pois:
a
1
 5 1
a
2
 5 3 5 1 ? 3, ou seja, a
2
 5 a
1
 ? 3
a
3
 5 9 5 3 ? 3, ou seja, a
3
 5 a
2
 ? 3
a
4
 5 27 5 9 ? 3, ou seja, a
4
 5 a
3
 ? 3, etc.
Taxa de crescimento relativo: i 5 
23 1
1
 5 2 5 200%. Logo, q 5 1 1 2 5 3.
4o) A sequência (10, 10, 10) é uma PG de três termos, em que o 1o termo é 10 e a razão é 1, pois:
a
1
 5 10
a
2
 5 10 5 10 ? 1, ou seja, a
2
 5 a
1
 ? 1
a
3
 5 10 5 10 ? 1, ou seja, a
3
 5 a
2
 ? 1
Taxa de crescimento relativo:
i 5 
2
5
10 10
10
0
10
 5 0 5 0%
Logo, q 5 1 1 0 5 1.
Observações:
1a) De modo geral, observamos que uma sequência (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …) com a
1
 Þ 0 é uma PG 
de razão q Þ 0 quando:
a
2
 5 a
1
 ? q ⇒ 
a
a
2
1
 5 q 
a
3
 5 a
2
 ? q ⇒ 
a
a
3
2
 5 q
a
4
 5 a
3
 ? q ⇒ 
a
a
4
3
 5 q
A
a
n
 5 a
n 2 1
 ? q ⇒ 
2
a
a
n
n 1
 5 q
Comparando, temos:
 5 5 5 5 5
2
a
a
a
a
a
a
…
a
a
2
1
3
2
4
3
n
n 1
 q, com q 5 1 1 i, em que i 5 
2
2
2
a a
a
n n 1
n 1
 (a
n 2 1
 Þ 0) é a taxa 
de crescimento relativo dos termos.
2a) Da definição decorre que, se a
r
, a
s
 e a
p
 estão em PG, então:
5
a
a
a
a
s
r
p
s
 ⇒ as
2 5 a
r
 ? a
p
Dados três termos consecutivos de uma PG, o termo do meio é a média geométrica dos 
outros dois.
 ClaSSIFICaÇÃo daS ProgreSSÕeS geomÉtrICaS
Dependendo da razão q, uma PG pode ser:
 Crescente: a PG é crescente quando q . 1 e os termos são positivos, ou quando 0 , q , 1 e os 
termos são negativos. Por exemplo:
 (2, 6, 18, 54, …) com q 5 3
 (240, 220, 210, 25, …) com q 5 
1
2
 
 Decrescente: a PG é decrescente quando 0 , q , 1 e os termos são positivos, ou quando 
q . 1 e os termos são negativos. Veja os exemplos:
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 19 5/19/15 6:17 PM
20 Progressões e matrizes
 (200, 100, 50, 25, …), em que q 5 
1
2
 
 (24, 212, 236, 2108, …), em que q 5 3
 Constante: a PG é constante quando q 5 1. Veja:
 (10, 10, 10, …), em que q 5 1
 (25, 25, 25, …), na qual q 5 1
 Alternante: a PG é alternante quando q , 0. Por exemplo:
 (4, 28, 16, 232, …), em que q 5 22
 (281, 27, 29, 3, …), na qual q 5 2
1
3
representações especiais
Também podemos recorrer a algumas representações especiais de PG, principalmente se o 
produto dos termos for conhecido.
As principais são:
 três termos em PG: 




x
q
, x, xq
 quatro termos em PG: 




x
y
,
x
y
, xy, xy
3
3
Nesse caso, temos q 5 y2.
 cinco termos em PG: 




x
q
,
x
q
, x, xq, xq
2
2
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
19 Verifique se a sequência (5, 15, 45, 135, 405) é uma PG.
reSoluÇÃo:
15
5
 5 3 
45
15
 5 3 
135
45
 5 3 
405
135
 5 3
Logo, a sequência é uma PG de razão 3.
20 A sequência 
1
2
,
1
6
, …


 



 é uma PG infinita. Determine a razão 
dessa PG e a taxa de crescimento dos seus termos.
reSoluÇÃo:
a
1
2
a
1
6
1
2
5
5

















q 5 
a
a
2
1
 ⇒ q 5 
1
6
1
2
 ⇒ q 5 ? 5
1
6
2? 52? 5
1
3
Logo, q 
1
3
5 .
Taxa de crescimento: i 5 
1
6
1
2
1
2
2
 5 
1
3
1
2
2
 5 2 5
2
3
5 20,66... . 266,66%
21 Determine o 8o termo de uma PG na qual a
4
 5 12 e q 5 2.
a
4
a
5
? q ? q ? q ? q
a
6
a
7 a8
Então:
a
8
 5 a
4
 ? q4 ⇒ a
8
 5 12 ? (2)4 ⇒ a
8
 5 12 ? 16 ⇒ 
⇒ a
8
 5 192
Portanto, o 8o termo da PG é 192.
22 A população de um país é atualmente igual a P
0
 e cresce 3% 
ao ano. Qual será a população desse país daqui a t anos?
reSoluÇÃo:
Como a população cresce 3% ao ano, a cada ano a população 
é 103% da do ano anterior. Logo, a cada ano a população é 
multiplicada por 103% 5 1,03.
Após t anos, a população será P
0
 ? (1,03)t.
Nesse caso, temos a PG:
P
0
, P
0
 ? (1,03), P
0
 ? (1,03)2, P
0
 ? (1,03)3, …, P
0
 ? (1,03)t, … de razão 
1,03.
23 Um tanque tem capacidade C
0
 de água. Abre-se o tampão e 
essa capacidade decresce 4% por minuto. Qual será a capaci-
dade desse tanque daqui a t minutos?
Como são os termos da PG al-
ternante?
Para
reFletIr
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
21
reSoluÇÃo:
Como a capacidade diminui 4% por minuto, em cada minuto 
a capacidade equivalerá a 96% da capacidade do minuto an-
terior. Assim, a cada minuto que passa, a capacidade é mul-
tiplicada por 96% 5 0,96. Depois de t minutos, a capacidade 
do tanque será de C
0
 ? 0,96t.
Nesse caso, a PG seria C
0
, C
0
 ? 0,96, C
0
 ? (0,96)2, C
0
 ? (0,96)3, …, C
0
 ? 
? (0,96)t, … de razão 0,96.
24 Três números estão em PG de forma que o produto deles é 
729 e a soma é 39. Calcule os três números.
reSoluÇÃo:
Nesse tipo de problema sobre PG com três termos conse-
cutivos, é conveniente representar a sequência na forma 
x
q
, x, xq













 













 , em que o termo médio é x e a razão é q. Assim, 
temos o seguinte sistema de equações:
x
qq
x x qq 729
x
q
x xq 39
x 729
x
q
x xq 39
3? ?x x? ?x x 5
1 1x x1 1x xq 35q 3
5
1 1x x1 1x xq 35q 3




















⇒











 
Da 1a equação, temos:
x3 5 729 ⇒ x 5 7293 ⇒ x 5 9
Substituindo na outra equação, temos:
9
q
 1 9 1 9q 5 39 ⇒ 9 1 9q 1 9q2 5 39q ⇒ 9q2 2 30q 1 9 5 
5 0 ⇒ 3q2 2 10q 1 3 5 0
Δ 5 (210)2 2 4(3)(3) 5 64
q 5 
±10 8
6
 ⇒ q' 5 3 e q" 5 
1
3
Então, para x 5 9 e q 5 3, temos:
1 n1 número:
x
q
9
3
3
2 n2 número: x 9
3 n3 número: xq 9 3 27
o1 no1 n
o2 no2 n
o3 no3 n
5 55 5
x 95x 9
5 ?9 35 ?9 35




















Para x 5 9 e q 5 
1
3
, temos:







































1 n1 número:
x
q
9
1
3
27
2 n2 número: x 9
3 n3 número: xq 9
1
3
3
o1 no1 n
o2 no2 n
o3 no3 n
5 55 5
x 95x 9
5 ?95 ? 5
Portanto, os números procurados são 3, 9 e 27.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 33 a 36 Para aprimorar: 6
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10
Para CoNStruIr
19 A torcida de um determinado clube é atualmente dada por 
P
0
, mas está diminuindo 3% ao ano. Se esse fato continuar a 
ocorrer, qual será a torcida desse clube daqui a t anos?
Como a torcida diminui 3% ao ano, a cada ano a torcida é igual a 97% 
da torcida do ano anterior. Logo, a cada ano a torcida é multiplicada 
por 97% 5 0,97.
Após t anos, a torcida será P
0
 ? (0,97)t.
20 (PUC-RJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos 
a mais que a do meio, que por sua vez tem sete anos a mais 
que a caçula. João observou que as idades delas formam 
uma progressão geométrica. Quais são as idades delas?
PG 




x
q
, x, xq 
5 1 5
1
5 1
5 1
2 5 5
2
⇒
⇒ ⇒ ⇒





xq x 8 q
x 8
x
x
x
q
7
xq x 7q
q
xq 7q x q
x
x 7
1
5
2
x 8
x
x
x 7
 ⇒ x2 5 x2 1 x 2 56 ⇒ x 5 56
x 1 8 5 64 e x 2 7 5 49
Logo, as filhas de João têm 49, 56 e 64 anos.
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 21 5/19/15 6:17 PM
22 Progressões e matrizes
 Fórmula do termo geral de uma Pg
Em uma PG (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …) de razão q, para avançar um termo a partir do 1o termo, basta 
multiplicar o 1o termo pela razão q (a
2
 5 a
1
q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1o termo 
pelo quadrado da razão q (a
3
 5 a
1
q2); para avançar três termos basta multiplicar o 1o termo pelo 
cubo da razão q (a
4
 5 a
1
q3); e assim por diante. Desse modo, encontramos o termo de ordem n, 
denominado termo geral da PG, que é dado por:
a
n
 5 a
1
qn 2 1
 
,
pois, ao passar de a
1
 para a
n
, avançamos (n 2 1) termos.
Nessa fórmula:
 a
n
 é o termo geral;
 n é o número de termos (até a
n
);
 a
1
 é o 1o termo;
 q é a razão.
Observações:
1a) Note que a
10
 5 a
3
q7, pois, aopassar de a
3
 para a
10
, avançamos 7 termos; a
5
 5 
a
q
9
4 , pois, ao 
passar de a
9
 para a
5
, retrocedemos 4 termos; e assim por diante.
Dessa forma, podemos estender a definição do termo geral para:
a
n
 5 a
k
 ? qn 2 k
 
,
pois, ao passar de a
k
 para a
n
, avançamos (n 2 k) termos.
2a) Observe a PG finita (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
). Nela, os termos a
2
 e a
3
 são equidistantes dos extremos 
a
1
 e a
4
.
a
2
 ? a
3
 5 a
1
q ? a
3
 5 a
1
 ? a
3
q 5 a
1
 ? a
4
Isso é válido de modo geral, e dizemos que, numa PG finita, o produto de dois termos equidis-
tantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Generalizando, temos que:
a
m 
? a
n
 5 a
k
 ? a
p
se m 1 n 5 p 1 k.
Consequentemente, considerando-se três termos consecutivos (…, a
k 2 1
, a
k
, a
k
 
1 1
, …), temos que: 
ak
2
 5 a
k 2 1
 ? a
k 1 1
 
,
pois k 1 k 5 k 2 1 1 k 1 1.
3a) Muitas vezes é conveniente colocar o 1o termo como a
0
 e não a
1
, ficando o termo geral da 
PG dado por a
n
 5 a
0
 ? qn. Temos um exemplo dessa conveniência na resolução do seguinte 
problema: se o número de sócios de um clube hoje é 2 000 e cresce 5% ao ano, quantos 
sócios esse clube terá em 3 anos?
Temos uma PG com a
0
 5 2 000 e razão q 5 1 1 i 5 1 1 0,05 5 1,05.
Após 3 anos, o clube terá a
3
 5 a
0
 ? q3 5 2 000(1,05)3 . 2 315 sócios.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 22 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
23
25 Dê a fórmula do termo geral da PG (2, 4, …).
reSoluÇÃo:
Na PG dada, temos a
1
 5 2 e q 5 2.
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ a
n
 5 2 ? 2n 2 1 ⇒ a
n
 5 21 1 n 2 1 ⇒ a
n
 5 2n
Logo, o termo geral da PG dada é a
n
 5 2n.
26 Calcule o 1o termo de uma PG em que a
4
 5 375 e q 5 5.
reSoluÇÃo:
Dados: 
a 375
q 5
n 4
4 5
q 55q 5
n 45n 4











 
a
4
 5 a
1
 ? q3 ⇒ 375 5 a
1
 ? 53 ⇒ 125a
1
 5 375 ⇒ a
1
 5 3
Portanto, a
1
 5 3.
27 Numa PG crescente, o 1o termo é 3 e o 5o termo é 30 000. 
Qual é o valor da razão q nessa PG?
reSoluÇÃo:
Dados: 
a 3
a 30000
n 5
1a 31a 3
5a 35a 3
a 35a 3
a 35a 3
n 55n 5











a
5
 5 a
1
 ? q4 ⇒ 30 000 5 3 ? q4 ⇒ q4 5 10 000 ⇒
⇒ q 5 ± 100004 ⇒ q 5 ±10
Então, como a PG é crescente, q 5 10.
28 Quantos elementos tem a PG (8, 32, …, 231)?
reSoluÇÃo:
Dados: 
a 8
a 2
q 4
1a 81a 8
na 2na 2
31
a 85a 8
a 25a 2
q 45q 4











a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ 231 5 8 ? 4n 2 1 ⇒ 231 5 23 ? 22n 2 2 ⇒ 231 5 
5 23 1 2n 2 2 ⇒ 231 5 22n 1 1 ⇒ 2n 1 1 5 31 ⇒ 2n 5 30 ⇒ n 5 15
Logo, a PG tem 15 termos.
29 Quais são as progressões geométricas de termos reais em 
que a
7
 5 20 e a
3
 5 320?
reSoluÇÃo:
a
7
 5 a
3
 ? q4 ⇒ 20 5 320q4 ⇒ q4 5 
20
320
 ⇒ q4 5 
1
16
 ⇒ q 5 
5 
1
16
4 ⇒ q 5 ± 
1
2
 
Vamos determinar a
1
:
 para q 5 1
2
 
a
3
 5 a
1
 ? q2 ⇒ 320 5 a
1
 1
2
2




 




 ⇒ 320 5 a
1
 ? 1
4
 ⇒ a
1
 5 1 280
 para q 5 21
2
a
3
 5 a
1
 ? q2 ⇒ 320 5 a
1
 21
2
2




 



 ⇒
⇒ 320 5 a
1
 ? 
1
4
 ⇒ a
1
 5 1 280
Então, as progressões procuradas são duas:
 (1 280, 640, 320, …) quando q 5 1
2
 (PG decrescente);
 (1 280, 2640, 320, …) quando q 5 1
2
2 (PG alternante).
30 Numa PG, a soma do 3o e do 5o termos é igual a 360 e a 
soma do 4o e do 6o termos é igual a 1 080. Determine a razão 
e o 1o termo dessa PG.
reSoluÇÃo:
a a q
a a q
3 1a a3 1a a
2
5 1a a5 1a a
4
5 ?a a5 ?a a
5 ?a a5 ?a a








 ⇒ a3 1 a5 5 a1 ? q
2 1 a
1
 ? q4 ⇒ a
1
(q2 1 q4) 5 
5 360 (I)
a a q
a a q
4 1a a4 1a a
3
6 1a a6 1a a
5
5 ?a a5 ?a a
5 ?a a5 ?a a








 ⇒ a4 1 a6 5 a1 ? q
3 1 a
1
 ? q5 ⇒ a
1
 ? q(q2 1 q4) 5 
5 1 080 (II)
Dividindo membro a membro (I) e (II), temos:
a qa q
a qa q
1a q1a q
1a q1a q? 1a q? 1a q
( )( )a q( )a qa q( )q( )2 4( )2 4( )q2 4( )( )2 4q2 4( )( )2 41( )1( )2 412 4( )( )1
( )( )q q( )q q( )2 4( )2 4( )q q2 4( )( )2 4q q2 4( )2 4? 1( )? 1q q? 1q q( )? 1q q? 1q q( )? 12 4? 12 4( )( )? 1q q2 4q q? 1q q? 12 4( )2 4q q? 1? 12 4
 5 
360360
11080080
1
3
 ⇒ 
1
q
 5 
1
3
 ⇒ q 5 3
Vamos calcular a
1
:
a
1
(q2 1 q4) 5 360 ⇒ a
1
(32 1 34) 5 360 ⇒ a
1
 ? 90 5 360 ⇒ 
⇒ a
1
 5 4
Portanto, na PG dada, a
1
 5 4 e q 5 3.
31 Suponha que o valor de um carro diminui sempre 30% em 
relação ao valor do ano anterior. Sendo V o valor do carro 
no primeiro ano, qual será o seu valor no oitavo ano?
reSoluÇÃo:
Valor no 1o ano 5 V
Valor no 2o ano 5 70% de V 5 0,7V (diminuição de 30%)
Valor no 3o ano 5 70% de (0,7V) 5 0,7(0,7V) 5 (0,7)2V
Temos então uma PG na qual a
1
 5 V e q 5 0,7.
Devemos calcular a
8
:
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ a
8
 5 a
1
 ? q7 ⇒ a
8
 5 V(0,7)7
Logo, o valor do carro no 8o ano será (0,7)7V.
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 23 5/19/15 6:17 PM
24 Progressões e matrizes
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 37 a 43 Para aprimorar: 7 e 8
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10
Para CoNStruIr
21 (PUC-RJ) A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é dis-
putada por 32 times. Em cada fase, só metade dos times se 
mantém na disputa pelo título final. Com o mesmo critério 
em vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de 
quantas fases? b
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
O número de times em cada fase corresponde aos termos da PG (64, 
32,..., 2). Logo, sendo n o número de fases pedido, temos:
2 64
1
2
2 2 n 6
n 1
1 n 5
5 ? 5 5



 ⇒ ⇒
2
2 2
22 Numa PG crescente, a
2
 2 a
1
 5 30 e o primeiro termo a
1
 é 
igual ao quíntuplo da razão q. Calcule a
1
 e q. 
a
1
 5 15; q 5 3
2 5
5{a a 30a 5q2 11 ⇒ 2 55{a q a 30a 5q1 11
5q ? q 2 5q 5 30 ⇒ 5q2 2 5q 2 30 5 0 ⇒ q2 2 q 2 6 5 0
Δ 5 25
q 5 
±1 5
2
 ⇒ q' 5 3 e q" 5 22 (não convém, pois a PG é crescente)
a
1
 5 5 ? 3 5 15
23 (Uema) Considere a seguinte situação sobre taxas de juros 
no mercado financeiro, em que o cálculo é efetuado por 
uma composição de juros determinada pelo coeficiente 
(1 1 i)n, sendo i a taxa de juros e n o período (tempo). Esse 
coeficiente é multiplicado ou dividido, de acordo com a 
natureza da operação, do empréstimo ou da aplicação. O 
Sr. Borilo Penteado tomou um empréstimo de R$ 800,00 a 
juros de 5% ao mês. Dois meses depois, pagou R$ 400,00 
e, um mês após o último pagamento, liquidou o débito. O 
valor do último pagamento, em reais, é de: e
a) 1 282,00.
b) 926,10.
c) 882,00.
d) 526,10.
e) 506,10.
24 (UPF-RS) 
Nível I Nível II Nível III
A sequência de figuras acima ilustra três passos da constru-
ção de um fractal, utilizando-se como ponto de partida um 
triminó: o nível I é constituído de uma peça formada por 
três quadrados de 1 cm de lado cada, justapostos em for-
ma de L. No segundo passo, substitui-se cada quadrado do 
fractal de nível I por um triminó, que tem os comprimentos 
dos lados de seus quadrados adequadamente ajustados à 
situação, de forma a se obter o fractal de nível II, confor-
me ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do 
fractal de nível II, também substituindo-se cada um de seus 
quadrados por um triminó com os lados de seus quadrados 
ajustados, o fractal de nível III. O processo continua dessa 
forma, sucessiva e indefinidamente, obtendo-se os fractais 
de níveis n 5 I, II, III, … 
Com base nessas informações, a partir de que nível a área da 
figura se torna menor que 1 cm2? c
a) Nível III.
b) Nível IV.
c) Nível V.
d) Nível VI.
e) Nível VII.
De acordo com o texto, as áreas formam uma PG de razão 
3
4
, repre-
sentada pela sequência abaixo:



3,
9
4
,
27
16
,
81
64
,
243
256
, ...
Como 243 < 256, concluímos que, a partir do nível V, a área da figura 
se torna menor que 1.
25 (Uema) Numa plantação tomada por uma praga de gafanho-
tos, foi constatada a existência de 885 735 gafanhotos. Para 
dizimar a praga, foi utilizado um produto químico em uma 
técnica cujo resultado foi de 5  gafanhotos infectados, que 
morreram logo no 1o dia. Ao morrerem,já haviam infectado 
outros gafanhotos. Dessa forma, no 1o  dia, morreram 5  ga-
fanhotos; no 2o dia, morreram mais 10; no 3o dia, mais 30 e 
assim sucessivamente. 
Verificando o número de mortes acumulado, determine em 
quantos dias a praga de gafanhotos foi dizimada. 
O número total de gafanhotos mortos após n dias constitui a 
PG (5, 15, 45, …, 5 ? 3n 2 1, …).
Daí, temos:
q 5 3 e 5 ? 3n 2 1 5 885 735 ⇒ 3n 2 1 5 177 147 ⇒
 ⇒ 3n 2 1 5 311 ⇒
 ⇒ n 5 12
Portanto, a praga foi dizimada em 12 dias.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1 
O montante da dívida após 2 meses é 
800 ? (1 1 0,05)2 5 R$ 882,00. Pagando R$ 400,00, o saldo devedor 
fica em 882 2 400 5 R$ 482,00. Portanto, o valor do último paga-
mento é igual a: 
482 ? (1 1 0,05) 5 R$ 506,10.
En
em
C-1
H-2
En
em
C-2
H-8
 
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1 
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 24 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
25
Já vimos que o termo geral de uma PG é dado por a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ou por a
n
 5 a
0
 ? qn 
quando começamos a enumeração dos termos por a
0
. Nesse caso, podemos pensar em uma PG como 
uma função que associa a cada número natural n o valor dado por a
n
 5 a
0
 ? qn. Essa função é a restrição 
aos números naturais da função exponencial a(x) 5 a
0
qx. O gráfico dessa função é formado por uma 
sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma função exponencial.
0 1 2 3
x
a
0
a
1
a
2
a
3
a(x)
Veja o exemplo a seguir de a
n
 5 a
0
 ? qn, com a
0
 5 
1
4
 e q 5 3, e o esboço do gráfico da 
função correspondente: PG 


 



1
4
,
3
4
,
9
4
,
27
4
, …
0 1 2 3 4
n
1
2
3
4
5
6
7
3
4
1
4
a
n
9
4
27
4
INterPretaÇÃo geomÉtrICa de uma ProgreSSÃo geomÉtrICa
 INterPolaÇÃo geomÉtrICa
Vamos considerar o seguinte problema:
No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, 
a produção foi de 1 500 unidades e, em junho, foi de 48 000 unidades. Qual foi a produção dessa 
indústria nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
Nessas condições, o problema consiste em formar uma PG em que:
5
5
5
a (produção em janeiro) 1500
a (produção em junho) 48000
n 6
1
n




Devemos inicialmente calcular o valor da razão q:
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ 48 000 5 1 500 ? q5 ⇒ q5 5 32 ⇒ q 5 325 ⇒ 
⇒ q 5 2
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 25 5/19/15 6:17 PM
26 Progressões e matrizes
Então, temos:
(1 500, 3 000, 6 000, 12 000, 24 000, 48 000)
Daí podemos dizer que:
5 5
5 5
5 5
5 5
a produção em fevereiro 3000
a produção em março 6000
a produção em abril 12000
a produção em maio 24000
2
3
4
5






Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interpolar quatro meios geométricos entre 1 500 e 
48 000.
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
32 Insira três meios geométricos entre 3 e 48.
reSoluÇÃo:
Devemos formar a PG (3, ___, ___, ___, 48), na qual:
a
1
 5 3; n 5 2 1 3 5 5; a
5
 5 48.
a
5
 5 a
1
 ? q4 ⇒ 48 5 3q4 ⇒ q4 5 16 ⇒ q 5 ± 164 ⇒ q 5 ±2
Então, temos:
 para q 5 2, a PG crescente (3, 6, 12, 24, 48)
 para q 5 22, a PG alternante (3, 26, 12, 224, 48)
33 Quando interpolamos quatro meios geométricos entre 1 e 
243, qual é a razão q da PG assim obtida?
reSoluÇÃo:
Devemos formar a PG (1, ___, ___, ___, ___, 243), na qual:
a 1
n 6
a 243
1a 11a 1
6
a 15a 1
n 65n 6
5














a
6
 5 a
1
 ? q5 ⇒ 243 5 1q5 ⇒ q5 5 243 ⇒ q 5 2435 ⇒ q 5 3
Logo, a razão da PG é q 5 3.
34 Quantos meios geométricos precisamos inserir entre 
1
16
 e 64 
de modo que a sequência obtida tenha razão 4?
reSoluÇÃo:
Nesse caso, temos:
a
1
16
a 64
q 4
1
na 6na 6
5
a 65a 6
q 45q 4

















