AVALIAÇÃO 02 Matemática Econômica III

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Maranhão
Departamento de Economia
Disciplina: Matemática Econômica III
Avaliação 2: Funções de várias variáveis
Aluno 1 Gabrielle Aldama Mourão Soares Pereira
Aluno 2 Karoline Kelly Cunha Da Silva
Aluno 3
Perguntas
1 É permitido que uma empresa cobre preços diferentes de seus clientes varejistas e
atacadistas. Se indicam o preço e a demanda para o mercado varejista, então a 𝑃
1 
𝑒 𝑄
1
equação da demanda é
𝑃
1
= 500 − 𝑄
1
Se indicam o preço e a demanda para o mercado atacadista, então a equação da 𝑃
2 
𝑒 𝑄
2
demanda é
𝑃
2
= 360 − 32 𝑄2
Se a função custo total é
𝐶𝑇 = 50. 000 + 20𝑄
1
+ 20𝑄
2
Determine a política de precificação da empresa que maximiza o lucro com discriminação
de preço e calcule o valor máximo de lucro.
Resposta:
Discriminação de preços:
𝑃
1
= 500 − 𝑄
1
⇒ 𝑄
1
= 500 − 𝑝
1
𝑃
2
= 360 − 32 𝑄2 ⇒𝑄2 =
360−𝑝
2
3
2
⇒
720−2𝑝
2
3
𝑃
1
𝑄
1
= (500 − 𝑝
1
) . 𝑄
1
⇒ 500𝑝
1
− 𝑝²
1
𝑃
2
𝑄
2
 =
720−2𝑝
2
3 . 𝑄2 ⇒
720𝑝
2
−2𝑝²
2
3
, são as receitas𝑃
1
𝑄
1
 𝑒 𝑃
2
𝑄
2
𝐶𝑇 = 50000 + 20(500 − 𝑝
1
) + 20(
720−2𝑝
2
3 )
𝐶𝑇 = 50000 + 10000 − 20𝑝
1
+
14400
3 −
40𝑝
2
3
3
𝐶𝑇 = 60000 − 20𝑝
1
+ 4800 −
40𝑝
2
3
𝐶𝑇 = 55200 − 20𝑝
1
−
40𝑝
2
3
Lucro: L=R. C
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
𝐿 = 500𝑝
1
− 𝑝²
1
+
720𝑝
2
−2𝑝²
2
3 − 55200 − 20𝑝1 −
40𝑝
2
3
∂𝐿
∂𝑥 = 500 − 2𝑝1 − 20
∂𝐿
∂𝑥 = 0
500 − 2𝑝
1
− 20 = 0
520 − 2𝑝
1
= 0
520 − 2𝑝
1
= 0
𝑝
1
= 5202 = 260
∂𝐿
∂𝑦 =
720−4𝑝
2
−40
3
∂𝐿
∂𝑦 = 0
720−4𝑝
2
−40
3 = 0
720 − 4𝑝
2
− 40 = 0
630 − 4𝑝
2
= 0
𝑝
2
= 6804 = 170
Os valores máximos para o lucro =170 e =260𝑝
2
𝑝
1
2 Uma fábrica produz unidades do produto e unidades do produto . Todas as unidades 𝑥 𝐴 𝑦 𝐵
serão vendidas se o preço do produto for reais e o produto for𝐴 𝑝(𝑥) = 100 − 𝑥 𝐵 𝑔𝑎
reais. A função de custo conjunto dos produtos é𝑞(𝑦) = 100 − 𝑦 
reais. Quais devem ser os valores de e para que o lucro seja𝐶(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑥𝑦 + 𝑦² 𝑥 𝑦 
máximo?
Resposta:
reais > , a receita do produto A, o preço 𝑝(𝑥) = 100 − 𝑥 𝑅
𝐴
(𝑥) = (100 − 𝑥). 𝑥
multiplicado pela quantidade produzida do produto A.
 𝑅
𝐴
(𝑥) = (100 − 𝑥). 𝑥
 𝑅
𝐴
(𝑥) = 100𝑥 − 𝑥2
reais > a receita do produto B, a função do𝑞(𝑦) = 100 − 𝑦 𝑅
𝑏
(𝑦) = (100 − 𝑦 ). 𝑦, 
preço multiplicado pela quantidade produzida do item B.
𝑅
𝑏
(𝑦) = (100 − 𝑦 ). 𝑦 
𝑅
𝑏
(𝑦) = 100𝑦 − 𝑦2
O lucro será a soma das receitas diminuído pelo custo.
