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ESCOLA DE ENGENHARIA 
ENEC50318 – ESTATÍSTICA I 
Professores Orlando Albarracín - Rafaela Dourado - Raquel Cymrot 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
(Apresentar todo o procedimento feito para se chegar à resposta; 
os cálculos devem ser apresentados com 4 casas decimais) 
 
Exercício 1 
Seja X uma variável aleatória com 𝐸(𝑋) =  e 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝜎2. Defina Verifique que E(Y) = 0 e 
VAR(Y) = 1. 
 
Exercício 2 
Um grupo de amigos deseja investir seu capital num projeto de inovação tecnológica. Após uma pesquisa de 
mercado, os amigos se interessaram somente nos projetos A e B. Um investimento no Projeto A teria uma perda 
de 45% do valor investido com probabilidade de 0,3, nenhuma perda e nenhum ganho com probabilidade de 
0,5 ou um lucro equivalente a 60% do valor investido com probabilidade 0,2. Por outra parte, um investimento 
no Projeto B teria uma perda de 27% do valor investido com probabilidade 0,4, nenhuma perda e nenhum 
ganho com probabilidade de 0,45 ou um lucro análogo a 80% do valor investido com probabilidade 0,15. Sabe-
se que o dinheiro disponível para o investimento é de R$ 230.000,00. Embasado no lucro esperado, qual é o 
melhor projeto para investir? 
 
Exercício 3 
O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória (v.a.) com 
a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
t 2 3 4 5 6 7 
P(t) c 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
 
a. Determine o valor de c. 
b. Calcule o tempo médio de processamento. 
c. Para cada peça processada, o operário ganha o fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos 
de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro 
minutos, recebe a quantia adicional de $1,00. Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. 
Considere Q: quantia ganha por peça. 
 
Exercício 4 
A distribuição de probabilidades conjuntas do número 𝑋 de carros e do número 𝑌 de ônibus por ciclo de 
semáforo em uma conversão à esquerda é exibida na tabela de probabilidade conjunta a seguir: 
 𝑌 
𝑝(𝑥, 𝑦) 0 1 2 
0 
1 
2 
𝑋 3 
4 
5 
0,025 
0,050 
0,125 
0,150 
0,100 
0,050 
𝑧 
0,030 
0,075 
0,090 
0,060 
0,030 
0,010 
0,020 
0,050 
0,060 
0,040 
0,020 
 
a. Calcule o valor de 𝑧 
b. Qual é a probabilidade de haver no máximo um carro e no máximo um ônibus em um ciclo? 
c. Encontre as distribuições marginais de X e Y 
d. Qual é a probabilidade de haver exatamente três carros em um ciclo? 
𝑌 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
. 
 
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e. Suponha que uma pista de conversão à esquerda tenha capacidade para cinco carros e que um ônibus 
equivalha a três carros. Qual é a probabilidade de ocorrer excesso de fluxo em um ciclo? 
f. Calcule o coeficiente de correlação das variáveis 𝑋 e 𝑌. 
 
Exercício 5 
Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50 unidades. Antes que uma remessa seja aprovada, 
um inspetor escolhe, ao acaso e sem reposição, 5 desses motores e os inspecionam. Se no máximo um dos 
motores selecionados for defeituoso, o lote é aprovado, caso contrário todos os motores da remessa serão 
inspecionados. Suponha que existam, de fato, três motores defeituosos no lote. Qual é a probabilidade de que 
seja necessário examinar todos os motores dessa caixa? 
 
Exercício 6 
Sabe-se que a probabilidade de uma máquina de lavar roupa, fabricada pela companhia A, ser enviada para 
reparo durante a garantia é de 0,02. O serviço técnico da companhia assegura que 75% das máquinas enviadas 
para reparo durante a garantia podem ser consertadas com sucesso, enquanto 25% dessas máquinas devem 
ser substituídas. 
i. Considere que uma empresa comprou 10 dessas máquinas de lavar. 
a. Qual é a probabilidade de enviar, no mínimo, duas máquinas para reparo durante a garantia? 
b. Qual é a probabilidade de a empresa enviar somente duas máquinas (das 10 que comprou) para reparo 
e estas serem consertadas com sucesso? 
ii. Suponha que a empresa, em certo dia, enviou 7 máquinas, que estão em garantia, para reparo. Qual é a 
probabilidade de exatamente duas serem substituídas? 
 