Devemos então calcular n:
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ 64 5 
1
16
 ? 4n 2 1 ⇒
⇒ 43 5 422 ? 4n 2 1 ⇒ 43 5 4n 2 3 ⇒
⇒ n 2 3 5 3 ⇒ n 5 6
Então, a PG deve ter 6 termos, ou seja, precisamos inserir 4 
meios geométricos.
 Soma doS n PrImeIroS termoS de uma 
Pg FINIta
A soma dos n primeiros termos de uma PG (a
n
) de razão q Þ 1 é S
n
 5 a
1
 ? 
2
2
1 q
1 q
n
.
Demonstração:
Consideremos a PG finita (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n 2 1
, a
n
) e seja S
n
 a soma de seus termos:
S
n
 5 a
1
 1 a
2
 1 a
3
 1 … 1 a
n 2 1
 1 a
n
 (I)
Vamos multiplicar os dois membros dessa igualdade pela razão q, obtendo:
qS
n
 5 

a q1
a2
 1 

a q2
a3
 1 

a q3
a4
 1 … 1 

2
a qn 1
an
 1 a
n
q
ou
qS
n
 5 a
2
 1 a
3
 1 a
4
 1 … 1 a
n
 1 a
n
q (II)
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 26 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
27
Fazendo (I) 2 (II), obtemos:
S
n
 2 qS
n
 5 a
1
 2 a
n
q
Como a
n
 5 a
1
qn 2 1, então a
n
q 5 a
1
qn 2 1q 5 a
1
qn, daí:
S
n
(1 2 q) 5 a
1
 2 a
1
qn ⇒ S
n
(1 2 q) 5 a
1
(1 2 qn)
Portanto, 
S
n
 5 a
1
 ? 
2
2
1 q
1 q
n
, para q Þ 1.
Essa fórmula também pode apa-
recer assim:
S
n
 5 a
1
 ? 
q 1
q 1
nq 1nq 1q 12q 1
q 12q 1
, q Þ 1
Para
reFletIr
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
35 Uma empresa produziu 10 000 unidades de certo produto 
em 2007. A cada ano seguinte, produzirá 20% a mais desse 
produto em relação ao ano anterior. Quantas unidades a em-
presa produzirá no período de 2007 a 2011?
reSoluÇÃo:
1a maneira
Ano
Produção
(em unidades)
2007 10 000
2008 12 000 20% de 10 000 5 2 000
2009 14 400 20% de 12 000 5 2 400, etc.
2010 17 280
2011 20 736
No período de 2007 a 2011, a empresa produzirá: 10 000 1 
1 12 000 1 14 400 1 17 280 1 20 736 5 74 416 unidades.
As parcelas formam uma PG finita de razão q 5 1,20.
Assim, a soma dos cinco primeiros termos é 74 416.
2a maneira: usando a fórmula
Como temos uma PG na qual a
1
 5 10 000, q 5 1,20 e n 5 5, 
temos:
S
n
 5 a
1
 ? 
1 q
1 q
n1 q21 q
1 q21 q
⇒ 
⇒ S
5
 5 10 000 ? 
1 (21 (1,20)
1 121 1,20
5
 5
5 10 000 ? 
1,48832
0,20
2
2
 5 74 416
Logo, no período de 2007 a 2011, a empresa produzirá 74 416 
unidades desse produto.
36 A soma dos termos de uma PG finita é 728. Sabendo que 
a
n
 5 486 e q 5 3, calcule o primeiro termo dessa sequência.
reSoluÇÃo:
Nessa PG, conhecemos: S
n
 5 728, a
n
 5 486, q 5 3.
Vamos aplicar a fórmula S
n
 5 
a q a
q 1
n 1a qn 1a q an 12
q 12q 1
 para calcular a
1
:
728 5 
486 3 a
3 1
1? 23 a? 23 a
3 123 1
 ⇒ 
⇒ 728 5 
21458 a
2
1 ⇒ 1 458 2 a
1
 5 1 456 ⇒ 
⇒ a
1
 5 1 458 2 1 456 ⇒ a
1
 5 2
Portanto, o primeiro termo da PG dada é a
1
 5 2.
Observação:
Se nas páginas 26 e 27 fizéssemos (II) 2 (I), obteríamos 
S
n
(q 2 1) 5 a
n
q 2 a
1
, ou seja, S
n
 5 a
1
 ? 
a q a
q 1
n 1a qn 1a q an 12
q 12q 1
, q Þ 1.
37 Calcule o valor de x na igualdade
10x 1 20x 1 … 1 1 280x 5 7 650, sabendo que os termos do 
1o membro formam uma PG.
reSoluÇÃo:
Nesse caso, a
1
 5 10x, q 5 2, a
n
 5 1 280x e S
n
 5 7 650.
Inicialmente, vamos determinar n:
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ 1 280x 5 10x ? 2n 2 1 ⇒ 128 5 2n 2 1 ⇒ 
⇒ 27 5 2n 2 1 ⇒ n 2 1 5 7 ⇒ n 5 8
S
n
 5 
a (q 12q 1)
q 12q 1
1a (1a (
nq 1nq 1
 ⇒
⇒ 7 650 5 
210x(2 1)
2 122 1
8
 ⇒
⇒ 7 650 5 10x ? 255 ⇒ 7 650 5 2 550x ⇒ x 5 3
Logo, x 5 3.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 27 5/19/15 6:17 PM
28 Progressões e matrizes
O que acontece com a soma dos 
termos de uma PG infinita de ter-
mos positivos e razão maior do 
que 1?
Para
reFletIr
Essa sequência é uma PG?
Para
reFletIr
 lImIte da Soma doS termoS de uma Pg INFINIta
Consideremos a sequência a
n
 5 
1
n
, com n [ N*, explicitada por:
1, 1
2
, 1
3
, 1
4
, 1
5
, 1
6
, 1
7
, 1
8
, 1
9
, 1
10
, … , 1
100
, … , 1
1000
, … , 1
n
, …
ou, ainda, em representação decimal:
1; 0,5; 0,333...; 0,25; 0,2; 0,16...; 0,142...; 0,125; 0,11...; 0,1; É ; 0,01; É; 0,001; É
Observemos que, à medida que n cresce indefinidamente (tendendo a infinito), o termo 
a
n
 5 
1
n
 tende a 0 (zero). Indicamos assim:
n → ∞ ⇒ 
1
n
 → 0 ou então assim:
5
→
lim
1
n
0
n ∞ 
(Lê-se: o limitede 
1
n
 quando n tende a infinito é igual a 0.)
Nas PGs em que 0 , |q| , 1, a soma dos n primeiros termos tem um limite finito quando n ten-
de a infinito. Nesse caso, qn aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja, 
→
lim q 0.
n ∞
n
5
Sabemos que S
n
 5 a
1
 ? 
2
2
1 q
1 q
n
, q Þ 1. Logo, 5 ?
2
2→
lim S a
1 0
1 qn ∞ n 1
, isto é:
5
2→
lim S
a
1 qn ∞ n
1 , 0 , |q| , 1
Exemplo:
Vamos calcular o limite da soma dos termos da seguinte PG:
1 1 1 1 1 1
1
2
1
4
1
8
1
16
… 1
2
…,
n
 n [ N*
Nesse caso, a
1
 5 
1
2
, e q 5 
1
2
. Temos:
→
lim
n ∞
S
n
 5 
2
5
2
5 5
a
1 q
1
2
1
1
2
1
2
1
2
11
Logo, 
→ ∞
lim
n
 S
n
 5 1. Isso significa que, quanto maior for n, a soma 1 1 1 1 1 11
2
1
4
1
8
1
16
… 1
2
…
n
 
será mais próxima de 1.
Curiosidade
Há uma lenda que diz que um rei perguntou ao inventor do jogo de xadrez o que ele queria 
como recompensa por ter inventado esse jogo. E o inventor respondeu: “1 grão de trigo pela primeira 
casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, 16 pela quinta e assim por diante, sempre 
dobrando a quantidade a cada nova casa”.
Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o inventor pediu a soma dos primeiros 64 
termos da PG: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …, de razão q 5 2:
S
n
 5 a
1
 ? 
1 q
1 q
n
2
2
 5 1 ? 
1 2
1 2
64
2
2
 5 264 2 1
Fazendo esse cálculo, encontramos o gigantesco número de vinte algarismos:
18 446 744 073 709 551 615
Coitado do rei! Será que ele teria uma superfície suficientemente grande para conter uma 
plantação de trigo com esse número de grãos?
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
29
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
Veja uma interpretação geométrica desse fato considerando a área da região quadrada 
abaixo igual a 1. Inicialmente vamos colorir 
1
2
 dela, depois 
1
4
, depois 
1
8
 e assim por diante. Con-
tinuando esse procedimento indefinidamente, estaremos nos aproximando da área total da 
região quadrada, que é 1.
S 5 
1
2
; S
2
 5 
1
2
1
4
3
4
1 5 ; 
S
3
 5
1
2
1
4
1
8
7
8
1 1 5
1
2
,
3
4
,
7
8
, …tende a 1.
Para
reFletIr
38 Mostre que o limite da soma 0,6 1 0,06 1 0,006 1 …, quan-
do o número de parcelas tende a infinito, é igual a 
2
3
.
reSoluÇÃo:
1a maneira
Somando um número muito grande de termos dessa PG, 
encontramos aproximadamente a dízima periódica 0,6666... 5 
5 
6
9
 5 
2
3
.
1
0,6
0,06
0,006
0,0006
0,00006
0,66666...
2a maneira: calculando o limite
Neste caso, a
1
 5 0,6 e q 5 
1
10
. Assim:
lim
n ∞→n ∞→n ∞
S
n
 5 
a
1 q
0,6
1
1
10
6
10
9
10
6
9
2
3
1
1 q21 q
5
2
5 55 5
10
5 5 5 
Portanto, lim
n ∞→n ∞→n ∞
S
n
 5 
2
3
.
39 Determine o limite da soma da PG infinita:
1 11 1 1
1
3
2
1 1
2
1 1
9
4
27
…
 
reSoluÇÃo:
As parcelas formam uma PG infinita na qual a
1
 5 
1
3
 e 
q 5 
2
9
1
3
 5 
2
3
.
Como 
2
3
 , 1, podemos usar a fórmula lim
n→ ∞
S
n
 5 
a
1 q
1
1 q21 q
:
lim
n→ ∞
S
n
 5 
1
3
1
2
3
2
 5 
1
3
1
3
 5 1
Logo, o valor procurado é 1.
40 Determine a fração geratriz:
a) da dízima periódica simples 0,333...
b) da dízima periódica composta 0,52121...
reSoluÇÃo:
a) 0,333... 5 0,3 1 0,03 1 0,003 1 … 5
5 1 11 1 1
3
10
3
1 1
3
1 1
100
3
1000
… 
As parcelas formam a PG infinita 
3
10
,
3
10
,
3
10
,…
2 3
,
2 3
10
2 3




 
,…



, na 
qual a
1
 5 
3
10
 e q 5 
1
10
.
A fração correspondente a 0,333... é o limite da soma 
dessa PG infinita.
lim
n→ ∞
S
n
 5 
a
1 q
3
10
1
1
10
3
10
9
10
3
9
1
3
1
1 q21 q
5
2
5 55 5
10
5 5 5 
Logo, a fração procurada é 
1
3
.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 29 5/19/15 6:17 PM
30 Progressões e matrizes
Para CoNStruIr
b) 0,52121... 5 0,5 1 0,021 1 0,00021 1 … 5
5 15 1
5
5 1
5
5 1
10
21
1000
21
100000
…1 11 1
21
1 1
Observamos que a sequência
21
10
,
21
10
,
21
10
, …
3 5
,
3 5103 5 7




 




 é uma PG infinita, na qual a
1
 5 
21
103
 
e q 5 
1
102
:
lim
n→ ∞
S
n
 5 5
2
5
2
5
a
1 q21 q
21
10
1
1
10
21
1000
1
1
100
1
3
2
5 55 5 ? 5? 5 5
21
1000
5 5
1000
5 5
99
100
21
10001000
100100
99
21
990
7
330
10
1
Agora, vamos calcular:
0,52121... 5 
5
10
7
330
165 7
330
172
330
86
165
1 51 5
7
1 5
1
5 55 5 
Logo, a fração geratriz é 
86
165
.
41 A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unin-
do-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um se-
gundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios 
dos lados desse novo triângulo equilátero, obtém-se um 
terceiro e assim por diante, indefinidamente. Calcule a 
soma dos perímetros de todos esses triângulos.
reSoluÇÃo:
Perímetro do 1o triângulo 5 30
Perímetro do 2o triângulo 5 15
Perímetro do 3o triângulo 5 
15
2
:
Devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 
30, 15,
15
2
, …


 



 , na qual a
1
 5 30 e q 5 
1
2
:
lim
n→ ∞
S
n
 5 
a
1 q
30
1
1
2
30
1
2
1
1 q21 q
5
2
5 5 60
Portanto, a soma dos perímetros é 60.
26 Insira quatro meios geométricos entre 6 e 192.
PG (6, , , , , 192)
a
1
 5 6 e a
6
 5 192
a
6
 5 a
1
 ? q5 ⇒ 192 5 6q5 ⇒ q5 5 32 ⇒ q 5 2
PG (6, 12, 24, 48, 96, 192)
27 Entre os números 18 e x foram inseridos dois meios geométri-
cos. Obteve-se, assim, uma PG de razão 3. Qual é o valor de x?
PG (18, , , x) e q 5 3
a
4
 5 a
1
 ? q3 5 18 ? 33 5 486
x 5 486
28 Seja uma PG na qual o 1o termo é 2, o último é 256 e a soma 
dos termos é 510. Qual é o valor da razão dessa PG? 
a
1
 5 2, a
n
 5 256, S
n
 5 510
510 5 
2
2
256q 2
q 1
 ⇒ 510(q 2 1) 5 256q 2 2 ⇒ 510q 2 510 5 256q 2 
2 2 ⇒ 254q 5 508 ⇒ q 5 2
29 Uma pessoa aposta na loteria durante cinco semanas, de tal 
forma que, em cada semana, o valor da aposta é o dobro do 
valor da aposta da semana anterior. Se o valor da aposta da 
primeira semana foi R$ 60,00, qual será o total apostado após 
as cinco semanas?
n 5 5, q 5 2, a
1
 5 60
S
5
 5 
2
2
( )60 2 1
2 1
5
 5 
?60 31
1
 5 1 860
R$ 1 860,00
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 30 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
31
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 44 a 52 Para aprimorar: 9 e 10
30 Determine o valor da expressão 
1
1
10
1
10
…
1
1
4
1
16
…
2
1 1 1
1 1 1
 na qual 
o numerador e o denominador são os limites das somas de 
duas PGs infinitas.
(I) a
1
 5 1, q 5 
1
10
 
→ ∞
lim
n
S
n
 5 
2
1
1
1
10
 5 1 : 5
9
10
10
9
 
(II) a
1
 5 1, q 5 
1
4
 
→ ∞
lim
n
S
n
 5 
2
1
1
1
4
 5 1 : 5
3
4
4
3
Dividindo (I) por (II), vem
5 ? 5
10
9
4
3
10
9
3
4
5
6
5
3
1
2
 
31 (Vunesp) Uma partícula em movimento descreve sua trajetó-
ria sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto 
P
0
, localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento 
sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da 
partícula, até o ponto P
3
, em r. Na figura, O, O
1
 e O
2
 são os 
centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, R
2
 e 
R
4
, seus respectivos raios.
O r
R
O
1
P
0
P
1
P
2
P
3
O
2
R
2
R
4
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida 
repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo 
o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por 
O
n
 e R
R
2
n n
5 respectivamente, até o ponto P
n
, também em r. 
Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela 
partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, 
será igual a: e 
a) 22 ? p ? R.
b) 23 ? p ? R.
c) 2n ? p ? R.
d) 
7
4
R? p?


e) 2 ? p ? R.
Como o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por 2pr, 
o comprimento de uma semicircunferência é pr.
Seja C
n
 o comprimento da trajetória.
Temos 5p? 1p? 1p? 1 1p?…C R R
2
R
4
R
2
n n
, que correspondeà soma 
dos termos de uma PG infinita.
Portanto, 5
p?
2
5 ?p?
→
lim C
R
1
1
2
2 R
n ∞
n
.
32 (Espcex-SP) Na figura abaixo, temos uma espiral formada pela 
união de infinitos semicírculos cujos centros pertencem ao 
eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) 
é igual a 1 e o raio de cada semicírculo menor a seguir é igual 
à metade do semicírculo anterior, o comprimento da espiral 
é igual a: b
y
1 2 x
a) p.
b) 2p.
c) 3p.
d) 4p.
e) 5p.
Comprimento de uma semicircunferência de raio 
p
5p?r:
2 r
2
r
Logo, a soma pedida será dada por:
5p? 1p? 1p? 1p? 1
5p? 1 1 1
5p?
2
5 ?p




S 1
1
2
1
4
1
8
...
S
1
2
1
4
1
8
...
S
1
1
1
2
S 2
33 (Unifesp) No interior de uma sala, na forma de um paralelepí-
pedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medi-
das 1, 
1
3
,
1
9
,
1
27
 e assim por diante, conforme mostra a figura.
3
1
9
1
1
h
O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse 
ser feito indefinidamente, é: e
a) 3.
b) 
5
2
.
c) 
7
3
.
d) 2.
e) 
3
2
.
En
em
C-5
H-2
1
ria sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto 
P
sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da 
En
em
C-1
H-2
sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da 
partícula, até o ponto P
centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, 
sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da 
En
em
C-2
H-8
centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, 
R
4
centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
5 1 1 1 1 5
2
5 5h 1
1
3
1
9
1
27
...
1
1
1
3
1
2
3
3
2
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32 Progressões e matrizes
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
 Produto doS termoS da Pg
Considere uma PG (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n 2 2
, a
n 2 1
, a
n
, …).
O produto P
n
 dos n primeiros termos dessa PG pode ser obtido de duas maneiras:
1a maneira
5
5
5
5
2
:







a a
a a q
a a q
a a q
1 1
2 1
3 1
2
n 1
n 1
Multiplicando-se membro a membro, encontramos:
a
1
a
2
a
3
…a
n
 5 a1a1a1…a1
n fatores
 ?  q1q2q3…qn 2 1
Então:
P
n
 5 a1
n ? 
Soma de PA
q ⇒
1 1 2 1 3 1 ... 1 n 2 1
⇒ P
n
 5 a1
n ? 
1 2 2
q
(1 n 1) (n 1)
2 ⇒ 
P
n
 5 ?
2
a q1
n
n (n 1)
2 
2a maneira
5 ? ? ? ? ? ?
5 ? ? ? ? ? ?
2 2
2 2



P a a a … a a a
P a a a … a a a
n 1 2 3 n 2 n 1 n
n n n 1 n 2 3 2 1
Multiplicando-se membro a membro, encontramos:
Pn
2
 5 (a
1
 ? a
n
)(a
2
 ? a
n 2 1
)(a
3
 ? a
n 2 2
) ? … ? (a
n 2 2
 ? a
3
)(a
n 2 1
 ? a
2
)(a
n
 ? a
1
)
Como (a
2
 ? a
n 2 1
) 5 (a
3
 ? a
n 2 2
) 5 … 5 (a
1
 ? a
n
), então:
Pn
2 5 (a
1
a
n
)n ⇒ 
P
n
 5 ( )± a a1 n
n
(Para saber qual o sinal correto, estudam-se as condições da PG dada.)
 ProBlemaS eNVolVeNdo Pa e Pg
Veremos agora problemas que envolvem PA e PG ao mesmo tempo.
42 São dados quatro números, x, y, 6, 4, nessa ordem. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, de-
termine x e y.
reSoluÇÃo:
Se x, y, 6 estão em PA, temos y 5 
x 6
2
x 61x 6
.
Se y, 6, 4 estão em PG, temos 62 5 4y.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 32 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
33
Para CoNStruIr
Devemos resolver o sistema formado por essas duas equações:
y x 6
2
4y 36 y 9
5
x 61x 6
5 5y 95 5y 95 5365 5⇒5 5⇒5 5











9 5 
x 6
2
x 61x 6
 ⇒ x 1 6 5 18 ⇒ x 5 12
Então, x 5 12 e y 5 9.
43 A sequência (a, b, c) é uma PG crescente, e a sequência (a 2 1, b, 
c) é uma PA. Sabendo que a 1 b 1 c 5 19, determine os valores 
de a, b e c.
reSoluÇÃo:
Se (a, b, c) é uma PG, temos b2 5 ac.
Se (a 2 1, b, c) é uma PA, temos:
b 5 a 1 c
2
2 1a 12 1a 1
 ⇒ 2b 5 a 2 1 1 c
Devemos, então, resolver o sistema:
b ac
2b a 1 c
a b c 19
(I)
(II)
(III)
2b a2b ab a5b a
5 2a 15 2a 11
1 1a b1 1a b c 15c 1













 
De (II), temos:
2b 5 a 2 1 1 c ⇒ a 1 c 5 2b 1 1 (IV)
De (III), temos:
a 1 b 1 c 5 19 ⇒ a 1 c 5 19 2 b (V)
Comparando (IV) e (V), temos:
2b 1 1 5 19 2 b ⇒ 3b 5 18 ⇒ b 5 6
Conhecido b 5 6, temos um novo sistema:
36 ac (I')
a c 13 (II')
5
1 5a c1 5a c{
De (II'), temos:
a 1 c 5 13 ⇒ a 5 13 2 c
Substituindo (II') em (I'):
36 5 (13 2 c)c ⇒ 
⇒ c2 2 13c 1 36 5 0
Δ 5 25
c' 5 9 e c" 5 4
 c 5 9 ⇒ a 5 13 2 9 5 4
 c 5 4 ⇒ a 5 13 2 4 5 9
Como a PG (a, b, c) é crescente, temos a 5 4, b 5 6 e c 5 9.
44 Numa situação em que há empréstimo de dinheiro para de-
volução depois de certo número de períodos, e em que esse 
empréstimo é baseado no sistema de juros simples, os juros 
correspondentes a cada período são constantes e iguais ao 
valor calculado no fim do 1o período. Dessa forma, no fim 
do 1o período, os juros são acrescidos ao capital inicial, re-
sultando no montante M
1
. No fim do 2o período, os juros são 
acrescidos ao montante M
1
, resultando no montante M
2
, e 
assim por diante até o fim dos períodos contratados, em que 
o capital emprestado terá se transformado no montante M
n
.
Considere então um empréstimo de R$ 800,00 a ser pago em 
6 meses, à taxa de juros simples de 4% a.m. No fim dos 6 me-
ses, quanto deverá ser pago para a quitação da dívida?
reSoluÇÃo:
Os 4% de juros simples cobrados por mês significam 0,04  ? 
? 800,00 5 R$ 32,00 de acréscimo mensal. Essa é uma situação 
em que os valores devidos evoluem da seguinte forma:
Mês 0: 800,00
Mês 1: 800,00 1 32,00
Mês 2: 832,00 1 32,00
Mês 3: …
A
É possível representar a sequência de valores devidos por 
uma PA, usando como 1o termo o valor devido após o 1o pe-
ríodo e, como razão, o valor constante a ser pago a título de 
juros simples:
r 5 juro do 1o período 5 0,04 ? 800 5 32
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ M
n
 5 832 1 (n 2 1)32 ⇒ M
6
 5 832 1 
1 (6 2 1)32 5 992,00
É importante salientar que essa progressão poderia ser mais 
bem representada usando-se a
0
 em vez de a
1
 no termo geral. 
Assim, teríamos o capital inicial representado no termo geral:
a
n
 5 a
0
 1 nr ⇒ M
n
 5 800 1 32n ⇒ M
6
 5 800 1 32 ? 6 5 
5 992,00
No fim do 6o mês, o valor a ser pago será R$ 992,00.
34 (Fuvest-SP) Dadas as sequências a
n
 5 n2 1 4n 1 4, b 2n
n2
5 , c
n
 5 a
n 2 1
 2 a
n
 e d
b
bn
n 1
n
5
1 , definidas para valores inteiros positivos de 
n, considere as seguintes afirmações:
 I. a
n
 é uma progressão geométrica. 
 II. b
n
 é uma progressão geométrica. 
 III. c
n
 é uma progressão aritmética.
 IV. d
n
 é uma progressão geométrica. 
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 33 5/19/15 6:17 PM
34 Progressões e matrizes
tareFa Para CaSa
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 53 a 55 Para aprimorar: 11
São verdadeiras apenas: e
a) I, II e III.
b) I, II e IV.
c) I e III.
d) II e IV.
e) III e IV.
I. Falsa. Como a razão 5
1 1 1 1
1 1
5
1 1
1 1
1
a
a
(n 1) 4(n 1) 4
n 4n 4
n 6n 9
n 4n 4
n 1
n
2
2
2
2 não 
é constante, segue que a
n
 não é uma progressão geométrica.
II. Falsa. A razão 5 5 5
b
b
2
2
2n 1
n
(n 1)
2
n
2
n
2
2n 1 n
2
2n 11
1
1 1
2
2 1
 não é constante. 
Daí, podemos concluir que b
n
 não é uma progressão geométrica.
III. Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois termos consecutivos 
da sequência c
n
 é:
2 5 1 1 1 1 2 1 1 5
5 1 1 1 1 1 2 2 2 5 1
 
 
a a (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4)
n 2n 1 4n 4 4 n 4n 4 2n 5
n 1 n
2 2
2 2
1
 Desse modo, c
n
 é uma progressão aritmética. 
IV. Verdadeira. De (II), temos 
5 5 5 5 5d
b
b
2 ,
d
d
2
2
2 4n
n 1
n
2n 1 n 1
n
2(n 1) 1
2n 1
21 1 1
1 1
1
, que é uma progres-
são geométrica. 
35 (UEM-PR) Seja r umnúmero inteiro positivo fixado. Conside-
re a sequência numérica definida por 
a r
a a a
1
n 1 n 1
5
5 1
1




e dê a 
soma da(s) alternativa(s) correta(s). 
(01) A soma dos 50 primeiros termos da sequência (a
1
, a
2
, a
3
, 
a
4
, a
5
, …) é 2 500r.
(02) A sequência (a
1
, a
2
, a
4
, a
8
, a
16
, …) é uma progressão 
geométrica.
(04) A sequência (a
1
, a
3
, a
5
, a
7
, a
9
, …) é uma progressão arit-
mética.
(08) O vigésimo termo da sequência (a
1
, a
2
, a
4
, a
8
, a
16
, …) é 220 r.
(16) A soma dos 30 primeiros termos da sequência (a
2
, a
4
, a
6
, 
a
8
, a
10
, …) é 930r.
02 1 04 1 16 5 22.
(01) Incorreto. Temos 
 
1 1 1 1 5 1 1 1 1 5
5
1
? 5
… …
±
a a a a r 2r 3r 50r
r 50r
2
50 1275r 2500r
1 2 3 50
(02) Correto. De acordo com a lei de formação, vem (a
1
, a
2
, a
4
, a
8
, 
a
16
, …) 5 (r, 2r, 4r, 8r, 16r, …), ou seja, a sequência (a
1
, a
2
, a
4
, a
8
, 
a
16
, …) é uma progressão geométrica com primeiro termo igual 
a r e razão 5
2r
r
2
(04) Correto. De fato, (a
1
, a
3
, a
5
, a
7
, a
9
, ...) 5 (r, 3r, 5r, 7r, 9r, ...). 
Portanto, é uma progressão aritmética com primeiro termo igual 
a r e razão 3r 2 r 5 2r. 
(08) Incorreto. Conforme (02), vem 5 ? 5 ±a r 2 2 r 2 r20
20 1 19 202
(16) Correto. Com efeito,
… …1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 ? 5a a a a 2r 4r 6r 60r 2r+60r
2
30 930r2 4 6 60
En
em
C-5
H-2
1
Para PratICar
1 Escreva as sequências definidas pelos termos gerais a seguir 
(nos casos em que não aparece o conjunto de variação de n, 
considera-se n [ N*):
a) a
n
 5 5n.
b) a
n
 5 
1
3n
, com n [ N* e n < 4.
c) a
n
 5 
n
n 11
.
d) a
n
 5 1
1
n
n
1



