Aplicações Equações Diferenciais Ordinárias

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
EXA706 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS I 
MONITORA: VIVIAN AGNES DE AZEVEDO 
DOCENTE/ORIENTADORA: JOSEMILLER FELIX 
2019 
Monitoria- EDO 
Equações diferenciais de primeira ordem: Aplicações 
Alguns dos fenômenos da Ciência e Engenharia que envolvem taxas de variações 
podem ser descritos por equações diferenciais ordinárias. Assim, podemos solucionar 
problemas, referentes, por exemplo a crescimento populacional (exponencial e 
logístico), decaimento radioativo e sistemas físicos, a partir da resolução de uma EDO. 
Apresentaremos aqui problemas relacionados ao crescimento exponencial, 
resfriamento de Newton, decaimento radioativo e misturas. 
 
Crescimento e decrescimento exponencial: 
Um dos modelos de crescimento populacional supõe que a população cresce a uma 
taxa proporcional a seu tamanho (quantidade inicial). Satisfazendo: 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 = kQ(t) 
 
Onde, Q(t) é a quantidade de determinada 
população em função do tempo. 
Tem-se uma EDO separável: 
1
𝑄
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 = k 
Após resolvida resultando em: 
Q(t) = ±𝑒𝑘𝑡 𝐴 
Como se trata de população, só estamos interessados em valores positivos de Q. 
Exercício - Numa cultura, a quantidade de fermento ativo cresce proporcionalmente à 
quantidade presente. Sabendo que em 1 hora a porção inicial foi duplicada, qual a 
multiplicação que se pode esperar no fim de 2+ ¾ horas? 
Resolução: Como o modelo de crescimento do fermento ativo obedece 
Q(t) = 𝐴𝑒𝑘𝑡 
Substituindo Q(1)=2Q e Q(0)=Q, temos o sistema pelas equações (a) e (b) abaixo 
Indica que a variação de Q em relação a t 
(derivada de Q em relação a t) é igual a 
Q(t) vezes uma constante de 
proporcionalidade. É então uma equação 
com a derivada de uma função, o que 
chamamos de equação diferencial. 
 
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MONITORA: VIVIAN AGNES DE AZEVEDO 
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2019 
 
(a) 2Q0 = Q0ek 
(b) Q0 = A 
Por (a) obtemos 
ek = 2, logo: k = ln 2 = 0,69315 
Em 2 + ¾ horas, isto é 11/4 horas, então: 
Q = Q0 e(11/4)0,69315 
Q/ Q0 = 6,727223481 
Portanto, no fim de 2 + ¾ horas espera-se uma quantidade aproximadamente 6,73 
vezes maior do que a quantidade inicial. 
 
Resfriamento de Newton (Variação de temperatura): 
A lei do resfriamento de Newton afirma que: “taxa de variação da temperatura de 
um corpo é diretamente proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e 
a temperatura do meio ambiente.” 
Assim, é possível descrever a variação de temperatura de um corpo, em função do 
tempo, por: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 = k(T − Ta) 
 Uma EDO separável: 
 1/(T- Ta) 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
 = k 
 Após a aplicação da integral e, em seguida do número de Euler (e) para eliminação 
do ln, temos que: 
 T = Aekt + Ta 
Exercício - A pasteurização, um processo de conservação de alimentos, utiliza 
temperaturas não acima de 100°C. Uma certa amostra de suco submetida à esse 
método esfria-se de 100°C a 60°C em 10min, em ambiente à 20°C. Após 40min qual a 
temperatura do suco? (Resp: 20°C) 
 
T é a temperatura do corpo; 
Ta é a temperatura ambiente. 
 
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Decaimento Radioativo: 
Elementos radioativos se desintegram ou transmutam a uma taxa proporcional à 
quantidade presente. Matematicamente: 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 = kQ(t) 
Uma EDO separável. 
A constante k é própria de cada elemento radioativo. 
OBS: Um dos elementos radioativos cuja a meia-vida é muito útil é o carbono 14. No 
século XX foi descoberto um método para determinar a idade de fósseis usando o 
carbono radioativo. Como a proporção entre ele e o carbono 12 é constante nos 
organismos vivos, foi descoberto no século XX que isso possibilita a determinação da 
idade de seres não mais vivos. Seu k = - 1,244 * 10-4. 
Solucionando a EDO: 
Q(t) = 𝑒𝑘𝑡 𝐴 
Exercício - Em um pedaço de carvão (madeira queimada) verificou-se que 85,5% do C-
14 tinha se desintegrado. Sabendo que a idade aproximada da madeira pode 
identificá-la, qual a idade da madeira? (Resp: 15500 anos) 
 
Misturas: 
A mistura de dois fluidos pode dar origem à uma EDO de primeira ordem. Um modelo 
em que uma substância está dissolvida em um fluido, estando bem misturados, em um 
reservatório com taxa de entrada e de saída pode ser descrito como: 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 = TeCe − Ts 
𝑄
V0+ (Te - Ts)t 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
Q é a quantidade total da subst. no reservatório; 
Te é a taxa de entrada; 
Ts é a taxa de saída; 
Ce é a concentração da subst. de entrada; 
V0 é o volume inicial; 
t é o tempo. 
 
 
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2019 
Exercício - Um tanque com capacidade de 400L contém inicialmente 100L de água 
salgada com 50kg de sal. Água salgada contendo 1kg de sal por litro entra no tanque a 
uma taxa de 5L/min e a água misturada no tanque flui para fora a uma taxa de 3L/min . 
Qual a equação que descreve a quantidade de sal no tanque em função do tempo? 
(Resp: Q = (100 + 2t) -50000(100 + 2t)-3/2)