L(x,y)= 100𝑥 − 𝑥2 + 100𝑦 − 𝑦2− 𝑥² − 𝑥𝑦 − 𝑦²
L(x,y)= 100𝑥 − 2𝑥2 + 100𝑦 − 2𝑦2 − 𝑥𝑦− 𝑥² − 𝑥𝑦 − 𝑦²
;∂𝐿∂𝑥 = 100 − 4𝑥 − 𝑦
∂𝐿
∂𝑥 = 0
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
;∂𝐿∂𝑦 = 100 − 4𝑦 − 𝑥
∂𝐿
∂𝑦 = 0
Resolvendo o sistema:
=0∂𝐿∂𝑦
100 − 4𝑦 − 𝑥 = 0
100 − 4(100 − 4 𝑥) − 𝑥 = 0
100 − 400 − 16𝑥 − 𝑥 = 0
− 300 + 15𝑥 = 0
15𝑥 = 300
𝑥 = 30015 = 20, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙.
;∂𝐿∂𝑥 = 100 − 4𝑥 − 𝑦
∂𝐿
∂𝑥 = 100 − 4(20) − 𝑦
100 − 4(20) = 𝑦
100 − 80 = 𝑦
𝑦 = 20, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 .
Devido a simetria do problema, os valores de x e y são iguais.
3 Um monopolista produz e vende um produto em dois mercados, cada qual com a seguinte
equação de demanda:
e𝑝
1
= 40 − 3𝑥
1
𝑝
2
= 90 − 2𝑥
2
Em que são os preços unitários em cada mercado, e e , as respectivas𝑝
1
 𝑒 𝑝
2
𝑥
1
𝑥
2
quantidades demandadas. A função custo é 𝐶 = 200 + 10 𝑥
1
+ 𝑥
2( ).
a) Obtenha os preços e que maximizam o lucro.𝑝
1
𝑝
2
;𝑅(𝑥
1 
) = 𝑥
1 
. 𝑝
1
𝑅(𝑥
2 
) = 𝑥
2 
. 𝑝
2
𝑅(𝑥
1
) = 𝑥
1 
. (30 − 3𝑥
1
) 𝑅(𝑥
2
) = 𝑥
2 
. (90 − 2𝑥
2
)
𝐿 = 𝑥
1
(40 − 3𝑥
1
) + 𝑥
2
(90 − 2𝑥
2
) − 200 − 10(𝑥
1
+ 𝑥
2
)
𝐿 = 40𝑥
1
− 3𝑥²
1
+ 90𝑥
2
− 2𝑥²
2
− 200 − 10𝑥
1
+ 10𝑥
2
𝐿 = 30𝑥
1
− 3𝑥²
1
+ 80𝑥
2
− 2𝑥²
2
− 200
Derivando em relação à :𝑥
1
 𝑒 𝑥
2
∂𝐿
∂𝑥
1
= 30 − 6𝑥
1
30 − 6𝑥
1
= 0
, quantidade da demanda no mercado .𝑥
1
= 306 = 5 𝑥1
∂𝐿
∂𝑥
2
= 80 − 4𝑥
2
 
80 − 4𝑥
2
= 0
, quantidade demanda no mercado .𝑥
2
= 804 = 20 𝑥2
Maximização do lucro, correspondente aos preços :𝑝
1
 𝑒 𝑝
2
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
𝑝
1
= 30 − 3. 5 𝑝
2
= 90 − 2. 20
𝑝
1
= 40 − 15 𝑝
2
= 90 − 40
𝑝
1
= 25 𝑝
2
= 50
b) Se não puder haver discriminação de preços (ou seja, se e tiverem de ser iguais),𝑝
1
𝑝
2
qual preço maximiza o lucro?
𝑝
1
 𝑒 𝑝
2
= 𝑝
𝑝 = 40 − 3𝑥
1
𝑝 = 90 − 2𝑥
2
𝑥
1
= 40−𝑝3 𝑥2 =
90−𝑝
2
𝑥 = 40−𝑝3 +
90−𝑝
2
𝑥 = 80−2𝑝+270−3𝑝6
𝑥 = 350−5𝑝6
𝑅 = 𝑝. 𝑥
𝑅 = 𝑝. ( 350−5𝑝6 )
𝑅 = 350𝑝−5𝑝²6
𝐿 = 350𝑝−5𝑝²6 − 200 − 10(
350−5𝑝
6 )
𝐿 = 350𝑝−5𝑝²−1200−3500+50𝑝6
𝐿 = 400𝑝−5𝑝²−23006
∂𝐿
∂𝑝 = 0
400−5𝑝
6 = 0
400 − 10
𝑝
= 0
𝑝 = 40010 = 40
4 Um duopólio é tal que as funções custo para as firmas são:
𝐶 𝑥( ) = 3𝑥 𝑒 𝐶 𝑦( ) = 12 𝑦
2
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
Em que x é a quantidade produzida pela primeira firma e y, a da segunda. A equação da
demanda do produto é:
, em que é o preço unitário.𝑝 = 100 − 2 𝑥 + 𝑦( ) 𝑝
a) Qual a equação do lucro do duopólio, em função de e ?𝑥 𝑦
𝑅 = 𝑝 . 𝑞
𝑅 = ((100 − 2(𝑥 + 𝑦)) . (𝑥 + 𝑦)
𝑅 = (100 − 2𝑥 − 2𝑦) . (𝑥 + 𝑦)
𝑅 = 100𝑥 − 2𝑥² − 2𝑥𝑦 + 100𝑦 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦²
