Álgebra - Caderno 06

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA ÁLGEBRA
6
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Progressões e matrizes
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1
 PROGRESSÕES E MATRIZES
1 Progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Progressão aritmética (PA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Interpolação aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Soma dos termos de uma PA finita . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Progressão geométrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Classificação das progressões geométricas . . . . . . . . . . 19
Fórmula do termo geral de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Interpolação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Soma dos n primeiros termos de uma PG finita . . . . . . . 26
Limite da soma dos termos de uma PG infinita . . . . . . . 28
Produto dos termos da PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problemas envolvendo PA e PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Representação genérica de uma matriz . . . . . . . . . . . . . 39
Matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Matriz triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Matriz identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Adição de matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Subtração de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Multiplicação de um número real por uma matriz . . . . . . 47
Matriz transposta de uma matriz dada . . . . . . . . . . . . . 48
Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Matriz inversa de uma matriz dada . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Equações matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
MATEMÁTICA ÁLGEBRA
Luiz Roberto Dante
2122798 (PR)
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MÓDULO
Progressões e matrizes
O número de espiras em diversas flores e frutos se 
ajusta a pares consecutivos de termos da sequência de 
Fibonacci (sequência em que cada número é determi-
nado pela soma dos dois anteriores: 1 1 2 3 5 8 
13 21 34 55 89 144 233 377 ...). Os girassóis 
têm 55 espiras em um sentido e 89 em outro ou 89 e 144. 
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reFletINdo SoBre a Imagem
Observe o formato das flores, a quantidade 
de pétalas que elas contêm, o desenho que apa-
rece nas frutas quando são cortadas transversal 
ou longitudinalmente ou os gomos da casca do 
abacaxi. Você perceberá que há uma disposição 
perfeitamente simétrica. 
O padrão de distribuição das folhas ao 
longo do caule das plantas é chamado filota-
xia. De acordo com esse padrão, os ramos e 
as folhas das plantas distribuem-se de modo a 
receber o máximo de luz. Essa distribuição, em 
algumas plantas, apresenta o padrão conheci-
do como sequência de Fibonacci. 
Você sabe o que caracteriza uma sequên-
cia? Sabe reconhecer os dois tipos de sequência?
Muitas vezes, para designar com clareza 
certas situações, é necessário formar um gru-
po ordenado de números que se apresentam 
dispostos em linhas e colunas numa tabela. 
Em Matemática, essas tabelas são chamadas 
de matrizes. Com o advento da computação 
e a crescente necessidade de se guardar infor-
mação, as matrizes adquiriram uma grande 
importância. Para termos ideia dessa impor-
tância, basta saber que o que vemos na tela do 
computador é uma enorme matriz e cada valor 
guardado nas linhas e colunas da matriz repre-
senta uma região quadrada bem pequena, que 
a olho nu não deixa de ser um ponto colorido 
mostrado na tela (pixel).
Você sabe qual o conceito de matriz, 
quais são os seus tipos e como aplicá-lo para 
resolver problemas?
www.ser.com.br
Atualmente são muito utilizadas as 
resoluções de imagem de 600 3 800 
(600 linhas, 800 colunas) ou 768 3 1 024 
(768 linhas, 1 024 colunas) nos monitores de 
computador.
Acima, a mesma imagem é mostrada em três 
diferentes resoluções. A matriz usada para 
guardar os pontos que compõem a primeira 
imagem tem apenas 33 linhas e 22 colunas, 
enquanto a matriz usada na terceira imagem 
tem 650 linhas e 433 colunas.
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4 Progressões e matrizes
CAPÍTULO
1 Progressões
Objetivos:
c Conceituar sequência.
c Reconhecer os dois 
principais tipos de 
sequências: Progressão 
Aritmética (PA) e 
Progressão Geométrica 
(PG).
c Saber utilizar a PA e 
a PG na resolução de 
situações-problema.
Examine estas duas situações:
1a) Um corpo caindo livremente (desprezando-se a resistên-
cia do ar) tem, no final do primeiro segundo, velocidade 
de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo 
seguinte; de 29,4 m/s no final do terceiro segundo; e as-
sim por diante. Continuando nesse ritmo, qual será sua 
velocidade no final do décimo segundo (10 s)?
2a) Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: 
cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas diferentes, por 
exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50, teremos quatro 
possibilidades: cara, cara; cara, coroa; coroa, coroa; ou coroa, 
cara. Se lançarmos três moedas diferentes, serão oito os re-
sultados possíveis. E assim por diante.
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
A relação entre o número de moedas e o número de resultados é mostrada na tabela:
Número de moedas Número de resultados
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
A A
Vemos que 2 5 21; 4 5 22; 8 5 23; 16 5 24; 32 5 25, etc.
Então, se n é o número de moedas, o número de resultados é dado por 2n.
Nesse caso, temos uma sequência: (2, 4, 8, 16, 32, ).
Qual é o total de resultados se lançarmos oito moedas?
Estudaremos sequências e, em particular, as sequências chamadas de progressão aritmética 
(PA) e de progressão geométrica (PG). Com esses conceitos, poderemos resolver situações como 
as exemplificadas e outras envolvendo sequências.
Explicite os oito resultados no 
caso de três moedas.
Para
reFletIr
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Progressões e matrizes
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5
 SeQuÊNCIaS
Em muitas situações da vida diária, aparece a ideia de sequência ou sucessão. Assim, por 
exemplo, temos:
 a sequência dos dias da semana (domingo, segunda, terça, …, sábado);
 a sequência dos meses do ano (janeiro, fevereiro, …, dezembro);
 a sequência dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, …);
 a sequência dos anos, a partir de 1990, nos quais a Copa do Mundo de Futebol é realizada (1990, 
1994, 1998, 2002, 2006, 2010, 2014, …).
Em todas essas situações, observamos uma certa ordem nos elementos da sequência. Esses 
elementos são também chamados termos da sequência. Na sequência dos meses do ano, temos:
1o termo: janeiro; 2o termo: fevereiro; …; 12o termo: dezembro.
Se representarmoso 1o termo por a
1
 (lê-se “a índice um”), o 2o termo por a
2
, o 3o por a
3
, e assim 
por diante, até o termo de ordem n, ou enésimo termo (a
n
),
 
essa sequência pode ser representada por:
(a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
)
Nesse exemplo, temos:
 a
1
 5 janeiro; a
7
 5 julho; a
10
 5 outubro; a
12
 5 dezembro.
definição
Uma sequência finita de n termos é uma função cujo domínio é o conjunto numérico {1, 2, 
3, …, n}. Os números do contradomínio são indicados por a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
.
Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio é N* 5 {1, 2, 3, …, n, …} e o contradomínio 
é indicado por {a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …}. Assim, f(1) 5 a
1
, f(2) 5 a
2
, …, f(n) 5 a
n
, …
determinação de uma sequência
Algumas sequências são dadas por regras ou leis matemáticas chamadas leis de formação, que 
possibilitam explicitar todos os seus termos.
A sequência a
n
 5 2n 2 1, n [ N*, é dada por:
 para n 5 1 ⇒ a
1
 5 2 ? 1 2 1 5 1;
 para n 5 2 ⇒ a
2
 5 2 ? 2 2 1 5 3;
 para n 5 3 ⇒ a
3
 5 2 ? 3 2 1 5 5;
 para n 5 4 ⇒ a
4
 5 2 ? 4 2 1 5 7, etc.
Portanto, a sequência é (1, 3, 5, 7, …), ou seja, a dos números naturais ímpares.
Exemplos de sequências:
1o) A sequência dos números 
ímpares positivos é infini-
ta: (1, 3, 5, 7, 9, …), na qual 
a
1
 5 1, a
2
 5 3, a
3
 5 5, a
4
 5 7, 
a
5
 5 9, etc.
2o) A sequência dos quatro pri-
meiros múltiplos de 5 é fini-
ta: (0, 5, 10, 15). Nesse caso, 
a
1
 5 0, a
2
 5 5, a
3
 5 10 e 
a
4
 5 15.
3o) A sequência dos números 
quadrados perfeitos é infini-
ta: (1, 4, 9, 16, 25, …).
4o) A sequência do número de 
dias dos 12 meses de um 
ano bissexto é finita: (31, 29, 
31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 
30, 31). Esse exemplo mostra 
ainda que os termos de uma 
sequência não são necessa-
riamente distintos.
5o) 17, 12, 7, 2, 23, 28 é uma 
sequência finita de 6 termos.
relação entre o número phi e a sequência de Fibonacci
Fibonacci foi o nome com o qual o matemático Leonardo Pisano (ou Leonardo de Pisa) ficou conhecido. Nascido em Pisa (na atual 
Itália), viveu na Idade Média (1170-1250) e contribuiu para o desenvolvimento da Matemática em diversas pesquisas. 
Na sequência de Fibonacci temos: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Se dividirmos cada um desses números pelo seu antecedente, reparamos que a razão vai tender para um certo valor.
Ou seja, se fizermos 5 5 5 5 5
a
a
1;
a
a
2;
a
a
1,5;
a
a
1,6;
a
a
1,6
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
 e continuarmos assim sucessivamente, obteremos a seguinte 
sequência de números:
5
5
5
5
a
a
1,000000;
a
a
2,000000;
a
a
1,500000;
a
a
1,666666...;
2
1
3
2
4
3
5
4
5
5
5
a
a
1,600000;
a
a
1,625000;
a
a
1,615385... ;
6
5
7
6
8
7
Esse valor que se aproxima nas razões 
a
a
n 1
n
1 tende ao número phi ( )ϕ 1,61803398875 .
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6 Progressões e matrizes
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
1 Determine o termo a
n
, chamado termo geral, na sequência 
dos números quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, …).
reSoluÇÃo:
a
n
 5 ?
Observamos que:
 n 5 1 ⇒ a
1
 5 1 5 12
 n 5 2 ⇒ a
2
 5 4 5 22
 n 5 3 ⇒ a
3
 5 9 5 32
 n 5 4 ⇒ a
4
 5 16 5 42
A
 para um n qualquer ⇒ a
n
 5 n2
Logo, a
n
 5 n2 é o termo geral da sequência, com n [ N*.
2 Escreva a sequência definida por:
N5 1
2
{ [
a 35a 3
a a5 1a a5 12, para n ,Nn ,[n , n 2>n 2
1a 31a 3
n n5 1n n5 1a an na a5 1a a5 1n nn na a 15 115 1
reSoluÇÃo:
a
1
 5 3
 para n 5 2 ⇒ a
2
 5 a
1
 1 2 5 3 1 2 5 5
 para n 5 3 ⇒ a
3
 5 a
2
 1 2 5 5 1 2 5 7
 para n 5 4 ⇒ a
4
 5 a
3
 1 2 5 7 1 2 5 9, etc.
Portanto, a sequência é (3, 5, 7, 9, …), que é a sequência dos 
números naturais ímpares a partir do 3.
Para CoNStruIr
1 Calcule:
a) a soma a
2
 1 a
5
 para a sequência cujo termo geral é dado 
por a
n
 5 (21)n ? 
1
1
n 2
n 1
.
a
2
 5 (21)2 ? 
2 2
2 1
4
3
1
1
5
a
5
 5 (21)5 ? 
5 2
5 1
7
6
1
1
52 
a
2
 1 a
5
 5 
4
3
7
6
8 7
6
1
6
2 5
2
5
b) a soma dos quatro primeiros termos da sequência cujo ter-
mo geral é f(n) 5 
1
n2
, com n [ N*. 
a
1
 5 
1
1
1
2
5
a
2
 5 
1
2
1
42
5
a
3
 5 
1
3
1
92
5 
a
4
 5 
1
4
1
162
5 
a
1
 1 a
2
 1 a
3
 1 a
4 
5 1
1
4
1
9
1
16
1 1 1 5 
144 36 16 9
144
205
144
1 1 1
5
No exercício 1b, a notação f(n) 
corresponde a a
n
.
Para
reFletIr
2 Calcule o 8o termo da sequência que tem a
1
 5 6 e a
n
 5 a
n 2 1 
1 
1 3, para n > 2. 
n 5 1 ⇒ a
1
 5 6
n 5 2 ⇒ a
2
 5 a
1
 1 3 5 6 1 3 5 9
n 5 3 ⇒ a
3
 5 a
2
 1 3 5 9 1 3 5 12
n 5 4 ⇒ a
4
 5 a
3
 1 3 5 12 1 3 5 15
etc.
A sequência é (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...).
Logo, o 8o termo é 27.
3 Observe as figuras formadas com palitos.
Agora, complete a tabela com o número de palitos necessá-
rios para formar os triângulos:
Número de triângulos Número de palitos
1 3
2 5
3 7
4 9
5 11
: :
x 2x 1 1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-2
H-7
En
em
C-6
H-2
4
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste 
“selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: la-
ranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.
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 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 7
Observando que o número de palitos necessários é dado em 
função do número de triângulos que se quer formar, responda:
a) Quantos palitos são necessários para formar 20 triângulos?
41 palitos
2x 1 1 5 2 ? 20 1 1 5 41
b) Quantos palitos são necessários para formar 77 triângulos?
155 palitos
2x 1 1 5 2 ? 77 1 1 5 155
c) Quantos triângulos se podem formar com 81 palitos? 
40 triângulos
2x 1 1 5 81 ⇒ 2x 5 80 ⇒ x 5 40
4 (FGV-SP) Os números 1, 3, 6, 10, 15, … são chamados de nú-
meros triangulares, nomenclatura justificada pela seguinte 
sequência de triângulos.
1 3 6 10 15
a) Determine uma expressão algébrica para o enésimo nú-
mero triangular.
n 5 1 ⇒ a
1
 5 1 5 
1 2
2
?
n 5 2 ⇒ a
2
 5 3 5 
2 3
2
?
n 5 3 ⇒ a
3
 5 6 5 
3 4
2
?
 
