exercicio 3

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30/05/23, 19:40 Exercício
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1
O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O
desenvolvimento de (x +x +1) possui termos ...
A Em x e em x
B Em x e em x
C Em x e em x
D Em x e em x
E Em x e em x
Resposta correta
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4 2 6
24
8 2
7 2
5 11
22 9
undefined Questão 2 de 10 Finalizar exercício
Exercício - Binômio de Newton e Aplicações
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Gabarito comentado
Note que multiplicando um total de 6 termos dentre os termos
x , x e 1, é impossível obtermos parcelas do tipo x . 
2
O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Dados
um conjunto A com 8 elementos onde x≠y são dois de seus
elementos, quantos são os subconjuntos de A com 4
elementos, de tal forma que x pertença ao subconjunto, mas
y não pertença ao subconjunto?
A
B
C
D
4 2 impar
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(84)
(7
4
)
(73)
(6
4
)
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E
Resposta incorreta Resposta correta: E
Gabarito comentado
Se x deve pertencer ao subconjunto, devemos escolher mais 3
elementos (para completar os 4 desejados) dentre os demais
7 elementos de A. Mas y não deve pertencer ao subconjunto!
Logo, como x já foi escolhido, temos que escolher os 3
elementos adicionais apenas dentre os 6 restantes (sem o x
nem o y).
3
O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. O
número binomial   pode ser calculado
em qualquer uma das planilhas usuais - seja a planilha do
Google, do LibreOffice (Calc) ou do Microsoft Office (Excel)
por meio da digitação, em qualquer célula, da função
=COMBIN(n; p).
Assim, o valor do número binomial    é igual a:
(63)
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(n
p
) = C np =
n!
(n−p)!p!
(20
7
)
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A 77.520
B 38.760
C 54.264
D 116.280
E 125.970
Resposta correta
Gabarito comentado
Basta digitar em qualquer célula de uma das planilhas
sugeridas a expressão =COMBIN(20;7) e teclar Enter.
4
O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
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undefined Questão 2 de 10
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aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. A
Relação de Stifel justifica qual igualdade?
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: E
Gabarito comentado
A relação de Stifel estabelece que
 
.
(10050 ) + (
99
50) = (
99
51)
(100
50
) + (99
49
) = (100
49
)
(9951) + (
99
50) = (
100
50 )
(100
49
) + (99
49
) = (100
50
)
(10050 ) + (
100
49 ) = (
101
50 )
( ) + ( ) = ( )
n − 1
p
n − 1
p − 1
n
p
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Logo, é imediato que a única igualdade verdadeira é a opção 
 
.
5
O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. No
Triângulo de Pascal indicado, J a T representam os números
combinatórios associados:
Fonte: YUDQS - 2022.
Qual a opção que expressa uma relação verdadeira?
( ) + ( ) = ( )100
50
100
49
101
50
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A L=6
B M=5
C T=28
D O≠R
E P=21 
Resposta correta
Gabarito comentado
Observe que 
6
O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas.
Imagine que dispomos de 4 homens e 7 mulheres para
T = C 86 = C
8
2 =
8×7
2 = 28
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formar uma comissão de 5 pessoas. O número total de
comissões é, naturalmente, igual à  , pois dispomos de 11
pessoas. Mas podemos contar a quantidade de comissões
separando a análise pelo número de mulheres das
comissões. Comissões com zero mulheres (que nem é
possível ¿ pense a respeito...), uma mulher..., até 5 mulheres.
Obteríamos a expressão:
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: A
Gabarito comentado
C 115
∑k=5k=1 C
7
k
C 45−k
∑k=5k=1 C
7
5−kC
4
k
∑k=0k=1 C
7
5−kC
4
k
∑k=5k=4 C
7
5−kC
4
k
∑k=0k=1 C
7
5−kC
8
k
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A escolha de k mulheres (k de 1 a 5) dentre as 7 mulheres
disponíveis, pode ser feita de . A escolha dos 5-k homens, a
partir dos 4 homens disponíveis, pode ser feita de  .
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O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Uma
das relações interessantes envolvendo os números
combinatórios é a relação que se segue:
Um dos problemas concretos que podemos criar para
justificar essa igualdade, é:
"Dispomos de n pessoas para definir comissões com pelo
menos 1 funcionário, de tal forma que...":
A
o funcionário mais velho sempre faça parte das
comissões.
C 7
k
C 45−k
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B
o funcionário mais velho e o funcionário mais novo
sempre façam parte das comissões.
C cada comissão deve ter pelo menos n-1  participantes.
D
cada comissão deve possuir um líder e é suposto que
comissões com as mesmas pessoas, mas com líderes
diferentes sejam, também, comissões diferentes.
E
cada comissão deve possuir um coordenador e um
relator (que não podem ser o mesmo funcionário),
onde é suposto que comissões com as mesmas
pessoas, mas com coordenador ou relator diferentes,
são comissões diferentes.
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Note que em uma comissão com k pessoas das n pessoas
disponíveis uma dessas k pessoas pode ser o líder.
Então, comissões com k pessoas (onde uma qualquer pode
ser líder) é um total de  . Logo a soma para k variando de 1
a n é o total de comissões.
kC n
k
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Mas imaginando que escolhemos, primeiro, uma pessoa das
n pessoas disponíveis como líder, devemos "juntá-lo" a
qualquer um dos   subconjuntos dos  funcionários
restantes. Logo, essa contagem também é igual a n. .
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O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas.
Desenvolvendo   como um polinômio na variável ,
qual a soma dos coeficientesnuméricos desse polinômio?
Dentre os números combinatórios da forma  , onde k
varia de 0 a 200, o maior dentre eles corresponde a k igual a: 
A 1
B 99
C 100
D 101
2n−1 n − 1
2n−1
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(x + 1)14
(200
k
)
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E 102  
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Há 201 números combinatórios sendo o central o maior deles,
que corresponde a k=101.
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O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é
aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. No
Triângulo de Pascal indicado, J a T representam os números
combinatórios associados:
Qual a opção que expressa uma relação verdadeira?
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A J+K+L=M 
B O=S
C N+P=Q
D M+R=S
E R+S=T
Resposta incorreta Resposta correta: A
Gabarito comentado
Note que a opção J+K+L=M corresponde à propriedade de
soma de uma coluna.
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O binômio de Newton é um método simples que permite
determinar a enésima potência de um binômio. Esse método
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aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas. Qual o
coeficiente de no desenvolvimento de ? 
A 1
B 7
C 21
D 28
E 70
Resposta incorreta Resposta correta: A
Gabarito comentado
Fazendo  , temos:
 
x6 (x2 + x)3
n = 3, a = x2 e b = x em Tk+1
Tk+1 = C
n
k a
n−k ⋅ bk
Tk+1 = C
3
k(x
2)
3−k
⋅ xk
Tk+1 = C
3
k ⋅ x
6−kundefined Questão 2 de 10
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O coeficiente desejado, então, vale 1.
Note, entretanto, que como o exporente n = 3, e como
consequência poderíamos usar o produto notável
 
 
de imediato o coeficiente desejado vale 1.
 Desejamos que 6 − k = k, ou seja, k = 0. 
 Logo, T0+1 = T1 = C 30 ⋅ x
6 = 1x6 = x6
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
undefined Questão 2 de 10
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