 , com n [ N e 1 < n < 6.
2 Escreva o termo geral das sequências:
a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, …).
b) (2, 3, 4, 5, 6, …).
c) (3, 6, 9, 12, 15, 18, …).
d) (2, 5, 8, 11, 14, 17).
3 Complete cada uma das sequências até o 7o termo:
a) 21, 24, 27, 210, … c) 2, 2, 2 2, 4, …
b) 
3
4
,
6
7
,
9
10
,
12
13
, … d) 2 ? 5, 4 ? 10, 8 ? 20, 16 ? 40, …
4 No exercício anterior, determine o termo geral de ordem k de 
cada uma das sequências.
5 Determine:
a) o 10o termo da sequência dos números naturais pares;
b) o 7o termo da sequência cujo termo geral é a
n
 5 2(n 2 1).
6 Determine os cinco primeiros elementos das sequências (a
n
), 
n [ N*, definidas pelas leis de recorrência a seguir:
a) 
a 2
a ( 1) a , para n 2
1
n
n
n 1
52
5 2
2


 ? >
 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-2
En
em
C-5
H-2
1
b) 
a 1
a 2a 3, para n 2
1
n n 1
5
5 1 >
2



2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 34 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
35
7 Dada uma sequência em que a
1
 5 2 e a
n
 5 a
n 2 1
 1 5, com 
n > 2, quantos dos dez primeiros elementos da sequência 
são números primos?
8 Verifique se a sequência dada é uma PA e, em caso positivo, 
dê o valor da razão r.
a) (2, 5, 8, 11, 14)
b) (15, 10, 5, 0, 25)
c) (2, 3, 5, 7)
d) 1,
4
3
,
5
3
, 2

 
e) 1 3, 1 2 3, 1 3 31 1 1( )
f ) 
1
2
,
1
3
,
1
4




g) a 1, a
1
2
, a2 2


h) (x 2 5y, x 2 2y, x 1 y, 
x 1 4y)
9 Escreva a PA de:
a) cinco termos em que o 1o termo é a
1
 5 7 e a razão é r 5 4; 
b) quatro termos em que o 1o termo é a
1
 5 26 e a razão é 
r 5 8;
c) cinco termos em que o 1o termo é a
1
 5 x 1 3 e a razão 
é r 5 x.
10 Determine quatro números em progressão aritmética cres-
cente, sabendo que sua soma é 6 e a soma de seus quadra-
dos é 54.
11 A soma de quatro números em progressão aritmética é 16 e o 
produto dos extremos é 7. Determine-os.
12 As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam 
uma progressão aritmética. Determine-as, sabendo que o pe-
rímetro do triângulo é 36 cm.
13 Determine o 15o termo da PA (6, 10, …).
14 Numa PA infinita, a
1
 5 12 e r 5 5. Calcule a
26
.
15 Qual é o 50o número ímpar positivo?
16 Sabe-se que, numa PA de 12 termos, a
1
 5 28 e a
12
 5 36. Calcu-
le a razão dessa PA.
17 As raízes da equação x2 2 7x 1 10 5 0 são o 1o e o 2o termos 
de uma PA crescente. Determine o 10o termo dessa PA.
18 Determine o 1o termo e a razão de cada PA na qual:
a) a
4
 5 12 e a
9
 5 27; c) a
6
 5 12 e a
13
 5 82;
b) a
8
 5 24 e a
12
 5 0; d) a
5
 2 a
2
 5 15 e a
3
 1 a
8
 5 49.
19 Quantos múltiplos de 11 existem entre 100 e 1 000?
20 Determine três números que estão em PA crescente tais que, 
aumentados de 1, 2 e 9 unidades, respectivamente, sejam 
proporcionais aos números 5, 10 e 25.
21 Numa PA, a
1
 1 a
99
 5 220. Qual é o valor de a
50
?
22 (PUC-RS) As quantias, em reais, que cinco pessoas possuem es-
tão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, 
respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui:
a) R$ 200,00 .
b) R$ 180,00 .
c) R$ 150,00.
d) R$ 120,00.
e) R$ 100,00.
23 (UFC-CE) O conjunto formado pelos números naturais cuja 
divisão por 5 deixa resto 2 forma uma progressão aritmética 
de razão igual a:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
24 Insira 7 meios aritméticos entre 20 e 68.
25 Quantos meios aritméticos devemos inserir entre 5 e 53 de 
modo que a sequência obtida tenha r 5 8?
26 Ao se efetuar a soma das 50 primeiras parcelas da PA (202, 
206, …), por distração não se somou a 35a parcela. Qual foi a 
soma encontrada?
27 A expressão S
n
 5 n2 2 3n, para qualquer n inteiro positivo, 
representa a soma dos n primeiros termos de uma PA. Qual é 
a razão dessa PA?
28 Resolva a equação 2 1 5 1 8 1 … 1 x 5 77, sabendo que os 
termos do 1o membro estão em PA.
29 Determine o valor de:
a) 3i;
i 1
10
5
∑ b) 5 2i
i 1
20
1
5
∑( ) .
30 Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segun-
da hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quan-
tos quilômetros percorrerá em 5 horas?
31 Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na se-
gunda e 16 na terceira; as demais fileiras se compõem na 
mesma sequência. Quantas fileiras são necessárias para o 
teatro ter um total de 620 poltronas? 
32 (UEA-AM) Potencialmente, os portos da região Norte podem 
ser os canais de escoamento para toda a produção de grãos 
realizada acima do paralelo 16 Sul, onde estão situados gi-
gantes do agronegócio. Investimentos em logística e a cons-
trução de novos terminais portuários privados irão aumentar 
consideravelmente o número de toneladas de grãos embar-
cados anualmente. 
En
em
C-1
H-2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
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1
En
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C-5
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C-5
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C-5
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gunda e 16 na terceira; as demais fileiras se compõem na 
mesma sequência. Quantas fileiras são necessárias para o 
En
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C-5
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C-1
H-1
En
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C-5
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1
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36 Progressões e matrizes
Observe as informações.
Movimentação
10,8 milhões
de toneladas foram embarcados pelos portos da região 
Norte na safra 2011/2012, segundo estudo elaborado 
pela Confederação Nacional da Indústria (CNI)
50 milhões
de toneladas é quanto poderá ser embarcado em 2020, 
ainda de acordo com o estudo
O Estado de S. Paulo, 10 jul. 2013. Adaptado.
Admita que, na previsão elaborada pela CNI, os números que 
indicam as toneladas de grãos embarcadas anualmente estejam 
em progressão aritmética crescente de razão r, na qual o primei-
ro termo é o número de toneladas embarcadas em 2012, e o 
último, o número de toneladas previstas para 2020. Nessas con-
dições, prevê-se que a quantidade total de grãos embarcada, de 
2012 a 2020, será, em milhões de toneladas, igual a:
a) 254,6.
b) 273,6.
c) 290,2.
d) 268,4.
e) 243,2.
33 Verifique se cada sequência dada é uma PG. Em caso positivo, 
dê o valor da razão q.
a) (1, 3, 9, 27, 81)
b) (2, 4, 6, 8, 10, 12)
c) (400, 200, 100, 50)
d) (5, 210, 20, 240, 80, 2160)
e) 1,
1
4
,
1
16
,
1
64




f ) 2, 1,
1
2
,
1
3
,
1
4




g) (x, 4x, 16x, 64x,256x), com x Þ 0
h) (a, ap, ap2, ap3), com a Þ 0 e p Þ 0
i) (x, 3x2, 9x2, 27x2), com x Þ 0
j) 
x
y
,
x
y
, x, xy
2




, com x Þ 0 e y Þ 0
34 Escreva uma PG:
a) de cinco termos em que a
1
 5 7 e q 5 3;
b) de quatro termos em que a
1
 5 25 e q 5 2.
35 Se o 1o termo de uma PG é a
1
 5 1023 e a razão é 102, escreva 
os quatro primeiros termos dessa PG.
36 Uma população de bactérias é atualmente dada por B
0
 e 
cresce 5% por minuto. Qual será essa população daqui a n 
minutos?
37 Determine a fórmula do termo geral de cada PG:
a) (2, 8, …). b) (3, 9, …). c) (2, 1, …).
38 Qual é o 8o termo de uma PG na qual o 1o termo é a
1
 5 2 e 
a razão é q 5 2?
39 Numa PG crescente de seis termos, o último vale 486 e o 1o 
vale 2. Qual é a razão q dessa PG?
40 Calcule quantos termos tem a PG finita (a
1
, a
2
, …, a
n
) em que:
a) a
1
 5 9, a
n
 5 320 e q 5 3
b) a
n
 5 1 875, a
1
 5 3 e q 5 5
41 Qual é a razão de uma PG em que a
1
 5 4 e a
4
 5 4 000?
42 Determine x para que as seguintes sequências sejam PG:
a) (4, x, 9).
b) (a, ax, 3a). 
c) (x, x 1 9, x 1 45).
d) (x 2 3, x, x 1 6).
43 Numa PG de números reais, a
4
 1 a
6
 5 120 e a
7
 1 a
9
 5 960. 
Calcule a razão q e o primeiro termo, a
1
, dessa PG.
44 Calcule a soma:
a) dos seis primeiros termos da PG (2, 8, …);
b) dos dez termos iniciais da PG (a2, a5, …).
45 Calcule a soma dos termos das seguintes PG finitas:
a) (1, 2, …, 512).
b) (5, 20, …, 1 280).
c) (1, 22, …, 210).
46 Os termos do 1o membro da equação 3 1 6 1 … 1 x 5 381 
formam uma PG. Calcule o conjunto solução dessa equação. 
47 Calcule o valor do número x sabendo que:
x 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22 3 4 5
5 1 1 1 1 1 
48 Determine o valor dos limites das seguintes somas:
a) 1
1
2
1
4
1
8
…2 1 2 1 b) 2
1
2
1
8
…1 1 1
49 Determine o valor de x na igualdade x 1 
x
3
 1 
x
9
 1 … 5 12, 
na qual o primeiro membro é o limite da soma dos termos de 
uma PG infinita.
50 Calcule a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
a) 0,777... b) 0,515151... c) 0,4333... 
51 Seja um triângulo de área 40. Unindo os pontos médios dos 
lados desse triângulo, obtemos um segundo triângulo; unin-
do os pontos médios dos lados desse segundo triângulo, 
obtemos um terceiro; e assim por diante, indefinidamente. 
Calcule o limite da soma das áreas de todas essas regiões 
triangulares, sabendo que elas formam uma PG.
52 Partindo de um quadrado Q
1
, cujo lado mede a, considere-
mos os quadrados Q
2
, Q
3
, Q
4
, …, tais que os vértices de cada 
um sejam os pontos médios dos lados do quadrado ante-
rior. Determine o limite da soma das áreas de todos esses 
quadrados.
53 Calcule x e y sabendo que a sequência (x, y, 9) é uma PA e a 
sequência (x, y, 12) é uma PG crescente.
En
em
C-1
H-2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
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C-5
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
37
54 A sequência (a, b, c) é uma PA e a sequência (a, b, c 1 1) é 
uma PG. Se a 1 b 1 c 5 18, escreva a PA, sabendo que ela é 
crescente.
55 Sabendo que os números 2, log x e log y, nessa ordem, estão 
simultaneamente em PA e em PG, calcule x e y.
Para aPrImorar
1 Calcule:
a) o 4o termo da PA (a 1 3b, a 1 b, …); 
b) o 3o termo da PA 
2x x
x
,
x 2
x
, …
2 2
1 1



.
2 (IME-SP) Em uma progressão aritmética crescente, a soma de 
três termos consecutivos é S
1
 e a soma de seus quadrados 
é S
2
. Sabe-se que os dois maiores termos dentre os três são 
raízes da equação x S x S
1
2
02 1 22 1 2 5



 . A razão dessa PA é: 
a) 
1
6
. b) 
6
6
. c) 6. d) 
6
3
. e) 1.
3 (ITA-SP) Quantos números inteiros existem entre 1 000 e 10 000 
que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?
4 (UFG-GO) Candidatos inscritos no vestibular da UFG leram o 
livro O cortiço, com 182 páginas, de uma determinada edição, 
iniciando-se na página 1.
Considere que dois desses candidatos leram o livro do se-
guinte modo: o primeiro leu duas páginas no primeiro dia e, 
em cada um dos dias seguintes, leu duas páginas a mais em 
relação ao dia anterior, enquanto o segundo leu uma página 
no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, leu o do-
bro do número de páginas do dia anterior.
Admitindo-se que os dois candidatos começaram a ler o li-
vro no mesmo dia e que o primeiro acabou a leitura no dia 
26 de outubro, determine em qual dia o segundo candidato 
acabou de ler o livro.
Dado: log
2
 183 . 7,6
5 (UFG-GO) A soma dos quadrados dos n primeiros termos de 
uma progressão aritmética, com primeiro termo a e razão r, 
pode ser calculada por S a (a nr r)
nr
6
(2n 3n 1)n n
2
2
5 1 2 1 2 1
.
De acordo com o exposto, uma expressão para a soma 
1 1 4 1 9 1 … 1 n2, dos quadrados dos n primeiros núme-
ros inteiros positivos, é: 
a) 
(n 1) (2n 1)
6
2
1 1 .
b) 
(n 1) (n 2) (2n 1)
6
1 1 1
.
c) 
n(n 1) (n 2)
6
1 1
.
d) 
(n 1) (2n 1)
6
2
1 1
.
e) n(n 1) (2n 1)
6
1 1 .
6 Se adicionarmos um número x a cada um dos números 
k 1 3, k e k 2 2, os números obtidos formam, nessa ordem, 
uma PG. Calcule o valor de x.
7 (UEL-PR) Leia o texto a seguir.
Van Gogh (1853-1890) vendeu um œnico quadro em 
vida, a seu irm‹o, por 400 francos. Nas palavras do artista: 
ÒN‹o posso evitar o fato de que meus quadros n‹o sejam 
vend‡veis. Mas vir‡ o tempo em que as pessoas ver‹o que 
eles valem mais que o pre•o das tintasÓ.
Van Gogh, a tragŽdia e a cor. Dispon’vel em: <www.naturale.med.br/
artes/4_Van_Gogh.pdf>. Acesso em: 21 fev. 2015.
A mercantilização da cultura impulsionou o mercado de ar-
tes nos grandes centros urbanos. Hoje, o quadro Jardim das 
Flores, de Van Gogh, é avaliado em aproximadamente 84 mi-
lhões de dólares. Supondo que há 61 anos essa obra custasse 
84 dólares e que sua valorização até 2013 ocorra segundo 
uma PG, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o 
valor dessa obra em 2033, considerando que sua valorização 
continue conforme a mesma PG. 
a) 1,68 · 109 dólares.
b) 8,40 · 109 dólares.
c) 84,00 · 107 dólares.
d) 168,00 · 106 dólares.
e) 420,00 · 107 dólares.
8 (Vunesp) Sejam a, b e c três números reais estritamente po-
sitivos e tais que a , b 1 c. Se a, b e c formam, nessa ordem, 
uma progressão geométrica de razão q, prove que:
a) q2 1 q 2 1 . 0;
b) q . 
1 5
2
2 1
.
9 Seja S 5 
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
…
2 3 4 5 6
2 1 2 1 2 1 
Considerando as aproximações log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, o 
valor de log S é um número pertencente ao intervalo:
a) ] 2∞, 22]. 
b) ] 22, 21].
c) ] 21,0].
d) ]0,1]. 
e) ]1, 1∞[.
10 Demonstre que, numa PG finita, q 5 
S a
S a
1
n
2
2
, sendo S a soma 
dos termos dessa PG e S Þ a
n
.
11 Quando se compra um carro na concessionária, é muito co-
mum o vendedor usar um programa de computador que cal-
cula o valor das prestações de um financiamento solicitado pelo 
cliente. Em geral, o vendedor procura nesse programa o fator 
adequado ao prazo pedido pelo cliente (12 meses, 24 meses, 
etc.) e multiplica o fator pelo preço a ser financiado (preço do 
veículo à vista menos a entrada), obtendo o valor da parcela. 
Esse procedimento ocorre porque, provavelmente, o vendedor 
desconhece o método de cálculo do valor da parcela e também 
porque o processo fica muito mais rápido, não irritando o cliente.
Visto que o fator f é tal que Vf 5 P, em que V é o valor a ser 
financiado e P é o valor de cada parcela, obtenha o valor de f 
em função da taxa de juros i e do prazo n de financiamento.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
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1
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C-5
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C-1
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38 Progressões e matrizes
CAPÍTULO
Objetivos:
c Conceituar matriz e 
sua lei de formação.
c Aplicar o conceito de 
igualdade de matrizes 
em exercícios.
c Identificar e 
escrever uma matriz 
transposta, uma matriz 
simétrica, uma matriz 
antissimétrica e uma 
matriz inversa de uma 
matriz dada.
c Interpretar as 
propriedades das 
operações com 
matrizes.
c Resolver equações e 
sistemas de equações 
matriciais.
2 Matrizes
Historicamente, a representação de conjuntos de números em forma de matrizes aparece no 
século XIX, embora haja indícios de que, por volta de 2500 a.C., os chineses já resolvessem alguns 
tipos de problemas com cálculos efetuados sobre uma tabela.
As matrizes não se limitam apenas a meras representações de conjuntos numéricos, mas torna-
ram-se importante ferramenta na resolução de problemas no campo da Matemática denominado 
álgebra linear.
Em uma editora, a venda de livros de Matemática, Física e Química, no primeiro trimestre de 
um ano, pode ser expressa pela tabela a seguir.
Janeiro Fevereiro Março
Matemática 20 000 32 000 45 000
Física 15 000 18 000 25 000
Química 16 000 17 000 23 000
Se quisermos saber:
 quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro, basta olharmos o número que está na 
primeira linha e na segunda coluna;
 quantos livros de Física foram vendidos em janeiro, basta olharmos o número que está na segunda 
linha e na primeira coluna;
 quantos livros de Química foram vendidos em março, basta olharmos o número que está na ter-
ceira linha e na terceira coluna.
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-
-se matriz 3 3 3 (lê-se “três por três”) e podemos representá-la por:












20000 32000 45000
15000 18000 25000
16000 17000 23000
ou ou










20000 32000 45000
15000 18000 25000
16000 17000 23000
20000 32000 45000
15000 18000 25000
16000 17000 23000
Neste capítulo, estudaremos as matrizes e suas operações básicas, aprendendo a utilizá-las como 
instrumento. É muito importante que se domine um instrumento matemático antes de poder utilizá-
-lo como ferramenta nas diversas aplicações possíveis.
 deFINIção
Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1.
Denomina-se matriz m 3 n (lê-se “m por n”) uma tabela retangular formada por m ? n 
números reais, dispostos em m linhas e n colunas.
Dizemos que a matriz é do tipo m 3 n ou de ordem m 3 n.
No Brasil, o mais comum é usar 
“tipo m 3 n”.
para
reFletIr
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M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
39Progressões e matrizes
Exemplos:
1o) 








2 3
5 1
 é uma matriz do tipo 2 3 2 (dois por dois).
2o) 
2










1
2
5 1
2 3 0
 é uma matriz do tipo 2 3 3 (dois por três).
3o) Quando m 5 1, a matriz é chamada matriz linha. Por exemplo, (1 3 22) é uma matriz 
linha do tipo 1 3 3.
4o) Quando n 5 1, a matriz é chamada matriz coluna. 
Por exemplo, 
2












5
2
1
0
 é uma matriz coluna do tipo 4 3 1.
Quando tivermos matrizes linha ou matrizes coluna, também poderemos chamá-las de vetores. 
Embora esta não seja uma denominação comum no Ensino Médio, é largamente utilizada no Ensino 
Superior, principalmente em computação e álgebra linear. É muito comum uma matriz linha como 
[2 0 5] ser escrita como (2, 0, 5) quando se trabalha com vetores.
 represeNtação geNÉrIca de uma matrIz
Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou termos da matriz.
Analisemos, por exemplo, a seguinte matriz:
2
2
2










3 2 5 5
5 4 10 0
6 2 1 2
Nela, podemos observar que:
 o elemento 3 está na 1a linha e na 1a coluna; indica-se: a
11
 (lê-se “a um um”) 5 3;
 o elemento 25 está na 2a linha e na 1a coluna; indica-se: a
21
 (lê-se “a dois um”) 5 25;
 o elemento 6 está na 3a linha e na 1a coluna; indica-se: a
31
 (lê-se “a três um”) 5 6;
 o elemento 2 está na 1a linha e na 2a coluna; indica-se: a
12
 (lê-se “a um dois”) 5 2;
 o elemento 2 está na 3a linha e na 4a coluna; indica-se: a
34
 (lê-se “a três quatro”) 5 2.
Assim:
 para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica 
em que linha o elemento se encontra, e o segundo, em que coluna; por exemplo, a
23
 é o elemento 
que está na 2a linha e na 3a coluna;
 o elemento genérico de uma matriz A será indicado por a
ij
, em que i representa a linha e j repre-
senta a coluna nas quais o elemento se encontra;
 a matriz A, do tipo m 3 n, será escrita, genericamente, do seguinte modo:
: : : :
…
…
…
…


















a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
ou ou
: : : :
…
…
…
…
















a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
: : : :
…
…
…
…
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
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40 Progressões e matrizes
para coNstruIr
eXercÍcIos resolVIdos
A lista ordenada (a
i1
, a
i2
, …, a
in
) chama-se a i-ésima linha ou o i-ésimo vetor linha da matriz, 
enquanto (a
1j
, a
2j
, …, a
mj
), a j-ésima coluna ou o j-ésimo vetor coluna da matriz.
De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na forma:
A 5 (a
ij
)
m 3 n 
, com 1 < i < m, 1 < j < n e i, j [ N.
Lê-se matriz A, dos elementos a
ij
, do tipo m 3 n.
Podemos também escrever: 
A 5 [a
ij
]
m 3 n
 ou |a
ij
|
m 3 n
.
para
reFletIr
1 Escreva a matriz A 5 (a
ij
)
3 3 2
 tal que:
a
ij
 5 3i 2 2j 1 4.
resolução:
Pelos dados do problema, a matriz deve ter 3 linhas e 2 co-
lunas.
A 5 


































a a
a a
a a
11
a a
11
a a
12
21
a a
21
a a
22
31
a a
31
a a
32
a
ij
 5 3i 2 2j 1 4 é a “lei de formação” da matriz. Cada termo 
da matriz é definido substituindo-se i e j pelos valores corres-
pondentes.
a
11
 5 3 ? 1 2 2 ? 1 1 4 5 5
a
12
 5 3 ? 1 2 2 ? 2 1 4 5 3
a
21
 5 3 ? 2 2 2 ? 1 1 4 5 8
a
22
 5 3 ? 2 2 2 ? 2 1 4 5 6
a
31
 5 3 ? 3 2 2 ? 1 1 4 5 11
a
32
 5 3 ? 3 2 2 ? 2 1 4 5 9
Portanto, a matriz pedida é A 5 
5 3
8 6
11 9

























 .
2 Escreva a matriz X 5 (a
ij
), com 1 < i < 3 e 1 < j < 3, tal que: 









±
a 1, para i j
a 0, para i j
ija 1ija 1
ija 0ija 0
5 5a 15 5a 1, p5 5ar5 5a i5 5
a 05a 0
resolução:
A matriz deve ter 3 linhas e 3 colunas tal que:
a
11
 5 a
22
 5 a
33
 5 1
a
12
 5 a
13
 5 a
21
 5 a
23
 5 a
31
 5 a
32
 5 0
Assim, X 5 
1 0 0
0 1 0
0 0 1



























 .
1 Escreva as matrizes correspondentes às tabelas a seguir.
a) Tabela de notas de três alunos no primeiro bimestre:
Matemática Física Química Biologia
Ana 6 4 5 8
Ant™nio 5 7 5 5
Beatriz 5 6 7 4










6 4 5 8
5 7 5 5
5 6 7 4
b) Tabela que mostra, em porcentagem, a localização da po-
pulação brasileira de 1940 a 1990:
População urbana População rural
1940 31 69
1950 36 64
1960 45 55
1970 56 44
1980 64 36
1990 72 28


















31 69
36 64
45 55
56 44
64 36
72 28
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 40 5/20/15 8:24 AM
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
41Progressões e matrizes
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 5 Para aprimorar: 1
2 Observe a matriz seguinte e responda:
10 0 1
2 3
1
5
1 6 5
2












a) De que tipo é a matriz dada?
3 3 3
b) Quais são os números da 1a linha?
10, 0 e 1
c) E os da 3a coluna?
1, 
1
5
 e 5
d) Qual é o número que está na 2a linha e na 2a coluna?
23
e)E na 3a linha e na 1a coluna?
1
f ) E na 1a linha e na 3a coluna?
1
3 (PUC-RS) Num jogo, foram sorteados 6 números para com-
por uma matriz M 5 (m
ij
) de ordem 2 3 3. Após o sorteio, 
notou-se que esses números obedeceram à regra m
ij 
5 4i 2 j. 
Assim, a matriz M é igual a: c
a) 
1 2 3
5 6 7






b) 
1 2 3
4 5 6






c) 
3 2 1
7 6 5






d) 
3 2
7 6
11 10










e) 
3 7
2 6
1 5










Temos: 




















5 5
5
? 2 ? 2 ? 2
? 2 ? 2 ? 2
5
5
M
m m m
m m m
4 1 1 4 1 2 4 1 3
4 2 1 4 2 2 4 2 3
3 2 1
7 6 5
11 12 13
21 22 23
En
em
C-5
H-2
1
Dependendo de certas características, algumas matrizes recebem nomes especiais, como a ma-
triz linha e a matriz coluna, já vistas.
A seguir, veremos mais algumas dessas matrizes.
 matrIz Quadrada
Consideremos uma matriz m 3 n.
Quando m 5 n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a matriz é qua-
drada do tipo n 3 n ou simplesmente de ordem n.
Exemplos:
1o) 








3 5
2 6
 é uma matriz quadrada de ordem 2 (m 5 n 5 2).
2o) 2 2
2












5 3 10
1 4 6
2 0
1
2
 é uma matriz quadrada de ordem 3 (m 5 n 5 3).
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a
11
, a
22
, a
33
, …, a
nn
 formam a diagonal prin-
cipal da matriz (ou seja, são os elementos a
ij
, com i 5 j).
2






