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CONTAGEM E PROBABILIDADE 
 
ÍNDICE. 
 
1. POTÊNCIA FATORIAL 
2. FÓRMULAS PRINCIPAIS DO CÁLCULO COMBINATÓRIO 
3. TIPOS DE AGRUPAMENTOS 
4. ARRANJOS SIMPLES 
5. ARRANJO COM REPETIÇAO 
6. PERMUTAÇOES SIMPLES E COM ELEMENTOS REPETIDOS 
7. COMBINAÇÕES SIMPLES 
8. COMBINAÇOES COM REPETIÇÃO 
9. RECONHECIMENTO DO TIPO DE AGRUPAMENTO 
10. PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
11. BINÕMIO DE NEWTON 
12. NÚMEROS BINOMIAIS 
13. BINOMIAIS COMPLEMENTARES 
14. IGUALDADE DE BINÕMIOS 
15. TRIÃNGULO DE PASCAL 
16. FÓRMULAS DO BINÕMIO DE NEWTON 
17. TERMO GERAL 
18. NOÇÕES BÁSICAS DE PROBABILIDADES 
19. EXPERIMENTO ALEATÓRIO – ESPAÇO AMOSTRAL – EVENTOS 
20. OPERAÇÕES COM EVENTOS ALEATÓRIOS 
21. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES 
22. PROBABILIDADE 
23. EVENTOS COMPLEMENTARES 
24. EVENTOS EQUIPROVAVEIS 
25. PROBABILIDADE CONDICIONAL. 
26. TEOREMA DA SOMA E O TEOREMA DA COMPLEMENTAÇÃO 
27. EVENTOS INDEPENDENTES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONTAGEM E PROBABILIDADE 
 
FATORIAL 
 DEFINIÇÃO. 
 Sendo Nn ( números inteiros positivos), chamamos fatorial de 
n ao produto dos n sucessivos números inteiros de 1 até n . Representa- 
se pelo símbolo ! logo após o número. Portanto, dado um número n ( Nn ), 
define-se fatorial de n como sendo 1.2.3)...2)(1(!  nnnn 
 
OBSERVAÇÕES: 
I. No caso em que n for igual a zero ou igual a um, temos por 
convenção 0! = 1! = 1; 
II. Não podemos somar, subtrair, multiplicar nem dividir fatoriais, 
porém, podemos simplificá-los; pois, por exemplos: 
1) !2
!4
!8
 
2) !12!4!.3  
 3) !8!3!5  
 4) !2!8!10  
 
Exemplos: 
1) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 
2) 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
Simplifique as expressões abaixo: 
3) 7
!6
!6.7
!6
!7
 
 
4) 40
7! . 19! !3.4
3! 8.7! !19.20
!7!.19!.4
!3 . !8 . !20
 
 
5) 1
)!1(
)!1.(
)!1(
!




 nn
nn
nn
n
 
 
6) nn
n
nnn
n
n
24
)!22(
)!22)(12.(2
)!22(
)!2( 2 




 
 
7) 23
!
!)1).(2(
!
)!2( 2 



nn
n
nnn
n
n
 
 
8) 
n
n
nnn
nnn
n
nn 1
)!1(!
)!1(!).1(
)!(
)!1()!1(
2






 
 
9) 
4
1
)!5)(4(
)!5(
)!4(
)!5(







nnn
n
n
n
 
 
10) Resolver a equação: )!4(2)!2(  nn 
 2
)!4(
)!4)(3)(2(
2
)!4(
)!2(






n
nnn
n
n
 
 40452)3)(2( 2  nnnnn 
 Observe que para 1n , não satisfaz a equação. 
 
11) Prove que 1! = 1 
 Sabendo que )!1(!  nnn e tomando 2n , teremos: 2! = 2.1! 
 Como 2! =2, concluímos que 1! =1. Daí a razão da convenção 
 1! =1. 
 
12) Prove que 0! = 1 
 Admitindo-se na definição n = 0 e aceitando a convenção 1! = 1, 
 temos: 1! = 1.0! o que nos leva a aceitar o símbolo 0! Como sem- 
 do o numeral de 1. 
 
POTÊNCIA FATORIAL. 
DEFINIÇÃO/1: 
 Sendo p um número inteiro maior que 1 e x um número inteiro posi- 
tivo, chama-se potência fatorial decrescente de ordem p do número x , 
o produto de p fatores sucessivos, sendo x o maior fator. Em símbolos 
)( px . Podemos escrever: )1)...(2)(1(
)(  pxxxxx p 
 
Exemplos: 
1) 2105.6.77
)3(  
 
2) 61.2.33
)3(  
 
OBSERVAÇÃO: 
Se xp  , então 
)( px = 0, pois temos como exemplo 00.1.2.3.4.55
)6(  
 
DEFINIÇÃO/2: 
 Sendo p um número inteiro maior que 1 e x um número inteiro posi- 
tivo, chama-se potência fatorial crescente de ordem p do número x , 
o produto de p fatores sucessivos, sendo x o menor fator. Em símbolos 
 px . Podemos escrever: 
  )1)...(2)(1(  pxxxxx p 
Exemplos: 
1) 
  5049.8.77 3  
2) 
  244.3.2.11 4  
 
POTÊNCIA FATORIAL GENERALIZADA. 
DEFINIÇÃO/1: 
 Dados três números inteiros e positivos ,n h e x , sendo 1n , deno- 
mina-se potência fatorial generalizada decrescente de ordem ,n do nú- 
mero x , o produto dos n números de uma seqüência cujo maior termo é 
x , sendo h a diferença entre dois números consecutivos e representa-se 
por 
 hnx , . Podemos escrever. 
 ))...(2)((
),( hnhxhxhxxx hn  , onde n é a quantidade de 
termos. 
 
 Exemplos: 
1) )6)(4)(2(
)2,4(  xxxxx 
2) 51.5)45(55 )4,2(  
3) 0)108)(88)(68)(48)(28(88 )2,6(  
4) 603.4.5)25)(15(55 )1,3(  
 
DEFINIÇÃO/2: 
 Dados três números inteiros e positivos ,n h e x , sendo 1n , deno- 
mina-se potência fatorial generalizada crescente de ordem ,n do núme- 
ro x , o produto dos n números de uma seqüência cujo menor termo é 
x , sendo h a diferença entre dois números consecutivos e representa-se 
por 
 hnx , . Podemos escrever. 
 