n 5 4 ⇒ a
4
 5 10 5 
4 5
2
?
etc.
Logo, a
n
 5 
n (n 1)
2
1
, para n [ N*.
b) Prove que o quadrado de todo número inteiro maior que 
1 é a soma de dois números triangulares consecutivos.
n(n 1)
2
1
 1 
(n 1) (n 2)
2
1 1
 5 
n n n 3n 2
2
2 2
1 1 1 1
 5
5 
2n 4n 2
2
2
1 2
 5 n2 1 2n 1 1 5 (n 1 1)2, para n [ N*.
En
em
C-1
H-2
En
em
C-5
H-2
1
 ProgreSSÃo arItmÉtICa (Pa)
Encontramos frequentemente grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo 
iguais. Veja, por exemplo, o seguinte problema:
Uma empresa produziu 100 000 unidades de certo produto em 2007. Quantas unidades 
produzirá, anualmente, de 2007 a 2012, se o aumento anual de produção for estabelecido em 
20 000 unidades?
Esquematizamos o problema da seguinte forma:
 produção em 2007 5 100 000
 produção em 2008 5 (produção em 2007) 1 20 000 5 100 000 1 20 000 5 120 000
 produção em 2009 5 (produção em 2008) 1 20 000 5 120 000 1 20 000 5 140 000
 produção em 2010 5 (produção em 2009) 1 20 000 5 140 000 1 20 000 5 160 000
 produção em 2011 5 (produção em 2010) 1 20 000 5 160 000 1 20 000 5 180 000
 produção em 2012 5 (produção em 2011) 1 20 000 5 180 000 1 20 000 5 200 000
Nessas condições, a produção anual nesse período será representada pela sequência:
(100 000, 120 000, 140 000, 160 000, 180 000, 200 000).
Notamos que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido a partir do ante-
rior somado a um número fixo (20 000, nesse caso). Ou seja, a produção teve aumentos iguais 
de 20 000 unidades em intervalos de tempo iguais, de 1 ano.
Sequências desse tipo são chamadas de progressões aritméticas.Observe que a diferença 
entre cada termo e o termo anterior é constante (20 000 unidades nessa sequência).
A sequência (100 000, 120 000, 140 000, 160 000, 180 000, 200 000) é um exemplo de PA. 
O aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo e é chamado razão da progressão. 
A razão dessa progressão é 20 000. Dizemos que os termos dessa sequência estão em PA.
definição
Progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada 
termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada 
razão da progressão e é representada pela letra r.
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8 Progressões e matrizes
Exemplos:
1o) A sequência (2, 7, 12, 17, …) é uma progressão aritmética infinita de razão r 5 5, em que 
a
1
 5 2. Essa é uma PA crescente, pois r . 0.
2o) A sequência (20, 10, 0, 210, 220) é uma PA de cinco termos em que o 1o termo é a
1
 5 20 
e a razão é r 5 210. Essa é uma PA decrescente, pois r , 0.
3o) A sequência (4, 4, 4) é uma PA de três termos, em que o 1o termo é a
1
 5 4 e a razão é r 5 0. 
Quando r 5 0, a PA é chamada PA constante ou estacionária.
4o) A sequência (1, 21, 1, 21, 1, 21, …) não é uma progressão aritmética, pois as diferenças 
entre termos sucessivos são alternadamente 22 e 2.
Observações:
1a) Notamos então que, de modo geral, uma sequência (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, …, a
n
, …) é uma PA quando:
a
2
 5 a
1
 1 r ⇒ a
2
 2 a
1
 5 r
a
3
 5 a
2
 1 r ⇒ a
3
 2 a
2
 5 r
a
4
 5 a
3
 1 r ⇒ a
4
 2 a
3
 5 r
A
a
n
 5 a
n 2 1
 1 r ⇒ a
n
 2 a
n 2 1
 5 r
Comparando, temos:
a
2
 2 a
1
 5 a
3
 2 a
2
 5 a
4
 2 a
3
 5 … 5 a
n
 2 a
n 2 1
 5 … 5 r
2a) Da definição decorre que, se a
r 
, a
s
 e a
p
 são termos consecutivos de uma PA, então:
a
s
 2 a
r
 5 a
p
 2 a
s
 ⇒ 2a
s
 5 a
r
 1 a
p
 ⇒ a
s
 5 
a a
2
r p1
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma progressão aritmética, o termo do meio é a 
média aritmética dos outros dois.
representações especiais
Eventualmente podemos recorrer a algumas representações especiais de uma PA, principalmen-
te quando a soma dos termos for conhecida. A vantagem das representações especiais é diminuir a 
quantidade de cálculos exigidos em algumas situações.
As principais representações especiais são:
 três termos em PA: (x 2 r, x, x 1 r)
 quatro termos em PA: (x 2 3y, x 2 y, x 1 y, x 1 3y)
Note que nesse caso r 5 2y.
 cinco termos em PA: (x 2 2r, x 2 r, x, x 1 r, x 1 2r)
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
3 A sequência (x 2 4y, x 2 2y, x, x 1 2y), em que x e y são nú-
meros reais, é ou não uma PA? Se for, determine a razão.
reSoluÇÃo:
 (x 2 2y) 2 (x 2 4y) 5 x 2 2y 2 x 1 4y 5 2y
 x 2 (x 2 2y) 5 x 2 x 1 2y 5 2y
 (x 1 2y) 2 x 5 x 1 2y 2 x 5 2y
Logo, a sequência é uma PA de razão r 5 2y.
4 A sequência 2,
7
3
, …




 
, …


 é uma PA infinita. Determine a razão e 
o 3o termo dessa PA.
reSoluÇÃo:
a
1
 5 2; a
2
 5 
7
3
 
r 5 a
2
 2 a
1
 5 2 5 2 52 5
7
3
22 522 5
7
3
6
3
1
3
 
a
3
 5 a
2
 1 r 5 1 51 5
7
3
1
1 5
1
1 5
3
8
3
Logo, r 5 
1
3
 e a
3
 5 
8
3
.
5 Determine quatro números em PA crescente, sabendo que 
sua soma é 22 e a soma de seus quadrados é 6.
reSoluÇÃo:
Um artifício para representar PAs com um número par de ter-
mos é chamar os dois termos centrais de x 2 y e x 1 y, pois 
assim a razão passa a ser:
(x 1 y) 2 (x 2 y) 5 xx 1 y 2 xx 1 y 5 2y 
Logo, r 5 2y.
Portanto, a PA é dada por (x 2 3y, x 2 y, x 1 y, x 1 3y), com 
as seguintes condições:
2 1 2 1 1 1 1 52
2 1 2 1 1 1 1 5
(x 3y2 13y2 1) (2 1) (2 1 x y2 1x y2 1) (2 1) (2 1 x y1 1x y1 1) (1 1) (1 1 x 31 5x 31 5y)1 5y)1 5 2
(x 3y2 13y2 1) (2 1) (2 1 x y2 1x y2 1) (2 1) (2 1 x y1 1x y1 1) (1 1) (1 1 x 31 5x 31 5y)1 5y)1 562 2 22 12 2 21 12 2 2) (2 2 2) (2 1) (2 2 22 12 2 2) (x y2 2 22 1x y2 12 2 22 2 2x y) (2 2 2) (2 1) (2 12 2 22 12 2 2) (x y2 2 21 1x y1 12 2 22 2 2x y) (2 2 2) (1 1) (1 12 2 21 12 2 2) ( 21 521 5









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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
9
Efetuando os cálculos, chegamos a:
x 3y x y x y x 3y 2
x 6xy 9y x 2xy y x
2xy y x 6xy 9y 6
2 2x 62 2x 6 9y2 2 2 2x 22 2x 2xy2 2 2
2 2x 62 2x 6 2














2 1x 32 1x 3y x2 1y x 2 1y x2 1y x 1 1y x1 1y x 1 53y1 52
2 1x 62 1x 6xy2 12 22 12 2x 62 22 12 12 2xy2 22 12 12 2 1 2x 21 2x 2x 22 2x 21 21 22 21 1y x1 1y x2 21 12 2y x2 2y x1 11 12 2 1
1 12x1 1y y1 1y y 1 1x 61 1x 62 21 12 2x 62 2x 61 11 12 2 1 59y1 521 5
52
1 5
4x 2
4x 20y1 520y1 562 21 52 21 520y2 21 520y1 52 22 220y









Resolvendo o sistema:
 4x 5 22 ⇒ x 5 21
2
 
 4x2 1 20y2 5 6 ⇒ 4 2
1
2
2




 



 1 20y2 5 6 ⇒
⇒ 1 1 20y2 5 6 ⇒ 20y2 5 5 ⇒ 
⇒ y2 5 1
4
 ⇒ y 5 
1
2
± 
Como a PA é crescente, então y é positivo.
Assim, x 5 2
1
2
 e y 5 
1
2
. Daí, vem:
x 2 3y 5 22; x 2 y 5 21; x 1 y 5 0; x 1 3y 5 1
Portanto, a PA é dada por (22, 21, 0, 1), e sua razão é r 5 1.
6 Três números estão em PA; o produto deles é 66 e a soma é 
18. Calcule os três números.
reSoluÇÃo:
Podemos sempre representar três números em PA por x 2 r, 
x, x 1 r, em que r é a razão.
Assim, temos o seguinte sistema de equações:
2 ? ? 1
2 1 1 1
2 5
5
(x r)2 ?r)2 ? x (? 1x (? 1x r? 1x r? 1 ) 65) 66
(x r)2 1r)2 1 x (1 1x (1 1x r1 1x r1 1 ) 15) 18
x (x r2 5x r2 5) 62 5) 62 5 6
3x 18
2 2 2x r2 2x r







 ⇒









Resolvendo o sistema:
 3x 5 18 ⇒ x 5 6
 6(62 2 r2) 5 66 ⇒ 36 2 r2 5 
66
6
 ⇒ 36 2 r2 5 11 ⇒ 
⇒ r2 5 25 ⇒ r 5 ±5
Então, para x 5 6 e r 5 5, temos:
 x 2 r 5 6 2 5 5 1 x 1 r 5 6 1 5 5 11
Para x 5 6 e r 5 25, temos:
 x 2 r 5 6 2 (25) 5 11 x 1 r 5 6 2 5 5 1
Verificação:
1 ? 6 ? 11 5 66 e 1 1 6 1 11 5 18
Portanto, os números procurados são 1, 6 e 11, que estabe-
lecem duas PAs: uma crescente (1, 6, 11) e outra decrescente 
(11, 6, 1).
Para CoNStruIr
5 Sabe-se que três números inteiros estão em PA. Se esses nú-
meros têm por soma 24 e por produto 120, calcule os três 
números.
PA (x 2 r, x, x 1 r)
x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 24 ⇒ 3x 5 24 ⇒ x 5 8
(8 2 r) ? 8 ? (8 1 r) 5 120 ⇒ 64 2 r2 5 15 ⇒ r2 5 49 ⇒ r' 5 ±7
Portanto, os números procurados são 1, 8 e 15, que estabelecem 
duas PAs: uma crescente (1, 8, 15) e outra decrescente (15, 8, 1).
6 (Unicamp-SP) O perímetro de um triângulo retângulo é 
igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão 
aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a: c
a) 3,0 m2.
b) 2,0 m2.
c) 1,5 m2.
d) 3,5 m2.
Sejam x, x 1 r e x 1 2r as medidas, em metros, dos lados do triân-
gulo, com x, r . 0.
x 1 2r é a hipotenusa, já que é o maior lado do triângulo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
(x 1 2r)2 5 x2 1 (x 1 r)2
x2 1 4xr 1 4r2 5 x2 1 x2 1 2xr 1 r2
x2 1 4xr 1 4r2 5 2x2 1 2xr 1 r2
2x2 1 2xr 1 3r2 5 0
x2 2 2xr 2 3r2 5 0
(x 1 r)(x 2 3r) 5 0
Como x . 0,
x 5 3r
Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, temos: 
3r 4r 5r 6 12r 6 r
1
2
1 1 5 5 5⇒ ⇒
 
