O Teste da Razão, Raiz, e de potências -14

Prévia do material em texto

O Teste da Razão
Definição: 
Se então a série é absolutamente convergente, consequentemente é convergente. é o termo geral da série.
S e ou se então a série é divergente.
Se o Teste da Razão não é conclusivo, nada se pode concluir sobre a convergência ou divergência da série. Neste caso, é aconselhável usar outro TESTE
Ex: Teste a série quanto a convergência absoluta. 
O termo geral da série é dado por: , então
, calculando-se 
 
, Logo , portanto tem-se que 
 logo a série é absolutamente convergente, portanto convergente.
O Teste da Raiz
i) Se , então a série é absolutamente convergente;
ii) Se , ou seentão a série é divergente;
iii) Se O teste da Raiz não é conclusivo.
Ex: Use o teste da Raiz para verificar se a série converge ou diverge.
Temos que , observa-se que segue-se: 
 dominante . Aplicando o limite tem-se: 
 é absolutamente convergente, portanto convergente.
Séries de Potências
Definição: Uma série de potências é uma série da forma
(1) , onde x é uma variável e são constantes chamadas de coeficientes da série, que poderá convergir ou divergir para alguns valores de “x”.
Obs 1: A soma da série é uma função expressa na forma:
 , cujo domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge.
Obs 2: Na série tomada em (1), façamos para todo n, neste caso a série em (1) se transformará na série geométrica
 nessa série é geométrica que converge se e diverge se Obs: Se . 
o
o
-1
1
x
Se a série de potências for definida na forma: 
 ela é chamada uma série de potências centrada em “a” ou em torno de “a” . Dessa forma a série de potências sempre converge quando x=a.
Ex: Para quais valores de “x” a série converge.
Para a encontrar a solução usa-se o teste da razão, temos: e , segue-se. 
Se Logo: 
Ou 
Segue-se que , passando o limite.
 se 
 Ou 
, em princípio será o intervalo de convergência. 
Agora é conveniente testar a série para , ou seja o que acontece quando 
0
0
2
4
x
C
D
D
Obs: O intervalo de convergência da série é concluído quando substituímos na série 
Para , substituindo o valor de x, tem-se: , isso é uma série alternada, que converge se: 
a) e b) , pois, e 
 
b) Assim tem-se que 
Agora testar para 
Para , substituindo o valor de x, tem-se: , isso é uma série Harmônica, que diverge. Portanto, 
Resposta: Intervalo de convergência [2,4[ ou