  ))...(2)((, hnhxhxhxxx hn  , onde n é a quantidade de 
termos. 
 Exemplos: 
1) 
  )6)(4)(2(2,4  xxxxx 
2) 
  459.5)45(55 4,2  
3)   )108)(88)(68)(48)(28(88 2,6  
 = 8.10.12.14.16.18 = 3.870.720 
 
4) 
  2107.6.5)25)(15(55 1,3  
 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Calcular   1204.5.66 3  
2) Calcular   0)1.(0.1.2.3.4.55 7  
3) Calcular   205.44 2  
4) Calcular   55 1  
5) Provar que   !1.2)...2)(1(!5 nnnnnn  
6) Provar que     1.2.3.4!4244.6)26(66!46 2,22,2  
7) Calcular   0)8)(4.(0.4)124).(84)(44.(44 4,4  
 
 
COEFICIENTES BINOMIAIS. 
DEFINIÇÃO. 
 Dados dois números inteiros maiores que 1, ,n e k , sendo kn  , deno- 
mina-se coeficiente binomial de classe k do número n ao quociente da 
potência fatorial decrescente da ordem k do número n pelo fatorial de k , 
ou seja: 
 
k
knnnn
k
n k
...3.2.1
)1)...(2)(1(
!

 . 
 
 Em símbolos, temos 
!
)(
k
n
k
n k






 
 
OBSERVAÇÕES: 
I. O coeficiente binomial é também chamado número combinatório; 
II. O símbolo 





k
n
 lê-se: coeficiente binomial de n sobre k onde n é o 
 numerador e k é o denominador do coeficiente binomial. 
 
Exemplos: 
1) 10
2.1
4.5
2
5






 
 
2) 56.
3.2.1
6.7.8
3
8






 
 
 
 
 
CONVENÇÕES: 
 
I. Se 1k , Então n
n






1
 
 
II.. Se 0k . Então 1
0





n
 
 
III. 1 kn , Então 1
1
1






 
IV. 0 kn , Então 1
0
0






 
 
V. kn  , Então 0





k
n
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Calcular o valor de n na equação 10
2





n
 
 Resolução: 
 )4 ,5(02020)1(10
!2
2
)2(
 nnnnn
n
. Como 4n não é 
 solução, temos 5n 
 
2) Calcular o valor de n na equação n
n
7
3






 
 Resolução: 
 
)8 ,5(040342)2)(1(7
1.2.3
)2)(1(
7
!3
2
)3(


 nnnnnn
nnn
n
n
 
Como 5n não é solução, temos 8n 
 
3) Calcular o valor de n na equação 0
3





n
 
 Resolução: 
 Para ter 0
3





n
, devemos tomar 3n (quinta convenção) 
 Logo,: .3 0  n 
 
 
COEFICIENTES BINOMIAIS COMPLEMENTARES 
 
 DEFINIÇÃO: 
 Sejam dois coeficientes binomiais de mesmo numerador. Se a 
soma de seus denominadores for igual ao numerador comum, então eles 
denominar-se-ão COEFICIENTES BINOMIAIS COMPLEMENTARES. 
 
kn
n
k
n

 
 
 Exemplos: 
 
 1) 
3
8
 e 





5
8
 
 
 2) 
k
n
 e 





 kn
n
 ( )( kn  
 
 
 3) 
5
n
 e 





 5n
n
 
 
PROPRIEDADE. 
 Dois coeficientes binomiais complementares são iguais. )(
k
n
 = 






 kn
n
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular 





7
10
 
 Resolução: 
 Aplicando a propriedade, temos: 120
6
8.9.10
!3
10
3
10
7
10 3












 
 
 
2) Resolver a equação )
2
(
n
 = 





5
n
 
 Resolução: 
 Para que os coeficientes binomiais sejam iguais, basta que o 
numerador comum seja igual a soma dos denominadores. Logo 
 7n 
 FÓRMULAS PRINCIPAIS DO CÁLCULO COMBINATÓRIO 
 
TIPOS DE AGRUPAMENTOSExistem dois tipos de agrupamentos, aquele em que a ordem dos elemen 
tos: 
I. É importante 
II. Não é importante. 
 
 Os agrupamentos em que a ordem dos elementos é importante, são cha- 
dos ARRANJOS ou PERMUTAÇÕES. 
 
ARRANJOS SIMPLES. 
 Sendo A um conjunto com “n” elementos distintos e “p” um número 
natural de modo que np  , chamamos de arranjos simples dos n elemen- 
tos de A, tomados pp a , os agrupamentos ordenados de “p” elementos 
diferentes que é possível formar com os elementos de A. 
 Indicamos o número de arranjos de “n” elementos pp a , por pnA , 
 Para dar uma idéia do que seja um arranjo simples, vejamos o seguinte 
Exemplo: Consideremos um conjunto A = { a, b, c } e os seguintes agru- 
pamentos de 2 elementos de A, esquematizando a árvore de possibilidades. 
 b 
 a c → ab , ac 
 a 
 b c → ba , bc 
 a 
 c b → ca, cb 
 
 Observe que nesses agrupamentos a ordem faz a diferença, pois, ab ≠ ba 
 O termo simples significa que não há repetição de elementos em cada 
arranjo. 
 Para calcular a quantidade de agrupamentos chamados arranjos simples 
usa-se a fórmula:  ! 
!
,
pn
n
A pn

 , onde: 
n → é o número total de elementos 
p → é o número de elementos em cada grupo. 
 
Exemplos: 
1) Calcular A6,2 
 Resolução: 
 30
!4
!4.5.6
!4
!6
)!26(
!6
2,6 

A 
2) Calcule 
2,5
1,42,6
A
AA 
 
 Resolução: 
 10
13
20
430
!3
!3.4.5
!3
!3.4
!4
!4.5.6
!3
!5
!3
!4
!4
!6
2,5
1,42,6








A
AA
 
3) Calcule 3A5,2 
 Resolução: 
 60
!3
!3.4.5.3
!3
!5
.33 2,5 A 
 
4) Resolva a equação Ax,2 = 9Ax,1 
 Resolução: 
 xxx
x
xx
x
xxx
x
x
x
x
AA xx 9
)!1(
)!1(9
)!2(
)!2)(1(
)!1(
!
9
)!2(
!
9 21,2, 









 
 10ou 00)10(0102  xxxxxx . Como x= 0 não satis- 
 faz a equação, temos S = { 10 }. 
 
5) Oito meninas apostam uma corrida. De quantos modos diferentes 
 pode ser formado o grupo das três primeiras colocadas? 
 Resolução: 
 Observe que os grupos diferem pela ordem dos elementos, logo 
 trata-se de arranjos simples. 
 336
!5
!5.6.7.8
!5
!8
3,8 A modos. 
 
6) Quantas palavras (com sentido ou não) de 5 elementos distintos po- 
 demos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto? 
 Resolução: 
 Como a ordem das letras faz diferença no grupo, trata-se de arran- 
 jos simples. 
 480.860.116.17.18.19.20
!15
!20
5,20 A palavras. 
 
7) Quantos jogos serão realizados num campeonato de futebol com a 
 participação de 20 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para 
 que cada time enfrente outro em campo próprio e em campo adversá- 
 rio? 
 Resolução: 
 38019.20
!18
!20
2,20 A jogos 
8) Resolva a seguinte equação: An,2 + An,3 = An+1, 2 
 Resolução: 
 
0)3(3)23(
)!1(
)!1()1(
)!3(
)!3)(2)(1(
)!2(
)!2)(1(
]!2)1[(
)!1(
)!3(
!
)!2(
!
2232232 















nnnnnnnnnnn
n
nnn
n
nnnn
n
nnn
n
n
n
n
n
n
 
 3ou 0  nn Como 0n não satisfaz, temos S = {3}. 
 
9) Resolva A2n+1, 2 = 18n 
 Resolução: 
 n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
18
)!12(
)!12)(2)(12(
18
)!12(
)!12(
18
]!2)12[(
)!12(









 
 0)4(0164 2  nnnn . Como 0n não satisfaz, temos S={4}. 
 
10) Simplifique 
3,1
2,.
n
n
A
An
 
 Resolução: 
 
1)1)(1(
)1(
)1(
)(
)!2(
)!2)(1()1(
)!2(
)!2)(1)((
]!3)1[(
)!1(
)!2(
)!(
2
2
















n
n
nn
nn
nn
nnn
n
nnnn
n
nnnn
n
n
n
nn
 
 
 
ARRANJOS COM REPETIÇÃO: 
 Arranjo com repetição é um grupo de “p” elementos de um dado con- 
junto com “n” elementos distintos, onde a mudança de ordem determina 
grupos diferentes podendo porém, ter elementos repetidos. O número “p” 
é a classe, ou seja, é a quantidade de vezes que o elemento pode ser repeti- 
do. Indica-se por ARn,p. 
 Para calcular a quantidade de agrupamentos envolvendo arranjos com 
repetição, usa-se a fórmula: 
p
pn nAR , 
 
Exemplos: 
1) Calcular o número de arranjos com repetição de classe 3 com o con- 
 junto A = {a, b} 
 Solução: n = 2 e p = 3 
 
 AR2,3 = 2
3
 = 8 = { (a, a, a) (b, b, b) (a, a, b) (b, b, a) (a, b, b) (b, a, a) 
 ({a, b, a) (b, a, b)}. 
 
2) Quantas placas de automóveis compostas de duas letras nas duas pri- 
 meiras posições, seguidas por quatro algarismos nas demais posições 
 (sendo o alfabeto com 26 letras e os algarismos do sistema decimal) 
 podem ser formadas? 
 Resolução: 
 Como as letras e os algarismos podem ser repetidos, temos: 
 000.760.61026. 424,102,26 ARAR placas. 
 
3) Considerando o conjunto E = {a, b, c}, calcular o número de arranjos 
 com repetição de classe 2. 
 Solução: n = 3 e p = 2 
 AR3,2 = 3
2
 = 9 = { (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) ( b, b) (b, c) (c, a) (c, b) 
 (c, c) } = 9 arranjos. 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES E COM ELEMENTOS REPETIDOS. 
 Quando montamos grupos com todos os elementos disponíveis, dizemos 
que estamos permutando os “n” elementos entre si. Neste caso, trata-se de 
Permutação, e representa-se por Pn. 
 As permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, 
portanto, só diferem entre si pela ordem dos mesmos. 
 Por exemplo. Se A = { 1, 2, 3}, as permutações simples de seus elemen 
tos são: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. 
 Para o cálculo de permutações, usamos as fórmulas: 
 
 Pn = n! → Para permutações com elementos distintos 
!!...!.!.
!,...,,
zcba
n
P zcban  → Para permutações com elementos repe tidos. 
 
Exemplos: 
1) P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
2) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMOR? 
 Resolução: 
 Anagramas são palavras obtidas efetuando-se todas as trocas possíveis 
 entre as letras de uma palavra dada, com ou sem significado. Logo, co- 
 mo a palavra AMOR tem 4 letras distintas, temos: 
 P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 anagramas. 
 
3) Quantos números com 5 algarismos distintos podemos formar com os 
 dígitos (1, 2, 3, 4, 5}? 
 Resolução: 
 P5 = 5! =5. 4.3.2.1 = 120 números. 
 
4) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARA- 
RA? 
 Resolução: 
 A palavra ARARA tem 3A e 2R, logo: 
 10
2
20
!3.2
!3.4.5
!3!.2
!53,2
5 P anagramas 
 
5) Com as letras da palavra ATREVIDO: 
 a. Quantos anagramas podemos formar? 
 b. Quantos anagramas começas por A? 
 c. Quantos anagramas começam pela sílaba “TRE”? 
 
 Resolução: 
a. P8 = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320 anagramas. 
b. P7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 (observe que só podem serem 
permutadas 7 letras, pois a letra “A” fica fixa). 
c. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 (a sílaba TRE fica fixa no começo do 
 anagrama). 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 Denominam-se Combinações simples todo o subconjunto formado por 
“p” dos “n” elementos de um conjunto, onde interessa a natureza dos ele- 
mentos sem levar em consideração a “ordem”. Representa-se por Cn,p que 
lê-se combinações simples de n elementos tomados “p a p”. 
 Para calcular a quantidade de agrupamentos chamados combinações sim 
ples utiliza-se a fórmula: 
)!(!
!
,
pnp
n
C pn

 
 
Exemplos: 
1) Calcular C5,2 
 Resolução: 
 10
!3.2
!3.4.5
!3!.2
!5
)!25(!2
!5
2,5 

C 
 
2) Resolver a equação: Cx,2 = 21 
 Resolução: 
 
 4221
)!2(2
)!2)(1(
21
)!2(!2
!
21 22, 




 xx
x
xxx
x
x
Cx 
 6 e 70422  xxxx . Como x = n e n > 0 → S = { 7 } 
3) Com oito pessoas, quantas comissões de três pessoas podem ser 
 formadas? 
 Resolução: 
 Como os elementos de cada grupo são distintos e um grupo difere do 
 outro apenas pela natureza dos elementos e não pela ordem dos mes-mos, implica que se trata de combinações simples. Logo, temos: 
 56
!5.1.2.3
!5.6.7.8
!5!.3
!8
)!38(!3
!8
3,8 

C comissões. 
 
4) Um baralho comum possui 52 cartas. De quantas formas distintas um 
 jogador pode receber 5 cartas? 
 Resolução: 
 Como não interessa a ordem dos elementos, trata-se combinações sim- 
 ples. Logo, temos: 
 960.598.2
!47.1.2.3.4.5
!47.48.49.50.51.52
!47!.5
!52
)!552(!5
!52
5,52 

C formas distintas 
 receber 5 cartas. 
 
5) Quantos subconjuntos de 18 elementos possui o conjunto de 20 ele- 
 mentos? 
 Resolução: 
 Como a escolha dos 18 elementos independe da ordem, trata-se de 
 combinações simples. Logo; temos: 
 190
!18.2
!18.19.20
!2!.18
!20
)!1820(!18
!20
18,20 

C subconjuntos. 
 
 
COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO. 
 Chama-se combinação com repetição, classe “p” dos “n” elementos 
desse conjunto, a todo grupo formado por “p” elementos, distintos ou não; 
em qualquer ordem. Para se calcular a quantidade de agrupamentos envol- 
vendo Combinação com repetição, usa-se a fórmula: 
 
!
)!1(
,1,
p
pn
CCR ppnpn

  
Observações: 
I. Enquanto que, nos arranjos e nas permutações, a ordem em que ficam 
 dispostos os elementos dentro do grupo, diferencia os agrupamentos; 
 nas combinações, essa ordem não tem importância. Duas combinações 
 são iguais desde que possuam os mesmos elementos.; 
 
II. Nas combinações completas levamos em consideração o conceito de 
 multiplicidade dos elementos de um conjunto. Assim, 
 ( a, a, b ) # (a, b, b) porque no primeiro conjunto “a” tem multiplicidade 
 dois e “b” multiplicidade um; e no segundo conjunto, “a” tem multi- 
 plicidade um e “b”, dois. 
 
Exemplos: 
1) Quantas são as combinações completas de cinco elementos tomados 
 3 a 3 ? 
 Resolução: 
 35
!4.1.2.3
!4.5.6.7
!4!.3
!7
)!37(!3
!7
3,73,5,1, 

  CCRCCR ppnpn 
 
2) Calcule uma combinação com repetição classe 3 do conjunto (a, b) 
 Resolução: 
 4
1!.3
!3.4
!1!.3
!4
)!34(!3
!4
3,43,2,1, 

  CCRCCR ppnpn 
 
3) Quantos produtos binários diferentes podem ser obtidos, utilizando 
 como fatores os seguintes números primos: 2, 3, 5 e 7? 
 Resolução: 
 10
!.3.2
!3.4.5
!3!.2
!5
)!25(!2
!5
2,52,4,1, 

  CCRCCR ppnpn 
 Os pares são: { (2,2) (2, 3) (2, 5) ( 2, 7) (3, 3) ( 3, 5) ( 3, 7) (5, 5) 
 (5, 7) (7, 7) } 
 
RECONHECIMENTO DO TIPO DE AGRUPAMENTO. 
 Quando tentamos resolver um problema de análise combinatória, nos 
deparamos com a seguinte questão: os agrupamentos mencionados no pro- 
blema são arranjos ou combinações? Para eliminar essa dúvida, devemos 
agir da seguinte maneira: construímos um dos agrupamentos sugeridos pelo 
problema e, a seguir, mudamos a ordem de apresentação dos elementos des 
se agrupamento: 
 
I. Se com essa mudança na ordem dos elementos obtivermos um agrupa- 
 mento diferente do original, então esse agrupamento é um arranjo. 
 
II. Se com essa mudança na ordem dos elementos obtivermos um agrupa- 
 mento igual ao original, então esse agrupamento é uma combinação. 
 
Exemplos: 
1) Quantos triângulos ficam determinados por cinco pontos distintos e 
não colineares A, B, C, D e E de uma circunferência? 
 Resolução: 
 Um triângulo fica determinado por três pontos não colineares. Como 
 não existem três pontos colineares no problema , vamos aplicar o crité- 
 rio diferenciador entre arranjo e combinação. Formemos um agrupamen 
 to de três pontos distintos e, a seguir, mudemos a ordem de apresentação 
 de seus elementos: Triângulo ABC = Triângulo BAC. Como a mudan- 
 ça na ordem da letras não altera o triângulo, temos que esses agrupamen 
 tos são combinações. Logo, o número de triângulos é dado por C5,3, isto 
 é: 10
!3!.2
!3.4.5
!2!.3
!5
)!35!.(3
!5
3,5 

C triângulos. 
 
 
2) Uma comissão de três membros deve ser escolhida dentre sete pes- 
 soas. De quantos modos diferentes se pode escolher a comissão, sa- 
 bendo que as pessoas que formarem a comissão terão funções idên- 
 ticas? 
 Resolução: 
 Como a ordem dos elementos componentes não altera a comissão, 
 temos que uma comissão é uma combinação. Logo, o número de 
 comissões é: 35
!4!.3
!4.5.6.7
!4!.3
!7
)!37!.(3
!7
3,7 

C . 
 