Exercício 7 
Sabe-se que o número de erros tipográficos numa página de um livro de Estatística é uma variável aleatória de 
Poisson com uma média de 0,75 erros por página. Determine a probabilidade de 
a. Encontrar mais de dois erros tipográficos numa página 
b. Encontrar dois erros tipográficos numa página 
c. Encontrar no máximo dois erros em duas páginas 
Exercício 8 
Considere 40 questões de múltipla escolha consideradas na prova de Vestibular de uma certa Universidade com 
5 respostas possíveis cada uma (das quais uma correta), se um candidato responde por adivinhação as 40 
questões, determine a probabilidade de acertar pelo menos 5 questões. 
 
Exercício 9 
Assuma que a probabilidade de um torno mecânico produzido por certa fábrica precisar de conserto durante o 
primeiro ano de uso seja de 0,125. Sabe-se, ademais, por experiência, que 5% dos tornos que precisam de 
reparo durante seu primeiro ano de uso são por mau uso do operário, enquanto os outros 95% o são por defeito 
de fabricação. Considere que uma empresa comprou 8 tornos da companhia em questão. 
a. Determine a probabilidade de, no máximo, dois tornos precisarem de conserto durante o primeiro ano 
de uso. 
b. Determine o número esperado de tornos que precisariam de conserto durante o primeiro ano de uso. 
c. Qual é a probabilidade de que somente um torno precise de conserto durante o primeiro ano de uso e 
de que ele seja reparado devido ao mau uso do operário? 
Exercício 10 
O número de chamadas telefônicas recebidas no Serviço de Atendimento ao Consumidor (SAC) de uma 
companhia aérea pode ser modelado como uma variável aleatória de Poisson. Considere que, em média, há 10 
chamadas por hora. 
 
a. Qual é a probabilidade de que em haja exatamente 5 chamadas em uma hora? 
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b. Qual é a probabilidade de que haja exatamente 15 chamadas em 2 horas? 
c. Qual é a probabilidade de que haja duas ou menos chamadas em 30 minutos? 
 
Exercício 11 
Uma firma compra lâmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 20 lâmpadas (sem reposição) para 
verificar se estão boas. Assuma que certa centena contém 10 lâmpadas queimadas, determine: 
 
a. A probabilidade de se escolher uma amostra com pelo menos uma lâmpada queimada. 
b. A probabilidade de que a amostra contenha cinco lâmpadas queimadas. 
 
Exercício 12 
Um brinquedo é composto de duas peças, A e B, fabricadas separadamente. Sabe-se que, por experiência, 5% 
das peças A e 10% das peças B têm defeitos de fabricação. Suponha que um lote de 50 brinquedos é enviado 
para venda. Qual é a probabilidade de que existam pelo menos dois brinquedos com algum defeito? 
 
RESPOSTAS E BIBLIOGRAFIA 
Exercício 1. (Autoria dos professores) Dica: Usar as propriedades da Esperança e da Variância de variáveis 
aleatórias. 
Exercício 2. (Autoria dos professores) O projeto B, cujo lucro esperado é R$ 2.760,00. 
Exercício 3. (Bibliografia nº 1) a) 0,1 b) 4,6 c) E(Q)=2,75 e Var(Q)=0,4125. 
Exercício 4. (Bibliografia nº 2) a) 0,015 b) 0,12 d) 0,3 e) 0,38 f) 0. 
 
 c) 
 
Exercício 5. (Bibliografia nº 5) 0,0234 
Exercício 6. (Autoria dos professores) a) 0,0162 b) 0,0090 c) 0,3115 
Exercício 7. (Autoria dos professores) a) 0,0405 b) 0,1329 c) 0,8088 
Exercício 8. (Autoria dos professores) 0,9241 
Exercício 9. (Autoria dos professores) a) 0,9327 b) 1 c) 0,0479 
 
Exercício 10. (Autoria dos professores) a) 0,0378 b) 0,0516 c) 0,1247 
Exercício 11. (Bibliografia nº 1) a) 0,9049 b) 0,0215 
Exercício 12. (Autoria dos professores) 0,9962 
 
 
1. MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, WILTON OLIVEIRA. Estatísticabásica. Saraiva Educação SA, 2017. 
2. JAY L, DEVORE. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. 8. Ed. Cengage Learning, 2016. 
3. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 4. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
4. MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antônio Carlos P. Noções de Probabilidade e Estatística. 7. ed. São Paulo: 
Edusp, 2010. 
5. Meyer, P. (1969), Probabilidade: Aplicações à Estatística. Ao Livro Técnico. 
𝑥 0 1 2 3 4 5 
𝑝(𝑥) 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 0,10 
 
𝑦 0 1 2 
𝑝(𝑦) 0,50 0,30 0,20