3 2
1 6
2
2










1 3 10
3 0 8
5 1 6
diagonal principal diagonal principal
Se i 5 j, então a
ij
 está na diagonal 
principal.
Se i . j, então a
ij
 está abaixo da 
diagonal principal.
Se i , j, então a
ij
 está acima da 
diagonal principal.
para
reFletIr
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 41 5/20/15 8:24 AM
42 Progressões e matrizes
A outra diagonal da matriz quadrada denomina-se diagonal secundária (são os elementos a
ij
, 
com i 1 j 5 n 1 1).
2






3 2
1 6
2
2










1 3 10
3 0 8
5 1 6
diagonal secund‡ria diagonal secund‡ria
 matrIz trIaNgular
Vamos considerar uma matriz quadrada de ordem n.
Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos que a 
matriz é triangular.
Exemplos:
2 02 02 0 0
8 38 3 0
7 9 552


























matriz triangular inferior


















































1 5 7 9
0 30 3 8
2
3
0 0 0 10 1
0 0 0 40 0 4
7 927 9
2
0 120 1
matriz triangular superior






























3 03 0
2 5
matriz triangular inferior
Em uma matriz triangular, a
ij
 5 0 para i . j ou a
ij
 5 0 para i , j.
 matrIz dIagoNal
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal 
são nulos é chamada de matriz diagonal.
Exemplos:
2










2 0 0
0 3 0
0 0 5
2












1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
2 0
0
1
3
2








Em uma matriz diagonal, a
ij
 5 0 para i Þ j.
 matrIz IdeNtIdade
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 
e os outros elementos são iguais a zero é chamada de matriz identidade e seu símbolo é I
n
.
Exemplos:
I
3
 5 










1 0 0
0 1 0
0 0 1
 I
2
 5 






1 0
0 1
I
5
 5 
















1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
 I
1
 5 [1]
Em uma matriz identidade, temos: 
5 5
5



a 1, para i j
a 0, para i j
ij
ij ±
Toda matriz triangular é quadrada, 
mas nem toda matriz quadrada é 
triangular.
para
reFletIr
Qual é a diferença entre “acima 
ou abaixo” e “acima e abaixo” da 
diagonal principal?
para
reFletIr
Uma matriz identidade é matriz 
quadrada, matriz triangular e ma-
triz diagonal.
para
reFletIr
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 42 5/20/15 8:24 AM
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
43Progressões e matrizes
 matrIz Nula
No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero denomina-se ma-
triz nula. Vamos simbolizar a matriz nula do tipo m 3 n por 0
m 3 n
 e a matriz nula de ordem n por 0
n
.
São exemplos de matriz nula:
0
3 3 2 
5 








0 0
0 0
0 0
 0
2
 5 






0 0
0 0
 
0
3
 5 








0 0 0
0 0 0
0 0 0
 0
1 3 4
 5 [0 0 0 0]
Na matriz nula do tipo m 3 n, temos a
ij
 5 0, ∀ i, j, com 1 < i < m e 1 < j < n.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 6 a 10
para coNstruIr
4 Escreva a matriz quadrada de ordem 2, cujo elemento gené-
rico é a
ij
 5 4i 2 2j 1 3.
a
11
 5 4 ? 1 2 2 ? 1 1 3 5 4 2 2 1 3 5 5
a
12
 5 4 ? 1 2 2 ? 2 1 3 5 4 2 4 1 3 5 3
a
21
 5 4 ? 2 2 2 ? 1 1 3 5 8 2 2 1 3 5 9
a
22
 5 4 ? 2 2 2 ? 2 1 3 5 8 2 4 1 3 5 7
A matriz pedida Ž 






5 3
9 7
.
5 Escreva a matriz triangular de ordem 4, em que:
a 0, para i j
a (i j) , para i j
a 2, para i j
ij
ij
2
ij
5 .
5 1 5
52 ,




a
11
 5 (1 1 1)2 5 4
a
12
 5 22
a
13
 5 22
a
14
 5 22
a
21
 5 0
a
22
 5 (2 1 2)2 5 16
a
23
 5 22
a
24
 5 22
a
31
 5 0
a
32
 5 0
a
33
 5 (3 1 3)2 5 36
a
34
 5 22
a
41
 5 0
a
42
 5 0
a
43
 5 0 
a
44
 5 (4 1 4)2 5 64
A matriz pedida Ž 
2 2 2
2 2
2












4 2 2 2
0 16 2 2
0 0 36 2
0 0 0 64
.
6 Dada a matriz quadrada 
2 6
1
3
1
2
2








, seja x o produto dos 
elementos da diagonal principal e seja y o produto dos ele-
mentos da diagonal secundária. Calcule x 2 y.
x 5 2(21) 5 22
y 5 
1
3 
( )26 5 22
x 2 y 5 22 2 (22) 5 0
7 Escreva a matriz triangular de ordem 3, na qual:
a 0, para i j
a i , para i j
ij
ij
3
5 .
5 <



a
11
 5 13 5 1
a
12
 5 13 5 1
a
13
 5 13 5 1
a
21
 5 0 
a
22
 5 23 5 8 
a
23
 5 23 5 8
a
31
 5 0 
a
32
 5 0 
a
33
 5 33 5 27
A matriz pedida Ž 










1 1 1
0 8 8
0 0 27
.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 43 5/20/15 8:24 AM
44 Progressões e matrizes
 Igualdade de matrIzes
Vamos considerar duas matrizes A e B, de mesmo tipo m 3 n, no caso 3 3 2:
A 5 










a a
a a
a a
11 12
21 22
31 32
 B 5 










b b
b b
b b
11 12
21 22
31 32
Em matrizes de mesmo tipo, os elementos que ocupam a mesma posição são denominados 
elementos correspondentes.
Então, nas matrizes A e B consideradas, são elementos correspondentes:
a
11
 e b
11
 a
12
 e b
12
a
21
 e b
21
 a
22
 e b
22
a
31
 e b
31
 a
32
 e b
32
Definimos:
Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm o mesmo tipo e seus elementos cor-
respondentes são iguais.
Dadas as matrizes A 5 (a
ij
)
m 3 n
 e B 5 (b
ij
)
m 3 n
, temos simbolicamente:
A 5 B ⇔ a
ij
 5 b
ij
, com 1 < i < m e 1 < j < n
Exemplos:
1o) 






3 1
5 6
 5 






;6 2 2 1
5 1 4 2
2
? 1
 → as matrizes são quadradas de ordem 2 e os elementos 
correspondentes são iguais.
2o) 
?
2 1
1 2
;









3 4 8 4
1 1 3 1
5 2 2 3
 5 
2










12 2
0 4
7 1
 → as matrizes são do mesmo tipo 3 3 2 e os elementos 
correspondentes são iguais.
3o) Se A 5 
2








1 3 2
1 0 4
 e B 5 2










1 3
1 0
2 4
, então A Þ B, pois A e B não são do mesmo 
tipo.
4o) Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes 








3x 2y 2
2 3x 3y
1
2
 e 






7 2
2 32
.
As duas matrizes têm a mesma ordem (2).
Para que as matrizes sejam iguais, devemos ter ainda:
3x 2y 7
3x 3y 3
1 5
2 52{
Resolvendo esse sistema de equações do 1o grau, temos:
⇒
3x 2y 7
3x 3y 3
5y 10 y 2
1 5
2 1 5
5 5
 
3x 1 2y 5 7 ⇒ 3x 1 2 ? 2 5 7 ⇒ 3x 1 4 5 7 ⇒ 3x 5 3⇒ x 5 1
Portanto, x 5 1 e y 5 2.
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M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
45Progress›es e matrizes
 adIção de matrIzes
Consideremos duas matrizes A e B do tipo 2 3 3:
A 5 
2
2






3 5 2
2 8 6
 B 5 
2 2



1 4 1
7 0 2
Vamos determinar uma matriz C tal que c
ij
 5 a
ij
 1 b
ij
:
c
11
 5 a
11
 1 b
11
 5 3 1 1 5 4
c
12
 5 a
12
 1 b
12
 5 5 1 (24) 5 1
c
13
 5 a
13
 1 b
13
 5 (22) 1 (21) 5 23
c
21
 5 a
21
 1 b
21
 5 2 1 7 5 9
c
22
 5 a
22
 1 b
22
 5 8 1 0 5 8
c
23
 5 a
23
 1 b
23
 5 (26) 1 2 5 24
Ou seja:
C 5 A 1 B
C 5 
2
2






3 5 2
2 8 6
 1 
1 4 1
7 0 2
2 2


 
C 5 
1 1 2 2 1 2
1 1 2 1






3 1 5 ( 4) ( 2) ( 1)
2 7 8 0 ( 6) 2
C 5 
2
2






4 1 3
9 8 4
A matriz C assim obtida denomina-se soma da matriz A com a matriz B ou soma das ma-
trizes A e B.
Assim:
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m 3 n, denomina-se soma da matriz A com 
a matriz B, que representamos por A 1 B, a matriz C do tipo m 3 n na qual cada elemento é 
obtido adicionando os elementos correspondentes de A e B.
Se A 5 (a
ij
) e B 5 (b
ij
) são matrizes do tipo m 3 n, a soma A 1 B é a matriz C 5 (c
ij
) do 
tipo m 3 n tal que:
c
ij
 5 a
ij
 1 b
ij
, com 1 < i < m e 1 < j < n
propriedades da adição de matrizes
Já foram estudadas no Ensino Fundamental as propriedades da adição de números reais.
Com a definição dada para adição de matrizes, é possível verificar que as seguintes propriedades 
são válidas para a adição de matrizes.
Números reais Matrizes m 3 n
Comutativa a 1 b 5 b 1 a A 1 B 5 B 1 A
Associativa (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c) (A 1 B) 1 C 5 A 1 (B 1 C)
Elemento
neutro
a 1 0 5 0 1 a 5 a A 1 0 5 0 1 A 5 A
Elemento
oposto
a 1 (2a) 5 (2a) 1 a 5 0 A 1 (2A) 5 (2A) 1 A 5 0
Cancelamento a 5 b ⇔ a 1 c 5 b 1 c A 5 B ⇔ A 1 C 5 B 1 C
Se A 5 (a
ij
)
m 3 n
, 
ent‹o 2A 5 (2a
ij
)
m 3 n
.
para
reFletIr
Escolha matrizes A, B e C de mes-
mo tipo e verifique as proprieda-
des da adi•‹o indicadas.
para
reFletIr
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 45 5/20/15 8:24 AM
46 Progressões e matrizes
para coNstruIr
matriz oposta de uma matriz a
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A (representa-se 2A) a matriz que, somada com 
A, dá como resultado uma matriz nula.
Exemplos:
1o) Se A 5 






3 6
2 12
, então a matriz oposta de A é 






3 6
2 1
2 2
2
, pois:
124 34 1 24 34 124 34


















3 6
2 1
3 6
2 1
0 0
0 0
A A
2
1
2 2
2
5
2
 
2o) Se B 5 








3 8 0
6 4 1
2
2
, então a matriz oposta de B é 








3 8 0
6 4 1
2
2 2
, pois: 
1 244 344 1 244 344 1 24 34
























3 8 0
6 4 1
3 8 0
6 4 1
0 0 0
0 0 0
B –B
2
2
1
2
2 2
5 
 suBtração de matrIzes
Sendo A e B duas matrizes do tipo m 3 n, denomina-se diferença entre A e B (representada 
por A 2 B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B.
A 2 B 5 A 1 (2B)
Por exemplo:






























3 2 5
10 0 1
2 3 6
4 5 1
3 2 5
10 0 1
2 3 6
4 5 1
1 1 1
14 5 2
2
2
2
2
2
5
2
2
1
2 2
2 2
5
5
2
2 2
 
Podemos também definir A 2 B assim:
Dadas as matrizes A 5 (a
ij
)
m 3 n
 e B 5 (b
ij
)
m 3 n 
, A 2 B 5 (c
ij
)
m 3 n
 
tal que c
ij
 5 a
ij
 2 b
ij
, para 1 < i < m e 1 < j < n.
matriz nula
matriz nula
Os elementos correspondentes 
de A e 2A são números opostos.
Obtemos 2A mudando os sinais 
de todos os elementos de A.
para
reFletIr
8 Determine m e n para que se tenha 
m n m
0 n
1



 5 I
2
.
1





m n m
0 n
 5 






1 0
0 1
 ⇒ m 5 0 e n 5 1
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M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
47Progressões e matrizes
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11 a 21
 multIplIcação de um NÚmero real por uma 
matrIz
Dada a matriz A 5 
2
2






5 8 1
4 3 6
, vamos determinar A 1 A.
A 1 A 5 
2
2






5 8 1
4 3 6
1 
2
2






5 8 1
4 3 6
5 
2
2




10 16 2
8 6 12
 
Considerando que A 1 A 5 2A, temos:
2A 5 2
2
2






5 8 1
4 3 6
 5 
? ? ? 2
? 2 ? ?






2 5 2 8 2 ( 1)
2 ( 4) 2 3 2 6
 5 10 16 2
8 6 12
2
2




Observamos, então, que o produto de um número real pela matriz A é uma matriz que se 
obtém multiplicando-se o número real pelos elementos de A.
Então:
Se A é uma matriz m 3 n, de elementos a
ij
, e a é um número real, então aA é uma matriz 
m 3 n cujos elementos são b
ij
 5 a ? a
ij
.
9 Dadas as seguintes matrizes quadradas de ordem 2, A e B, 
calcule A 1 B e B 1 A.
A com a
ij
 5 



i 2j, para i j
0, para i j
1 >
,
B com b
ij
 5 



i , para i j
0, para i j
3
>
,
 
a
11
 5 1 1 2 5 3 a
12
 5 0
a
21
 5 2 1 2 5 4 a
22
 5 2 1 4 5 6
Portanto, A 5 






3 0
4 6
.
b
11
 5 13 5 1 b
12
 5 0
b
21
 5 23 5 8 b
22
 5 23 5 8
Portanto, B 5 






1 0
8 8
.
A 1 B 5 1 5


















3 0
4 6
1 0
8 8
4 0
12 14
B 1 A 5 1 5


















1 0
8 8
3 0
4 6
4 0
12 14
 
10 Seja A 5 (a
ij
) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que a
ij
 5 i 1 j. 
Determine x, y, z e t para que se tenha 
x y x z
3x t t z
1 1
2 1





 5 A.
A 5 
1 1
1 1
5 5
1 1
2 1














1 1 1 2
2 1 2 2
2 3
3 4
x y x z
3x t t z
 
1 5
1 5 5 2
2 5 5 2
1 5
⇒
⇒





x y 2
x z 3 z 3 x
3x t 3 t 3x 3
t z 4
t 1 z 5 (3x 2 3) 1 (3 2 x) 5 4 ⇒ 2x 5 4 ⇒ x 5 2
z 5 3 2 x ⇒ z 5 1
t 5 3x 2 3 ⇒ t 5 3
x 1 y 5 2 ⇒ y 5 0
11 Seja A 5 (a
ij
) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que a
ij
 5 2i 2 
2 j 1 3.
Se X 1 A 5 
3 2
5 10
2




 , determine a matriz X.
a
11
 5 2 ? 1 2 1 1 3 5 4
a
12
 5 2 ? 1 2 2 1 3 5 3
a
21
 5 2 ? 2 2 1 1 3 5 6
a
22
 5 2 ? 2 2 2 1 3 5 5











 ⇒

















1 5
2
5
2
2 5
2 2
2
X
4 3
6 5
3 2
5 10
X
3 2
5 10
4 3
6 5
1 5
1 5
Logo, a matriz procurada é 





5
2 2
2
X
1 5
1 5
.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 47 5/20/15 8:24 AM
48 Progressões e matrizes
Exemplos:
1o) Se A 5 
2







5 4
2 10
, então:
 3A 5 
? ? 2
? ?
5
2















3 5 3 ( 4)
3 2 3 10
15 12
6 30
 
2o) Se A 5 
2
2






1 2 0
3 6 5
, então:
 2
1
2
A 5 
2 ? 2 ? 2 2 ?
2 ? 2 2 ? 2 ?










1
2
1 1
2
( 2) 1
2
0
1
2
( 3) 1
2
6 1
2
5
 5 
2
2 2










1
2
1 0
3
2
3 5
2
propriedades
Sendo a e b números reais e A e B matrizes de mesmo tipo, demonstra-se que:
(a 1 b)A 5 a ? A 1 b ? A
a(A 1 B) 5 a ? A 1 a ? B
a(b ? A) 5 (a ? b)A
1 ? A 5 A
 matrIz traNsposta de uma matrIz dada
Seja A uma matriz m 3 n.
Denomina-se matriz transposta de A (indica-se por At) a matriz n 3 m cujas linhas são, or-
denadamente, as colunas de A.
Exemplos:
1o) A 5 
2





6 2
4 5
 ⇒ At 5 
2






6 4
2 5
2o) A 5 
2
2






3 10 1
0 2 6
 ⇒ At 5 2
2










3 0
10 2
1 6
 
3o) A 5 
2










4 2 1
0 5 8
3 2 10
 ⇒ At 5 
2









4 0 3
2 5 2
1 8 10
 
Notamos que, se A 5 (a
ij
) é do tipo m 3 n, então At 5 (b
ji
) é do tipo n 3 m e b
ji
 5 a
ij
.
propriedades da matriz transposta
Veja as propriedades da matriz transposta:
(At)t 5 A
(aA)t 5 aAt
(A 1 B)t 5 At 1 Bt
Crie exemplos para as matrizes A e B e constate essas propriedades com elas.
Qual é o significado da palavra or-
denadamente nessa definição?
para
reFletIr
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 48 5/20/15 8:24AM
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
49Progress›es e matrizes
matriz simétrica
Observe a matriz A seguinte e sua transposta At:
A 5 
2
2 32 3 5
3 43 4 8
5 85 85 8 9



























 A
t 5 
2
2 32 3 5
3 43 4 8
5 85 85 8 9



























 
Comparando, vemos que A 5 At. Quando isso acontece, dizemos que A é matriz simétrica.
Dada uma matriz quadrada A 5 (a
ij
)
n
, dizemos que A é matriz simétrica se, e somente se, 
a
ij
 5 a
ji 
, para todo 1 < i < n e 1 < j < n.
Observando A e At acima, note que os elementos da matriz simétrica são simétricos em relação 
à diagonal principal.
matriz antissimétrica
Observe as matrizes quadradas:
A 5 
2
2
0 40 4 5
4 04 0 8
5 85 85 825 8 0



























 e A
t 5 2
2
0 40 420 4 5
4 04 0 8
5 85 85 8 0



























 
Comparando, vemos que A 5 2At. Quando isso acontece, dizemos que A é matriz antissi-
métrica. Note que cada elemento a
ij
 é o oposto de a
ji
. 
Assim, definimos:
Dada a matriz quadrada A 5 (a
ij
)
n
, dizemos que A é matriz antissimétrica se, e somente se, 
a
ij
 5 2a
ji
, para todo 1 < i < n e 1 < j < n.
Na matriz antissimŽtrica, a dia-
gonal principal tem todos os ele-
mentos nulos.
para
reFletIr
Por que a matriz simŽtrica deve 
ser quadrada?
para
reFletIr
para coNstruIr
12 A e B s‹o duas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elemen-
tos s‹o dados por b
ij
 5 (a
ij
)2 e a
ij
 5 3i 2 2j. Calcule A 2 B.
a
11
 5 3 2 2 5 1 a
12
 5 3 2 4 5 21
a
21
 5 6 2 2 5 4 a
22
 5 6 2 4 5 2
Portanto, A 5 
2





1 1
4 2
.
b
11
 5 12 5 1 b
12
 5 (21)2 5 1
b
21
 5 42 5 16 b
22
 5 22 5 4
Portanto, B 5 






1 1
16 4
.
A 2 B 5 
2





1 1
4 2
 2 






1 1
16 4
 5 
2
2 2






0 2
12 2
 
13 Sendo A 5 
1 2
3 4




 e B 5 
2 0
1 2




, mostre que:
a) (At)t 5 A;
At 5 




1 3
2 4
 ⇒ (At)t 5 




1 2
3 4
 5 A
b) (A 1 B)t 5 At 1 Bt;
• A 1 B 5 




3 2
4 6
 ⇒ (A 1 B)t 5 




3 4
2 6
 
• At 1 Bt 5 




1 3
2 4
 1 




2 1
0 2
 5 




3 4
2 6
 
Logo, (A 1 B)t 5 At 1 Bt.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 49 5/20/15 8:24 AM
50 Progress›es e matrizes
 multIplIcação de matrIzes
A multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples; não basta multiplicar os elemen-
tos correspondentes.
Vamos introduzi-la por meio da seguinte situação: durante a primeira fase da Copa do Mundo 
de futebol, realizada no Brasil em 2014, o grupo A era formado por quatro países: Brasil, Croácia, 
México e Camarões. Observe os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) de cada um, 
registrados em uma tabela e em uma matriz A, do tipo 4 3 3:
Vitórias Empates Derrotas
Brasil 2 1 0
Cro‡cia 1 0 2
MŽxico 2 1 0
Camar›es 0 0 3
A 5 












2 1 0
1 0 2
2 1 0
0 0 3
 
Pelo regulamento da Copa, cada resultado (vitória, empate ou derrota) tem pontuação corres-
pondente (3 pontos, 1 ponto ou 0 ponto). Veja esse fato registrado em uma tabela e em uma matriz 
B, do tipo 3 3 1.
Número de 
pontos
Vit—ria 3
Empate 1
Derrota 0
5










B
3
1
0
Terminada a primeira fase, foi verificado o total de pontos conquistados pelos países partici-
pantes. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A 
por B). Veja como é obtida a matriz da pontuação de cada país: 
Brasil: 2 ? 3 1 1 ? 1 1 0 ? 0 5 7 
Croácia: 1 ? 3 1 0 ? 1 1 2 ? 0 5 3
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 22 e 23
c) (2A)t 5 2At;
• 2A 5 




2 4
6 8
 ⇒ (2A)t 5 




2 6
4 8
 
• At 5 




1 3
2 4
 ⇒ 2At 5 




2 6
4 8
 
Portanto, (2A)t 5 2At.
d) (A 2 B)t 5 At 2 Bt.
• (A 2 B)t 5 






21 2
2 2
t
 5 






21 2
2 2
 
• At 2 Bt 5 






1 3
2 4
 2 






2 1
0 2
 5 






21 2
2 2
Logo, (A 2 B)t 5 At 2 Bt.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 50 5/20/15 8:24 AM
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
51Progressões e matrizes
eXercÍcIos resolVIdos
MŽxico: 2 ? 3 1 1 ? 1 1 0 ? 0 5 7
Camar›es: 0 ? 3 1 0 ? 1 1 3 ? 0 5 0
5












AB
7
3
7
0
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplica•‹o de matrizes. Observe a rela•‹o que 
existe entre as ordens das matrizes:
A
4 3 3
B
3 3 1
AB
4 3 1
? 5
Veja agora a defini•‹o matem‡tica da multiplica•‹o de matrizes:
Dada uma matriz A 5 (a
ij
) do tipo m 3 n e uma matriz B 5 (b
ij
) do tipo n 3 p, o produto 
da matriz A pela matriz B Ž a matriz C 5 (c
ij
) do tipo m 3 p tal que o elemento c
ij
 Ž calculado 
multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da 
coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C Ž o produto de A por B, vamos indic‡-la por AB.
Observe que s— definimos o produto AB de duas matrizes quando o nœmero de colunas de 
A for igual ao nœmero de linhas de B; alŽm disso, notamos que o produto AB possui o nœmero de 
linhas de A e o nœmero de colunas de B:
A
m 3 n
 ? B
n 3 p
 5 AB
m 3 p
3 Dados A
3 2
5 0
1 4
e B
3 1
6 2
,5 55 05 5e B5 55 5



5 5

5 5




5 5

5 5



5 5

5 5

5 5


5 5



5 5

5 5




5 5

5 5



5 5

5 5

5 5


5 5












 determine AB.
resolução:
Como A Ž uma matriz 3 3 2 e B Ž uma matriz 2 3 2, o nœmero de colunas de A Ž igual ao nœmero de linhas de B; assim, est‡ defi-
nido o produto AB, que ser‡ uma matriz 3 3 2, isto Ž:
AB
c c
c c
c c
11
c c
11
c c
12
21
c c
21
c c
22
31
c c
31
c c
32
5 5c c5 55 5






5 55 5
















5 55 5










3 2
5 0
1 4
3 1
6 2
3 3 2 6 3 1 2 2
5 3 0 6 5 1 0 2
1 3 4 6 1 1 4 2
21 7
15 5
27 9
5 55 05 5 5
? 1 ?3 3? 1 ?3 3 2 6? 1 ?2 6 ? 13 1? 13 1 2 2?2 2
? 15 3? 15 3 ? ?0 6? ?0 6 5 1? ?5 11 ?0 21 ?0 2
? 11 3? 11 3 ? ?4 6? ?4 6 1 1? ?1 11 ?4 21 ?4 2
5



5 5

5 5




5 5

5 5



5 5

5 5

5 5


5 5



5 5

5 5




5 5

5 5



5 5

5 5

5 5


5 5
































































3 3 2 2 3 2 3 3 2
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 51 5/20/15 8:24 AM
52 Progress›es e matrizes
4 Dados A 5 

















2
1 3 2
0 5 1
 e B 5 




























3 0
4 224 2
1 6
, determine o 
elemento c
21
 da matriz C 5 AB.
resolução:
}33A Ž umamatriz 2 3B Ž umamatriz 3 2 AB será uma matriz 2 3 2.
AB 5 




















c c
c c
11c c11c c12
21c c21c c22
c
21
: usa-se a 2a linha de A e a 1a coluna de B:
0 ? 3 1 5 ? 4 1 (21)1 5 19
Portanto, c
21
 5 19.
5 (FGV-SP) Seja a matriz A 5 












1 1
0 1
.
A soma dos elementos da matriz A100 Ž:
a) 102.
b) 118.
c) 150.
d) 175.
e) 300.
resolução:
A
1 1
0 1
A
1 1
0 1
1 1
0 1
1 2
0 1
A
1 2
0 1
1 1
0 1
1 3
0 1
A
1 100
0 1
2
3
100
5
5 ? 5
5 ? 5
5














5 ?5 ?






5 ?5 ?






























5 ?5 ?