 
3) A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas 
 seguidas por uma seqüência de três algarismos distintos. Quantas 
 senhas poderiam ser confeccionadas? 
 Resolução: 
 Como importa a ordem em que são escolhidas as letras, bem como, 
 a escolha dos números depende da ordem, então as maneiras de es- 
 colhê-las tratam-se de arranjos. Logo: 
 000.4688.9.10.25.26
!7
!10
!24
!26
. 3,102,26 AA 
 
 
4) De quantas maneiras cinco pessoas A, B, C, D e E, podem ser 
 dispostas em fila indiana? 
 Resolução: 
 Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, 
 pois qualquer fila obtida é uma seqüência ordenada na qual compare 
 cem sempre as cinco pessoas. Assim, o resultado procurado é: 
 P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
 
PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
 CONCEITUAÇÃO 
 Uma reunião de presidentes de países da América do Sul será 
realizada em uma mesa redonda Participarão dessa reunião os presi- 
dentes da Argentina (A), do Brasil (B), do Chile (C), do Paraguai (P) 
e do equador (E). Uma preocupação do Itamaraty é com a disposição 
dos presidentes em torno da mesa. Em quantas ordens diferentes po- 
dem ser dispostos os presidentes em volta da mesa? 
 Para podermos raciocinar, vamos imaginar uma determinada 
disposição,como mostrada ao lado. 
 A 
 
 E B 
 
 P C 
 
 Tal disposição dos elementos A, B, C, P e E em torno da mesa 
é uma permutação circular desses cinco elementos. Note que, se gi- 
rarmos no sentido horário: 
I. Partindo de “A”, obteremos a permutação em linha ABCPE; 
II. Partindo de “B” , obteremos a permutação em linha BCPEA; 
III. Partindo de “C”, obteremos a permutação em linha CPEAB; 
IV. Partindo de “P”, obteremos a permutação em linha PEABC 
V. Partindo de “E”, obteremos a permutação em linha EABCP. 
 
 Isto é, as cinco permutações em linha ABCPE, BCPEA, CPEAB; 
PEABC e EABCP, correspondem a uma única permutação circular. 
 
 ABCPE A 
 BCPEA 
 CPEAB E B 
 PEABC 
 EABCP 
 P C 
 A partir dessa correspondência, podemos relacionar o número de 
permutações em linha com o número de permutações circulares dos 
elementos A, B, C, P e E, através da seguinte regra de três: 
 
 Número de permutações Número de permutações 
 simples em linha de cinco circulares de cinco elementos 
 elementos distintos distintos 
5 1 
5! x !4
5
!4.5
5
!5
 x 
 Indicando o número de permutações circulares de cinco elementos 
distintos por ,)5(CP temos 241.2.3.4!4)5( Cp 
 Portanto, os cinco presidentes podem ocupar os ligares em volta da 
mesa em 24 disposições diferentes. 
 
CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES CIRCULARES DE n 
ELEMENTOS DISTINTOS 
 
 Seja} , ,{ 321 naaaa  um conjunto com n elementos. O número de 
permutações circulares desses n elementos é indicado por )(nCP é 
calculado como apresentamos a seguir: 
 Consideremos uma determinada permutação circular desses n ele-
mentos . Por exemplo: 1a 
 na 2a 
 1na 3a 
 4a 
 
 Tal permutação circular corresponde a n permutações em linha, se 
girarmos no sentido horário. São elas: 
 Partindo de 1a , temos nn aaaaaa , , , , , , 14321  
 Partindo de 2a , temos 11432 , , , , , aaaaaa nn 
 Partindo de 3a , temos 21143 , , , , , aaaaaa nn 
 
 
 
 Partindo de na , temos 14321 , , , , , nn aaaaaa  
 
 Vemos então que n permutações simples em linha correspondem a 
uma única permutação circular. 
 Podemos por isso relacionar o número de permutações simples em 
lina com o número de permutações circulares de n elementos distintos, 
através da seguinte regra de três: 
 
 Número de permutações Número de permutações 
 simples em linha de cinco circulares de cinco elementos 
 elementos distintos distintos 
 n 1 
 !n )(nCP 
 
 )!1( )!1(
)!1(!
)()( 

 nPn
n
nn
n
n
P nCnC 
Exemplos: 
 
1) Em quantas disposições diferentes seis pessoa podem se sentar em 
volta de uma mesa redonda? 
 Resolução: 
 120!5)!16()6( CP . Logo, são possíveis 120 disposições. 
 
 
2) Algumas crianças estão brincando de roda, isto, é, dão-se as mãos 
formando uma roda. È possível formar rodas com essas crianças em 
720 disposições diferentes.. Quantas crianças estão brincando? 
 Resolução: 
 .761!6)!1(720)!1(720)(  nnnnP nC Assim, sete 
crianças formarão a roda. 
 
 
3) Numa pista circular será disputada uma prova de atletismo. Cinco 
juízes serão colocados em cinco pontos distintos dessa pista. Quan-
tas são as possíveis disposições para esses juózes? 
 Resolução: 
 24!4)!15()5( CP . Logo, são possíveis 24 disposições. 
 
 
4) Uma roleta é dividida em seis setores (conforme a figura abaixo). Em 
cada setor será colocado um dos números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, em qual-
quer disposição. Em quantas disposições diferentes podem ser distri-
buídos esses números?. 
 
 
 
 Resolução: 
 120!5)!16()6( CP . Logo, são possíveis 120 disposições 
 
 
5) Algumas pérolas artificiais, de cores diferentes entre si, formarão um 
colar sem fecho. Sabendo que com essas pérolas o colar pode ser fei-
to de 5040 maneiras diferentes, calcule o número de pérolas. 
 Resolução: 
 .871!7)!1(5040)!1(5040)(  nnnnP nC Assim, 
temos 8 pérolas. 
 
6) Num parque de diversões, uma roda gigante apresenta n cadeiras que 
devem ser pintadas uma de cada cor e todas com cores diferentes en-
tre si. Sabendo que as cores podem ser apresentadas em 720 dispo-
sições diferentes, determine n . 
 Resolução: 
 .761!6)!1(720)!1(720)(  nnnnP nC 
 
 
7) Quatro homens e três mulheres vão se sentar em torno de uma mesa 
redonda. Em quantas disposições diferentes isso pode ser feito, se 
pessoas do mesmo sexo devem permanecer juntas? 
 Resolução: 
 1442.3.2.3.4!2.3!.3.43.4 )3()4( CC PP .Logo, são possíveis 144 disposi-
ções. 
 
 
8) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro fi-
lhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. 
Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em 
torno da mesa de modo que o pai e mãe fiquem juntos? 
 Resolução: 
 482.3.4.2!4.2)!15(22 )5( CP .Logo, são possíveis 48 disposições 
 
 
9) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro fi-
lhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. 
Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em 
torno da mesa de modo que o pai e mãe fiquem juntos e dois filhos 
briguentos não fiquem juntos? 
 Resolução: 
 242.3.42.3.4.2!4 !4.2)!15( )!15(22 )5()5(  CC PP .Logo, são 
possíveis 24 posições diferentes. 
 
 
10) O número de maneiras diferentes segundo os quais um casal, dois 
filhos e uma filha podem sentar-se em torno de uma mesa circular, 
com a condição de que os dois filhos não fiquem juntos, e: 
 Resolução: 
 122.3.22.3.4!.3.2 !4)!14(2 )!15(2 )4()5(  CC PP .Logo, são 
possíveis 12 maneiras diferentes. 
 
