3. Dinâmica. 3.2. Polias e Decomposição de forças

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Aula 02: Dinâmica - Polias e Decomposição de forças (Massas suspensas e Plano inclinado)
Polias
A polia é uma pequena roda que pode ser usada, por exemplo, para erguer objetos. É importante ficar atento a todas as forças envolvidas num sistema qualquer que envolva polias. Veja a imagem abaixo.
Perceba que os blocos possuem uma força peso PA e PB. Enquanto que o fio exerce uma força de tração TA e TB sobre esses blocos.
Note na imagem abaixo que a tração necessária para erguer o objeto reduz-se conforme o número de polias aumenta. Esse conhecimento pode ser aplicado no cotidiano para erguer objetos que tenham peso elevado. 
Quando o sistema de polias possui a configuração da figura “a”, cada polia reduz a metade a força necessária para levantar o objeto. 
Quando a polia possui a configuração da figura “b” e “c”, a força necessária será igual ao peso do objeto dividido pela quantidade de polias. 
Exercício 01
A figura a mostra dois blocos A e B, de massas mA = 6 kg e mB = 4 kg, ligados por um fio ideal que passa por uma polia ideal. Supondo g = 10 m/s2, calcule as acelerações dos blocos quando o sistema é abandonado em repouso.
Resolução
- A força resultante em A é o peso menos a tração, pois o bloco é acelerado para baixo (logo o peso é maior que a tração)
- A resultante das forças em B é a tração menos o peso, pois o bloco é puxado para cima (logo a força de tração que atua no bloco é maior que a força peso do bloco).
PA – T = mA . a 		60 – T = 6 . a
T – PB = mB . a	 	T – 40 = 4 . a + 
						 20 = 10a
a = 2 m/s2
Exercício 02
A figura representa dois blocos A e B ligados por um fio ideal que passa por uma polia ideal. As massas de A e B são respectivamente iguais a 4 kg e 16 kg. Sabe-se ainda que g = 10 m/s2 e que não há atrito entre o bloco B e a superfície S. Abandonando-se o sistema em repouso, calcule:
a) O módulo da aceleração do bloco B;
Como não há atrito (a força de atrito será estudada na próxima aula) a resultante das forças em B será a tração.
- Como a cai, a força peso será maior que a tração. 
- Em b apenas a tração age no movimento. 
PA – T = mA . a		
 T = mB . a +	
PA = (mA + mB) . a
PA = 20a
40 = 20a
a = 2 m/s2
b) A intensidade de tração no fio
T = mB . a
T = 16 . 2
T = 32 N
c) A intensidade da força exercida pelo fio sobre a polia.
 = cos 45° = F = 32 
Polia móvel
Repare que numa polia móvel, o deslocamento do bloco pendurado na polia fixa é duas vezes maior que o da polia móvel. O mesmo ocorre com a aceleração.
|| = 2||
|| = 2||
Se, por exemplo, as polias estiverem numa gravidade de 10 m/s2, e tiverem massas de 8 kg e 6 kg, suas acelerações são calculadas do seguinte modo:
80 – T = 8 . aA (aA = 2aB)
2T – 60 = 6 . aB
Resolvendo o sistema, obtemos que 
aA = 100/19 m/s2 aB = 50/19 m/s2 e T = 720 N
Nota: Se as acelerações resultassem negativas, isso significaria que seus sentidos seriam os opostos dos sentidos adotados.
Questão 07
Na polia representada ao lado, em que as polias e os fios são ideais, as massas de A e B são respectivamente iguais a 6 kg e 16 kg. Sendo g = 10 m/s2, calcule os módulos da:
a) aceleração do bloco A;
T – PA = mA . 2a T – 60 = 6 . 2a 
PB – 2T = mB . a 160 – 2T = 16 . a
T – 60 = 6 . 2a (x2)
160 – 2T = 16 . a +
2T – 120 = 24a 
160 – 2T = 16a +
40 = 40a
a = 1 m/s2
2a é igual a 2 m/s2
b) aceleração do bloco B
1 m/s2
Questão 09
(Fuvest - SP) Um sistema mecânico é formado por duas polias ideais que suportam três corpos A, B e C de mesma massa m, suspensos por fios ideais como representado na figura. O corpo B está suspenso simultaneamente por dois fios, um ligado a A e outro a C. Podemos afirmar que a aceleração do corpo B será:
a) zero 
b) g/3 para baixo 
c) g/3 para cima 
d) 2g/3 para baixo
Resolução:
PA - T1 = mA . a
PC - T2 = mC . a
T1 + T2 - PB = mB . a +_
PA + PC - PB = (mA + mB + mC).a
mg + mg - mg = (m + m + m) . a
mg + mg - mg = (3m) . a
mg = 3m . a
a = mg/3m
a = g/3
Questão 10
Uma moça puxa a si própria para cima usando o dispositivo esquematizado abaixo. 
Considere o fio e a polia ideiais e g = 10 m/s2. A massa da moça é 60 kg e a do “balde” é 10 kg. Em seu caderno, calcule a intensidade da força que o “balde” exerce sobre a moça, nos seguintes casos. 
a) a moça sobe com velocidade constante;
No balde estará atuado a força peso, que aponta para baixo, a força que os pés da moça exercem sobre ele, que também é para baixo e a tração, para cima.
Montando a equação para o "balde", tem-se:
FR = mB . a
FT - FN - PB = mB . a
Na moça estará atuando a força de tração, para cima, a força do balde sobre ela, também para cima, e o seu peso, para baixo. Motando a equação, fica:
FT + FN - PM = mM . a
Multiplicando a primeira equação por (-1) e resolvendo o sistema, fica:
- FT + FN + PB = - mB . a
 FT + FN - PM = mM . a + 
2FN + PB - PM = mMa - mBa
2FN + mBg - mMg = mMa - mBa
2FN = mMa - mBa - mBg + mMg
2FN = mM(a + g) - mB(a+g)
FN = 
Com a velocidade constante a = 0.
