Resumo Corpos Redondos

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Matemática
Capítulo 3 - Geometria Espacial: Corpos Redondos
Neste capítulo é falado sobre os sólidos que possuem superfícies curvas, eles são chamados de corpos redondos. São corpos redondos: o cilindro, o cone e a esfera. 
CILINDRO 
Considere dois planos, a e b, distintos e paralelos, e um segmento de reta MN com M pertencente a a e N pertencente a b. Dado um círculo C de centro O e raio r, contido em a, chamamos cilindro regular (ou simplesmente cilindro), à reunião de todos os segmentos de reta, paralelos e congruentes ao segmento de reta MN, que unem um ponto do círculo C a um ponto de b. 
Intuitivamente, podemos imaginar um cilindro como o conjunto de pontos gerado por uma translação de um círculo.
A superfície do cilindro é formada por duas partes planas, que são as bases, e uma parte não plana, “arredondada”, que é a superfície lateral. 
A altura do cilindro é a distância entre as duas bases. 
Secções de um cilindro reto
· Secção transversal
É a intersecção do cilindro com um plano paralelo às duas bases.
A secção transversal é um círculo congruente às bases.
· Secção meridiana
É a intersecção do cilindro com um plano que contém o seu eixo.
A secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo.
Área da superfície de um cilindro reto
A superfície total do cilindro é formada pela superfície lateral mais as superfícies das bases. Assim:
área lateral: Aℓ = 2𝜋rh
área das bases: 2Ab: 2𝜋r²
área total: At = 2𝜋r(h+r)
Volume do cilindro 
Podemos usar o Princípio de Cavalieri para determinar o volume do cilindro.
Dado um cilindro com a base contida em um plano a, vamos considerar um paralelepípedo retângulo, também com a base contida em a, que tem a área da base igual à área da base do cilindro e a altura igual à do cilindro.
Como o volume do paralelepípedo retângulo é obtido fazendo área da base x altura, segue que:
volume do cilindro = área da base x altura
Sendo a base do cilindro um círculo de raio r e área igual a 𝜋r², temos:
volume do cilindro: V = 𝜋r²h
CONE
Vamos considerar um plano a, um círculo R nesse plano e um ponto P não pertencente a a.
A reunião de todos os segmentos de reta que ligam cada ponto de R ao ponto P é um sólido chamado cone circular.
A superfície do cone é formada por uma parte plana, o círculo, que é a sua base, e uma parte não plana, “curva”, “arredondada”, que é sua superfície lateral.
O eixo do cone é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base. 
Se o eixo é perpendicular à base, o cone denomina-se cone reto. Se o eixo é oblíquo à base, o cone é chamado cone oblíquo.
A altura h do cone é o segmento de reta perpendicular traçado do vértice ao plano da base. No caso do cone reto, a medida do eixo coincide com a altura h.
No cone reto, cada segmento de reta que liga o vértice a um ponto da circunferência da base é chamado de geratriz do cone. 
Secções do cone reto
· Secção transversal
A secção transversal é a intersecção do cone com um plano paralelo à sua base.
A secção transversal do cone é um círculo.
· Secção meridiana
A secção meridiana é a intersecção do cone com um plano que contém o seu eixo.
A secção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles.
Área da superfície de um cone reto
A superfície total do cone reto é formada pela superfície lateral (um setor circular) mais a superfície da base (um círculo), isto é, At = Aℓ + Ab. 
Para um cone reto de geratriz g de raio da base r, temos:
Aℓ = 𝜋rg Ab= 𝜋r² At = 𝜋r(g + r)
Volume do cone
Consideramos um cone de altura H e base de área A contida em um plano horizontal a.
Também consideramos uma pirâmide de altura H e base da área A contida em a.
Pelo princípio de Cavalieri podemos afirmar que o cone e a pirâmide iniciais têm o mesmo volume. Dessa forma:
Vcone: (área da base x altura)/3
Então, para um cone circular de raio r e altura h, podemos dizer que:
V = (⅓)Abh
V = (⅓)𝜋r²h (⅓ do volume do cilindro)
Tronco de cone reto
Vamos considerar um cone circular reto de vértice V e altura H e um plano a paralelo à base que secciona o cone a uma distância d do vértice.
Nesse caso, obtemos dois sólidos: um cone de vértice V e altura d e o tronco do cone inicial.
No tronco do cone, destacamos:
· duas bases: a base maior (base do cone inicial) e a base menor (secção determinada por a);
· a altura (h1), que é a distância entre as bases (h1 = h - d);
· a geratriz, cuja medida (g1) é obtida pela diferença das medidas das geratrizes dos dois cones: g1 = g - g2, em que g é a geratriz do cone inicial e g2 é a geratriz do cone determinado por a.
Área e volume do tronco de cone reto
área lateral: Aℓ = 𝜋g1(R + r)
volume: V = (𝜋h1/3)(R² + Rr + r²)
ESFERA
A esfera de centro C e raio de medida R é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma distância menor ou igual a R do ponto C.
A “casquinha” ou a fronteira da esfera chama-se superfície esférica.
Área da superfície esférica
A = 4𝜋r²
Volume da esfera
V = (4/3) 𝜋R³