 
EXERCÍCIOS DE COMBINATÓRIA 
 
1) Resolva (n +1)! = 20(n –1)! 
 
2) Calcule o valor de n na equação: n
n
nn
7
)!1(
!)!1(



 
 
 
3) Obter “n” tal que: 25
!
)!1()!2(


n
nn
 
 
4) Simplifique: 
2])!1[(
!)!.2(


n
nn
 
 
5) Simplifique: 
!
)!1(!
n
nn 
 
 
 
 
6) Simplifique: 
!
)!1(2!5
n
nn 
 
 
7) Obter n tal que 10
!
)!1(


n
n
 
 
8) Obter n tal que 6
)!2(
)!1.(



n
nn
 
 
9) Obter n tal que 4
!
)!1()!2(


n
nn
 
 
10) Um rapaz possui cinco camisas e duas calças. De quantas maneiras 
 diferentes ele poderá se vestir? 
 
 
11) Num grupo de cinco rapazes e quatro moças, de quantos modos dis- 
 tintos podem ser escolhidos um rapaz para presidente e uma moça pa 
 ra secretária de grêmio estudantil? 
 
12) Calcular o valor da função 8 para 
!
)!.4(
)(
3,


 n
n
Cn
nf
n
 
 
 
 
13) Com os dígitos {3, 5, 6, 7}, quantos são os números de dois algaris- 
 mos distintos que podemos formar? 
 
 
 
14) Paulo tem seis calças, cinco camisas e três paletós. De quantas manei 
 ras ele pode vestir uma calça, uma camisa e um paletó? 
 
15) Um grupo de sete pessoas, entre elas Márcia e Júlia, devem ficar em 
 fila. De quantos modos elas poderão formar essa fila, se Márcia e Jú- 
 lia devem estar sempre juntas? 
 . 
 
16) Quantos números de três algarismos distintos podemos escrever com 
 os dígitos {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
 
17) Numa circunferência marcam-se oito pontos distintos. Obter o núme- 
 ro de triângulos que podemos formar com vértice nos pontos indica- 
 dos. 
 
 
18) Em uma reunião estão presentes seis rapazes e cinco moças. Quatas 
 comissões de cinco pessoas, sendo três rapazes e duas moças, podem 
 ser formadas? 
 Resolução: 
 19) A diretoria de uma firma é constituída por sete diretores 
brasileiros e quatro japoneses. Quantas comissões de três brasileiros 
e três japoneses podem ser formadas? 
 Resolução: 
 
 
20) Em uma prova existem 10 questões para que os alunos escolham cin- 
 co delas. De quantos modos isto pode ser feito? 
 Resolução: 
 
 
 
21) Resolva )1(33,  xxAx 
 Resolução: 
 
 
22) Obter n tal que: 
3
4
2,
3,

n
n
C
C
 
 Resolução: 
 
 
 
23) Quantas comissões de quatro membros são possíveis de se formar 
 com 10 indivíduos? 
 Resolução: 
 
 
24) Quantos são os anagramas da palavra „MODERNA” em que as le- 
 tras “R” e “N” aparecem juntas? 
 Resolução: 
 
 
 
25) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMA- 
 DA? 
 Resolução 
 
 
 
26) Quantos anagramas da palavra „GARRAFA” começam pela sílaba 
 “RA”? 
 Resolução 
 
 
27) Quantos são os números formados por dois algarismos distintos? 
 Resolução 
 
 
 
28) Com seis pontos distintos sobre uma reta e um ponto fora dela, 
 quantos triângulos podem ser formados? 
 Resolução: 
 
 
 
29) De quantas maneiras diferentes podemos arrumar cinco livros numa 
 estante? 
 Resolução: 
 
 
30) De quantas maneiras seis pessoas podem se arrumar num automóvel 
 com três lugares na frente e três atrás, sendo que apenas uma é moto- 
 rista? 
 Resolução:31) Quantos números de quatro algarismos, sem repeti-los, obtém-se 
 com os algarismos do conjunto { 1, 2, 3,4}? 
 Resolução: 
 
 
 
32) Numa classe de vinte alunos, o professor deseja montar grupos de 
 cinco alunos para trabalhar no laboratório. Quantos grupos distintos 
 poderá formar? 
 Resolução: 
 
 
 
33) Dispondo de seis cores, de quantas formas distintas podemos pintar 
 uma bandeira com três listras verticais de cores diferentes? 
 Resolução: 
 
 
 
34) Num colégio há sete professores de matemática, cinco de física e 
 quatro de química. Quantas comissões podemos formar com três 
 professores de cada disciplina? 
 Resolução: 
 
 
 
35) Em um campeonato de futebol participam dez clubes, todos com a 
 mesma possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes po- 
 deremos ter a classificação para os três primeiros lugares? 
 Resolução 
 
 
36) Uma urna contém dez bolas brancas e seis pretas. De quantos modos 
 é possível tirar sete bolas das quais pelo menos quatro sejam pretas? 
 Resolução: 
37) Considerando o conjunto E = {a, b, c}, calcular o número de arranjos 
com repetição de classe 2. 
 Resolução: 
 
 
38) Com os algarismos (0, 1, 2, 5, 6), sem repetir, quantos números 
compreendidos entre 100 e 1000 podemos formar? 
 Resolução: 
 
 
 
39) Calcule 
1,102,5
4,72,8
AA
AA


 
 Resolução: 
 
 
 
 
 
40) Obter n tal que 3,3,1 34 nn AA  
 Resolução: 
 
 
 
 
41) Obter n de modo que 302, nA 
 Resolução: 
 
 
 
42) Calcule o valor de n na expressão 12
4,
3,

n
n
C
A
 
 Resolução: 
 
 
 
 
43) Obter n tal que 362,1 nC 
 Resolução: 
 
 
 
44) Resolva a equação xCx 2, 
 Resolução: 
 
 
 
45) Resolva a equação 72
)!1(
)!1(



n
n
 
 Resolução: 
 
 
 
 
 
 
BINÔMIO DE NEWTON 
 
 Chamamos de Binômio de Newton a expressão do tipo 
nax )(  , 
com ,( Rx )Ra e )( Nn . 
 
 Para desenvolvermos expressões deste tipo, utilizaremos o conceito 
de “números binomiais”. 
 
