AVALIAÇÃO PROBLEMAS DE CONTAGEM

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1) Escolhem-se 5 pontos ao acaso, sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que, pelo menos um dos segmentos que esses pontos determinam, tem comprimento menor ou igual a 2.
 
2) Dado o binômio de Newton , quanto vale a soma dos coeficientes e .
 
3) Determine a função geradora ordinária tal que o coeficiente ar de xr é o número de soluções inteiras positivas de: 
x1+x2+x3 = r, em que r ∈{12,13,14,15,16,17,18},
 2 ≤ xi ≤ 4, para i=1,2
5 ≤ x3 ≤ 8. 
4) Numa festa de aniversário com mais de 17 pessoas, mostre que existem pelo menos 2 nascidas no mesmo mês. Em 250 pessoas quantas no mínimo nasceram no mesmo mês?
5) Qual o total de placas de carro que podem ser construídas constando de 6 símbolos, sendo os 2 primeiros constituídos por letras, seguidos por um número de dois digito e mais duas letras?