FN = = = 250 N
a) a moça sobe com movimento acelerado com aceleração cujo módulo é 0,5 m/s2.
FN = = 262,5 N
Decomposição de forças
Há situações em que pode ser vantajoso substituir uma força F por duas outras forças perpendiculares entre si. Isto é, fazer a decomposição de F. 
É importantíssimo lembrar dos conceitos básicos de trigonometria (seno, cosseno e tangente). 
Exercício 03
Uma força F = 100 N é aplicada sobre um bloco de massa 20 kg que estava inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. 
Dados: g = 10 m/s2; sen ϴ = 0,60 e cos ϴ = 0,80
Qual os valores de FX, FY, FN e a (aceleração).
Resolução:
FX = F . cos ϴ FX = 100 N . 0,80 = 80 N
FY = F . sen ϴ FY = 100 N . 0,60 = 60 N
FN + FY = P FN + 60 N = 200 N FN = 140 N
- A resultante das forças que atuam sobre o bloco é FX. Aplicando a segunda lei de Newton.
FX = m . a 80 = 20 . a a = 4 m/s2
Questão 06
Um bloco de massa 4 kg sobe uma superfície inclinada sem atrito, puxado por uma força F paralela à superfície, como ilustra a figura abaixo. Sabendo que F = 44 N, calcule o módulo da aceleração do bloco.
Resolução:
Primeiro decomponho a força peso.
Agora aplico a segunda lei de Newton.
FR = m . a
F - PX = m . a
F - (P . sen Θ) = m . a
44 - 32 = 4 . a
a = 3 m/s2
Questão 11
A figura ao lado representa o perfil de um plano inclinado no qual está fixa uma polia ideal. O fio é ideal e não há atrito. Sabendo que g = 10 m/s2 e que os blocos A e B têm massas iguais, qual é o módulo da aceleração de B?
Resolução:
FR = mB . a (sabemos que FR = PB – T)
PB – T = mBa (I)
FR = mA . a (sabemos que FR = T – PAX)
T – (PA . sen 30°) = mA . a (II)
A massa e o peso de A e B são os mesmos fica então:
P – T = ma (I)
T – (P . sen 30°) = m . a (II)
mg – T = ma
T – (mg . ) = ma
10m - T = ma
T – 5m = ma
Como as massas dos blocos são iguais posso atribuir um valor qualquer a essas massas, que a aceleração não se alterará. Atribuindo o valor de 1 kg, fica: 
10 - T = a
T – 5 = a
Resolvendo o sistema de equações, obtenho que a é 
2,5 m/s2.
Pêndulo inclinado
Na imagem acima um pêndulo está pendurado num vagão. Quando o vagão acelerar o pêndulo ficará inclinado (num primeiro momento). Depois de algum instante o pêndulo acompanhará o movimento do vagão. No entanto, se a aceleração permanecer, o fio continuará inclinado.
- Decompomos a tração. Não havendo movimento na vertical Ty é igual ao Peso. 
TY = P T . cos ϴ = mg 
- A resultante das forças que agem na partícula é TX. 
TX = m . a T . sen ϴ = ma
- Fazendo a divisão membro a membro:
 = a = g . a = g . tg 
Exercício 04
A figura abaixo mostra um bloco C de massa m = 8 kg em equilíbrio, preso a um sistema de três fios ideais (f1, f2 e f3). Supondo g = 10 m/s2, calcule as intensidades das trações nos três fios.
Resolução:
T1 = P = m . g = 8 kg . 10 m/s2 = 80 N
- Se a tração 3 (T3) for decomposta, fica: 
T3X = T3 . cos ϴ = T3 . 0,60
T3Y = T3 . sen ϴ = T3 . 0,80
- Estandoo ponto O em equilíbrio, devemos ter:
T3Y = T1 T3 . 0,80 = 80 T3 = 100 N
T2 = T3X = T3 . 0,60 = 100 . 0,60 T2 = 60 N
Questão 05
O sistema esquematizado abaixo está em equilíbrio. Os fios f1, f2 e f3 são ideais e a massa do bloco B é 20 kg. 
Determine as intensidades das trações nos fios f1, f2 e f3.
São dados: g = 10 m/s²; sen 60° = 0,87; cos 60° = 0,50; sen Θ = 0,60; e cos Θ = 0,80
Resolução: 
Se o sistema está em equilíbrio, a soma de qualquer resultante vai ser igual a zero. Decompondo as forças F1 e F2 temos (F1x e F1y) e (F2x e F2y) as únicas forças que vão manter o bloco em equilíbrio são as das componentes F1 e F2 na direção y, mas para achar essas forças vamos olhar para as componentes em x...
- Se está em equilíbrio, F1x = F2x, logo:
F1 . cos 60° = F2 . cosθ  F1 . 0,5 = F2 . 0,8 
F1 = F2 . 0,8/0,5 = F2 . 1,6
- Sabendo que as únicas forças que vão manter equilíbrio do caixote são as da componente y, temos:
F1 . sen 60° + F2 . senθ = P (sabemos que F1 = F2 . 1,6) 
F2 . 1,6 . sen 60° + F2 . senθ = 200N
F2 . 1,6 . 0,87 + F2 . 0,6 = 200
F2 100 N
· 
F1 = F2 . 1,6
F1 = 100 . 1,6
F1 = 160 N