Lembrando que a área do triângulo retângulo pode ser calculada 
considerando-se um cateto como base e o outro como altura, temos:
?
5 5 ? 5




3r 4r
2
12r
2
6
1
2
1,5 m
2 2
2.
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
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10 Progressões e matrizes
 Fórmula do termo geral de uma Pa
Em uma PA (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …) de razão r, partindo do 1o termo, para avançar um termo, basta 
somar r ao 1o termo (a
2
 5 a
1
 1 r); para avançar dois termos, basta somar 2r ao 1o termo (a
3
 5 a
1
 1 
1 2r); para avançar três termos, basta somar 3r ao 1o termo (a
4
 5 a
1
 1 3r); e assim por diante. Desse 
modo, encontramos o termo de ordem n, denominado termo geral da PA, que é dado por:
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r
Ao passar de a
1
 para a
n
, avançamos (n 2 1) termos, ou seja, basta somar (n 2 1) vezes a razão 
ao 1o termo.Nessa fórmula, temos:
a
n
 5 termo geral; a
1
 5 1o termo; n 5 número de termos (até a
n
); r 5 razão da PA.
Observações:
1a) Note que a
9
 5 a
4
 1 5r, pois, ao passar de a
4
 para a
9
, avançamos cinco termos e que 
a
3
 5 a
15
 2 12r, pois retrocedemos 12 termos ao passar de a
15
 para a
3
; e assim por diante.
Agora podemos estender a definição do termo geral para:
a
n
 5 a
k
 1 (n 2 k)r
Ao passar de a
k
 para a
n
, avançamos (n 2 k) termos, ou seja, basta somar (n 2 k) vezes a razão 
ao k-ésimo termo.
2a) Observe a PA finita (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
). Nela, os termos a
2
 e a
3
 são equidistantes dos extremos a
1
 
e a
4
. Veja: a
2
 1 a
3
 5 (a
1
 1 r) 1 a
3
 5 a
1
 1 (a
3
 1 r) 5 a
1
 1 a
4
Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes 
dos extremos é igual à soma dos extremos.
Generalizando, temos que:
a
m
 1 a
n
 5 a
k
 1 a
p
 se m 1 n 5 k 1 p.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 8 a 12 Para aprimorar: 1 e 2
7 (UEG-GO) Sabendo que o lado, a diagonal e a área de um 
quadrado estão em progressão aritmética, calcule a medida 
do lado do quadrado.
Seja , o lado do quadrado, então PA ( ), , ,; 2; 2 .
Logo, em se tratando de três termos consecutivos de uma PA, o 
termo do meio é a média aritmética dos outros dois:
, 2 5 
1, ,
2
2
 ⇒ , 2 5 
(1 )
2
1, ,
 ⇒ 1 1 , 5 2 2 ⇒ , 5 2 2 21
8 As medidas dos ângulos de um triângulo estão em PA de ra-
zão 20. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo. 
PA (x 2 r, x, x 1 r)
x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 180º ⇒ 3x 5 180º ⇒ x 5 60º
PA (60º 2 20º, 60º, 60º 1 20º) ⇒ PA (40º, 60º, 80º)
Verificação:
40º 1 60º 1 80º 5 180º
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
11
Consequentemente, tomando-se três termos consecutivos (…, a
k 2 1
, a
k
, a
k 1 1
, …), temos que 
2a
k
 5 a
k 2 1
 1 a
k 1 1
, pois k 1 k 5 k 2 1 1 k 1 1. Isso significa que o termo central é a média 
aritmética dos seus vizinhos: 
a
k
 5 
1
2 1
a a
2
k 1 k 1
3a) Muitas vezes, é conveniente notar que o 1o termo é a
0
, e não a
1
, ficando o termo geral da PA 
dado por a
n
 5 a
0
 1 nr. Observe isso no seguinte problema:
Se o preço de um carro novo é R$ 40 000,00 e esse valor diminui R$ 1 200,00 a cada ano de uso, 
qual será seu preço com 5 anos de uso?
Temos uma PA com a
0
 5 40 000, razão r 5 21 200, e queremos determinar a
5
:
a
5
 5 a
0
 1 5r 5 40 000 1 5(21 200) 5 40 000 2 6 000 5 34 000
Assim, após 5 anos, o carro custará R$ 34 000,00.
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
7 Dê a fórmula do termo geral da PA (5, 9, … ).
reSoluÇÃo:
Na PA dada, temos a
1
 5 5 e r 5 9 2 5 5 4.
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ a
n
 5 5 1 (n 2 1)4 5 
5 5 1 4n 2 4 5 4n 1 1
Logo, a fórmula do termo geral é a
n
 5 4n 1 1.
8 Qual é o 1o termo de uma PA em que a
10
 5 39 e r 5 4?
reSoluÇÃo:
Dados: a
10
5 39; r 5 4; n 5 10.
a
10
 5 a
1
 1 9r ⇒ 39 5 a
1
 1 9 ? 4 ⇒
⇒ 39 5 a
1
 1 36 ⇒ a
1
 5 3
Então, a
1
 5 3 e a PA é (3, 7, 11, … ).
9 Numa PA de 14 termos, o 1o termo é 2, e o último é 28. Calcu-
le a razão dessa PA.
reSoluÇÃo:
Dados: a
1
5 2; a
14
5 28; n 5 14.
a
14
 5 a
1
 1 13r ⇒ 28 5 2 1 13r ⇒
⇒ 13r 5 26 ⇒ r 5 2
Portanto, r 5 2 e a PA é (2, 4, 6, 8, … , 28).
10 Numa PA crescente, a
2
 1 a
6
 5 20 e a
4
 1 a
9
 5 35. Determine o 
1o termo (a
1
) e a razão r dessa PA.
reSoluÇÃo:
a a r
a a 5r
2 1a a2 1a a
6 1a a6 1a a
5 1a a5 1a a2 15 1a a2 15 15 12 1
5 1a a5 1a a6 15 1a a6 15 15 16 1 } ⇒ a2 1 a6 5 (a1 1 r) 1 (a1 1 5r) ⇒ a2 1 a6 5 
5 2a
1
 1 6r (I)
a a 3r
a a 8r
4 1a a4 1a a
9 1a a9 1a a
5 1a a5 1a a4 15 1a a4 15 15 14 1
5 1a a5 1a a9 15 1a a9 15 15 19 1 } ⇒ a4 1 a9 5 (a1 1 3r) 1 (a1 1 8r) ⇒ a4 1 a9 5 
5 2a
1
 1 11r (II)
Pelos dados do problema, vamos resolver o sistema:
2a 6r 20
2a 11r 35
1
1








 ⇒
1 56r1 5
1 511r1 5 
2 a2 a 6r 20
2 a2 a 11r 35
5r 15r r 3
1
1
2 22 a2 22 a2 2 52
1 511r1 5
5 515r5 5r 35 5r 3









⇒5 5⇒5 5
 
Substituindo em (I), temos:
2a
1
 1 6 ? 3 5 20 ⇒ 2a
1
 1 18 5 20 ⇒ 2a
1
 5 2 ⇒ a
1
 5 1
Logo, a
1
 5 1 e r 5 3. A PA é (1, 4, 7, 10, 13, … ).
11 Numa PA, a
10
 5 23 e a
12
 5 11. Calcule o 1o termo (a
1
) e a 
razão r dessa PA.
reSoluÇÃo:
a
12
 5 a
10
 1 2r ⇒ 11 5 23 1 2r ⇒ 2r 5 14 ⇒ r 5 7
a
12
 5 a
1
 1 11r ⇒ 11 5 a
1
 1 11 ? 7 ⇒ a
1
 5 266
Então, a
1
 5 266, r 5 7 e a PA é (266, 259, 252, 245, … ).
12 Quantos são os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1 000?
reSoluÇÃo:
 o primeiro número múltiplo de 8, maior que 100, é 104;
 o último número múltiplo de 8, menor que 1 000, é 992.
Então, os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1 000 
constituem a PA (104, 112, … , 992).
Nessa PA, temos: a
1
5 104; r5 8; a
n
 5 992.
Precisamos calcular o número n de termos da PA:
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ 992 5 104 1 (n 2 1)8 ⇒ 992 5 104 1 
1 8n 2 8 ⇒ 8n 5 992 2 104 1 8 ⇒ 8n 5 896 ⇒ n 5 112
Portanto, existem 112 múltiplos de 8 compreendidos entre 
100 e 1 000.
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12 Progressões e matrizes
Para CoNStruIr
9 (UFSM-RS) As doenças cardiovasculares são a principal causa 
de morte em todo mundo. De acordo com os dados da Or-
ganização Mundial da Saúde, 17,3 milhões de pessoas morre-
ram em 2012 vítimas dessas doenças. A estimativa é que, em 
2030, esse número seja de 23,6 milhões.
Suponha que a estimativa para 2030 seja atingida e conside-
re a
n
, com n [ N, a sequência que representa o número de 
mortes (em milhões de pessoas) por doenças cardiovascu-
lares no mundo, com n 5 1 correspondendo a 2012, n 5 2 
correspondendo a 2013 e assim por diante.
Se a
n
 é uma progressão aritmética, então o 8o termo dessa 
sequência, em milhões de pessoas, é igual a: c
a) 19,59.
b) 19,61.
c) 19,75.
d) 20,10.
e) 20,45.
Em 2012: a
1
 5 17,3
Em 2030: a
19
 5 23,6
Considerando a PA, temos:
5 1 ?
5 1 ?
? 5
5
a a 18 r
23,6 17,3 18 r
18 r 6,3
r 0,35
19 1
Portanto, o oitavo termo dessa sequência é:
5 1 ?
5 1 ?
5
a a 7 r
a 17,3 7 0,35
a 19,75
8 1
8
8
10 (Fuvest-SP) Seja A o conjunto dos 1 993 primeiros números 
inteiros estritamente positivos.
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A?
132 múltiplos.
PA (15, 30, …, 1 980)
a
1
 5 15; r 5 15; a
n
 5 1 980
a
n
 5 a
1
 1 (n
1
 2 1)r
1 980 5 15 1 (n
1
 2 1)15 ⇒ 1 980 215 5 15n
1
 215 ⇒ n
1
 5 132
b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 
3 nem de 5? 
1 063 números.
Para saber quantos são os múltiplos de 3 e de 5, é preciso reti-
rar depois os múltiplos de 15, que são as interseções. Portanto, 
temos:
múltiplos de 3 → PA (3, 6, …, 1 992)
a
1
 5 3; r 5 3; a
n
 5 1 992
1 992 5 3 1 (n
2
 2 1)3 ⇒ 1 992 2 3 5 3n
2
 2 3 ⇒ n
2
 5 664
múltiplos de 5 → PA (5, 10, …, 1 990)
a
1
 5 5; r 5 5; a
n
 5 1 990
1 990 5 5 1 (n
3
 2 1)5 ⇒ 1 990 2 5 5 5n
3
 2 5 ⇒ n
3
 5 398
Assim:
n 5 1 993 2 (n
2
 1 n
3
 2 n
1
) 5 1 993 2 (664 1 398 2 132) 5
5 1 993 2 930 5 1 063
11 (Uerj)
Disponível em: <leceblog.blogspot.com>. Adaptado.
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em 
quilômetros, d
AB
, d
BC
 e d
CD
 formam, nessa ordem, uma pro-
gressão aritmética.
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a: a
a) −50. b) −40. c) −30. d) −20.
A B
x 1 10 x 2 10x
C D
1 1 1 2 5
5
5
x 10 x x 10 390
3x 390
x 130
PA (140, 130, 120, …)
Seu vigésimo termo será dado por:
5 1 ? 2 52a 140 19 ( 10) 5020
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-1
7
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
P
E
A
N
U
T
S
, 
D
E
 C
H
A
R
L
E
S
 S
C
H
U
L
Z
/P
E
A
N
U
T
S
 W
O
R
L
D
W
ID
E
 L
L
C
./
D
IS
T
. 
B
Y
 U
N
IV
E
R
S
A
L
 U
C
L
IC
K
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
13
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 13 a 23Para aprimorar: 3 e 4
12 (UFRGS-RS) Nas malhas de pontos da figura abaixo, dois pontos adjacentes, na horizontal ou vertical, encontram-se à distância de 
1 centímetro.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da vigésima etapa, em cm2, é: d
a) 100. b) 200. c) 400. d) 800. e) 1 600.
Como os quadriláteros possuem os quatro lados e os quatro ângulos congruentes, todos são quadrados (quadriláteros regulares).
Lado do quadrado da figura da Etapa 1: x cm
5 1 5⇒x 1 1 x 2 cm2 2 2
Lado do quadrado da figura da Etapa 2: y cm
5 1 5⇒y 2 2 y 2 2 cm2 2 2
Lado do quadrado da figura da Etapa 3: z cm
5 1 5⇒z 3 3 z 3 2 cm2 2 2
Os lados dos quadrados formam uma PA, de razão 5r 2.
Logo, temos uma PA 2, 2 2, 3 2,...( ), cujo lado do vigésimo 
quadrado mede 20 2 cm.
Sua área então será dada por: 5 5( )A 20 2 800 cm2 2.
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
1
1
x
 INterPolaÇÃo arItmÉtICa
Vamos resolver o seguinte problema:
No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora está em PA 
crescente. Em janeiro, a produção foi de 18 000 carros e, em junho, de 78 000 unidades. Qual foi a 
produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
Nessas condições, o problema consiste em formar uma PA na qual:
5 5
5 5
5
a produção de janeiro 18000
a produção de junho 78000
n 6
1
n