5 ?5 ?








































: :
Logo, a soma de seus elementos Ž:
1 1 100 1 0 1 1 5 102
Resposta: alternativa a.
propriedades da multiplicação de matrizes
a multiplicaçãode matrizes não é comutativa
Observe os seguintes exemplos:
1o) Dadas as matrizes A e B, vamos calcular AB e BA.
A 5 






2
2 5
1 3
 B 5 






23 2
4 6
 
3
3



A é matriz 2 2
B é matriz 2 2
 ⇒ AB existe, sendo uma matriz 2 3 2
AB 5 


















2
?
2
5
2 5
1 3
3 2
4 6
14 34
15 16
 
3
3



B é matriz 2 2
A é matriz 2 2
 ⇒ BA existe, sendo uma matriz 2 3 2
BA 5 


















2
?
2
5
2 23 2
4 6
2 5
1 3
8 9
2 38
Notamos que AB Þ BA.
2o) Se A é uma matriz do tipo 2 3 3 e B uma matriz do tipo 3 3 4, podemos calcular AB, mas 
não podemos calcular BA.
 Temos, então, mais um caso em que AB Þ BA.
3o) Vejamos agora para 5
2
5











A
1 0
1 1
e B
2 0
1 2
.
 A é de ordem 2 e B é de ordem 2. Logo, podemos calcular AB e também BA.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 52 5/20/15 8:24 AM
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
53Progress›es e matrizes
AB 5 


















2
? 5
2
1 0
1 1
2 0
1 2
2 0
1 2
BA 5 

















?
2
5
2
2 0
1 2
1 0
1 1
2 0
1 2
Nesse caso, AB 5 BA. Quando isso acontece, dizemos que as matrizes A e B comutam, ou 
A comuta com B, ou A e B são comutáveis.
Concluindo:
Em um produto de duas matrizes A e B, a ordem em que os fatores aparecem é importante, 
pois a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB nem sempre é igual a BA.
Observa•‹o: 
Sempre que forem possíveis as multiplicações envolvidas, são válidas as deduções seguintes:
 A 5 B ⇒ AC 5 BC (multiplicar a mesma matriz à direita)
 A 5 B ⇒ CA 5 CB (multiplicar a mesma matriz à esquerda)
Aten•‹o: Não é válida a dedução A 5 B ⇒ AC 5 CB, pois a multiplicação de matrizes não é 
comutativa.
Na multiplicação de matrizes, não vale a propriedade do cancelamento
Dadas as matrizes A, B e C, vamos calcular AB e AC.
5 5 5
5 ? 5
5 ? 5








































A
1 2
1 2
B
3 0
4 7
C
11 2
0 6
AB
1 2
1 2
3 0
4 7
11 14
11 14
AC
1 2
1 2
11 2
0 6
11 14
11 14
Note que podemos ter AB 5 AC, com B Þ C.
Ainda que A, B e C sejam matrizes tais que AB 5 AC, não podemos garantir que B e C 
sejam iguais.
Na multiplicação de matrizes, não vale a propriedade do anulamento
Dadas as matrizes A e B, não nulas, vamos calcular AB.
A 5 




2
2
1 1
2 2
 B 5 






5 5
5 5
 
AB 5 














2
2
? 5 5
1 1
2 2
5 5
5 5
0 0
0 0
0
Notamos que AB 5 0, mas A Þ 0 e B Þ 0.
Ainda que A e B sejam matrizes tais que AB 5 0 (matriz nula), não podemos garantir que 
uma delas seja nula.
Observa•‹o: 
A definição de multiplicação de matrizes e o fato de ela não ser comutativa nos levam a analisar 
com cuidado a propriedade do elemento neutro.
Com nœmeros reais: 
a ? b 5 b ? a, ∀ a, b [ R.
Com matrizes: AB e BA podem 
ou n‹o ter resultados iguais.
para
reFletIr
Com nœmeros reais, se ab 5 
5 ac, com a Þ 0, ent‹o b 5 c.
para
reFletIr
Com nœmeros reais, ab 5 0 ⇒
⇒ a 5 0 ou b 5 0.
para
reFletIr
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 53 5/20/15 8:24 AM
54 Progressões e matrizes
Seja A uma matriz quadrada, por exemplo, de ordem 3: A 5 










2
2 2
2 1 0
3 4 2
1 2 5Veja o que acontece fazendo AI
3
 e I
3
A:
AI
3
 5 






























2
2 2
? 5
2
2 2
5
2 1 0
3 4 2
1 2 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 1 0
3 4 2
1 2 5
A
I
3
A 5 






























?
2
2 2
5
2
2 2
5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 1 0
3 4 2
1 2 5
2 1 0
3 4 2
1 2 5
A 
Agora, seja A uma matriz n‹o quadrada, por exemplo, do tipo 2 3 3: A 5 







2
5 3 1
1 0 2
.
Podemos fazer:

























↓↓
? 5
2
? 5
2
5
3 3
A I
5 3 1
1 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5 3 1
1 0 2
A
2 3 3 3
3





















↓↓
? 5 ?
2
5
2
5
3 3
I A
1 0
0 1
5 3 1
1 0 2
5 3 1
1 0 2
A
2 2 2 3
2
Podemos escrever:
 Se A Ž uma matriz quadrada de ordem n, ent‹o AI
n
 5 I
n
A 5 A.
 Se A Ž uma matriz do tipo m 3 n, com m Þ n, ent‹o AI
n
 5 I
nm
A 5 A.
as propriedades associativa e distributiva valem para a multiplicação 
de matrizes
Pode-se demonstrar que, na multiplica•‹o de matrizes, sempre que for poss’vel efetuar as mul-
tiplica•›es envolvidas, teremos:
A(BC) 5 (AB)C
(A 1 B)C 5 AC 1 BC
A(B 1 C) 5 AB 1 AC
Escolha tr•s matrizes, A, B e C, e verifique essas propriedades.
uma propriedade envolvendo transposta de matriz produto
No caso de existirem os produtos envolvidos, temos mais uma propriedade da multiplica•‹o 
de matrizes:
(AB)t 5 BtAt
Com números reais:
1 ? a 5 a ? 1 5 a, ∀ a [ R.
para
reFletIr
É preciso cuidado com a posição 
das matrizes envolvidas. Não se 
pode garantir, por exemplo, que 
A(BC) e (BA)C sejam iguais. Justi-
fique.
para
reFletIr
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 54 5/20/15 8:24 AM
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
55Progress›es e matrizes
eXercÍcIos resolVIdos
6 As matrizes A
1 2
3 0
e B
x y
3 5
5 5e B5 5


5 55 5






5 55 5






















 comutam, isto Ž, s‹o 
tais que AB 5 BA. Calcule x e y.
resolução:
AB 5 












1 2
3 0
 ? 


















x y
3 5
 5 
5 




































1 ? 1 ?
1 ? 1
5
1 11x 2 31 ?2 31 ? 1y 2 51 ?2 51 ?
3x 0 31 ?0 31 ? 3y 0
x 61 1x 61 1y 11 1y 11 1 0
3x 3y
 5
BA
x y
3 5
1 2
3 0
x 1 3y x 2 y 0
3 1 5 3 3 2 5 0
x 3y 2x
18 6
5 ?
x y
5 ? 5
? 1x 1? 1x 1 ? 1x 2? 1x 2 y 0?y 0
? 13 1? 13 1 ? ?5 3? ?5 3 3 2? ?3 21 ?5 01 ?5 0
5
5
x 31x 3


5 ?5 ?








5 ?5 ?






















































Como AB 5 BA, pela igualdade de matrizes, temos:

















1 5
1 5
5
5
x 61 5x 61 5 x 31x 3y
y 11 5y 11 50 21 50 21 5 x
3x 18
3y 6
Resolvendo o sistema:
3x 5 18 ⇒ x 5 6
3y 5 6 ⇒ y 5 2
Esses valores satisfazem tambŽm as outras duas equa•›es.
Verifique que x 5 6 e y 5 2 satis-
fazem as equa•›es y 1 10 5 2x e 
x 1 6 5 x 1 3y.
para
reFletIr
7 Dadas as matrizes A 5 


























1 0 0
0 120 1 2
2 0 1
 e B 5 


























2
3
1
, deter-
mine a matriz X na equa•‹o matricial AX 5 B.
resolução:
Pela defini•‹o de multiplica•‹o de matrizes, a matriz X deve ter:
 nœmero de linhas 5 nœmero de colunas de A;
 nœmero de colunas 5 nœmero de colunas de B.
Logo, X Ž uma matriz 3 3 1, ou seja, X 5 




























x
y
z
.
Ent‹o:









































































 ⇒





















































? 5? 5? 5



? 5? 5

? 5? 5



? 5 2 1
1
5
1 0 0
0 120 1 2
2 0 1
x
y? 5y? 5
z
2
3
1
x
y 22 1y 22 1 z
2x z
2
3
1
Pela igualdade de matrizes, temos:











2 1
1 5
x 25x 2
y 22 1y 22 1 z 35z 3
2x z 11 5z 11 5
 x 5 2
 2x 1 z 5 1 ⇒ 2(2) 1 z 5 1 ⇒ 4 1 z 5 1 ⇒ z 5 23
 2y 1 2z 5 3 ⇒ 2y 1 2(23) 5 3 ⇒ 2y 2 6 5 3 ⇒ 2y 5 
5 9 ⇒ y 5 29
Logo, a matriz procurada Ž X 5 


























2
2
2
9
3
8 Sendo A 5 












2 1
0 3
, determinea matriz X tal que AX 5 I
2
.
resolução:
X Ž uma matriz quadrada de ordem 2, ou seja, 
X 5 












a b
c d .
Ent‹o:












⋅
























⇒2 1
0 3
a b
c d
1 0
0 1
5
⇒






























2a c 2b d
0a 3c 0b 3d
1 0
0 1
1 1c 21 1b d1 1b d
1 13c1 10b1 1
5
Pela igualdade de matrizes, temos o sistema de equa•›es:

















1 5
1 5
5
5
2a c 11 5c 11 5
2b d 01 5d 01 5
3c 0
3d 1
Resolvendo-o, temos:
a 5
1
2
, b 5 2
1
6
, c 5 0 e d 5 
1
3
.
Logo, a matriz pedida Ž X 5 




































2
1
2
1
6
0
1
3
. 
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 55 5/20/15 8:24 AM
56 Progress›es e matrizes
para coNstruIr
14 Seja a equa•‹o matricial A ? B 1 X 5 Ct. Se A e B s‹o matrizes 
de tipos 3 3 4 e 4 3 2, respectivamente, ent‹o para que exis-
ta uma matriz X, solu•‹o da equa•‹o, a matriz C deve ser do 
tipo: a 
a) 2 3 3.
b) 2 3 4.
c) 3 3 2.
d) 3 3 3.
e) 3 3 4.
A
3 3 4
 ? B
4 3 2
 5 (AB)
3 3 2
Como X 5 Ct 2 (AB)
3 3 2
, então Ct é do tipo 3 3 2. Logo, C é do tipo 
2 3 3.
15 (UFG-GO) Um modelo matem‡tico usado para a amplia•‹o 
de uma imagem consiste em considerar uma transforma•‹o 
linear dada pela multiplica•‹o de uma matriz escala E
s
 por 
uma matriz coluna A composta pelas coordenadas do ponto 
P que forma a imagem que ser‡ ampliada. Considerando as 
matrizes A e E
s
 dadas por: 
A 5








x
y
 e E
s
 5 








E 0
0 E
x
y
, 
em que E
x
 e E
x
 s‹o fatores multiplicativos que indicam a mu-
dan•a da escala, ent‹o a matriz Q que indica as novas coor-
denadas do ponto P, obtidas pela multiplica•‹o das matrizes 
E
s
 e A, Ž: a
a) 
x E
y E
x
y
?
?








. 
b) 








1
1
E x
E y
x
y
. 
c) 








?
?
y E
x E
x
y
. 
d) 








?
?
x E 0
0 y E
x
y
. 
e) 








E x
y E
x
y
.
































5 ? 5 ? 5
? 1 ?
? 1 ?
5
?
?
Q E A
E 0
0 E
x
y
E x 0 y
0 x E y
x E
y Es
x
y
x
y
x
y
16 Dadas as matrizes A 5 




2 3
5 1
 e B 5 




3 1
2 1
 determine:
a) A2, em que A2 5 AA;
 












5
2 3
5 1
2 3
5 1
19 9
15 16
 
b) B2, em que B2 5 BB;
 












5
3 1
2 1
3 1
2 1
11 4
8 3
 
c) (A 1 B)(A 2 B);
 












2
5
2
5 4
7 2
1 2
3 0
7 10
1 14
d) A2 2 B2.












5
19 9
15 16
11 4
8 3
8 5
7 13
 
Observa•‹o:
S— podemos calcular A2 quando A Ž matriz quadrada.
17 (Escola Naval-RJ) Sejam 





5 2A
1
4
1
3
2
0
,
 





5 2
2
B
5
1
0
2
3
6
 e Bt a transposta de B. O produto da 
matriz A pela matriz Bt Ž: d
a) 







2
2 2
9 2 10
8 6 0
21 21 6
. 
b) 






25
4
0
6
6
0 . 
c) 








2
5
0
6
4
6
0
.
d) 




21 11
20 10
. 
e) 




2
2
1 10
2 1
.
2
? 2
2
5
5
1 2 2 1
1 1 1 1
5
2
1 1 2
4 3 0
5 1
0 2
3 6
5 0 6 1 2 12
20 0 0 4 6 0
1 11
20 10




















En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 56 5/20/15 8:24 AM
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
57Progress›es e matrizes
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 24 a 31 Para aprimorar: 2 a 6
18 (Uema) Uma empresa da constru•‹o civil faz 3 tipos de casa: tipo 1 para casal sem filhos, tipo 2 para casal com atŽ 2 filhos e tipo 3 
para casal com 3 ou mais filhos. A empresa de material de constru•‹o Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo para 
a primeira etapa da constru•‹o, conforme tabelas de material e de pre•o a seguir.
Quantidade de material fornecido pela empresa Barateiro Umbizal
Tipo da casa Ferro (feixe) Madeira (m3) Telha (milheiro) Tijolo (milheiro)
Tipo 1 3 2 2 3
Tipo 2 4 4 3 5
Tipo 3 5 5 4 6
Preço por unidade de material fornecido em reais
Feixe de ferro Madeira (m3) Telha (milheiro) Tijolo (milheiro)
500,00 600,00 400,00 300,00
Sabendo que a empresa construir‡ 2, 4 e 5 casas dos tipos 1, 2 e 3, respectivamente, o pre•o unit‡rio de cada tipo de casa e o custo 
total do material fornecido pela empresa para esta primeira etapa de constru•‹o, em reais, Ž de: c
a) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total
5 200,00 7 100,00 8 900,00 83 300,00
b) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total
4 400,00 7 100,00 9 100,00 82 700,00
c) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total
4 400,00 7 100,00 8 900,00 81 700,00
d) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total
4 400,00 7 400,00 8 900,00 82 900,00
e) Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total
4 500,00 7 100,00 8 800,00 82 400,00
Sejam 








5Q
3 2 2 3
4 4 3 5
5 5 4 6
 e 












5C
500
600
400
300
. A matriz 5
3
V ( v )ij 3 1, definida por V 5 Q ? C1,Ž dada por: 




























? 5
3 2 2 3
4 4 3 5
5 5 4 6
500
600
400
300
4 400
7 100
8 900
.
Portanto, sendo cada elemento v
i1
 da matriz V o custo unit‡rio da casa tipo i, com i 5 1, 2, 3, o custo total ser‡:
2 ? 4 400 1 4 ? 7 100 1 5 ? 8 900 5 8 800 1 28 400 1 44 500 5 81 700. 
19 Sendo A
1 0 0
0 4 0
0 0 3
e B
2 0 0
0 4 0
x 0 2
,5 2 5




















 calcule o valor de x para que A e B comutem.
5 2 5 2




















AB
2 0 0
0 16 0
3x 0 6
BA
2 0 0
0 16 0
x 0 6
 




















2 5 2
2 0 0
0 16 0
3x 0 6
2 0 0
0 16 0
x 0 6
 ⇒ 3x 5 x ⇒ x 5 0 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 57 5/20/15 8:24 AM
58 Progress›es e matrizes
eXercÍcIos resolVIdos
Todo nœmero real a diferente de 
zero possui o inverso multiplica-
tivo a21, pois aa21 5 a21a 5 1.
Dada uma matriz quadrada n 3 n, 
nem sempre existe uma matriz B, 
do tipo n 3 n, tal que AB 5 BA 5 
5 I
n
.
para
reFletIr
Verifique as multiplica•›es efe-
tuadas.
para
reFletIr
 matrIz INVersa de uma matrIz dada
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X Ž uma matriz tal que AX 5 I
n
 e XA 5 I
n
, ent‹o 
X Ž denominada matriz inversa de A e Ž indicada por A21.
Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A Ž uma matriz invert’vel ou n‹o singular.
Exemplo:
A matriz A 5




21 1
2 0
 Ž invert’vel, e sua matriz inversa Ž A21 5 











2
0
1
2
1
1
2
.
Note que: 
2
2
5
2
2
5








































↓ ↓
1 1
2 0
0
1
2
1
1
2
1 0
0 1
e
0
1
2
1
1
2
1 1
2 0
1 0
0 1
.
I2 I2
 
Observa•‹o: 
A exist•ncia ou n‹o da matriz inversa e sua determina•‹o, quando existir, ser‹o analisadas nos 
pr—ximos exerc’cios resolvidos. Optaremos pela obten•‹o da matriz inversa a partir da resolu•‹o de 
sistemas lineares, mŽtodo que se mostra n‹o muito pr‡tico com matrizes de ordens maiores do que 
2. Existem outros mŽtodos de determina•‹o da matriz inversa, usando determinantes (que ser‹o 
estudados posteriormente). Entretanto, mesmo esses outros mŽtodos n‹o s‹o pr‡ticos. A no•‹o 
te—rica da matriz inversa Ž muito mais importante que a sua determina•‹o pr‡tica. 
9 Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A 5 












5 8
2 3
.
resolução:
Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada, isto Ž, X 5 












a b
c d
 .
Pela defini•‹o, inicialmente devemos ter:



































? 5? 5? 5
5 8
2 3
a b
c d
1 0
0 1
 ⇒ 
























1 1
1 1
5
5a 8c1 18c1 15b1 15b1 18d
2a 3c1 13c1 12b1 12b1 13d
1 0
0 1
 
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
(I)
5a 8c 1
2a 3c 0
1 58c1 5
1 53c1 5{ , que resolvido nos d‡ a 5 23 e c 5 2.
(II)
5b 8d 0
2b 3d 1
1 58d1 5
1 53d1 5{ , que resolvido nos d‡ b 5 8 e d 5 25.
Da’, temos X 5 












a b
c d
 5












23 8
2 522 5
, para a qual AX 5 I
2
.
A seguir, verificamos se XA 5 I
2
:




































2
? 5? 5? 5
3 8
2 522 5
5 8
2 3
1 0
0 1
 Ent‹o, podemos dizer que 












23 8
2 522 5
 Ž a matriz inversa de 












5 8
2 3
, ou seja, A21 5 












23 8
2 522 5 .
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 58 5/20/15 8:24 AM
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
59Progressões e matrizes
10 Determine a matriz inversa de A 5 












3 2
6 4
, se existir.
resolução:
Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada, tal que X
a b
c d
.5












Pela defini•‹o, devemos ter inicialmente:




































? 5? 5? 5
3 2
6 4
a b
c d
1 0
0 1
 ⇒ 
























1 1
1 1
5
3a 2c1 12c1 16a1 16a1 1 4c
3b 2d1 12d1 16b1 16b1 1 4d
1 0
0 1
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:








(I)
3a 2c 1 ( 2)
6a 4c 0
1 52c1 5 ? 21 (? 21 (
1 54c1 5
 ⇒ 









2 2 52
1 51 5
6a6a2 26a2 22 26a2 2 4c4c 2
6a6a 4c4c1 54c1 51 54c1 50
0 2520 2 (imposs’vel)ss’vel)ss’
 








(II)
3b 2d 0
6b 4d 1
1 52d1 5
1 54d1 5
 
Se o sistema (I) Ž imposs’vel, n‹o h‡ necessidade da resolu•‹o do sistema (II) .
Podemos afirmar que a matriz A n‹o admite inversa, ou que a matriz A n‹o Ž invert’vel, ou que Ž singular.
 eQuaçÕes matrIcIaIs
Definidas as opera•›es de adi•ão, subtra•ão e multiplica•ão de matrizes e multiplica•ão de um 
nœmero real por uma matriz, j‡ é possível resolver equa•›es cujas inc—gnitas são matrizes.
Essas equa•›es são chamadas de equa•›es matriciais.
eXercÍcIos resolVIdos
11 Sendo A 5 


























1 321 3
1 5
2 0
 e B 5 


























2 21 32 21 32 2
1 521 5
2 4
, obtenha a 
matriz X tal que X 1 A 5 B.
resolução:
X 1 A 5 B ⇒ X 1 A 1 (2A) 5 B 1 (2A) ⇒
⇒ X 1 0 5 B 2 A ⇒ X 5 B 2 A
X
1 3
1 5
2 4
1 3
1 5
2 0
1 3
1 5
2 4
1 3
1 5
2 0
2 0
0 10
0 4
1 3
1 5
2 0
5
2 21 32 21 3
1 521 5 2
1 321 3
5
2 21 32 21 3
1 521 5 1
1
2
2 21 52 21 5
2
5
2
0 120 1 2
1 321 3




























































































































































Logo, a matriz pedida Ž X 5 


























22 0
0 120 10
0 4
.
Verifique, em cada passagem, 
qual foi a propriedade usada.
para
reFletIr
 
12 Resolva o sistema de equa•›es matriciais, ou seja, deter-
mine as matrizes X e Y tais que 
X Y A 3B
2X Y 3A 2B
1 5X Y1 5X Y A 31A 3
2 5Y 32 5Y 3A 22A 2








 , em que 
A
3 0
1 2
e B
1 2
0 4
.5
2
5
1 221 2























resolução:
Vamos, inicialmente, resolver o sistema:
X Y A 3B
2X Y 3A 2B
1 5X Y1 5X Y A 31A 3
2 5Y 32 5Y 3A 22A 2









⇒
1 5
2 5
5 1
X Y1 5X Y1 5A 31A 3B
2X Y 32 5Y 32 5 A 22A 2B
3X 4A5 14A5 1B X⇒B X
 
5 
14A B
3
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 59 5/20/15 8:24 AM
60 Progress›es e matrizes
X 1 Y 5 A 1 3B ⇒ 
14A B
3
 1 Y 5 A 1 3B ⇒
⇒ 4A 1 B 1 3Y 5 3A 1 9B ⇒
⇒ 3Y 5 3A 1 9B 2 4A 2 B ⇒
⇒ 3Y 5 8B 2 A ⇒
⇒Y 5 
28B A
3
Cálculo da matriz X:
X 5 
14A B
3
 5 
4
3
A 1 
1
3
B ⇒
⇒ X 5 











2
4
3
3 0
1 2
 1 












1
3
1 221 2
0 4
 5
4 0
4
3
8
3
1
3
2
3
0
4
3
13
3
2
3
4
3
4
5
2
1
2
5
2
2

































































































 
Cálculo da matriz Y:
Y 5 ⇒2 5 25 28B A
3
8
3
B5 2B5 2
1
3
A 
⇒ Y 5 2
2
5
























8
3
1 221 2
0 4
1
3
3 0
1 2
5 


































































































2
2
2
5
2
8
3
16
3
0
32
3
1 0
1
3
2
3
5
3
16
3
1
3
10
 
13 Dadas as matrizes quadradas de mesma ordem A e B, sen-
do A e B invertíveis, resolva as equações a seguir para ob-
ter a matriz X, em função de A e B ou suas inversas:
a) AX 5 B b) XA 5 B
resolução:
Precisamos isolar a matriz X. Como a multiplicação de 
matrizes não é comutativa, existe diferença em multipli-
car pela esquerda ou pela direita. No caso da equação do 
item a, precisamos multiplicar a equação por A21 pela es-
querda e, no caso da equação do item b, pela direita:
a) AX 5 B ⇒ A21AX 5 A21B ⇒ IX 5 A21B ⇒ X 5 A21B
b) XA 5 B ⇒ XAA21 5 BA21 ⇒ XI 5 BA21 ⇒ X 5 BA21
20 (Espcex-SP) Considere as matrizes 








5A
3 5
1 x
 e 








5
1
B
x y 4
y 3
.
Se x e y são valores para os quais B é a transposta da inversa da matriz A, então o valor de x 1 y é: c
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
A21 5 

















 ⇒5
3 5
1 x
a b
c d
1 0
0 1 
1 1
1 1
5⇒












3a 5c 3b 5d
a xc b xd
1 0
0 1
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas
1 5
1 5{(I) 3a 5c 1a xc 0 , que resolvido nos d‡ (5 2 3x)c 5 1 ⇒ 5 2c 15 3x
1 5
1 5{(II) 3b 5d 0b xd 1 , que resolvido nos d‡ (5 2 3x)d 5 23 ⇒ 5 22d 35 3x .
Ent‹o,
a 5 2xc ⇒ 5
2
2
a
x
5 3x
 e 
b 5 1 2 xd ⇒ ⇒5 1
2 2
b 1
3x
5 3x
5
5 3x
 
Da’, temos A21 5 


















5
2
2
2
2
2 2
a b
c d
x
3x 5
5
3x 5
1
3x 5
3
3x 5
 
B 5 (A21)
t
 ⇒ 








5
1
B
x y 4
y 3
 5 












2
2
2
2
2 2
x
3x 5
1
3x 5
5
3x 5
3
3x 5
Temos ent‹o que:
5
2
x
x
3x 5
 ⇒ x(3x 2 5) 5 x ⇒ x(3x 25) 2x 5 3x2 2 5x 5 x ⇒
⇒ 3x2 2 6x 5 0 ⇒ 3x(x 2 2) 5 0 ⇒ x 5 0 e x 5 2
1 5
2
2
1 5
2
? 2
1 5 52
1 5
2
? 2
1 52 52
y 4
1
3x 5
y 4
1
3 0 5
y 4
1
5
y
19
5
e
y 4
1
3 2 5
y 4 1 y 5
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
Contudo, com base nos c‡lculos seguintes, temos x 5 2 e y 5 25.
5
2
3
3
3x 5
 ⇒ 9x 2 15 5 3 ⇒ 9x 5 18 ⇒ x 5 2
5
2
2
y
5
3x 5
 ⇒ y 5 25
Logo, x 1 y 5 2 1 (25) 5 23
En
em
C-5
H-2
1
para coNstruIr
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 60 5/20/15 8:25 AM
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
61Progressões e matrizes
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 32 a 36 Para aprimorar: 7 e 8
21 Sabe-se que A 5 




1 2
0 1
 e B 5 




1 2
1 1
. Calcule as matrizes X e Y que verificam as condições 
{ 1 5 12 5 22X Y 3A BX Y 2A 3B




1 5 1
2 5 2
2X Y 3A B
X Y 2A 3B
3X 5 5A 2 2B ⇒ X 5 
5
3
 A 2 
2
3
 B
5
3
 A 2 
2
3
B 2 Y 5 2A 2 3B ⇒ Y 5 2
1
3
A 1 
7
3
B 
5 2 5 2 5
5 1
2 2
2 2
5
2































