NÚMEROS BINOMIAIS. 
 Sendo ""n e "" p números naturais, tais que pn  , define-se 
)!(!
!
pnp
n
p
n







 como sendo número binomial. O símbolo 





p
n
 lê-se 
“binomial n sobre p ”. 
 
Exemplos: 
1) 10
!3.2
!3.4.5
!3!.2
!5
3
5






 
 
2) 56
!5.2.3
!5.6.7.8
!5!.3
!8
3
8






 
 
3) 1
!0!.
!






n
n
n
n
 
 
CASOS PARTICULARES: 
 
1) 1
!.1
!
!.!.0
!
0






n
n
n
nn
 
 
2) n
n
nn
n
nn











)!1(.
)!1(
)!.1!.(1
!
1
 
 
3) 1
!
!
!0!..
!
)!.(.!
!








n
n
n
n
nnn
n
n
n
 
 
BINOMIAIS COMPLEMENTARES: 
 Chama-se binomiais complementares dois binomiais de mesmo 
numerador em que a soma dos denominadores é igual ao numerador 
comum. 












pn
n
p
n
 
Exemplos: 
 
1) 











3
5
2
5
 
 
2) 











4
7
3
7
 
 
3) 











10
10
0
10
 
 
IGUALDADE DE BINÔMIOS: 
 Dois números do tipo 











k
n
p
n
 e são iguais se e somente se, tem o 
mesmo “denominador” ou são complementares. 
 
Exemplos: 
 
1) 











2
8
 
p
8
 2 p ou 682  pp 
 
2) 











p2
6
 
p
6
 0 p ou 262  ppp 
 
 
3) Determine ""n ),( Nn  de modo que 












2
8
 
n
8
n
 sejam iguais. 
 Resolução: 
 51028)2(  nnnn 
 
4) Resolva a seguinte equação: 












 2
5
4
.2
n
n
n
n
 
 Resolução: 
 
!2)!.2(
!5
!4)!.4(
!2
)]!2([)!2(
!5
)]!4([)!4(
!
2






 n
n
n
n
nnn
n
nnn
n
 
 
 
)!2.(2
)!2)(1.(5
)!4.(24
)!4).(3).(2).(1.(2





n
nnn
n
nnnnn
 
 02456530)3).(2).(1.(.4)1.(.120 22  nnnnnnnnnn 
Resolvendo a equação, temos 8n . (LEMBRE-SE QUE NÃO EXISTE FATORIAL DE 
NÚMEROS NEGATIVOS).. 
RELAÇÃO DE STIFEL. 
 A relação de Stifel estabelece que um binomial de numerador ""n e 
denominador "" p é igual a soma de dois binomiais de numeradores )1( n e 
denominadores "" p e )1( p ; isto é: 












 






1
11
p
n
p
n
p
n
 
Exemplos: 
 
1) 

















2
4
3
4
3
5
 
!2!.2
!4
!1!.3
!4
!2!.3
!5
 
!3
!3.4
!2!.2
!2.3.4
!3.2
!3.4.5
 1010  
 
2) 

















7
10
8
10
8
11
 
!3!.7
!10
!2!.8
!10
!3!.8
!11
 
!7.2.3
!7.8.9.10
!8!.2
!8.9.10
!8.2
!!8.9.10.11
 
 165165  . 
 
3) Calcule: 











12
30
13
30
 
 Resolução: 
 Aplicando a relação de Stifel, temos: 31301  nn .e 13p . 
Logo, temos: 

















13
31
12
30
13
30
 
 
TRIÂNGULO DE PASCAL 
 Denomina-se triângulo de Pascal a tabela de números binomiais 
constituída dispondo: 
I. Numa mesma linha todos os binomiais que tenham numeradores 
iguais; 
 
II. Numa mesma coluna todos os binomiais que tenham denomina-
dores iguais: 






0
0
 ............................ linha “0” 












1
1
 
0
1
 ............................. linha “1” 


















2
2
 
1
2
 
0
2
 ....................... linha “2” 
 .. 
 . 
 . 































n
n
n
nnnn
 
1
 
2
 
1
 
0
 ........... linha ""n 
 
Calculando-se cada binomial, o triângulo fica: 
 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
 
 
............. 
 ............................ 
 
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL 
1. Elementos eqüidistantes dos extremos são iguais (BINOMIAIS COMPLE- 
 MENTARES) 
 
2. Obtém-se 





p
n
 pela relação de Stifel 












 






1
11
p
n
p
n
p
n
 
 
3. Em todas as linhas o primeiro e último elementos são iguais a 1 
 
4. Obtém-se o binomial da linha seguinte, somando-se dois binomiais 
 consecutivos da linha anterior. 
 
5. A soma de dois binomiais de uma mesma linha é uma potência de 
base 2, onde o expoente é a ordem da linha dada, pelo numerador. 
 
OBSERVAÇÕES: 
i. Podemos utilizar o triângulo de Pascal para desenvolver as 
potências do binômio da forma 
nax )(  com Nn . 
 
ii. O desenvolvimento de 
nax )(  é um polinômio com )1( n 
termos. 
 
Exemplos: 
1) Desenvolva 
4)( ax  
 Resolução: 
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1 
 1 4 6 4 1 
 Os números encontrados são os coeficientes do desenvolvimento, 
onde as potências de x decrescem de ""n até zero e as potências de ""a 
crescem de zero até "."n 
Logo, a solução é: 
4322344 .1..4..6..4.1)( axaxaxaxax  
 432234 464 axaxaaxx  
 
2) Desenvolva 
3)( ax  
 Resolução: 
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1  
3)( ax 133 23  xxx 
 
3) Desenvolva 
4)32( x 
 Resolução: 
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1 
 1 4 6 4 1 
 
4)32( x = 43223104 3)2.(3.4)2.(3.6)2.(3.43.)2.(1  xxxx 
 812162169616 234  xxxx 
 
4) Desenvolva 
4)1( i 
 Resolução: 
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1 
 1 4 6 4 1 
 
4)1( i = 4322304 .1.4.1.6.1.4.1 iiiii  
 414641  ii 
 
 
FÓRMULA DO BINÔMIUO DE NEWTON. 
 Para o desenvolvimento do binômio de Newton, podemos utilizar a 
seguinte fórmula: 
 
nnnnn ax
n
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax 022110 ..
2
..
1
..
0
)( 






















   
 