 ⇒ (18 000, , , , , 78 000)
Devemos inicialmente calcular o valor da razão r: 
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r 
78 000 5 18 000 1 5r ⇒ 5r 5 60 000 
r 5 12 000
Então, teremos: 
a produção de fevereiro 30000
a produção de março 42000
a produção de abril 54000
a produção de maio 66000
2
3
4
5






5 5
5 5
5 5
5 5
 ⇒ (18 000, 30 000, 42 000, 54 000, 66 000, 78 000)
Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interpolar quatro meios aritméticos entre os números 
18 000 e 78 000.
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14 Progressões e matrizes
Já vimos que o termo geral de uma PA é dado por 
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ou por a
n
 5 a
0
 1 nr ao começarmos 
a enumeração dos termos por a
0
. Assim, podemos pen-
sar em uma PA como uma função que associa a cada 
número natural n o valor a
n
 dado por a
n
 5 a
0
 1 nr. Essa 
função é a restrição aos números naturais da função afim 
a(x) 5 a
0
 1 rx, ou seja, ela é definida por uma fórmula do 
tipo função afim, mas com domínio N. O gráfico dessa 
função é formado por uma sequência de pontos coli-
neares no plano: (0, a
0
), (1, a
1
), (2, a
2
), (3, a
3
), … , (n, a
n
), … 
Assim, podemos caracterizar uma PA observando 
que uma sequência (a
n
) é uma PA se e somente se os 
pontos do plano que têm coordenadas (0, a
0
), (1, a
1
), 
(2, a
2
), (3, a
3
), etc. estiverem em linha reta.
INterPretaÇÃo geomÉtrICa de uma ProgreSSÃo arItmÉtICa
0 1 2 3 4
a
n
 = a
0
 + nr
n
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
n
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
13 Interpole seis meios aritméticos entre os números 100 e 184.
reSoluÇÃo:
Precisamos formar a seguinte PA:
(100, , , , , , , 184) em que:
a 100
a 184
n 2 6 8 termos
1
n
5
5
5 1n 25 1n 2 6 856 8














a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r 
184 5 100 1 7r ⇒ 7r 5 84 
r 5 12
Então, temos a PA (100, 112, 124, 136, 148, 160, 172, 184).
14 Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual é a 
razão da PA obtida?
reSoluÇÃo:
a 2
a 79
n 2 10 12 termos
1a 21a 2
na 7na 7
a 25a 2
a 75a 7
5 1n 25 1n 2 5














a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r 
79 5 2 1 11r
11r 5 77
r 5 7
Logo, r 5 7.
 Soma doS termoS de uma Pa FINIta
Na tabela abaixo está demonstrada a produção anual de uma empresa em certo período:
Ano Produção (em unidades)
2000 10 000
2001 12 000
2002 14 000
2003 16 000
2004 18 000
2005 20 000
2006 22 000
2007 24 000
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
15
Quantas unidades a empresa produziu de 2000 a 2007?
Pela tabela, no período de 2000 a 2007 a empresa produziu:
10 000 1 12 000 1 14 000 1 16 000 1 18 000 1 20 000 1 22 000 1 24 000 5 136 000 unidades.
Observamos que:
 as parcelas formam uma PA finita, cuja razão é r 5 2 000: (10 000, 12 000, 14 000, 16 000, 18 000, 
20 000, 22 000, 24 000).
 o número 136 000 representa a soma dos termos dessa PA.
Fórmula da soma dos termos de uma Pa finita
Carl Friedrich Gauss foi um matemático alemão que viveu de 1777 a 1855. Certo dia, quando 
Gauss era um estudante de aproximadamente 10 anos de idade, seu professor, querendo manter 
o silêncio em sala de aula por um bom tempo, pediu que os alunos somassem todos os números 
de 1 a 100, isto é, 1 1 2 1 3 1 4 1 … 1 99 1 100. Para surpresa do professor, depois de alguns 
minutos, Gauss disse que a soma era 5 050. Veja seu raciocínio:
1 1 2 1 3 1 ... 1 98 1 99 1 100
(1 1 100 5 101; 2 1 99 5 101; 3 1 98 5 101 etc.)
50 parcelas de 101 ⇒ 50 ? 101 5 5 050
Ou seja, 1 1 2 1 3 1 … 1 99 1 100 5 5 050.
Fórmula
O procedimento usado por Gauss no caso da PA (1, 2, 3, 4, …, 99, 100) vale de modo geral.
Consideremos a PA finita de razão r (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
 
2 2
, a
n
 
2 1
, a
n
) cuja soma dos seus n termos 
pode ser escrita por:
S
n
 5 
5
∑ai
i 1
n
S
n
 5 a
1
 1 a
2
 1 a
3
 1 … 1 a
n 2 2
 1 a
n 2 1 
1 a
n
a
1
 1 a
n
a
1
 1 a
n
a
1
 1 a
n
Portanto:
S
n
 5 1 1 1 1 1 1
1
1 2444444 3444444
(a a ) (a a ) … (a a )1 n 1 n 1 n
n
2
parcelas iguais a (a1 an)
Observação: O símbolo Σ significa somatório.
Então, a fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA é:
S
n
 5 
a a n
2
1 n( )1
em que:
 a
1
 é o primeiro termo;
 a
n
 é o enésimo termo;
 n é o número de termos;
 S
n
 é a soma dos n termos.
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16 Progressões e matrizes
15 Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, …).
reSoluÇÃo:
Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam uma PA fini-
ta, na qual a
1
 5 2, r 5 4 e n 5 50.
Devemos calcular a
n
 (ou seja, a
50
):
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ a
50
 5 2 1 49 ∙ 4 ⇒ a
50
 5 2 1 196 ⇒ 
⇒ a
50
 5 198
Aplicando a fórmula, temos:
S
n
 5 
1(a a )n
2
1 n11 na )1 na ) ⇒ S
50
 5 
1(2 198)50
2
 ⇒ S
50
 5 5 000
A soma procurada é igual a 5 000.
16 A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1o termo dessa 
PA é 2, calcule a razão r da PA.
reSoluÇÃo:
Nessa PA, sabemos que S
10
 5 200, a
1
 5 2 e n 5 10.
Devemos calcular a
10
 aplicando a fórmula da soma:
S
10
 5 
1(a a )10
2
1 111 1a )1 1a )0a )0a ) ⇒ 200 5 
1(2 a )10
2
10a )10a ) ⇒ 400 5 20 1 10a
10 
⇒ 
⇒ 10a
10
 5 380 ⇒ a
10
 5 38
Vamos calcular r:
a
10
 5 a
1
 1 9r ⇒ 38 5 2 1 9r ⇒ 9r 5 36 ⇒ r 5 4
Então, a razão procurada é 4.
17 Determine o valor de x na igualdade 2 1 7 1 … 1 2x 5 198, 
sabendo que as parcelas do 1o membro formam uma PA.
reSoluÇÃo:
Nessa PA, temos S
n
 5 198, a
1
 5 2, a
n
 5 2x e r 5 7 2 2 5 5.
Vamos determinar n em função de x:
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r ⇒ 2x 5 2 1 (n 2 1)5 ⇒ 2x 5 2 1 5n 2 5 ⇒ 
⇒ 5n 5 2x 1 3 ⇒ n 5 
2x 3
5
1
 
Aplicando a fórmula da soma, temos:
S
n
 5 
1n(a a1a a )
2
1 na a1 na a1a a1 n1 na a ⇒ 198 5 
1
1
2x 3
5
(2 2x)
2




 




 ⇒ 
⇒ 
2x 3
5
1



 




 (2 1 2x) 5 396 ⇒ 
4x 4x 6 6x
5
2
1 14x1 121 16 616 6
 5 396 ⇒ 
⇒ 4x2 1 10x 1 6 5 1 980 ⇒ 2x2 1 5x 2 987 5 0
Vamos resolver a equação do 2o grau:
2x2 1 5x 2 987 5 0
Δ 5 52 2 4 ? 2 ? (2987) 5 25 1 7 896 5 7 921
x 5 
5 89
4
5 8±5 82
 ⇒ x' 5 21 e x" 5 
47
2
2 
Como a PA é crescente, temos que x 5 21.
18 Determine o valor de:
a) S 5 2i;
i 1
5
i 15i 1
∑ 
b) S 5 
i 1
30
i 15i 1
∑( )1 i( )1 i11 i( )1
reSoluÇÃo:
a) S 5 2i
i 1
5
i 15i 1
∑ 
O símbolo S significa somatório, ou seja, devemos efetuar 
a seguinte soma:
S 5 2 ? 1 1 2 ? 2 1 2 ? 3 1 2 ? 4 1 2 ? 5 5 2 1 4 1 6 1 8 1 
1 10 5 30
b) S 5 
i 1
30
i 15i1
∑( )1 i( )1 i11 i( )1
S 5 (1 1 1) 1 (1 1 2) 1 … 1 (1 1 29) 1 (1 1 30) 5 2 1 3 1 
1 … 1 30 1 31
Assim, temos uma PA em que a
1
 5 2 e a
30
 5 31.
Aplicando a fórmula, temos:
S 5 
1 ?(2 311 ?311 ?) 31 ?) 31 ? 0
2
 5 495
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
Para CoNStruIr
13 Calcule as somas:
a) dos trinta primeiros termos da PA (4, 10, …);
a
1
 5 4 e r 5 6 
a
30
 5 a
1
 1 29r 5 4 1 29 ? 6 5 178
S
30
 5 
4 178 30
2
( )1
 
S
30
 5 2 730
b) dos vinte primeiros termos de uma PA em que o 1o termo 
é a
1
 5 17 e r 5 4;
n 5 20; a
1
 5 17; r 5 4 
a
20
 5 a
1
 1 19r 5 17 1 19 ? 4 5 93
S
20
 5 
17 93 20
2
( )1
 5 1 100
S
20
 5 1 100
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Progressões e matrizes
M
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IC
A
 