X
5
3
1 2
0 1
2
3
1 2
1 1
5
3
10
3
0
5
3
2
3
4
3
2
3
2
3
5
3
10
3
0
5
3
2
3
4
3
2
3
2
3
1 2
2
3
1
 
52 1 5
5
2 2
2
1 5








































Y
1
3
1 2
0 1
7
3
1 2
1 1
1
3
2
3
0
1
3
7
3
14
3
7
3
7
3
2 4
7
3
2
 
Logo, as matrizes pedidas s‹o X 5 2








1 2
2
3
1 e Y 5 








2 4
7
3
2 .
22 (FGV-SP) Sabendo que a inversa de uma matriz A é 5
2
2
2





A
3 1
5 2
1 e que a matriz X é solução da equação matricial X ∙ A 5 B, 
em que 5  B 8 3 , podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X é: a
a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 11.
Sabendo que A ? A21 5 I com I sendo a matriz identidade de ordem 2, temos:
2 2
2
 






 
 
? 5 ? ? 5 ?
? 5 ?
5 ?
2
2
5 2 2 1
5 2
X A B X A A B A
X I B A
X 8 3
3 1
5 2
X 24 15 8 6
X 9 2
1 1
1
⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
Por conseguinte, a soma pedida Ž igual a 1 2 5( )9 2 7
23 Determine as matrizes X e Y que são as soluções do sistema 
1 5 1
2 5 2{X Y A 3BX Y 3A 2B , sendo A 5 








1
0
2
 e B 5 








4
2
0
.
1 5 1
2 5 2




X Y A 3B
X Y 3A 2B
2X 5 4A 1 B ⇒ X 5 2A 1 
1
2
B
2A 1 
1
2
 B 1 Y 5 A 1 3B ⇒ Y 5 2A 1 3B 2
1
2
 B ⇒ Y 5 2A 1 
5
2
B
5 1 5 1 5








































X 2
1
0
2
1
2
4
2
0
2
0
4
2
1
0
4
1
4
 
5
2
2
1 5
2
2
1 5
2








































Y
1
0
2
5
2
4
2
0
1
0
2
10
5
0
9
5
2
 
Logo, as matrizes pedidas s‹o X 5 








4
1
4
 e Y 5 
2








9
5
2
.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 61 5/20/15 8:25 AM
62 Progressões e matrizes
tareFa para casa
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
Veja, no Guia do Professor, as respostas da ÒTarefa para casaÓ. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
para pratIcar
1 Identifique o tipo das seguintes matrizes:
a) 






4 6
1 5
.
b) 
2












1
2
5
6
.
c) 
2
2 2
2
















1 3 3
2 6 2
5 4 1
10 1 3
0 0 1
. 
2 Identifique:
a) os elementos a
11
, a
22
 e a
13
 na matriz 
2 2




2 6 10
4 5 1
;
b) os elementos a
31
, a
23
 e a
33
 na matriz 2










1 3 0
4 10 2
6 3 2
.
3 Identifique o tipo ou a ordem das seguintes matrizes:
a) 2
2 2










2 0 1 4
10 1 6 0
7 3 0 2
b) 2




3 0 3 1
5
c) 
2 2
2 2


















2 1
4
3 2
6 4 10 0
1 1 3
6
1
3 5 6 1
4 Escreva as matrizes:
a) A 5 (a
ij
)
4 × 4
 tal que 
5 5
5 ?



a 0 para i j
a 1 para i j
ij
ij
b) Y 5 (y
ij
)
2 × 4
, com y
ij
 5 |i 2 j|
c) K 5 (k
ij
), com 1 < i < 2 e 1 < j < 2, tal que k
ij
 5 (22)i(21)j
5 (ESPM-SP) A distribuição dos n moradores de um pequeno 
prédio de apartamentos é dada pela matriz 
1










4 x 5
1 3 y
6 y x 1
,
em que cada elemento a
ij
 representa a quantidade de mora-
dores do apartamento j do andar i. 
Sabe-se que, no 1o andar, moram 3 pessoas a mais que no 2o 
e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas 
ao todo. O valor de n é: 
a) 30.
b) 31.
c) 32.
d) 33.
e) 34.
6 Qual é a ordem desta matriz quadrada? 
2
2 2
2












2 6 1 0
3 2 7 5
1 0 2 4
0 3 1 3
7 Quais são os números que formam a diagonal principal da 
matriz quadrada 2
2








2 10 1
3 5 6
8 1 4
?
8 Calcule o produto dos elementos da diagonal principal da 
matriz 
2 2






2 5
1 4
.
9 Seja a matriz quadrada 




3 6
2 10
. Calcule a diferença entre 
o produto dos elementos da diagonal principal e o produto 
dos elementos da diagonal secundária. 
10 Escreva a matriz diagonal de ordem 3, em que a
ij
 5 i 1 j para i 5 j.
11 Sabendo que 
1 1
2






a b b c
2b 2a 3d
 5 
2





9 1
6 18
, determine 
a, b, c e d.
12 Determine a, b, x e y para que as matrizes 
1 1
2 2






x y 2a b
2x y a b
 
e 
3 1
0 7
2



 sejam iguais.
13 Determine a, b e c para que se tenha 
1 2
2








a b 1 0
a 3c b
2b 0
 5 0
3 × 2
.
14 Dadas as matrizes A 5 
2
2




2 4
0 1
, B 5 
2




4 2
6 0
 e C 5 
5 
2




3 0
5 2
, calcule:
a) A 1 B; 
b) A 1 C; 
c) B 1 C;
d) A 1 B 1 C.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 62 5/20/15 8:25 AM
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
63Progress›es e matrizes
15 Seja a matriz A 5 (a
ij
) do tipo 3 × 2 dada por a
ij
 5 3i 2 j. Calcule:
a) A 1 A; b) A 1 0
3 × 2
.
16 Escreva a matriz oposta de A 5 2
2








3 0
10 5
4 2
.
17 Se A 5 (a
ij
) é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que a
ij
 5 2i 1 
1 3j 2 5, escreva a matriz oposta de A.
18 Se X
3 2 1
6 10 7
0,1
2 2
2
5





 escreva a matriz X, sabendo 
que 0 é a matriz nula do tipo 2 × 3.
19 Dada a matriz A 5 
2






4 1
3 4
, calcule:
a) A 1 A;
b) A 1 A 1 A;
c) A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A.
20 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos são 
dados por a
ij
 5 
1 5
?{0, se i ji j, se i j . Calcule:
a) A 1 A;
b) A 1 I
3
;
c) A 1 0
3
;
d) A 2 A.
21 Calcule 




3 5
2 8
 1 




1 6
4 5
.
22 Escreva a matriz transposta das seguintes matrizes:
a) A 5 (5 2 6)
b) B 5 2








2 5
1 4
0 6
c) C 5 
2
2




4 2
5 1
d) D 5 
2








1 3 2
0 0 5
1 4 3
23 Calcule x, y e z para que a matriz abaixo seja antissimétrica.
1
2










x 1 4 5
4 0 10
2y z 0
24 Determine os produtos:
a) 








6 5
1 0
2 4
1 3
?
b) ?( )








1
3
6
2 5 0
c) ?




















1 3 6
2 5 1
4 0 2
5 0
2 4
3 2
d) ?
2 2












5 1
3 2
0 5 1 6
2 1 4 3
e) 
1 6
2 1
4 3
3 5
1 2
2 ?
2












f ) 
5 4
2 1
7 4
6 2
2
?
2








25 Determine o produto AB quando:
a) A 5 




4 1
8 2
 e B 5 
3 5
12 20
2
2




b) A 5 




5 1
10 2
 e B 5 
3 2
15 10
2
2




26 Observando os resultados obtidos no exerc’cio anterior, res-
ponda: o produto de duas matrizes não nulas pode resultar 
em uma matriz nula?
27 Para a fabrica•ão de caminh›es, uma indústria montadora 
precisa de eixos e rodas para seus tr•s modelos, com a se-
guinte especifica•ão:
Modelos
Componentes
A B C
Eixos 2 3 4
Rodas 4 6 8
Para os dois primeiros meses do ano, a produ•ão da fábrica 
deverá seguir a tabela abaixo:
Meses
Modelos
Janeiro Fevereiro
A 30 20
B 25 18
C 20 15
Usando a multiplica•ão de matrizes, responda: nessas con-
di•›es, quantos eixos e quantas rodas são necessários em 
cada um dos meses para que a montadora atinja a produ•ão 
planejada?
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 63 5/20/15 8:25 AM
64 Progressões e matrizes
28 Sendo A 5 




0 2
3 1
, B 5 




1 2
3 2
 e C 5 




1 3
3 0
, 
verifique que:
a) AB 5 BA
b) A(BC) 5 (AB)C
c) A(B 1 C) 5 AB 1 AC
d) BCÞ CBe) BI
2
 5 I
2
B 5 B
29 Sendo A 5 




2 3
1 2
 e B 5 




0 3
1 0 , mostre que A
2 2 4B 2 
2 7I
2
 5 0.
30 Se A 5 




a 0
0 b
, calcule a e b para que A2 5 I
2
.
31 (UFPR) Um criador de c‹es observou que as ra•›es das mar-
cas A, B, C e D cont•m diferentes quantidades de tr•s nutrien-
tes, medidos em miligramas por quilograma, como indicado 
na primeira matriz abaixo. O criador decidiu misturar os qua-
tro tipos de ra•‹o para proporcionar um alimento adequado 
para seus c‹es. A segunda matriz abaixo d‡ os percentuais de 
cada tipo de ra•‹o nessa mistura.










nutriente 1
nutriente 2
nutriente 3
210 370 450 290
340 520 305 485
145 225 190 260
A B C D












percentuais de mistura
A
B
C
D
35%
25%
30%
10%
Quantos miligramas do nutriente 2 est‹o presentes em um 
quilograma da mistura de ra•›es? 
a) 389 mg
b) 330 mg 
c) 280 mg 
d) 210 mg 
e) 190 mg 
32 Sejam A 5 




1 2
1 4
 e B 5 
2





2 1
x y duas matrizes qua-
dradas de ordem 2. Se B Ž a inversa de A, determine o valor 
de x 1 y.
33 Determine a matriz X tal que X 2 A 1 B 5 0, sendo dados 
A 5 2








3
2
5
 e B 5 2








1
2
4
.
34 Sendo A 5 
2






2 1
3 1
, B 5 
2





1 2
1 0
 e C 5 
2





4 1
2 1
, 
determine a matriz X que verifica a igualdade 3(X 2 A) 5 2(B 1 
1 X) 1 6C. 
35 Sabendo que A 5 
2




1 0
1 1
 e B 5 
2




2 5
3 1
:
a) verifique se A21 5 




1 0
1 1
;
b) determine X tal que AX 5 B.
36 Determine a matriz X na equa•‹o AX 5 B, em que 
A 5 








1
2
3
0 1
 e B 5 
2
2




1 1
0 2
.
para aprImorar
1 (Uerj) Tr•s barracas de frutas, B
1
, B
2
 e B
3
, s‹o propriedades de 
uma mesma empresa. Suas vendas s‹o controladas por meio 
de uma matriz, na qual cada elemento b
ij
 representa a soma 
dos valores arrecadados pelas barracas B
i
 e B
j
, em milhares de 
reais, ao final de um determinado dia de feira.
B 5 










x 1,8 3,0
a y 2,0
d c z
 
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B
3
 em rela•‹o ˆ barraca B
2
; 
b) arrecadado em conjunto pelas tr•s barracas.
2 Se A 5 
2
2






mn m
n mn
2
2
, prove que A2 5 0, quaisquer que 
sejam m e n.
3 (UEL-PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secre-
ta Ž por meio de c—digos matem‡ticos, seguindo os passos:
1) Tanto o destinat‡rio quanto o remetente possuem uma 
matriz chave C.
2) O destinat‡rio recebe do remetente uma matriz P, tal que 
MC 5 P, onde M Ž a matriz mensagem a ser decodificada.
3) Cada nœmero da matriz M corresponde a uma letra do al-
fabeto: 1 5 a, 2 5 b, 3 5 c, ..., 23 5 z.
4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as le-
tras k, w e y.
5) O nœmero zero corresponde ao ponto de exclama•‹o.
6) A mensagem Ž lida, encontrando a matriz M, fazendo a 
correspond•ncia nœmero/letra e ordenando as letras por 
linhas da matriz conforme segue:
 m
11
m
12
m
13
m
21
m
22
m
23
m
31
m
32
m
33
.
 Considere as matrizes C 5 2










1 1 0
0 1 0
0 2 1
 e
P 5 
2









2 10 1
18 38 17
19 14 0
. Com base nos seus conhecimentos e 
nas informa•›es descritas, assinale a alternativa que apresen-
ta a mensagem enviada por meio da matriz M. 
a) Boasorte!
b) Boaprova!
c) Boatarde!
d) Ajudeme!
e) Socorro!
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1
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M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 
 Á
LG
E
B
R
A
65Progress›es e matrizes
4 (UFC-CE) A matriz quadrada M, de ordem n . 1, satisfaz a 
equação M2 5 M 2 I, em que I é a matriz identidade de or-
dem n . 1. Determine, em termos de M e I, a matriz M2003.
5 (UFF-RJ) Em uma plantação, as árvores são classificadas de 
acordo com seu tamanho em três classes: pequena (P), mé-
dia (M) e grande (G).
Considere, inicialmente, que havia na plantação p
0
 árvores da 
classe P, m
0
 da classe M e g
0
 da classe G.
Foram cortadas árvores para venda. A fim de manter a quanti-
dade total de árvores que havia na floresta, foram plantadas k 
mudas (pertencentes à classe P). Algum tempo após o replan-
tio, as quantidades de árvores das classes P, M e G passaram a ser, 
respectivamente, p
1
, m
1
 e g
1
, determinadas segundo a equa-
ção matricial 5 1












































p
m
g
0,8 0 0
0,2 0,9 0
0 0,1 0,95
p
m
g
k
0
0
1
1
1
0
0
0
. 
Observando-se que p
1
 1 m
1
 1 g
1
 5 p
0
 1 m
0
 1 g
0
, pode-se 
afirmar que k é igual a: 
a) 5% de g
0
b) 10% de g
0
c) 15% de g
0
d) 20% de g
0
e) 25% de g
0
6 (UFF-RJ) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança, 
modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo com o 
procedimento descrito a seguir.
A senha escolhida S
1
S
2
S
3
S
4
 deve conter quatro dígitos, repre-
sentados por S
1
, S
2
, S
3
 e S
4
. Esses dígitos são, então, transfor-
mados nos dígitos M
1
, M
2
, M
3
 e M
4
, da seguinte forma:






M
M
1
2
 5 P 






S
S
1
2
 e 






M
M
3
4
 5 P 






S
S
3
4
,
em que P é a matriz 




0 1
1 0
.
Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, 
M
1 
5 0, M
2
 5 1, M
3
 5 1 e M
4
 5 0, pode-se afirmar que a senha 
escolhida pelo usuário foi:
a) 0011.
b) 0101.
c) 1001.
d) 1010.
e) 1100.
7 (ITA-SP) Sejam A e B matrizes 2 × 2 tais que AB 5 BA e que 
satisfazem a equação matricial A2 1 2AB 2 B 5 0. Se B é in-
vertível, mostre que:
a) AB21 5 B21A;
b) A é invertível.
8 (ITA-SP) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inver-
tível e A21 5 A. Determine todas as matrizes 2 × 2 que são si-
métricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em 
termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
ANOTAÇÕES
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 65 5/20/15 8:25 AM
66 Progressões e matrizes
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.reVIsão
Veja, no Guia do Professor, as respostas da ÒRevis‹oÓ. As resolu•›es encontram-se no portal, em 
Resolu•›es e Gabaritos.
1 (Unicamp-SP) Dizemos que uma sequência de números 
reais não nulos (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
,...) é uma progressão harmôni-
ca se a sequência dos inversos 












1
a
,
1
a
,
1
a
,
1
a
, ...
1 2a1 2 3 4a3 4
 é uma 
progressão aritmética (PA).
a) Dada a progressão harmônica 




 



2
5
,
4
9
,
1
2
,... , encontre 
o seu sexto termo.
b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma progres-
são harmônica. Verifique que 5
1
b
2ac
a c1a c
.
2 (UEPG-PR) A média aritmética das notas de 20 alunos é 
58. Se essas notas formam uma progressão aritmética de 
razão 4, dê a soma da(s) alternativa(s) correta(s).
(01) A maior nota é 96.
(02) A menor nota é 20.
(04) A média aritmética das cinco maiores notas é 88.
(08) A mediana das notas é 52.
3 Numa PA crescente de seis termos, os dois primeiros ter-
mos são as raízes da equação x2 2 10x 1 24 5 0. Deter-
mine o último termo dessa PA. 
4 (Uece) Se a soma de k inteiros consecutivos é p, então o 
maior desses números em função de p e de k é:
a) 1
p
k
k 12k 1
2
. 
b) 1
p
k
k
2
. 
c) 1
p
k
k 11k 1
2
. 
d) 1
p
k
k 21k 2
2
. 
5 (Espcex-SP) Os números naturais ímpares são dispostos 
como mostra o quadro:
1a linha 1
2a linha 3 5
3a linha 7 9 11
4a linha 13 15 17 19
5a linha 21 23 25 27 29
É É É É É É É
O primeiroelemento da 43a linha, na horizontal, é: 
a) 807.
b) 1 007.
c) 1 307.
d) 1 507.
e) 1 807.
6 (ESPM-SP) Dois irmãos começaram juntos a guardar di-
nheiro para uma viagem. Um deles guardou R$ 50,00 por 
mês e o outro começou com R$ 5,00 no primeiro mês, 
depois R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro 
e assim por diante, sempre aumentando R$ 5,00 em re-
lação ao mês anterior. Ao final de um certo número de 
meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma 
quantia. Esse número de meses corresponde a:
a) pouco mais de um ano e meio.
b) pouco menos de um ano e meio.
c) pouco mais de dois anos.
d) pouco menos de um ano.
e) exatamente um ano e dois meses.
7 Determine o valor de ∑( )( )3 2( )2( )3 23 2( )( )i( )
i 15i 11
20
.
8 (PUC-RS) Observe a sequência representada no triângulo 
abaixo:
1
4 7 10
13 16 19 22 25
28 31 34 37 40 43 46
… … … … … … … … …
… … … … … … … … … … …
Na sequência, o primeiro elemento da décima linha será: 
a) 19.
b) 28.
c) 241.
d) 244.
e) 247.
9 (UEM-PR) Em relação à sequência infinita de núme-
ros inteiros, cujo n-ésimo termo é obtido pela fórmula 
5 1a 35 1a 35 1n 65 1n 65 1na 3na 3 para todo inteiro positivo n, dê a soma da(s) 
proposição(ões) correta(s).
(01) Essa sequência é uma progressão aritmética de ra-
zão 3.
(02) Todos os termos dessa sequência são múltiplos de 3.
(04) a
4
 5 18.
(08) Para todo inteiro positivo n, o termo a
n
 divide o ter-
mo a
n 1 3
.
(16) Para todo inteiro n . 2, vale a seguinte igualdade 
1 1 1 1 5
1…a a1 1a a1 1 a a1 1a a1 1 3n 15n
2
1 21 11 21 1a a1 2a a1 1a a1 11 2a a n 12n 1a an 1a a1 1a an 11 1n 1a an
2
.
10 (Uerj) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. 
De acordo com os rótulos, cada frasco contém 200 com-
reais não nulos (a
ca se a sequência dos inversos 
En
em
C-5
H-2
1
mos são as raízes da equação x
mine o último termo dessa PA. 
En
em
C-5
H-2
1
maior desses números em função de 
a) 
En
em
C-5
H-2
1
como mostra o quadro:
En
em
C-1
H-2
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 66 5/20/15 8:25 AM
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
67Progress›es e matrizes
primidos, e cada comprimido tem massa igual a 20 mg. 
Admita que um dos frascos contenha a quantidade indica-
da de comprimidos, mas que cada um desses comprimidos 
tenha 30 mg. Para identificar esse frasco, cujo rótulo está er-
rado, são utilizados os seguintes procedimentos: 
 numeram-se os frascos de 1 a 15; 
 retira-se de cada frasco a quantidade de comprimi-
dos correspondente à sua numeração;
 verifica-se, usando uma balança, que a massa total 
dos comprimidos retirados é igual a 2 540 mg. 
A numeração do frasco que contém os comprimidos 
mais pesados é:
a) 12.
b) 13.
c) 14.
d) 15.
11 (Uece) Seja a
n
 uma progressão aritmética crescente, de 
números naturais, cujo primeiro termo é igual a 4 e a ra-
zão é igual a r. Se existe um termo dessa progressão igual 
a 25, então a soma dos possíveis valores de r é:
a) 24.
b) 28.
c) 32.
d) 36.
12 (UFSC) Uma função f é definida recursivamente como 
f(n 1 1) 5 
5f (n) 21) 2
5
. Sendo f(1) 5 5, o valor de f(101) é:
a) 45.
b) 50.
c) 55.
d) 60.
e) 65.
13 (UFG-GO) Pretende-se levar água de uma represa até um 
reservatório no topo de um morro próximo. A potência 
do motor que fará o bombeamento da água é determi-
nada com base na diferença entre as alturas do reserva-
tório e da represa.
Para determinar essa diferença, utilizou-se uma manguei-
ra de nível, ou seja, uma mangueira transparente, cheia 
de água e com as extremidades abertas, de maneira a 
manter o mesmo nível de água nas duas extremidades, 
permitindo medir a diferença de altura entre dois pontos 
do terreno. Essa medição fica restrita ao comprimento da 
mangueira, mas, repetindo o procedimento sucessivas 
vezes e somando os desníveis de cada etapa, é possível 
obter a diferença de altura entre dois pontos quaisquer.
No presente caso, realizaram-se 50 medições sucessivas, 
desde a represa até o reservatório, obtendo-se uma se-
quência de valores para as diferenças de altura entre cada 
ponto e o ponto seguinte, h
1
, h
2
, h
3
, …, h
50
. Esses valores 
formam uma progressão aritmética, sendo h 05h 0,70 m,1h 01h 0 
h 05h 0,75m,2h 02h 0 h 0,80 m3h 03h 0h 05h 0 e assim sucessivamente. Com 
base no exposto, calcule a altura do reservatório em re-
lação à represa.
14 (Udesc) Considere a função f(x) 5 22x 2 5. Sejam (a
1
, a
2
, 
a
3
, ...) uma progressão aritmética de razão 3 e 5f(a )
1
8
1a )1a ) . 
Analise as proposições:
 I. a
53
 5 157.
 II. A soma dos 11 primeiros termos da progressão arit-
mética é 145.
 III. f(a
5
) 5 221.
 IV. (f(a
1
), f(a
2
), f(a
3
), ...) é uma progressão geométrica de 
razão 64. 
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
15 (UFRGS-RS) Considere o padrão de construção represen-
tado pelos desenhos abaixo.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na eta-
pa  2, esse quadrado foi dividido em nove quadrados 
congruentes, sendo quatro deles retirados, como indica 
a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo 
é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. 
Nessas condições, a área restante, na etapa 5, será: 
a) 
125
729
. 
b) 
125
2187
. 
c) 
625
729
. 
d) 
625
2187
. 
e) 
625
6561
. 
16 (Fuvest-SP) 500 moedas são distribuídas entre três pes-
soas, A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: 
A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, 
C seis, A sete e assim por diante, até que não haja mais 
números naturais, cujo primeiro termo é igual a 4 e a ra-
zão é igual a 
a 25, então a soma dos possíveis valores de 
En
em
C-5
H-2
1
f(n 
a) 
En
em
C-5
H-2
1
reservatório no topo de um morro próximo. A potência 
do motor que fará o bombeamento da água é determi-
nada com base na diferença entre as alturas do reserva-
En
em
C-1
H-2
nada com base na diferença entre as alturas do reserva-
tório e da represa.
Para determinar essa diferença, utilizou-se uma manguei-
nada com base na diferença entre as alturas do reserva-
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
soas, A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: 
A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, 
C seis, A sete e assim por diante, até que não haja mais 
En
em
C-1
H-2
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 67 5/20/15 8:25 AM
68 Progressões e matrizes
moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa 
seguinte, então, receberá as moedas restantes.
a) Quantas foram as moedas restantes e quem as rece-
beu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.)
b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?
17 (UFRRJ) Em uma PA não constante de sete termos, com 
termo médio igual a 6, os termos 2o, 4o e 7o, nessa ordem, 
formam uma PG. Determine essa PA.
18 (UFF-RJ) Calcule o valor do número natural n que satisfaz a 
equação log
10
 0,1 1 log
10
 (0,1)2 1 … 1 log
10
 (0,1)n 5 215.
19 (Unifor-CE) Numa progressão aritmética, o quarto e o sé-
timo termos são, respectivamente, 2 e 27. A soma dos 
vinte primeiros termos dessa progressão é:
a) 2350.
b) 2330.
c) 2310.
d) 2290.
e) 2270.
20 (PUC-PR) Quantos números inteiros compreendidos entre 
1 e 1 200 (inclusive) não são múltiplos de 2 nem de 3?
a) 400
b) 600
c) 800
d) 1 000
e) 200
21 (UFRN) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é considerado 
um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Aos 
10 anos de idade, ele apresentou uma solução genial 
para somar os números inteiros de 1 a 100. A solução 
apresentada por Gaussfoi 5 050, obtida multiplicando-se 
101 por 50, como sugere a figura abaixo.
1 1 2 1 3 1 4 1 ... 1 49 1 50 1 51 1 52 1 ... 1 97 1 98 1 99 1 100
101
101
101
101
101
Usando a ideia de Gauss como inspiração, responda 
quanto vale o produto:
1 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 16 ∙ 32 ∙ 64 ∙ 128
a) 4129.
b) 4128.
c) 1294.
d) 1284.
22 (UFRN) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de 
quatro alunos em três avaliações e a matriz M formada 
pelos dados dessa tabela.
Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3
Thiago 8 9 6
Maria 6 8 7
Sônia 9 6 6
André 7 8 9
M
8
6
9
7
9
8
6
8
6
7
6
9
5




































O produto 
1
3
M
1
1
1

























 corresponde à média:
a) de todos os alunos na Avaliação 3. 
b) de cada avaliação. 
c) de cada aluno nas três avaliações. 
d) de todos os alunos na Avaliação 2.
23 Escreva a matriz diagonal de ordem 4, em que a
ij
 5 i para 
i 5 j.
24 Determine, se existir, a inversa da matriz A 5 
1 2
1 3











 .
25 Seja A 5 (a
ij
) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que 
a
ij
 5 2i 2 3j e seja B 5 1 0
1 12