 Observe que, em qualquer termo do binômio, a soma dos expoentes 
de ""x e de ""a é sempre igual a ""n 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule 
5)( ax  
 Resolução: 
 
5)( ax  = 051423324150 ..
5
5
.
4
5
.
3
5
.
2
5
.
1
5
..
0
5
xaxaxaxaxaxa 



































 
 = 54233245 510105 axaxaxaaxx  
 
2) Desenvolva 
4)32( x . 
 Resolução: 
5)( ax  =
0413223140 )2(3.
4
4
)2(3.
3
4
)2(3.
2
4
)2(3.
1
4
)2.(3.
0
4
xxxxx 





























 
 = 812.27.44.9.68.3.416 234  xxxx 
 = 812162169616 234  xxxx 
 
 
3) Desenvolva 
5)3( yx  
 Resolução: 
5)3( yx  = 
.)()3().(
4
5
)3().(
3
5
)3().(
2
5
)3().(
1
5
)3.().(
0
5
51423324150 yxyxyxyxyxy 





























 
54233245 1590270405243 yxyxyxyyxx  
 
4) Desenvolva 
7)4( a 
 Resolução: 
7)4( a = 
.)(4.).(
6
7
4.).(
5
7
4)(
4
7
4.)(
3
7
4.).(
2
7
4.)(
1
7
4.)(
0
7
7625
3443526170
aaa
aaaaa











































 
 
= 765432 2833622408960215042867216384 aaaaaaa  
 
 
Exercícios: 
 
Efetue os seguintes desenvolvimentos: 
 
1) 5)2( x = 
 
 
2) 4)3( a = 
 
 
3) 5)
3
1
( x = 
 
 
4) 6)
2
1
( x = 
 
 
5) 3)
3
1
3( x = 
 
 
6) 72 )1( x = 
 
 
7) 4)31(  = 
 
 
 
8) 4)
1
(
x
x  = 
 
 
 
9) 5)35(  = 
 
 
 
10) 6)
2
1
( x = 
 
 
 
TERMO GERAL. 
 Podemos escrever um termo qualquer do desenvolvimento de 
nax )(  , sem escrever todo o desenvolvimento. Para isso usaremos a 
fórmula: 
ppn
p ax
p
n
T ..1

 





 , onde 1p é a posição do termo e ""n é o 
expoente do binômio. 
 
Exemplos: 
1) Determine o 6º termo do desenvolvimento de 
8)2( x 
 Resolução: 
 561..1 





  ppax
p
n
T ppnp 
 36
333
6
558
6 179232
!5.2.3
!5.6.7.8
32
!3!.5
!8
32.
5
8
2.
5
8
xTxxxTxT 











  
 
2) Determine o 4º termo de 
62 )( yx  
 Resolução: 
341..1 





  ppax
p
n
T ppnp 
 634
63332
4
3362
4 20)(
!3!.3
!6
)().(
3
6
)().(
3
6
xyTxyyxTyxT 











  
 
3) Qual é 5º termo do desenvolvimento de ?)23(
8yx  
 Resolução: 
451..1 





  ppax
p
n
T ppnp 
 











  44445
448
5 )2()3(
!4!.4
!8
)2()3.(
4
8
)2()3.(
4
8
yxyxTyxT 
 445
44 907201681
!4.2.3.4
!4.5.6.7.8
yxTyx  
 
4) Qual o termo médio do desenvolvimento de ?)3(
8x 
 Resolução: 
Se 8n → o desenvolvimento terá 9 termos, logo o termo médio 
será o 5º termo (SÓ EXISTE TERMO MÉDIO SE n FOR UM NÚMERO PAR) 
 451..1 





  ppax
p
n
T ppnp 
 
4
5
444
5
448
5 567081
!4..2.3.4
!4.5.6.7.8
81
!4!.4
!8
81..
4
8
3.
4
8
xTxxxTxT 











  
 
5) Qual o termo em 5x do desenvolvimento de 
5
3
2 )
1
(
x
x  
 Resolução: 
 Aplicando a fórmula do termo geral e igualando o expoente de 
x `5, encontramos o valor de p , somando-lhe uma unidade, 
encontramos o termo procurado. 
pp
p
pp
p xx
p
Txx
p
T 32101
352
1 .
5
.).(
5



 











 pp x
p
T 5101
5

 





 
 
.15510  pp Somando-lhe uma unidade, teremos o termo em 
5x que é o segundo termo. 
 
 
6) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 
62 )
1
(
x
x  
 Resolução 
 O termo independente é o termo onde o expoente de x é igual 
 a zero. 
pp
p
pp
p xx
p
Txx
p
T 

 











 .
6
.).(
6
212
1
62
1 
px
p
312
6







 
 
.40312  pp 
 15
4
6
4
6
55
0
5 











 TTxT 
 
7) No desenvolvimento do binômio 
82 )52( x , determine (se existir) 
o termo em 10x . 
 Resolução: 
 Aplicando a fórmula do termo geral e igualando o expoente de 
x `10, encontramos o valor de p , somando-lhe uma unidade, encon-
tramos o termo procurado. 
ppp
p
pp
p x
p
Tx
p
T )5.(.2.
8
)5.()2.(
8
2168
1
82
1 











 

 
 
310216  pp 
 10104
3105
4 000.224).125(32
!!5.2.3
!!5.6.7.8
)5(.2.
3
8
xxTxT 





 
 
 
 
8) Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 
122 )
1
(
x
x  
 Resolução 
O termo independente é o termo onde o expoente de x 
é igual a zero. 
ppp
p
pp
p x
p
xx
p
Txx
p
T 3242241
122
1 )(
12
).(.
12
).().(
12



 

















 
80324  pp 
 495
!4!.8
!8.9.10.11.12
8
12
.
8
12
999
0
9 











 TTTxT 
 
 
9) Qual o termo médio do desenvolvimento de ?)(
8
2
3
x
y
yx  
 Resolução: 
Se 8n → o desenvolvimento terá 9 termos, logo o termo médio 
será o 5º termo (SÓ EXISTE TERMO MÉDIO SE n FOR UM NÚMERO PAR) 
 451..1 





  ppax
p
n
T ppnp 
 845
48412
5
4243
5 70...
4
8
).()..(
4
8
yxTyxyxTyxyxT 











  
 
 
10) Calcular o 3º termo do desenvolvimento de 
6)5( x 
 Resolução: 
 Se é o 3º termo, 2p 
 
4
5
4
5
24
3 37525
!4!.2
!6
5..
2
6
xTxTxT 