 
Á
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G
E
B
R
A
17
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 24 a 32 Para aprimorar: 5
c) dos 200 primeiros números pares positivos;
PA (2, 4, …)
a
1
 5 2; r 5 2; n 5 200
a
200
 5 2 1 199 ? 2 5 400
S
200
 5 
2 400 200
2
( )1
 5 40 200
S
200
 5 40 200
d) dos 50 primeiros múltiplos positivos de 5.
PA (5, 10, …)
a
1
 5 5; r 5 5; n 5 50
a
50
 5 5 1 49 ? 5 5 250
S
50
 5 
1( )5 250 50
2
 5 6 375
S
50
 5 6 375
14 (Uerj) Admita a realização de um campeonato de futebol no 
qual as advertências recebidas pelos atletas são representa-
das apenas por cartões amarelos. Esses cartões são converti-
dos em multas, de acordo com os seguintes critérios:
 os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
 o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;
 os cartões seguintes geram multas cujos valores são sem-
pre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa 
anterior.
Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco pri-
meiros cartões aplicados a um atleta.
Cartão amarelo recebido Valor da multa (R$)
1o 2
2o 2
3o 500
4o 1 000
5o 1 500
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos 
durante o campeonato.
O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses 
cartões equivale a: b
a) 30 000 b) 33 000 c) 36 000 d) 39 000 
As multas relacionadas formarão uma PA de 11 termos e de razão 
500 (500, 1 000, 1 500, ... , a
11
), em que a
11
 5 500 1 10 ? 500 5 5 500
Calculando a soma dos 11 primeiros termos dessa PA, temos:
5
1 ?
5
( )
S
500 5500 11
2
33000
15 (UEPB) Melhorando-se o nível de alimentação da população, 
as condições sanitárias das casas e ruas, promovendo-se a vaci-
nação das crianças e o pré-natal, é possível reduzir o índice de 
mortalidade infantil em determinada cidade. Considerando-se 
que o gráfico a seguir representa o número de crianças que 
foram a óbito a cada ano, durante dez anos, e que os pontos 
do gráfico são colineares, podemos afirmar corretamente que 
o total de crianças mortas nesse intervalo de tempo foi de: b
y
x (Ano)10
56
23 45 6 78910
N
ú
m
e
ro
 d
e
 ó
b
it
o
s
a) 224. b) 280. c) 324. d) 300. e) 240.
A sequência é uma PA de 10 termos, pois sua variação é constante 
e, no gráfico, os pontos pertencem a uma mesma reta.
PA (56, , , , , , , , , 0)
A soma dos 10 primeiros termos da PA será dada por:
5
1 ?
5
( )
S
56 0 10
2
28010
16 (Uece) Se n é a soma dos 2013 primeiros números inteiros 
positivos, então o algarismo das unidades de n é igual a: a
a) 1. b) 3. c) 5. d) 7
5
1 ?
5 ?n
1 2013 2013
2
1007 2013
( )
Não há a necessidade de se realizar a multiplicação, pois, como 7 ? 3 5
5 21, já teremos que o último algarismo de n será 1.
17 (PUC-RJ) A soma de todos os números naturais pares de três 
algarismos é: c
a) 244 888.
b) 100 000.
c) 247 050.
d) 204 040.
e) 204 000.
a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r
998 5 100 1 (n 2 1)2
998 5 100 1 2n 2 2
998 5 98 1 2n
2n 5 900
n 5 450
O resultado pedido corresponde à soma dos termos da PA (100, 
102,..., 998), ou seja, 
1
? 5




100 998
2
450 247050
18 (Cefet-RJ) Disponha os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 nas 
casas do tabuleiro abaixo de modo que: o número 9 ocupe 
a casa central, os números da primeira linha sejam todos ím-
pares e a soma dos números de cada linha e cada coluna seja 
sempre a mesma.
2
7
6
5
9
1
3
4
8
 
Calculando a soma de todos os naturais de 1 ao 9, temos: 
1 ?
5
( )1 9 9
2
45.
Portanto, a soma de cada linha e de cada coluna será 5;45 3 15.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
1
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18 Progressões e matrizes
 ProgreSSÃo geomÉtrICa (Pg)
A taxa de crescimento relativo de uma grandeza é dada pela razão entre o seu aumento e seu 
valor inicial. Assim, uma grandeza que passa do valor a para o valor b apresenta taxa de crescimento 
relativo valendo 
2b a
a
.
Por exemplo, a taxa de crescimento relativo de uma grandeza que passa do valor 5 para o valor 
8 é igual a 60%, pois 
2
5
8 5
5
3
5
 5 0,60 5 60%.
Neste item, trataremos de sequências que variam com taxa de crescimento relativo constante. 
Examine, por exemplo, a seguinte situação-problema:
Em 2007, uma empresa produziu 200 000 unidades de certo produto. Quantas unidades pro-
duzirá no período de 2007 a 2012 se o aumento de produção anual for sempre de 10% em relação 
ao ano anterior?
Esquematizamos o problema da seguinte forma:
 produção em 2007 5 200 000
 produção em 2008 5 produção em 2007 ? 1,10 5 200 000 ? 1,10 5 220 000
 produção em 2009 5 produção em 2008 ? 1,10 5 220 000 ? 1,10 5 242 000
 produção em 2010 5 produção em 2009 ? 1,10 5 242 000 ? 1,10 5 266 200
 produção em 2011 5 produção em 2010 ? 1,10 5 266 200 ? 1,10 5 292 820
 produção em 2012 5 produção em 2011 ? 1,10 5 292 820 ? 1,10 5 322 102
Nessas condições, a produção anual, nesse período, será representada pela sequência (200 000, 
220 000, 242 000, 266 200, 292 820, 322 102).
Notamos que, nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido com a multiplicação 
do termo anterior por um número fixo (no caso, 1,10), ou seja, a produção anual teve uma taxa de 
crescimento relativo constante de 10% em relação ao ano anterior.
Sequências com esse tipo de lei de formação são chamadas progressões geométricas. No 
exemplo dado, o valor 1,10 é chamado de razão da progressão geométrica (PG) e é indicado por q 
(no exemplo, q 5 1,10). Dizemos que os termos dessa sequência estão em PG.
definição
Progressão geométrica (PG) é toda sequência de números não nulos na qual é constante 
o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente 
constante é chamado razão (q) da progressão. Ou seja, uma PG é uma sequência na qual a taxa 
de crescimento relativo de cada termo para o seguinte é sempre a mesma.
Exemplos:
1o) A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, em que o 1o termo é a
1
 5 2 e a 
razão é q 5 5. Observe que:
 a
1
 5 2; a
2
 5 2 ? 5; a
3
 5 10 ? 5; a
4
 5 50 ? 5
 250 : 50 5 5; 50 : 10 5 5; 10 : 2 5 5 → quociente constante 5 5 (razão)
 a taxa de crescimento relativo de a para b é dada por 
2b a
a
. Nesse exemplo:
i 5 
210 2
2
 5 
8
2
 5 4 5 400%
Logo, q 5 1 1 i 5 1 1 4 5 5.
2o) A sequência (6, 212, 24, 248, 96) é uma PG de cinco termos, na qual a
1
 5 6 e q 5 22, pois:
a
1
 5 6
a
2
 5 212 5 6(22), ou seja, a
2
 5 a
1
 ? (22)
a
3
 5 24 5 (212)(22), ou seja, a
3
 5 a
2
 ? (22)
a
4
 5 248 5 24(22), ou seja, a
4
 5 a
3
 ? (22)
a
5
 5 96 5 (248)(22), ou seja, a
5
 5 a
4
 ? (22)
Se uma grandeza tem taxa de 
crescimento relativo igual a i, 
o novo valor é obtido fazendo 
(1 1 i) vezes o valor anterior. No 
exemplo, (1 1 i) 5 (1 1 0,10) 5
5 1,10 ou 1,1.
Para
reFletIr
Aumentar uma vez é aumentar 
100%, aumentar duas vezes é au-
mentar 200% e assim por diante.
Para
reFletIr
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
19
Ou de modo equivalente:
 212 : 6 5 22; 24 : (212) 5 22; 248 : 24 5 22; 96 : (248) 5 22 → quociente cons-
tante 5 22 (razão)
 taxa de crescimento relativo:i 5 
2 212 6
6
 5 2
18
6
 5 23 5 2300%
Logo, q 5 1 1 i 5 1 1 (23) 5 22.
3o) A sequência (1, 3, 9, 27, 81, …) é uma PG infinita na qual a
1
 5 1 e q 5 3, pois:
a
1
 5 1
a
2
 5 3 5 1 ? 3, ou seja, a
2
 5 a
1
 ? 3
a
3
 5 9 5 3 ? 3, ou seja, a
3
 5 a
2
 ? 3
a
4
 5 27 5 9 ? 3, ou seja, a
4
 5 a
3
 ? 3, etc.
Taxa de crescimento relativo: i 5 
23 1
1
 5 2 5 200%. Logo, q 5 1 1 2 5 3.
4o) A sequência (10, 10, 10) é uma PG de três termos, em que o 1o termo é 10 e a razão é 1, pois:
a
1
 5 10
a
2
 5 10 5 10 ? 1, ou seja, a
2
 5 a
1
 ? 1
a
3
 5 10 5 10 ? 1, ou seja, a
3
 5 a
2
 ? 1
Taxa de crescimento relativo:
i 5 
2
5
10 10
10
0
10
 5 0 5 0%
Logo, q 5 1 1 0 5 1.
Observações:
1a) De modo geral, observamos que uma sequência (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …) com a
1
 Þ 0 é uma PG 
de razão q Þ 0 quando:
a
2
 5 a
1
 ? q ⇒ 
a
a
2
1
 5 q 
a
3
 5 a
2
 ? q ⇒ 
a
a
3
2
 5 q
a
4
 5 a
3
 ? q ⇒ 
a
a
4
3
 5 q
A
a
n
 5 a
n 2 1
 ? q ⇒ 
2
a
a
n
n 1
 5 q
Comparando, temos:
 5 5 5 5 5
2
a
a
a
a
a
a
…
a
a
2
1
3
2
4
3
n
n 1
 q, com q 5 1 1 i, em que i 5 
2
2
2
a a
a
n n 1
n 1
 (a
n 2 1
 Þ 0) é a taxa 
de crescimento relativo dos termos.
2a) Da definição decorre que, se a
r
, a
s
 e a
p
 estão em PG, então:
5
a
a
a
a
s
r
p
s
 ⇒ as
2 5 a
r
 ? a
p
Dados três termos consecutivos de uma PG, o termo do meio é a média geométrica dos 
outros dois.
 ClaSSIFICaÇÃo daS ProgreSSÕeS geomÉtrICaS
Dependendo da razão q, uma PG pode ser:
 Crescente: a PG é crescente quando q . 1 e os termos são positivos, ou quando 0 , q , 1 e os 
termos são negativos. Por exemplo:
 (2, 6, 18, 54, …) com q 5 3
 (240, 220, 210, 25, …) com q 5 
1
2
 
 Decrescente: a PG é decrescente quando 0 , q , 1 e os termos são positivos, ou quando 
q . 1 e os termos são negativos. Veja os exemplos:
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 19 5/19/15 6:17 PM
20 Progressões e matrizes
 (200, 100, 50, 25, …), em que q 5 
1
2
 
 (24, 212, 236, 2108, …), em que q 5 3
 Constante: a PG é constante quando q 5 1. Veja:
 (10, 10, 10, …), em que q 5 1
 (25, 25, 25, …), na qual q 5 1
 Alternante: a PG é alternante quando q , 0. Por exemplo:
 (4, 28, 16, 232, …), em que q 5 22
 (281, 27, 29, 3, …), na qual q 5 2
1
3
representações especiais
Também podemos recorrer a algumas representações especiais de PG, principalmente se o 
produto dos termos for conhecido.
As principais são:
 três termos em PG: 




x
q
, x, xq
 quatro termos em PG: 




x
y
,
x
y
, xy, xy
3
3
Nesse caso, temos q 5 y2.
 cinco termos em PG: 




x
q
,
x
q
, x, xq, xq
2
2
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
19 Verifique se a sequência (5, 15, 45, 135, 405) é uma PG.
reSoluÇÃo:
15
5
 5 3 
45
15
 5 3 
135
45
 5 3 
405
135
 5 3
Logo, a sequência é uma PG de razão 3.
20 A sequência 
1
2
,
1
6
, …


 



 é uma PG infinita. Determine a razão 
dessa PG e a taxa de crescimento dos seus termos.
reSoluÇÃo:
a
1
2
a
1
6
1
2
5
5

















q 5 
a
a
2
1
 ⇒ q 5 
1
6
1
2
 ⇒ q 5 ? 5
1
6
2? 52? 5
1
3
Logo, q 
1
3
5 .
Taxa de crescimento: i 5 
1
6
1
2
1
2
2
 5 
1
3
1
2
2
 5 2 5
2
3
5 20,66... . 266,66%
21 Determine o 8o termo de uma PG na qual a
4
 5 12 e q 5 2.
a
4
a
5
? q ? q ? q ? q
a
6
a
7 a8
Então:
a
8
 5 a
4
 ? q4 ⇒ a
8
 5 12 ? (2)4 ⇒ a
8
 5 12 ? 16 ⇒ 
⇒ a
8
 5 192
Portanto, o 8o termo da PG é 192.
22 A população de um país é atualmente igual a P
0
 e cresce 3% 
ao ano. Qual será a população desse país daqui a t anos?
reSoluÇÃo:
Como a população cresce 3% ao ano, a cada ano a população 
é 103% da do ano anterior. Logo, a cada ano a população é 
multiplicada por 103% 5 1,03.
Após t anos, a população será P
0
 ? (1,03)t.
Nesse caso, temos a PG:
P
0
, P
0
 ? (1,03), P
0
 ? (1,03)2, P
0
 ? (1,03)3, …, P
0
 ? (1,03)t, … de razão 
1,03.
23 Um tanque tem capacidade C
0
 de água. Abre-se o tampão e 
essa capacidade decresce 4% por minuto. Qual será a capaci-
dade desse tanque daqui a t minutos?
Como são os termos da PG al-
ternante?
Para
reFletIr
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
21
reSoluÇÃo:
Como a capacidade diminui 4% por minuto, em cada minuto 
a capacidade equivalerá a 96% da capacidade do minuto an-
terior. Assim, a cada minuto que passa, a capacidade é mul-
tiplicada por 96% 5 0,96. Depois de t minutos, a capacidade 
do tanque será de C
0
 ? 0,96t.
Nesse caso, a PG seria C
0
, C
0
 ? 0,96, C
0
 ? (0,96)2, C
0
 ? (0,96)3, …, C
0
 ? 
? (0,96)t, … de razão 0,96.
24 Três números estão em PG de forma que o produto deles é 
729 e a soma é 39. Calcule os três números.
reSoluÇÃo:
Nesse tipo de problema sobre PG com três termos conse-
cutivos, é conveniente representar a sequência na forma 
x
q
, x, xq













 













 , em que o termo médio é x e a razão é q. Assim, 
temos o seguinte sistema de equações:
x
qq
x x qq 729
x
q
x xq 39
x 729
x
q
x xq 39
3? ?x x? ?x x 5
1 1x x1 1x xq 35q 3
5
1 1x x1 1x xq 35q 3




















⇒











 
Da 1a equação, temos:
x3 5 729 ⇒ x 5 7293 ⇒ x 5 9
Substituindo na outra equação, temos:
9
q
 1 9 1 9q 5 39 ⇒ 9 1 9q 1 9q2 5 39q ⇒ 9q2 2 30q 1 9 5 
5 0 ⇒ 3q2 2 10q 1 3 5 0
Δ 5 (210)2 2 4(3)(3) 5 64
q 5 
±10 8
6
 ⇒ q' 5 3 e q" 5 
1
3
Então, para x 5 9 e q 5 3, temos:
1 n1 número:
x
q
9
3
3
2 n2 número: x 9
3 n3 número: xq 9 3 27
o1 no1 n
o2 no2 n
o3 no3 n
5 55 5
x 95x 9
5 ?9 35 ?9 35




















Para x 5 9 e q 5 
1
3
, temos:







































1 n1 número:
x
q
9
1
3
27
2 n2 número: x 9
3 n3 número: xq 9
1
3
3
o1 no1 n
o2 no2 n
o3 no3 n
5 55 5
x 95x 9
5 ?95 ? 5
Portanto, os números procurados são 3, 9 e 27.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 33 a 36 Para aprimorar: 6
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10
Para CoNStruIr
19 A torcida de um determinado clube é atualmente dada por 
P
0
, mas está diminuindo 3% ao ano. Se esse fato continuar a 
ocorrer, qual será a torcida desse clube daqui a t anos?
Como a torcida diminui 3% ao ano, a cada ano a torcida é igual a 97% 
da torcida do ano anterior. Logo, a cada ano a torcida é multiplicada 
por 97% 5 0,97.
Após t anos, a torcida será P
0
 ? (0,97)t.
20 (PUC-RJ) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos 
a mais que a do meio, que por sua vez tem sete anos a mais 
que a caçula. João observou que as idades delas formam 
uma progressão geométrica. Quais são as idades delas?
PG 




x
q
, x, xq 
5 1 5
1
5 1
5 1
2 5 5
2
⇒
⇒ ⇒ ⇒





xq x 8 q
x 8
x
x
x
q
7
xq x 7q
q
xq 7q x q
x
x 7
1
5
2
x 8
x
x
x 7
 ⇒ x2 5 x2 1 x 2 56 ⇒ x 5 56
x 1 8 5 64 e x 2 7 5 49
Logo, as filhas de João têm 49, 56 e 64 anos.
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 21 5/19/15 6:17 PM
22 Progressões e matrizes
 Fórmula do termo geral de uma Pg
Em uma PG (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n
, …) de razão q, para avançar um termo a partir do 1o termo, basta 
multiplicar o 1o termo pela razão q (a
2
 5 a
1
q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1o termo 
pelo quadrado da razão q (a
3
 5 a
1
q2); para avançar três termos basta multiplicar o 1o termo pelo 
cubo da razão q (a
4
 5 a
1
q3); e assim por diante. Desse modo, encontramos o termo de ordem n, 
denominado termo geral da PG, que é dado por:
a
n
 5 a
1
qn 2 1
 
,
pois, ao passar de a
1
 para a
n
, avançamos (n 2 1) termos.
Nessa fórmula:
 a
n
 é o termo geral;
 n é o número de termos (até a
n
);
 a
1
 é o 1o termo;
 q é a razão.
Observações:
1a) Note que a
10
 5 a
3
q7, pois, aopassar de a
3
 para a
10
, avançamos 7 termos; a
5
 5 
a
q
9
4 , pois, ao 
passar de a
9
 para a
5
, retrocedemos 4 termos; e assim por diante.
Dessa forma, podemos estender a definição do termo geral para:
a
n
 5 a
k
 ? qn 2 k
 
,
pois, ao passar de a
k
 para a
n
, avançamos (n 2 k) termos.
2a) Observe a PG finita (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
). Nela, os termos a
2
 e a
3
 são equidistantes dos extremos 
a
1
 e a
4
.
a
2
 ? a
3
 5 a
1
q ? a
3
 5 a
1
 ? a
3
q 5 a
1
 ? a
4
Isso é válido de modo geral, e dizemos que, numa PG finita, o produto de dois termos equidis-
tantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Generalizando, temos que:
a
m 
? a
n
 5 a
k
 ? a
p
se m 1 n 5 p 1 k.
Consequentemente, considerando-se três termos consecutivos (…, a
k 2 1
, a
k
, a
k
 
1 1
, …), temos que: 
ak
2
 5 a
k 2 1
 ? a
k 1 1
 
,
pois k 1 k 5 k 2 1 1 k 1 1.
3a) Muitas vezes é conveniente colocar o 1o termo como a
0
 e não a
1
, ficando o termo geral da 
PG dado por a
n
 5 a
0
 ? qn. Temos um exemplo dessa conveniência na resolução do seguinte 
problema: se o número de sócios de um clube hoje é 2 000 e cresce 5% ao ano, quantos 
sócios esse clube terá em 3 anos?
Temos uma PG com a
0
 5 2 000 e razão q 5 1 1 i 5 1 1 0,05 5 1,05.
Após 3 anos, o clube terá a
3
 5 a
0
 ? q3 5 2 000(1,05)3 . 2 315 sócios.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 22 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
23
25 Dê a fórmula do termo geral da PG (2, 4, …).
reSoluÇÃo:
Na PG dada, temos a
1
 5 2 e q 5 2.
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ a
n
 5 2 ? 2n 2 1 ⇒ a
n
 5 21 1 n 2 1 ⇒ a
n
 5 2n
Logo, o termo geral da PG dada é a
n
 5 2n.
26 Calcule o 1o termo de uma PG em que a
4
 5 375 e q 5 5.
reSoluÇÃo:
Dados: 
a 375
q 5
n 4
4 5
q 55q 5
n 45n 4











 
a
4
 5 a
1
 ? q3 ⇒ 375 5 a
1
 ? 53 ⇒ 125a
1
 5 375 ⇒ a
1
 5 3
Portanto, a
1
 5 3.
27 Numa PG crescente, o 1o termo é 3 e o 5o termo é 30 000. 
Qual é o valor da razão q nessa PG?
reSoluÇÃo:
Dados: 
a 3
a 30000
n 5
1a 31a 3
5a 35a 3
a 35a 3
a 35a 3
n 55n 5











a
5
 5 a
1
 ? q4 ⇒ 30 000 5 3 ? q4 ⇒ q4 5 10 000 ⇒
⇒ q 5 ± 100004 ⇒ q 5 ±10
Então, como a PG é crescente, q 5 10.
28 Quantos elementos tem a PG (8, 32, …, 231)?
reSoluÇÃo:
Dados: 
a 8
a 2
q 4
1a 81a 8
na 2na 2
31
a 85a 8
a 25a 2
q 45q 4











a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ 231 5 8 ? 4n 2 1 ⇒ 231 5 23 ? 22n 2 2 ⇒ 231 5 
5 23 1 2n 2 2 ⇒ 231 5 22n 1 1 ⇒ 2n 1 1 5 31 ⇒ 2n 5 30 ⇒ n 5 15
Logo, a PG tem 15 termos.
29 Quais são as progressões geométricas de termos reais em 
que a
7
 5 20 e a
3
 5 320?
reSoluÇÃo:
a
7
 5 a
3
 ? q4 ⇒ 20 5 320q4 ⇒ q4 5 
20
320
 ⇒ q4 5 
1
16
 ⇒ q 5 
5 
1
16
4 ⇒ q 5 ± 
1
2
 
Vamos determinar a
1
:
 para q 5 1
2
 
a
3
 5 a
1
 ? q2 ⇒ 320 5 a
1
 1
2
2




 




 ⇒ 320 5 a
1
 ? 1
4
 ⇒ a
1
 5 1 280
 para q 5 21
2
a
3
 5 a
1
 ? q2 ⇒ 320 5 a
1
 21
2
2




 



 ⇒
⇒ 320 5 a
1
 ? 
1
4
 ⇒ a
1
 5 1 280
Então, as progressões procuradas são duas:
 (1 280, 640, 320, …) quando q 5 1
2
 (PG decrescente);
 (1 280, 2640, 320, …) quando q 5 1
2
2 (PG alternante).
30 Numa PG, a soma do 3o e do 5o termos é igual a 360 e a 
soma do 4o e do 6o termos é igual a 1 080. Determine a razão 
e o 1o termo dessa PG.
reSoluÇÃo:
a a q
a a q
3 1a a3 1a a
2
5 1a a5 1a a
4
5 ?a a5 ?a a
5 ?a a5 ?a a








 ⇒ a3 1 a5 5 a1 ? q
2 1 a
1
 ? q4 ⇒ a
1
(q2 1 q4) 5 
5 360 (I)
a a q
a a q
4 1a a4 1a a
3
6 1a a6 1a a
5
5 ?a a5 ?a a
5 ?a a5 ?a a








 ⇒ a4 1 a6 5 a1 ? q
3 1 a
1
 ? q5 ⇒ a
1
 ? q(q2 1 q4) 5 
5 1 080 (II)
Dividindo membro a membro (I) e (II), temos:
a qa q
a qa q
1a q1a q
1a q1a q? 1a q? 1a q
( )( )a q( )a qa q( )q( )2 4( )2 4( )q2 4( )( )2 4q2 4( )( )2 41( )1( )2 412 4( )( )1
( )( )q q( )q q( )2 4( )2 4( )q q2 4( )( )2 4q q2 4( )2 4? 1( )? 1q q? 1q q( )? 1q q? 1q q( )? 12 4? 12 4( )( )? 1q q2 4q q? 1q q? 12 4( )2 4q q? 1? 12 4
 5 
360360
11080080
1
3
 ⇒ 
1
q
 5 
1
3
 ⇒ q 5 3
Vamos calcular a
1
:
a
1
(q2 1 q4) 5 360 ⇒ a
1
(32 1 34) 5 360 ⇒ a
1
 ? 90 5 360 ⇒ 
⇒ a
1
 5 4
Portanto, na PG dada, a
1
 5 4 e q 5 3.
31 Suponha que o valor de um carro diminui sempre 30% em 
relação ao valor do ano anterior. Sendo V o valor do carro 
no primeiro ano, qual será o seu valor no oitavo ano?
reSoluÇÃo:
Valor no 1o ano 5 V
Valor no 2o ano 5 70% de V 5 0,7V (diminuição de 30%)
Valor no 3o ano 5 70% de (0,7V) 5 0,7(0,7V) 5 (0,7)2V
Temos então uma PG na qual a
1
 5 V e q 5 0,7.
Devemos calcular a
8
:
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ a
8
 5 a
1
 ? q7 ⇒ a
8
 5 V(0,7)7
Logo, o valor do carro no 8o ano será (0,7)7V.
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 23 5/19/15 6:17 PM
24 Progressões e matrizes
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 37 a 43 Para aprimorar: 7 e 8
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10
Para CoNStruIr
21 (PUC-RJ) A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é dis-
putada por 32 times. Em cada fase, só metade dos times se 
mantém na disputa pelo título final. Com o mesmo critério 
em vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de 
quantas fases? b
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
O número de times em cada fase corresponde aos termos da PG (64, 
32,..., 2). Logo, sendo n o número de fases pedido, temos:
2 64
1
2
2 2 n 6
n 1
1 n 5
5 ? 5 5



 ⇒ ⇒
2
2 2
22 Numa PG crescente, a
2
 2 a
1
 5 30 e o primeiro termo a
1
 é 
igual ao quíntuplo da razão q. Calcule a
1
 e q. 
a
1
 5 15; q 5 3
2 5
5{a a 30a 5q2 11 ⇒ 2 55{a q a 30a 5q1 11
5q ? q 2 5q 5 30 ⇒ 5q2 2 5q 2 30 5 0 ⇒ q2 2 q 2 6 5 0
Δ 5 25
q 5 
±1 5
2
 ⇒ q' 5 3 e q" 5 22 (não convém, pois a PG é crescente)
a
1
 5 5 ? 3 5 15
23 (Uema) Considere a seguinte situação sobre taxas de juros 
no mercado financeiro, em que o cálculo é efetuado por 
uma composição de juros determinada pelo coeficiente 
(1 1 i)n, sendo i a taxa de juros e n o período (tempo). Esse 
coeficiente é multiplicado ou dividido, de acordo com a 
natureza da operação, do empréstimo ou da aplicação. O 
Sr. Borilo Penteado tomou um empréstimo de R$ 800,00 a 
juros de 5% ao mês. Dois meses depois, pagou R$ 400,00 
e, um mês após o último pagamento, liquidou o débito. O 
valor do último pagamento, em reais, é de: e
a) 1 282,00.
b) 926,10.
c) 882,00.
d) 526,10.
e) 506,10.
24 (UPF-RS) 
Nível I Nível II Nível III
A sequência de figuras acima ilustra três passos da constru-
ção de um fractal, utilizando-se como ponto de partida um 
triminó: o nível I é constituído de uma peça formada por 
três quadrados de 1 cm de lado cada, justapostos em for-
ma de L. No segundo passo, substitui-se cada quadrado do 
fractal de nível I por um triminó, que tem os comprimentos 
dos lados de seus quadrados adequadamente ajustados à 
situação, de forma a se obter o fractal de nível II, confor-
me ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do 
fractal de nível II, também substituindo-se cada um de seus 
quadrados por um triminó com os lados de seus quadrados 
ajustados, o fractal de nível III. O processo continua dessa 
forma, sucessiva e indefinidamente, obtendo-se os fractais 
de níveis n 5 I, II, III, … 
Com base nessas informações, a partir de que nível a área da 
figura se torna menor que 1 cm2? c
a) Nível III.
b) Nível IV.
c) Nível V.
d) Nível VI.
e) Nível VII.
De acordo com o texto, as áreas formam uma PG de razão 
3
4
, repre-
sentada pela sequência abaixo:



3,
9
4
,
27
16
,
81
64
,
243
256
, ...
Como 243 < 256, concluímos que, a partir do nível V, a área da figura 
se torna menor que 1.
25 (Uema) Numa plantação tomada por uma praga de gafanho-
tos, foi constatada a existência de 885 735 gafanhotos. Para 
dizimar a praga, foi utilizado um produto químico em uma 
técnica cujo resultado foi de 5  gafanhotos infectados, que 
morreram logo no 1o dia. Ao morrerem,já haviam infectado 
outros gafanhotos. Dessa forma, no 1o  dia, morreram 5  ga-
fanhotos; no 2o dia, morreram mais 10; no 3o dia, mais 30 e 
assim sucessivamente. 
Verificando o número de mortes acumulado, determine em 
quantos dias a praga de gafanhotos foi dizimada. 
O número total de gafanhotos mortos após n dias constitui a 
PG (5, 15, 45, …, 5 ? 3n 2 1, …).
Daí, temos:
q 5 3 e 5 ? 3n 2 1 5 885 735 ⇒ 3n 2 1 5 177 147 ⇒
 ⇒ 3n 2 1 5 311 ⇒
 ⇒ n 5 12
Portanto, a praga foi dizimada em 12 dias.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1 
O montante da dívida após 2 meses é 
800 ? (1 1 0,05)2 5 R$ 882,00. Pagando R$ 400,00, o saldo devedor 
fica em 882 2 400 5 R$ 482,00. Portanto, o valor do último paga-
mento é igual a: 
482 ? (1 1 0,05) 5 R$ 506,10.
En
em
C-1
H-2
En
em
C-2
H-8
 
En
em
C-1
H-1
En
em
C-5
H-2
1 
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 24 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
25
Já vimos que o termo geral de uma PG é dado por a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ou por a
n
 5 a
0
 ? qn 
quando começamos a enumeração dos termos por a
0
. Nesse caso, podemos pensar em uma PG como 
uma função que associa a cada número natural n o valor dado por a
n
 5 a
0
 ? qn. Essa função é a restrição 
aos números naturais da função exponencial a(x) 5 a
0
qx. O gráfico dessa função é formado por uma 
sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma função exponencial.
0 1 2 3
x
a
0
a
1
a
2
a
3
a(x)
Veja o exemplo a seguir de a
n
 5 a
0
 ? qn, com a
0
 5 
1
4
 e q 5 3, e o esboço do gráfico da 
função correspondente: PG 


 



1
4
,
3
4
,
9
4
,
27
4
, …
0 1 2 3 4
n
1
2
3
4
5
6
7
3
4
1
4
a
n
9
4
27
4
INterPretaÇÃo geomÉtrICa de uma ProgreSSÃo geomÉtrICa
 INterPolaÇÃo geomÉtrICa
Vamos considerar o seguinte problema:
No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, 
a produção foi de 1 500 unidades e, em junho, foi de 48 000 unidades. Qual foi a produção dessa 
indústria nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
Nessas condições, o problema consiste em formar uma PG em que:
5
5
5
a (produção em janeiro) 1500
a (produção em junho) 48000
n 6
1
n




Devemos inicialmente calcular o valor da razão q:
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ 48 000 5 1 500 ? q5 ⇒ q5 5 32 ⇒ q 5 325 ⇒ 
⇒ q 5 2
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 25 5/19/15 6:17 PM
26 Progressões e matrizes
Então, temos:
(1 500, 3 000, 6 000, 12 000, 24 000, 48 000)
Daí podemos dizer que:
5 5
5 5
5 5
5 5
a produção em fevereiro 3000
a produção em março 6000
a produção em abril 12000
a produção em maio 24000
2
3
4
5






Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interpolar quatro meios geométricos entre 1 500 e 
48 000.
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
32 Insira três meios geométricos entre 3 e 48.
reSoluÇÃo:
Devemos formar a PG (3, ___, ___, ___, 48), na qual:
a
1
 5 3; n 5 2 1 3 5 5; a
5
 5 48.
a
5
 5 a
1
 ? q4 ⇒ 48 5 3q4 ⇒ q4 5 16 ⇒ q 5 ± 164 ⇒ q 5 ±2
Então, temos:
 para q 5 2, a PG crescente (3, 6, 12, 24, 48)
 para q 5 22, a PG alternante (3, 26, 12, 224, 48)
33 Quando interpolamos quatro meios geométricos entre 1 e 
243, qual é a razão q da PG assim obtida?
reSoluÇÃo:
Devemos formar a PG (1, ___, ___, ___, ___, 243), na qual:
a 1
n 6
a 243
1a 11a 1
6
a 15a 1
n 65n 6
5














a
6
 5 a
1
 ? q5 ⇒ 243 5 1q5 ⇒ q5 5 243 ⇒ q 5 2435 ⇒ q 5 3
Logo, a razão da PG é q 5 3.
34 Quantos meios geométricos precisamos inserir entre 
1
16
 e 64 
de modo que a sequência obtida tenha razão 4?
reSoluÇÃo:
Nesse caso, temos:
a
1
16
a 64
q 4
1
na 6na 6
5
a 65a 6
q 45q 4

















Devemos então calcular n:
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ 64 5 
1
16
 ? 4n 2 1 ⇒
⇒ 43 5 422 ? 4n 2 1 ⇒ 43 5 4n 2 3 ⇒
⇒ n 2 3 5 3 ⇒ n 5 6
Então, a PG deve ter 6 termos, ou seja, precisamos inserir 4 
meios geométricos.
 Soma doS n PrImeIroS termoS de uma 
Pg FINIta
A soma dos n primeiros termos de uma PG (a
n
) de razão q Þ 1 é S
n
 5 a
1
 ? 
2
2
1 q
1 q
n
.
Demonstração:
Consideremos a PG finita (a
1
, a
2
, a
3
, …, a
n 2 1
, a
n
) e seja S
n
 a soma de seus termos:
S
n
 5 a
1
 1 a
2
 1 a
3
 1 … 1 a
n 2 1
 1 a
n
 (I)
Vamos multiplicar os dois membros dessa igualdade pela razão q, obtendo:
qS
n
 5 