𝑅 = 100𝑥 − 2𝑥² − 4𝑥𝑦 + 100𝑦 − 2𝑦²
𝐿 = 𝑅 − 𝐶
𝐿 = 100𝑥 − 2𝑥² − 4𝑥𝑦 + 100𝑦 − 2𝑦² − 3𝑥 − 12 𝑦
2
𝐿 = 97𝑥 − 2𝑥² − 4𝑥𝑦 + 100𝑦 − 32 𝑦
2
b) Quais os valores de e que maximizam esse lucro?𝑥 𝑦
𝐿 = 97𝑥 − 2𝑥² − 4𝑥𝑦 + 100𝑦 − 32 𝑦
2
Derivando parcialmente x e y pela equação do lucro:
∂𝐿
∂𝑥 = 97 − 4𝑥 − 4𝑦
∂𝐿
∂𝑦 = 100 − 4𝑥 −
6𝑦
2
Resolvendo os sistemas:
∂𝐿
∂𝑥 = 0
97 − 4𝑥 − 4𝑦 = 0
𝑦 = 97−4𝑥4 ⇒ 24, 25 − 𝑥
Substituindo y:
100 − 4𝑥 − 3(24, 25 − 𝑥) = 0
100 − 4𝑥 − 72, 75 − 3𝑥 = 0
27, 25 − 7𝑥 = 0
𝑥 = 27,257 ≃ 3, 9
Substituindo x:
0 = 97 − 4(3, 9) − 4𝑦
0 = 97 − 15, 6 − 4𝑦
0 = 81, 4 − 4𝑦
𝑦 = 81,44 ≃ 20, 25
Então x e y adquirem respectivamente 3,9 e 20,25 para que maximizem o lucro.
Resposta:
5 Uma empresa fabrica dois produtos e , o primeiro vendido a a unidades e a𝑃 𝑄 $4, 00
segunda, a a unidade. A função custo mensal é , em que e$2, 00 𝐶 = 5 + 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑥
são as quantidades produzidas.𝑦
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
a) Quais as quantidades e que maximizam o lucro?𝑥 𝑦
b) Qual o lucro máximo?
Resposta:
L= r - C r= 4x+2y C= 5+x²+y²-xy *(-1)
↓
L= L= 4x+2y-5-x²-y²+xy
sistema de equação
4-2x+y=0
2-2y+x=0
-2x+y-4=0 (-1) →2x-y+4=0 x-2y+2=0
2x=y-4 x-2=2y
x=0,5y-2 x= 2y+2
0,5y-2= 2y + 2 2x-y+4=0
-1,5y -2= 2 2x-( )+4=0−83
-1,5y= 4 2x+( )=0203
y= x= /2 → x=−83
−20
3
−10
3
a) X= ; Y = →Quantidades−103
|| ||
−8
3
|| ||
b) Lm= r - C = 56/3 - 43/3 = 13/3 ou 39/9
r = 4x + 2y
r = 4*10/3 + 2*8/3
r = 40/3 + 16/3
C = 5 + x² + y² - xy
5 + (10/2)² + (8/3)² - 10/3*8/3
5 + 100/9 + 64/9 - 80/9
+ 64/9 - 80/95*9 + 100 9
146/9+64/9 - 80/9 = →C= 43/3209 − 809
6 Quando uma empresa usa unidades de trabalho e unidades de capital, sua produção𝑥 𝑦 
mensal de certo produto é dado por:
𝑃 = 32𝑥 + 20𝑦 + 3𝑥𝑦 − 2𝑥2 − 2, 5𝑦²
Obtenha os valores de e que maximizam a produção mensal.𝑥 𝑦
Resposta:
Derivando em relação a x e y, têm-se dois sistemas
∂𝑃
∂𝑥 = 32 + 3𝑦 − 4𝑥
∂𝑃
∂𝑦 = 20 + 3𝑥 − 5𝑦
∂𝑃
∂𝑥 = 32 + 3𝑦 − 4𝑥
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo:Funções de uma e várias variáveis.
32 + 3𝑦 − 4𝑥 = 0
, aplicando x na derivada de y𝑥 = 32+3𝑦4
∂𝑃
∂𝑦 = 20 + 3𝑥 − 5𝑦
0 = 20 + 3( 32+3𝑦4 ) − 5𝑦
0 = 20 + 96+9𝑦4 − 5𝑦
0 = 20 + 24 + 2, 25𝑦 − 5𝑦
0 = 44 − 2, 75𝑦
𝑦 = 442,75 = 16
Substituindo y para encontrar x:
𝑥 = 32+3(16)4
𝑥 = 804 = 20
Para x e y valores que maximizem a produção mensal, x= 20 e y =16
Segue os exercícios resolvidos dos slides:
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.
● Obs: exercícios retirados do livro:
● MORETTIN, P. A., HAZZAN, S., BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis.