Cap 9 Cone-Teoria-Exercícios-PDF

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Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 82 
CAPÍTULO 9 - CONE 
 
Definição: Consideremos um círculo de centro O e raio R situado num plano  e seja V um 
ponto não pertencente a . 
Chama-se cone circular a união de todos os segmentos de reta com uma extremidade em 
V e a outra nos pontos do círculo dado. 
 V 
 
 
 
 h 
 
 
 
  
 A 
 
 
 
 O círculo dado é a base do cone. 
 
 O segmento que une um ponto da circunferência da base ao vértice V é denominado 
geratriz do cone. Ex. segmento VA . 
 
 A distância do vértice V ao plano da base chama-se altura do cone. 
 
 Quando o segmento VO é perpendicular ao plano da base, o cone é denominado 
cone circular reto. Caso contrário o cone é dito oblíquo. 
 
 V V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cone reto Cone oblíquo 
 
 Num cone reto o segmento VO chama-se eixo. 
 
 
Seção meridiana: 
 É a interseção do cone com um plano que contém o segmento VO . 
 
 Toda seção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles. Se o cone é 
oblíquo, toda secção meridiana é um triângulo escaleno. 
 
 
 
 
 
 
 
 O 
 
 
 O 
 
 O 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um cone é dito eqüilátero se sua secção meridiana é um triângulo equilátero. Neste 
caso, a geratriz é igual ao diâmetro da base. 
 
 
 
 2R 2R 
 
 
 
 Cone eqüilátero 
 
Cone de revolução 
 É o cone obtido pela rotação de 360o de um triângulo retângulo em torno de um de 
seus catetos. 
 V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seção transversal de um cone é a interseção do cone com um plano paralelo a sua base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 84 
Teorema 1: Toda seção transversal de um cone circular é um círculo. 
 
 Prova: 
 
 
 Inicialmente observemos que o  VO’A’   VOA e que o  VO’B’   VOB. Portanto, 
 
OA
OA
VO
VO ''
 e 
OB
BO
VO
VO '''
  
OB
BO
OA
OA '''
  ''' BOOA  já que OBOA  . 
 ▆ 
 
 
Teorema 2: Consideremos um cone de altura h e uma seção transversal do mesmo feita por 
um plano situado a uma distância d do vértice. Então 
2
2
)(
)(
h
d
basearea
tranversalseçãoárea
 . 
 
 
 Prova: 1o)  VOA   VO’A’  
h
d
VA
VA
VO
VO

''
; 
 
2o)  VOQ   VO’Q’  
OQ
QO
VO
VO '''
  
h
d
OQ
QO

''
  
h
d
R
r
 
Portanto, 
 
 
2
2
2
2)'(
h
d
R
r



 
 ▆ 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 85 
Área lateral de um cone circular: 
 
 Consideremos um funil com o formato de um cone circular reto, e com uma tesoura, 
cortemos este funil através de uma de suas geratrizes. A seguir, desenrolemos este funil 
sobre uma superfície plana. A figura obtida será um setor circular cujo raio é igual a geratriz 
do cone e cujo arco correspondente tem comprimento igual ao comprimento da 
circunferência da base do cone dado. Assim a superfície lateral de um cone circular reto de 
geratriz g e raio da base R é equivalente a um setor circular de raio g e arco de comprimento 
2R. 
Portanto, 
 ..
2
1 2gAl  , onde  é o ângulo do setor. 
Como o comprimento de um arco de raio r, medindo  radianos, é dado por r , segue-se 
que 
 2R = g   = 
g
R2
. 
Substituindo este valor de  na expressão da área lateral acima, obteremos: 
 
 
g
R
gAl
.2
..
2
1 2   gRAl .. . 
 
 
 g 
 
 
  
 2R 
 
 g g 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume do cone: 
 
 Consideremos um cone circular de raio R e altura h e uma pirâmide de altura igual a 
altura do cone e cuja base tenha área igual à área da base do cone, isto é, R2. Apoiemos 
estes dois sólidos sobre um plano . 
Sejam S e S’ as seções transversais produzidas, respectivamente, no cone e na pirâmide 
por um plano paralelo a . 
 
 
 
 d d 
 h 
 S 
 
 
 
 B = R2  
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 86 
Temos que: 
2
2
2 h
d
R
S


 e 
2
2
2
'
h
d
R
S


  
22
'
R
S
R
S

  'SS  . 
 
Pelo Princípio de Cavaliere, os dois sólidos têm o mesmo volume. Assim, 
VCone = VPirâmide = hR
2
3
1
 . 
 
 
  Exercício 1: Calcular a área lateral e o volume de um cone circular reto que tem 
altura 12 cm, sendo que a geratriz do mesmo mede 13 cm. 
 