a q1
a2
 1 

a q2
a3
 1 

a q3
a4
 1 … 1 

2
a qn 1
an
 1 a
n
q
ou
qS
n
 5 a
2
 1 a
3
 1 a
4
 1 … 1 a
n
 1 a
n
q (II)
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 26 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
27
Fazendo (I) 2 (II), obtemos:
S
n
 2 qS
n
 5 a
1
 2 a
n
q
Como a
n
 5 a
1
qn 2 1, então a
n
q 5 a
1
qn 2 1q 5 a
1
qn, daí:
S
n
(1 2 q) 5 a
1
 2 a
1
qn ⇒ S
n
(1 2 q) 5 a
1
(1 2 qn)
Portanto, 
S
n
 5 a
1
 ? 
2
2
1 q
1 q
n
, para q Þ 1.
Essa fórmula também pode apa-
recer assim:
S
n
 5 a
1
 ? 
q 1
q 1
nq 1nq 1q 12q 1
q 12q 1
, q Þ 1
Para
reFletIr
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
35 Uma empresa produziu 10 000 unidades de certo produto 
em 2007. A cada ano seguinte, produzirá 20% a mais desse 
produto em relação ao ano anterior. Quantas unidades a em-
presa produzirá no período de 2007 a 2011?
reSoluÇÃo:
1a maneira
Ano
Produção
(em unidades)
2007 10 000
2008 12 000 20% de 10 000 5 2 000
2009 14 400 20% de 12 000 5 2 400, etc.
2010 17 280
2011 20 736
No período de 2007 a 2011, a empresa produzirá: 10 000 1 
1 12 000 1 14 400 1 17 280 1 20 736 5 74 416 unidades.
As parcelas formam uma PG finita de razão q 5 1,20.
Assim, a soma dos cinco primeiros termos é 74 416.
2a maneira: usando a fórmula
Como temos uma PG na qual a
1
 5 10 000, q 5 1,20 e n 5 5, 
temos:
S
n
 5 a
1
 ? 
1 q
1 q
n1 q21 q
1 q21 q
⇒ 
⇒ S
5
 5 10 000 ? 
1 (21 (1,20)
1 121 1,20
5
 5
5 10 000 ? 
1,48832
0,20
2
2
 5 74 416
Logo, no período de 2007 a 2011, a empresa produzirá 74 416 
unidades desse produto.
36 A soma dos termos de uma PG finita é 728. Sabendo que 
a
n
 5 486 e q 5 3, calcule o primeiro termo dessa sequência.
reSoluÇÃo:
Nessa PG, conhecemos: S
n
 5 728, a
n
 5 486, q 5 3.
Vamos aplicar a fórmula S
n
 5 
a q a
q 1
n 1a qn 1a q an 12
q 12q 1
 para calcular a
1
:
728 5 
486 3 a
3 1
1? 23 a? 23 a
3 123 1
 ⇒ 
⇒ 728 5 
21458 a
2
1 ⇒ 1 458 2 a
1
 5 1 456 ⇒ 
⇒ a
1
 5 1 458 2 1 456 ⇒ a
1
 5 2
Portanto, o primeiro termo da PG dada é a
1
 5 2.
Observação:
Se nas páginas 26 e 27 fizéssemos (II) 2 (I), obteríamos 
S
n
(q 2 1) 5 a
n
q 2 a
1
, ou seja, S
n
 5 a
1
 ? 
a q a
q 1
n 1a qn 1a q an 12
q 12q 1
, q Þ 1.
37 Calcule o valor de x na igualdade
10x 1 20x 1 … 1 1 280x 5 7 650, sabendo que os termos do 
1o membro formam uma PG.
reSoluÇÃo:
Nesse caso, a
1
 5 10x, q 5 2, a
n
 5 1 280x e S
n
 5 7 650.
Inicialmente, vamos determinar n:
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1 ⇒ 1 280x 5 10x ? 2n 2 1 ⇒ 128 5 2n 2 1 ⇒ 
⇒ 27 5 2n 2 1 ⇒ n 2 1 5 7 ⇒ n 5 8
S
n
 5 
a (q 12q 1)
q 12q 1
1a (1a (
nq 1nq 1
 ⇒
⇒ 7 650 5 
210x(2 1)
2 122 1
8
 ⇒
⇒ 7 650 5 10x ? 255 ⇒ 7 650 5 2 550x ⇒ x 5 3
Logo, x 5 3.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 27 5/19/15 6:17 PM
28 Progressões e matrizes
O que acontece com a soma dos 
termos de uma PG infinita de ter-
mos positivos e razão maior do 
que 1?
Para
reFletIr
Essa sequência é uma PG?
Para
reFletIr
 lImIte da Soma doS termoS de uma Pg INFINIta
Consideremos a sequência a
n
 5 
1
n
, com n [ N*, explicitada por:
1, 1
2
, 1
3
, 1
4
, 1
5
, 1
6
, 1
7
, 1
8
, 1
9
, 1
10
, … , 1
100
, … , 1
1000
, … , 1
n
, …
ou, ainda, em representação decimal:
1; 0,5; 0,333...; 0,25; 0,2; 0,16...; 0,142...; 0,125; 0,11...; 0,1; É ; 0,01; É; 0,001; É
Observemos que, à medida que n cresce indefinidamente (tendendo a infinito), o termo 
a
n
 5 
1
n
 tende a 0 (zero). Indicamos assim:
n → ∞ ⇒ 
1
n
 → 0 ou então assim:
5
→
lim
1
n
0
n ∞ 
(Lê-se: o limitede 
1
n
 quando n tende a infinito é igual a 0.)
Nas PGs em que 0 , |q| , 1, a soma dos n primeiros termos tem um limite finito quando n ten-
de a infinito. Nesse caso, qn aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja, 
→
lim q 0.
n ∞
n
5
Sabemos que S
n
 5 a
1
 ? 
2
2
1 q
1 q
n
, q Þ 1. Logo, 5 ?
2
2→
lim S a
1 0
1 qn ∞ n 1
, isto é:
5
2→
lim S
a
1 qn ∞ n
1 , 0 , |q| , 1
Exemplo:
Vamos calcular o limite da soma dos termos da seguinte PG:
1 1 1 1 1 1
1
2
1
4
1
8
1
16
… 1
2
…,
n
 n [ N*
Nesse caso, a
1
 5 
1
2
, e q 5 
1
2
. Temos:
→
lim
n ∞
S
n
 5 
2
5
2
5 5
a
1 q
1
2
1
1
2
1
2
1
2
11
Logo, 
→ ∞
lim
n
 S
n
 5 1. Isso significa que, quanto maior for n, a soma 1 1 1 1 1 11
2
1
4
1
8
1
16
… 1
2
…
n
 
será mais próxima de 1.
Curiosidade
Há uma lenda que diz que um rei perguntou ao inventor do jogo de xadrez o que ele queria 
como recompensa por ter inventado esse jogo. E o inventor respondeu: “1 grão de trigo pela primeira 
casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, 16 pela quinta e assim por diante, sempre 
dobrando a quantidade a cada nova casa”.
Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casas, o inventor pediu a soma dos primeiros 64 
termos da PG: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …, de razão q 5 2:
S
n
 5 a
1
 ? 
1 q
1 q
n
2
2
 5 1 ? 
1 2
1 2
64
2
2
 5 264 2 1
Fazendo esse cálculo, encontramos o gigantesco número de vinte algarismos:
18 446 744 073 709 551 615
Coitado do rei! Será que ele teria uma superfície suficientemente grande para conter uma 
plantação de trigo com esse número de grãos?
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Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
29
eXerCÍCIoS reSolVIdoS
Veja uma interpretação geométrica desse fato considerando a área da região quadrada 
abaixo igual a 1. Inicialmente vamos colorir 
1
2
 dela, depois 
1
4
, depois 
1
8
 e assim por diante. Con-
tinuando esse procedimento indefinidamente, estaremos nos aproximando da área total da 
região quadrada, que é 1.
S 5 
1
2
; S
2
 5 
1
2
1
4
3
4
1 5 ; 
S
3
 5
1
2
1
4
1
8
7
8
1 1 5
1
2
,
3
4
,
7
8
, …tende a 1.
Para
reFletIr
38 Mostre que o limite da soma 0,6 1 0,06 1 0,006 1 …, quan-
do o número de parcelas tende a infinito, é igual a 
2
3
.
reSoluÇÃo:
1a maneira
Somando um número muito grande de termos dessa PG, 
encontramos aproximadamente a dízima periódica 0,6666... 5 
5 
6
9
 5 
2
3
.
1
0,6
0,06
0,006
0,0006
0,00006
0,66666...
2a maneira: calculando o limite
Neste caso, a
1
 5 0,6 e q 5 
1
10
. Assim:
lim
n ∞→n ∞→n ∞
S
n
 5 
a
1 q
0,6
1
1
10
6
10
9
10
6
9
2
3
1
1 q21 q
5
2
5 55 5
10
5 5 5 
Portanto, lim
n ∞→n ∞→n ∞
S
n
 5 
2
3
.
39 Determine o limite da soma da PG infinita:
1 11 1 1
1
3
2
1 1
2
1 1
9
4
27
…
 
reSoluÇÃo:
As parcelas formam uma PG infinita na qual a
1
 5 
1
3
 e 
q 5 
2
9
1
3
 5 
2
3
.
Como 
2
3
 , 1, podemos usar a fórmula lim
n→ ∞
S
n
 5 
a
1 q
1
1 q21 q
:
lim
n→ ∞
S
n
 5 
1
3
1
2
3
2
 5 
1
3
1
3
 5 1
Logo, o valor procurado é 1.
40 Determine a fração geratriz:
a) da dízima periódica simples 0,333...
b) da dízima periódica composta 0,52121...
reSoluÇÃo:
a) 0,333... 5 0,3 1 0,03 1 0,003 1 … 5
5 1 11 1 1
3
10
3
1 1
3
1 1
100
3
1000
… 
As parcelas formam a PG infinita 
3
10
,
3
10
,
3
10
,…
2 3
,
2 3
10
2 3




 
,…



, na 
qual a
1
 5 
3
10
 e q 5 
1
10
.
A fração correspondente a 0,333... é o limite da soma 
dessa PG infinita.
lim
n→ ∞
S
n
 5 
a
1 q
3
10
1
1
10
3
10
9
10
3
9
1
3
1
1 q21 q
5
2
5 55 5
10
5 5 5 
Logo, a fração procurada é 
1
3
.
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 29 5/19/15 6:17 PM
30 Progressões e matrizes
Para CoNStruIr
b) 0,52121... 5 0,5 1 0,021 1 0,00021 1 … 5
5 15 1
5
5 1
5
5 1
10
21
1000
21
100000
…1 11 1
21
1 1
Observamos que a sequência
21
10
,
21
10
,
21
10
, …
3 5
,
3 5103 5 7




 




 é uma PG infinita, na qual a
1
 5 
21
103
 
e q 5 
1
102
:
lim
n→ ∞
S
n
 5 5
2
5
2
5
a
1 q21 q
21
10
1
1
10
21
1000
1
1
100
1
3
2
5 55 5 ? 5? 5 5
21
1000
5 5
1000
5 5
99
100
21
10001000
100100
99
21
990
7
330
10
1
Agora, vamos calcular:
0,52121... 5 
5
10
7
330
165 7
330
172
330
86
165
1 51 5
7
1 5
1
5 55 5 
Logo, a fração geratriz é 
86
165
.
41 A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unin-
do-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um se-
gundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios 
dos lados desse novo triângulo equilátero, obtém-se um 
terceiro e assim por diante, indefinidamente. Calcule a 
soma dos perímetros de todos esses triângulos.
reSoluÇÃo:
Perímetro do 1o triângulo 5 30
Perímetro do 2o triângulo 5 15
Perímetro do 3o triângulo 5 
15
2
:
Devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 
30, 15,
15
2
, …


 



 , na qual a
1
 5 30 e q 5 
1
2
:
lim
n→ ∞
S
n
 5 
a
1 q
30
1
1
2
30
1
2
1
1 q21 q
5
2
5 5 60
Portanto, a soma dos perímetros é 60.
26 Insira quatro meios geométricos entre 6 e 192.
PG (6, , , , , 192)
a
1
 5 6 e a
6
 5 192
a
6
 5 a
1
 ? q5 ⇒ 192 5 6q5 ⇒ q5 5 32 ⇒ q 5 2
PG (6, 12, 24, 48, 96, 192)
27 Entre os números 18 e x foram inseridos dois meios geométri-
cos. Obteve-se, assim, uma PG de razão 3. Qual é o valor de x?
PG (18, , , x) e q 5 3
a
4
 5 a
1
 ? q3 5 18 ? 33 5 486
x 5 486
28 Seja uma PG na qual o 1o termo é 2, o último é 256 e a soma 
dos termos é 510. Qual é o valor da razão dessa PG? 
a
1
 5 2, a
n
 5 256, S
n
 5 510
510 5 
2
2
256q 2
q 1
 ⇒ 510(q 2 1) 5 256q 2 2 ⇒ 510q 2 510 5 256q 2 
2 2 ⇒ 254q 5 508 ⇒ q 5 2
29 Uma pessoa aposta na loteria durante cinco semanas, de tal 
forma que, em cada semana, o valor da aposta é o dobro do 
valor da aposta da semana anterior. Se o valor da aposta da 
primeira semana foi R$ 60,00, qual será o total apostado após 
as cinco semanas?
n 5 5, q 5 2, a
1
 5 60
S
5
 5 
2
2
( )60 2 1
2 1
5
 5 
?60 31
1
 5 1 860
R$ 1 860,00
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
1
2122802_SER1_EM_ALGE_CAD6_C01_01a37_PR_AL.indd 30 5/19/15 6:17 PM
Progressões e matrizes
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
31
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 44 a 52 Para aprimorar: 9 e 10
30 Determine o valor da expressão 
1
1
10
1
10
…
1
1
4
1
16
…
2
1 1 1
1 1 1
 na qual 
o numerador e o denominador são os limites das somas de 
duas PGs infinitas.
(I) a
1
 5 1, q 5 
1
10
 
→ ∞
lim
n
S
n
 5 
2
1
1
1
10
 5 1 : 5
9
10
10
9
 
(II) a
1
 5 1, q 5 
1
4
 
→ ∞
lim
n
S
n
 5 
2
1
1
1
4
 5 1 : 5
3
4
4
3
Dividindo (I) por (II), vem
5 ? 5
10
9
4
3
10
9
3
4
5
6
5
3
1
2
 
31 (Vunesp) Uma partícula em movimento descreve sua trajetó-
ria sobre semicircunferências traçadas a partir de um ponto 
P
0
, localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento 
sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da 
partícula, até o ponto P
3
, em r. Na figura, O, O
1
 e O
2
 são os 
centros das três primeiras semicircunferências traçadas e R, R
2
 e 
R
4
, seus respectivos raios.
O r
R
O
1
P
0
P
1
P
2
P
3
O
2
R
2
R
4
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida 
repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo 
o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por 
O
n
 e R
R
2
n n
5 respectivamente, até o ponto P
n
, também em r. 
Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela 
partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, 
será igual a: e 
a) 22 ? p ? R.
b) 23 ? p ? R.
c) 2n ? p ? R.
d) 
7
4
R? p?


e) 2 ? p ? R.
Como o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por 2pr, 
o comprimento de uma semicircunferência é pr.
Seja C
n
 o comprimento da trajetória.
Temos 5p? 1p? 1p? 1 1p?…C R R
2
R
4
R
2
n n
, que corresponde