. Calcule a matriz X tal 
que X 1 2A 5 B.
26 (Ufop-MG) Observe a matriz 
1 2 3
0 x 4
0 0 y



























 . Chama-se 
traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de 
sua diagonal principal. Determine x e y na matriz acima 
de tal forma que seu traço valha 9 e x seja o triplo de y. 
27 (UFC-CE) Considere a matriz A 5 
1 1
0 1


















 de ordem 
2 × 2. Então pode-se afirmar que a soma A 1 A2 1 ... 1 
1 A
n
 é igual a: 
a) 
1 n
0 1


















. 
b) n n
0 n
2





























. 
c) 
1
n(n 1)
2
0 1
n 11n 1


























 . 
timo termos são, respectivamente, 2 e 
vinte primeiros termos dessa progressão é:
En
em
C-5
H-2
1
a) 
En
em
C-5
H-2
1
um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Aos 
para somar os números inteiros de 1 a 100. A solução 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C02_38a72_PR_AL.indd 68 5/20/15 8:25 AM
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
69Progress›es e matrizes
 d) 




























1n n n1n n
2
0 n
2n n2n n
.
e) 
n n
0 n


















.
28 (Fuvest-SP) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 
se uma de suas linhas é não nula e as outras são múlti-
plas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para 
os quais a matriz A 5 
2 1
2
3
3a b 2c 1 6
b c 3a 1
2
c 2a b
2 1b 22 1b 2
1 2b c1 2b c 2 1c 22 1c 2a b2 1a b


















































, 
3 3 3, tem posto 1.
29 (ITA-SP) Sejam as matrizes
A
1 0 1
2
1
2 5 2 3
1 1 2 1
5 1 3
2
0
e B
1 3 1
2
1
1 2 2 3
1 1 1 1
5 1 1
2
5
5
2
2 22 52 22 32 22 3
1 121 1
2
5
2 2
2 21 22 21 2
2
5 125 1




















































































































Determine o elemento c
34
 da matriz C 5 (A 1 B)21.
30 (Fuvest-SP) Uma matriz real A é ortogonal se AAt 5 I, 
onde I indica a matriz identidade e At indica a transposta 
de A. Se A 5 
1
2
x
y z



























 é ortogonal, então x2 1 y2 é igual a: 
a) 
1
4 .
b) 
3
4
.
c) 
1
2
.
d) 
3
2
.
e) 
3
2
.
31 (UFG-GO) Seja M 5 aij n n3n n3n n  uma matriz quadrada de or-
dem n, onde a
ij
 5 i 1 j. Nessas condições, a soma dos 
elementos da diagonal principal dessa matriz é:
a) n2.
b) 2n 1 2n2.
c) 2n 1 n2 .
d) n2 1 n. 
e) n 1 2n2.
32 (UEL-PR) Dadas as matrizes A 5 (a
ij
)
3 × 2
, definida por a
ij
 5 i 2 
2 j; B 5 (b
ij
)
2 × 3
, definida por b
ij
 5 j; C 5 (c
ij
), definida por 
C 5 A ? B, é correto afirmar que o elemento c
23
 é:
a) igual ao elemento c
12
.
b) igual ao produto de a
23
 por b
23
.
c) o inverso do elemento c
32
.
d) igual à soma de a
12
 com b
11
.
e) igual ao produto de a
21
 por b
13
.
33 (UFC-CE) O valor de a para que a igualdade matricial 
2 1
1 1
1 1
1 a
1 0
0 1
1 121 1
2
5






















































 seja verdadeira é:
a) 1. 
b) 2. 
c) 0 . 
d) 22. 
e) 21.
34 (FGV-SP) Na matriz indicada, a soma dos elementos de 
uma linha qualquer é igual à soma dos elementos de 
uma coluna qualquer.
4 9 2
8 1 6
3 5 7




























O menor número de elementos dessa matriz que devem 
ser modificados para que todas as seis somas (somas dos 
elementos das três linhas e das três colunas) sejam dife-
rentes umas das outras é:
a) 0.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
35 (UFSM-RS) Na planilha de cálculos do setor de engenha-
ria, responsável pelas obras de um shopping, foram en-
contradas as matrizes:
A
log 1 log 0,01
log 100 log 10
e B
cos
2
tg
4
sen 3
2
cos
3
.5 5e B5 5
p ptgp p
p pcop psp p


5 55 5









5 55 5

















































É correto, então, afirmar que A é igual a:
a) 
1
2
B.
b) B. 
c) 2B. 
d) 2Bt. 
e) 2B.
36 (UFU-MG) Por recomendação médica, João está cum-
prindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Es-
sas refeições são compostas por dois tipos de alimentos, 
se uma de suas linhas é não nula e as outras são múlti-
plas dessa linha. Determine os valores de 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
onde I indica a matriz identidade e A
En
em
C-5
H-2
1
dem 
elementos da diagonal principal dessa matriz é:
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
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70 Progress›es e matrizes
os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantida-
des fornecidas na seguinte tabela.
De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada re-
feição 13 000 unidades de vitamina A e 13 500 unidades 
de vitamina B.
Considere nesta dieta:
x 5 quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.
y 5 quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.
Vitamina A Vitamina B
Alimento 1 20 unidades/grama 30 unidades/grama
Alimento 2 50 unidades/grama 45 unidades/grama
A matriz M, tal que M
x
y


















 5 
13000
13500
























, é igual a:
a) 
30 45
20 50












b) 
20 30
50 45












 
c) 
20 50
30 45












d) 
30 20
45 50












37 (Unioeste-PR) Sendo A uma matriz quadrada e n um 
inteiro maior ou igual a 1, define-se A
n
 como a mul-
tiplicação de A por A, n vezes. No caso de A ser a 
matriz 
0 1
1 0
0 120 1
2












, é correto afirmar que a soma 
1 1 1 1A A1 1A A1 1 A …1 1A …1 1 A A1A A2 31 12 31 1 A …2 3A … 39A A39A A40 é igual à matriz: 
a) 
20 20
20 20
2
2












.
b) 
40 20
20 40
2
2












.
c) 
0 40
40 0
0 420 4
2












.
d) 
40 40
40 40
2
2












.
e) 
20 0
0 20











 .
38 (Vunesp) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e 
P2. Essas peças são vendidas a duas empresas,E1 e E2. 
O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 
é R$ 3,00 e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz a seguir 
(figura 1) fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas 
a cada uma das empresas E1 e E2 no mês de novembro.
A matriz da figura 2, onde x e y representam os lucros, em 
reais, obtidos pela fábrica no referido mês com a venda 
das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:
Figura 1 Figura 2
 P1 P2
E1
E2
20 8
15 12


















x
y




















a) 
35
20


















 
b) 
90
48


















 
c) 
76
69


















 
d) 
84
61


















 
e) 
28
27


















 
inteiro maior ou igual a 1, define-se A
tiplicação de A por A, 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
reFerÊNcIas BIBlIogrÁFIcas
 çVILA, G. Cálculo 1: fun•›es de uma vari‡vel. Rio de Janeiro: Livros TŽcnicos e Cient’ficos, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. S‹o Paulo: Edgard Blucher/Edusp, 1974.
 COLE‚ÌO do Professor de Matem‡tica. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. S‹o Paulo: çtica, 1997.
 DAVIS, P. J. ; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. v. 1-2. (Cole•‹o do Professor de 
Matem‡tica.)
 MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. S‹o Paulo: Atual, 1981.
 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interci•ncia, 1986.
 . Mathematical discovery. Nova York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v.
 REVISTA do Professor de Matem‡tica. S‹o Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1-36.
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ENEMMAIS
71
 Ciências Humanas e suas Tecnologias
 Ciências da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
 matemática e suas tecnologias
1 Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um 
jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmen-
te são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna 
tem uma carta, a segunda tem duas cartas e assim sucessiva-
mente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas. O que sobra 
forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é: b
a) 21.
b) 24.
c) 26.
d) 28.
e) 31.
2 Considere uma matriz quadrada M, de ordem n . 1, na qual 
cada elemento M
ij
 = i ∙ j, para todos os valores de i e j perten-
centes ao conjunto {1, 2, 3, …, n}. A soma de todos os elemen-
tos da matriz M é: a
a) (1 1 2 1 3 1 … 1 n)2.
b) n(1 1 2 1 3 1 … 1 n).
c) (1 1 2 1 3 1 … 1 n)n.
d) 2(1 1 2 1 3 1 … 1 n).
e) 
(1 n) n
2
.
1 ?n)1 ?
O franc•s Alexandre-ThŽophile Vandermonde (1735-1796) foi 
mœsico, matem‡tico e qu’mico e trabalhou com BŽzout e Lavoisier; 
seu nome Ž agora associado principalmente com a teoria determi-
nante em matem‡tica. 
Vandermonde era violinista e se envolveu com a matem‡tica 
apenas em 1770. Em Mémoire sur la résolution des équations [Estudo 
sobre a resolu•‹o de equa•›es] (1771), ele relatou fun•›es simŽtricas 
e solu•‹o de polin™mios ciclot™micos. Em Remarques sur des problè-
mes de situation [Reflex›es sobre situa•›es-problema] (1771), estu-
dou o Òpasseio do cavaloÓ (ou Òproblema do cavaloÓ), um problema 
matem‡tico que consiste na sequ•ncia de movimentos do cavalo em 
um tabuleiro de xadrez vazio de tal forma que o cavalo passe apenas 
uma vez em cada quadrado, em movimentos consecutivos. Se ele 
terminar o ÒpasseioÓ na mesma casa na qual come•ou o movimen-
to, a solu•‹o Ž denominada fechada; se ele terminar numa posi•‹o 
diferente da inicial, o caminho Ž denominado aberto.
No mesmo ano, Vandermonde foi eleito para a Academia Fran-
cesa de Ci•ncias. Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres 
avec une application au cerce [Estudo sobre nœmeros irracionais de 
ordens diferentes com uma fun•‹o do c’rculo] (1772) era sobre an‡-
lise combinat—ria e Mémoire sur l'émination [Estudo sobre escalona-
mento] (1772), sobre os fundamentos da teoria dos determinantes. 
Esses trabalhos foram apresentados para a Academia e constituem 
toda a sua obra matem‡tica publicada. No entanto, uma de suas 
contribui•›es matem‡ticas mais famosas, a determinante de Van-
dermonde, n‹o faz uma apari•‹o expl’cita.
3 Em álgebra linear, a matriz de Vandermonde (referência a Ale-
xandre-Théophile Vandermonde) é uma matriz na qual seus 
termos formam uma progressão geométrica em cada coluna. 
Por exemplo, numa matriz m × n, temos:
A
a a a
a a a
a a a
a a a
a
a
a
a
A
1 1 1 1
a a a a
a a a a
a a a a
1a a a1a a a
0a a a0a a a2a a a2a a a
0a a a0a a a3
0
1a a1a a
1a a1a a2
1
3
1
1a a a1a a a
2a a a2a a a2a a a2a a a
2a a a2a a a3
2
1a a a1a a a
n 1a a an 1a a a2a a a2a a a
n 1a a an 1a a a3
n 1
m
0
m
1
m
2
m
n 1
1 2a a1 2a a 3 ma a3 ma a
1a a a1a a a
2a a a2a a a2a a a2a a a
2a a a2a a a3
2
m
2
1a a a1a a a
n 1a a an 1a a a2a a a2a a a
n 1a a an 1a a a3
n 1
m
n 1
É
É
É
5
5
2 2 2n 12 2 2n 1 n 12 2 2n 1 n 12 2 2n 1 n 12n 1
2 2 2n 12 2 2n 1 n 12 2 2n 1 n 12 2 2n 1 n 12n 1




























































⇒
⇒




























































�
…
3 m…3 ma a3 m…a a…3 m
…
� � � � �
…
: : : : :
ou
A 
i, j 
5 ai 2 1
j
,
para todos os índices i e j. 
O produto de todos os elementos da matriz A é igual a: c
a) (a a a … a ) .1 2a a1 2a a3 n… a3 n
m2 m
) .2) .? ?a a? ?a a ? ?… a? ?… a
2
b) 
(a a a … a ) (n n)
2
.1 2
a a1 2a a3 m… a3 m
2n n2n n? ?a a? ?a a ? ?… a? ?… a ? 2) (? 2) (n n? 2n n
c) (a a a … a ) .1 2a a1 2a a3 m… a3 m
n2 n
) .2) .? ?a a? ?a a ? ?… a? ?… a
2
d) 
(a a a … a ) (m m)
2
.1 2
a a1 2a a3 n… a3 n
2m m2m m? ?a a? ?a a ? ?… a? ?… a ? 2) (? 2) (m m? 2m m
e) 
(a a a … a )
2
.1 2
a a1 2a a3 m… a3 m
n2 n
? ?a a? ?a a ? ?… a? ?… a 2
Ver as resoluções dos exercícios no Guia do Professor.
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72 Progressões e matrizes
Quadro de IdeIas
CEO: M‡rio Ghio Jœnior
Dire•‹o: Carlos Roberto Piatto
Dire•‹o editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Conselho editorial: B‡rbara Muneratti de Souza Alves, 
Carlos Roberto Piatto, Daniel Augusto Ferraz Leite, 
Eduardo dos Santos, Eliane Vilela, Helena Serebrinic, 
Lidiane Vivaldini Olo, Lu’s Ricardo Arruda de Andrade, 
Marcelo Mirabelli, Marcus Bruno Moura Fahel,
Marisa Sodero, Ricardo Leite, Ricardo de Gan Braga, 
Tania Fontolan
Ger•ncia editorial: B‡rbara Muneratti de Souza Alves
Coordena•‹o editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edi•‹o: Tatiana Leite Nunes (coord.), Pietro Ferrari
Assist•ncia editorial: Carolina Domeniche Romagna, 
Rodolfo Correia Marinho
Organiza•‹o did‡tica: Mait• Fracassi
Revis‹o: HŽlia de Jesus Gonsaga (ger.), 
Danielle Modesto, Edilson Moura, Let’cia Pieroni,
Mar’lia Lima, Tatiane Godoy, Tayra Alfonso,
Vanessa Lucena; Colabora•‹o: Karina Novais, Rayssa çvila
Coordena•‹o de produ•‹o: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Adjane Oliveira, Dandara Bessa
Supervis‹o de arte e produ•‹o: Ricardo de Gan Braga
Edi•‹o de arte: Yara Campi
Diagrama•‹o: Antonio Cesar Decarli,
Claudio Alves dos Santos, Fernando Afonso do Carmo, 
Fl‡vio Gomes Duarte, Kleber de Messas
Iconografia: S’lvio Kligin (supervis‹o), Marcella Doratioto; 
Colabora•‹o: F‡bio Matsuura, Fernanda Siwiec,
Fernando Vivaldini
Licen•as e autoriza•›es: Edson Carnevale
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Eduardo Mariano Rivero/Alamy/Latinstock
Projeto gr‡fico de miolo: Daniel Hisashi Aoki
Editora•‹o eletr™nica: Casa de Tipos
 
Todos os direitosreservados por Sistemas de 
Ensino Abril Educa•‹o S.A.
Avenida das Na•›es Unidas, 7221
Pinheiros Ð S‹o Paulo Ð SP
CEP 05425-902
(0xx11) 4383-8000
© Sistemas de Ensino Abril Educa•‹o S.A.
Dados Internacionais de Cataloga•‹o na Publica•‹o (CIP)
(C‰mara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Progressões
Sequências
Progressão 
aritmética
Progressão 
geométrica
Termo geral
a
n
 5 a
1 
qn 2 1
ou
a
n
 5 a
k 
qn 2 k
Soma dos n primeiros 
termos de uma PG finita
S a
1 q
1 q
, q 1n 1
n
5 ?
2
2
?
Limite da soma dos 
termos de uma PG infinita
lim S
a
1 q
, 0 q 1
n ∞
n
1
5
2
, ,
→
Produto dos termos
( )±
( )
P a q
ou
P a a
n 1
n
n n 1
2
n 1 n
n
5 ?
5
2
Termo geral
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r
ou
a
n
 5 a
k
 1 (n 2 k)r
Soma dos termos de 
uma PA finita
S
(a a ) n
2
n
1 n
5
2
Matrizes
Matriz identidade
Matriz nula
Matriz inversa
Operações com matrizes
Matriz transpostaMatriz quadrada
Matriz diagonal
Matriz triangular
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino mŽdio, caderno 6 : 
‡lgebra : PR / Luiz Roberto Dante. -- 2. ed. --
S‹o Paulo : çtica, 2015.
 1. çlgebra (Ensino mŽdio) 2. Matem‡tica (Ensino 
mŽdio) I. T’tulo.
15-03179 CDD-510.7
êndices para cat‡logo sistem‡tico:
1. Matem‡tica : çlgebra : Ensino mŽdio 510.7
2015
ISBN 978 85 08 17421-8 (AL)
ISBN 978 85 08 17422-5 (PR)
2» edi•‹o
1» impress‹o
Impress‹o e acabamento
Uma publica•‹o
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
 LUIZ ROBERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP.
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela 
PUC/São Paulo.
Mestre em Matemática pela USP.
Ex-presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática 
(Sbem).
Ex-secretário executivo do Comitê Interamericano de Educação Ma-
temática (Ciaem).
Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp 
– Rio Claro/SP.
Autor de vários livros: Didática da resolução de problemas de Ma-
temática; Didática da Matemática na pré-escola; Coleção Aprenden-
do Sempre – Matemática (1o ao 5o ano); Tudo é Matemática (6o ao 
9o ano); Matemática – Contexto & Aplicações – Volume único (En-
sino Médio); Matemática – Contexto & Aplicações – 3 volumes 
(Ensino Médio).
MÓDULO
 Progressões e matrizes (27 aulas)
GUIA DO PROFESSOR
MATEMÁTICA ÁlgeBrA
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 1 5/19/15 6:40 PM
2 GUIA DO PROFESSOR
MÓDULO
Progressões e matrizes 
Plano de aulas sugerido
Carga semanal de aulas: 6
Número total de aulas do módulo: 27
Competências
 c Construir significados para 
os números naturais, inteiros, 
racionais e reais.
 c Construir noções de 
variação de grandezas para 
a compreensão da realidade 
e a solução de problemas 
cotidianos.
 c Modelar e resolver problemas 
que envolvam variáveis 
socioeconômicas ou 
técnico-científicas usando 
representações algébricas.
Habilidades
 c Identificar padrões numéricos 
ou princípios de contagem.
 c Resolver situações-problema 
envolvendo conhecimentos 
numéricos.
 c Avaliar propostas de intervenção 
na realidade utilizando 
conhecimentos numéricos.
 c Identificar a relação de 
dependência entre grandezas.
 c Identificar representações 
algébricas que expressem a 
relação entre grandezas.
 c Resolver situações-problema 
cuja modelagem envolva 
conhecimentos algébricos.
 c Avaliar propostas de 
intervenção na realidade 
utilizando conhecimentos 
algébricos.
 c Reconhecer, no contexto 
social, diferentes significados e 
representações dos números 
e operações – naturais, 
inteiros, racionais e reais.
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em 
questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique 
aos alunos que a utilidade deste “selo” é indicar o número da(s) 
competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja 
área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: 
laranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Ma-
temática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência 
do Enem está disponível no portal.
 1. Progressões
Objeto do conhecimento
Conhecimentos numéricos; conhecimentos algébricos.
Objeto específico
Relações de dependência entre grandezas, sequências e 
progressões; gráficos e funções.
AulAs 1 e 2
 Páginas: 4 a 7
sequências
objetivos
 Identificar uma sequência.
 Determinar uma sequência, dada uma lei matemática.
estratégias
Faça a leitura, com os alunos, do texto de introdução do caderno.
Analise com eles o “Para refletir” da página 4.
Defina sequência e dê exemplos.
Explique como determinar uma sequência a partir de uma lei de 
formação.
Explique os exercícios resolvidos 1 e 2 (página 6).
Se possível, passe em aula o vídeo “Phi Ratio – Sequência de Fi-
bonacci – Proporção Áurea”, para que os alunos possam visualizar 
a organização dos objetos na natureza por meio da sequência de 
Fibonacci e do número phi (φ), com o intuito de contextualizar o 
assunto estudado. Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=2
VuS8JOkr7s&list=PL2882E54CC0803F5F>. Acesso em: 26 mar. 2015.
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 1 a 7 do “Para pra-
ticar” (páginas 34 e 35).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulAs 3 e 4
 Páginas: 7 a 10
Progressão aritmética (PA)
objetivos
 Identificar uma progressão aritmética e calcular sua razão.
 Conhecer as representações especiais de uma PA e aplicá-las em 
exercícios.
estratégias
Conceitue progressão aritmética (PA) utilizando a situação-proble-
ma sobre a produção de uma empresa.
Explique os quatro tipos de PA utilizando os exemplos dados.
Explique as observações sobre razão da PA e sobre a relação exis-
tente entre três termos consecutivos de uma PA.
Mostre as principais representações especiais de uma PA.
Explique os exercícios resolvidos 3 a 6 (páginas 8 e 9).
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 8 a 12 do “Para pra-
ticar” (página 35) e as atividades 1 e 2 do “Para aprimorar” (página 37).
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3Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulA 5
 
Páginas: 10 a 13
Fórmula do termo geral de uma PA
objetivos
 Deduzir a fórmula do termo geral de uma PA e aplicá-la em exer-
cícios e problemas.
 Identificar uma PA como uma função do 1o grau.
estratégias
Deduza, com os alunos, a fórmula do termo geral de uma PA.
Explique as três observações sobre PA.
Explique os exercícios resolvidos 7 a 12 (página 11).
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 13 a 23 do “Para 
praticar” (página 35) e as atividades 3 e 4 do “Para aprimorar” (pá-
gina 37).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulAs 6 e 7
 
Páginas: 13 a 17
interpolação aritmética; soma dos termos 
de uma PA finita
objetivos
 Resolver problemas de interpolação aritmética.
 Entender o conceito de soma dos termos de uma PA.
 Aplicar a fórmula da soma dos n termos de uma PA finita em 
exercícios e situações-problema.
estratégias
Peça aos alunos que, em grupos, explorem os exercícios resol-
vidos 13 e 14 (página 14). Permita que cada grupo apresente aos 
demais a resolução de um dos exercícios. Auxilie-os a esclarecer 
possíveis dúvidas que possam aparecer durante a atividade.
Conceitue interpola•‹o aritmŽtica.
Explique o problema sobre a produção mensal de uma monta-
dora utilizando a interpolação aritmética.
Mostre o significado da soma dos termos de uma PA finita 
utilizando a situação-problema sobre a produção anual de uma 
empresa.
Deduza, com os alunos, a fórmula que permite calcular a soma 
dos n primeiros termos de uma PA.
Explique os exercícios resolvidos 15 a 18 (página 16).
Tarefa para casa
Solicite à turmaque faça em casa as atividades 24 a 32 do “Para 
praticar” (páginas 35 e 36) e a atividade 5 do “Para aprimorar” (pá-
gina 37).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulAs 8 e 9
 
Páginas: 18 a 21
Progressão geométrica (Pg); classificação 
das progressões geométricas
objetivos
 Identificar uma progressão geométrica.
 Entender e calcular taxa de crescimento.
 Identificar uma PG e classificá-la.
estratégias
Conceitue taxa de crescimento.
Explique a situação-problema sobre a produção de uma empresa.
Defina progressão geométrica (PG) e explique os quatro exemplos.
Dê a classificação das PGs e explique com exemplos de cada tipo.
Analise com os alunos o “Para refletir” (página 18).
Mostre as representações especiais.
Explique os exercícios resolvidos 19 a 24 (páginas 20 e 21).
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 33 a 36 do “Para 
praticar” (página 36) e a atividade 6 do “Para aprimorar” (página 37).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulA 10
 
Páginas: 22 a 25
Fórmula do termo geral de uma Pg
objetivos
 Representar uma PG conhecendo o produto de seus termos.
 Identificar uma PG como uma função exponencial.
estratégias
Conceitue a fórmula do termo geral de uma PG.
Explique as três observações.
Explique os exercícios resolvidos 25 a 31 (página 23).
Tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 37 a 43 do “Para pra-
ticar” (página 36) e as atividades 7 e 8 do “Para aprimorar” (página 37).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulAs 11 a 13
 
Páginas: 25 a 31
interpolação geométrica; soma dos n 
primeiros termos de uma Pg finita; limite da 
soma dos termos de uma Pg finita
objetivos
 Resolver problemas de interpolação geométrica.
 Aplicar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG 
finita em exercícios e problemas.
 Aplicar o limite da soma dos termos de uma PG infinita em exer-
cícios e equações com primeiro termo infinito.
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 3 5/19/15 6:40 PM
4 GUIA DO PROFESSOR
estratégias
Explique a situa•‹o-problema sobre a produ•‹o mensal de uma 
indœstria utilizando interpola•‹o geomŽtrica.
Explique os exerc’cios resolvidos 32 a 34 (p‡gina 26).
Demonstre a f—rmula para calcular a soma dos n primeiros termos 
de uma PG finita.
Explique os exerc’cios resolvidos 35 a 37 (p‡gina 27).
Leia, com os alunos, ÒCuriosidadeÓ (p‡gina 28).
Solicite aos alunos que respondam os ÒPara refletirÓ (p‡gina 28).
Explique os exerc’cios resolvidos 38 a 41 (p‡ginas 29 e 30).
Tarefa para casa
Solicite ˆ turma que fa•a em casa as atividades 44 a 52 do ÒPara pra-
ticarÓ (p‡gina 36) e as atividades 9 e 10 do ÒPara aprimorarÓ (p‡gina 37).
Se achar oportuno, no in’cio da pr—xima aula, corrija as quest›es 
juntamente com a classe.
AulA 14
 
Páginas: 32 a 34
Produto dos termos da Pg; problemas 
envolvendo PA e Pg 
objetivos
 Determinar o produto dos termos de uma PG finita.
 Resolver problemas envolvendo PA e PG.
estratégias
Demonstre as duas maneiras de se chegar ˆ f—rmula do produto 
dos termos da PG.
Explique os exerc’cios resolvidos 42 a 44 (p‡ginas 32 e 33).
Tarefa para casa
Solicite ˆ turma que fa•a em casa as atividades 53 a 55 do ÒPara 
praticarÓ (p‡ginas 36 e 37) e a atividade 11 do ÒPara aprimorarÓ 
(p‡gina 37).
Se achar oportuno, no in’cio da pr—xima aula, corrija as quest›es 
juntamente com a classe.
 revisão
AulA 15
 