Solução: Seja R o raio da base do cone e h o comprimento de sua altura. Aplicando o 
teorema de Pitágoras ao  VOA, obteremos: 
 V 
 g2 = h2 + R2  132 = 122 + R2  
 
  R = 5. 
 
 h g 
 
 
 O R A 
 
 
Portanto, 
  6513.5.  gRAl cm
2 (Resposta) 
 e 30012.5.
3
1
3
1 22   hRV cm3. (Resposta) 
 
 
  Exercício 2: Determinar o volume do sólido gerado pelo triângulo equilátero ABC, da 
figura abaixo, quando o mesmo efetua uma volta completa em torno do lado AC . 
 
 x 
 A 
 
 a 
 
 H B 
 BB 
 a 
 C 
 
 y 
 
Solução: Observe que o sólido obtido é a união de dois cones de mesmo raio HB = h e de 
alturas iguais a AH = HC = a/2. 
Portanto o volume desse sólido é igual a: 
VSólido = 2
2
.
2
3
3
1
23
1
3
2
2 aa
aa
h

 














(Resposta) 
 
. 
 
 h 
 
 h 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 87 
EXERCÍCIOS 
 
01. Um tronco de cone é a porção do cone compreendida entre a base e uma seção 
transversal do mesmo. 
Mostre que a área lateral de um tronco de cone de geratriz g e raios das bases iguais a 
R e r é dada por 
 Sl = (R + r)g . 
 
02. Prove que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases iguais a R e r é 
dado por 
 V = )(
3
22 RrrR
h


. 
 
03. UNESP. Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 
1,5 ml/min. O frasco de medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte 
cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a 
medicação. 
 
 4 cm 
 
 
 
 
 9 cm 
 
 
 
 
 3 cm 
 
 
 (figura fora de escala) 
 
Após 4 h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 
1 cm3 = 1 ml, e usando a aproximação  = 3, o volume, em ml, do medicamento restante 
no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente, 
 
(A) 120. 
(B) 150. 
(C) 160. 
(D) 240. 
(E) 360. 
 
 
04. UNESP. Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, 
está até à metade com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um cone circular 
reto, contém uma substância química que forma um cone de altura 27 cm e raio r 
(figura 2). 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 88 
 
 
a) Sabendo que R = (3/2)r, determine ovolume da água no cilindro e o volume da 
substância química no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a 
aproximação  = 3.) 
 
b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura 
homogênea (figura 3). Determine a concentração (porcentagem) da substância 
química na mistura e a altura h atingida pela mistura no cilindro. 
 
 
05. UNESP. Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de altura 18 cm e 
raio 6 cm, contém um líquido até a altura de 15 cm (figura 1). A seguir, a posição do 
recipiente é invertida (figura 2). 
 
 
 Sendo R e r os raios mostrados nas figuras, 
 
a) determine R e o volume do líquido no cone em cm3 (figura 1), como múltiplo de . 
 
b) dado que r = 3 91 , determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura 2. 
(Use a aproximação 3 91  9/2.) 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 89 
06. UNESP. Tem-se um cilindro circular reto de raio da base r dm e altura 2 dm. 
 
a) Que altura deve ter um cone circular reto, de mesma do cilindro, para ter o mesmo 
volume do cilindro? 
 
b) Aumentando 6 dm no raio do cilindro (mantendo a altura) ou aumentando 6 dm na 
altura do cilindro (mantendo o raio), o aumento no volume é o mesmo. Obtenha o 
valor de r. 
 
 
07. UNESP. Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar 
banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro 
circular reto de 30 cm de altura e base 12 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto 
cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 12 cm e 6 cm, respectivamente, e 
altura 10 cm, como mostrado na figura. 
 Por ouro lado, numa praça de certa cidade há uma torneira com um gotejamento que 
provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação 
 = 3, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de 
água desperdiçada seja igual à usada para banhos, ou seja, encher completamente 6 
vezes aquele chuveiro manual. Dado: 1000 cm3 = 1 litro. 
 
 
 
 
 
 30 cm 
 
 
 12 cm 
 
 10 cm 
 
 
 6 cm 
 
08. UFPE. Um cilindro reto está inscrito em um cone, ou seja, a base do cilindro está contida 
na base do cone, e a circunferência da outra base está contida na superfície lateral do 
cone, como ilustrado abaixo. Se a medida do raio do cone é o triplo da medida raio do 
cilindro e a altura do cone é 12, indique a altura do cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Euclidiana 2 – Cap. 9: Cone Prof. Sinvaldo Gama 90 
09. UFPE. Um cubo está inscrito em um cone circular reto, como ilustrado a seguir (uma 
face do cubo está contida na base do cone, e os vértices da face oposta estão na 
superfície do cone). Se o cone tem raio da base medindo 4 e alturas 8, assinale o inteiro 
mais próximo da medida do volume do cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Um cone de raio R possui área lateral tripla da área da base. Determinar o volume. 
 
11. Um triângulo isósceles cuja base mede 10 cm e altura 12 cm gira em torno de um dos 
 seus lados iguais. Determinar o volume do sólido gerado. 
 
 
RESPOSTAS: 
 
03. A 
 
04. a) O volume a água no cilindro é 108 r2 e o volume da substância química no cone é 
 27 r2. 
 b) C = 20% (concentração) e h = 20 cm. 
 
05. a) R = 5 cm; VL = 125  cm
3. 
 b) H  
2
27
 cm. 
06. a) 6 dm; b) r = 6 dm. 07. 2 dias 08. 8 09. 35 
 
10. V = 
3
3
22
R

 11. V = 
3
13
4800
cm

.