Geometria do Cone Circular

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APOSTILA ELEABORADA PELO PROF. CARLINHOS - CONES 
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CONES 
 
Consideremos um círculo de centro O e raio r, situado num plano, e um ponto V fora 
dele. Chama-se cone circular, ou cone, a reunião dos segmentos com uma extremidade 
em V e a outra em um ponto do círculo. Num cone destacamos os seguintes elementos: 
 
CLASSIFICAÇÃO 
Um cone pode ser classificado conforme a inclinação da reta em relação ao plano da 
base: 
a) o cone circular é oblíquo quando a reta é oblíqua à base. 
 
 
 
b) o cone circular é reto quando a reta é perpendicular à base. 
O cone circular reto é também chamado “cone de revolução”. Ele é gerado pela rotação 
de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 
 
No cone de revolução, a reta é o eixo, e vale a relação: 
 
r2 + h2 = g2 
 
Todas as geratrizes são congruentes entre si. 
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ÁREAS E VOLUME 
 
Área da base: Ab 
 
A área da base de um cone é a área de um círculo de raio r. 
 
Ab = r
2 
 
Área lateral: A l 
A superfície lateral de um cone é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é 
chamada área lateral e é indicada por Al. 
A superfície lateral de um cone circular reto, de geratriz g e raio da base r, planificada, é 
um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é 2r 
(perímetro da base). 
 
O raio do setor é g, e o comprimento do arco do setor é 2r. 
Assim, podemos estabelecer a regra de três: 
Comprimento do arco área do setor 
 
 
A área lateral de um cone também pode ser calculada em função do ângulo central ‘ 
que forma o setor circular correspondente a essa área, ou seja: 
 
360º
g . .
 A
2
l
πα= 
 
Área total: A t 
 
A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. A 
área dessa superfície é chamada área total e é indicada por At. 
 
At = Ab + Al 
 
Substituindo-se Al = .r.g e Ab = .r
2, vem: 
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At = r.(r + g) 
 
Volume: V 
O volume de um cone é obtido da mesma forma que se obtém o volume da pirâmide: 
 
Substituindo Ab por .r
2, temos: 
 
 
 
SEÇÃO MERIDIANA E CONE EQÜILÁTERO 
 
Seção meridiana de um cone reto é a interseção dele com um plano que contém o eixo. 
A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles. 
Cone eqüilátero é um cone cuja seção meridiana é um triângulo eqüilátero. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule a área total e volume de um cone circular reto cujo o comprimento da 
circunferência da sua base mede 8π cm e sua geratriz 5cm. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
2) O raio de um setor circular de 150º, em papel, mede 10cm; o setor vai ser utilizado na 
confecção de um cone. Vamos determinar a área lateral, a área total e o volume desse 
cone. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
 
l) Um cone circular de 20m de altura tem raio de 4 m . Calcular a área da 
secção transversal feita por um plano a 5m do vértice. resp:π m2 
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2) A geratriz de um cone circular reto tem 15 dm e o raio mede 9 dm. Achar a área da 
secção transversal feita a 3 dm do vértice e a área da secção da meridiana. 
resp: Asecção da meridiana= l08 dm
2 A secção transversal= 81π/16 dm2 
 
3) Um cone circular reto tem 12 cm de raio e 16 cm de altura. Determinar a área lateral 
e a área total desse cone. resp: Al=240π cm2 At= 384π cm2 
 
4) Desenvolveu-se em um plano a superfície de um cone reto, obtendo-se um setor 
circular de raio igual a 8 cm e ângulo central de 120º. Calcular a área lateral e a área da 
base do cone. resp: Al=64π/3 cm2 Ab=64π/9 cm2 
 
5) Um chapéu de palhaço tem a forma de cone e é feito de papelão. A circunferência da 
base do chapéu mede 7l,592 cm. Determine quanto foi gasto de papelão, sabendo que a 
altura do chapéu de 30 cm. (use π=3,14). resp: 1148,7cm2 
 
6) Calcular o volume de um cone que tem l2 cm de altura, e o comprimento da 
circunferência de sua base é 8π cm. resp:V= 64π cm3 
 
7) Determine o volume de um cone cujo raio da base mede 6,4 cm e a altura l8,6 cm. 
resp:V=253,952π cm3 
 
8) Determine o raio da base de um cone de 3,6 dm de altura e volume 30π dm3. 
 resp: 5 dm 
 
9) Calcular a altura de um cone de volume 887,364π cm3, sabendo que a circunferência 
que contorna a sua base tem l8,84π cm comprimento. resp: 30 cm 
 
10) Uma fábrica produz, por vez, l0000 peças de chumbo de forma cônica, tendo cada 
uma l cm de raio e 3cm de altura. Determine quantos quilogramas de chumbo serão 
utilizados, sabendo que a densidade do chumbo é ll,3 g/cm3 . resp: 354,82 kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
APOSTILA ELABORADA PELO: 
Prof. Luiz Carlos Souza Santos