Páginas: 66 a 68
objetivo
 Revisar o conteœdo estudado sobre progress›es.
estratégias
Proponha aos alunos que, em duplas, resolvam os exerc’cios 1 a 21 
da ÒRevis‹oÓ.
Identifique os conteœdos sobre os quais ainda h‡ dœvidas e resolva 
os exerc’cios correspondentes na lousa.
 2. MATrizes
Objeto do conhecimento
Conhecimentos numéricos; conhecimentos algébricos.
Objeto específico
Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e 
reais), desigualdades, divisibilidade; equações e inequações.
AulA 16
 
Páginas: 38 a 41
Definição de matrizes; representação 
genérica de uma matriz
objetivos
 Montar uma matriz com base em uma tabela.
 Identificar uma matriz e sua ordem.
 Identificar matriz linha e matriz coluna.
 Representar genericamente uma matriz.
 Montar uma matriz a partir de uma lei de forma•‹o.
estratégias
Leia com os alunos o texto de introdu•‹o.
Mostre a tabela de uma situa•‹o-problema que pode ser representada 
por uma matriz.
Desenvolva a defini•‹o de matriz e explique os quatro exemplos.
Mostre que no terceiro e no quarto exemplos as matrizes recebem 
nomes especiais: respectivamente, matriz linha e matriz coluna.
Conceitue elemento de uma matriz e sua representa•‹o.
Fa•a na lousa a representa•‹o genŽrica das matrizes.
Explique os exerc’cios resolvidos 1 e 2.
Tarefa para casa
Solicite ˆ turma que fa•a em casa as atividades 1 a 5 do ÒPara pra-
ticarÓ (p‡gina 62) e a atividade 1 do ÒPara aprimorarÓ (p‡gina 64).
Se achar oportuno, no in’cio da pr—xima aula, corrija as quest›es 
juntamente com a classe.
AulA 17
 
Páginas: 41 a 43
Matriz quadrada; matriz triangular; matriz 
diagonal; matriz identidade; matriz nula 
objetivo
 Identificar matrizes: quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula.
estratégias
Conceitue os tipos de matrizes: quadrada, triangular, diagonal, iden-
tidade e nula. Exemplifique cada uma.
Tarefa para casa
Solicite ˆ turma que fa•a em casa as atividades 6 a 10 do ÒPara 
praticarÓ (p‡gina 62).
Se achar oportuno, no in’cio da pr—xima aula, corrija as quest›es 
juntamente com a classe.
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5Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
AulAs 18 e 19
 
Páginas: 44 a 47
igualdade de matrizes; adição de matrizes; 
subtração de matrizes 
objetivos
 Identificar matrizes iguais.
 Aplicar igualdade de matrizes em exerc’cios.
 Efetuar adi•‹o de matrizes e aplicar suas propriedades.
 Identificar uma matriz oposta e aplic‡-la na subtra•‹o de
matrizes.
estratégias
Conceitue igualdade de matrizes e explique os quatro exemplos.
Explique a adi•‹o de matrizes e apresente um exemplo.
Mostre as propriedades de matrizes e fa•a um quadro-resumo na 
lousa.
Conceitue matriz oposta, explique subtra•‹o de matrizes e apresente 
dois exemplos.
Tarefa para casa
Solicite ˆ turma que fa•a em casa as atividades 11 a 21 do ÒPara 
praticarÓ (p‡ginas 62 e 63).
Se achar oportuno, no in’cio da pr—xima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulAs 20 e 21
 
Páginas: 47 a 50
Multiplicação de um número real por
uma matriz; matriz transposta de uma
matriz dada 
objetivos
 Efetuar a multiplica•‹o de um nœmero real por uma matriz.
 Conhecer as propriedades de multiplica•‹o de um nœmero real por 
uma matriz.
 Conhecer a matriz transposta e suas propriedades.
 Conhecer as matrizes simŽtrica e antissimŽtrica.
estratégias
Conceitue multiplica•‹o de um nœmero real por uma matriz e ex-
plique os dois exemplos.
Mostre as propriedades que envolvem essa multiplica•‹o.
Conceitue matriz transposta, matriz simŽtrica e matriz antissimŽtrica 
e d• exemplos de cada uma.
Tarefa para casa
Solicite ˆ turma que fa•a em casa as atividades 22 e 23 do ÒPara 
praticarÓ (p‡gina 63).
Se achar oportuno, no in’cio da pr—xima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulAs 22 a 24
 
Páginas: 50 a 57
Multiplicação de matrizes
objetivos
 Efetuar multiplica•‹o de matrizes.
 Resolver equa•ões matriciais.
 Aplicar as propriedades da multiplica•‹o de matrizes.
estratégias
Conceitue multiplica•‹o de matrizes resolvendo a situa•‹o-proble-
ma sobre a Copa do Mundo de Futebol.
Explique os exerc’cios resolvidos 3 a 5.
Mostre que a multiplica•‹o de matrizes n‹o admite a propriedade 
comutativa e d• tr•s exemplos.
Mostre que para a multiplica•‹o de matrizes n‹o valem as proprie-
dades do cancelamento e do anulamento.
Mostre que aspropriedades associativa e distributiva valem para a 
multiplica•‹o de matrizes.
Mostre a propriedade que envolve a transposta da matriz produto.
Explique os exerc’cios resolvidos 6 a 8.
Tarefa para casa
Solicite ˆ turma que fa•a em casa as atividades 24 a 31 do ÒPara 
praticarÓ (p‡ginas 63 e 64) e as atividades 2 a 6 do ÒPara aprimorarÓ 
(p‡ginas 64 e 65).
Se achar oportuno, no in’cio da pr—xima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulAs 25 e 26
 
Páginas: 58 a 61
Matriz inversa de uma matriz dada; 
equações matriciais 
objetivos
 Identificar quando existe a matriz inversa de uma matriz dada.
 Resolver equa•ões matriciais.
estratégias
Conceitue matriz inversa e explique os exerc’cios resolvidos 9 e 10.
Conceitue equa•ões matriciais e explique os exerc’cios resolvidos 
11 a 13.
Tarefa para casa
Solicite ˆ turma que fa•a em casa as atividades 32 a 36 do ÒPara 
praticarÓ (p‡gina 64) e as atividades 7 e 8 do ÒPara aprimorarÓ (p‡-
gina 65).
Se achar oportuno, no in’cio da pr—xima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 5 5/19/15 6:40 PM
6 GUIA DO PROFESSOR
 revisão e MAis eNeM
AulA 27
 
Páginas: 68 a 71
objetivos
 Desenvolver, por meio de exercícios, uma revisão dos conteúdos 
estudados no capítulo.
 Desenvolver habilidades e competências.
 Apresentar conteúdos interdisciplinares.
estratégias
Proponha aos alunos que, em duplas, resolvam os exercícios 22 a 
38 da “Revisão”. 
Identifique os conteúdos em que ainda há dúvidas e resolva os 
exercícios correspondentes na lousa.
Leia o texto do “Mais Enem”. Proponha à classe a leitura e o desen-
volvimento das atividades.
Em seguida, discuta as perguntas e faça a correção das ques-
tões.
No primeiro exercício, para determinarmos a quantidade de car-
tas no monte, precisamos inicialmente determinar a quantidade de 
cartas usadas no jogo. De acordo com as informações do enunciado, 
temos uma sequência de cartas composta de:
1 carta na primeira fileira
2 cartas na segunda
3 cartas na terceira
A
e assim sucessivamente até a última fileira, que contém 7 cartas.
A sequência numérica que representa a situação proposta é uma 
progressão aritmética, na forma:
(1, 2, 3, . . . , 7)
Para determinarmos o total de cartas usadas podemos utilizar a 
fórmula da soma dos termos de uma PA:
( )
S
a a n
2
n
1 n
5
1
 
Sabendo que o primeiro termo (a
1
) vale 1, que o último termo 
(a
7
) vale 7 e que a quantidade de termos também é 7 (7 fileiras), 
obtemos assim:
5
1
5
1
5 5S
a a 7
2
1 7 7
2
8 7
2
287
1 7( ) ( )⋅ ⋅ ⋅
Concluímos, portanto, que foram utilizadas 28 cartas na monta-
gem do jogo, restando 24, pois:
52 2 28 5 24
Já para o segundo exercício, acompanhe a resolução:
Primeira linha:
[ 1 ? 1 1 ? 2 1 ? 3 . . . 1 ? n ] 5 [ 1 2 3 . . . n ]
Soma 5 (1 1 2 1 3 1 . . . 1 n)
ANOTAÇÕES
Segunda linha:
[ 2 ? 1 2 ? 2 2 ? 3 . . . 2 ? n ] 5 [ 1 2 3 . . . n ]
Soma 5 2(1 1 2 1 3 1 . . . 1 n)
Assim, para a linha n, por exemplo, teremos a soma da primeira 
linha multiplicada por n.
Logo, a soma de todos os elementos da matriz é: 
(1 1 2 1 3 1 . . . 1 n) 1 2(1 1 2 1 3 1 . . . 1 n) 1
1 3(1 1 2 1 3 1 . . . 1 n) 1 . . . 1 n(1 1 2 1 3 1 . . . 1
1 n) 5 (1 1 2 1 3 1 . . . 1 n) ∙ (1 1 2 1 3 1 . . . 1 n) 5 
5 (1 1 2 1 3 1 . . . 1 n)²
No caso do terceiro exercício, atente-se para a resolução:
Para a primeira linha:
5
5 5 5
5 5
2
2
P a q
Como a a 1 e q a , temos:
P 1 a a
1 1
n
n n 1
2
1 1
0
1
1 1
n n 1
2
1
n2 n
2⋅
( )
( ) −
 
Para a segunda linha:
5
5 5 5
5 5
P a q
Como a a 1 e q a , temos:
P 1 a a
2 2
n
n n 1
2
2 2
0
2
2 2
n n 1
2
2
n2 n
2⋅
( )
( )
−
− −
Assim, para a coluna m, por exemplo, teremos:
 5P am m
n2 n
2
−
Multiplicando os produtos das colunas:
5 5
5 5
5
P P P P . . . P
a a a . . . a
(a a a . . . a )
T 1 2 3 m
1
n2 n
2
2
n2 n
2
3
n2 n
2
m
n2 n
2
1 2 3 m
n2 n
2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− − − −
−
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7Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
resPosTAs
 CAPÍTulo 1 – Progressões
 PArA PrATiCAr – páginas 34 a 37
 1. a) (5, 10, 15, 20, . . .)
b) ( )13 , 19 , 127 , 181
c) 1
2
, 2
3
, 3
4
, 4
5
, . . .( )
d) 



2,
9
4
,
64
27
,
625
256
,
7 776
3 125
,
117 649
46 656
2. a) a
n
 5 n, com n [ N*
b) a
n
 5 n 1 1, com n [ N*
c) a
n
 5 3n, com n [ N*
d) a
n
 5 3n 2 1, com n [ N e 1 < n < 6
 3. a) 21, 24, 27, 210, 213, 216, 219, . . .
b) 3
4
, 6
7
, 9
10
, 12
13
, 15
16
, 18
19
, 21
22
, . . . 
c) 2 , 2, 2 2, 4, 4 2, 8, 8 2 , . . .
d) 2 ? 5, 4 ? 10, 8 ? 20, 16 ? 40, 32 ? 80, 64 ? 160, 128 ? 320, . . .
 4. a) 23k 1 2
b) 3k
3k 11
c) 2
k
2
d) 2
k
 ? 5 ? 2k 2 1 ou 2k(5 ? 2k 2 1)
 5. a) a
10
 5 20
b) a
7
 5 12
 6. a) (22, 22, 2, 2, 22, . . .)
b) (1, 5, 13, 29, 61, . . .)
 7. 5 elementos (2, 7, 17, 37 e 47)
 8. a) Sim, r 5 3.
b) Sim, r 5 25.
c) Não.
d) Sim, r 5 
1
3
.
e) Sim, r 5 3 .
f ) Não.
g) Sim, r 5 
1
2
.
h) Sim, r 5 3y.
 9. a) (7, 11, 15, 19, 23)
b) (26, 2, 10, 18)
c) (x 1 3, 2x 1 3, 3x 1 3, 4x 1 3, 5x 1 3)
 10. (23, 0, 3, 6)
 11. 1, 3, 5, 7
 12. 9 cm, 12 cm e 15 cm
 13. a
15
 5 62
 14. a
26
 5 137
 15. a
50
 5 99
 16. r 5 4
 17. a
10
 5 29
 18. a) a
1
 5 3 e r 5 3
b) a
1
 5 211 e r 5 1
c) a
1
 5 238 e r 5 10
d) a
1
 5 2 e r 5 5
 19. 81 múltiplos
 20. 2, 4 e 6
 21. a
50
 5 210
 22. a.
 23. d.
 24. (20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68)
 25. 5 meios aritméticos
 26. 14 662
 27. r 5 2
 28. S 5 {20}
 29. a) 165
b) 520
 30. 70 km
 31. 20 fileiras
 32. b.
 33. a) Sim, q 5 3.
b) Não.
c) Sim, q 5 
1
2
.
d) Sim, q 5 22.
e) Sim, q 5 
1
4
.
f ) Não.
g) Sim, q 5 4.
h) Sim, q 5 p.
i) Não.
j) Sim, q 5 y.
 34. a) (7, 21, 63, 189, 567)
b) (25, 210, 220, 240)
 35. (1023, 1021, 10, 103, . . .)
 36. B
0
 ? (1,05)n
 37. a) a
n
 5 22n 2 1
b) a
n
 5 3n
c) a
n
 5 22 2 n
 38. a
8
 5 16
 39. q 5 3
 40. a) 19 termos
b) 5 termos
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8 GUIA DO PROFESSOR
 41. q 5 10
 42. a) x 5 6 ou x 5 26
b) x 5 3 ou x 5 32
c) x 5 3
d) x 5 6
 43. q 5 2; a
1
 5 3
 44. a) S
6
 5 2 730
b) S
10
 5 
2
2
a a
a 1
32 2
3
 45. a) S
n
 5 1 023
b) S
n
 5 1 705
c) S
n
 5 1 365
 46. S 5 {192}
 47. x 5 
63
32
 48. a) 
2
3
b) 
8
3
 49. x 5 8
 50. a) 
7
9
 
b) 
17
33
 
c) 
13
30
 51. 160
3
 52. 2a2
 53. x 5 3 e y 5 6
 54. (4, 6, 8)
 55. x 5 100 e y 5 100
 PArA APriMorAr – página 37
 1. a) a
4
 5 a 2 3b
b) a
3
 5 
4 x
x
2
 
 2. b.
 3. 6 171 números
 4. 21 de outubro
 5. e.
 6. x 5 6 2 k
 7. b.
 8. a) PG(a, b, c) ⇒ PG(a, aq, aq2)
 a , aq 1 aq2 ⇒ aq2 1 aq 2 a . 0 ⇒ q2 1 q 2 1 . 0
b) q2 1 q 2 1 . 0
 Δ 5 5
 q 5 
1 5
2
±2
 ⇒ q' 5 
1 5
2
2 1
 
 q''5 
1 5
2
2 2
 (não convém)
 Logo, q . 
2 11 5
2
.
 9. c.
 10. S 5 
? 2
2
a q a
q 1
n 1 ⇒ S(q 2 1) 5 a
n
 ? q 2 a
1
 ⇒
⇒ S ? q 2 S 5 a
n
 ? q 2 a
1
 ⇒ S ? q 2 a
n
 ? q 5 S 2 a
1
 ⇒
⇒ q(S 2 a
n
) 5 S 2 a
1
 ⇒ q 5 
S a
S a
1
n
2
2
 11. f 5 
( )
( )
i 1 i
1 i – 1
n
n
1
1
 PArA reFleTir
página 4
 (ca, ca, ca), (ca, ca, co), (ca, co, ca), (ca, co, co), (co, ca, ca), (co, ca, 
co), (co, co, ca), (co, co, co)
página 20
 Na PG alternante, dois termos consecutivos sempre têm sinais 
contrários.
página 28
 Não é uma PG.
 Ela tende ao infinito.
 CAPÍTulo 2 – MATrizes
 PArA PrATiCAr – páginas 62 a 64
 1. a) Matriz quadrada de ordem 2 ou 2 3 2.
b) Matriz coluna 3 3 1.
c) 5 3 3
 2. a) a
11
 5 2; a
22
 5 25; a
13
 5 10
b) a
31
 5 6; a
23
 5 2; a
33
 5 2
 3. a) 3 3 4
b) Matriz linha 1 3 4.
c) Matriz quadrada de ordem 4 ou 4 3 4.
 4. a) A 5 












0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
 
b) Y 5 






0 1 2 3
1 0 1 2
 
c) K 5 






2 2
4 4
2
2
 5. c.
 6. Ordem 4.
 7. 2, 25 e 4
 8. –8
 9. 18
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd8 5/19/15 6:40 PM
9Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
 10. 










2 0 0
0 4 0
0 0 6
 11. a 5 6, b 5 3, c 5 24 e d 5 22
 12. a 5 2, b 5 25, x 5 1 e y 5 2
 13. a 5 1, b 5 0 e c 5 
1
3
 
 14. a) 




2 6
6 12 2
 
b) 




1 4
5 12
c) 




7 2
11 22
d) 




5 6
11 12
 15. a) 










4 2
10 8
16 14
b) 










2 1
5 4
8 7
 16. 








3 0
10 5
4 2
2
2
2
 17. 






0 3
2 5
2
2 2
 18. 






3 2 1
6 10 7
2
2 2
 19. a) 






8 2
6 82
b) 






12 3
9 122
c) 






24 6
18 242
 20. a) 










4 0 0
0 8 0
0 0 12
 
b) 










3 0 0
0 5 0
0 0 7
c) 










2 0 0
0 4 0
0 0 6
d) 










0 0 0
0 0 0
0 0 0
 21. 




4 11
6 13
 22. a) 








5
2
6
b) 




2 1 0
5 4 6
2
 
c) 




4 5
2 1
2
2
 
d) 








1 0 1
3 0 4
2 5 3
2
 
 23. x 5 21, y 5 
5
2
2 e z 5 210
 24. a) 




17 39
2 4
b) 








2 5 0
6 15 0
12 30 0
c) 










29 24
23 22
26 4
d) 






2 24 9 27
4 13 11 12
e) 








3 17
7 8
9 26
2
2 2
f ) 




59 12
8 10
 25. a) 




0 0
0 0
b) 




0 0
0 0
 26. Sim.
 27. 215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro, 430 rodas para janeiro 
e 308 para fevereiro.
 28. a) 












0 2
3 1
1 2
3 2
6 4
6 8
? 5
 












1 2
3 2
0 2
3 1
6 4
6 8
? 5
 Logo, AB 5 BA.
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 9 5/19/15 6:40 PM
10 GUIA DO PROFESSOR
b) BC 5 












1 2
3 2
1 3
3 0
7 3
9 9
? 5
 A(BC) 5 












0 2
3 1
7 3
9 9
18 18
30 18
? 5
 AB 5 




6 4
6 8
 (AB)C 5 












6 4
6 8
1 3
3 0
18 18
30 18
? 5 
 Logo, A(BC) 5 (AB)C.
c) B 1 C 5 












1 2
3 2
1 3
3 0
2 5
6 2
1 5
 A(B 1 C) 5 












0 2
3 1
2 5
6 2
12 4
12 17
? 5 
 AC 5 












0 2
3 1
1 3
3 0
6 0
6 9
? 5
 AB 1 AC 5 












6 4
6 8
6 0
6 9
12 4
12 17
1 5 
 Portanto, A(B 1 C) 5 AB 1 AC.
d) BC 5 




7 3
9 9
 CB 5 












1 3
3 0
1 2
3 2
10 8
3 6
? 5
 Logo, BC Þ CB.
e) Bl
2
 5 












1 2
3 2
1 0
0 1
1 2
3 2
? 5 5 B
 l
2
B 5 












1 0
0 1
1 2
3 2
1 2
3 2
? 5 B
Logo, Bl
2
 5 l
2
B 5 B.
 29. A2 5 












2 3
1 2
2 3
1 2
7 12
4 7
? 5
4B 5 




0 12
4 0
A2 2 4B 2 7I
2
 5




























7 12
4 7
0 12
4 0
7 0
0 7
7 12
4 7
0 12
4 0
7 0
0 7
0 0
0 0
5 2 2 5
5 1
2
2
1
2
2
5
 
 30. Respostas possíveis: a 5 1 e b 5 1, ou a 5 1 e b 5 21, ou a 5 21 
e b 5 1, ou a 5 21 e b 5 21.
 31. a.
 32. 0
 33. 










2
0
1
 34. 






28 1
23 3
 35. a) 












1 0
1 1
1 0
1 1
1 0
0 12
? 5 5 I
2
 




1 0
1 1
 é a matriz inversa de A.
b) 




2 5
5 4
 36. 




2 10
0 22
 PArA APriMorAr – páginas 64 e 65
 1. a) 1 200 reais 
b) 3 400 reais
 
2. 
























mn m
n mn
mn m
n mn
m n m n m n m n
mn mn m n m n
0 0
0 0
2
2
2
2
2 2 2 2 3 3
3 3 2 2 2 2
2
2
2
2
5
5
2 2 1
2 2 1
5
 3. a.
 4. I 2 M
 5. a.
 6. c.
 7. a) Sendo B inversível, existe B21 tal que B ? B21 5 I
2
. Como 
AB 5 BA, vem:
 ABB21 5 BAB21 ⇒ AI
2
 5 BAB21 ⇒ A 5 BAB21 ⇒
 ⇒ B21A 5 B21BAB21 ⇒ B21A 5 I
2
AB21 ⇒ B21A 5 AB21 ⇒
 ⇒ AB21 5 B21A
b) A2 1 2AB 2 B 5 0 ⇒ A2 1 2AB 5 B ⇒
 ⇒ (A2 1 2AB)B21 5 BB21 ⇒
 ⇒ A2B21 1 2ABB21 5 I
2
 ⇒
 ⇒ A2B21 1 2AI
2
 5 I
2
 ⇒ 
 ⇒ A(AB21 1 2I
2
) 5 I
2
 Logo, existe A21 5 AB21 1 2I
2
.
 8. 
















1 0
0 1
,
1 0
0 1
,
1 b b
b 1 b
2
2
2
2
2
2 2
 







e
1 b b
b 1 b
, com 1 b 1.
2
2
2 2
2
2 < <
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 10 5/19/15 6:41 PM
11Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
 PArA reFleTir
página 42
 Acima ou abaixo: um dos casos deve ocorrer; acima e abaixo: am-
bos devem ocorrer.
página 48
 Significa Óem ordemÓ, da primeira ˆ œltima.
página 49
 Para que uma matriz seja simŽtrica, devemos ter a
ij
 5 a
ji
. Se i e j 
n‹o variarem da mesma maneira, n‹o ser‡ poss’vel obter todos os 
elementos.
página 54
 A(BC) 5 (AB)C
 Entretanto, (AB)C 5 (BA)C somente quando A e B comutam, isto Ž, 
quando AB 5 BA.
página 55
 y 1 10 5 2x ⇒ 2 1 10 5 2 ? 6 ⇒ 12 5 12
 x 1 6 5 x 1 3y ⇒ 6 1 6 5 6 1 3 ? 2 ⇒ 12 5 12
página 59
 Foram usadas as propriedades nesta ordem: cancelamento, ele-
mento oposto, elemento neutro.
 revisão – páginas 66 a 70
 1. a) 
4
5
 
b) 
 2. 01 1 02 1 04 5 07
 3. a
6
 5 14
 4. a.
 5. e.
 6. a.
 7. 2280
 8. d.
 9. 01 1 02 1 04 1 16 5 23
 10. c.
 11. c.
 12. a.
 13. 96,25 m
 14. b.
 15. e.
 16. a) B recebeu as 4 moedas restantes.
b) A recebeu 176 moedas, B recebeu 159 moedas e C recebeu 
165 moedas.
 17. (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
 18. n 5 5
 19. a.
 20. e.
 21. d.
 22. c.
 23. 












1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
 24. 




3 2
1 1
2
2
 25. 




3 8
3 52
 26. x 5 6 e y 5 2
 27. d.
 28. a 5 1, b 5 3 e c 5 2
 29. c 5 
2
11
2 
 30. e.
 31. d.
 32. e.
 33. b.
 34. d.
 35. d.
 36. c.
 37. a.
 38. c.
reFerÊNCiAs BiBliogrÁFiCAs
 çVILA, G. Cálculo 1: fun•›es de uma vari‡vel. Rio de Janeiro: Livros TŽcnicos e Cient’ficos, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. S‹o Paulo: Edgard BlŸcher/Edusp, 1974.
 COLE‚ÌO do Professor de Matem‡tica. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. S‹o Paulo: çtica, 1997.
 DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. v. 1-2. (Cole•‹o do Professor de Matem‡tica.)
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 REVISTA do Professor de Matem‡tica. S‹o Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1-36.
? 5 1 5
1
5
1
PA
1
a
,
1
b
,
1
c
, 2
1
b
1
a
1
c
2
b
a c
ac
b
2ac
a c


 

 ⇒ ⇒
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 11 5/19/15 6:41 PM
12 GUIA DO PROFESSOR
ANOTAÇÕES
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 12 5/19/15 6:41 PM
13Progressões e matrizes
M
A
TE
M
ç
TI
C
A
 
 ç
LG
E
B
R
A
ANOTA‚ÍES
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 13 5/19/15 6:41 PM
14 GUIA DO PROFESSOR
ANOTA‚ÍES
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 14 5/19/15 6:41 PM
15Progressões e matrizes
M
A
TE
M
ç
TI
C
A
 
 ç
LG
E
B
R
A
ANOTA‚ÍES
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 15 5/19/15 6:41 PM
16 GUIA DO PROFESSOR
ANOTA‚ÍES
2122798_SER1_EM_ALGE_CAD6_GuiaProf.indd 16 5/19/15 6:41 PM
519569PROFESSORwww.ser.com.br 0800 772 0028
O sistema de ensino SER quer conscientizar seus alunos sobre os problemas da 
atualidade. Pensando nisso, apresentamos, no Ensino Médio, capas com animais da 
fauna brasileira em extinção. Esperamos que as imagens e as informações fornecidas 
motivem os estudantes a agir em favor da preservação do meio ambiente.
A águia-cinzenta (Harpyhaliaetus coronatus) é uma ave de rapina de grande porte que 
podepesar até 3 kg e atingir 85 cm de comprimento. Seus hábitos alimentares não 
são muito conhecidos, mas existem informações de que ela se alimenta de anfíbios, 
répteis, mamíferos e aves. Essa espécie pode ser encontrada nos seguintes países da 
América do Sul: Paraguai, Brasil, Bolívia e Argentina. No Brasil, está presente em áreas 
abertas de Cerrado e Caatinga. A destruição do seu hábitat pela agropecuária e a caça 
ilegal são os principais fatores que ameaçam essa espécie de extinção. 
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